自动控制原理z变换

栗忍 83#D103
7.1.2、 z变换-部分分式法
n
F(s)
Ai
i1 s si
例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。
F (s)
s2
a
a2
解： F (s) a 1/ 2 j 1/ 2 j
s2 a2 s ja s ja
F(z)
1
2j
1
1 e jaT z 1
例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。 F(s) a s(s a)
解：
F(z)
n i 1
Re
sF (s) 1
1 e sT
z 1
ssi
2 i 1
Re
s
s(
a s
a)
1
1 e sT
z
1
s0,
a
s
a s(s
a)
1
1 e sT
z
1
s0
(s
a)
a s(s
Re s•为极点 s si 处的留数。
F (z)
n i 1
Re
sF (s) 1
1 e sT
z 1
ssi
n1
i 1
Re
s
F
(
si
)
z
z esiT
n
i
n1
1
(
ri
1
d ri 1
1)! dsri 1
(s
si )ri
F (s)
z
z esT
s
si
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7.1.3、 z变换-留数法
解：
F (s)
1 s2 (s 1)
A1 s2
A2 s
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A1 s2F (s) s0 1
A2
d ds
s 2 F (s)
s0
(s
1 1)2
s0
1
A3
(s
1)F(s) s1
1
F (s)
1 s2
1 s
1 s 1
T z 1
1
1
F(z)
(1
z 1)2
1
z 1
1 eT z 1
(T eT 1)z 1 (1 eT TeT )z2
课前复习-z变换的级数求和法
z变换的级数求和法
F z f kT zk k 0
F z f kT zk f 0 f T z1 f 2T z2 f 3T z3 L k 0
例 求指数函数f（t）的z变换
f(t )
e at
0
t 0 t 0
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课前复习-级数求和法
(1 z1)2 1 eT z1
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7.1.3、 z变换-留数法
若已知连续函数f(t)的拉氏变换式F(s)及全部极点si，则 f(t)的z变换可用留数计算法求取，即：
F(z)
n i 1
Re
s
F
(
s)
1
1 e sT
z
1
s
si
n1
i 1
Re
sF
(si
)
z
z esiT
n
i
1
2j
1
1 e jaT z 1
z 1 sin aT 1 2z 1 cos aT z 2 ei cos i sin
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7.1.2、 z变换-部分分式法
n
F(s)
Ai
i1 s si
例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。
1 F (s) s2 (s 1)
第七章
• 线性离散系统的分析与校正
课前复习- z变换的定义
在线性连续系统中，连续时间函数f(t)的拉氏变换为F(s);同样 在线性离散系统中，也可以对采样信号f*(t)作拉氏变换。
采样信号f*(t)
拉氏变换
L f * t F* s f kT ekTS k 0
z eTS
F z f kT zk k 0 栗忍 83#D103
n1
1
(ri
1 1)!
d ri 1 dsri 1
(s
si )ri
F (s)
z
z esT
s
si
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7.1.3、 z变换-留数法
式中 si (i 1,2，, , n1) 为F(s)的n1个单极点；
si (i n1 1, n为1 F2(s,)的,nn-n) 1个重极点；
ri 为重极点 si 的阶数；T为采样周期；
a)
1
1 e sT
z
1
sa
1 1 z 1
1
1 e aT
z
1
(1 eaT )z 1 (1 z 1)(1 eaT z 1)
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7.1.3、 z变换-留数法
例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。
a F(s) s2 a2
解： F(z)
n i1
Re
s
F z f kT zk f 0 f T z1 f 2T z2 f 3T z3 L k 0
解： f (kT) eakT k 0,1,2,
F (z) Z[eat ] eakT zk 1 eaT z1 k 0
e2aT z 2 e3aT z 3
1
z
1 eaT z 1
➢首先为了进行拉氏变换，将F(s)写成部分分式之和的形式，即：
n
F(s)
Ai
i1 s si
式中，n为F(s)的极点数目；Ai为常数，Si为F(s)的极点。 ➢然后，由拉氏反变换得出f(t)为
n
f (t) Aiesit i 1
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7.1.2、 z变换-部分分式法
n
f (t) Aiesit i 1
Ai
i1 s si
例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。 F(s) a s(s a)
解： F (s) a 1 1 s(s a) s s a
由
F(z)
n i 1
Ai z z esiT
可得
F(z) z z
z(1 e-aT )
z 1 z e-aT z2 (1 e-aT )z e-aT
F
(s)
1
1 esT
z
1
s
si
2 i 1
Re
s
s
2
a a2
1 1 esT z 1 s ja
(s
ja)
s2
a a2
1 1 esT z1 s ja
(s
ja)
s2
a a2
1 1 esT z1 s ja
z eaT
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7.1 z变换与反变换
1. z变换部分分式法 2. z变换留数法 3. z变换性质 4. z反变换方法 （部分分式、幂级数法、留数法）
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7.1.2、 z变换-部分分式法
F z f kT zk k 0
设连续信号f(t)没有直接给出，但给出了f(t)的拉氏变换式F(s)， 求它所对应的z变换式F(z)。
➢对上式中的每一项，都可以利用指数函数的z变换直接写 出它所对应的z变换式，这样就得到了F(z)如下：
指数函数z变换
F(z)
Z[e at ]
z z e aT
n
F(s)
Ai
i1 s si
F(z)
n i 1
Ai z z esiT
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7.1.2、 z变换-部分分式法
n
F(s)