全品高考复习方案数学答案
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全品高考数学答案【篇一：【全品高考复习方案】2015届高三理科数学一轮课时作业(含解析)】s=txt>课时作业姓名：班级：学号：我的高考寄语：1第一部分：课时作业检测课时作业(一)a [第1讲集合及其运算](时间：30分钟分值：80分)＋x＝0}的关系的venn图是()图k1-1，b是非空集合，定义a*b表示阴影部分的集合．若x，y∈r，a＝{x|yy＝3x，x0}，则a*b＝( )a．(2，＋∞) b．[0，1)∪(2，＋∞)c．[0，1]∪(2，＋∞) d．[0，1]∪[2，＋∞)3??－1x?.若p∩q≠?，则整数m＝________． 9．已知集合p＝{－1，m}，q＝?x?4???10．已知集合a＝{x|－2≤x≤5}，b＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，b≠?，且b?a，则m的取值范围是________．11．已知集合，则集合a的所有子集是_____________．12．(13分)设全集u＝r，m＝{m|方程mx2－x－1＝0有实数根}，n＝{n|方程x2－x＋n＝0有实数根}，求(?um)∩n.213．(12分)对任意两个正整数m，n，定义某种运算(用正偶数或都为正奇数时，mn＝m＋n(如4中有一个是正奇数，另一个为正偶数时，mn＝mn(如3表示运算符号)：当m，n都是7＝3＋7＝10等)；当m，n6＝4＋6＝10，3等)．在上述定义下，求集合m＝{(a，b)|ab＝36，a，b∈n*}中元素的个数．课时作业(一)b [第1讲集合及其运算](时间：30分钟分值：80分)21a．0 b．1 c．e e)a．{x|x≥1} b．{x|1≤x2} c．{x|0x≤1} d．{x|x≤1}a．{x|3≤x6} b．{x|3x6} c．{x|3x≤6} d．{x|3≤x≤6}? ?1x?? ??则a∩b＝( )a．(1，＋∞) b．(－1，1) c．(0，＋∞) d．(0，1)3? ?x?? ??a．{x|0x1} b．{x|0≤x1}c．{x|0x≤1} d．{x|0≤x≤1}8．集合a＝{x|y＝－x＋10x－16}，集合b＝{y|y＝log2x，x∈a}，则a∩(?rb)＝( ) a．[2，3] b．(1，2] c．[3，8] d．(3，8]12???9．集合?x∈n*?∈z 中含有的元素个数为________． ?x??10．设集合a＝，，b＝{y|y＝x2}，则a∩b＝________． 11．已知全集u＝a∪b中有m个元素，(?ua)∪(?ub)中有n个元素．若a∩b非空，则a∩b的元素个数是________．12．(13分)若集合m＝{x|－3≤x≤4}，集合p＝{x|2m－1≤x≤m＋1}． (1)证明：m与p不可能相等；(2)若两个集合中有一个集合是另一个集合的真子集，求实数m的取值范围．13．(1)(6分)设集合a是整数集的一个非空子集，对于k∈a，如果k－1?a且k＋1?a，那么称k是a的一个“孤立元”．给定s＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由s的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．(2)(6分)设s是整数集z的非空子集．如果任意a，b∈s，有ab∈s，则称s关于数的乘法是封闭的．若t，v是z的两个不相交的非空子集，t∪v＝z，且任意a，b，c∈t，abc∈t；任意x，y，z∈v，xyz∈v.则下列结论成立的是( )a．t，v中至少有一个关于乘法是封闭的 b．t，v中至多有一个关于乘法是封闭的 c．t，v中有且只有一个关于乘法是封闭的 d．t，v关于乘法都是封闭的4课时作业(二) [第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件](时间：30分钟分值：80分)1．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；a．充分而不必要条件 b．必要而不充分条件 c．充分必要条件d．既不充分也不必要条件1??( )a．必要不充分条件b．充分不必要条件 c．充要条件d．既不充分也不必要条件a4a．充分不必要条件 b．必要不充分条件 c．充要条件d．既不充分也不必要条件6．已知a，b，c都是实数，则命题“若ab，则ac2bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )a．4 b．2 c．1 d．07．已知a，b∈r，则“a＝b”是“a2＋b2≥－2ab”的( ) a．充分不必要条件b．必要不充分条件 c．充要条件d．既不充分也不必要条件5/p> （数学）选择题部分一、选择题常考考点⒈设全集为r,集合m?{x||x|?2}，n?{x|1?x1?x?0}，则有a．crm?n?n b．m?n?{x|?1?x?1} c.m?n?{x|?2?x??1或1?x?2} d．crn?m?{x|?1?x?1} 【标准答案】a解答：m?{x|x??2或x?2},n??x?1?x?1?,?crm?{x|?2?x?2},?crm?n?n. 2．若x?r,那么xx?1是正数的充要条件是（）a．x?0 b．x??1c．?1?x?0d．x?0或x??1【标准答案】d 解答：xx?1?0?x(x?1)?0?x?0或x??1.3．在等差数列｛an｝中，已知a1=2,a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（） a．40b．42c．43d．45【标准答案】b在等差数列?an?中，已知a1?2,a2?a3?13,得d=3，a5=14，a4?a5?a6=3a5=42.4．若a、b、c为三个集合，a?b?b?c，则一定有（）a．a?c b．c?a c．a?c d．a?? 【标准答案】a解答：因为a?a?b且c?b?c，a?b?c?b由题意得a?c所以选a 5．定义运算x?y?≥y)??x(x?y(x＜y)，则函数f(x)?(sinx)?(cosx)的值域为（）a．[?1,122]b．[?1,1]c．[2 d．[?2【标准答案】c解答：在同一坐标系中作出f(x)=??sinxsinx?cosx?cosx sinx?cosx图，知选c.6．已知函数y?f?1(x)的图象过点(1,0)，则y?f(2x?1)的反函数的图象一定过点（1) 1,1)1222) 12,0)）【标准答案】a.解答：依题意知函数y?f(x)的图象过点(0,1),由2x?1?0得x? y?f(2x?1)的图象过点(112,则函数12).7．函数f(x)?sin?x+cos(?x?（）a．232?6,1),故函数y?f(2x?1)的反函数图象过点(1,)的图象相邻两条对称轴间的距离是2?3，则?的一个值是b．?3434?32?c．4?332d．34【标准答案】c解答：由已知f(x)?sin(?x?8．m、n?r，a、b、c是共起点的向量，a、b不共线，c?ma?nb，则a、b、c的终点共线的充分必要条件是（）a．m?n??1 b．m?n?0 【标准答案】d．解答：设a、b、c的终点分别为a、b、c，而a、b、c三点共线的充要条件是存在非零常数?，使得),?t?,???,???32.c．m?n?1 d．m?n?1????????ab??bc，即?b??a??(?c?)?b???b?(??a?1?，n?于b是?有m?a?(n?1)???m?n?m?1.9．定义在（??，0）?（0，??）上的奇函数f(x)，在（0，??）上为增函数，当x0时，f(x)图像如图所示，则不等式x[f(x)?f(?x)]?0的解集为（） a．(?3，0)?(0，3) c．(??，?3)?(3，??) b．(??，?3)?(0，3) d．(?3，0)?(3，??)【标准答案】a?x?0?f(x)?0?x?0?f(x)?0, ?由图知－3?x?0或0?x?3.10 已知 p:a??xx?a?4?;q:?x?x?2??3?x??0?，且非p是非q的充分条件，则a的取值范围为（）a. -1a6b. ?1?a?6c. a??1或a?6d. a??1或a?6 【标准答案】 b 解法1 特殊值法验证，取a=-1，a????,?5???3,??? ,b????,2???3,???，非p是非q的充分条件成立，排除a，c；取a=7，a????,3???11,???, b????,2???3,???，非p是非q的充分条件不成立，排除d，选b；解法2集合观念认识充分条件化归子集关系构建不等式组求解，解不等式切入，?a?4?2a??a?4,a?4?,b??2,3?,?a?b,??,??1?a?6，选b；?a?4?3__解法3用等价命题构建不等式组求解，非p是非q的充分条件等价命题为q是p的充分条件，集合观念认识充分条件化归子集关系构建不等式组求解，解不等式切入，a?(a?4,a?4),b?(2,3)，由q是p的充分条件知11 计算复数(1－i)－a.024?2i1?2ib.2等于（）c. 4id. －4i【标准答案】解法一：(1－i)－24?2i1?2i=－2i－(4?2i)(1?2i)(1?2i)(1?2i)=－2i－4?8i?2i?45=－2i－2i=－4i.解法二：(1－i)－24?2i1?2i=－2i－2i?4i1?2i2=－2i－2i(1?2i)1?2i=－2i－2i=－4i.故选d.，故?1?a?6，选b。
2019年全品高考复习方案理科数学第11单元 集合与常用逻辑用语作业答案-第十一单元-选修4部分
全品高考复习方案数学(理科) RJA课时作业(六十七)1.解:(1)(x-)2+(y+1)2=9可化为x2+y2-2x+2y-5=0,故圆C的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ+2ρsin θ-5=0.(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ+2ρsin θ-5=0,得ρ2-2ρ-5=0.设M,N,∴ρ1+ρ2=2,ρ1ρ2=-5,∴|MN|=|ρ1-ρ2|==2.2.解:(1)将x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2代入曲线C的极坐标方程,得x2+y2-4x-2y+4=0,即(x-2)2+(y-)2=3.故曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+(y-)2=3.(2)直线l的极坐标方程是θ=(ρ∈R),代入曲线C的极坐标方程,得ρ2-5ρ+4=0,所以ρAρB=4, 所以|OA|·|OB|=|ρAρB|=4.3.解:(1)(x-2)2+y2=4可化为x2+y2-4x=0,把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,可得曲线C1的极坐标方程为ρ=4cos θ.设Q(ρ,θ),则P-,则有ρ=4cos-=4sin θ,所以曲线C2的极坐标方程为ρ=4sin θ.(2)M到射线θ=(ρ>0)的距离为d=2sin=,|AB|=|ρB-ρA|=4-=2-2,则S△MAB=|AB|·d=3-.4.解:(1)依题意,将代入x2+y2+2x-4=0,可得ρ2+2ρcos θ-4=0.将代入y2=x,化简得ρsin2θ=cos θ.故曲线C1的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-4=0,曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ=cos θ.(2)将y2=x代入x2+y2+2x-4=0,得x2+3x-4=0,解得x=1或x=-4(舍去),当x=1时,y=±1,∴C1与C2交点的直角坐标为A(1,1),B(1,-1),∵ρA==,ρB==,tan θA=1,tan θB=-1,∴θA=,θB=,故A,B.5.解:(1)∵在极坐标系中,点M的坐标为,∴x=3cos=0,y=3sin=3,∴点M的直角坐标为(0,3),∴直线l的方程为y=-x+3.由ρ=2,得ρ2=2ρsin θ+2ρcos θ,∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0,即(x-1)2+(y-1)2=2.(2)圆心(1,1)到直线y=-x+3的距离d==,∴圆上的点到直线l距离的最大值为d+R=,而|AB|=2-=2×-=,∴△PAB面积的最大值为××=.6.解:(1)曲线C1的直角坐标方程为+y2=1,把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得曲线C1的极坐标方程为ρ2=.∵曲线C2的极坐标方程为ρ=4sin,即ρ=4sin θcos+4cos θsin,即ρ2=2ρsin θ+2ρcos θ,把x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2代入,得x2+y2=2y+2x,∴曲线C2的直角坐标方程为(x-)2+(y-1)2=4.(2)曲线C2是圆心为(,1),半径为2的圆,∴射线OM的极坐标方程为θ=(ρ≥0),代入ρ2=,可得=2.又∠AOB=,∴=,∴|AB|===.7.解:(1)将x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2分别代入曲线C1,C2的直角坐标方程,得C1:ρ2+ρ2sin2θ-2=0,C2:ρ=2sin θ,故C1的极坐标方程为ρ2=,C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(2)将θ=α(ρ≥0)代入C1的极坐标方程得|OA|2=,将θ=α(ρ≥0)代入C2的极坐标方程得|OB|2=4sin2α,则|OA|2+|OB|2=+4sin2α=+4(1+sin2α)-4,令t=1+sin2α,则t∈(1,2),则|OA|2+|OB|2=+4t-4,∵函数y=+4t-4在(1,2)上单调递增,∴|OA|2+|OB|2∈(2,5).-8.解:(1)由得∴圆C的普通方程为(x-a)2+y2=a2,即圆心为(a,0),半径r=a.∵ρsin=ρsin θcos+ρcos θsin=2,把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得直线l的直角坐标方程为x+y-4=0.∵圆心到直线l的距离d=,∴|AB|=2-=2,即a2--=2,解得a=2或a=-10,∵0<a<5,∴a=2.(2)由(1)得,圆C:(x-2)2+y2=4,把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得(ρcos θ-2)2+(ρsin θ)2=4,化简得圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ.依题意,设M(ρ1,θ1),N,则-<θ1<,-<θ1+<,∴-<θ1<,∴|OM|+|ON|=ρ1+ρ2=4cos θ1+4cos=6cos θ1-2sin θ1=4cos,∵-<θ1+<,∴|OM|+|ON|的最大值为4.课时作业(六十八)1.解:(1)曲线C的极坐标方程为ρ=1,根据ρ2=x2+y2可得曲线C的直角坐标方程为x2+y2=1,x2+y2=1,得t2-4t sin φ+3=0(*),将-代入由16sin2φ-12>0,得|sin φ|>,又0≤φ<π,∴φ的取值范围是.(2)设P1(t1cos φ,-2+t1sin φ),P2(t2cos φ,-2+t2sin φ),由(1)中的(*)可知,=2sin φ,∴可得P1P2中点的轨迹方程为φ为参数,<φ<.--故线段P1P2中点轨迹的参数方程为--φ为参数,<φ<.2.解:(1)直线l的参数方程为--(t为参数),曲线C的直角坐标方程为y2=2x.(2)把直线l的参数方程代入y2=2x,得t2sin2α-(2cos α+8sin α)t+20=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=,根据参数t的几何意义,可得|MA||MB|=|t1t2|==40,所以α=或α=.又因为Δ=(2cos α+8sin α)2-80sin2α>0,所以α=.3.解:(1)由消去t,得x sin φ-y cos φ+2cos φ=0,所以直线l的普通方程为x sin φ-y cos φ+2cos φ=0.由ρcos2θ=8sin θ,得(ρcos θ)2=8ρsin θ,把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上式,得x2=8y,所以曲线C的直角坐标方程为x2=8y.(2)将直线l的参数方程代入x2=8y,得t2cos2φ-8t sin φ-16=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=-,所以|AB|=|t1-t2|=-==,当φ=0时,|AB|取得最小值,为8.4.解:(1)易知曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=1,圆心为(0,0),半径为1,曲线C2的普通方程为y=x+2,圆心到直线的距离d==,所以C1上的点到C2的距离的最小值为-1.(2)伸缩变换为所以C'1:+=1,故C'1:+=1.将C2的参数方程与C'1的方程联立,得7t2+2t-10=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-,t1t2=-,因为t1t2=-<0,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=.5.解:(1)由ρ2=可得ρ2(1+2sin2θ)=3,又x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2,∴曲线C的直角坐标方程为+y2=1,点A的直角坐标为(3,).(2)曲线C的参数方程为(α为参数,α∈[0,2π)),∴设B(cos α,sin α),依题意可得|BE|=3-cos α,|BF|=-sin α,矩形BEAF的周长为2|BE|+2|BF|=6+2-2cos α-2sin α=6+2-4sin,当α=时,周长取得最小值,为2+2,此时点B的直角坐标为.6.解:(1)∵曲线C1的参数方程为(φ为参数),∴曲线C1的普通方程为+=1.∵ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,∴ρ2-2ρcos θ+2ρsin θ+1=0可化为x2+y2-2x+2y+1=0,即曲线C2的直角坐标方程为(x-1)2+(y+1)2=1.(2)∵曲线C1的右焦点F的坐标为(2,0),∴直线l的参数方程为(t为参数).将直线l的参数方程代入(x-1)2+(y+1)2=1,得t2+2(sin α+cos α)t+1=0,∵直线l与曲线C2相交于不同的两点M,N,∴Δ>0,∴0<α<,设M,N对应的参数分别为t1,t2,则+=-=-=2(sin α+cos α)=2sin,∴<sin≤1,∴2<2sin≤2,因此,+的取值范围为(2,2.7.解:(1)∵C1的极坐标方程是ρ=,∴4ρcos θ+3ρsin θ=24,整理得4x+3y-24=0,∴C1的直角坐标方程为4x+3y-24=0.∵曲线C2的参数方程为(θ为参数),∴C2的普通方程为x2+y2=1.(2)用,分别代换曲线C2的普通方程中的x,y,得到曲线C3的方程为+=1,则曲线C3的参数方程为(α为参数),设N(2α,2sin α),则点N到曲线C1的距离d=-=-=-,其中sin φ=,cos φ=.当sin(α+φ)=1时,d有最小值-,∴|MN|的最小值为-.8.解:(1)由ρcos=-2,得(ρcos θ-ρsin θ)=-2,化成直角坐标方程,得(x-y)=-2,即直线l的直角坐标方程为x-y+4=0.依题意,设P(2cos t,2sin t),则P到直线l的距离d===2+2cos,当t+=2kπ,k∈Z,即t=2kπ-,k∈Z时,d max=4,故点P到直线l的距离的最大值为4.(2)因为曲线C上所有的点均在直线l的右下方,所以对任意t∈R,a cos t-2sin t+4>0恒成立,即cos(t+φ)+4>0其中恒成立,所以<4,又a>0,所以0<a<2,故a 的取值范围为(0,2).课时作业(六十九)1.解:(1)当a=-1时,f(x)=|2x+1|+|2x-1|,由f(x)≤2,得+-≤1,上述不等式等价于数轴上点x到两点-,距离之和小于等于1,则-≤x≤,即原不等式的解集为-.(2)因为f(x)≤|2x+1|的解集包含,所以当x∈时,不等式f(x)≤|2x+1|恒成立,所以|2x-a|+2x-1≤2x+1,即|2x-a|≤2,所以2x-2≤a≤2x+2,x∈恒成立,所以(2x-2)max≤a≤(2x+2)min,得0≤a≤3.2.解:(1)由题意可得f(x)=---因为f(x)>-3,所以当x≤0时,由1+x>-3,解得x>-4,即-4<x≤0;当0<x<1时,由1-3x>-3,解得x<,即0<x<1;当x≥1时,由-1-x>-3,解得x<2,即1≤x<2.故不等式f(x)>-3的解集为(-4,2).(2)如图,画出函数f(x)的图像,易得函数f(x)的图像与x轴交点的横坐标分别为-1,,故函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的面积为××1=.3.解:(1)由f(1)=1可得|1-m|+1=1,故m=1.由f(x)<2可得|x-1|+|x|<2.①当x<0时,不等式可变为(1-x)-x<2,解得x>-,∴-<x<0;②当0≤x≤1时,不等式可变为(1-x)+x<2,即1<2,∴0≤x≤1;③当x>1时,不等式可变为(x-1)+x<2,解得x<,∴1<x<.综上可知,原不等式的解集为-.(2)由绝对值不等式的性质可得f(x)=|x-m|+|x|≥|(x-m)-x|=|m|,当且仅当(x-m)x≤0时,等号成立,故f(x)的最小值为|m|.故只需|m|≥m2,即|m|(|m|-1)≤0,解得-1≤m≤1,即实数m的取值范围是[-1,1].4.解:(1)因为f(a)≤2|1-a|,所以|1-a|+|a-a2|≤2|1-a|,即(|a|-1)|1-a|≤0.当a=1时,不等式成立;当a≠1时,|1-a|>0,则|a|-1≤0,解得-1≤a<1.综上,实数a的取值范围是{a|-1≤a≤1}.(2)若关于x的不等式f(x)≤1存在实数解,则f(x)min≤1,又f(x)=|x+1-2a|+|x-a2|≥|(x+1-2a)-(x-a2)|=(a-1)2,所以(a-1)2≤1,解得0≤a≤2,所以实数a的取值范围是{a|0≤a≤2}.5.解:(1)根据绝对值的意义可知,|x+1|+|x-1|表示数轴上的点x到点-1,1的距离之和,它的最小值为2,故不等式|x+1|+|x-1|≤2的解集为M=[-1,1].(2)∵x∈M,|y|≤,|z|≤,∴|x+2y-3z|≤|x|+2|y|+3|z|≤1+2×+3×=,∴|x+2y-3z|≤.6.解:(1)|x+2|+|x-1|表示数轴上的点x到点-2和1的距离之和.当x=-3或2时,f(x)=5,依据绝对值的几何意义可得f(x)≤5的解集为{x|-3≤x≤2}.(2)g(a)=+-.当a<0时,g(a)=--2a+1≥5,当且仅当a=-1时,等号成立,所以g(a)≤4无解;当0<a≤1时,g(a)=+2a-1,由g(a)≤4得2a2-5a+2≤0,解得≤a≤2,又因为0<a≤1,所以≤a≤1;当a>1时,g(a)=2a+1≤4,解得1<a≤.综上,a的取值范围是.7.解:(1)当a=0时,由f(x)≥g(x)得|2x+1|≥|x|,两边平方整理得3x2+4x+1≥0,解得x≤-1或x≥-, ∴原不等式的解集为--∪-.(2)由f(x)≤g(x)得a≥|2x+1|-|x|,令h(x)=|2x+1|-|x|,则h(x)=----故h(x)min=h-=-,从而实数a的取值范围为-.8.解:(1)当x<1时,f(x)=3-x-(2x-2)=-3x+5>10,解得x<-;当1≤x≤3时,f(x)=3-x+(2x-2)=x+1>10,解得x>9,不符合题意;当x>3时,f(x)=x-3+2x-2=3x-5>10,解得x>5.故原不等式的解集为-或.(2)由(1)知f(x)=--根据函数f(x)的图像(图略)可知,当x=1时,f(x)取得最小值,且f(1)=2,易知g(x)=|x-a|+|a+x|≥|x-a-(x+a)|=2|a|,∵对于任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2),∴2|a|≤2,∴-1≤a≤1,∴a的取值范围为[-1,1].课时作业(七十)1.解:(1)∵f(x)=|x+1|+|x-5|≥|x+1-x+5|=6,∴m=6.(2)证明:∵a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,c2+b2≥2cb,∴2(a2+b2+c2)≥2(ab+ac+bc),∴3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2,又m=6,∴a+b+c=6,∴a2+b2+c2≥12.2.解:(1)因为a2+b2-ab=3,所以a2+b2=3+ab≥2|ab|.①当ab≥0时,3+ab≥2ab,解得ab≤3,即0≤ab≤3;②当ab<0时,3+ab≥-2ab,解得ab≥-1,即-1≤ab<0.所以-1≤ab≤3,则0≤3-ab≤4,而(a-b)2=a2+b2-2ab=3+ab-2ab=3-ab,所以0≤(a-b)2≤4,即-2≤a-b≤2.(2)证明:由(1)知0<ab≤3,因为++-=-+=-+=-+=3-=3-≥0, 当且仅当ab=2时取等号,所以++≥.3.解:(1)f(x)=----根据函数f(x)的单调性可知,f(x)min=f=,所以函数f(x)的值域M=.(2)因为a∈M,所以a≥,所以0<≤1,|a-1|+|a+1|=a-1+a+1=2a≥3.--=-=--,由a≥,知a-1>0,4a-3>0,所以-->0,所以>-2a,所以|a-1|+|a+1|>>-2a.4.解:(1)当x≤-5时,由-(x+5)+(x-1)≤x得-6≤x≤-5;当-5<x<1时,由(x+5)+(x-1)≤x得-5<x≤-4;当x≥1时,由(x+5)-(x-1)≤x得x≥6.因此f(x)≤x的解集为{x|-6≤x≤-4或x≥6}.(2)易知k=6,则由lg a+lg(2b)=lg(a+4b+k)⇒2ab=a+4b+6⇒2ab≥4+6⇒ab-2-3≥0⇒(-3)(+1)≥0⇒≥3⇒ab≥9,所以ab的最小值为9.5.解:(1)证明:a4+6a2b2+b4-4ab(a2+b2)=(a2+b2)2-4ab(a2+b2)+4a2b2=(a2+b2-2ab)2=(a-b)4,因为(a-b)4≥0,所以a4+6a2b2+b4≥4ab(a2+b2).(2)f(x)=|2x-a4+(1-6a2b2-b4)|+2|x-(2a3b+2ab3-1)|=|2x-a4+(1-6a2b2-b4)|+|2x-2(2a3b+2ab3-1)|≥|[2x-2(2a3b+2ab3-1)]-[2x-a4+(1-6a2b2-b4)]|=|(a-b)4+1|≥1,即f(x)min=1.6.解:(1)f(x)=2|x+1|-|x-1|=----画出f(x)的图像(图略)可知,当f(x)=1时,x=0或x=-4,f(x)在x=-1时取得最小值-2,最小值对应的点为(-1,-2),所以围成的封闭图形为三角形,且三角形的底为4,高为3,所以面积m=6.(2)由(1)知m=6,所以b=,即ab=6.若a>b,则-=a-b+-=a-b+-≥4,当且仅当a-b=-时,取等号;若a<b,则-=a-b+-=a-b+-≤-4,当且仅当a-b=-时,取等号.所以-的取值范围为(-∞,-4∪[4,+∞).7.解:(1)f(x)=|x+a|-|x-b|+c≤|b+a|+c,当且仅当x≥b时,等号成立,∵a>0,b>0,∴f(x)的最大值为a+b+c.又已知f(x)的最大值为10,∴a+b+c=10.(2)由(1)知a+b+c=10,由柯西不等式得(a-1)2+(b-2)2+(c-3)2(22+12+12)≥(a+b+c-6)2=16, 即(a-1)2+(b-2)2+(c-3)2≥,当且仅当(a-1)=b-2=c-3,即a=,b=,c=时,等号成立.故(a-1)2+(b-2)2+(c-3)2的最小值为,此时a=,b=,c=.8.证明:(1)因为|am+bn+cp|≤|am|+|bn|+|cp|,a2+b2+c2=1,m2+n2+p2=1,所以|am|+|bn|+|cp|≤++==1,所以|am+bn+cp|≤1.(2)因为a2+b2+c2=1,m2+n2+p2=1,所以++=(a2+b2+c2)≥=(m2+n2+p2)2=1,所以++≥1.。
全品高考复习方案数学答案
第一章：线性代数1.1 矩阵与线性方程组矩阵与线性方程组是线性代数的基础概念，掌握它们对于高考数学复习至关重要。
•线性方程组的解法：高斯消元法、矩阵的行变换、矩阵的逆等•矩阵的基本运算：矩阵的加法、减法、数乘和乘法•线性方程组与矩阵的关系：线性方程组可以用矩阵的形式表示1.2 行列式行列式是矩阵的一个重要性质，其计算方法需要通过一定的规则和性质来掌握。
•二阶和三阶行列式的计算方法•行列式的性质：行列式的性质包括行列式的性质、行列式的计算、行列式的应用等•行列式的逆方法：伴随矩阵法、初等变换法等1.3 向量向量是线性代数中的另一个重要概念，涉及到向量的加法、减法、数量乘法、内积、外积等操作。
•向量的基本运算：向量的加法、减法、数量乘法•向量的内积和外积：内积的定义和性质、外积的定义和性质•平面向量与空间向量：平面向量和空间向量的定义、运算规则和几何意义第二章：数列与数学归纳法2.1 数列数列是一种按照一定规律排列的数的集合，高考中常涉及到等差数列和等比数列。
•等差数列的性质：等差数列的前n项和、通项公式等•等比数列的性质：等比数列的前n项和、通项公式等•数列求和问题的解法：利用等差数列或等比数列的性质求解数列求和问题2.2 数学归纳法数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，掌握它对于高考数学复习至关重要。
•数学归纳法的基本思想和原理•数学归纳法的证明步骤和技巧•数学归纳法的应用：利用数学归纳法证明等差数列或等比数列的性质第三章：立体几何3.1 空间几何基础知识立体几何是高中数学中的一个重要分支，涉及到空间中点、线、面的性质和运算规则。
•空间点、线、面的定义和性质•空间几何中的距离和角度•空间几何中的垂足问题、垂直平分线问题和角平分线问题3.2 空间图形的性质与计算立体几何中的空间图形是高考中的热点考点，包括立体的体积、表面积、空间角的计算等。
•空间图形的体积计算•空间图形的表面积计算•空间角的计算和性质3.3 空间几何的投影立体几何的投影是高度考点，考察了几何图形在不同平面上的投影关系。
2019年全品高考复习方案理科数学第6单元 集合与常用逻辑用语测评答案-第六单元-不等式、推理与证明
全品高考复习方案数学(理科) RJA小题必刷卷(九)1.B[解析]因为c<d<0,所以<<0,即->->0,与a>b>0对应相乘得,->->0,所以<,故选B.2.D[解析]集合A=(1,3),B=,+∞,所以A∩B=,3.3.D[解析]由4-x2≥0得-2≤x≤2,所以A={x|-2≤x≤2};由1-x>0得x<1,所以B={x|x<1}.故A∩B={x|-2≤x<1},故选D.4.A[解析]可行域如图所示,当直线y=2x-z过点A-时,z取得最小值,且z min=-.5.D[解析]由于甲不知道自己的成绩,故乙、丙的成绩中一个为优秀、一个为良好,所以丁看到甲的成绩后一定能断定自己的成绩,乙看到丙的成绩后可以知道自己的成绩.故选D.6.C[解析]可行域如图所示,设z=x2+y2,联立-得-由图可知,当圆x2+y2=z过点(3,-1)时,z取得最大值,即(x2+y2)max=32+-=10.7.D[解析]设2x=3y=5z=t(t>1),则x=log2t,y=log3t,z=log5t,所以2x=2log2t=lo t,3y=3log3t=lo t,5z=5log5t=lo t,又t>1,所以上述三个值中底数大的反而小,故只需比较,,的大小即可.因为()6=8<9=()6,所以<.因为()15=35=243>125=()15,所以<.因为()10=32>25=()10,所以<,所以所以3y<2x<5z.8.B[解析]利用特殊值法检验排除,当a=2,b=时,选项A,C,D对应的不等式不成立,故选B.9.B[解析]不等式组表示的区域D如图中的阴影部分所示,设目标函数z=x+2y,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A(2,-1)处取得最小值,且z min=2-2=0,即x+2y的取值范围是[0,+∞),故命题p1,p2为真,命题p3,p4为假.10.A[解析]根据题意可知直线l1,l2的斜率存在且不为零,抛物线C的焦点F的坐标为(1,0),设直线l1的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2+,根据抛物线定义得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=4+.因为l2⊥l1,所以用-代替k,得|DE|=4+4k2,所以|AB|+|DE|=8+4≥8+4×2=16,当且仅当k=±1时,等号成立,故所求的最小值为16.11.[解析]根据正弦定理和a=2可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,故得b2+c2-a2=bc,根据余弦定理得cos A=-=,所以A=.根据b2+c2-a2=bc及基本不等式得bc≥2bc-a2,即bc≤4,所以△ABC面积的最大值为×4×=.12.3[解析]的几何意义为点(x,y)与坐标原点连线的斜率.画出可行域,如图中阴影部分所示.由-得C(1,3),由题易知可行域上的C点与坐标原点连线的斜率最大,且最大值为3.13.4 [解析] 由题意得a 2>0,b 2>0,ab>0,所以=≥=4ab+≥2 =4,当且仅当a 2=2b 2=时,等号成立.14.216 000 [解析] 设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件,利润之和为z 元,则即目标函数为z=2100x+900y. 作出二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点,即可行域. 由图可知当直线z=2100x+900y 经过点M 时,z 取得最大值. 解方程组 得M 的坐标为(60,100),所以当x=60,y=100时,z max =2100×60+900×100=216 000.15.C [解析] 因为A={x|2x-x 2≥0}={x|0≤x ≤2},B={y|y ≥0且y ∈Z},所以A ∩B={0,1,2},故选C . 16.D [解析] 由指数函数y=c x 在R 上单调递减可得c a <c b ,选项A 错误;- -- = -- - <0,∴- <- ,选项B 错误;很明显ba c>0,ab c>0,且=-,∵a>b>1,∴>1,又∵0<c<1,∴ -<1,∴ba c <ab c ,选项C 错误.故选D .17.B [解析] ∵乙、丁两人的观点一致,∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假.若乙、丁两人说的是真话,则甲、丙两人说的是假话,由乙说真话推出丙是罪犯的结论,由甲说假话,推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论,矛盾.∴乙、丁两人说的是假话,而甲、丙两人说的是真话.由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯.故选B.18.A[解析]∵x>1,y>1,∴log2x>0,log2y>0.又∵log2x,,log2y成等比数列,∴=log2x·log2y.由基本不等式可得log2x+log2y≥2=,当且仅当log2x=log2y=时取等号,故log2(xy)≥,即xy≥,故选A.19.D[解析]约束条件--表示的可行域如图所示,令t=2x+y,当直线y=-2x+t经过点B(1,1)时,t取得最小值,最小值为2×1+1=3,此时z=lo(2x+y)取得最大值-1.20.D[解析]作出可行域如图所示,z=-=1+2×-.由图可知,-≤-1或-≥3,所以z=-的取值范围是(-∞,-1]∪[7,+∞),故选D.21.D[解析]由题意设BC=x(x>1),AC=t(t>0),则AB=AC-0.5=t-0.5.在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC cos 60°,即(t-0.5)2=t2+x2-tx,化简并整理得t=--(x>1),即t=x-1+-+2.因为x>1,所以t=x-1+-+2≥2+当且仅当x=1+时取等号,所以t的最小值为2+,故选D. 22.++…+<[解析]不等式左边共有n项相加,第n项是,不等式右边的数依次是,,,,…,.故第n个不等式是++…+<.23.11,60,61[解析]由前4组勾股数可得第5组勾股数的第一个数为11,第二、三个数为相邻的两个整数,可设为x,x+1,∴(x+1)2=112+x2⇒x=60,∴第5组勾股数的三个数依次是11,60,61.24.[解析]由题意得=,=⇒+=1⇒+=1⇒P1Q1=,=,=⇒+=1⇒+=1⇒P2Q2=,以此类推,可得P n Q n=.。
2019年全品高考复习方案理科数学第2单元 集合与常用逻辑用语听课答案-第二单元-函数、导数及其应用
全品高考复习方案数学(理科) RJA 第二单元函数、导数及其应用1.编写意图函数是高考内容的重要组成部分,是一轮复习的重点和难点.编写中注意到以下几个问题: (1)该部分内容是第一轮复习初始阶段的知识,因此在选题时注重以基础题为主,尽量避免选用综合性强、思维难度大的题目;(2)函数与方程、分类讨论、数形结合以及化归与转化等数学思想与方法在本单元中均有涉及;(3)突出了函数性质的综合应用;(4)有意识地将函数中的单调性、极值、最值问题与解析几何中的切线、最值问题和不等式的证明等进行交汇,特别是精选一些以导数为解题工具的典型函数问题、切线问题,充分体现导数的工具性.2.教学建议教学时,注意到如下几个问题:(1)重视教材的基础作用和示范作用.函数客观题一般直接来源于教材,往往就是课本的原题或变式题,主观题的生长点也是教材,在函数的复习备考中,要重视教材中一些有典型意义又有创新意识的题目,将其作为函数复习过程中的范例与习题,贯彻“源于课本,高于课本”的原则.(2)阐明知识系统,掌握内在联系.知识的整体性是切实掌握函数知识的重要标志,函数的概念、图像和性质是环环相扣、紧密相连、互相制约的,并形成了一个有序的网络化的知识体系,这就要求在复习过程中应在这个网络化的体系中去讲函数的概念、性质、公式以及例题,只有这样,学生对概念、性质的理解才是深刻的、全面的,记忆才是鲜明的、牢固的、生动的,应用起来才是灵活的、广泛的.(3)关注几类特殊函数.学生对抽象函数的理解较为困难,但抽象函数对培养学生的观察能力有十分重要的作用,应结合高考情况,予以适当关注,但选题不宜过难.分段函数是近几年高考命题的热点,在客观题和主观题中都有涉及,应给予重点关注.(4)在复习中要让学生明确导数作为一种工具在研究函数的变化率、单调性和极值等方面的作用,使学生掌握这种科学的工具,从而加深对函数的理解和直观认识.(5)重视渗透数学思想方法.函数这一部分重要的数学思想方法有函数与方程思想、分类讨论思想、等价转化思想和数形结合思想,数学方法有配方法、换元法、待定系数法、比较法以及构造法等.数学思想方法是以具体的知识为依托的,在复习教学中,要重视知识的形成过程,着重研究解题的思维过程,有意识地渗透思想方法,使学生从更高层次去领悟、把握、反思数学知识,增强数学意识,提高数学能力.3.课时安排本单元包括12讲、三个小题必刷卷、一个解答必刷卷.每讲建议1课时完成,其中第14讲4课时,三个小题必刷卷、一个解答必刷卷建议学生独立完成,本单元大约共需15课时.第4讲函数概念及其表示考试说明1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需求选择恰当的方法(如图像法,列表法,解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).考情分析考点 考查方向考例考查热度 函数与映射的概念 判断给出的对应是否为函数、映射★☆☆函数的定义域和值域 求函数的定义域、值域,根据定义域、值域确定参数值或者取值范围等★☆☆ 函数的解析式 确定函数的解析式 2015全国卷Ⅱ13 ★☆☆分段函数 求分段函数的值、解方程和不等式等2017全国卷Ⅲ15,2015全国卷Ⅰ10,2015全国Ⅱ5,2014全国卷Ⅰ15★★★真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2016·全国卷Ⅱ] 下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是 ( )A .y=xB .y=lg xC .y=2xD .y=√x[解析] D y=10lg x =x ,定义域与值域均为(0,+∞),只有选项D 满足题意.2.[2015·全国卷Ⅱ] 设函数f (x )={1+log 2(2-x),x <1,2x -1,x ≥1,则f (-2)+f (log 212)=( )A .3B .6C .9D .12[解析] C 因为f (-2)=1+log 24=3,f (log 212)=2(log 212-1)=6,所以f (-2)+f (log 212)=9,故选C . 3.[2017·全国卷Ⅲ] 设函数f (x )={x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f (x )+f (x -12)>1的x 的取值范围是 . [答案] (-14,+∞)[解析] f (x )={x +1,x ≤0,2x ,x >0,f (x )+f (x -12)>1,即f (x -12)>1-f (x ),由图像变换可画出y=f (x -12)与y=1-f (x )的大致图像如图所示:易得两图像的交点为(-14,14),则由图可知,满足f(x-12)>1-f(x)的x的取值范围为(-14,+∞).■[2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·山东卷]设f(x)={√x,0<x<1,2(x-1),x≥1.若f(a)=f(a+1),则f(1a)=()A.2B.4C.6D.8[解析] C当0<a<1时,a+1>1,由f(a)=f(a+1)得√a=2(a+1-1)=2a,解得a=14,此时f(1a)=f(4)=2×(4-1)=6; 当a≥1时,a+1≥2,由f(a)=f(a+1)得2(a-1)=2(a+1-1),此时方程无解.综上可知,f(1a)=6,故选C.2.[2017·天津卷]已知函数f(x)={|x|+2,x<1,x+2x,x≥1.设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥x2+a在R上恒成立,则a的取值范围是()A.[-2,2]B.[-2√3,2]C.[-2,2√3]D.[-2√3,2√3][解析] A方法一:由题意可知,函数y=f(x)的图像恒不在函数y=x2+a的图像下方,画出函数y=f(x)和函数y=x2的图像,如图所示.当a=0时,显然f (x )>x2+a ;当a<0时,函数y=x2+a 的图像由函数y=x 2的图像向右平移|2a|个单位得到,由图可知,当函数y=x 2+a 在x<-2a 部分的图像经过点(0,2)时,a 取得最小值,此时a=-2;当a>0时,函数y=x2+a 的图像由函数y=x 2的图像向左平移2a 个单位得到,由图可知,当函数y=x 2+a 在x>-2a 部分的图像经过点(0,2)或与函数y=f (x )在x>1部分的图像相切时,a 取得最大值,而经过点(0,2)时,a=2,当函数y=x 2+a 在x>-2a 部分的图像与函数y=f (x )在x>1部分的图像相切时,设切点为P (x 0,y 0)(x 0>1),因为x>1时,f'(x )=1-2x 2,则1-2x 02=12,解得x 0=2,所以y 0=3,又点P (2,3)在函数y=x2+a 在x>-2a 部分的图像上,所以22+a =3,解得a=2,因此a 的最大值为2.综上所述,a 的取值范围是[-2,2].方法二:不等式f (x )≥x2+a 转化为-f (x )≤x 2+a ≤f (x ),当x<1时,有-|x|-2≤x 2+a ≤|x|+2,即-|x|-2-x2≤a ≤|x|+2-x2.又∵当x<0时,-|x|-2-x 2=x2-2<-2,|x|+2-x2=-3x2+2>2,当0≤x<1时,-|x|-2-x2=-3x2-2≤-2,|x|+2-x 2=x2+2≥2,∴-2≤a ≤2;当x ≥1时,有-x-2x ≤x2+a ≤x+2x ,即-32x-2x ≤a ≤12x+2x ,又∵-32x-2x ≤-2√3,12x+2x ≥2,∴-2√3≤a ≤2.综上,-2≤a ≤2.3.[2016·江苏卷] 函数y=√3-2x -x 2的定义域是 .[答案] [-3,1][解析] 令3-2x-x 2≥0可得x 2+2x-3≤0,解得-3≤x ≤1,故所求函数的定义域为[-3,1]. 【课前双基巩固】 知识聚焦1.非空数集 非空集合 任意 唯一确定 任意 唯一确定 f :A →B f :A →B2.定义域 值域 定义域 值域3.解析法 图像法 列表法4.对应关系 对点演练1.④ [解析] ①②对于定义域内任给的一个数x ,可能有两个不同的y 值,不满足对应的唯一性,故①②错;③的定义域是空集,而函数的定义域是非空的数集,故③错;只有④表示函数.2.-1 [解析] 因为f (e)=ln e -2=-1,所以f [f (e)]=f (-1)=-1+a=2a ,解得a=-1.3.(-∞,-3)∪(-3,8] [解析] 要使函数有意义,则8-x ≥0且x+3≠0,即x ≤8且x ≠-3,所以其定义域是(-∞,-3)∪(-3,8].4.7 [解析] 值域C 可能为:只含有一个元素时有{a },{b },{c };有两个元素时,有{a ,b },{a ,c },{b ,c };有三个元素时有{a ,b ,c }.所以共有7种.5.③ [解析] 对于③,因为当x=4时,y=23×4=83∉Q ,所以③不是函数. 6.(-∞,-2]∪[0,10] [解析] ∵f (x )是分段函数,∴f (x )≥1应分段求解.当x<1时,f (x )≥1⇒(x+1)2≥1⇒x ≤-2或x ≥0,∴x ≤-2或0≤x<1. 当x ≥1时,f (x )≥1⇒4-√x -1≥1,即√x -1≤3,∴1≤x ≤10. 综上所述,x ≤-2或0≤x ≤10,即x ∈(-∞,-2]∪[0,10].7.x 2-1(x ≥0) [解析] 令t=√x ,则t ≥0,x=t 2,所以f (t )=t 2-1(t ≥0),即f (x )=x 2-1(x ≥0).8.9 [解析] 设函数y=x 2的定义域为D ,其值域为{1,4},D 的所有可能的个数,即是同族函数的个数,D 的所有可能为{-1,2},{-1,-2},{1,2},{1,-2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,2,-2},{1,2,-2},{-1,1,2,-2},共9个,故答案为9. 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)求出函数y=e ln x 的定义域和值域,再求出选项中的函数的定义域和值域,比较可得结论;(2)根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可.(1)C (2)C [解析] (1)函数y=e ln x 的定义域和值域均为(0,+∞).函数y=x 的定义域和值域都是R,不满足要求;函数y=ln x 的定义域为(0,+∞),值域为R,不满足要求;函数y=10x 的定义域为R,值域为(0,+∞),不满足要求;函数y=√x 的定义域和值域均为(0,+∞),满足要求.故选C .(2)由题意得{x +1≥0,6-3x >0,解得-1≤x<2,故函数的定义域是[-1,2).例2 [思路点拨] (1)依题意得出-1≤x 2-3<1,解之可得定义域;(2)由x ∈[-1,2],求得2x 的范围为12,4,再由12≤log 2x ≤4,即可求出函数的定义域.(1)(-2,-√2]∪[√2,2) (2)[√2,16] [解析] (1)由题意知{x 2-3≥-1,x 2-3<1,解得{x ≤-√2或x ≥√2,-2<x <2.所以函数的定义域为(-2,-√2]∪[√2,2). (2)由已知x ∈[-1,2],得2x ∈12,4,故f (x )的定义域为12,4,所以在函数y=f (log 2x )中,有12≤log 2x ≤4,解得√2≤x ≤16,故f (log 2x )的定义域为[√2,16].例3 [思路点拨] (1)根据函数有定义列出不等式组,求得定义域,再对a 分类讨论得a 的范围;(2)分m 等于0和不等于0两种情况分析.(1) B (2) [0,+∞) [解析] (1)函数f (x-a )+f (x+a )的定义域为 [a ,1+a ]∩[-a ,1-a ],当a ≥0时,应有a ≤1-a ,即0≤a ≤12;当a<0时,应有-a ≤1+a ,即-12≤a<0.所以a 的取值范围是-12,12.故选B .(2)当m=0时,y=√8,其定义域为R;当m ≠0时,由定义域为R 可知,mx 2-6mx+9m+8≥0对一切实数x 均成立,于是有{m >0,Δ=(-6m)2-4m(9m +8)≤0,解得m>0.综上可知,实数m 的取值范围为[0,+∞). 强化演练1.C [解析] 因为函数y=f (x )的定义域是[-2,3],所以-2≤2x-1≤3,可得-12≤x ≤2,即y=f (2x-1)的定义域是-12,2,故选C .2.A [解析] 函数y=f (x )的定义域是[0,2],要使函数g (x )有意义,可得{0≤2x ≤2,x -1≠0,解得0≤x<1,故选A .3.(0,1] [解析] 函数的定义域满足{1+1x >0,1-x 2≥0,解得{x >0或x <-1,-1≤x ≤1,∴0<x ≤1,故填(0,1].4.(-∞,-12)∪(12,+∞) [解析] 易知a=0不合题意.当a>0时,必有ax 2+x+a>0在R 上恒成立,即1-4a 2<0,所以a>12; 当a<0时,必有ax 2+x+a<0在R 上恒成立,即1-4a 2<0,所以a<-12.所以实数a 的取值范围是-∞,-12∪12,+∞.5.(-∞,-2]∪[12,1) [解析] 由已知得A={x|x<-1或x ≥1},B={x|(x-a-1)(x-2a )<0},由a<1得a+1>2a ,∴B={x|2a<x<a+1}.∵B ⊆A ,∴a+1≤-1或2a ≥1,∴a ≤-2或12≤a<1.∴a 的取值范围为a ≤-2或12≤a<1.例4 [思路点拨] (1)用换元法,令s=3x -1(s>-1),求出f (s )即可;(2)用待定系数法;(3)用构造法,根据已知方程构造含有f (x )和f (1x )的方程组.(1)ln 3x+1(x>-1) (2)12x 2-32x+5 (3)-38√x -18 [解析] (1)令s=3x -1(s>-1),则x=3s+1,所以f (s )=ln3s+1(s>-1),即f (x )=ln3x+1(x>-1).(2)设f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),由f (0)=5,得c=5,又f (x+1)-f (x )=a (x+1)2+b (x+1)+5-(ax 2+bx+5)=x-1,则2ax+a+b=x-1,所以{2a =1,a +b =-1, 即{a =12,b =-32.所以f (x )=12x 2-32x+5. (3)在f (x )=3√x ·f (1x )+1中,将x 换成1x ,则1x 换成x ,得f (1x )=3√1x ·f (x )+1,将该方程代入已知方程消去f (1x ),得f (x )=-38√x -18.变式题 (1)x 2-1(x ≥1) (2)-12x (x+1) (3)23lg(x+1)+13lg(1-x )(-1<x<1) [解析] (1)令√x +1=t (t ≥1),则x=(t-1)2,代入原式得f (t )=(t-1)2+2(t-1)=t 2-1,所以f (x )=x 2-1(x ≥1).(2)当-1≤x<0时,0≤x+1<1,由已知得f (x )=12f (x+1)=-12x (x+1).(3)当x ∈(-1,1)时,有2f (x )-f (-x )=lg(x+1)①.将x 换成-x ,则-x 换成x ,得2f (-x )-f (x )=lg(-x+1)②.由①②消去f (-x )得,f (x )=23lg(x+1)+13lg(1-x )(-1<x<1).例5 [思路点拨] (1)先求f (-1),再求f [f (-1)]的值;(2)根据自变量的不同取值选择不同的分段解析式求解.(1)√22 (2)4 [解析] (1)∵函数f (x )={1-2x ,x ≤0,x 12,x >0,∴f (-1)=1-2-1=12,f [f (-1)]=f (12)=(12)12=√22. (2)∵f (3)=f (9)=1+log 69,f (4)=1+log 64,∴f (3)+f (4)=2+log 636=4. 例6 [思路点拨] 分别就自变量在不同区间上分类求解.B [解析] 因为f (x )={2x -2,x ≥0,-x 2+3,x <0,所以若f (a )=2,则当a ≥0时,2a -2=2,解得a=2;当a<0时,-a 2+3=2,得a=-1.综上a 的取值为-1或2.例7 [思路点拨] (1)分a ≤0与a>0讨论求解不等式f (a )>12,得a 的范围;(2)利用分段函数化简,由里及外列出方程求解即可.(1)D (2)2 [解析] (1)当a ≤0时,2a >12,解得-1<a ≤0;当a>0时,lo g 13a>12,解得0<a<√33.∴a ∈(-1,0]∪0,√33,即a ∈-1,√33.(2)易知f (4)=0,则f [f (4)]=f (0)=1+13a 3=113,解得a=2.强化演练1.B [解析] ∵2+log 31<2+log 32<2+log 33,即2<2+log 32<3,∴f (2+log 32)=f (2+log 32+1)=f (3+log 32),又3<3+log 32<4,∴f (3+log 32)=(13)3+log 32=(13)3×(13)log 32=127×(3-1)log 32=127×3-log 32=127×3log 312=127×12=154,∴f (2+log 32)=154.2.B [解析] 由f (0)=2,f (-1)=3可得1+b=2,a -1+b=3,可得a=12,b=1,所以f (x )={log 13x,x >0,(12)x+1,x ≤0,那么f [f (-3)]=f (12)-3+1=f (9)=lo g 139=-2.3.B [解析] 当2-a ≥2,即a ≤0时,22-a-2-1=1,解得a=-1;当2-a<2,即a>0时,-log 2[3-(2-a )]=1,解得a=-12,不符合,舍去.所以a=-1.4.D [解析] ∵函数f (x )={2-2x ,x ≤-1,2x +2,x >-1,且f (a )≥2,∴{a ≤-1,2-2a ≥2或{a >-1,2a +2≥2,即a ≤-1或a ≥0.5.C [解析] 由已知函数和f [f (a )]=2f (a ),得f (a )≥1.若a<1,则3a-1≥1,解得a ≥23,此时23≤a<1;若a≥1,则2a ≥1,解得a ≥0,此时a ≥1.综上可知a ≥23,即a 的取值范围是[23,+∞).【备选理由】例1考查抽象函数的定义域问题;例2利用值域求参数,考查分段函数的图像与性质以及数形结合思想;例3考查分段函数与不等式的问题,体会数形结合思想在解题中的应用.1 [配合例2使用] 已知函数f (3-2x )的定义域为[-1,2],则函数f (x )的定义域为 . [答案] [-1,5][解析] 因为函数f (3-2x )的定义域为[-1,2],所以-1≤x ≤2,所以-4≤-2x ≤2,所以-1≤3-2x ≤5,所以f (x )的定义域为[-1,5].2 [配合例3使用] [2017·重庆二诊] 设函数f (x )={log 2(-x2),x ≤-1,-13x 2+43x +23,x >-1,若f (x )在区间[m ,4]上的值域为[-1,2],则实数m 的取值范围为 . [答案] [-8,-1][解析] 由题意,可以考虑采用数形结合法,作出函数f (x )的图像(如图),当x ≤-1时,函数f (x )=log 2(-x 2)单调递减,且最小值为f (-1)=-1,则令log 2(-x2)=2,解得x=-8;当x>-1时,函数f (x )=-13x 2+43x+23在(-1,2)上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,则最大值为f (2)=2,且f (4)=23<2,f (-1)= -1.综上得所求实数m 的取值范围为[-8,-1].3 [配合例7使用] 设函数f (x )={x 2+x,x <0,-x 2,x ≥0,若f [f (a )]≤2,则实数a 的取值范围是 . [答案] (-∞,√2][解析] 函数f (x )={x 2+x,x <0,-x 2,x ≥0的图像如图所示,由f [f (a )]≤2,可得 f (a )≥-2.当a<0时,f (a )=a 2+a=a+122-14≥-2恒成立;当a ≥0时,f (a )=-a 2≥-2,即a 2≤2,得0≤a ≤√2.则实数a 的取值范围是a ≤√2.第5讲 函数的单调性与最值考试说明 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数图像分析函数的性质.考情分析考点 考查方向 考例 考查热度 函数单调性 求函数单调区间、确定函数的单调性2017全国卷Ⅱ8★☆☆单调性 的应用 利用单调性比较大小、求最值,根据单调性确定参数的取值范围、求参数值,利用单调性求解不等式等 2017全国卷Ⅰ5, 2015全国卷Ⅱ12★★☆真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅱ] 函数f (x )=ln(x 2-2x-8)的单调递增区间是 ( ) A .(-∞,-2) B .(-∞,1) C .(1,+∞) D .(4,+∞)[解析] D 函数y=x 2-2x-8=(x-1)2-9图像的对称轴为直线x=1,由x 2-2x-8>0解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x 2-2x-8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f (x )=ln(x 2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞).2.[2017·全国卷Ⅰ] 函数f (x )在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f (1)=-1,则满足-1≤f (x-2)≤1的x 的取值范围是 ( ) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3][解析] D 因为f (x )为奇函数,所以f (-1)=1,不等式-1≤f (x-2)≤1,即f (1)≤f (x-2)≤f (-1),因为f (x )单调递减,所以-1≤x-2≤1,解得1≤x ≤3,故x 的取值范围为[1,3]. ■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·天津卷] 已知奇函数f (x )在R 上是增函数,g (x )=xf (x ).若a=g (-log 25.1),b=g (20.8),c=g (3),则a ,b ,c 的大小关系为 ( ) A .a<b<c B .c<b<a C .b<a<c D .b<c<a[解析] C 由函数f (x )为奇函数且在R 上单调递增,可知当x>0时,f (x )>0,∴g (x )=xf (x )为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,∴c=g (3)>a=g (-log 25.1)=g (log 25.1)>g (2),b=g (20.8)<g (2),∴b<a<c. 2.[2017·北京卷] 已知函数f (x )=3x -(13)x ,则f (x ) ( )A .是奇函数,且在R 上是增函数B .是偶函数,且在R 上是增函数C .是奇函数,且在R 上是减函数D .是偶函数,且在R 上是减函数 [解析] A因为f (-x )=3-x -(13)-x =(13)x -3x =-3x -(13)x =-f (x ),所以f (x )为奇函数.又因为y=3x 为增函数,y=(13)x为减函数,所以f (x )=3x -(13)x为增函数.故选A .3.[2017·山东卷] 若函数e x f (x )(e =2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增,则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是 ( ) A .f (x )=2-x B .f (x )=x 2 C .f (x )=3-x D .f (x )=cos x [解析] A 令g (x )=e x f (x ).对于A,f (x )的定义域为R,g (x )=e x 2-x =(e 2)x 在R 上单调递增,所以f (x )具有M 性质;对于B,f (x )的定义域为R,g (x )=e x x 2,g'(x )=e x x 2+2e x x=e x (x 2+2x )≥0在R 上不恒成立,所以g (x )在R 上不单调递增,所以f (x )不具有M 性质;对于C,f (x )的定义域为R,g (x )=e x 3-x =(e 3)x 在R 上单调递减,所以f (x )不具有M 性质;对于D,f (x )的定义域为R,g (x )=e x cos x ,g'(x )=e x cos x-e x sin x=e x (cos x-sin x )≥0在R 上不恒成立,所以g (x )在R 上不单调递增,所以f (x )不具有M 性质.故选A . 4.[2016·北京卷] 已知x ,y ∈R,且x>y>0,则 ( ) A .1x -1y >0 B .sin x-sin y>0 C .12x -12y<0 D .ln x+ln y>0[解析] C 选项A 中,因为x>y>0,所以1x <1y ,即1x -1y <0,故结论不成立;选项B 中,当x=5π6,y=π3时,sinx-sin y<0,故结论不成立;选项C 中,函数y=12x是定义在R 上的减函数,因为x>y>0,所以12x <12y ,所以12x -12y<0;选项D 中,当x=e -1,y=e -2时,结论不成立.5.[2017·江苏卷] 已知函数f (x )=x 3-2x+e x -1e x ,其中e 是自然对数的底数.若f (a-1)+f (2a 2)≤0,则实数a 的取值范围是 . [答案] [-1,12][解析] 因为f (-x )=-x 3+2x+e -x -e x =-f (x ),f (0)=0,所以f (x )是奇函数,则f (a-1)+f (2a 2)≤0可化为f (2a 2)≤f (1-a ).又f'(x )=3x 2-2+e x +e -x ≥3x 2-2+2√e x ·e -x =3x 2≥0,所以f (x )在R 上单调递增,则2a 2≤1-a ,即-1≤a ≤12.【课前双基巩固】 知识聚焦1.f (x 1)<f (x 2) f (x 1)>f (x 2) 上升的 下降的2.增函数或减函数 区间D3.f (x )≥M f (x 0)=M 对点演练1.a<12[解析] 当2a-1<0,即a<12时,f (x )是R 上的减函数.2.(2,3] [-3,2] [解析] 由函数f (x )=(x-2)2+5(x ∈[-3,3])的图像即可得到单调区间.3.32 [解析] 函数f (x )=3x+1在[2,5]上是减函数,所以最大值为f (2)=1,最小值为f (5)=12.所以最大值与最小值之和为1+12=32.4.a ≤2 [解析] 因为函数f (x )=|x-a|+1的单调递增区间是[a ,+∞),当f (x )在[2,+∞)上单调递增时,满足[2,+∞)⊆[a ,+∞),所以a ≤2.5.[32,4) [解析]函数f (x )的定义域是(-1,4),u (x )=-x 2+3x+4=-(x -32)2+254,x ∈(-1,4)的单调递减区间为[32,4),∴函数f (x )的单调递减区间为[32,4).6.(-∞,138] [解析] 由题知函数f (x )是R 上的减函数,于是有{a -2<0,(a -2)×2≤(12)2-1,由此解得a ≤138,即实数a 的取值范围是(-∞,138] . 7.[-1,1) [解析] 由条件知{-2≤a +1≤2,-2≤2a ≤2,a +1>2a,解得-1≤a<1.8.(1)a ≤-3 (2) -3 [解析] (1)函数图像的对称轴为直线x=1-a ,由1-a ≥4,得a ≤-3. (2)函数图像的对称轴为直线x=1-a ,由1-a=4,得a=-3. 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] 直接判断单调性即可,按照单调性的定义证明单调性. 解:该函数在(-1,1)上单调递减.证明如下: 设-1<x 1<x 2<1,则f (x 1)-f (x 2)=ax 1x 12-1-ax 2x 22-1=ax 1x 22-ax 1-ax 2x 12+ax 2(x 12-1)(x 22-1)=a(x 2-x 1)(x 1x 2+1)(x 12-1)(x 22-1).∵-1<x 1<x 2<1,∴x 2-x 1>0,x 1x 2+1>0,(x 12-1)(x 22-1)>0.又a>0,∴f (x 1)-f (x 2)>0,函数f (x )在(-1,1)上单调递减.变式题 C [解析] 对于A,在(0,+∞)上单调递减,故A 错;对于B,在(0,+∞)上先减后增,故B 错;对于C,在(0,+∞)上单调递增,故C 对;对于D,在(0,+∞)上单调递减,故D 错.选C .例2 [思路点拨] (1)先求出函数y=x 2-2x-8在y>0时的单调递增区间,再根据复合函数的单调性的性质判断f (x )的单调性;(2)作出函数g (x )的图像,由图像可得单调区间.(1)D (2)[0,1) [解析] (1)函数y=x 2-2x-8=(x-1)2-9图像的对称轴为直线x=1,由x 2-2x-8>0解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x 2-2x-8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f (x )=ln(x 2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞).(2)由题意知g (x )={x 2,x >1,0,x =1,-x 2,x <1,该函数图像如图所示,其单调递减区间是[0,1).变式题 (1)B (2)(-∞,2] [解析] (1)令t=2x 2-3x+2,则y=(14)t,由复合函数的单调性易知在(-∞,34]上单调递增,故选B .(2)因为f (x )在R 上单调递增,所以a-1>0,即a>1,因此g (x )的单调递减区间就是y=|x-2|的单调递减区间(-∞,2].例3 [思路点拨] (1)转化为同底的指数函数、对数函数,依据它们的单调性比较大小;(2)由已知可知f (x )-ln x 为定值,设为t ,则f (x )=ln x+t ,求出t ,再结合函数的单调性分析可得答案. (1)C (2)c>a>b [解析] (1)因为a=log 52<log 5√5=12,b=(32)57>(32)0=1,c=log 73∈(log 7√7,log 77)即c ∈12,1,故b>c>a.故选C .(2)根据题意,对任意的x ∈(0,+∞),都有f [f (x )-ln x ]=e +1,又由f (x )是定义在(0,+∞)上的单调函数,则f (x )-ln x 为定值,设t=f (x )-ln x ,则f (x )=ln x+t.又由f (t )=e +1,即ln t+t=e +1,解得t=e,则f (x )=lnx+e(x>0),则f (x )为增函数.又由(12)13=√123=√146,(13)12=√13=√1276,log 2π>1,则有(13)12<(12)13<log 2π,则有c>a>b.例4 [思路点拨] (1)构造函数,利用单调性把求解的不等式中的函数符号去掉,得出一般的不等式,解该不等式;(2)可判断出f (x )为增函数,于是可将函数不等式转化为常规不等式. (1)D (2)(1,2) [解析] (1)由已知条件知,f (x 1)-x 1<f (x 2)-x 2对任意x 1<x 2恒成立,故函数g (x )=f (x )-x 为R 上的增函数,且g (-3)=f (-3)-(-3)=-1.不等式f (log 12|3x -1|)>lo g 12|3x -1|-1,即f (log 12|3x -1|)-lo g 12|3x -1|>-1,即g (lo g 12|3x -1|)>g (-3),所以lo g 12|3x -1|>-3,得0<|3x -1|<8,解得x<2且x ≠0,故所求不等式的解集为(-∞,0)∪(0,2).(2)因为y=e x ,y=x 3在R 上均为增函数,所以函数f (x )为增函数,所以不等式f (x 2)<f (3x-2)等价于x 2<3x-2,即x 2-3x+2<0⇔1<x<2,故x ∈(1,2).例5 [思路点拨] 变换函数解析式,利用常见函数的单调性确定f (x )的单调性,从而得到函数的最大值和最小值. 4033 [解析] f (x )=2017x+1+20162017x +1+2016sin x=2017x+1+2017-12017x +1+2016sin x=2017-12017x +1+2016sin x.显然该函数在区间-π2,π2上单调递增,故最大值为f π2,最小值为f -π2,所以M+N=fπ2+f -π2=2017-12017π2+1+2016+2017-12017-π2+1-2016=4034-12017π2+1-2017π21+2017π2=4034-1=4033.例6 [思路点拨] 根据一次函数以及指数函数的单调性得到不等式组,解出即可. D [解析] 由题意得{3-a >0,a >1,3-a ≤a,解得32≤a<3,故选D .强化演练1.B [解析] 根据题意可知,函数f (x )在(0,+∞)上单调递减.而1<log 47<log 49=log 23,0<0.20.6<0.20=1,所以log 23>log 47>0.20.6,所以b<a<c.2.(-√5,-2)∪(2,√5) [解析] 因为函数f (x )=ln x+2x 在定义域上单调递增,且f (1)=ln 1+2=2,所以由f (x 2-4)<2得f (x 2-4)<f (1),所以0<x 2-4<1,解得-√5<x<-2或2<x<√5.3.1 [解析] 当x>1时,y=lo g 13x 是减函数,得y<0;当x ≤1时,y=-x 2+2x=-(x-1)2+1在(-∞,1]上单调递增,得y ≤1.综上得f (x )的最大值是1.4.1 [解析] ∵f (1+x )=f (1-x ),∴f (x )的图像关于直线x=1对称,∵函数f (x )=2|x-a|(a ∈R)的图像以直线x=a 为对称轴,∴a=1,∴f (x )在[1,+∞)上单调递增.∵f (x )在[m ,+∞)上单调递增,∴m ≥1,则m 的最小值为1.5.a ≥-12 [解析] 若函数f (x )=ln(ax 2+x )在区间(0,1)上单调递增,则函数g (x )=ax 2+x 在(0,1)上单调递增且g (x )>0恒成立.当a=0时,g (x )=x 在(0,1)上单调递增且g (x )>0,符合题意;当a>0时,g (x )图像的对称轴为x=-12a <0,且有g (x )>0,所以g (x )在(0,1)上单调递增,符合题意;当a<0时,需满足g (x )图像的对称轴x=-12a ≥1,且有g (x )>0,解得a ≥-12,则-12≤a<0.综上,a ≥-12.【备选理由】例1为抽象函数单调性的判断与证明问题,目的是让学生掌握抽象函数单调性的解决方法;例2为利用指数函数、对数函数的单调性比较大小问题;例3为利用分段函数的单调性解决不等式恒成立问题,需要对所给函数的单调性进行判断,进而将所要求解的不等式转化为常规不等式.1 [配合例1使用] [2018·南阳一中月考] 已知x ≠0时,函数f (x )>0,对任意实数x ,y 都有f (xy )=f (x )f (y ),且f (27)=9,当0≤x<1时,f (x )∈[0,1).(1)判断f (x )在[0,+∞)上的单调性,并给出证明; (2)若a ≥0且f (a+1)≤√93,求a 的取值范围. 解:(1)f (x )在[0,+∞)上单调递增.证明如下: 设0≤x 1<x 2,∴0≤x 1x 2<1,f (x 1)=f (x 1x 2·x 2)=f (x1x 2)·f (x 2).∵当0≤x<1时,f (x )∈[0,1),∴f (x1x 2)<1,∴f (x 1)<f (x 2),故f (x )在(0,+∞)上单调递增.(2)∵f (27)=9,又f (3×9)=f (3)·f (9)= f (3)·f (3)·f (3)=[f (3)]3,∴9=[f (3)]3,即f (3)=√93.∵f (a+1)≤√93,∴f (a+1)≤f (3). ∵a ≥0,∴a+1∈[1,+∞),∴a+1≤3, 即a ≤2,又a ≥0,故0≤a ≤2.2 [配合例3使用] [2017·重庆第二外国语学校月考] 设a=(53)16,b=(35)-15,c=ln 23,则a ,b ,c 的大小关系是 ( ) A .a>b>c B .b>a>cC .b>c>aD .a>c>b[解析] B ∵0<a=(53)16<b=(35)-15=(53)15,c=ln 23<ln 1=0,∴b>a>c.3 [配合例4使用] [2017·长安一中质检] 已知f (x )={x 2-4x +3,x ≤0,-x 2-2x +3,x >0,不等式f (x+a )>f (2a-x )在[a ,a+1]上恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,-2)B .(-∞,0)C .(0,2)D .(-2,0)[解析] A 二次函数y=x 2-4x+3图像的对称轴是直线x=2,∴该函数在(-∞,0]上单调递减,∴x 2-4x+3≥3,同样可知函数y=-x 2-2x+3在(0,+∞)上单调递减,∴-x 2-2x+3<3,∴f (x )在R 上单调递减.∴由f (x+a )>f (2a-x )得到x+a<2a-x ,即2x<a ,∴2x<a 在[a ,a+1]上恒成立,∴2(a+1)<a ,∴a<-2,∴实数a 的取值范围是(-∞,-2).故选A .第6讲 函数的奇偶性与周期性考试说明 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.考情分析考点 考查方向考例考查热度 函数奇偶性的判断 判断给出的函数的奇偶性 2014全国卷Ⅰ3 ★★☆ 函数奇偶性的应用 已知奇偶性求参数值、函数值等2017全国卷Ⅱ14,2017全国卷Ⅰ5,2015全国卷Ⅰ13 ★★☆ 函数周期性及其应用 判断函数的周期、利用周期性求函数值等★☆☆真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅰ] 函数f (x )在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f (1)=-1,则满足-1≤f (x-2)≤1的x 的取值范围是 ( ) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3][解析] D 因为f (x )为奇函数,所以f (-1)=1,不等式-1≤f (x-2)≤1,即f (1)≤f (x-2)≤f (-1),因为f (x )单调递减,所以-1≤x-2≤1,解得1≤x ≤3,故x 的取值范围为[1,3].2.[2014·全国卷Ⅰ] 设函数f (x ),g (x )的定义域都为R,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,则下列结论中正确的是 ( ) A .f (x )g (x )是偶函数 B .|f (x )|g (x )是奇函数 C .f (x )|g (x )|是奇函数 D .|f (x )g (x )|是奇函数[解析] C 由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为C .3.[2017·全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ∈(-∞,0)时,f (x )=2x 3+x 2,则f (2)= . [答案] 12[解析] 因为函数f (x )为奇函数,所以f (2)=-f (-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12. 4.[2015·全国卷Ⅰ] 若函数f (x )=x ln(x+√a +x 2)为偶函数,则a= . [答案] 1[解析] 由f (-x )=f (x )得-x ln(-x+√a +x 2)=x ln(x+√a +x 2),即x [ln(x+√a +x 2)+ln(-x+√a +x 2)]=x ln a=0对定义域内的任意x 恒成立,因为x 不恒为0,所以ln a=0,所以a=1.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题 1.[2017·北京卷] 已知函数f (x )=3x -(13)x ,则f (x ) ()A .是奇函数,且在R 上是增函数B .是偶函数,且在R 上是增函数C .是奇函数,且在R 上是减函数D .是偶函数,且在R 上是减函数[解析] A 因为f (-x )=3-x -(13)-x=(13)x-3x =-3x -(13)x=-f (x ),所以f (x )为奇函数.又因为y=3x 为增函数,y=(13)x为减函数,所以f (x )=3x -(13)x 为增函数.故选A .2.[2016·山东卷] 已知函数f (x )的定义域为R .当x<0时,f (x )=x 3-1;当-1≤x ≤1时,f (-x )=-f (x );当x>12时,f x+12=f x-12.则f (6)= ( )A .-2B .-1C .0D .2[解析] D ∵当x>12时,f x+12=f x-12,∴f (x )的周期为1,则f (6)=f (1).又∵当-1≤x ≤1时,f (-x )=-f (x ),∴f (1)=-f (-1).又∵当x<0时,f (x )=x 3-1,∴f (-1)=(-1)3-1=-2,∴f (6)=-f (-1)=2.3.[2017·山东卷] 已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x+4)=f (x-2).若当x ∈[-3,0] 时,f (x )=6-x ,则f (919)= . [答案] 6[解析] 由f (x+4)=f (x-2)可知周期T=6,所以f (919)=f (153×6+1)=f (1),又因为f (x )为偶函数,所以f (1)=f (-1)=6-(-1)=6.4.[2016·江苏卷] 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f (x )={x +a,-1≤x <0,|25-x|,0≤x <1,其中a ∈R .若f -52=f 92,则f (5a )的值是 .[答案] -25[解析] 因为f (x )的周期为2,所以f -52=f -12=-12+a ,f92=f12=110,即-12+a=110,所以a=35,故f (5a )=f (3)=f (-1)=-25.5.[2016·四川卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f (x )=4x ,则f-52+f (1)= .[答案] -2[解析] 因为f (x )是周期为2的函数,所以f (x )=f (x+2).因为f (x )是奇函数,所以f (x )=-f (-x ), 所以f (1)=f (-1),f (1)=-f (-1),即f (1)=0. 又f (-52)=f (-12)=-f (12),f12=412=2,所以f (-52)=-2,从而f (-52)+f (1)=-2.【课前双基巩固】 知识聚焦1.f (-x )=f (x ) f (-x )=-f (x ) y 轴 原点2.f (x+T )=f (x ) 最小的正数 最小正数 对点演练1.2 [解析] f (x )=x 2-1和f (x )=x 2+cos x 为偶函数.2.减 减 [解析] 根据奇偶函数图像的对称性可得.3.1-√2 [解析] f (-2)=-f (2)=-(√2-1)=1-√2.4.1 [解析] 因为f (x+3)=f (x ),所以f (x )是以3为周期的周期函数,所以f (2017)=f (672×3+1)=f (1)=log 4(12+3)=1.5.奇 [解析] 由{1-x 2>0,|x +3|-3≠0,得-1<x<1且x ≠0,∴函数f (x )的定义域为(-1,0)∪(0,1).∴f (x )=lg(1-x 2)|x+3|-3=lg(1-x 2)x,∴f (-x )=lg(1-x 2)-x =-f (x ),∴f (x )是奇函数.6.①③ [解析] 对于①,f (1x )=1x -x=-f (x ),满足题意;对于②,f (1x )=1x +11x=f (x )≠-f (x ),不满足题意;对于③,f (1x )={ 1x ,0<1x <1,0,1x =1,-x,1x>1,即f (1x )={1x ,x >1,0,x =1,-x,0<x <1,故f (1x)=-f (x ),满足题意.7.2 [解析] ∵f (x )=-f (x +32),∴f (x+3)=f [(x +32)+32]=-f (x +32)=f (x ),∴f (2017)=f (3×672+1)=f (1)=2.8.{x 2+4x -3,x >0,0,x =0,-x 2+4x +3,x <0 [解析] 设x<0,则-x>0,所以f (x )=-f (-x )=-[(-x )2+4(-x )-3]=-x 2+4x+3,由奇函数的定义可知f (0)=0,所以f (x )= {x 2+4x -3,x >0,0,x =0,-x 2+4x +3,x <0.【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)利用函数奇偶性的性质直接判断;(2)对于①②两个函数,先求定义域,再等价化简函数解析式,然后用奇偶性的性质判断,对于③可用图像法判断.(1)C (2)C [解析] (1)因为f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,所以有f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ),于是f (-x )·g (-x )=-f (x )g (x ),即f (x )g (x )为奇函数,A 错误;|f (-x )|g (-x )=|f (x )|g (x ),即|f (x )|g (x )为偶函数,B 错误;f (-x )|g (-x )|=-f (x )|g (x )|,即f (x )|g (x )|为奇函数,C 正确;|f (-x )g (-x )|=|f (x )g (x )|,即|f (x )g (x )|为偶函数,所以D 错误.故选C .(2)①中,易知函数的定义域为{-√2,√2},所以f (x )=0,所以f (-x )=-f (x )且f (-x )=f (x ),所以①既是奇函数又是偶函数;②中,由{1-x 2>0,|x -3|-3≠0得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称,所以x-3<0,所以f (x )=ln(1-x 2)-x,验证知f (-x )=-f (x )成立,所以②是奇函数;作出图像(图略),知③是奇函数.故选C .变式题 (1)A (2)D [解析] (1)易知h (x )=f (x )+g (x )的定义域为{x|x ≠0}.因为f (-x )+g (-x )=-x 2-x -1+-x2=-x ·2x 1-2x -x 2=x(1-2x )-x 1-2x-x2=x 2x -1+x2=f (x )+g (x ),所以h (x )=f (x )+g (x )是偶函数.故选A .(2)对于选项A,函数的定义域为R,f (-x )=-x+sin 2(-x )=-(x+sin 2x )=-f (x ),所以f (x )=x+sin 2x 为奇函数;对于选项B,函数的定义域为R,f (-x )=(-x )2-cos(-x )=x 2-cos x=f (x ),所以f (x )=x 2-cos x 为偶函数;对于选项C,函数的定义域为R,f (-x )=3-x -13-x =-3x -13x=-f (x ),所以f (x )=3x -13x 为奇函数;只有f (x )=x 2+tan x 既不是奇函数也不是偶函数.故选D . 例2 [思路点拨] (1)先确定函数f (x )在0,32上的零点情况,再据周期性确定在区间(0,6]上的零点个数;(2)由条件f (x+2)=1-f(x)可得出函数的周期为4,再求f (2018).(1)B (2)A [解析] (1)由f x-34=f x+34得f x+32=f (x ),即函数是周期为32的周期函数.∵当x∈0,32时,f (x )=ln(x 2-x+1),令f (x )=0,得x 2-x+1=1,解得x=1(x=0舍去),又∵函数f (x )的周期为32,∴方程f (x )=0在区间(0,6]上的解有1,52,4,112,共4个.(2) 由f (x+2)=1-f(x),得f (x+4)=1-f(x+2)=f (x ),所以函数f (x )的周期为4,所以f (2018)=f (2).因为f (2+2)=1-f(2),所以f (2)=-1f(4)=-2-√3=-2-√3.故f (2018)=-2-√3.变式题 803 [解析] 依题意,f (1)=f (1+3)=f (4)=3×4-1=11,f (2)=3×2-1=5,f (3)=3×3-1=8,所以f (1)+f (2)+f (3)=24,所以f (1)+f (2)+f (3)+…+f (100)=33[f (1)+f (2)+f (3)]+f (100)=33×24+f (1)=792+11=803.例3 [思路点拨] (1)利用偶函数将求f (-√2)转化为求f (√2);(2)观察函数的结构可整理成含有一个奇函数与一个常函数的和的形式,根据奇函数的最大值与最小值和为零求值.(1)B (2)C [解析] (1)∵f (x )为偶函数,∴f (-√2)=f (√2),又当x>0时,f (x )=log 2x ,∴f (√2)=log 2√2=12,即f (-√2)=12.(2)f (x )=2·(2|x|+1)+x 32|x|+1=2+x 32|x|+1,设g (x )=x 32|x|+1,∵g (-x )=-g (x ),∴g (x )为奇函数,∴g (x )max +g (x )min =0.∵M=f (x )max =2+g (x )max ,m=f (x )min =2+g (x )min ,∴M+m=2+g (x )max +2+g (x )min =4.例4 [思路点拨] (1)函数只有一个零点,所以f (2x 2+1)+f (λ-x )=0有唯一解,即f (2x 2+1)=f (x-λ)有唯一解,再求解;(2)函数为偶函数,所以不等式f (a-2)>0等价为f (|a-2|)>f (2),再据单调性求解.(1)C (2)D [解析] (1)令y=f (2x 2+1)+f (λ-x )=0,因为f (x )是奇函数,所以f (2x 2+1)=-f (λ-x )=f (x-λ).又因为f (x )是R 上的单调函数,所以2x 2+1=x-λ只有一个根,即2x 2-x+1+λ=0只有一个根,则Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-78.(2)∵偶函数f (x )满足f (x )=2x -4(x ≥0),∴函数f (x )在[0,+∞)上为增函数,f (2)=0,∴不等式f (a-2)>0等价为f (|a-2|)>f (2),即|a-2|>2,即a-2>2或a-2<-2,解得a>4或a<0.例5 [思路点拨] (1)由f (x )是奇函数且f (x+1)为偶函数,可得出函数是周期为4的周期函数;(2)由题意可得偶函数y=f (x )是周期为4的函数,f (x )=sin |x|是偶函数,作出函数的图像,两函数图像交点的个数即为所求根的个数.(1)B (2)10 [解析] (1)∵f (x )为R 上的奇函数,∴f (0)=0,且有f (x )=-f (-x ),即有f (x+1)=-f (-x-1),又∵f (x+1)为偶函数,∴f (x+1)=f (-x+1),∴f (-x+1)=-f (-x-1),即f (x+1)=-f (x-1),∴f (x+2)=f (x+1+1)=-f (x ),∴f (x+4)=f (x ),∴f (x )是周期为4的周期函数,∴f (2016)+f (2017)=f (504×4)+f (1+504×4)=f (0)+f (1)=0+1=1.(2)∵函数y=f (x )为偶函数,且满足f (x+2)=-f (x ),∴f (x+4)=f (x+2+2)=-f (x+2)=f (x ),∴偶函数y=f (x )是周期为4的函数.由x ∈[0,2]时,f (x )=2-x 2可作出函数f (x )在[-10,10]上的图像,同时作出函数y=sin |x|在[-10,10]上的图像,交点个数即为所求根的个数.数形结合可得交点个数为10.例6 [思路点拨] (1)由函数f (x )是偶函数和周期函数,得出函数在[3,6]上的单调性,再进行判断;(2)由已知得出函数在x ∈0,12时单调递增,且f (x )>0,进而根据奇函数得出x ∈-12,0时的单调情况,再据周期性得出在区间1,32上的情况.(1)B (2)D [解析] (1)依题意知,f (x )是偶函数,且是以6为周期的周期函数.因为当x ∈[0,3]时,f (x )单调递增,所以f (x )在[-3,0]上单调递减.根据函数周期性知,函数f (x )在[3,6]上单调递减.又因为[4,5]⊆[3,6],所以函数f (x )在[4,5]上单调递减.(2)当x ∈0,12时,由f (x )=lo g 12(1-x )可知f (x )单调递增且f (x )>0,又函数为奇函数,所以在区间-12,0上函数也单调递增,且f (x )<0.由f x+32=f (x )知,函数的周期为32,所以在区间1,32上,函数单调递增且f (x )<0.故选D . 强化演练1.B [解析] 由y=f (-x )和y=f (x+2)是偶函数知f (-x )=f (x ),f (x+2)=f (-x+2)=f (x-2),故f (x )=f (x+4),则F (3)=f (3)+f (-3)=2f (3)=2f (-1)=2f (1)=2π3,故选B .2.D [解析] 根据题意,f (x )为偶函数且在[0,+∞)上单调递增,则f (ln x )<f (2)⇔|ln x|<2,即-2<ln x<2,解得e -2<x<e 2,即x 的取值范围是(e -2,e 2).3.D [解析] 因为f (x )满足f (x-4)=-f (x ),所以f (x-8)=f (x ),所以函数f (x )是以8为周期的周期函数,则f (-25)=f (-1),f (80)=f (0),f (11)=f (3).由f (x )是定义在R 上的奇函数,且满足f (x-4)=-f (x ),得。
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参考答案(作业手册)专题限时集训(一)【基础演练】1．C [解析] 由∁U B ＝{1，2}可得，集合B 中含有3，但一定不含1，2，故A ∩B ＝{3}．2．C [解析] 全称命题的否定是特称命题，否定结论并改写量词．由题意知命题“对任意x ∈R ，都有x 3＞x 2”的否定是“存在x 0∈R ，使得x 30≤x 20”．3．B [解析] 易知p ：x ＝3或x ＝4，q ：x ＝3，可知q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．4．D [解析] 集合M ＝[0，1]，集合N ＝(0，＋∞)，所以M ∩N ＝(0，1]．5．4 [解析] 由题意得B ＝{}x |x 2－x ＝0＝{x |x ()x －1＝0}＝{}0，1，因此A ∩B ＝{}0，1，所以集合A ∩B 的子集个数是22＝4．【提升训练】6．A [解析] 阴影部分表示的集合为N ∩(∁I M )，而∁I M ＝{1，2，6}，N ＝{1，2，3，4}，所以阴影部分对应的集合N ∩(∁I M )＝{1，2}．7．C [解析] 集合A ＝{－1，1}，所以满足A ∪B ＝{－1，0，1}的集合B 有{0}，{0，1}，{0，－1}，{0，－1，1}，共4个．8．D [解析] 否定的结论为条件，否定的条件为结论构成的命题为逆否命题，即“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”．9．B [解析] 集合M ＝[0，＋∞)，集合N ＝(－∞，1)，所以M ∩N ＝[0，1)．10．A [解析] ∵M ＝{0，3}，N ＝{…，－1，1，3，…}，∴M ∩N ＝{3}．11．B [解析] 因为0＜a ＜1b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b ＞0，ab ＜1，所以“ab ＜1” 是“0＜a ＜1b ”的必要不充分条件．12．A [解析] 根据指数函数的性质知，①不正确；根据指数函数、二次函数的性质知，②不正确，如x ＝2时，2x ＝x 2；③中，集合A ＝(－1，1)，集合B ＝(1－a ，1＋a )，若a ＝1，则A ∩B ≠∅，又若a ＝2，则A ∩B ≠∅，③不正确；|a －b |＞1⇒a ·b ＜12⇒cos θ＜12，又0≤θ≤π，所以π3＜θ≤π，④正确． 13．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数 [解析] 否命题是以否定的条件为条件，否定的结论为结论的命题，即“若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数”．14．5 [解析] 易知Q ＝{(x ，y )|－1＜x －y ＜2，x ，y ∈P }，由P ＝{0，1，2}得x －y的取值只可能是0和1，∴Q ＝{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(1，0)，(2，1)}，含有5个元素．15．⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞ [解析] 根据题意可知，本题可转化为求不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1＞0恒成立时m 的取值范围，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＞0，Δ＝（－m ）2－4（m ＋1）（m －1）＜0，解得m ＞233． 专题限时集训(二)【基础演练】1．A [解析] 5i 1＋2i ＝5i （1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝i(1－2i)＝2＋i ，故其虚部为1． 2．A [解析] z ＝52－i ＋3＝5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＋3＝2＋i ＋3＝5＋i ，所以复数z 对应的点在复平面的第一象限．3．A [解析] 由AB →·BC →＞0，可得角B 为钝角，此时△ABC 是钝角三角形，条件是充分的；反之，当△ABC 是钝角三角形时，角B 不一定为钝角，故不一定有AB →·BC →＞0，条件是不必要的．故“AB →·BC →＞0”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件．4．C [解析] 易知|a |＝5，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a||b|＝－55×2＝－12，即向量a 与b 的夹角为2π3． 5．4 60° [解析] 由|a －b |＝13，平方得a 2－2a ·b ＋b 2＝13，代入已知条件得b2＝16，得|b |＝4，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝63×4＝12，所以〈a ，b 〉＝60°． 【提升训练】6．A [解析] 5i －2＝5（i ＋2）（i －2）（i ＋2）＝5（2＋i ）－5＝－2－i ，故其共轭复数为－2＋i ． 7．B [解析] z ＝(1＋2i)2＝－3＋4i ，其对应的点的坐标为(－3，4)，故其对应的点在第二象限．8．A [解析] 依题知z 1＝1＋2i ，由z 2＝kz 1得a ＋3i ＝k ()1＋2i ，即有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝k ，3＝2k ，故a ＝32． 9．C [解析] 2－b i 1＋2i ＝（2－b i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝（2－2b ）－（4＋b ）i 5，根据已知得2－2b ＝4＋b ，解得b ＝－23．10．B [解析] 显然AC ⊥BC ，以点C 为坐标原点，射线CA ，CB 分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则C (0，0)，A (3，0)，B (0，4)．设CP →＝CA →＋λAB →＝(3，0)＋λ(－3，4)＝(3－3λ，4λ)，其中0≤λ≤1，则CP →·(BA →－BC →)＝CP →·CA →＝(3－3λ，4λ)·(3，0)＝9－9λ≤9，故CP →·(BA →－BC →)的最大值为9．11．D [解析] 由a ·(a ＋2b )＝0且|a |＝1，得a ·b ＝－12，得〈a ，b 〉＝120°．在平面直角坐标系中，设a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，则a ＋2b ＝(0，3)．设c ＝(x ，y )，由|c －a －2b |＝1得x 2＋(y －3)2＝1，即向量c 的终点在圆x 2＋(y －3)2＝1上，所以|c |的最大值为3＋1．12．2＋i [解析] （1＋a i ）（1－i ）b ＋i＝2－i ⇒(1＋a i)(1－i)＝(2－i)·(b ＋i)⇒1＋a ＋(a －1)i ＝2b ＋1＋(2－b )i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝2b ＋1，a －1＝2－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 13．1 [解析] AD →·BC →＝12(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12(AC →2－4)＝－32，解得|AC →|＝1．14．9 [解析] 方法一：以点A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则A (0，0)，E (2，3)，F (3，1)，所以AE →＝(2，3)，AF →＝(3，1)，因此AE →·AF →＝2×3＋3×1＝9．方法二：如图所示，AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋23DC →＝AD →＋23AB →，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13AD →，所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋AD →·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋13AD →＝23AB →2＋119AB →·AD →＋13AD →2＝23·|AB →|2＋119×0＋13·|AD →|2＝23×32＋13×32＝9． 15．24 [解析] 点A 的坐标为(3，a )，则|OA →|≥3，OP →＝λOA →，则O ，P ，A 三点共线，又|OA →|·|OP →|＝72，则|OP →|＝72||OA →．设OP 与x 轴的夹角为θ，则OP 在x 轴上的投影长度为|OP →|cos θ＝|OP →|·3|OA →|＝216|OA →|2≤24，即线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为24．专题限时集训(三)【基础演练】1．B [解析] 集合B ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以A ∩B ＝(1，2)．2．B [解析] 集合M ＝(－1，1)，集合N ＝(0，1)，显然N ⊆M ，B 正确．3．B [解析] 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，可得在点(1，0)处目标函数取得最大值1．4．A [解析] 对于选项A 中的不等式，1a －b －1a ＝b a （a －b ）＜0，故选项A 中的不等式不成立；根据不等式的性质，其余选项中的不等式均成立．5．C [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y x ＋y 2＝x ＋y x ＋y ＋2xy ≥x ＋y x ＋y ＋x ＋y ＝12，当且仅当x ＝y 时，等号成立，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y x ＋y min ＝12＝22． 【提升训练】6．B [解析] 集合A ＝(－1，3)，集合B ＝(－1，＋∞)，所以∁B A ＝[3，＋∞)．7．D [解析] 集合A ＝[1，5]，集合B ＝(2，＋∞)，所以A ∩B ＝(2，5]．8．B [解析] 根据已知可得2m ＝1－n ，即2m ＋n ＝1．故1m ＋1n ＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝3＋n m ＋2mn ≥3＋2n m ·2m n ＝3＋22，当且仅当n ＝2m ，即m ＝2－22，n ＝2－1时等号成立．9．D [解析] 由已知得平面区域是以O (0，0)，A (2，0)，B (1，2)，C (0，1)为顶点的四边形边界及其内部．目标函数的几何意义是区域内的点到点(－1，－1)的距离的平方，所以可得在区域的顶点B (1，2)处，目标函数取得最大值13．10．D [解析] 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝23（a 2＋b 2）2ab ≥23×2ab 2ab ＝23，当且仅当a ＝b 时等号成立．11．2 [解析] 作出不等式组表示的平面区域，即可行域如图中阴影部分所示．直线x ＋2y －a ＝0与x 轴交于点A (a ，0)，目标函数为z ＝3x ＋y ，当直线y ＝－3x ＋z 过可行域内点A (a ，0)时，z 恰好取得最大值6，即z max ＝3a ＋0＝6，得a ＝2，即直线x ＋2y －a ＝0过点(2，0)，故a ＝2．12． 9 [解析] 因为x ，y 均为正实数，所以x ＋y ≥2xy ，所以xy ＝x ＋y ＋3可化为xy ≥2xy ＋3，即(xy －3)(xy ＋1)≥0，所以xy ≥3，即xy ≥9，当且仅当x ＝y 时等号成立．13．177 [解析] 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示．x ＋2y －6x －4＝（x －4）＋2y －2x －4＝1＋2×y －1x －4，令z ＝y －1x －4，则其几何意义是区域内的点与点P (4，1)连线的斜率，显然点A (－3，－4)与点P 连线的斜率最大，其最大值为－4－1－3－4＝57，所以x ＋2y －6x －4的最大值为1＋2×57＝177．14．8 2 [解析] 因为f (x )＝x 3－(a ＋b )x 2＋abx ，所以f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b )x ＋ab ，所以f ′(0)＝ab ＝4，所以a 2＋2b 2≥22ab ＝82，当且仅当a ＝2b 时等号成立． 15．4 [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，直线2x －y ＋2＝0与直线8x －y －4＝0交于点A (1，4)．作直线l ：z ＝ax ＋by ，由于a ＞0，所以z 可视为直线l 在x 轴上的截距的a 倍，当直线l 经过可行域内的点A 时，直线l 在x轴上的截距最大，此时z 取最大值，即z max ＝a ·1＋b ·4＝a ＋4b ＝8，因此ab ＝14·a ·4b ≤14·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋4b 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4，当且仅当a ＝4b ，即a ＝4，b ＝1时等号成立．专题限时集训(四)【基础演练】1．A [解析] 对于③，“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”是错误的，如a ＝2＋i ，b ＝1＋i ，则a －b ＝1>0，但2＋i>1＋i 不正确；对于④，“若z ∈C ，则|z |<1⇒－1<z <1”是错误的，如y ＝12＋12i ，|y |＝22<1，但－1<12＋12i<1是不成立的． 2．B [解析] 二项展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝26－r ·C r 6x 6－3r 2，令6－3r 2＝0，得r ＝4，故展开式中的常数项为26－4×C 46＝4×15＝60． 3．A [解析] x ＝4，y ＝1，|y －x |＝3→x ＝1，y ＝－12，|y －x |＝32→x ＝－12，y ＝－54，|y －x |＝34＜1，故输出的y 值为－54． 4．B [解析] 分成两类，第一类：男女男女男女，先排男生，当男生甲在最前面的位置时，女生乙只能在其右侧，当男生甲不在最前面的位置时，女生乙均有两种排法，另外两位男生和两位女生的排法都有A 22种，所以第一类的排法总数为A 22·A 22＋C 12·C 12·A 22·A 22＝20．第二类：女男女男女男，与第一类类似，也有20种排法．所以满足条件的排法有40种．5．13＋23＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）22 [解析] 1＝1，1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，故猜想第n 个等式是13＋23＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）22． 【提升训练】6．A [解析] 该程序计算的是1＋4＋7＋…＋31，即数列{3k －2}的前11项的和，由等差数列的求和公式得S ＝1＋312×11＝176，故输出的S 的值为176． 7．A [解析] 题中程序框图的功能是计算数列{a n }的前10项之和的平均值，即输出的S 是5＋322×1010＝18.5． 8．D [解析] 当n ＝2014时输出s 的值，该程序计算的是sin π3＋sin 2π3＋…＋sin 2013π3的值．函数y ＝sin n π3的最小正周期为6，在任意一个周期内6个函数值之和为零，而2013＝335×6＋3，所以sin π3＋sin 2π3＋…＋sin 2013π3＝sin π3＋sin 2π3＋sin π＝3． 9．C [解析] 甲、乙的站法有A 22种，其余人的站法有A 22A 33种，所以不同站法的种数为A 22A 22A 33＝24．10．A [解析] 根据已知得2n ＋2n －1＝96，解得n ＝6．二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(3x )6－r⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝(－1)r 36－r C r 6x 6－4r 3，令6－4r 3＝2，解得r ＝3，所以展开式中含有x 2的项的系数为(－1)3×33×C 36＝－540．11．6 [解析] 根据题意，x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，而x 3＝[(x －2)＋2]3＝C 03×(x －2)0×23＋C 13×22(x －2)＋C 23×21(x －2)2＋C 33×20(x －2)3，则a 2＝C 23×21＝6．12．300 [解析] 若0号实验放在最后，则编排方法有A 55＝120(种)．0号实验不能放在第五项，只能放在第二、第三、第四项上，此时最后两项只要选出即可，所以编排方法有3×C 25×A 33＝180(种)．由分类加法计数原理得总的编排方法有120＋180＝300(种)．13．12＋22＋32＋…＋n 21＋2＋3＋…＋n ＝2n ＋13 [解析] 把第一个等式写成121＝33，不难看出等式右端的分母均为3，分子组成等差数列3，5，7，9，…，2n ＋1．故第n 个等式为12＋22＋32＋…＋n 21＋2＋3＋…＋n＝2n ＋13． 14．2 [解析] 第一次循环，i ＝3×5＋1＝16，i ＝16＞50不成立；第二次循环，k ＝0＋1＝1，i ＝3×16＋1＝49，i ＝49＞50 不成立；第三次循环，k ＝1＋1＝2，i ＝3×49＋1＝148，i ＝148＞50成立，跳出循环体，输出k 的值为2．15．10 [解析] 据题意知无论球怎么分，S 5应为定值，所以计算其中一种分法：(5)→(1，4)→(1，2，2)→(1，1，1，2)→(1，1，1，1，1)，此时S 5＝1×4＋2×2＋1×1＋1×1＝10．专题限时集训(五)A【基础演练】1．C [解析] 根据已知，得f (1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2．2．C [解析] 易知选项C 中的函数符合题意．3．D [解析] a ＝21.2＞21＝2，b ＝0.50.8＜0.50＝1，1＝log 22＜c ＝log 23＜log 24＝2，所以a ＞c ＞b ．4．B [解析] 因为y ＝f (2x )＋x 是偶函数，所以f (－2x )＋(－x )＝f (2x )＋x ，所以f (－2x )＝f (2x )＋2x ，令x ＝1，则f (－2)＝f (2)＋2＝3．5．13 [解析] f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－1)＝13． 【提升训练】6．D [解析] f (－3)＝－f (3)＝－23＝－8． 7．C [解析] 由f (x )＞1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2－x －1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x 12＞1，解得x ＜－1或x ＞1． 8．C [解析] 易知选项A ，C 中的函数是偶函数，又函数y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，故选C ．9．C [解析] 易知0＜a ＝log 32＜log 33＝1，b ＝log 23＞log 22＝1，c ＝log 125＜log 121＝0，故c <a <b ．10．B [解析] 根据对数函数的性质，当y ＝|log 2x |的值域为[0，2]时，其定义域的最大区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4，故区间[a ，b ]的长度的最大值为4－14＝154． 11．C [解析] 易知f (x )是奇函数且f (x )不具有周期性，故排除A 选项；又因为在其定义域上函数值正负相间反复变化，所以排除D 选项；在区间(0，π)上函数值大于零，故排除B 选项，因此只有选项C 中的图像符合题意．12．C [解析] 由题意可知，函数f (x )的图像在定义域内必须是“上凸”的，故只能是选项C 中的函数，证明如下：ln(x ＋2)＋ln x ＝ln(x 2＋2x )＜ln(x 2＋2x ＋1)＝ln(x ＋1)2＝2ln(x ＋1)．13．(－3，2) [解析] 由6－x －x 2＞0，得－3＜x ＜2．14．(－1，1) [解析] 若m ≥0，则0≤m <1；若m ＜0，则－m ＞0，故f (m )＝f (－m )＜f (1)，得－m ＜1，即－1＜m ＜0．综上可得－1＜m ＜1．15．4027 [解析] 因为f (t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＝a ln t ＋b lg t ＋1＋a ln 1t ＋b lg 1t＋1＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2014)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12014＝f (1)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （2）＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （3）＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （2014）＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12014＝1＋2013×2＝4027． 专题限时集训(五)B【基础演练】1．B [解析] 当函数y ＝|f (x )|的图像关于y 轴对称时，函数y ＝f (x )未必是奇函数，如函数f (x )＝x 2－4；反之，若函数y ＝f (x )为奇函数，则函数y ＝|f (x )|为偶函数，其图像一定关于y 轴对称．故“函数y ＝|f (x )|的图像关于y 轴对称”是“y ＝f (x )为奇函数”的必要不充分条件．2．A [解析] 易知只有选项A ，B 中的函数为偶函数，且选项A 中的函数在区间(1，2)上单调递增．3．A [解析] 因为f (b )＝2，所以f (b )＝tan b ＋sin b ＋1＝2，所以tan b ＋sin b ＝1，所以f (－b )＝tan(－b )＋sin(－b )＋1＝－(tan b ＋sin b )＋1＝0．4．C [解析] f [f (0)]＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，解得a ＝2．5．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，14 [解析] 当x ≥0时，f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －122＋14∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14，由于f (x )是奇函数，所以其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，14． 【提升训练】6．A [解析] 易知函数y ＝1x －sin x是奇函数，其图像关于坐标原点对称，且当x →＋∞时，y →0，故选项A 中的图像符合题意．7．A [解析] 由f (x ＋2)＝1－f （x ），得f (x ＋4)＝1－f （x ＋2）＝f (x )，所以f (2014)＝f (2)，又f (2＋2)＝1－f （2），所以f (2)＝－1f （4）＝－12－3＝－2－3． 8．C [解析] a ＝14＝log 949＝log 93＜log 83＝c ，a ＝log 93＞log 985＝b ，所以c ＞a ＞b ．9．C [解析] 在f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2012x －1＝3x 中，令x ＝2，得f (2)＋2f (2014)＝6①；令x＝2014，得f (2014)＋2f (2)＝6042②．由①②，得f (2014)＋12－4f (2014)＝6042，解得f (2014)＝－2010．10．A [解析] 若f (x )＝2x ，则g (x )＝f (x ＋a )－f (x )＝2x ＋a －2x ＝2x (2a －1)，因为a 为正实数，所以2a －1＞0，所以对于任意的正数a ，函数g (x )＝f (x ＋a )－f (x )都是其定义域上的增函数，因此选项A 正确．11．A [解析] 由12log 2(a ＋b )＋log 22a ＝12log 21a ＋b ＋log 2b 2，可得2（a ＋b ）a ＝b 2（a ＋b ），即ab ＝2(a ＋b )，所以(a －2)(b －2)＝ab －2(a ＋b )＋4＝4，所以log 2(a －2)＋log 2(b －2)＝2．12．A [解析] 由于函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，所以f (x ＋a )＝f (－x ＋a )对∀x ∈R 恒成立，所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称．又函数y ＝f (x )在区间(－∞，a )上是增函数，所以函数y ＝f (x )在区间(a ，＋∞)上是减函数．由|x 1－a |＜|x 2－a |，得f (x 1)＞f (x 2)．13．－14 [解析] 由M ＝(x －y )2－(x －y )＋2y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －y ）－122＋2y 2－14≥－14，可知M 的最小值为－14． 14．[2，＋∞) [解析] 由题意，m ≠0．因为定义域是[0，＋∞)的函数f (x )＝(x －1)2为[0，＋∞)上的“m 高调函数”，所以x ＋m ≥0恒成立，即m >0，又(x ＋m －1)2≥(x －1)2在区间[0，＋∞)上恒成立，即2mx ＋m 2－2m ≥0在区间[0，＋∞)上恒成立，所以只需m 2－2m ≥0，解得m ≥2，所以实数m 的取值范围是[2，＋∞)．15．17 [解析] 函数f (x )和g (x )的图像都是中心对称图形，其对称中心都为(1，0)，如图所示，故其交点也关于点(1，0)成中心对称，且对称的两个交点的横坐标之和为2．函数f (x )＝2sin πx 的最大值为2，当x ＝9时，g (9)＝2，f (x )＝2sin πx 的最小正周期为2，故在区间(1，3)，(3，5)，(5，7)，(7，9)内，两个函数的图像各有2个交点，即在区间(1，9)内两个函数的图像有8个交点，故与此对称的区间(－7，1)内也有8个交点，这16个交点的横坐标之和为16．又f (1)＝g (1)，即x ＝1也为其交点的横坐标，所以所有交点的横坐标之和为17．专题限时集训(六)【基础演练】1．A [解析] 若m <0，则方程m ＋log 2x ＝0(x ≥1)有一解，即函数f (x )存在零点；反之，若函数f (x )有零点，则m ≤0．所以“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的充分不必要条件．2．A [解析] 易知f (x )在定义域内单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝214－2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝212－1＞0，故选A ．3．B [解析] 画出函数y ＝tan x ，y ＝1x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的图像(图略)，由图可知，两个函数的图像只有一个公共点，故函数f (x )＝tan x －1x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内零点的个数为1．4．B [解析] 已知函数f (x )与g (x )的图像在R 上连续，由表可知，函数f (x )在区间[0，1]上的函数值由3．011变化到5．432，而函数g (x )在区间[0，1]上的函数值由3．451变化到4.890，所以这两个函数在区间(0，1)上有交点，即方程f (x )＝g (x )在区间(0，1)上有实数解．5．－12 [解析] 因为函数f (x )＝ax ＋b 的零点为x ＝2，所以2a ＋b ＝0，即ba＝－2．由bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12．【提升训练】6．C [解析] 画出函数y ＝f (x )和y ＝－x ＋m 的图像，如图所示，则所求问题等价于两个函数的图像有交点，由图易知m ∉(0，1]，故m ∈(－∞，0]∪(1，＋∞)．7．C [解析] ∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝0，又当x ≤0时，f (x )＝2x －12x ＋a ，∴20＋a ＝0，解得a ＝－1，故当x ≤0时，f (x )＝2x －12x －1．令f (x )＝2x－12x －1＝0，解得x ＝－1或x ＝0，故f (－1)＝0，则f (1)＝0．综上所述，函数f (x )的零点的个数是3．8．D [解析] 由2＝4－a 12，可得a ＝4，即f (x )＝4－4x，其零点x 1＝1；由2＝4－log b 12，得b ＝12＝22，即g (x )＝4－log 22x ，其零点x 2＝14；由2＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，得c ＝－1，所以h (x )＝4－x －1，其零点x 3＝14．故x 1＋x 2＋x 3＝1＋14＋14＝32．9．B [解析] 根据题意可知只需作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ＞0)的图像关于原点对称的图像，确定它与函数y ＝－x 2－4x (x ≤0)的图像的交点个数即可，由图可知，只有一个交点，故选B ．10．D [解析] 令f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x ，易知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x 是偶函数，且当x >0时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞1，2x ，0＜x ≤1.令g (x )＝kx ＋1，画出函数f (x )和g (x )的图像，如图所示．设曲线y ＝－2x(x ＜－1)上任意一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，－2x 0，y ′＝2x 2，所以曲线y ＝－2x(x ＜－1)在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，－2x 0处的切线方程为y ＋2x 0＝2x 20(x －x 0)，当该切线过点(0，1)时，有1＋2x 0＝2x 2(0－x 0)，得x 0＝－4，此时切线的斜率k ＝18．由图易知当直线g (x )＝kx ＋1的斜率k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18时，g (x )与f (x )的图像有五个交点．根据对称性可得当－18＜k ＜0时，g (x )和f (x )的图像也有五个交点，则k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18． 11．(1，＋∞) [解析] 函数f (x )有三个零点等价于方程1x ＋2＝m |x |有且仅有三个实根． 由1x ＋2＝m |x |，得1m＝|x |(x ＋2)，作函数y ＝|x |(x ＋2)的图像，如图所示，由图像可知，m 应满足0＜1m＜1，故m ＞1．12．x ＝12 [解析] 依题意，令f (x )－log 2x ＝a ，a 是常数，则f (a )＝1，所以log 2a ＝1－a ，解得a ＝1，所以f (x )＝1＋log 2x ．令f (x )＝0，解得x ＝12．13．3 [解析] 当x ＞1时，ln x ＞0，此时f (x )＝2x ＋1－x 2，令x 2－2x －1＝0，解得x ＝2＋82＝1＋2；当x ＝1时，ln x ＝0，此时f (x )＝1－x 2，令1－x 2＝0，解得x ＝1；当0＜x ＜1时，ln x ＜0，此时f (x )＝－2x ＋1－x 2，令x 2＋2x －1＝0，解得x ＝－2＋82＝－1＋2．综上可知，函数f (x )＝2x ·g (ln x )＋1－x 2有3个零点．14．解：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图像如图所示． 由图可知，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图像只有一个交点，即原方程只有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图像有两个交点，即原方程有两个解．(2)令f (x )＝2x ＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，∵H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数， ∴H (t )>H (0)＝0，因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，即原不等式在R 上恒成立，应有m ≤0．15．解： (1)由弧长计算公式及扇环面的周长为30米，得30＝θ(10＋x )＋2(10－x )，所以θ＝10＋2x10＋x(0<x <10)．(2)由题意可知，花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x )(10－x )＝－x 2＋5x ＋50(0＜x ＜10)，装饰总费用为9θ(10＋x )＋8(10－x )＝170＋10x ，所以花坛的面积与装饰总费用的比值y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x＝－x 2－5x －5010（17＋x ）．令t ＝17＋x ，则y ＝3910－110⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋324t ≤310，当且仅当t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝1211． 所以当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比值最大．16．解： (1)设每分钟滴下k (k ∈N *)滴药液． 由题意可知，瓶内药液的体积V 1＝π·42×9＋π·22×3＝156π(cm 3)，k 滴球状药液的体积V 2＝k ·43·π·10＝40k 3π(mm 3)＝k π75(cm 3)， 所以156π＝k π75×156，解得k ＝75，故每分钟应滴下75滴药液．(2)由(1)知，每分钟滴下的药液的体积为π cm 3． 当4≤h ≤13时，x π＝π·42·(13－h )，即h ＝13－x16，此时0≤x ≤144；当1≤h ＜4时，x π＝π·42·9＋π·22·(4－h )，即h ＝40－x4，此时144＜x ≤156．综上可得，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13－x16，0≤x ≤144，40－x 4，144＜x ≤156.专题限时集训(七)【基础演练】1．B [解析] f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2，∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4．2．D [解析] 设切点为P 0(a ，b )，f ′(x )＝3x 2＋1，则切线的斜率k ＝f ′(a )＝3a 2＋1＝4，所以a ＝±1．当a ＝－1时，b ＝－4；当a ＝1时，b ＝0．所以P 0点的坐标为(1，0)或(－1，－4)．3．B [解析] 阴影部分的面积为－∫3π2π2cos xdx ＝－sin x 3π2π2＝－(－1－1)＝2．4．A [解析] 令f ′(x )＝x －1x ＝（x －1）（x ＋1）x＝0，得x ＝1．∴当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0．∴函数f (x )在x ＝1处取得最小值，且最小值为f (1)＝12－ln 1＝12．5．x －y －2＝0 [解析] 易知切点的坐标为(1，－1)，又y ′＝1x，∴切线的斜率为1，∴所求切线方程为y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0．【提升训练】6．B [解析] y ′＝2ax －1x ，由题意可知，当x ＝1时，y ′|x ＝1＝2a －1＝0，得a ＝12．7．A [解析] f ′(x )＝cos x －x sin x ，则该导函数为偶函数，且f ′(0)＝1，f ′(π)＝－1，易知A 选项符合题意．8．C [解析] 易知阴影部分的面积为∫40xdx ＝＝163，长方形OABC 的面积为8，故所求概率为1638＝23．9．C [解析] 因为f (x )＝(x 2－2ax )e x ，所以f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x ．因为f (x )在区间[－1，1]上是减函数，所以f ′(x )＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]ex≤0在区间[－1，1]上恒成立且不恒为0，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0在区间[－1，1]上恒成立且不恒为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12＋（2－2a ）－2a ≤0，1－（2－2a ）－2a ≤0，解得a ≥34．又当a ＝34时，x 2＋(2－2a )x －2a 不恒为0，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞． 10．D [解析] g ′(x )＝1，令g (x )＝g ′(x )，则α＝1．h ′(x )＝1x ＋1，令h (x )＝h ′(x )，结合图像(图略)可知，β<1．φ′(x )＝－sin x ，令φ(x )＝φ′(x )，∴γ＝3π4>2．∴β<α<γ．11．D [解析] 在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，f (x )＜f ′(x )tan x 等价于f ′(x )sin x －f (x )cos x＞0．构造函数g (x )＝f （x ）sin x ，则g ′(x )＝f ′（x ）sin x －f （x ）cos x sin 2x＞0，所以g (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增．g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π422＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π332，即3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＜2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，故选项A 中的不等式不成立； g (1)＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，即f （1）sin 1＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π612，即f (1)＞2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sin 1，故选项B 中的不等式不成立； g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π612＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π422，即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故选项C 中的不等式不成立；g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π612＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π332，即3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，故选项D 中的不等式成立． 12．4x －y －3＝0 [解析] 易知切点的坐标为(1，1)，又f ′(x )＝2x＋2x ，∴切线的斜率为f ′(1)＝4，故所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0．13．163[解析] 由2x 2＝－4x －2，得x ＝－1，所以由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，x ＝1围成的封闭图形的面积为∫1－1(2x 2＋4x ＋2)dx ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3＋2x 2＋2x 1－1＝143－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝163． 14．解：(1)令h (x )＝f (x )－g (x )，则h ′(x )＝(x ＋1)(2－e x)，则′()，()的变化情况如下表：∴h (x )极小值＝h (－1)＝1e －1，h (x )极大值＝h (ln 2)＝(ln 2)2．(2)由已知可知，当x ∈(－2，0)时，x 2＋2x ＋1≥ax e x恒成立，即a ≥x 2＋2x ＋1x e x ＝x ＋2＋x －1ex恒成立． 令t (x )＝x ＋2＋x －1e x，则t ′(x )＝－（x 2＋1）（x ＋1）x 2e x， ∴当x ∈(－2，－1)时， t ′(x )>0，则t (x )在区间(－2，－1)上单调递增；当x ∈(－1，0)时， t ′(x )<0，则t (x )在区间(－1，0)上单调递减． 故当x ∈(－2，0)时， t (x )max ＝t (－1)＝0， ∴a ≥0．15．解：(1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ．令f ′(x )＞0，则ln x ＞－1＝ln 1e ，所以x ＞1e ；令f ′(x )＜0，则ln x ＜－1＝ln 1e ，所以0＜x ＜1e．所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ， f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e＝1e ln 1e＝－1e，f (x )无极大值．(2)证明：不妨设0<x 1＜x 2， 要证f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＜f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，即证x 2ln x 2－x 1ln x 1x 2－x 1＜ln x 1＋x 22＋1，即证x 2ln x 2－x 1ln x 1＜x 2ln x 1＋x 22－x 1lnx 1＋x 22＋x 2－x 1，即证x 2ln2x 2x 1＋x 2＜x 1ln 2x 1x 1＋x 2＋x 2－x 1． 将上式两边同时除以x 1，得x 2x 1ln 2·x 2x 11＋x 2x 1＜ln 21＋x 2x 1＋x 2x 1－1，令x 2x 1＝t ，则t ＞1，即证t ln2t 1＋t ＜ln 21＋t＋t －1． 令g (t )＝tl n 2t 1＋t －ln 21＋t －t ＋1，则g ′(t )＝ln 2t 1＋t ＋t ·1＋t 2t ·2（1＋t ）2＋1＋t 2·2（1＋t ）2－1＝ln 2t 1＋t ＋1－t1＋t＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋t －1t ＋1－t －1t ＋1． 令t －1t ＋1＝x (x ＞0)，h (x )＝ln(1＋x )－x ， 则h ′(x )＝11＋x －1＝－x1＋x＜0，所以h (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，所以h (x )＜h (0)＝0，即ln(1＋x )－x <0，即g ′(t )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t －1t ＋1－t －1t ＋1＜0恒成立，所以g (t )在区间(1，＋∞)上是减函数，所以g (t )＜g (1)＝0， 即t ln 2t 1＋t ＜ln 21＋t＋t －1， 所以f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＜f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22．16．解： (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x－a ． 当a ≤0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，若x ∈(－∞，ln a )，则f ′(x )＜0，若x ∈(ln a ，＋∞)，则f ′(x )＞0， 所以f (x )在区间(－∞，ln a )上单调递减，在区间(ln a ，＋∞)上单调递增．综上可知，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a >0时，f(x )的单调递减区间为(－∞，ln a )，单调递增区间为(ln a ，＋∞)．(2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x－1)＋x ＋1．设g (x )＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1，则g ′(x )＝e x(x －k ＋1)．(i)若k ≤1，则当x ＞0时，g ′(x )＞0，所以g (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，而g (0)＝1，故当x ＞0时，g (x )＞1＞0，即有(x －k)f ′(x )＋x ＋1＞0恒成立．(ii)若k ＞1，则当x ∈(0，k －1)时，g ′(x )＜0；当x ∈(k －1，＋∞)时，g ′(x )＞0．所以g (x )在区间(0，＋∞)内的最小值为g (k －1)＝k －e k －1＋1．令h (k )＝k －e k －1＋1，则h ′(k )＝1－e k －1，因为k >1，所以h ′(k )<0，故h (k )在区间(1，＋∞)上单调递减．而h (2)＞0，h (3)＜0，所以当1＜k ≤2时，h (k )＞0，即g (k －1)＞0，从而当x ＞0时，g (x )＞0，即(x －k )f ′(x)＋x ＋1＞0恒成立；当k ≥3时，h (k )<0，即g (k －1)<0，故g (x )＞0在区间(0，＋∞)内不恒成立．综上所述，整数k 的最大值为2．专题限时集训(八)【基础演练】1．C [解析] y ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，故其最小正周期为2π2＝π．2．B [解析] 把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6(x ∈R )的图像上所有的点向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π6＝sin x ＋5π12(x ∈R )的图像，再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋5π12(x ∈R )的图像．3．C [解析] y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，所以只需把函数y ＝sin 2x 的图像向左平移5π12个单位长度即可得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像．4．－23 [解析] 由a ∥b ，可得－3sin θ＝2cos θ，又易知cos θ≠0，所以tan θ＝－23．5．－13 [解析] 根据已知易得tan α＝－2，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝－2＋11＋2＝－13． 【提升训练】6．B [解析] 由题知x B －x A ＝3＝T2，所以T ＝6，x A ＝－1，y 轴左侧距离y 轴最近的最低点的横坐标为－4，所以f (x )的单调递增区间是[6k －4，6k －1](k ∈Z )．7．D [解析] 当0≤θ＜π2时，d ＝2cos θ；当π2＜θ＜π时，d ＝2cos(π－θ)＝－2cos θ．故选D ．8．A [解析] 函数f (x )＝sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ的图像，又其为奇函数，故π3＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝k π－π3，k ∈Z ．又|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3．因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，易知当x ＝0时，f (x )min ＝－32． 9．A [解析] 由f (x )＝－f (x ＋π)知函数f (x )的周期为2π，所以ω＝1．又f (0)＝12，|φ|<π2，所以φ＝π6，于是g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，π6≤x ＋π6≤23π，所以－1≤g (x )≤3，所以g (x )的最大值与最小值之和为3－1．10．B [解析] 将f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图像向左平移m 个单位，得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2m －π6的图像，由题意得2×π6＋2m －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即m＝k π2＋π6(k ∈Z )．又∵m >－π2，∴当k ＝－1时，m 取得最小值－π3． 11．12 [解析] 设OB ＝1，则PB ＝tan α，△OPB 的面积为12tan α，又扇形OAB 的面积为12α，所以12tan α＝2×12α，所以αtan α＝12． 12．－22 [解析] g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3π4，由π3≤x ≤2π3，得π4≤3x －3π4≤5π4，所以当3x －3π4＝5π4，即x ＝23π时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝sin 5π4＝－22． 13．－43 [解析] 由⎩⎨⎧sin α＋3cos α＝5，sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝55，sin α＝255或⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝255，sin α＝－55，所以tan α＝2或－12．当tan α＝－12时，tan 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－14＝－43；当tan α＝2时，tan 2α＝2×21－4＝－43．故tan 2α＝－43． 14．解：(1)由已知易得f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，∵π4≤x ≤π2，∴π6≤2x －π3≤2π3，∴3≤f (x )≤5， ∴f (x )max ＝5，f (x )nim ＝3．(2)∵当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋32π，k ∈Z 时f (x )单调递减，而π6≤2x －π3≤2π3，∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，π2．15．解：(1)∵f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫4π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫8π3＋π6＋1＝2sin 5π6＋1＝2sin π6＋1＝2．(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1．∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，∴0≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1≤3． 故当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，函数f (x )的值域是[0，3]． 16．解：(1)由题意，得AB →＝(sin θ－cos θ，－2sin θ)， 当θ＝2π3 时，sin θ－cos θ＝sin 2π3－cos 2π3＝1＋32，－2sin θ＝－2sin 2π3＝－62，所以 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－62．(2)因为AB →＝(sin θ－cos θ，－2sin θ) ， 所以|AB →|2＝(sin θ－cos θ)2＋(－2sin θ)2＝1－sin 2θ＋2sin 2θ＝1－sin 2θ＋1－cos 2θ ＝2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4． 因为0≤θ≤π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4，所以当2θ＋π4＝5π4时，|AB →|2取得最大值3，即当θ＝π2时，|AB →|取得最大值3．专题限时集训(九)【基础演练】1．C [解析] 由AB sin C ＝AC sin B ，即3sin C ＝112，得sin C ＝32，所以C ＝120°(C ＝60°舍去)．又B ＝30°，所以A ＝30°，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝34．2．B [解析] 易知C ＝30°．由正弦定理得2sin 45°＝csin 30°，所以c ＝1．3．B [解析] f (x )＝sin 2x －12sin 2x －32cos 2x ＝12sin 2x －32 cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，易知f (x )的最小值为－1．4．C [解析] sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝59．5．π6 [解析] 由正弦定理及已知，得a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝32，即cos B ＝32，∴B ＝π6． 【提升训练】6．C [解析] cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin 2α2＝1＋132＝23．7．B [解析] 由题意得12CA ·CB ·sin π3π×12＝334π，所以CA ·CB ＝3．在△AOB 中，由OA ＝OB ＝1，OA →·OB →＝－12，得∠AOB ＝2π3，所以AB ＝3．由余弦定理得AB 2＝CA 2＋CB 2－2CA ·CB cos π3，即CA 2＋CB 2＝6，结合CA ·CB ＝3，得CA ＝CB ＝3，所以△ABC 为等边三角形． 8．A [解析] 依题意得sin 2A －sin 2B ＝2sin A sin C －sin 2 C ，∴由正弦定理可得a2－b 2＝2ac －c 2，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22，∴B ＝π4．9．C [解析] 设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则由已知条件可知bc cos A ＝7，a ＝6．根据余弦定理可得36＝b 2＋c 2－14，所以b 2＋c 2＝50，所以bc ≤25．S △ABC ＝12bc sin A＝12bc 1－cos 2A ＝12bc 1－49（bc ）2＝12（bc ）2－49≤12252－49＝12，当且仅当b ＝c ＝5时等号成立，故所求最大值为12．10．A [解析] 由于G 为△ABC 的重心，所以GA →＋GB →＋GC →＝0，即GC →＝－GA →－GB →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －33c GA →＋⎝⎛⎭⎪⎫b －33c GB →＝0，所以a ＝b ＝33c ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝13c 2＋c 2－13c 22×33c ·c ＝32．又0＜A ＜π，所以A ＝π6． 11．－247 [解析] 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos(π－α)＝－45，所以sin α＝－35，tan α＝－34，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247． 12．11 [解析] △ABC 的面积S ＝12×3×43＝233，又S ＝12AC ·BC ·sin C ＝34AC ·BC ，所 以AC ·BC ＝83．根据余弦定理有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝(AC ＋BC )2－3AC ·BC ，所以(AC ＋BC )2＝3＋3×83＝11，所以AC ＋BC ＝11．13．2 [解析] 设△ABC 外接圆的半径为R ，则2R ＝BC sin 120°＝a 2＋b 2－2ab cos 120°32＝（a ＋b ）2－ab 32≥4－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2232＝2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．14．解：(1)由已知可得1＋cos B ＝3sin B ，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6＝12．又0<B <π，∴B ＝π3，∴C ＝π－A －B ＝π4，∴c ＝b sin B ·sin C ＝63．(2)由(1)知B ＝π3，∴由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ．又a ＝2c ，∴c 2＝13，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝36．15．解：(1)证明：∵a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b, 即a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b ，∴由正弦定理可得sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ， 即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sin B ． ∴由正弦定理可得a ＋c ＝2b ，故a ，b ，c 成等差数列．(2)由B ＝60°，b ＝4及余弦定理得 42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，∴(a ＋c )2－3ac ＝16． 又由(1)知a ＋c ＝2b ，∴有4b 2－3ac ＝16，即64－3ac ＝16， 解得ac ＝16,∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝43．16． 解：(1)∵在Rt △COB 中，CB ＝3sin x ，OB ＝3cos x ，∴OA ＝DA tan π6＝CB tan π6＝sin x ，AB ＝OB －OA ＝3cos x －sin x ，∴f (x )＝AB ·BC ＝(3cos x －sin x )·3sin x ＝3sin x ·cos x － 3 sin 2x ＝32sin 2x－32(1－cos 2x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－32，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3． (2)y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－32＋3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π6－32 ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－3 ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π12－3． 由0＜x ＜π3，0＜x ＋π4＜π3，得0＜x ＜π12，∴5π12＜2x ＋5π12＜7π12， ∴当2x ＋5π12＝π2，即x ＝π24时，y max ＝6－3．专题限时集训(十)【基础演练】1．C [解析] 由a 5＝a 1＋4d ＝8，S 3＝3a 1＋3×22d ＝6，解得a 1＝0，d ＝2，所以a 9＝0＋8×2＝16．2．C [解析] 设数列{a n }的公比为q ．易知a 5是a 2和a 8的等比中项，因此a 25＝a 2a 8＝1×64＝64．又由于a 5a 2＝q 3，所以a 5与a 2的符号可能相同，也可能不相同，因此a 5＝±8．3．C [解析] 由a 3＋a 4－a 5＋a 6＝8，得a 3＋a 5＝8，所以a 1＋a 7＝8，所以S 7＝7×（a 1＋a 7）2＝28．4．B [解析] 在等差数列{a n }中，因为a 1＋a 7＋a 13＝π，所以a 7＝π3，所以a 2＋a 12＝2π3，所以tan(a 2＋a 12)＝－3．5．2 [解析] 由已知可得2(a n q 2－a n )＝3a n q ，即2q 2－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－12．又a n ＋1＞a n ，所以q ＝2．【提升训练】6．B [解析] 由a 2＋a 4＋a 9＝24，得3a 1＋12d ＝24，即a 1＋4d ＝8，即a 5＝8，所以S 9＝a 1＋a 92×9＝9a 5＝72．7．D [解析] 由S n ＋2－S n ＝36，得a n ＋2＋a n ＋1＝36，即a 1＋(n ＋1)d ＋a 1＋nd ＝36．又a 1＝1，d ＝2，所以n ＝8．8．C [解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，2a 1q 2＋a 1q 3＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－12，q ＝－4.又a n ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴a 5＝a 1q 4＝16． 9．B [解析] 当a n ＝2a n －1(n ＝2，3，4，…)时，若a 1＝0，则该数列各项均为0，此时数列{a n }不是等比数列；反之，若数列{a n }是公比为2的等比数列，则一定有a n ＝2a n －1(n ＝2，3，4，…)．故在数列{a n }中，“a n ＝2a n －1(n ＝2，3，4，…)”是“{a n }是公比为2的等比数列”的必要不充分条件．10．B [解析] 根据等比中项的概念，得a m ＋1a m －1＝a 2m ，所以a 2m ＝2a m (m ≥2)．又a m ＞0，所以a m ＝2．由于数列{a n }为等比数列，故a 1＝2，即对任意正整数m ，a m ＝2．T 2k －1＝2×22k －2＝512，解得k ＝5．11．－20 [解析] 设数列{a n }的公差为d ，则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 9＝9a 1＋36d ＝11，S 11＝11a 1＋55d ＝9，两式相减，得2a 1＋19d ＝－2，∴S 20＝20a 1＋190d ＝－20．12．512 [解析] 由a 3a 4a 8＝8，得a 31q 12＝8，即a 1q 4＝2，即a 5＝2，所以T 9＝a 1a 2…a 9＝a 95＝512．13．π2[解析] 根据定积分的几何意义，得⎠⎛024－x 2d x ＝π，所以a 4＋a 8＝π，所以a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 6a 6＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝π2．14．解：(1)证明：∵对任意正整数n ，有n ，a n ，S n 成等差数列，∴2a n ＝n ＋S n (n ∈N *)．又a n ＝S n －S n －1(n ≥2且n ∈N *)，∴2(S n －S n －1)＝n ＋S n ，即S n ＝2S n －1＋n ，∴S n ＋n ＋2＝2S n －1＋2n ＋2，∴S n ＋n ＋2＝2[S n －1＋(n －1)＋2]，即S n ＋n ＋2S n －1＋（n －1）＋2＝2(n ≥2且n ∈N *)， ∴{}S n ＋n ＋2为等比数列．(2)由(1)知{}S n ＋n ＋2是首项为S 1＋3＝a 1＋3＝4，公比为2的等比数列，∴S n ＋n ＋2＝4×2n －1＝2n ＋1． 又2a n ＝n ＋S n ，∴2a n ＋2＝2n ＋1，∴a n ＝2n－1．15．解：(1)当n ＝1时，a 1＝1，3a n ＋1＋2S n ＝3a 2＋2a 1＝3⇒a 2＝13；当n ≥2时，3a n ＋1＋2S n ＝3，3a n ＋2S n －1＝3，两式相减可得3(a n ＋1－a n )＋2(S n －S n －1)＝0，。
2019年全品高考复习方案理科数学第6单元 集合与常用逻辑用语听课答案-第六单元-不等式、推理与证明
全品高考复习方案数学(理科) RJA 第六单元不等式、推理与证明1.编写意图(1)重视不等式本身的知识、方法的讲解和练习力度,以基本的选题和细致全面的讲解进行组织,使学生掌握好不等式本身的重要知识和方法,为不等式的应用打下良好的基础.(2)二元一次不等式(组)所表示的平面区域和简单的线性规划问题,是高考重点考查的两个知识点,我们不把探究点设置为简单的线性规划问题,而是设置为目标函数的最值(这样可以涵盖线性规划和非线性规划),含有参数的平面区域以及生活中的优化问题,这样在该讲就覆盖了高考考查的基本问题.(3)对于合情推理,主要在于训练学生的归纳能力,重点在一些常见知识点上展开.2.教学建议(1)在各讲的复习中首先要注意基础性,这是第一位的复习目标.由于各讲的选题偏重基础,大多数例题、变式题学生都可以独立完成,在基础性复习的探究点上要发挥教师的引导作用,教师引导学生独立思考完成这些探究点,并给予适度的指导和点评.(2)要重视实际应用问题的分析过程、建模过程.应用问题的难点是数学建模,本单元涉及了较多的应用题,在这些探究点上教师的主要任务就是指导学生如何通过设置变量把实际问题翻译成数学问题,重视解题的过程.(3)不等式在高考数学各个部分的应用,要循序渐进地解决,在本单元中涉及不等式的综合运用时,我们的选题都很基础,在这样的探究点上不要试图一步到位,不等式的综合运用是整个一轮复习的系统任务,在本单元只涉及基本的应用,不要拔高.(4)推理与证明是培养学生良好思维习惯,学习和运用数学思想方法,形成数学能力的重要一环.要站在数学思想方法的高度,对多年来所学习的数学知识和数学方法进行较为系统的梳理和提升.务必使学生对数学发现与数学证明方法有一个较为全面的认识.3.课时安排本单元共7讲,一个小题必刷卷(九),建议每讲1个课时完成,小题必刷卷1个课时完成,本单元建议用8个课时完成复习任务.第33讲不等关系与不等式考试说明了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.考情分析考点考查方向考例考查热度不等式的性比较数、式的大小2017全国卷Ⅰ11 ★☆☆质不等式性质求参数的值、范围★☆☆的应用真题再现■[2017-2013]课标全国真题再现[2017·全国卷Ⅰ]设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z[解析] D设2x=3y=5z=t(t>1),则x=log2t,y=log3t,z=log5t,所以2x=2log2t=lo t,3y=3log3t=lo t,5z=5log5t=lo t,又t>1,所以上述三个值中底数大的反而小,故只需比较,,的大小即可.因为()6=8<9=()6,所以<.因为()15=35=243>125=(15,所以<.因为(10=32>25=()10,所以<所以<<所以3y<2x<5z.■[2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·山东卷]若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是()A.a+<<log2(a+b)B.<log2(a+b)<a+C.a+<log2(a+b)<D.log2(a+b)<a+<[解析] B利用特殊值法检验排除,当a=2,b=时,选项A,C,D对应的不等式不成立,故选B.2.[2016·北京卷]已知x,y∈R,且x>y>0,则 ()A.->0B.sin x-sin y>0C.x-y<0D.ln x+ln y>0[解析] C选项A中,因为x>y>0,所以<,即-<0,故结论不成立;选项B中,当x=,y=时,sin x-sin y<0,故结论不成立;选项C中,函数y=x是定义在R上的减函数,因为x>y>0,所以x<y,所以x-y<0;选项D中,当x=e-1,y=e-2时,结论不成立.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)> = < (2)> = <2.(1)b<a (3)> a+c>b+d (4)> < > (5)>对点演练1.a [解析] 因为b-c=--(-)=(+)-(+),(+)2=9+2,(+)2=9+2,所以b-c<0,即b<c.又a-c=-(-)=2-=->0,所以a>c.所以a,b,c中最大者为a.2.f>g[解析] ∵f-g=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,∴f>g.3.③[解析] ①若b>0>a,则<0<,故①正确;②若0>a>b,则ab>0,∴>,即<,故②正确;③若a>0>b,则>0>,故不能推出<,因此③不正确;④若a>b>0,则>,即<,故④正确.综上可知,不能推出<成立的是③.4.(-7,7)[解析] 由题可知-1<a<2,-3<b<5,∴-2<2a<4,-5<-b<3,结合不等式的性质可得2a-b∈(-7,7).5.S>1[解析] 因为a,b,c∈R+,所以S=++>++=1,则S与1的大小关系是S>1.6.--[解析] 因为2<a<3,-3<b<-2,所以-<<-,所以-<<-.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)考虑利用差值比较法进行判断;(2)先令3a=4b=6c=k,并转化为对数形式,然后作商比较.(1)P>Q (2)C[解析](1)P-Q=---=---=--=-.因为a>b>0,所以2ab>0,a-b>0,a2+b2>0,a+b>0,所以->0,所以P>Q.(2)令3a=4b=6c=k,则a=log3k,b=log4k,c=log6k,则===<1,则3a<4b,又===<1,则4b<6c,所以3a<4b<6c,故选C.变式题(1)M>N (2)C[解析] (1)因为M-N=(2p+1)(p-3)-[(p-6)(p+3)+10]=p2-2p+5=(p-1)2+4>0,所以M>N.(2)=77-a a a-7=-,则当a>7时,0<<1,7-a<0,则->1,∴77a a>7a a7;当0<a<7时,>1,7-a>0,则->1,∴77a a>7a a7.综上,77a a>7a a7.例2[思路点拨] 利用不等式的性质或特殊值法求解.(1)D(2)D[解析] (1)因为a<b<0,所以>>0,所以a2>b2,故a2+1>b2,①正确.a<b<0⇒-a>-b>0⇒-a+1>-b+1>0,故|1-a|>|b-1|,②正确.a<b<0⇒a+b<a<b<0,所以>>,③正确.故选D.(2)取a=,b=4,c=2,则由=,=,知D结论错误.故选D.变式题(1)D(2)D[解析] (1)由a<b<0,得>,A成立;因为a<0,a<b,所以a2>ab,B成立;因为a<b<0,所以>,C成立;当a=-2,b=-1时,-=-1,=-,->不成立.故选D.(2)A中,当x=1,y=-1时,<不成立,所以A错.B中,当x=1,y=时,log2(x-y)=-1,所以B错.C中,当x=1,y=-1时,x2>y2不成立,所以C错.D中,f(x)=在R上单调递减,当x>y时,<成立,故选D.例3[思路点拨] (1)首先将两个已知不等式同时除以a,化为关于,的不等式组,然后利用不等式的性质可求得的取值范围;(2)先令9x+y=a(2x+y)+b(3x+y),然后通过比较系数求得a,b 的值,进而根据条件中两个代数式的取值范围确定出9x+y的取值范围.(1)A(2)-[解析] (1)三个正数a,b,c满足a≤b+c≤2a,b≤a+c≤2b,∴1≤+≤2,≤1+≤,即-≤-1-≤-,∴1-≤-1≤2-,即----即∴≤≤,故选A.(2)设9x+y=a(2x+y)+b(3x+y),则9x+y=(2a+3b)x+(a+b)y,于是比较两边系数得得a=-6,b=7.由已知不等式得-3≤-6(2x+y)≤3,-≤7(3x+y)≤,所以-≤9x+y≤.变式题[解析] 由条件f(a,b)=ax+by,可知f(1,1)=x+y,f(1,-1)=x-y,则1≤x+y≤2,且-1≤x-y≤1.设f(2,1)=2x+y=λ(x+y)+μ(x-y),即2x+y=(λ+μ)x+(λ-μ)y,于是-解得而≤(x+y)≤3,-≤(x-y)≤,所以1≤2x+y≤,即f(2,1)的取值范围是1,.【备选理由】例1将不等式的比较大小应用于数列中的两项之间比较大小;例2为一道作商比较大小的题目,是对探究点一比较大小方法的补充;例3考查不等式性质与实际应用相结合.1[配合例1使用] 在等比数列{a n}和等差数列{b n}中,a1=b1=1,a3=b3,且a3≠a1,试比较a5与b5的大小.解:设等比数列{a n}的公比为q(q≠±1),等差数列{b n}的公差为d(d≠0),由a3=b3,得a1q2=b1+2d,即q2=1+2d,∴a5-b5=a1q4-(b1+4d)=(1+2d)2-(1+4d)=4d2>0,∴a5>b5.2[配合例1使用] 若a=,b=,c=,则()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c[解析] C由a=,b=,c=,得a,b,c都是正数,∴==log89>1,即b>a,==log2532>1,即a>c,则c<a<b.3[配合例3使用] 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元,而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元,那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是() A.2枝玫瑰的价格高B.3枝康乃馨的价格高C.价格相同D.不确定[解析] A设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格分别为x元、y元,则6x+3y>24,4x+4y<20⇒2x+y>8,x+y<5,因此2x-3y=5(2x+y)-8(x+y)>5×8-8×5=0,因此2枝玫瑰的价格高,选A.第34讲一元二次不等式及其解法考试说明1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.考情分析真题再现■[2017-2013]课标全国真题再现1.[2016·全国卷Ⅱ]已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=()A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}[解析] C∵B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z},∴B={0,1},∴A∪B={0,1,2,3}.2.[2016·全国卷Ⅰ]设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=()A.-3,-B.-3,C.1,D.,3[解析] D集合A=(1,3),B=,+∞,所以A∩B=,3.■[2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·山东卷]设函数y=-的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=()A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)[解析] D由4-x2≥0得-2≤x≤2,所以A={x|-2≤x≤2};由1-x>0得x<1,所以B={x|x<1}.故A∩B={x|-2≤x<1},故选D.2.[2016·浙江卷]已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁R Q)=()A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)[解析] B易知∁R Q={x|-2<x<2},则P∪(∁R Q)={x|-2<x≤3},故选B.【课前双基巩固】知识聚焦2.{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}R{x|x1<x<x2}⌀⌀对点演练1.[-2,5][解析] ∵x2-3x-10≤0,∴(x-5)(x+2)≤0,∴-2≤x≤5.2.(-∞,1)∪(6,+∞)[解析] 由题意,得Δ=4a2-4×(7a-6)>0,即a2-7a+6>0,解得a>6或a<1.3.{0,1,2}[解析] ∵A={x|-1<x<3},B={-1,0,1,2,3},∴A∩B={0,1,2}.4.x x<或x>7[解析] 2x(x-7)>3(x-7)⇔2x(x-7)-3(x-7)>0⇔(x-7)(2x-3)>0,解得x<或x>7,所以,原不等式的解集为x x<或x>7.5.{x|-3≤x≤1}[解析] (x+3)(1-x)≥0⇔(x+3)(x-1)≤0,解得-3≤x≤1,∴不等式的解集为{x|-3≤x≤1}.6.(-4,0][解析] 当m=0时,mx2+mx-1=-1<0,不等式恒成立;当m≠0时,由解得-4<m<0.综上,m的取值范围是(-4,0].【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)先通过解二次不等式化简集合,再求交集;(2)由根与系数的关系得出a,b 的值,再解不等式.(1)D(2)B[解析] (1)∵M={x|x2+5x-14<0}={x|-7<x<2},N={x|1<x<4},∴M∩N={x|1<x<2},选D.(2)由已知可得----解得-代入不等式bx2-5x+a>0得30x2-5x-5>0,解得x>或x<-,从而所求不等式的解集为x x<-或x>,故选B.变式题(1)3(2)(-1,-lg 2)[解析] (1)∵A={x∈Z|x2-3x-4≤0}={x∈Z|-1≤x≤4}={-1,0,1,2,3,4},B={x∈Z|2x2-x-6>0}=x∈Z x<-或x>2,∴A∩B={3,4},则A∩B的真子集的个数为22-1=3.(2)由题意知,是一元二次方程f=0的两实数根,且方程的二次项系数为负数,所以不等式f>0等价于<10x<,所以x∈(-1,-lg 2).例2[思路点拨] 分a=2与a≠2两种情况,结合二次函数的图像特征建立不等式组进行求解. (-2,2][解析] 当a-2=0,即a=2时,不等式即为-4<0,对一切x∈R恒成立;当a≠2时,需---∴-2<a<2.综上,得实数a的取值范围是(-2,2].例3[思路点拨] 方法一,由二次函数图像可知,若二次项系数大于0,则当x取值在两根之间时函数值恒为负值,故只要x取-1和2时的函数值小于或等于0即可;方法二,把参数a分离出来,转化为求函数的最值.A[解析] 方法一:令f(x)=x2-2x+a,则由题意,得-----解得a≤-3,故选A.方法二:当x∈[-1,2]时,不等式x2-2x+a≤0恒成立等价于a≤-x2+2x恒成立,则由题意,得a≤(-x2+2x)min(x∈[-1,2]).而-x2+2x=-(x-1)2+1,则当x=-1时,(-x2+2x)min=-3,所以a≤-3,故选A.例4[思路点拨] 将已知函数重新整理成关于a的函数,然后利用一次函数的性质求x的取值范围.(-∞,1)∪(3,+∞)[解析] 由题意知,f=x2+(a-4)x+4-2a>0,即(x-2)a+x2-4x+4>0对任意a∈[-1,1]恒成立.令g=(x-2)a+x2-4x+4,则------解得x<1或x>3,故x的取值范围是(-∞,1)∪(3,+∞).强化演练1.B[解析] 若不等式x2-ax+a>0恒成立,则Δ=a2-4a<0,解得0<a<4,则不等式x2-ax+a>0(a∈R)在R上恒成立的充分不必要条件应是{a|0<a<4}的一个真子集,故选B.2.B[解析] 由题意知a≥(x2)max.当x∈[1,2]时,(x2)max=4,则a的取值范围是a≥4,故选B.3.D[解析] 函数f(x)的定义域是实数集R,则x2+ax+1≥0恒成立,即Δ=a2-4≤0,解得-2≤a≤2,即实数a的取值范围是[-2,2].故选D.4.(-∞,-1]∪[解析] 由题意知(a-3)x2<(4a-2)x对a∈(0,1)恒成立等价于(x2-4x)a-3x2+2x<0对a∈(0,1)恒成立.令g(a)=(x2-4x)a-3x2+2x,当x=0时,g(a)=0,不满足题意.当x≠0时,则---得x≤-1或x≥.例5[思路点拨] (1)由题意可得出关于x的不等式,解不等式即可;(2)由题意可得出利润u关于x的函数,求二次函数在闭区间内的最值,要比较对称轴与闭区间的关系,结合二次函数的图像即可找到最大值.解:(1)根据题意,有1005x-+1≥1500,即5x2-14x-3≥0,得x≥3或x≤-,又1≤x≤10,所以3≤x≤10.(2)设生产480千克该产品获得的利润为u元,则u=24 0005+-,1≤x≤10,记f=-++5(1≤x≤10),则f=-3-2++5(1≤x≤10),当x=6时f取得最大值,此时u=24 000×=122 000,故该厂以6千克/时的速度生产480千克该产品可获得最大利润122 000元.变式题解:(1)由题意,得AQ=(x+20)m,∵=,∴=,∴AP=m,则S=··(x+20)==15x++40≤x≤80.(2)∵S≥1600,∴3x2-200x+1200≥0,∴0<x≤或x≥60,结合定义域得60≤x≤80.即要使三角形花园APQ的面积不小于1600 m2,则DQ的长的取值范围是[60,80].【备选理由】例1为含参一元二次不等式问题,需要对参数进行分类讨论;例2为不等式恒成立问题,要注意二次项系数是否为0;例3为不等式有整数解的问题.1[配合例1使用] 解关于x的不等式a(a-1)x2-(2a-1)x+1>0,其中a∈R.解:原不等式等价于(ax-1)[(a-1)x-1]>0.①当a<0时,x∈-∞,∪,+∞;-②当a=0时,x∈(-1,+∞);③当0<a<1时,x∈,;-④当a=1时,x∈(-∞,1);⑤当a>1时,x∈-∞,∪,+∞.-2[配合例2使用] 若ax2+ax+a+3≥0对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是.[答案] [0,+∞)[解析] 若a=0,则不等式等价于3≥0,满足条件;若a≠0,要使ax2+ax+a+3≥0对一切实数x恒成a>0.综上可得实数a的取值范围是[0,+∞).立,则需满足-解得3[配合例3使用] 关于x的不等式(ax-1)(x+2a-1)>0的解集中恰含有3个整数,则实数a 的取值集合是.[答案] -,-1[解析] 很明显a<0,则不等式的解集为x<x<1-2a .分类讨论:当-1≤<0 时,有2<1-2a ≤3,据此可得a=-1;当-2≤<-1时,有1<1-2a ≤2,据此可得a=-;当-3≤<-2时,有0<1-2a ≤1,此时没有满足条件的a 的值.综上可得实数a 的取值集合是-,-1.第35讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考试说明 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅰ] 设x ,y 满足约束条件- - 则z=3x-2y 的最小值为 . [答案] -5[解析] 已知不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=3x-2y ,得y=x-,当z 最小时,-最大,故在点A 处目标函数取得最小值.由- 解得 -所以z min =-3-2=-5.2.[2016·全国卷Ⅰ] 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元. [答案] 216 000[解析] 设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件,利润之和为z 元,则 即目标函数为z=2100x+900y. 作出二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点,即可行域.由图可知当直线z=2100x+900y 经过点M 时,z 取得最大值.解方程组 得M的坐标为(60,100),所以当x=60,y=100时,z max =2100×60+900×100=216 000. 3.[2015·全国卷Ⅱ] 若x ,y 满足约束条件 -- - 则z=x+y 的最大值为 . [答案][解析] 画出可行域如图中阴影部分所示,目标函数可化为y=-x+z ,所以直线z=x+y 过点B 时,z 取得最大值.4.[2014·全国卷Ⅰ] 不等式组-的解集记为D ,有下面四个命题:p 1:∀(x ,y )∈D ,x+2y ≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中的真命题是()A.p2,p3B.p1,p2C.p1,p4D.p1,p3[解析] B不等式组表示的区域D如图中的阴影部分所示,设目标函数z=x+2y,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A(2,-1)处取得最小值,且z min=2-2=0,即x+2y的取值范围是[0,+∞),故命题p1,p2为真,命题p3,p4为假.5.[2013·全国卷Ⅱ]已知a>0,x,y满足约束条件-若z=2x+y的最小值为1,则a= ()A.B.C.1D.2[解析] B直线y=a(x-3)过定点(3,0) .画出可行域如图,易得A(1,-2a),B(3,0),C(1,2).作出直线y=-2x,平移易知直线过A点时直线在y轴上的截距最小,即2+(-2a)=1⇒a=.答案为B.■[2017-2016]其他省份类似高考真题[2017·山东卷]已知x,y满足约束条件-则z=x+2y的最大值是()A.0B.2C.5D.6[解析] C画出约束条件所表示的平面区域,如图,平移直线x+2y=0,当直线过A点时,z取得最大值.由-得A(-3,4),所以z max=-3+8=5,故选C.【课前双基巩固】知识聚焦1.边界边界公共部分2.不等式(组)一次解析式一次解集合最大值最小值最大值最小值对点演练1.[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示.由-得A(-3,0);由---得B(-3,-5);由--得C-,-.∵AB边与y轴平行,∴|AB|=|-5-0|=5,点C到边AB的距离d=--(-3)=,∴S△ABC=×5×=.2.10[解析] 画出可行域如图,由图可知,平移直线2x+y=0经过A(4,2)时,目标函数z=2x+y 取得最大值,最大值为10.3.4.1[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作直线x-y=0,平移直线经过点A(1,0)时,目标函数z=x-y取得最大值,最大值为1.5.73[解析] 根据约束条件画出可行域,令u=,它表示可行域内的点到原点的距离.由图可知,可行域内的点P到原点的距离最大,由-可得P(3,8),所以|OP|=,所以u max=,所以z=u2的最大值为73.6.1[解析] 画出可行域如图所示,由z=y-ax得y=ax+z,当z取最大值时,直线在y轴上的截距最大.当a≤0时,最优解只有一个,不满足题意;当a>0时,要使最优解有无数个,则有直线y=ax+z与直线AC重合,所以a=1.【课堂考点探究】例1[思路点拨] 首先画出不等式组表示的平面区域,然后根据平面区域的形状求解面积.(1)B(2)-[解析] (1)作出不等式组---所表示的平面区域如图所示,易得B点坐标为(1,0).联立---得A(2,3),则S△OAB=×1×3=,故选B.(2)作出可行域如图所示:直线y=k(x-3)恒过定点(3,0),要使直线y=k(x-3)分平面区域Ω1为面积相等的两部分,则直线必过线段AB的中点C1,,故k=k CD=-.例2[思路点拨] 首先画出不等式组表示的平面区域,然后判断其形状.A[解析] 在平面直角坐标系中,画出不等式组--表示的平面区域,如图中的阴影部分所示,则平面区域的形状是三角形.强化演练1.C[解析] 作出不等式组表示的平面区域,如图所示,易知平面区域的形状为等腰直角三角形.2.A[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,易知其面积为1,故选A.3.C[解析] 作出区域Ω如图所示,易知S△ABC=×2×1=1,则满足ax+y>0的区域面积S△OAD=,据此可得D,,代入ax+y=0可得a=-.故选C.4.0或1[解析] 直线x+y=0的倾斜角为135°,直线x=0的倾斜角为90°,所以两直线的夹角为45°.而直线kx-y+1=0,即y=kx+1过定点P(0,1),由图可知,当不等式组表示的平面区域的形状为等腰直角三角形时,k=0或k=1.例3[思路点拨] 作出约束条件对应的可行域,再结合图形分析目标函数的最值.(1)C(2)B[解析] (1)作出可行域如图中阴影部分所示,易知直线z=2x+y过点A -,1时,z取得最小值-2,故选C.(2)画出约束条件表示的可行域如图所示,结合目标函数可得,当直线z=2x-y过点B(0,-3)时目标函数取得最大值3,故选B.例4[思路点拨] (1)x2+y2的几何意义为原点到可行域内的点的距离的平方,据此可求最小值;(2)利用的几何意义,即可行域内的点(x,y)与定点(-1,-1)连线的斜率求解.(1)D(2)A[解析] (1)作出可行域(如图所示),z=x2+y2表示可行域内的点M(x,y)到原点的距离的平方.由图可得的最小值为,所以z=x2+y2的最小值为22+12=5,故选D.(2)作出可行域如图所示,z的几何意义为可行域内的点(x,y)与定点A(-1,-1)连线的斜率,由图可知z∈[0,2).例5[思路点拨] (1)作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识,确定目标函数取最优解的条件,即可求出m的值;(2)将不等式中的存在性问题转化为最值问题处理.(1)A(2)C[解析] (1)由目标函数结合可行域可知(图略),目标函数在直线3x-y-1=0与2x-y+2=0的交点(3,8)处取得最大值,则直线mx-y=0恒过定点(3,8),解得m=,故选A.(2)不等式组表示的平面区域D如图所示,存在满足t≤3x-y的点,只需t≤(3x-y)max,令z=3x-y,则问题转化为求目标函数z=3x-y的最大值,显然在点B(2,1)处z取得最大值,最大值为5,所以t≤5,故选C.强化演练1.C[解析] 由题意可知,可行域为图中A,B,C三点,令z=y-2x,当直线y=2x+z过点A(1,2)时,z 取最大值0,故选C.2.A[解析] 画出-表示的可行域如图所示,由图知,目标函数z=2x+y在直线x-y+1=0与直线x+y=0的交点-,处取得最小值-,故选A.可看作点(x,y)与(0,0)连线的3.B[解析] 由约束条件作出可行域如图所示,目标函数z==--斜率,结合图形可知,当两点连线与直线2x-y=0重合时,斜率最大,故z的最大值为2.4.B[解析] 画出可行域如图所示,化z=mx+y为y=-mx+z.由图可知,当-m≥-,即m≤时,目标函数在点A(-4,3)处取得最大值,即z max=m×(-4)+3=5,m=-;当-m<-,即m>时,目标函数在点B(0,1)处取得最大值1,与题意不符.故选B.5.-1[解析] 画出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由图可知,当直线ax+y=0与直线2x-2y+1=0重合,即a=-1时,目标函数z=ax+y取得最小值时的最优解有无数个.6.4[解析] 易知m>3,x,y满足的可行域如图所示.z=x2+y2表示可行域内的点(x,y)与原点(0,0)连线的距离的平方,由图可知,若过O作AB边的垂线,垂足必落在线段BA的延长线上,可得|OB|>|OA|.又B(m-1,1),所以=(m-1)2+12=10,解得m=4或m=-2(舍),故填4.例6 [思路点拨] 设每天应配制甲种饮料x 杯,乙种饮料y 杯,咖啡馆每天获利z 元,建立目标函数z=0.7x+1.2y ,求出x ,y 满足的约束条件,画出可行域,找到最优解.200 240 [解析] 设每天配制甲种饮料x 杯,乙种饮料y 杯,咖啡馆每天获利z 元,则x ,y 满足约束条件 目标函数z=0.7x+1.2y.在平面直角坐标系内作出可行域,如图中阴影部分内的整点所示.作直线l 0:0.7x+1.2y=0,把直线l 0向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上的A 点,由图可知,此时z=0.7x+1.2y 取最大值.解方程组 得A 点坐标为(200,240),故每天应配制甲种饮料200杯,乙种饮料240杯,能使该咖啡馆获利最大.变式题 210 000 [解析] 设分别生产A 款产品和B 款产品x ,y 台,利润之和为z 元,则根据题意可得目标函数为z=1000x+2000y.画出可行域如图,由图可知,当直线y=-+经过点M 时,z 取得最大值.联立得M (30,90).所以当x=30,y=90时,目标函数取得最大值,z max =30×1000+90×2000=210 000.【备选理由】例1先由不等式演变为不等式组,再确定可行域;例2考查非线性目标函数的几何意义,即考查斜率型目标函数的最值;例3根据目标函数的最值求目标函数中的参数.1[配合例3使用] [2017·长沙模拟]若1≤log2(x-y+1)≤2,|x-3|≤1,则z=x-2y的最大值与最小值之和是()A.0B.-2C.2D.6[解析] C由条件可知----画出可行域如图.z=x-2y,即y=x-表示斜率为的一组平行线,当直线过点A和C时z分别取得最大值和最小值.易知A(2,-1),C(4,3),则z max=2-2×(-1)=4,z min=4-2×3=-2,所以最大值和最小值的和为4+(-2)=2,故选C.2[配合例4使用] [2017·临川实验学校一模]已知变量x,y满足--则的取值范围是()A.B.C.D.[解析] A=+,令k=,则k表示可行域内的点与原点连线的斜率,由图可知,k OA≤k≤k OB,易知A,B(1,3),所以≤k≤3.令z=k+,由函数的单调性求得2≤z≤,所以的取值范围是2,.故选A.3 [配合例5使用] [2017·河南新乡二模] 若变量x ,y 满足 -- 且z=mx-y (0<m<2)的最小值为-,则m 等于( )A .B .C .1D .[解析] C 画出不等式组表示的平面区域如图所示,结合图形可知,当直线y=mx-z 经过点A,3时,其在y 轴上的截距最大,此时z=mx-y 取得最小值,即m-3=-⇒m=1,故选C .第36讲 基本不等式考试说明 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅰ] 已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A ,B 两点,直线l 2与C 交于D ,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为 ( ) A .16 B .14 C .12 D .10[解析] A根据题意可知直线l1,l2的斜率存在且不为零,抛物线C的焦点F的坐标为(1,0),设直线l1的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2+,根据抛物线定义得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=4+.因为l2⊥l1,所以用-代替k,得|DE|=4+4k2,所以|AB|+|DE|=8+4≥8+4×2=16,当且仅当k=±1时,等号成立,故所求的最小值为16.2.[2014·全国卷Ⅰ]已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)·(sin A-sinB)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.[答案][解析] 根据正弦定理和a=2可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,故得b2+c2-a2=bc,根据余弦定理得cos A=-=,所以A=.根据b2+c2-a2=bc及基本不等式得bc≥2bc-a2,即bc≤4,所以△ABC面积的最大值为×4×=.■[2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·天津卷]若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.[答案] 4[解析] 由题意得a2>0,b2>0,ab>0,所以=≥=4ab+≥2=4,当且仅当a2=2b2=时,等号成立.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)a,b∈R+(2)a=b2.(1)2ab (2)23.≥4.(1)2(2)对点演练1.0[解析] 因为x>-2,所以x+2>0,>0,则x+=x+2+-2≥2-2=0,当且仅当x=-1时等号成立.2.[解析] ∵正实数x,y满足2x+y=1,∴xy=(2x)·y≤=,当且仅当2x=y=时等号成立,即xy的最大值为.3.81 m2[解析] 设矩形菜园的长和宽分别为x m,y m,则x>0,y>0,由题意有2(x+y)=36,∴x+y=18,∴矩形菜园的面积S=xy≤==81,当且仅当x=y=9时取“=”.∴当长和宽都为9 m时,最大面积为81 m2.4.0[解析] ∵x<1,∴y=-=--=(x+1)+-=(x-1)+-+2≤-2--+2=0,当且仅当x=0时等号成立.5.[解析] 设x-1=t,则x+-=t++1,又由x≥4得t≥3,而函数y=t++1在[3,+∞)上是增函数,因此t=3时,y取得最小值3++1=.6.3[解析] +=+(x+y)=4+++1≥5+2=3,当且仅当=,即x=2,y=1时,+取得最小值3.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)根据式子特征凑出积为定值,然后利用基本不等式求解;(2)根据已知等式凑出和为定值,然后利用基本不等式求解.(1)(2)[解析] (1)由题意可知a+=a++-≥2-=,当且仅当a+=,即a=时等号成立.所以a+的最小值为.(2)∵x>0,y>0,∴xy=·x·3y≤=,当且仅当x=3y=时,等号成立,故xy的最大值是.例2[思路点拨] (1)首先利用函数与直线知识确定出关于a,b的等式,然后采用代换法将a+b 代换为a+b=(a+b)+,展开后再利用基本不等式求最值;(2)首先利用数列知识确定出关于m,n的等式,然后采用代换法将+代换为+=+(m+n),展开后再利用基本不等式求最值.(1)C(2)C[解析] (1)由函数的解析式可得M(1,1),即+=1(a>0,b>0),则a+b=(a+b)+=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时等号成立,所以a+b的最小值为4,故选C.(2)由题意可得a5q2=a5q+2a5,则q2-q-2=0,结合q>0,解得q=2.由a m a p=a1q m-1·a1q p-1=16,得m+p=6,则+=+(m+p)=5++≥5+2=,当且仅当m=2,p=4 时等号成立,故选C.例3[思路点拨] 利用不等式性质对已知条件进行变形,进而将u的表达式中的b消去,然后再通过变换结构,结合基本不等式求解.B[解析] ∵a2-b+4≤0,∴b≥a2+4,∴a+b≥a2+a+4.又∵a,b>0,∴≤,∴-≥-,∴u==3-≥3-=3-≥3-=,当且仅当a=2,b=8时取等号.故选B.例4[思路点拨] 先将代数式中第2项的分母利用基本不等式进行变换,再根据结构特征利用基本不等式可求得结果.4[解析] ∵a>b>0,∴a-b>0,∴b(a-b)≤-=,∴a2+-≥a2+≥2=4,当且仅当b=a-b且a2=,即a=且b=时取等号,∴a2+-的最小值为4.强化演练1.[解析] ∵x∈0,,∴y=x(1-4x)=×(4x)·(1-4x)≤×-=,当且仅当x=时等号成立,∴函数y=x(1-4x)的最大值是.2.C[解析] f=x+-=-(2-x)+-+2≤0,当且仅当2-x=-,即x=1时等号成立,故选C.3.C[解析] 由题意得,=(a-1,1),=(-b-1,2).因为A,B,C三点共线,所以2(a-1)-(-b-1)=0,即2a+b=1.又a>0,b>0,所以+=(2a+b)+=4++≥4+2=8,当且仅当b=2a=时等号成立,故选C.4.D[解析] a2++-=(a2-ab)+-++ab≥2--+2=4当且仅当a2-ab=-且=ab,即a=,b=时取等号,故选D.5.B[解析] 由题意得b+c=2-a,∴0<a<2,则+=+-=+-[(a+1)+(2-a)]=5+-+-≥5+2--=3,当且仅当-=-,即a=1时,等号成立,故选B.例5[思路点拨] (1)首先设出对称的两点坐标,并代入函数可得到实数a关于两点横坐标的表达式,然后利用基本不等式求最值即可;(2)首先根据函数解析式与直线方程求得A,B,C,D四点的横坐标,并得到线段AC和BD在x轴上的投影长度,由此得到关于m的表达式,最后利用基本不等式求解.(1)B(2)8[解析] (1)由题意,函数存在奇对称点,即函数图像上存在两点关于原点对称,可设两点为P(x1,y1),Q(x2,y2),即y1=-a,y2=-a.因为关于原点对称,所以x1+x2=0,-a=-+a,则2a=+≥2=2=2,因为x1≠0,且x2≠0,所以a>1,故选B.(2)根据题意得x A=2-m,x B=2m,x C=-,x D=,所以a=|x A-x C|=2-m--,b=|x B-x D|=2m-,即=----=·2m=.因为m>0,所以+m=(2m+1)+-≥2-=,当且仅当(2m+1)=,即m=时取等号,所以的最小值为=8.变式题0,[解析] f(x)=x3+2,则f'(x)=3x2,∵x1x2=1,x1≠x2,∴|x1+x2|>2=2,即(x1+x2)2>4,∴(x1+x2)2+>4+,∴φ(M,N)=---=-<-=,即φ(M,N)∈0,.例6[思路点拨] (1)首先求出第x年年底该车运输累计收入与总支出的差,然后令其大于0,即可得到结论;(2)利用利润=累计收入+销售收入-总支出,可得平均利润,再利用基本不等式可得结论.解:(1)设大货车运输到第x年年底,该车运输累计收入与总支出的差为y万元,则y=25x-[6x+x(x-1)]-50=-x2+20x-50(0<x≤10,x∈N*),由-x2+20x-50>0,可得10-5<x≤10.∵2<10-5<3,∴到第3年年底,该车运输累计收入超过总支出.(2)设年平均利润为m万元,由(1)知m=-=19-x+≤19-10=9,当且仅当x=5时,等号成立,∴在第5年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大.【备选理由】例1是一道利用基本不等式求函数最值题目;例2是基本不等式与直线和圆位置关系的最值结合的问题;例3为多次使用基本不等式问题.。
全品高考复习方案数学
全品高考复习方案数学全品高考复习方案数学篇1一、高三数学复习，大体可分四个阶段，每一个阶段的复习方法与侧重点都各不相同，要求也层层加深，因此，同学们在每一个阶段都应该有不同的复习方案，采用不同的方法和策略。
1.第一阶段，即第一轮复习，也称"知识篇"，大致就是高三第一学期。
在这一阶段，老师将带领同学们重温高一、高二所学课程，但这绝不只是以前所学知识的简单重复，而是站在更高的角度，对旧知识产生全新认识的重要过程。
因为在高一、高二时，老师是以知识点为主线索，依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，所以，你学的往往时零碎的、散乱的知识点，而在第一轮复习时，老师的主线索是知识的纵向联系与横向联系，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化，侧重点在于各个知识点之间的融会贯通。
所以大家在复习过程中应做到：①立足课本，迅速激活已学过的各个知识点。
（建议大家在高三前的一个暑假里通读高一、高二教材）②注意所做题目使用知识点覆盖范围的变化，有意识地思考、研究这些知识点在课本中所处的地位和相互之间的联系。
注意到老师选题的综合性在不断地加强。
③明了课本从前到后的知识结构，将整个知识体系框架化、网络化。
能提炼解题所用知识点，并说出其出处。
④经常将使用最多的知识点总结起来，研究重点知识所在章节，并了解各章节在课本中的地位和作用。
全品高考复习方案数学篇2数学的考察主要还是基础知识，难题也不过是在简单题的基础上加以综合。
所以课本上的内容是很重要的，如果课本上的知识都不能掌握，就没有触类旁通的资本。
对课本上的内容，上课之前能够首先预习一下，否则上课时有一个知识点没有跟上老师的步骤，下面的就不知所以然了，如此恶性循环，就会开始厌烦数学，对学习来说兴趣是很重要的。
课后针对性的练习题一定要认真做，不能偷懒，也可以在课后复习时把课堂例题反复演算几遍，毕竟上课的时候，是老师在进行题目的演算和讲解，学生在听，这是一个比较机械、比较被动的接受知识的过程。
2019年全品高考复习方案理科数学第集合与常用逻辑用语听课答案-第四单元-平面向量、数系的扩充与复数的引入
全品高考复习方案数学(理科) RJA 第四单元平面向量、数系的扩充与复数的引入1.编写意图本单元内容是高中数学中的工具性知识,在近几年高考中主要考查三个方面:一是平面向量本身知识的基础题,多以选择题、填空题的形式出现,难度不大;二是以向量作为工具,考查与其他知识点的交汇与整合,以解答题为主;三是复数的概念及其运算,大多为选择题,较为简单.因此,编写时主要考虑以下几方面:(1)每课时的例题、习题以巩固基础知识为主,重点是引导学生用向量知识解决有关长度、夹角、垂直等问题,掌握应用向量知识解决这类问题的方法;(2)适当配备平面向量综合问题的“新热点”题型,其形式为向量与其他知识的综合,但严格控制难度,用于加强学生对各个知识点之间联系的渗透,构建知识网络,提高综合应用能力;(3)复数考查基本运算,要掌握常规方法和常规运算.2.教学建议本单元的内容着重体现其应用性、工具性,复习中应注意下面几点:(1)向量的运算在高考中一定会有考查,并且难度较大,在复习中要注意对该部分知识进行拓展和提升;(2)向量的数量积在高考中一般会考查一道选择题或者填空题,在大题中也有涉及,但是考查难度不大,注意常规方法和常规运算的训练;(3)复数在高考中一般位于前几道题的位置,难度不大,注意基本概念的理解和基本运算的训练.3.课时安排本单元共4讲和一个小题必刷卷(七),每讲建议1课时完成,小题必刷卷(七)课外完成,共需4课时.第24讲平面向量的概念及其线性运算考试说明1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.2.理解向量的几何意义.3.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.4.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.5.了解向量线性运算的性质及其几何意义.考情分析真题再现■[2017-2013]课标全国真题再现1.[2015·全国卷Ⅰ]设D为△ABC所在平面内一点,=3,则()A.=-+B.=-C.=+D.=-[解析] A由题意知=+=+=+(-)=-+.2.[2015·全国卷Ⅱ]设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.[答案][解析] 因为λa+b与a+2b平行,所以存在唯一实数t,使得λa+b=t(a+2b),所以解得λ=t=.■[2016-2015]其他省份类似高考真题[2016·北京卷]设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[解析] D若|a|=|b|成立,则以a,b为邻边组成的平行四边形为菱形,a+b,a-b表示的是该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以|a+b|=|a-b|不一定成立,从而不是充分条件;反之,若|a+b|=|a-b|成立,则以a,b为邻边组成的平行四边形为矩形,矩形的邻边不一定相等,所以|a|=|b|不一定成立,从而不是必要条件.故选D.【课前双基巩固】知识聚焦1.大小方向大小长度|a| || 001 1相同长度相同长度相反-a 不确定的任意的平行2.和三角形平行四边形b+a a+(b+c)相反向量三角形a+(-b)向量数乘λa |λ||a| 相同相反0λa+λb λ1a+λ2a3.b=λa对点演练1.[解析] -+-+++=(++++)-(+)=.2.(4)[解析] 根据向量的概念可知(4)错误.3.(a+b)[解析] ∵+=,+=,=-,∴=(+)=(a+b).4.2[解析] 因为e1与e2不共线,且a=e1-e2与b=-2e1+λe2共线,所以存在μ∈R,使e1-e2=μ(-2e1+λe2)=-2μe1+μλe2,得--所以λ=2.5.②[解析] 对于①,由于与是相反向量,所以+=0,①错误;对于②,由于a∥b且|a|>|b|>0,所以当a,b同向时,a+b的方向与a的方向相同,当a,b反向时,a+b的方向仍与a的方向相同,②正确;对于③,因为不确定a0的方向与a的方向是否相同,所以③错误.6.等腰梯形[解析] =表示与共线,但||≠||,所以四边形ABCD是梯形,又||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形.7.[2,6][解析] 当a与b方向相同时,|a-b|=2,当a与b方向相反时,|a-b|=6,当a与b不共线时,2<|a-b|<6,所以|a-b|的取值范围为[2,6].此题易忽视a与b方向相同和a与b方向相反两种情况.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)将已知等式整理成a=λb的形式,再根据向量共线定理判断;(2)利用平面向量的有关概念判断.(1)C(2)①②[解析] (1)由+=0得=-≠0,即a=-·|a|≠0,则a与b共线且方向相反,因此当向量a与b共线且方向相反时,能使+=0成立.选项A中向量a与b的方向相同,选项B中向量a与b共线,方向相同或相反,选项C中向量a与b的方向相反,选项D中向量a与b互相垂直,故选C.(2)①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.②不正确.当b=0时,a∥b,b∥c,但a与c不一定平行.③正确.a与b是非零向量,b与-b反向,若a与b同向,则a与-b反向.④正确.因为与共线,且与有公共点B,所以A,B,C三点在同一条直线上.变式题(1)D(2)A[解析] (1)A中,与的长度相等,但方向不同,所以A错误;B中,与的长度相等,但方向不同,所以B错误;C中,与的长度相等,但方向相反,所以C错误;D中,与的长度相等,方向也相同,即=.故选D.(2)对于①,因为=,所以||=||且与共线,又因为A,B,C,D是不共线的四个点,所以四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则与共线且||=||,所以=,故①正确.根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误.向量与互为相反向量,故③错误.对于④,因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同,又b=c,所以b,c的长度相等且方向相同,所以a,c 的长度相等且方向相同,即a=c,故④正确.故选A.例2[思路点拨] (1)首先根据条件4=+2构造平行四边形ABEF,然后结合三角形相似的性质求解;(2)以向量,为邻边作平行四边形,通过判断平行四边形的形状来确定△ABC的形状.(1)D(2)直角三角形[解析] (1)如图所示,延长AC到点F,使AC=CF,以AB,AF为邻边作平行四边形ABEF,对角线AE交BC于点D,故4=+2=,即点O在AE上,则△AOB 与△AOC的高分别为B,C到AE的距离.由平行四边形的性质得△ADC∽△EDB,且相似比为1∶2,即CD∶BD=1∶2,又因为△AOB,△AOC的底边均为AO,高的比等于BD∶DC=2∶1,所以△AOB与△AOC的面积之比为2∶1.(2)由|+|=|-|可知,以向量,为邻边的平行四边形的两条对角线相等,则此平行四边形为矩形,故⊥,即△ABC为直角三角形.例3[思路点拨] (1)首先利用三角形法则与向量共线的性质表示出向量,然后利用三角形法则表示出.(2)由=+确定点D的位置,从而确定两三角形面积的关系.(1)B(2)B[解析] (1)由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得=,=+,=,=+,则=(+),所以=+=++,所以=++,所以=+=+++=+=-,故选B.(2)由=+得点D在平行于AB的中位线上,从而有S△ABD=S△ABC,又S△ACD=S△ABC,所以S△BCD=1--S△ABC=S△ABC,所以=.故选B.例4[思路点拨] 利用P是直线BN上一点,可设=n,然后用m,n及,表示出向量,对照已知条件即可求得m的值.A[解析] ∵=,∴=.∵P是直线BN上一点,∴设=n,则-=n(-),即=(1-n)+n=(1-n)+=m+,则n=3,所以m=1-n=-2.故选A.强化演练1.A[解析] +=(-)+(+)=+=+=(+)=,故选A.2.A[解析] 由题意得+=2,又+=-2=2,所以=,故选A.3.D[解析] =-=-=+-+=-,故选D.4.[解析] 设=a,=b,以,为邻边作平行四边形OACB,则||=|a-b|,||=|a+b|.∵|a|=|b|=1,且|a-b|=∴||=|a|=|b|,∴平行四边形OACB是正方形,∴||=||=,即|a+b|=.5.2[解析] 因为O是BC的中点,所以+=2,即m+n=2,则=m+n.又因为O,M,N三点共线,所以m+n=1,即m+n=2.例5[思路点拨] 根据平面向量共线定理,引入实数μ使得2e1-e2=μ(e1+λe2),然后通过比较系数建立方程组求解.λ=-, A[解析] 若向量a与b共线,则存在实数μ使得2e1-e2=μ(e1+λe2),则有-解得故选A.例6[思路点拨] (1)首先根据向量加减法法则寻找A,B,C,D四点中任意三个点对应向量间的关系,然后利用共线定理进行判断;(2)首先将A,B,C三点共线问题转化为与共线问题,然后利用向量共线定理求解.(1)A(2)D[解析](1)∵=a+5b,=-3a+6b,=4a-b,∴=+=(-3a+6b)+(4a-b)=a+5b=,∴A,B,D三点共线,故选A.(2)由A,B,C三点共线,得与共线,则存在实数μ,使得=μ,则有解得-λ=μ=-1或2,故选D.强化演练1.A[解析] ①a=b,∴a,b共线;②a=-6-e1+e2=-6b,∴a,b共线;③b=-2(e1-e2),不存在λ∈R,使得a=λb成立,∴a,b不共线.故选A.2.D[解析] 由=+,得-=,∴=·,∴点P在射线AB上,故选D.3.D[解析] 由题意知,存在实数λ,使a=λb,即e1+ke2=λ(ke1+e2),由向量相等得解得k=±1,故选D.4.B[解析] 设E是BC边的中点,则(+)=.由题意得=,所以==(+)=+,又因为B,O,D三点共线,所以+=1,解得t=,故选B.【备选理由】例1对共线定理加深理解,例2、例3是两个综合性较强的题目,可供学有余力的学生选用.1[配合例5使用] [2017·北京海淀区期中]在△ABC中,点D满足=2-,则()A.点D不在直线BC上B.点D在线段BC的延长线上C.点D在线段BC上D.点D在线段CB的延长线上[解析] D由=2-⇒-=-⇒=,故点D在线段CB的延长线上,故选D. 2[配合例4使用] [2017·上海黄浦区二模]如图所示,∠BAC=,圆M与AB,AC分别相切于点D,E,AD=1,点P是圆M内任意一点(含边界),且=x+y(x,y∈R),则x+y的取值范围为()A.B.-C.D.-[解析] B连接AM并延长,线段AM及其延长线分别交圆M于Q,T两点,连接DE,与AM交于点R,显然=+,此时x+y=1.由于AD=AE=1,∠BAC=,∴AM=2,DM=.∵点P是圆M内任意一点(含边界),∴2-≤AP≤2+,且当A,P,M三点共线时x+y取得最值.当P位于Q点时,AQ=2-,AR=,则=-=(4-2)=(2-+(2-,此时x+y取得最小值4-2;同理可得,当点P位于T点时,=(2+)+(2+),此时x+y取得最大值4+2.故选B.3[配合例3使用] [2017·乐山调研]如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是圆弧AB的两个三等分点,=a,=b,则= ()A.a-bB.a-bC.a+bD.a+b[解析] D连接OC,OD,CD,由点C,D是圆弧AB的两个三等分点,得∠AOC=∠COD=∠BOD=60°,且△OAC和△OCD均为边长等于圆O的半径的等边三角形,所以四边形OACD为菱形,所以=+=+=a+b,故选D.第25讲平面向量基本定理及坐标表示考试说明1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示平面向量共线的条件.考情分析真题再现■[2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅲ]在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为()A.3B.2C.D.2[解析] A如图,建立平面直角坐标系.则A(0,1),B(0,0),C(2,0),D(2,1),设P(x,y),根据等面积公式可得圆的半径是,即圆的方程是(x-2)2+y2=.又=(x,y-1),=(0,-1),=(2,0),若满足λ+μ=-y+1.设z=-y+1,即-y+1-z=0,又点=λ+μ,则--解得-所以P(x,y)在圆(x-2)2+y2=上,所以圆心到直线-y+1-z=0的距离d≤r,即≤,解得1≤z≤3,所以z 的最大值为3,即λ+μ的最大值为3,故选A.2.[2014·全国卷Ⅰ]已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C 的一个交点.若=4,则|QF|= ()A.B.3C.D.2[解析] B由题知F(2,0),设P(-2,t),Q(x0,y0),则=(-4,t),=(x0-2,y0),由=4,得-4=4(x0-2),解得x0=1,根据抛物线定义得|QF|=x0+2=3.■[2017-2016]其他省份类似高考真题【课前双基巩固】知识聚焦1.不共线有且只有a=λ1e1+λ2e2基底2.(1)(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)(2)(x2-x1,y2-y1)--3.x1y2-x2y1=0对点演练1.(-3,5)[解析] 设Q(x,y),则=(x-2,y-3)=(-5,2),∴---解得-即点Q的坐标为(-3,5).2.-2e1+e2[解析] 以向量e1的起点为原点,向量e1的箭头方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系.设网格正方形的边长为1,则e1=(1,0),e2=(-1,1),a=(-3,1).设a=xe1+ye2,则(-3,1)=x(1,0)+y(-1,1)=(x-y,y),∴--解得-∴a=-2e1+e2.3.-[解析] 设M(x,y),由条件知=(4,-1),=(x+1,y-2).由=3,得--解得则=,-.4.0[解析] 因为e1,e2不共线,所以-解得-则x+y=0.5.2[解析] 易知a∥b,a与c不共线,b与c不共线,所以能构成基底的组数为2.6.±-[解析] 由已知得=(12,-5),所以||=13,因此与共线的单位向量为±=±,-.本题在求的坐标时易出现用A点坐标减去B点坐标的错误.7.-4[解析] 由a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,得1×m-2×(-2)=0,解得m=-4.本题在利用向量平行的条件列方程时,易出现1×m+2×(-2)=0的错误.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)基底中的向量不能共线;(2)利用点E为直线BC上一点,设出=x,然后结合条件利用向量相等得出系数的关系,从而解得系数的值.(1)C(2)C[解析] (1)根据平面向量基本定理知,e1,e2不能共线,选项A,B,D中的e1,e2均为共线向量,故可以排除A,B,D,验证知选项C中的向量符合题意.(2)点E为直线BC上一点,可设=x,因为=λ,所以=+=(1+λ)=(1+λ)(+x)=(1+λ)+(1+λ)x=(1+λ)(1-x)+(1+λ)x=3+4.由平面向量基本定理得-解得故选C.变式题C[解析] 设=a,=b,则=a+b,=a+b.又因为=a+b,所以=(+),则λ=μ=,所以λ+μ=,故选C.例2[思路点拨] (1)利用向量的加减法与数乘的坐标运算法则直接计算即可;(2)设P(x,y),利用已知条件得出关于x,y的方程组,进而求解.(1)B(2)D[解析] (1)a-b=,-,-=(-1,2).(2)设点P(x,y),则=(10-x,-2-y),=(-2-x,7-y),所以--------解得故选D.变式题(1)B(2)D[解析] (1)因为a+b=(2,t+2),所以解得t=-6,故选B. (2)由题意可得a-2b+3c=(5,-2)-2(-4,-3)+3(x,y)=(13+3x,4+3y)=0,则解得--即c=-,-,故选D.例3[思路点拨] (1)利用两向量共线的坐标运算求解;(2)利用向量共线的坐标运算建立关于λ的等式求解.(1)C(2)B[解析] (1)由条件知2a-b=(1,-1),对于C,∵k2+1+k2+1=2k2+2>0,∴向量c与2a-b 一定不共线,故选C.(2)由题知=(5,-4),因为∥m,所以5λ+5=-8λ+4,解得λ=-.故选B.变式题(1)A(2)C[解析] (1)由题得=(5,-5),=,m-3.∵A,B,C三点共线,∴与共线,∴5(m-3)=-,解得m=,故选A.(2)由已知得μa+b=(2μ-1,3μ+2),a-2b=(4,-1),则(-1)·(2μ-1)-4·(3μ+2)=0,解得μ=-,故选C.【备选理由】向量坐标化后,几何问题就化为代数计算问题,下面两例题据此而选,供在适当考点使用.1[配合例1使用] 如图所示,在△OAB中,=,=,AD与BC交于点M,设=a,=b,以a,b为基底表示.解:设=ma+nb(m,n∈R),则=-=(m-1)a+nb,又=-=b-a,A,M,D三点共线,所以--=,即m+2n=1.而=-=m-a+nb,=-=-a+b,又因为C,M,B三点共线,所以--=,即4m+n=1.由解得所以=a+b.2[配合例2使用] 如图所示,平面内有三个向量,,,与的夹角为120°,与的夹角为150°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ= ()A.1B.-6C.-D.6[解析] B以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,与垂直向上的方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系.由||=||=1,||=2可得A(1,0),B-,,C(-3,-),又=λ+μ,可得方程组---解得--所以λ+μ=-6.故选B.3[配合例2使用] 已知O(0,0),A(1,2),B(4,5)及=+t.试问:(1)t为何值时,P在x轴上?在y轴上?在第二象限?(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.解:(1)∵O(0,0),A(1,2),B(4,5),∴=(1,2),=(3,3),=+t=(1+3t,2+3t).若P在x轴上,则2+3t=0,解得t=-;若P在y轴上,则1+3t=0,解得t=-;若P在第二象限,则解得-<t<-.(2)=(1,2),=+=(3-3t,3-3t),若四边形OABP为平行四边形,则=,而--无解,∴四边形OABP不能成为平行四边形.第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例考试说明1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.考情分析真题再现■[2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅱ]已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是()A.-2B.-C.-D.-1[解析] B建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(1,.设P(x,y),则·(+)=(-x,-y)·[(2-x,-y)+(1-x,-y)]=(x,y)·(2x-3,2y-)=x(2x-3)+y(2y-)=2x2-3x+2y2 -y=2-+2--≥-,当且仅当x=,y=时,等号成立,点在平面ABC内部,此时·(+)取得最小值,最小值为-.2.[2016·全国卷Ⅱ]已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=()A.-8B.-6C.6D.8[解析] D a+b=(4,m-2),∵(a+b)⊥b,∴(a+b)·b=12-2(m-2)=0,解得m=8.3.[2016·全国卷Ⅲ]已知向量=,,=,,则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°[解析] A cos∠ABC==×+×=,又∠ABC∈[0°,180°],∴∠ABC=30°.4.[2014·全国卷Ⅱ]设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=()A.1B.2C.3D.5[解析] A由已知得|a+b|2=10,|a-b|2=6,两式相减,得4a·b=4,所以a·b=1.5.[2017·全国卷Ⅰ]已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .[答案] 2[解析] |a+2b|===2.6.[2016·全国卷Ⅰ]设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .[答案] -2[解析] 由已知条件,得a·b=0,即m+2=0,即m=-2.7.[2013·全国卷Ⅰ]已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t= . [答案] 2[解析] 因为|a|=|b|=1,a·b=,所以b·c=b·[ta+(1-t)b]=t+1-t=0,所以t=2.8.[2013·全国卷Ⅱ]已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则·= . [答案] 2[解析] 如图,建立直角坐标系,则=(1,2),=(-2,2),·=2.■[2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2016·山东卷]已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=,若n⊥(tm+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.D.-[解析] B由4|m|=3|n|,可设|m|=3,|n|=4.又∵n⊥(tm+n),cos<m,n>=,∴n·(tm+n)=0,即t×4×3×+16=0,解得t=-4.2.[2016·天津卷]已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为()A.-B.C.D.[解析] B∵=-,=+=+=+,∴·=(-)·+=×1×1×-+-×1×1×=+--=.3.[2017·天津卷]在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为.[答案][解析] ∵·=3×2×cos 60°=3,=+,∴·=+·(λ-)=×3+×4-×9-×3=-4,解得λ=.4.[2017·山东卷]已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是.[答案][解析] 由题意不妨取e1=(1,0),e2=(0,1),由条件可设a=e1-e2=(,-1),b=e1+λe2=(1,λ),所以cos<a,b>=cos 60°==-,所以-λ=,解得λ=.5.[2016·浙江卷]已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤,则a·b的最大值是.[答案][解析] 由|(a+b)·e|≤|a·e|+|b·e|≤,得|a+b|≤,即|a|2+|b|2+2a·b≤6,所以a·b≤,故a·b的最大值为.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)|a||b|cos θ|a||b|cos θ00·a=0(2)①|a|cos θ(|b|cos θ)②b在a的方向上的投影|b|cos θ(3)非零a⊥b2.①a·b=b·a ②λ(a·b)a·(λb)③a·c+b·c3.①|a|cos θ②a·b=0③|a||b| -|a||b| |a|2④⑤≤4.x1x2+y1y2x1x2+y1y2=0对点演练1.-6[解析] ∵a-b=(-2,2),∴a·(a-b)=-2×1+2×(-2)=-6.2.60°[解析] 设向量a与b的夹角为θ.由a·b=cos θ=×cos θ=,得cos θ=,又θ∈[0°,180°],∴向量a与b的夹角为60°.3.2[解析] |2a-b|=-=-=-=2.4.[解析] 由单位向量e1,e2的夹角为45°,得e1·e2=1×1×cos 45°=.由e1⊥(λe2-e1)可得e1·(λe2-e1)=0,即λe1·e2-=0,则λ-1=0,解得λ=.5.北偏西30°[解析] 如图所示,设渡船速度为,水流速度为,渡船实际垂直过江的速度为.依题意知=12.5,||=25.∵=+,∴·=·+.又∵⊥,∴·=25×12.5cos(∠BOD+90°)+12.52=0,∴∠BOD=30°,∴渡船的航向为北偏西30°.6.-[解析] 依题意有a·b+b·c+c·a=1×1×cos 120°+1×1×cos 120°+1×1×cos120°=-+-+-=-.本题在计算时,容易把向量夹角取作60°而致误.7.[解析] 因为点C(-1,0),D(4,5),所以=(5,5),又=(2,1),所以向量在方向上的投影为||cos<,>===.8.菱形[解析] 由四边形ABCD满足+=0知,四边形ABCD为平行四边形,又(-)·=0,即·=0,可知该平行四边形的对角线互相垂直,故该四边形一定是菱形.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)利用向量的数量积公式建立关于x的方程求解;(2)根据条件以正三角形的边BC所在直线为x轴,垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,然后写出相关点的坐标,确定出向量,的坐标,最后利用向量的数量积公式求解.(1)3(2)-[解析] (1)因为a·b=6-x=3,所以x=3.(2)由题意建立如图所示的平面直角坐标系.因为△ABC的边长为1,所以A0,,B-,0.因为=2,所以点D为BC的中点,则D(0,0).因为=2,所以点E为AC的三等分点,则E,,所以·=0,-·,=-×=-.变式题(1)A(2)-[解析] (1)因为菱形ABCD的边长为2,∠B=,所以·=2×2cos=2,所以·=(+)·(-)=(+)·(--)=(+)·[(λ-1)-]=(1-λ)||2-·+(1-λ)·-||2=(1-λ)×4-2+2(1-λ)-4=-6λ=-3,所以λ=,故选A.(2)由题意可得|a-b|=-=-=-=7,∴a·b=-.例2[思路点拨] (1)首先利用向量平行的条件求得参数m的值,然后利用模的坐标公式求解;(2)由||2=(λ+μ)2建立||2关于λ的函数,求其最值即可.(1)D(2)D[解析] (1)∵a∥b,∴m+6=0,解得m=-6,则b=(2,-6),∴a-2b=(-3,9),∴|a-2b|=-=3,故选D.(2)||2=(λ+μ)2=[λ+(1-λ)]2=4λ2+4(1-λ)2+2λ(1-λ)·,∵·=2,∴||2=4λ2+ 4(1-λ)2+2λ(1-λ)·2=4λ2-4λ+4=4λ-2+3,当λ=时,||取得最小值.例3[思路点拨] (1)求出a+b,然后通过向量的数量积求解即可;(2)先求出a+b,再利用向量垂直的条件列出关于m的方程求解;(3)由已知可得<,>=60°,再求出·,·,·的值,结合平面向量的运算法则及·=0求得λ的值.(1)C(2)B(3)-[解析] (1)向量a=(2,-1),b=(1,7),则a+b=(3,6).∵a·(a+b)=6-6=0,∴a⊥(a+b).故选C.(2)由题意可得a+b=(7,m-2),结合向量垂直的充要条件得7×2+(m-2)×(-2)=0,解得m=9.故选B.(3)由AB=4,BC=CD=2,可得<,>=60°,则·=4×2×=4,·=4×2×-=-4,·=2×2×=2.∵==λ,∴=λ,=λ,则=+=+λ,=-=λ-,∴·=(+λ)·(λ-)=λ||2-·+λ2·-λ·=0,即16λ-4-4λ2-2λ=0,∴2λ2-7λ+2=0,解得λ=(舍)或λ=-.例4[思路点拨] (1)利用两个向量的数量积的定义和两个向量坐标形式的运算法则,求得cos θ=的值,进而可得θ的值.(2)利用两个向量的数量积的定义和两个向量的数量积公式,求得m的值.(3)根据题意利用夹角公式列出关于m的方程求解.(1)B(2)(3)3[解析] (1)设a与a+b的夹角为θ.∵向量a=(1,0),b=-,,∴a+b=, ,∴a·(a+b)=(1,0)·,=,则cos θ===,由θ∈[0,π]可得θ=,故选B.(2)∵a=(m,3),b=(,1),向量a,b的夹角为30°,∴a·b=m+3=×2cos 30°,解得m=.(3)依题意有c=(m+6,2m+3),根据夹角公式有=,解得m=3.强化演练1.C[解析] 由题意得|a-b|=-=-=,故选C.2.B[解析] cos<a,b>==-=,又<a,b>∈[0,π],所以a与b的夹角为,故选B.3.-[解析] 因为|a|=1,|b|=2,a+b=(1,),所以(a+b)2=1+4+2×1×2cos θ=4⇒cos θ=-,则sin θ=,所以tan θ=-.4.-1[解析] ∵=λ+,⊥,∴·=(λ+)·=λ·+=λ×2×1×cos 60°+1=λ+1=0,∴λ=-1.5.5[解析] 以D为原点,DA,DC所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示.设CD=a,P(0,y),可得A(2,0),B(1,a),∴+3=(2,-y)+3(1,a-y)=(5,3a-4y),∴|+3|=-,∴|+3|的最小值为5.6.3[解析] 如图所示,由2++=0,得O为AB的中点,即AB为圆的直径,所以AB=2.由于CB=OC=AB,所以∠A=,AC=,所以·=··cos=3.例5[思路点拨] (1)由a⊥b可得a·b=(sin x,-)·(1,cos x)=sin x-cos x=0,从而可得tan x=,再根据二倍角公式可得结果;(2)由题可得f(x)=2sin x-,再根据平移变换可得g(x)=2sin2x+,利用正弦函数的单调性解不等式即可得结果.解:(1)∵a⊥b,∴a·b=(sin x,-)·(1,cos x)=sin x-cos x=0,∴tan x=,=-.∴tan 2x=-(2)由题可得f(x)=a·b=(sin x,-)·(1,cos x)=sin x-cos x=2sin x-,则g(x)=2sin2x+.令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),∴g(x)的单调递增区间为kπ-,kπ+(k∈Z).由2x+=kπ(k∈Z)得x=kπ-(k∈Z),即函数g(x)的图像的对称中心为kπ-,0(k∈Z).变式题解:(1)(a+b)∥c⇒(sin x-1)-(cos x+1)=0,∴sin x-cos x=2⇒2sin x-cos x=2⇒sin x-=1,又x∈[0,π],∴x-∈-,,∴x-=⇒x=.(2)a·b=-sin x+cos x=⇒2-sin x+cos x=,∴sin x+=,又x∈[0,π],∴x+∈,π,∴cos x+=-,∴sin x+=sin x+-=-cos x+=.【备选理由】与平面向量相关的最值问题是高考的热点,具有综合性强的特点,下面提供三道题可在适当考点中使用.1[配合例1使用] 如图所示,AB=2,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值为 ()A.-B.-2C.-1D.-[解析] A因为O为AB的中点,所以+=2,则(+)·=2·=-2||·||=-2||·(1-||)=2||2-2||=2||-2-,当=时,(+)·取得最小值-,故选A.2[配合例2使用] [2017·石家庄二中三模]已知G为△ABC所在平面上一点,且++=0,∠A=60°,·=2,则的最小值为.[答案][解析] 由题意得点G为△ABC的重心,则=(+),∴=(++2·)=(++4).∵·=||·||cos60°=2,∴||·||=4,∴≥(2||·||+4)=,当且仅当||=||=2时,等号成立,∴||≥,即||的最小值为.3[配合例4使用] [2017·湖州调研]已知a,b,e是同一平面内的三个向量,且=1,a⊥b,a·e=2,b·e=1,当|a-b|取得最小值时,a与e夹角的正切值为()A .B .C .1D .[解析] D 根据题意,分别以a ,b 为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,设e 与a 的夹角为θ,θ为锐角,则e 与b的夹角为-θ.∵|e|=1,a ⊥b ,a ·e=2,b ·e=1,∴|a|·cos θ=2,|b|·cos-θ=|b|·sinθ=1,∴|a|= ,|b|= ,∴|a-b|2=|a|2-2a ·b+|b|2 = + =+(sin 2θ+cos 2θ)=5++≥5+2=9,当且仅当2sin 2θ=cos 2θ,即tan θ=时等号成立,此时|a-b|取得最小值3,且a 与e 夹角的正切值为,故选D .第27讲 数系的扩充与复数的引入考试说明 1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义;能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示,并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示.3.能进行复数代数形式的四则运算,了解两个具体复数相加、相减的几何意义.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现 1.[2017·全国卷Ⅰ] 设有下面四个命题p 1:若复数z 满足∈R,则z ∈R; p 2:若复数z 满足z 2∈R,则z ∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;p4:若复数z∈R,则∈R.其中的真命题为()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4[解析] B设z=a+b i(a,b∈R).=-,若∈R,则b=0,此时z∈R,故命题p1为真命题;若z∈R,则b=0,此时=a-b i∈R,命题p4为真命题;z2=a2-b2+2ab i,z2∈R时,a=0或b=0,此时z为实数或纯虚数,命题p2为假命题.设z1=i,z2=4i,则z1z2∈R,但z1≠,命题p3为假命题.故选B.2.[2017·全国卷Ⅱ]= ()A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i[解析] D=--=-=2-i.3.[2017·全国卷Ⅲ]设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A.B.C.D.2[解析] C由题知z==--==i+1,则|z|==.4.[2016·全国卷Ⅰ]设(1+i)x=1+y i,其中x,y是实数,则|x+y i|=()A.1B.C.D.2[解析] B由已知得x+x i=1+y i,根据两复数相等的条件可得x=y=1,所以|x+y i|=|1+i|=.5.[2016·全国卷Ⅱ]已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)[解析] A由题易知m+3>0,m-1<0,解得-3<m<1.6.[2016·全国卷Ⅲ]若z=1+2i,则-= ()A.1B.-1C.iD.-i[解析] C-=-=i.7.[2015·全国卷Ⅰ]设复数z满足-=i,则|z|=()A.1B.C.D.2[解析] A由-=i,得z=-=i,所以=1.8.[2015·全国卷Ⅱ]若a为实数,且(2+a i)(a-2i)=-4i,则a=()A.-1B.0C.1D.2[解析] B因为(2+a i)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,所以4a=0,且a2-4=-4,解得a=0,故选B.9.[2014·全国卷Ⅰ]-=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i[解析] D-=-=-=-1-i.10.[2014·全国卷Ⅱ]设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=()A.-5B.5C.-4+iD.-4-i[解析] A由题知z2=-2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.11.[2013·全国卷Ⅰ]若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()A.-4B.-C.4D.[解析] D z=-=-==+i,故z的虚部是.12.[2013·全国卷Ⅱ]设复数z满足(1-i)z=2i,则z=()A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i[解析] A(1-i)z=2i,则z=-=i(1+i)=-1+i.故选A.■[2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·北京卷]若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)[解析] B(1-i)(a+i)=a+i-a i-i2=a+1+(1-a)i,其对应的点为(a+1,1-a),因为复数对应的点在第二象限,所以-解得a<-1,故选B.2.[2017·山东卷]已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+i,z·=4,则a= ()A.1或-1B.或-C.-D.[解析] A由z·=a2+()2=a2+3=4,得a2=1,所以a=±1,故选A.3.[2016·山东卷]若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i[解析] B设z=a+b i(a,b∈R).由题意得2a+2b i+a-b i=3-2i,得-∴z=1-2i.4.[2016·四川卷]设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为()A.-15x4B.15x4C.-20i x4D.20i x4[解析] A由题可知,含x4的项为x4i2=-15x4.5.[2017·天津卷]已知a∈R,i为虚数单位,若-为实数,则a的值为.[答案] -2=--,-为实数,∴2+a=0,即a=-2.[解析] ∵-=---6.[2016·天津卷]已知a,b∈R,i是虚数单位.若(1+i)(1-b i)=a,则的值为.[答案] 2[解析] (1+i)(1-b i)=a,即1+b+i-b i=a,∴-解得∴=2.7.[2016·北京卷]设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= . [答案] -1[解析] 复数(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i,因为其对应的点位于实轴上,所以a+1=0,解得a=-1.8.[2016·江苏卷]复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是.[答案] 5[解析] 因为z=(1+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以其实部为5.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)实部虚部b=0b≠0a=0且b≠0(2)a=c且b=d (3)a=c且b=-d (4)|z| |a+b i|2.3.(1)①(a+c)+(b+d)i②(a-c)+(b-d)i③(ac-bd)+(ad+bc)i④+-i(2)z2+z1z1+(z2+z3)对点演练1.2[解析] ∵z=a2-a-2+(a+1)i为纯虚数,∴--解得a=2.2.(-1,2)[解析] 由题意可得-∴-1<x<2.3.2-i[解析] --=--=-=2-i.4.1[解析] 因为z=--=--=-1-i,所以=-1+i,则的虚部为1.5.±2i[解析] 由题可设z=a i(a≠0,a∈R),∵|z-1|==3,∴a=±2,故z=±2i.6.-1-3i[解析] 因为=i2018+i2019=-i-1,所以z=(2+i)(-1-i)=-1-3i.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出;(2)首先利用复数的乘法法则将复数化为代数形式,然后利用实部与虚部互为相反数的条件建立关于a的等式求解.(1)A(2)-[解析] (1) 复数z===--=-=-i,则z的虚部是-1.故选A.(2)因为-=---=--,所以2-2b-b-4=0,解得b=-.变式题(1)B(2)A[解析] (1)由题意得a+-=a+-=a-1+i,则a-1=0,解得a=1,故选B.(2)z=-=-.∵复数z=-是纯虚数,∴-解得a=3,∴z=i,∴z的虚部为1,故选A.例2[思路点拨] (1)首先通过复数运算将复数化为代数形式,然后确定复数在复平面内对应点的坐标,进而确定其所在象限;(2)作出示意图,通过向量相等关系求得点C的坐标,进而确定其对应的复数.(1)B(2)A[解析] (1)由题意得-=-=-+i,该复数在复平面内所对应的点位于第二象限.故选B.(2)如图所示,设C(x,y).∵O(0,0),A(2,-1),B(0,3),∴=(0,3),=(x-2,y+1).由题意可得=,则-解得x=y=2,∴点C所对应的复数为2+2i,故选A.变式题(1)A(2)A[解析] (1)复数z满足(1-i)2·z=1+2i,则z=-=-=-=-=-1+i,所以=-1-i,即复数在复平面内对应的点为-1,-,故选A.(2)由题意可得=-i,则>0,->0,由此可得a的取值范围为a<0,故选A.例3[思路点拨] (1)直接利用复数的乘法进行计算即可;(2)首先根据复数是纯虚数求得m的值,然后再对第二个复数进行化简求解.(1)B(2)C[解析] (1)(1+i)(2+i)=2+i+2i+i2=1+3i.(2)因为(1+m i)(3+i)=(3-m)+(3m+1)i是纯虚数,所以m=3,则-=-==3i,所以-=3,故选C.变式题(1)D(2)C[解析] (1)-=-==,故选D.(2)由题知z==--==i+1,则|z|==.【备选理由】例1考查复数的概念与复数的运算;例2考查复数的几何意义;例3考查复数的运算、复数相等的条件、模的运算的综合.1[配合例1使用] [2017·河南夏邑第一中学模拟]若复数-(其中i为虚数单位,a∈R)为纯虚数,则a=()A.-2B.0C.1D.2[解析] D-=---=--=--i,由题意得--解得a=2,故选D.2[配合例2使用] [2017·武汉调研]已知i是虚数单位,若复数z=在复平面内对应的点在直线2x-y=0上,则实数a=()A.1B.-1C.4D.-4[解析] C复数z==-=--=--i,所以复数z在复平面内对应的点为-,-,所以-+=0,解得a=4,故选C.3[配合例3使用] [2017·重庆一中期中]已知=a+b i(a,b∈R,i是虚数单位),则|a-b i|=()A.1B.C.D.[解析] D由题得i=(1+i)(a+b i)=(a-b)+(a+b)i,则-解得所以-i=-=,故选D.。
数学全品复习方案天津专版答案
数学全品复习方案天津专版答案
1.-2的相反数为(▲)
A．2 B．-2 C．2D．2−
２．如图，梯子的各条横档互相平行，若∠1＝110°，则∠2的度数为（▲）A．50°B．70°C．90°D．110°
３．据统计：2006年义乌外贸出口金额为134067万美元，比上年增长22.76%.用科学记数法表示134067应记为（▲）
A．134.067×103 B.13.4067×10 4 C.1.34067×10 5 D.0.134067×10 6 ４．某电视台综艺节目接到热线电话1600个,现要从中抽取“幸运观众”16名,小红打通了一次热线电话,那么她成为“幸运观众”的概率为（▲）
A．1/4
B.1/100
C.1/400
D.1/16
５.课题学习小组的同学接受了测量一种圆柱形工件直径的任务，他们使用的工具是一个锐角为60的直角三角板和一把刻度尺.小明的测量方法如图甲，测得DC=9cm.点D为切点.小亮的测量方法如图乙，点E为切点.假设他们的测量结果都是正确的.则与EA的长最接近的是(▲)
A.8cm
B.7cm
C.6cm
D.5cm。
大纲全国版理科数学11版例题详解全品高考复习方案
第 o 讲 D 简单不等式的解法
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课标北师大版文科数学11版例题详解全品高考复习方案
例题详解
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2019年全品高考复习方案理科数学第5单元 集合与常用逻辑用语作业答案-第五单元-数列
全品高考复习方案数学(理科) RJA课时作业(二十八)1.C[解析] 由题意,得a2=2a1+1=3,a3=2a2+1=7,a4=2a3+1=15,故选C.2.B[解析] 易知数列-1,4,-9,16,-25,…的一个通项公式为a n=-·n2,故选B.3.B[解析] 观察数列,得出规律:a2-a1=21,a3-a2=22,a4-a3=23,a5-a4=24,因此a6-a5=25,所以a6=62,故选B.4.5[解析] 因为a n=3n2-28n=3n-2-,且n∈N*,所以当n=5时,a n取得最小值.5.2n [解析] 当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.当n=1时,a1=S1=2,满足上式.故a n=2n.6.C[解析] 当n≥2时,S n=a n,S n-1=a n-1.两式作差可得a n=S n-S n-1=a n-a n-1,则-=-=1+-,据此可得,当n=2 时,-取到最大值3.7.A[解析]∵(3n+2)a n+1=(3n-1)a n,∴a n+1=-a n,∴a n=---·---·…·-·-a1=--×--×…×××3=-,故选A.8.D[解析] 根据题意可知a1=3,a2=6,a n+2=a n+1-a n,那么a3=a2-a1=3,a4=a3-a2=-3,a5=a4-a3=-6,a6=a5-a4=-3,a7=a6-a5=3,a8=a7-a6=6,…,可知数列{a n}的周期为6,那么a2018=a336×6+2=a2=6,故选D.9.D[解析] ∵a n=8+-,∴a n+1=8+-,∴a n+1-a n=---=---=-.∴当1≤n≤4时,a n+1>a n,即a5>a4>a3>a2>a1;当n≥5时,a n+1<a n,即a5>a6>a7>….因此数列先递增后递减,∴当n=5时,a5=为最大项,即M=,又当n→∞时,a n→8,a1=,∴最小项为,即m=,∴m+M=+=.故选D.10.D[解析] 根据题意可构造数列{a n-b n},则a n+1-b n+1=a n+2b n-a n-b n=(1-)a n-(1-)b n=(1-)(a n-b n).因为a1=b1=1,所以a1-b1=1-,所以{a n-b n}是以1-为首项,1-为公比的等比数列,故a n-b n=(1-)n,所以A,B不正确.因为{a n-b n}的公比为1-,其绝对值小于1,所以{|a n-b n|}为递减数列,所以C不正确.-=·|a n-b n|,易知数列,为递增数列,故为递减数列,又{|a n-b n|}为递减数列,故-为递减数列,D正确.11.a n=-[解析] 由a n+1=S n①,可得a n=S n-1(n≥2)②,①-②得a n+1-a n=S n-S n-1=a n(n≥2),即=2(n≥2),又a2=S1=1,所以=1≠2,则数列{a n}从第二项起是以1为首项2为公比的等比数列,所以a n=-12.[解析] 因为是递减数列,数列{a n}从a4项开始用式子(t-13)-计算,所以只要t-13<0,即t<13即可.因为a1,a2,a3通过x2-3tx+18计算,所以根据二次函数的性质,应该有>且a3>a4,即t>且9-9t+18>t-13,解得<t<4.综上,t的取值范围是<t<4.13.-[解析] 由a n-a n+1=可得-==2-,利用累加法可得--+---+…+-=2--+2---+…+21-,即-=21-,可得=3-=-,即a n=-.14.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由可得解得-所以数列{a n}的通项公式为a n=48-8n.(2)由(1)知S n=-4n2+44n=-4n-2+121,因为n∈N*,所以当n=5或6时,S n取得最大值.15.解:(1)因为a2=,所以由a2=3a1-1可求得a1=.因为a n+1=3a n-1,所以a n+1-=3a n-,所以数列a n-是以1为首项,以3为公比的等比数列.所以a n-=3n-1,即a n=+3n-1.故S n=+-=-.(2)依题意,--≤m,即+-≤m对任意的n∈N*恒成立.设c n=+-,则易知数列是递减数列,所以=c1=1.综上,可得m≥1.故所求实数m的取值范围是[1,+∞).16.解:(1)证明:由题知==2,∵b1=a2-a1=4-2=2,∴b1+2=4,∴数列{b n+2}是以4为首项以2为公比的等比数列.(2)由(1)可得b n+2=4·2n-1,故b n=2n+1-2.∵a n+1-a n=b n,∴a2-a1=b1,a3-a2=b2,a4-a3=b3,…,a n-a n-1=b n-1,累加得a n-a1=b1+b2+b3+…+b n-1=(22-2)+(23-2)+(24-2)+…+(2n-2) =----2(n-1)=2n+1-2n-2,则a n=2n+1-2n.加练一课(四)1.A[解析] ∵a n+1=2a n-1,∴a n+1-1=2(a n-1).∵a1-1=0,∴a n-1=0,即a n=1,故选A.2.C[解析] a4=a2+a2=12,a6=a4+a2=18,a10=a6+a4=30.故选C.3.D[解析] 由a n+1=S n+1①,可得a n=S n-1+1(n≥2)②,①-②得a n+1=2a n,又∵a2=S1+1=3,a1=2,∴S5=2+--=47,故选D.4.B[解析] 因为数列{a n}前8项的值各异,且a n+8=a n对任意的n∈N*都成立,所以该数列为周期为8的周期数列.为使数列中可取遍{a n}前8项的值,必须保证项数被8除的余数可以取到0,1,2,3,4,5,6,7.经验证A,C,D都不可以,因为它们的项数全部由奇数组成,被8除的余数只能是奇数,故选B.5.B[解析] 由条件知=,分别令n=1,2,3,…,(n-1)(n≥2),可得=,=,=,…,-=,累乘得···…·-=××……×-×,即=.又∵a1=1,∴a n=,故选B.6.D[解析] ∵数列满足a1=1,a n+1·a n=2n(n∈N*),∴a2·a1=2,解得a2=2.由题得=,即=2,∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列,首项分别为a1=1,a2=2,公比都为2,则S2017=(a1+a3+…+a2017)+(a2+a4+…+a2016)=--+--=21010-3,故选D.7.C[解析] 由条件知a n+1-a n==-.分别令n=1,2,3,…,(n-1),代入上式得到(n-1)个等式,这些等式累加可得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(a n-a n-1)=(-1)+(-)+(-)+…+(--),即a n-a1=-1.又因为a1=1,所以a n=,故选C.8.D[解析] 因为a n-a n+1=na n a n+1,所以-=-=n,所以=--+---+…+-+=(n-1)+(n-2)+…+3+2+1+=--+1=-,则a n=-.9.D[解析] 由已知得a3+a1=(a3+a2)-(a2-a1)=1,同理可得a5+a7=1,…,a37+a39=1,又a2+a4=(a3+a2)+(a4-a3)=2+3=5,a6+a8=13,…,a38+a40=77,∴S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+…+a40)=10×1+(5+13+…+77)=10+410=420,故选D.10.C[解析] 由a n=---,得=--+,于是-1=---1(n≥2,n∈N*).又-1=-,∴数列-1是以-为首项,为公比的等比数列,故-1=-(n≥2,n∈N*),当n=1时,a1=2满足上式,则-1=-,∴a n=-(n∈N*),故选C.11.B[解析] ∵a1=,a2=,a n+1=2a n+a n-1,∴--=1,a3=2a2+a1=,∴-=-·--=--=--,-=-+-+…+-=-=4-=2-<2,又∵=>1,∴1<-<2,则-的整数部分是1,故选B.12.B[解析] 根据题意,数列满足a n=--且a1=a,则a2=a1+1=a+1,a3=a2+1=a+2,a4=a3+1=a+3,a5=a4+1=a+4,a6=2a5=2a+8,a7=2a6,…对于①,当a=-4时,a6=2a+8=0,此时数列不是等比数列,故①错误;对于②,若S5<100,则有S5=(a1+a2+…+a5)=5(a+2)<100,则有a<18,故②正确;对于③,根据题意,a3=a+2,a6=2a+8,a9=24a5=16×(a+4),若a3,a6,a9成等比数列,则有(2a+8)2=(a+2)×16×(a+4),且a6=2a+8≠0,解得a=-,故③正确.故选B.13.19[解析] 因为a n+1=a n+2,所以a n+1-a n=2,所以数列是首项为1,公差为2的等差数列,所以a10=1+(10-1)×2=19.14.22017[解析] 由题得,a2=3a1+2b1=5,当n≥2时,a n+1=3a n+2b n=3a n-2a n-1,所以a n+1-a n=2(a n-a n-1),又a2-a1=4,所以数列{a n-a n-1}是首项为4,公比为2的等比数列,所以a2017-a2016=4×22016-1=22017.15.[解析] 当n≥2时,由已知得a n+1=a1+2a2+3a3+…+(n-1)a n-1+na n,用此等式减去已知等式,得a n+1-a n=na n,即a n+1=(n+1)a n,又a2=a1=1,∴a1=1,=1,=3,=4,…,-=n,将以上n个式子相乘,得a n=(n≥2).当n=1时,a1=1不满足上式,则a n=16.4017[解析] 设该数列为{a n},则a1=2008,a2=2009,a3=1,a4=-2008,由题意得a5=-2009,a6=-1,a7=2008,…所以a n+6=a n,即数列是以6为周期的数列,又a1+a2+a3+a4+a5+a6=0, ∴S2018=336(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+(a1+a2)=4017.课时作业(二十九)1.B[解析] 设等差数列{a n}的公差为d,由题设可得3×(-2)+·d=0,解得d=2,故选B.2.B[解析] 根据等差数列的性质可得,等差数列第1,4,7项的和,第2,5,8项的和与第3,6,9项的和成等差数列,所以a3+a6+a9=2×33-39=27,故选B.3.C[解析] S12==6×(a4+a9)=60,故选C.4.9[解析] 根据等差数列的性质可知a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,所以a5=9.5.7[解析] 由(a5+a8)-(a3+a6)=39-11=4d=28,得d=7.6.B[解析] 由a2+a4+a6=3得a4=1,则a1+a3+a5+a7=4a4=4,故选B.7.A[解析] 设等差数列{a n}的公差为d.可以令i=1,j=2,k=3,l=4,则a i a l-a j a k=a1a4-a2a3=a1(a1+3d)-(a1+d)(a1+2d)=-2d2≤0,S1S4-S2S3=a1(4a1+6d)-(2a1+d)(3a1+3d)=-2-3a1d-3d2=-2a1+d2-d2≤0,故只有A选项正确.8.B[解析] 设等差数列{a n}的公差为d,由题意,得--解得-则a n=2n-13.令--解得≤n≤.因为n∈N*,所以n=6,即当n=6时,S n取得最小值,故选B.9.A[解析] 设最上面一节竹子的容积为a1,则依题意可知根据等差数列的性质可知a1+a2+a3+a4=2(a2+a3)=3,a7+a8+a9=3a8=4,则有a2+a3=,a8=,所以a2+a3+a8=+=,故选A.10.A[解析] 设等差数列{b n}的公差为d,则由题设可得b n=a n+1-a n=b1+(n-1)d,则a2-a1=b1,a3-a2=b1+d,a4-a3=b1+2d,…,a31-a30=b1+29d,累加得a31-a1=30b1+(1+2+…+29)d=30b1+d,即a31=15(2b1+29d),又b15+b16=2b1+29d=15,所以a31=15(2b1+29d)=15×15=225,故选A.11.-2017[解析] ∵S n是等差数列的前n项和,∴是等差数列,设其公差为d.∵-=6,∴6d=6,d=1.∵a1=-2017,∴=-2017,∴=-2017+(n-1)×1=-2018+n,∴S2017=(-20 18+2017)×2017=-2017.12.[解析] 由题意可得,当n≥2时,a n+b n=a n-1+b n-1+2,a n-b n=a n-1-b n-1=(a n-1-b n-1),所以数列{a n+b n}是以a1+b1=3 为首项,2为公差的等差数列,数列{a n-b n}是以a1-b1=1 为首项,为公比的等比数列,所以(a1008+b1008)(a2017-b2017)=(3+2×1007)×1×=.13.解:(1)设等差数列的公差为d,因为a1+a2=6,a2+a3=10,所以a3-a1=4,所以2d=4,d=2.又a1+a2=a1+a1+d=6,所以a1=2,所以a n=a1+(n-1)d=2n.(2)记b n=a n+a n+1,所以b n=2n+2(n+1)=4n+2,又b n+1-b n=4(n+1)+2-4n-2=4,所以数列是首项为6,公差为4的等差数列,其前n项和S n===2n2+4n.14.解:(1)由题意知2=1+a n,即4S n=(1+a n)2.当n=1时,可得a1=1.当n≥2时,有4S n-1=(a n-1+1)2,又4S n=(a n+1)2,两式相减得(a n+a n-1)(a n-a n-1-2)=0,∵a n>0,∴a n-a n-1=2,则数列{a n}是以1为首项,2为公差的等差数列,即a n=2n-1.(2)=-=--,∴T n=1-+-+…+--=1-=.15.C[解析] 设等差数列{a n}的公差为d.∵S3=a1+a2+a3=3a2=9,a2a4=21,∴a2=3,a4=7,d=2,a n=2n-1.设T n=++…+=++…+-=1-,则T n+1=++…+-+=1-,两式作差得T n+1-T n==-=,所以b n+1=,则b n=-.当b n<,即-<时,得n的最小值为8,故选C.16.8[解析] 由题知当n为奇数时,b n=-2,当n为偶数时,b n=3.又a2b1=b2a1+b1,可得a2=.当n=2k时,有a2k+1b2k=b2k+1a2k+b2k,即3a2k+1=-2a2k+3①.当n=2k-1时,有a2k b2k-1=b2k a2k-1+b2k-1,即-2a2k=3a2k-1-2②.当n=2k+1时,有a2k+2b2k+1=b2k+2a2k+1+b2k+1,即-2a2k+2=3a2k+1-2③.由①③可得a2k+2-a2k=-,由①②可得a2k+1-a2k-1=,则数列,-都是等差数列,首项分别为a2=,a1=-,公差分别为-,.则S2n=(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=na1+-×+na2+-×-=-+n.则当n=8时,S2n取得最大值.课时作业(三十)1.D[解析] 由题意,得(2-)a=22,解得a=4(2+),故选D.2.A[解析] 由题意得,q3===,则q=,故选A.3.C[解析] 设等比数列{a n}的公比为q(q>0),由S3=14,a3=8,得可得a1=2,q=2,所以a6=a1q5=2×25=64,故选C.4.8[解析] 因为a3a5a7=64,所以=64,解得a5=4,故a4==8.5.1+[解析] 由等比数列的性质知S2,S4-S2,S6-S4也成等比数列,所以(S4-S2)2=S2·(S6-S4),即(S4-2)2=2·(4-S4),解得S4=1+或S4=1-(舍).6.B[解析] 由a5=2S4+3,a6=2S5+3可得a6-a5=2a5,则=3,故选B.7.B[解析] 设等比数列{a n}的公比为q.∵数列{a n}为等比数列,且a3=-4,a7=-16,∴=a3·a7=(-4)×(-16)=64,又a5=a3q2=-4q2<0,∴a5=-8.故选B.8.A[解析] 设等比数列{a n}的公比为q.由log2a3+log2a10=1得log2a3a10=1,即a3a10=2.∵a5a6a8a9=16,∴(a5a8)(a6a7)q2=16,∴q2=4.由真数大于零得q>0,∴q=2.故选A.9.C[解析] 由等比数列的性质可知a5·a6=a4·a7=-8,又a4+a7=2,故a4,a7是一元二次方程x2-2x-8=0的两个根,解得a4=-2,a7=4或a4=4,a7=-2,故a1=1,q3=-2,a10=-8或a1=-8,q3=-,a10=1,所以a1+a10=-7.10.A[解析] 由各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5,可得a1q6=a1q5+2a1q4,∴q2-q-2=0,∴q=2.∵=4a1,∴q m+n-2=16,∴2m+n-2=24,∴m+n=6,∴+=(m +n)+=5++≥(5+4)=,当且仅当=时等号成立,故+的最小值等于.11.B[解析] ∵等差数列{a n}的公差d≠0,且a3,a5,a15成等比数列,a1=3,∴(3+4d)2=(3+2d)(3+14d),解得d=-2或d=0,∵d≠0,∴d=-2,则a n=3+(n-1)×(-2)=5-2n,S n=3n+-×(-2)=4n-n2,a n·S n=(5-2n)(4n-n2)=2n3-13n2+20n.设f(x)=2x3-13x2+20x,则f'(x)=6x2-26x+20,令f'(x)=0,得x1=1,x2=,则f(x)在1,上单调递减,在,+∞上单调递增.结合f(x)的单调性可知,当n=3时,a n·S n取得最小值2×33-13×32+20×3=-3.故a n·S n的最小值为-3.故选B.12.3[解析] 由数列{S n+2}也是等比数列可得S1+2,S2+2,S3+2成等比数列,则(S2+2)2=(S1+2)(S3+2),即(4+4q+2)2=(4+2)(4+4q+4q2+2),解得q=3或q=0(舍去). 13.24(1-4-100)[解析] 由题得等比数列的公比q===,所以a1=6,显然数列也是等比数列,其首项为a1a2=18,公比q'=-=q2==,于是a1a2+a2a3+…+a100a101=--=24(1-4-100).14.解:(1)由a n+1=1+S n得当n≥2时,a n=1+S n-1,两式相减得a n+1=2a n.因为数列{a n}是等比数列,所以a2=2a1,又因为a2=1+S1=1+a1,所以a1=1,则a n=2n-1.(2)易得数列-是一个递减数列,所以lg>lg>lg>…>lg>0>lg>…由此可知当n-1=8,即n=9时,数列的前n项和T n取得最大值.15.解:(1)当n=1时,a1=S1=λ.当n≥2 时,a n=S n-S n-1=(n-1)·2n-(n-2)·2n-1=n·2n-1.故数列的通项公式为a n=-(2)由a n·b n=n,可得b n=-因为数列为等比数列,所以首项b1=满足n≥2的情况,故λ=1.则T n=b1+b2+…+b n=--=21-.因为T n+1-T n=>0,所以T n是递增的,故T n≥1且T n<2.又存在m∈N*,使得m<T n成立,则m的最大值为1.16.解:(1)设等比数列{a n}的公比为q,由a3=,S3=,得a1q2=,a1(1+q+q2)=,解得a1=6,q=-或a1=,q=1.则数列{a n}的通项公式为a n=或a n=6×--.(2)当a n=时,b n=log2=log2=2,所以T n=2n.由T n=+105,得2n=+105,所以n=70.当a n=6×--时,b n=log2=log2-=2n,故数列{b n}是首项为2,公差为2的等差数列,所以T n=n2+n.由T n=+105,得n2+n=+105,所以n=10或n=-(舍).综上知,n=70或10.课时作业(三十一)1.B[解析] 由题知,所给数列的通项公式为a n=2n+1+,则前n项和S n=--+--=2n+2-2-n-3.故选B.2.A[解析] a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10=-1+4-7+10-13+16-19+22-25+28=5×3=15,故选A.3.C[解析] 当n为奇数时,n+1为偶数,则a n=n2-(n+1)2=-2n-1,所以a1+a3+a5+a7=-(3+7+11+15)=-36.当n为偶数时,n+1为奇数,则a n=-n2+(n+1)2=2n+1,则a2+a4+a6+a8=5+9+13+17=44.所以a1+a2+…+a8=-36+44=8,故选C.4.[解析] a n=-=(--),则数列的前40项和S40=[(-)+(-)+…+(-)]=(-)=.5.[解析] 设等差数列{a n}的公差为d,由题意得解得则a n=2n+4,因此b n==-,∴T n=-+-+…+-=-=.6.C[解析] 因为=1+,所以T n=n+1-,T10+1013=11-+1013=1024-,又n>T10+1013,所以整数n的最小值为1024.故选C.7.B[解析] 设数列的公差为d,则解得d=2,所以=a1+(n-1)d=2n,a n=2n2,所以S10=-a1+a2-a3+a4-…-a9+a10=-2×12+2×22-2×32+2×42-…-2×92+2×102=2[(22-12)+(42-32)+…+(102-92)]=2[(2-1)×(1+2)+(4-3)×(3+4)+…+(10-9)×(9+10)]=2×(1+2+…+10)=110,故选B.8.C[解析] 新数列为1×,×,×,…,×,所以a1a2+a2a3+a3a4+…+a n-1a n=+++…+-=1-+-+-+…+--=1-=-.故选C.9.A[解析] 依题意有a2-a1=3,a3+a2=5,a4-a3=7,a5+a4=9,a6-a5=11,a7+a6=13,a8-a7=15,…,由此可得a1+a3=2,a5+a7=2,…,a2+a4=12,a6+a8=28,…,所以S32=(a1+a3+…+a31)+(a2+a4+…+a32)=8×2+8×12+×16=560,故选A.10.(n-1)2n+1[解析] 由题意得a n=n,b n=2n-1,则a n b n=n·2n-1,则数列的前n项和S n=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1①,所以2S n=1·21+2·22+3·23+…+(n-1)·2n-1+n·2n②.①-②得-S n=1+21+22+…+2n-1-n·2n=---n·2n,整理得S n=(n-1)·2n+1.11.-[解析] 设等差数列{a n}的公差为d,因为a1+a5+2=0,所以2a1+4d+2=0,a1=-1-2d.因为2S1,3S2,8S3成等比数列,所以16S1S3=9,即16(-1-2d)(-3-3d)=9(-2-3d)2.因为d为整数,所以解得d=-2,则a1=3,所以a n=3-2(n-1)=5-2n.则=--=---,所以数列的前10项和为×---+×--+…+×-=×--=-.12.1133[解析] 当n为奇数时,a n+2=2a n,故奇数项是以a1=1为首项,2为公比的等比数列;当n为偶数时,a n+2=a n+2,故偶数项是以a2=2为首项,2为公差的等差数列,所以前20项中的奇数项和S奇=--=210-1=1023,前20项中的偶数项和S偶=10×2+×2=110,所以S20=1023+110=1133.13.解:(1)当n=1时,a1=S1=2.由S n=2n+1-2得S n-1=2n-2(n≥2),∴a n=S n-S n-1= 2n+1-2n=2n(n≥2).当n=1时,a1=2满足上式,∴a n=2n(n∈N*).(2)b n=-+22n-1=-+22n-1=--+22n-1,则T n=1-+-+…+--+(2+23+25+…+22n-1)=1-+--=+-.14.解:(1)因为a1=1,a n+1-a n=2,所以是首项为1,公差为2的等差数列, 所以a n=1+(n-1)×2 =2n-1.当n=1时,b1=S1=2-b1,所以b1=1.当n≥2时,S n=2-b n①,S n-1=2-b n-1②,由①-②得b n=-b n+b n-1,即-=.所以是首项为1,公比为的等比数列,故b n=-.(2)由(1)知c n=a n b n=--,则T n=+++…+--③,T n=++…+--+-④,③-④得T n=+++…+---=1+1++…+---= 1+-----=3-,所以T n=6--.15.A[解析] 由a1=2,a n+1=-,得a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,a6=-3,…,由此可得数列{a n}是以4为周期的周期数列,且a1a2a3a4=1,所以{a n}的前2017项的积为a1a2a3a4…a2017=1×1×1×…×a1=2,所以{log2a n}的前2017项的和为log2a1+log2a2+…+log2a2017=log2(a1a2…a2017)=1,故选A.16.(-∞,-2]∪[2,+∞)[解析] 由题设可得a n+1-a n=a n+,即a n+1=a n+,即=+,所以-=-.令n=1,2,3,…,n可得-=-,-=-,-=-,…,-=-,累加得-=1-,则=3-<3,所以2t2+at-1≥3,即2t2+at-4≥0.令F(a)=2t2+at-4,a∈[-2,2],则-即---解得t≥2或t≤-2.课时作业(三十二)1.D[解析] 根据韦达定理可得a2+a4=1,所以S5===,故选D.2.A[解析] 因为点A,B,C在一条直线上,所以a3+a2015=1,则S2017===,故选A.3.C[解析] 由a n=n cos2-sin2,得a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,…则a2n-1=0,a2n=(-1)n·2n,则S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+…+a40)=-2+4-6+8-…+40=2×10=20,故选C.4.8[解析] =n+-,其中n+≥2=,当且仅当n=即n=时取等号.易知8<<9,且<,∴取最小值时n=8.5.55 987[解析] 经过10秒钟后知道这条信息的人数为1+6,经过20秒钟后知道这条信息的人数为1+6+62,经过30秒钟后知道这条信息的人数为1+6+62+63,则经过x个10秒钟后知道这条信息的人数为1+6+62+…+6x,所以经过一分钟即经过60秒钟后知道此信息的人数为1+6+62+…+66=55 987.6.D[解析] 因为S1,S2,S4成等比数列,所以=S1·S4,即(2a1-2)2=a1(4a1-12),解得a1=-1,故选D.7.C[解析] 由题意得公差d>0,且a m>0,所以当n>m时,S n-a n=S n-S m+a m-a n=a m+a m+1+…+a n-1>0,所以S n>a n,故选C.8.D[解析] 设等比数列{a n}的公比为q,则由a2,a4,a3成等差数列得,2a2q2=a2+a2q,即2q2-q-1=0,解得q=-或q=1(舍去).由a1a2a3a4a5===得a3==a1q2,所以a1=1,S5=--=,故选D.9.C[解析] y'=2nx n-1-(n+1)x n,所以曲线y=(2-x)x n在x=3处的切线的斜率为-n-13n,所以切线方程为y=-n-13n(x-3)-3n.令x=0,得a n=(n+2)·3n,则=3n,所以数列的前n项和S n=--=-,故选C.10.D[解析] 由题意可得S n+3=3×2n,S n=3×2n-3,由等比数列前n项和的特点可得数列是首项为3,公比为2的等比数列,数列{a n}的通项公式为a n=3×2n-1.设等比数列{b n}的公比为q,则b1q n-1+b1q n=3×2n-1,解得b1=1,q=2,数列的通项公式为b n=2n-1,由等比数列的求和公式有T n=2n-1.则有S n=3T n,T n=2b n-1,T n<a n,T n<b n+1.故选D.11.2.6[解析] 设蒲每日的生长的长度组成等比数列,其中a1=3,公比为,其前n项和为A n.莞每日生长的长度组成等比数列,其中b1=1,公比为2,其前n项和为B n.则A n=--,B n=--.令A n=B n,得2n+=7,解得2n=6 或2n=1 (舍去).则n==1+≈2.6,故所需的时间约为2.6日.12.100[解析] 因为数列是“调和数列”,所以b n+1-b n=d,即数列是等差数列,所以b1+b2+…+b9==90,则b4+b6=20,所以b4b6≤=100,当且仅当b4=b6=10时等号成立,因此b4b6的最大值为100.13.解:(1)设数列的公比为q(q>1).由已知,得即--由q>1,解得故数列的通项公式为a n=2n-1.(2)由(1)得b n=2n-1+(n-1)ln 2,所以T n=(1+2+22+…+2n-1)+[0+1+2+…+(n-1)]ln 2=--+-ln 2=2n-1+-ln 2.14.解:(1)当n≥2时,b n-b n-1=----=------,∵a n-1a n-4a n-1+4=0,∴b n-b n-1=----=-,∴是等差数列.∴b n=b1+(n-1)-=-.(2)∵b n=-=-,∴a n=+2,∴c n=(2n-4).设f(x)=-,则f'(x)=-,∴函数f(x)在-∞,+2上单调递增,在+2,+∞上单调递减,∴数列{c n}当1≤n≤3时递增,当n≥4时递减且c n>0,∴-1≤c n≤.设y=c n+t-2t2,则y=c n+t-2t2是关于c n的一次函数,且函数单调递增,∴当c n=时,y≤0即可满足要求,∴+t-2t2≤0,解得t≤-或t≥.15.C[解析] 由--<0可知a2015<1或a2016<1.如果a2015<1,那么a2016>1,若a2015<0,则q<0;又∵a2016=a1q2015,∴a2016应与a1异号,即a2016<0,这与假设矛盾,故q>0.若q≥1,则a2015>1且a2016>1,与推出的结论矛盾,故0<q<1,故(1)正确.又a2015a2017=<1,故(2)错误.由结论(1)可知a2015>1,a2016<1,故数列从第2016项开始小于1,则T2015最大,故(3)错误.由结论(1)可知数列从第2016项开始小于1,而T n=a1a2a3…a n,故当T n=(a2015)n时,求得T n>1对应的自然数为4030,故(4)正确.16.(-3,1)[解析] 当n=1时,a1=S1=1.当n≥2时,a n=S n-S n-1=--n---(n-1)=(-1)n-1(2n-1).由对任意正整数n,有(a n+1-p)(a n-p)<0恒成立,得[(-1)n(2n+1)-p][(-1)n-1(2n-1)-p]<0①.当n是奇数时,①式化为[p+(2n+1)][p-(2n-1)]<0,解得-(2n+1)<p<2n-1.又该不等式对任意正奇数n都成立,取n=1,可得-3<p<1.当n是偶数时,①式化为[p-(1+2n)][p+(2n-1)]<0,解得1-2n<p<2n+1,又该不等式对任意正偶数n都成立,取n=2,可得-3<p<5.综上所述,-3<p<1.。
课标北师大版理科数学11版例题详解全品高考复习方案
例题详解
!! (.)#" 5 &#(."#! 当 !*) ! 即 !* %’ 时 ! 满足条件 & ." + ! ! 5 即 !"%’ 时 ! % ! 满足条件 & ." $ $ 5 " 当 !")! 当 ! 即 时 ! $ % 才能满足条件 ! 第 ! 讲 ! 集合及其运算 ) ! %’ . " # " !! $ # ! , , 5 例 !! ! 解答 " 若 !" 则 !"%!" 5 则由根与系数的关系得 !#$! . 5 !#$"%$" & ! #’ !#’"!" !#$! ( !"%! 不合题意 " # ! . !"% ! !#! $ 矛盾 " 即 5 !1$"! %.! 若! #! 则 !") 或 !"%$" "" !#! ! ! "2 / 5 当 !") 时 ! ! ! % & #" $ $ ! ’ 综上 ! 的取值范围是 ! ! %’ " 0 5 当 !"%$ 时 ! ! #’ !#’"!! " # " # ! 5 ’ &#& 1. "# ( !"%$ 不合题意 ! !") 适合 " 5 (#)1.! (#&." + " 若! 则 !"%! 或 !"%$" " ! #’ !#’! 若 ! 适合 & 5 !* %’! ! ." + 则 !*)2 由上面结论可知 ! 此时没有 ! 符合题意 " 5 " 若 ."+ ! 则 !"%’ 时 ! % ! % ! 不 合 题 意& ." $ $ #&." $ $ ( 满足条件的 ! 值为 )" 5 ! 此时需 ! 且 !, %’ ! $ 3. 3." 例 ! 变式题 ! %!! ! 解 析" 根 据 集 合 中 元 素 的 确 定 性! 我 5 将 $ 代入 . 的方程得!"%! 或!"%’" 舍去 # & 们不难得到两集 合 的 元 素 是 相 同 的 ! 这样需要列方程组分 5 将 代入 的方程得 ! #$ !%$")2 !"%!-槡 ’" 类讨论 ! 显然复杂又繁琐 " 这时 若 能 发 现 ) 这 个 特 殊 元 素 和 5 ! . ’" $ 中的 不为 的隐含信息 ! 5 (!" %! 且!" %!-槡 就能得到如下解法 ’ ! ) ! 综上 ! 的取值范围是 ! !* %’ 或 %’*!* %!%槡 ’或 %!% 5 $ 由 已知得 ") 及!") ! 所以$")! 于是! "! ! 即!"! 或! 5 ’ ! %! 或 %! ! %!# ’或 ! %!# ’" * * , 槡* * 槡 槡 ! 5 例 ! 解析 " $ ! ! ! % ! 所以 $ ! % 的 % ! ! $ 0 " ! $ ’ / 0 " !! $! ’ / ! ! 又根据集合中 元 素 的 互 异 性 !"! 应 舍 去 ! 因 而 !" "%!! 5 所有偶子集为 $ % ! $ % ! $ ! % ! $ ! ! $ ! $ ! ! $ ! ! $ / ! $ ! /% $! ’% $ /% ’ /% ! 故! # # "%!" %! $ "" %! 5$ ! ! % ! $ ! ! % ! $ ! ! % ! $ ! ! % ! $ ! ! ! % ! $ ’ ! $ / $ ’ / ! ’ / ! $ ’ / " + ’#!! 例" 解析 " 对于集合 % ’ 对于集合 5 &" ’##& !*! ! + (0 的所有偶子集的容量之和为$#/#$#/#+#0#! $# 5 " # ’ ) %$ ’ ) %! #! ’ #! + +#0#$ /#! $#$ /"! ! $ " ! 对 于 集 合 *’ !5 (’ &" " )##& &" + + + 5 例 % 变 式 题 ! , ! !解 析 " 取 & " ) # # +##" # ! 1")1$1 " )#$ ") 5 时 !-"$! 由于 ’" ) %!# #! 和 ’ + #! 都 表 示 被 ’ 除 余 ! 的 数 ! # ! 1")1’1 " )#’ ") -"’! 5 而+ 所以 % $( "*! 故选 *" ’#!表示被 + 除余 ! 的数 ! 即 取 时 ! 5 1")" &"!## 例 " 变式题 !,! ! 解析 " 由 ," ! 得 &# "& #&%! &"," &# # ! 1"!1$1 " !#$ "+ 5 -"$! ! % & %!")! &"-!! %"$ %! ! " ! " # ! $ 5 -"’1"!1’1 !#’ "! ! . . $ " 5 即1"+ 或 ! &# #% % % ! &# "& #&%!" " -"," $ / / 故 $ ! % ! 从而所有元素之和为 )#+#! 5 #4." ) +! ! $ $"! 0 " . ! 故 (" $ 故 % % ( " $ - -% 5 % 第 讲 命题及其关系 # 充分条件 # 必要条件 " ! / 解答 " " # 逆命题 ’ 全等三角形的面积相等 ! 真命题 " 例$ 解答 " 由 & %’ 故集合 # 5 例 !! ! ! &#$") 得 &"! 或 &"$! !! 5 否命题 ’ 面 积 不 相 等 的 两 个 三 角 形 不 是 全 等 三 角 形! 真 $ ! % " !$ " 5 命题 " " # % ! ! &#&." $ $ 5 逆否命题 ’ 两个不全等的三角形的面积不相等 ! 假命题 " 代入 . 中的方程 ! ($ #.! 5 "# 逆命题 ’ 若方程 & #$ 则20!! 真命题 " 得 ! #/ &# !#’")! 2") 有实根 ! 5 $ 否命题 ’ 若 ! 则方程 无实根 ! 真命题 & #$ &# " ( !"%! 或 !"%’" 2,! 2") 5 逆否命 题 ’ 若 方 程 无 实 根 ! 则 有 ! 真 当 !"%! 时 ! % $ ! % ! 满足条件 & & #$ & # ") ! ." $ & & %/") " %$ $ , 2 2 ’ 5 当 !"%’ 时 ! % % ! 满足条件 " ." $ & & %/ &#/") "$ $ ’ 5 命题 " # 逆命题 ’ 若实数 &! 则& # 真命题 " 综上 ! ’ ! 的值为 %! 或 %’" - 全为零 ! - ")! 5" " # 对于集合 .! 若& # 则实数 &! 真命题 " $ - ")! - 不全为零 ! 5 否命题 ’ " # " # " # 逆否命题 ’ 若实数 ( 不全为零 ! 则 真命题 " "/ ! #! %/ ! %. "0 ! #’ " & & # ) ! -" ! 5
全品高考数学考前专题限时训练含答案作业手册
全品高考数学考前专题限时训练含答案(基础+提升)作业手册(共75页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-专题限时集训(一)[第1讲 集合与常用逻辑用语](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．已知全集U ＝{x ∈Z |1≤x ≤5}，集合A ＝{1，2，3}，∁U B ＝{1，2}，则A ∩B ＝( )A ．{1，2}B ．{1，3}C ．{3}D ．{1，2，3}2．命题“对任意x ∈R ，都有x 3＞x 2”的否定是( )A ．存在x 0∈R ，使得x 30＞x 2B ．不存在x 0∈R ，使得x 30＞x 2C ．存在x 0∈R ，使得x 30≤x 2D ．对任意x ∈R ，都有x 3≤x 23．若p ：(x －3)(x －4)＝0，q ：x －3＝0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知集合M ＝{x |x ≥x 2}，N ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，则M ∩N ＝( ) A ．(0，1) B ．[0，1] C ．[0，1) D ．(0，1]5．已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x 2－x ＝0}，则集合A ∩B 的子集个数是________．提升训练6．已知全集I ＝{1，2，3，4，5，6}，集合M ＝{3，4，5}，N ＝{1，2，3，4}，则图11中阴影部分表示的集合为( )图11A ．{1，2}B ．{1，2，6}C ．{1，2，3，4，5}D ．{1，2，3，4，6}7．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＝0，x ∈R ，则满足A ∪B ＝{－1，0，1}的集合B 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．98．命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆否命题是( )A ．若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠acB ．若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠acC ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列D ．若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列9．已知集合M ＝{y |y ＝lg(x 2＋1)}，N ＝{x |4x＜4}，则M ∩N 等于( ) A ．[0，＋∞) B ．[0，1) C ．(1，＋∞) D ．(0，1]10．已知集合M ＝{x |x 2－3x ＝0}，集合N ＝{x |x ＝2n －1，n ∈Z }，则M ∩N ＝( ) A ．{3} B ．{0} C ．{0，3} D ．{－3}11．若a ，b 为实数，则“ab ＜1”是“0＜a ＜1b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 12．给出如下四个判断： ①∃x 0∈R ，e x 0≤0；②∀x ∈R ＋，2x ＞x 2；③设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1＜0，B ＝{x |x 2－2x ＋1－a 2＜0，a ≥0}，则“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的必要不充分条件；④a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a －b |＞1，则π3＜θ≤π．其中正确判断的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．413．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是________________________________________________________________________．14．若集合P ＝{0，1，2}，Q ＝(x ，y )⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＞0，x －y －2＜0，x ，y ∈P ，则集合Q 中元素的个数是__________．15．命题“存在实数x ，使得不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1≤0”是假命题，则实数m 的取值范围是________．专题限时集训(二)[第2讲 平面向量与复数](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．复数5i1＋2i的虚部是( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i2．若复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则在复平面内z 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．在△ABC 中，“AB →·BC →＞0”是“△ABC 是钝角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．向量a ＝(3，－4)，向量|b|＝2，若a·b ＝－5，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．π3 B ．π6C ．2π3D ．3π45．已知平面向量a ，b ，若|a |＝3，|a －b |＝13，a ·b ＝6，则|b |＝________，向量a ，b 夹角的大小为________．提升训练6．复数5i －2的共轭复数是( )A ．－2＋iB ．2＋iC ．－2－iD ．2－i7．在复平面内，复数z ＝(1＋2i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限8．已知复数z 1＝(2－i)i ，复数z 2＝a ＋3i(a ∈R )．若复数z 2＝kz 1(k ∈R )，则a ＝( )A ．32B ．1C ．2D ．139．如果复数2－b i1＋2i(b ∈R ，i 为虚数单位)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A ． 2B ．23C ．－23D ．210．已知△ABC 的三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，P 为AB 边上任意一点，则CP →·(BA →－BC →)的最大值为( )A ．8B ．9C ．12D ．1511．已知向量a ·(a ＋2b )＝0，|a |＝|b |＝1，且|c －a －2b|＝1，则|c |的最大值为( )A ．2B ．4C ．5＋1D ．3＋112．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若（1＋a i ）（1－i ）b ＋i＝2－i ，则a ＋b i ＝________．13．在△ABC 中，AB ＝2，D 为BC 的中点．若AD →·BC →＝－32，则AC ＝________．14．已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若DE →＝2EC →，CF →＝2FB →，则AE →·AF →的值为________．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(3，a )，a ∈R ，点P 满足OP →＝λOA →，λ∈R ，|OA →|·|OP →|＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．专题限时集训(三)[第3讲 不等式与线性规划](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋1)＞0}，则A ∩B ＝ ( ) A ．(0，1) B ．(1，2)C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．已知全集U ＝R ，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1＜0，N ＝{x |x 2－x ＜0}，则集合M ，N 的关系用图示法可以表示为( )图313．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则目标函数z ＝x －2y 的最大值为( )A ．32 B ．1 C ．－12D ．－24．若a ＜b ＜0，则下列不等式不成立的是( )A ．1a －b ＞1aB ．1a ＞1bC ．|a |＞|b |D ．a 2＞b 25．若x ＞0，y ＞0，则x ＋yx ＋y 的最小值为( )A ． 2B ．1C ．22D ．12提升训练6．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＜0}，集合B ＝{x |2x ＋1＞1}，则∁B A ＝( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)7．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋5≤0}，B ＝{y |y ＝2x＋2}，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．[1，2) C ．[1，5] D ．(2，5]8．已知向量a ＝(m ，1－n )，b ＝(1，2)，其中m ＞0，n ＞0．若a ∥b ，则1m ＋1n的最小值是( )A ．2 2B ．3＋22C ．4 2D ．3＋29．已知M (x ，y )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ＋1≥0，2x ＋y －4≤0表示的平面区域内的动点，则(x ＋1)2＋(y＋1)2的最大值是( )A ．10B ．495C ．13D ．1310．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a 2＋b 2＝3c 2，则cos C 的最小值为( )A ．12B ．14C ．32 D ．2311．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，x ＋2y －a ≤0，若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为6，则a ＝________．12．已知x ，y 均为正实数，且xy ＝x ＋y ＋3，则xy 的最小值为________．13．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，则x ＋2y －6x －4的最大值是________．14．已知函数f (x )＝x (x －a )(x －b )的导函数为f ′(x )，且f ′(0)＝4，则a 2＋2b 2的最小值为________．15．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为8，则ab 的最大值为________．专题限时集训(四)[第4讲 算法、推理证明、排列、组合与二项式定理](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．给出下面类比推理的命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”，类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”；②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”，类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”，类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”； ④“若x ∈R ，则|x |<1⇒－1<x <1”，类比推出“若z ∈C ，则|z |<1⇒－1<z <1”． 其中类比正确的为( ) A ．①② B ．①④ C ．①②③ D ．②③④2．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 展开式中的常数项是( )A ．15B ．60C ．120D ．2403．执行如图41所示的程序框图，其输出结果是( )A ．－54B ．12C ．54D ．－124．现有3位男生和3位女生排成一行，若要求任何两位女生和任何两位男生均不能相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的排法总数是( )A ．20B ．40C ．60D ．805．观察下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…．根据上述规律，第n 个等式为____________．提升训练6．阅读如图42所示的程序框图，若输入n 的值为1，则输出的S 的值为( ) A ．176 B ．160 C ．145 D ．1177．已知a n ＝3n ＋2，n ∈N *，如果执行如图43所示的程序框图，那么输出的S 等于( )A ．B ．37C ．185 D8．阅读如图44所示的程序框图，则输出s 的值为( ) A ．12 B ．32C ．－ 3D ．39．6个人站成一排，其中甲、乙必须站在两端，且丙、丁相邻，则不同站法的种数为( )A ．12B ．18C ．24D ．3610．⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 的展开式中各项系数之和为A ，所有偶数项的二项式系数和为B ．若A ＋B ＝96，则展开式中含有x 2的项的系数为 ( )A ．－540B ．－180C ．540D ．18011．对任意实数x ，都有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2＝________． 12．航天员拟在太空授课，准备进行标号为0，1，2，3，4，5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，且最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________．(用数字作答)13．观察下列等式： 121＝1，12＋221＋2＝53，12＋22＋321＋2＋3＝73，12＋22＋32＋421＋2＋3＋4＝93，则第n 个等式为__________________．14．阅读如图45所示的程序框图，若输入i ＝5，则输出的k 的值为________．图4515．有n个球(n≥2，n∈N*)，任意将它们分成两堆，求出两堆球数的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求出这两堆球数的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求出这两堆球数的乘积，直到不能分为止，记所有乘积之和为S n．例如，对于4个球有如下两种分法：(4)→(1，3)→(1，1，2)→(1，1，1，1)，此时S4＝1×3＋1×2＋1×1＝6；(4)→(2，2)→(1，1，2)→(1，1，1，1)，此时S4＝2×2＋1×1＋1×1＝6．于是发现S4为定值6，则S5的值为________．专题限时集训(五)A[第5讲 函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．已知定义在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ∈R ，（1－i ）x ，x ∉R ，则f (1＋i)＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．2＋i2．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 B ．y ＝sin x C ．y ＝x 3D ．y ＝log 12x3．已知a ＝，b ＝，c ＝log 23则( ) A ．a ＞b ＞c B ．c ＞b ＞a C ．c ＞a ＞b D ．a ＞c ＞b4．已知函数y ＝f (2x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4 x ，x ＞0，3x ，x ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝________．提升训练6．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2x，则f (－3)＝( )A ．18B ．－18C ．8D ．－87．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，x 12，x ＞0，若f (x )＞1，则x 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)8．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减，且是偶函数的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝－x 3C ．y ＝－lg|x |D ．y ＝2x9．设a ＝log 32，b ＝log 23，c ＝log 125，则( )A ．c ＜b ＜aB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a10．定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1．若函数y ＝|log 2x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0，2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为( )A ．152B ．154C ．3D ．3411．设函数f (x )＝2C 图5112．已知函数f (x )对定义域内的任意x ，都有f (x ＋2)＋f (x )＜2f (x ＋1)，则函数f (x )可以是( )A ．f (x )＝2x ＋1B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝x sin x13．函数f (x )＝16－x －x2的定义域是________． 14．已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (m )＜f (1) 的实数m 的取值范围是________．15．设函数f (x )＝a ln x ＋b lg x ＋1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2014)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12014＝________．专题限时集训(五)B[第5讲 函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“函数y ＝|f (x )|的图像关于y 轴对称”是“y ＝f (x )为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列函数中，既是偶函数又在区间(1，2)上单调递增的是( ) A ．y ＝log 2|x | B ．y ＝cos 2xC ．y ＝2x －2－x 2D ．y ＝log 22－x 2＋x3．f (x )＝tan x ＋sin x ＋1，若f (b )＝2，则f (－b )＝( ) A ．0 B ．3 C ．－1 D ．－24．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝( )A ．12B ．45C ．2D ．95．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________．提升训练6．函数y ＝1x －sin x的大致图像是( )AC 图527．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f （x ），则f (2014)＝( )A ．－2－ 3B ．－2＋3C ．2－ 3D ．2＋38．设a ＝14，b ＝log 985，c ＝log 83，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2012x －1＝3x ，则f (2014)＝( )A ．0B ．2010C ．－2010D ．201410．已知函数y ＝f (x )，若对于任意的正数a ，函数g (x )＝f (x ＋a )－f (x )都是其定义域上的增函数，则函数y ＝f (x )可能是( )A ．y ＝2xB ．y ＝log 3(x ＋3)C ．y ＝x 3D ．y ＝－x 2＋4x －611．若a ＞2，b ＞2，且12log 2(a ＋b )＋log 22a ＝12log 21a ＋b ＋log 2b2，则log 2(a －2)＋log 2(b －2)＝( )A ．2B ．1C ．12D ．0 12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )在区间(－∞，a )上是增函数，且函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1＜a ，x 2＞a ，且|x 1－a |＜|x 2－a |时，有( )A ．f (x 1)＞f (x 2)B ．f (x 1)≥f (x 2)C ．f (x 1)＜f (x 2)D ．f (x 1)≤f (x 2)13．若x ，y ∈R ，设M ＝x 2－2xy ＋3y 2－x ＋y ，则M 的最小值为________．14．设函数f (x )的定义域为D ，若存在非零实数l ，使得对于任意x ∈M (M ⊆D )，有x ＋l ∈D ，且f (x ＋l )≥f (x )，则称f (x )为M 上的“l 高调函数”．如果定义域是[0，＋∞)的函数f (x )＝(x －1)2为[0，＋∞)上的“m 高调函数”，那么实数m 的取值范围是________． 15．函数f (x )＝2sin πx 与函数g (x )＝3x －1的图像的所有交点的橫坐标之和为________．专题限时集训(六)[第6讲 函数与方程、函数模型及其应用](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．函数f (x )＝2x＋4x －3的零点所在的区间是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 3．函数f (x )＝tan x －1x 在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．34．已知函数f (x )与g (x )的图像在R 上连续，由下表知方程f (x )＝g (x )的实数解所在的区间是( )A ．(－1C ．(1，2) D ．(2，3)5．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点为x ＝2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是x ＝0和x ＝________．提升训练6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0，1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)7．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝2x－12x ＋a ，则函数f (x )的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数f (x )＝4－a x ，g (x )＝4－log b x ，h (x )＝4－x c的图像都经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，若函数f (x )，g (x )，h (x )的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝( )A ．76B ．65C ．54D ．329．若直角坐标平面内的两个不同的点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图像上；②P ，Q 关于原点对称．则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(注：点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ＞0，－x 2－4x ，x ≤0，则此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对10．若关于x 的方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x －kx －1＝0有五个互不相等的实根，则k 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，14 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－18∪⎝ ⎛⎭⎪⎫18，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 11．已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________．12．已知定义在R 上的函数f (x )为增函数，且对任意x ∈(0，＋∞)，有f [f (x )－log 2x ]＝1恒成立，则函数f (x )的零点为________．13．已知函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，若函数f (x )＝2x ·g (ln x )＋1－x 2，则函数f (x )的零点个数为________．14．已知函数f (x )＝2x，x ∈R ．(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 分别有一个解、两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围．15．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图61所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度)．(1)求θ关于x的函数关系式．(2)已知对花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比值为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？16．如图62所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径r＝310 mm，滴管内液体忽略不计．(1)如果瓶内的药液恰好156 min滴完，问每分钟滴下多少滴？(2)在条件(1)下，设开始输液x min后，瓶内液面与进气管的距离为h cm，已知当x＝0时，h＝13，试将h表示为x的函数．(注：1 cm3＝1000 mm3)专题限时集训(七)[第7讲 导数及其应用](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．－4 C ．－2 D ．22．曲线f (x )＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( ) A ．(1，0) B ．(2，8)C ．(2，8)或(－1，－4)D ．(1，0)或(－1，－4)3．如图71所示，阴影区域是由函数y ＝cos x 的一段图像与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是( )A ．1B ．2C ．π2 D ．π4．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A ．12B ．1C ．－2D ．3 5．曲线y ＝ln x －1在x ＝1处的切线方程为____________．提升训练6．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝( )A ．1B ．12C ．0D ．－17．函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图像大致是( )D图728．如图73所示，长方形的四个顶点为O (0，0)，A (4，0)，B (4，2)，C (0，2)，曲线y ＝x 经过点B ．现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是( )A ．512B ．12C ．23D ．349．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在区间[－1，1]上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．0＜a ＜34B ．12＜a ＜34C ．a ≥34D ．0＜a ＜1210．方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫作函数f (x )的“新驻点”．如果函数g (x )＝x ，h (x )＝ln (x ＋1)，φ(x )＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是( )A ．α<β<γB ．α<γ<βC ．γ<α<βD ．β<α<γ11．已知定义在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，且恒有f (x )＜f ′(x )·tan x 成立，则( )A ．3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＞2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 B ．f (1)＜2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sin 1 C ．2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 D ．3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 12．函数f (x )＝2ln x ＋x 2在点x ＝1处的切线方程是________．13．由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，x ＝1围成的封闭图形的面积为________．14．已知函数f (x )＝x 2＋2x ，g (x )＝x e x． (1)求f (x )－g (x )的极值；(2)当x ∈(－2，0)时，f (x )＋1≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围．15．已知函数f(x)＝x ln x．(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，且x1≠x2，证明：f（x2）－f（x1）x2－x1＜f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22．16．设函数f(x)＝e x－ax－2．(1)求f(x)的单调区间；(2)若a＝1，k为整数，且当x＞0时，(x－k)f′(x)＋x＋1＞0恒成立，求k的最大值．专题限时集训(八)[第8讲 三角函数的图像与性质](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．函数y ＝sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 的最小正周期是( ) A ．π2B ．2πC ．πD ．4π2．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6(x ∈R )的图像上所有的点向左平移π4个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍，所得的函数图像的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π12(x ∈R ) B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋5π12(x ∈R ) C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π12(x ∈R ) D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋5π24(x ∈R ) 3．为了得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，可将函数y ＝sin 2x 的图像( ) A ．向左平移5π6 B ．向右平移 5π6C ．向左平移 5π12D ．向右平移5π124．已知向量a ＝(sin θ，cos θ)，b ＝(2，－3)，且a ∥b ，则tan θ＝________．5．若点P (cos α，sin α) 在直线y ＝－2x 上，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________． 提升训练6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)的部分图像如图81所示，其 中A ，B 两点之间的距离为5，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[6k －1，6k ＋2](k ∈Z )B ．[6k －4，6k －1](k ∈Z )C ．[3k －1，3k ＋2](k ∈Z )D ．[3k －4，3k －1](k ∈Z )7． 已知P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上异于坐标原点O 的任意一点，直线OP 的倾斜角为θ．若|OP |＝d ，则函数d ＝f (θ)的大致图像是( )A B图82 8．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图像向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32 B ．－12 C ．12 D ．329．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，满足f (x )＝－f (x ＋π)，f (0)＝12，则g (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值与最小值之和为( )A ．3－1B ．3－2C ．23－1D ．210．将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图像向左平移m 个单位⎝⎛⎭⎪⎫m ＞－π2，若所得的图像关于直线x ＝π6对称，则m 的最小值为( )A ．－π6B ．－π3C ．0D ．π1211．如图83所示，直角三角形POB 中，∠PBO ＝90°，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A 点，若AB 等分△OPB 的面积，且∠AOB ＝α，则αtan α＝________．12．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，则函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3上的最小值为 ________ ．13．已知α∈R ，sin α＋3cos α＝5，则tan 2α＝________．14．已知函数f (x )＝4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －23cos 2x －1，且π4≤x ≤π2．(1)求f (x )的最大值及最小值；(2)求f (x )在定义域上的单调递减区间．15．已知函数f (x )＝23cos x sin x ＋2cos 2x ．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3的值； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．16．在平面直角坐标系xOy 中，点A (cos θ，2sin θ)，B (sin θ，0)，其中θ∈R ．(1)当θ＝2π3时，求向量AB →的坐标；(2)当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求|AB →|的最大值．专题限时集训(九)[第9讲 三角恒等变换与解三角形](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．在钝角三角形ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A ．14 B ．32C ．34 D ．122．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝2，A ＝45°，B ＝105°，则c ＝ ( )A ．32B ．1C ． 3D ．6＋223．函数f (x )＝sin 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小值为( ) A ．0 B ．－1 C ．－ 2 D ．－24．若cos 2θ＝13，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( )A ．1318B ．1118 C ．59D ．1 5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若sin 2A ＋sin 2C －sin 2B ＝3sin A sinC ，则B ＝________．提升训练6．已知sin 2α＝13，则cos 2 ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A ．13 B ．－13 C ．23 D ．－237．已知△ABC 的外接圆O 的半径为1，且OA →·OB →＝－12，C ＝π3．从圆O 内随机取一点M ，若点M 在△ABC 内的概率恰为334π，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形8．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，其对边分别为a ，b ，c ．若(sin A ＋sin B )(sinA －sinB )＝sinC (2sin A －sin C )，则B ＝( )A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π39．在△ABC 中，若AB →·AC →＝7，||AB →－AC →＝6，则△ABC 的面积的最大值为( )A ．24B ．16C ．12D ．810．已知△ABC 的重心为G ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则A 等于( )A ． π6B ．π4C ． π3D ．π211．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos(π－α)＝－45，则tan 2α＝______ ． 12．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，AB 边上的高为43，则AC ＋BC ＝________．13．已知∠MON ＝60°，由此角内一点A 向角的两边引垂线，垂足分别为B ，C ，AB ＝a ，AC ＝b ，若a ＋b ＝2，则△ABC 外接圆的直径的最小值是________．14．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2B2＝3sin B ，b ＝1．(1)若A ＝5π12，求c ；(2)若a ＝2c ，求△ABC 的面积．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ．(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．16．如图91所示，已知OPQ 是半径为3，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点(不与P ，Q 重合)，ABCD 是扇形的内接矩形，记∠COP ＝x ，矩形ABCD 的面积为f (x )．(1)求函数f (x )的解析式，并写出其定义域；(2)求函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值及相应的x 值．专题限时集训(十)[第10讲数列、等差数列、等比数列](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．若等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5＝8，S3＝6，则a9＝( ) A．8 B．12C．16 D．242．等比数列{a n}中，a2＝1，a8＝64，则a5＝( )A．8 B．12C．8或－8 D．12或－123．已知等差数列{a n}中，a3＋a4－a5＋a6＝8，则S7＝( )A．8 B．21C．28 D．354．已知数列{a n}为等差数列，且a1＋a7＋a13＝π，则tan(a2＋a12)的值为( )A． 3 B．－ 3C．33D．－335．等比数列{a n}满足对任意n∈N*，2(a n＋2－a n)＝3a n＋1，a n＋1＞a n，则数列{a n}的公比q ＝________．提升训练6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＋a4＋a9＝24，则S9＝ ( )A．36 B．72C．144 D．707．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S n＋2－S n＝36，则n＝( ) A．5 B．6C．7 D．88．已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，若a2＝2，2a3＋a4＝16，则a5＝( ) A．4 B．8C．16 D．329．在数列{a n}中，“a n＝2a n－1(n＝2，3，4，…)”是“{a n}是公比为2的等比数列”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a m＋1a m－1＝2a m(m≥2)，数列{a n}的前n项积为T n，若T2k－1＝512(k∈N*)，则k的值为( )A．4 B．5C．6 D．711．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝11，S11＝9，则S20＝________．12．已知等比数列{a n}的前n项积为T n，若a3a4a8＝8，则T9＝________．13．已知等比数列{a n}中，a4＋a8＝⎠⎛24－x2dx，则a6(a2＋2a6＋a10)＝________．14．已知数列{a n }的首项为1，其前n 项和为S n ，且对任意正整数n ，有n ，a n ，S n 成等差数列．(1)求证：数列{S n ＋n ＋2}为等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且3a n ＋1＋2S n ＝3(n 为正整数)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若∀n ∈N *，32k ≤S n 恒成立，求实数k 的最大值．16．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝2且a2，a4，a8成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若{b n－(－1)n a n}是等比数列，且b2＝7，b5＝71，求数列{b n}的前2n项和．专题限时集训(十一)[第11讲 数列求和及数列的简单应用](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为( )A ．70B ．75C ．100D ．1202．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )A ．12B ．10C ． 8D ．2＋log 3 53．等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ＝1，2，3，…)，若当首项a 1和公差d 变化时， a 5＋a 8＋a 11是一个定值，则下列选项中为定值的是( )A ．S 17B ．S 16C ．S 15D ．S 144．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n （n ＋2），则S 10等于( )A ．1112B ．1124C ．175132D ．1752645．设等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ．若a 1＝1，a 3＝4，S k ＝63，则k ＝________．提升训练6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 35＝S 3992 ，a ＝(1，a n )，b ＝(2014，a 2014)，则a ·b 的值为( )A ． 2014B ． －2014C ． 1D ．07．已知一次函数f (x )＝kx ＋b 的图像经过点P (1，2)和Q (－2，－4)，令a n ＝f (n )f (n＋1)，n ∈N *，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，当S n ＝625时，n 的值为( )A ．24B ．25C ．23D ．268．已知幂函数y ＝f (x )的图像过点(4，2)，令a n ＝f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，则当S n ＝10时，n 的值是( )A ． 110B ． 120C ． 130D ． 1409．已知a n ＝⎠⎛0n (2x ＋1)d x(n∈N *)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n＝n －8，则b n S n 的最小值为( )A ．－3B ．－4C ．3D ．410．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *，则数列{a n }的前n 项和可以表示为( )A ．B ．C ．D ．11．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形的面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2014＝________ ．12．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________．13．已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（－1）nsin πx 2＋2n ，x ∈[2n ，2n ＋1），（－1）n ＋1sin πx 2＋2n ＋2，x ∈[2n ＋1，2n ＋2）(n ∈N )，若数列{a m }满足a m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2(m ∈N *)，且{a m }的前m 项和为S m ，则S 2014－S 2006＝________．14．已知数列{a n }与{b n }，若a 1＝3，且对任意正整数n 满足a n ＋1－a n ＝2, 数列{b n }的前n 项和S n ＝n 2＋a n ．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n ．15． 已知函数f (x )＝4x，数列{a n }中，2a n ＋1－2a n ＋a n ＋1a n ＝0，a 1＝1，且a n ≠0, 数列{b n }中， b 1＝2，b n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n ．16． 中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2012年人口总数为45万，专家估计实施 “放开二胎” 新政策后人口总数将发生如下变化：从2013年开始到2022年每年人口比上年增加0．5万，从2023年开始到2032年每年人口为上一年的99%．(1)求实施新政策后第n 年的人口总数a n 的表达式(注：2013年为第一年)．(2)若新政策实施后2013年到2032年的人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问2032年后是否需要调整政策？＝(1－10≈专题限时集训(十二)A[第12讲 空间几何体的三视图、表面积及体积](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．某几何体的三视图如图121所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)可得这个几何体的体积是( )A ．13 cm 3B ．23 cm 3C ．43 cm 3D ．83cm 3 1 1222．图122是一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A ．7π B ．8π C ．9π D ．11π3． 一只蚂蚁从正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点 C 1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是( )图12A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④4． 某四棱锥的三视图如图125所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则( )图125A ．2∈A ，且4∈AB ．2∈A ，且4∈AC ． 2∈A ，且25∈AD ．2∈A ，且17∈A提升训练5．如图126所示，三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱长和底边长均为2，且侧棱 AA 1⊥底面A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为( )A ． 3B ．2 3C ．4D ．43图12 127 6．某几何体的三视图如图127所示，则它的体积是( )A ．8＋433B ．8＋423C ．8＋233D ．3237．若某棱锥的三视图(单位：cm)如图128所示，则该棱锥的体积等于( )A ．10 cm 3B ．3． 30 cm 3 D ．40 cm 398．一个简单组合体的三视图及尺寸如图129所示，则该组合体的体积为( ) A ．42 B ．48 C ．56 D ．449． 某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1210所示，其中俯视图是中心角为60°的扇形， 则该几何体的侧面积为( )A ．12＋103πB ．6＋103π C ． 12＋2π D ．6＋4π图1210 图121110． 如图1211所示，边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，△AED ，△EBF ，△FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使A ，B ，C 三点重合于点A ′．若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为( )A． 2 B．62C．112D．5211．边长是22的正三角形ABC内接于体积为43π的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为________．专题限时集训(十二)B[第12讲 空间几何体的三视图、表面积及体积](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．某空间几何体的三视图如图1212所示，则该几何体的体积为( ) A ．83 B ．8 C ．323D ．1612 图12132．一个几何体的三视图如图1213所示，则该几何体的体积为( ) A ．13 B ．23C ．2D ．1 3． 图1214 ( )14A ．3＋π6B ． 3＋43πC ．33＋43πD ．33＋π64． 一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系O xyz 中的坐标分别是(0，0，0)，(1，2，0)，(0，2，2)，(3，0，1)，则该四面体以yOz 平面为投影面的正视图的面积为( )A ．3B ．52C ． 2D ．72提升训练5．一个几何体的三视图如图1215所示，其中正视图是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为( )A ．32B ．1C ．52D ．1215 1216 6．一个几何体的三视图如图1216所示，则它的体积为( ) A ．203 B ．403C ．20D ．407． 已知某几何体的三视图如图1217所示，其中俯视图是圆，则该几何体的体积为( )A ．π3B ．2π3C ． 23D ．1317 18 8．图1218是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( ) A ．54 B ．27 C ．18 D ．99． 用一个边长为4的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为1的鸡蛋(视为球体)放在其上(如图1219所示)，则鸡蛋中心(球心)与蛋托底面的距离为___________．图1210． 直三棱柱ABC A 1B 1C 1的各顶点都在同一个球面上．若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积为________．11．如图1220所示，已知球O是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为________．专题限时集训(十三)[第13讲空间中的平行与垂直](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．能够得出平面α与平面β一定重合的条件是：它们的公共部分有( )A．两个公共点B．三个公共点C．无数个公共点D．共圆的四个公共点2．直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为( )A．a⊥b，且a与b相交 B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥b D．a与b不一定垂直3．a，b，c表示不同直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；③a⊥c，b⊥c，则a∥b；④a⊥M，b⊥M，则a∥b．其中为真命题的是( )A．①② B．②③ C．③④ D．①④4．设α，β，γ为平面，m，n为直线，则m⊥β的一个充分条件是( )A．α⊥β，α∩β＝n，m⊥nB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥β，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α5．已知m，n，l是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，给出下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若m⊥l，n⊥l，则m∥n；③若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中真命题有( )A．0个 B．1个C．2个 D．3个提升训练6．已知α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A．存在一条直线l，l⊂α，l∥βB．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥βC．存在一条直线l，l⊥α，l⊥βD．存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β7．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β8．在正方体中，二面角A1BDA的正切值是( )A． 2 B．22C． 2 D．129．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题：①若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③如果m ⊂α，n ⊄α，m ，n 是异面直线，那么n 与α相交；④若α∩β＝m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α，且n ∥β．其中为真命题的是 ( )A ．①②B ．②③C ． ③④D ．①④10．如图131所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等图13211．如图132所示，已知三个平面α，β，γ互相平行，a ，b 是异面直线，a 与α，β，γ分别交于A ，B ，C 三点，b 与α，β，γ分别交于D ，E ，F 三点，连接AF 交平面β于点G ，连接CD 交平面β于点H ，则四边形BGEH 必为________．12． 在三棱锥C ABD 中(如图133所示)，△ABD 与△CBD 是全等的等腰直角三角形，O 为斜边BD 的中点，AB ＝4，二面角A BD C 的大小为60°，并给出下面结论：①AC ⊥BD ；②AD ⊥CO ；③△AOC 为正三角形；④ cos ∠ADC ＝34；⑤四面体ABCD 的外接球的表面积为 32π．其中正确的是________．13． 已知四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，且俯视图如图134所示．关于该四棱锥的下列说法中：①该四棱锥中至少有两组侧面互相垂直；②该四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形；③该四棱锥中不可能存在四组互相垂直的侧面；④该四棱锥的四个侧面不可能都是等腰三角形．其中，所有正确说法的序号是________________．14．如图135所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB ＝2，CE＝EF＝1．(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BD F．15．如图136所示，平行四边形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中点，G是AE，的交点．(1)求证：GH∥平面CDE；(2)求证：BD⊥平面CDE．16．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，CD＝3，点E是线段AB的中点，G为CD的中点，现沿ED将△AED折起到△PED位置，使PE⊥EB．(1)求证：平面PEG⊥平面PCD；(2)求点A到平面PDC的距离．专题限时集训(十四)[第14讲 空间向量与立体几何](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1． 直线l 1的方向向量s 1＝(1，0，－2)，直线l 2的方向向量s 2＝(－1，2，2)，则直线l 1，l 2所成角的余弦值是( )A ．53B ．－53C ． 23D ．－232．平面α，β的法向量分别是 n 1＝(1，1，1)，n 2＝(－1，0，－1)，则平面α，β所成锐二面角的余弦值是( )A ．33B ．－33C ． 63D ．－633．已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则平面ABC 的单位法向量是( )A ．±(1，1，1)B ．±⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，22C ．±⎝⎛⎭⎪⎫33，33，33 D ．±⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，33 4．已知a ，b 是两个非零的向量，α，β是两个平面，下列命题中正确的是( )A ．a ∥b 的必要条件是a ，b 是共面向量B ．a ，b 是共面向量，则a ∥bC ．a ∥α，b ∥β，则α∥βD ．a ∥α，b ∥β，则a ，b 不是共面向量5．若a ⊥b ，a ⊥c ，l ＝αb ＋β c (α，β∈R )，m ∥a ，则m 与l 一定( ) A ．共线 B ．相交 C ． 垂直 D ．不共面提升训练6． 如图141所示，三棱锥A BCD 的棱长全相等，E 为AD 的中点，则直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A ．36B ．32C ． 336D ．127． 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为( )A ．120B ．1010C ． －1010D ．－1208． 对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则x ＝2，y ＝－3，z ＝2是P ，A ，B ，C 四点共面的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件9．已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →＝(1，1，2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →＝________．10．在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB＝BC ＝1，AD ＝12，则平面SCD 与平面SBA 夹角的余弦值是_________．11．平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，且∠BAD ＝45°，以BD 为折线，把△ABD 折起到△A 1BD 的位置，使平面A 1BD ⊥平面BCD ，连接A 1C ．(1)求证：A 1B ⊥DC ；(2)求二面角B A 1C D 的大小．图1412．如图143所示，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，AB ＝2AD ＝4，BD ＝23，PD ⊥底面ABCD ．(1)证明：平面PBC ⊥平面PBD ；(2)若二面角P BC D 的大小为 π4，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值．。
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全品高考复习方案数学答案精选文档TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-2016全品高考复习方案数学答案【篇一：全品高考复习方案物理作业手册】class=txt>一、单选题 1．“嫦娥三号”月球探测器于2013年12月2日凌晨发射升空，2013年12月14日成功完成月面软着陆，2013年12月15日4时35分，“嫦娥三号”着陆器与巡视器(“玉兔号”月球车)成功分离，这标志着我国的航天事业又一次腾飞，下面有关“嫦娥三号”的说法正确的是( )a．“嫦娥三号”在刚刚升空的时候速度很小，加速度也很小b．研究“嫦娥三号”飞往月球的运行轨道时，可以将其看作质点a．机器人的运动轨迹是一条直线 b．机器人不会两次通过同一点c．整个过程中机器人的位移大小为2 m)图k1-1a．物体在ab段的平均速度为1 m/s b．物体在abc段的平均速度为5m/s 2a．加速度与速度无必然联系a．8 m/s，24 m/s b．24 m/s，8 m/sa.火车的速度变化较慢 b．汽车的加速度较小 c．火车的位移在减小d．汽车的位移在增加7．图k1-2是某质点运动的速度－时间图像，由图像得到的正确结论是( )图k1-2a．0～1 s内的平均速度是2 m/s b．0～2 s内的位移大小是3 mc．0～1 s内的加速度大于2～4 s内的加速度d．0～1 s内的运动方向与2～4 s内的运动方向相反图k1-32xa．超声波的速度为v声t12x2b．超声波的速度为v声＝t22（x2－x1）d．物体的平均速度为v＝三、计算题9．一辆汽车从静止开始匀加速开出，然后保持匀速运动，最后匀减速运动，直到停止，下表给出了不同时刻汽车的速度：(1)(2)汽车通过的总路程是多少？图k1-4课时作业(二) 第2讲匀变速直线运动的规律及应用a．在比萨斜塔上同时由静止释放一大一小两个金属球，两球同时着地，说明两球运动的加速度相同，这个加速度就是当地的重力加速度b．地球上各处的重力加速度g的值都相同c．济南的重力加速度为 m/s2，说明在济南做下落运动的物体，每经过1 s速度增加 m/s1s，不计空气阻力，则小石子出发点离a点约为() 1000图k2-12v b．2vc．2 2v d．4v二、多选题 6．[2图k2-2a．滑块上滑过程中加速度的大小为 m/s2 b．vc＝6 m/s c．de＝3 m2取10 m/s，4 s内物体的( )a．位移大小为50 m b．路程为50 mc．速度改变量的大小为20 m/s d．平均速度大小为10 m/s 8．如图k2-3所示，t＝0时，质量为 kg的物体从光滑斜面上的a点由静止开始下滑，经过b 点后进入水平面(经过b点前后速度大小不变)，最后停在c点．每隔2 s物体的瞬时速度记录在下表中，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法中正确的是( )图k2-310＝ s的时刻物体恰好经过b点3(1)木杆经过圆筒的上端a所用的时间t1是多少？(2)木杆通过圆筒ab所用的时间t2是多少(g取10 m/s2)图k2-4【篇二：全品高考复习方案物理听课手册】>第1讲描述直线运动的基本概念核心填空一、质点1．定义：用来代替物体的有________的点叫作质点．2．条件：研究一个物体的运动时，如果物体的________和________对问题的影响可以忽略，就可以看作质点．二、参考系1．定义：研究物体运动时，________用以作参考的物体．2．选取不同的物体作为参考系，对同一物体运动的描述可能不同．通常以________为参考系．三、时刻和时间1．时刻指的是某一瞬时，在时间轴上用________来表示，对应的是位置、瞬时速度、动能等状态量．2．时间是两时刻间的间隔，在时间轴上用________来表示，对应的是位移、路程、功等过程量．四、路程和位移1．路程指运动轨迹的长度，它是________量．2．位移是由初位置指向末位置的有向线段，它是________量．五、速度1．定义：物体____________________和所用时间的比值． 2．定义式：v＝______________．3．方向：与________同向，即物体运动的方向．六、加速度1．定义：物体____________________和所用时间的比值． 2．定义式：a＝________．3．方向：与________的方向一致，由________的方向决定，而与v0、v的方向无关．易错判断(1)参考系必须是静止的物体．( )(2)做直线运动的物体，其位移大小一定等于路程．( ) (3)平均速度的方向与位移方向相同．( )(4)瞬时速度的方向就是物体在该时刻或该位置的运动方向．( )(5)甲的加速度a甲＝12 m/s2，乙的加速度a乙＝－15 m/s2，a甲＜a 乙．( ) (6)物体的加速度增大，速度可能减小．()考点一对质点、参考系、位移、路程的理解 1.(质点与参考系)在“金星凌日”的精彩天象中，观察到太阳表面上有颗小黑点缓慢走过，那便是金星．图1-1为2012年6月6日上演的“金星凌日”过程，持续时间达六个半小时，下面说法正确的是()图1-1a．地球在金星与太阳之间 b．观测“金星凌日”时可将太阳看成质点 c．图中9：30：41为凌甚时间d．以太阳为参考系，可以认为金星是运动的 2．(多选)(参考系与位移)湖中o处有一观察站，一小船从o处出发一直向东行驶4 km，又向北直线行驶3 km，则下列说法中正确的是( )a．相对于o处的观察员，小船运动的路程为7 km b．相对于小船，o处的观察员始终处于静止状态程分别为( )图1-2，a指向c；10r，c指向a；2■ 特别提醒1．质点是理想模型，实际并不存在．模型化处理是分析、解决物理问题的重要思想．物理学中理想化的模型有很多，如质点、轻杆、轻绳、轻弹簧等；还有一些过程类理想化模型，如自由落体运动、平抛运动等．2．参考系的选取是任意的．对于同一个物体运动的描述，选用的参考系不同，其运动性质可能不同．3．对位移和路程的辨析如下表电门时的瞬时速度．为使( )图1-3a．换用宽度更窄的遮光条b．提高测量遮光条宽度的精确度 c．使滑块的释放点更靠近光电门运动，她在第1 s内、第2 s内、第3 s内、第4 s内通过的位移分别为1 m、2 m、3 m、4 m，则( )图1-4a．她在4 s末的瞬时速度为4 m/s b．她在第2 s内的平均速度为2 m/s c．她在4 s内的平均速度为 m/s d．她在1 s末的速度为1 m/s ■ 特别提醒度相同，即v＝考点三对加速度及速度与加速度关系的理解对加速度及速度与加速度关系的理解，要注意以下几方面：1．速度是运动状态量，对应于某一时刻(或某一位臵)的运动快慢和方向．3．加速度a＝“速度变化率”，表示在单位时间的速度变化量，反映了速度v大，a也不一定大．如飞机飞行的速度v很大，a也可能等于零；列车由静止到高速行驶，其速度变化量很大，但经历时间也长，所以加速度并不大．考向一对加速度概念的理解1．(多选)甲、乙两个物体在同一直线上沿正方向运动，a甲＝4 m/s2，a乙＝－4 m/s2，那么对甲、乙两物体判断正确的是( )a．甲的加速度与乙的加速度大小相等 b．甲做加速直线运动，乙做减速直线运动 c．甲的速度比乙的速度变化快 d．每经过1 s，甲的速度增加4 m/s 考向二加速度的计算)图1-5a． m/s2 b． m/s2 c． m/s2 d．不能计算a．速度变化的方向为正，加速度的方向也为正 b．物体加速度增大，速度一定越来越大 c．速度越来越大，加速度一定越来越大d．加速度可能既不与速度同向，也不与速度反向■ 特别提醒(1)速度的大小与加速度的大小没有必然联系，加速度由合力决定其大小和方向．(2)速度变化量大小与加速度大小没有必然的联系，速度变化量的大小由加速度和速度变化的时间决定．(3)物体做加速运动还是减速运动，关键是看物体的加速度与速度的方向关系，而不是看加速度的变化情况．加速度的大小只反映速度变化(增加或减小)的快慢．考点四匀速直线运动是一种理想化模型，是最基本、最简单的运动形式，应用广泛．例如：声、【篇三：高考复习方案数学配套月考试题4a】试卷类型：a2012届高三全品原创月考试题四数学适用地区：新课标地区考查范围：集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式、立体几何、解析几何概率统计建议使用时间：2011年10月底本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案答在答题卡上．在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．选择题答案使用2b铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若集合a{1,0,1},b{y|ycosx,xa},则ab（）a.{0}b.{1}c.{0,1}d.1,0,1第 1 页共 13 页金太阳教育版权所有侵权必究金太阳新课标资源网44．（理）在二项式(x)的展开式中，含x的项的系数是（）21x5a．10 b．10 c．5 d．5abb 的概率是（）218. c. d. 1 939＝( )3356b．－ c. d 3399[, 2 [, 4[, 9 [, 18 [, 11 [, 12 [, 7 [, 3根据样本的频率分布估计，数据落在[,的概率约是( ) 1112 b. c. 6323 x2,x0,1,e?7．（理）设f(x)1（其中e为自然对数的底数），则f(x)dx的值为(),x1,exa．456b． c．53476（文）某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体结果如下表：单价（元/kg）供给量(1000/kg)250 60 6070 6575 7080 754表1市场供给表单价（元/kg ）需求量（1000/kg ）450280交于a，b两点，|ab|为c的实轴长的2倍，则c的离心率为( ) 2 ．2d．3第 2 页共 13 页金太阳教育版权所有侵权必究金太阳新课标资源网9．已知等比数列an中有a3a114a7，数列bn是等差数列，且a7b7，则b5b9（）x≥0，y≥0，若x，y为整数，则3x＋4y的最小值是( )学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )第Ⅱ卷x2y22516p为椭圆上任一点，点m的坐标为（6，4），则|pm|＋|pf1|的最大值为 .第 3 页共 13 页金太阳教育版权所有侵权必究金太阳新课标资源网f1(x)＝f(x)＝xx0)，观察： x＋2x x＋2xf2(x)＝f(f1(x))＝3x＋4xf3(x)＝f(f2(x))＝7x＋8xf4(x)＝f(f3(x))＝，15x＋16根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈n*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.a1（理）如图所示，在正方体abcda1bc11d1中，e为ab的中点, (１)若f为aa1的中点，求证: ef∥面dd1c1c；（2）若f为aa1的中点,求二面角aecd1的余弦值；f 1c(3)若f在aa1上运动时（f与a、a，求当半平面d1ef与半平面ade成1不重合）的角时，线段a1f与fa的比.4(文)如图，在底面为平行四边形的四棱锥pabcd中，abac,pa面abcd,点e 是pd的中点．（1）求证：acpb; （2）求证：pb面aec.第 4 页共 13 页金太阳教育版权所有侵权必究金太阳新课标资源网19. （本小题满分12分）(2)已知用b配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为－2，t＜94，y＝2，94≤t＜102，4，t≥102.从用b配方生产的产品中任取一件，其利润记为x(单位：元)，求x的分布列及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)第 5 页共 13 页金太阳教育版权所有侵权必究。