平行四边形对角线的性质练习题

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华师大版初中数学八年级下册《18.1 平行四边形的性质》同步练习卷(含答案解析

华师大新版八年级下学期《18.1 平行四边形的性质》同步练习卷一．选择题（共23小题）1．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，α=60°．若AB=OD=2，则▱ABCD 的面积是（）A．8B．C．2D．42．如图，▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，BF平分∠ABC交AD于F点，CE平分∠BCD交AD于E点，则EF的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠BCD的平分线CE与边AB相交于E，若EB=EA=EC，那么下列结论正确的个数有（）①∠ACE=30°②OE∥DA ③S▱ABCD=AC•AD ④CE⊥DBA．1B．2C．3D．44．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB 上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC ＜2S△CEF；④∠DFE=4∠AEF．A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④5．如图，平行四边形纸片ABCD和CEFG上下叠放（G在CD上），CE∥AD且CE=AD，连结AF、CF．已知▱ABCD的面积为10，▱CEFG的面积为4，则图中阴影部分△AFC的面积为（）A．4B．6C．7D．86．如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．67．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF 相交于点G．下列结论错误的是（）A．∠BAD=2∠DFC B．若BC=4EF，则AB：BC=3：8C．AF=DE D．∠BGC=90°8．如图，已知点M为▱ABCD边AB的中点，线段CM角BD于点E，S△BEM=1，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．59．如图，▱ABCD中，AD=2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD=S△AEF；④∠上，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF=∠C；②EF=AF；③S△ABF BFE=3∠CEF中，一定成立的是（）A．只有①②B．只有②③C．只有①②④D．①②③④10．如图，在▱ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠DCB交BD 于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE，下列结论：①∠ACD=30°②S▱ABCD=AC•BC③OE：AC=1：4④S=2S△OEF△OCF其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．已知▱ABCD中，AD=2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，连结EF、AF，下列结论：①2∠BAF=∠BAD；②EF=AF；③S△ABF ≤S△AEF．中一定成立的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③13．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，E是AB上一点，连接CF、EF、EC，且CF=EF，下列结论正确的个数是（）①CF平分∠BCD；②∠EFC=2∠CFD；③∠ECD=90°；④CE⊥AB．A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD=AF；④S△ABE=S△CEF其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④15．如图所示，在▱ABCD中，BC=6，∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且点F为边AD的中点，AG⊥BE于点G，若AG=2，则BE的长度是（）A．10B．8C．4D．416．如图，在▱ABCD中，AB=8，BC=5，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AD、AB于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠DAB内交于点M，连接AM并延长交CD于点E，则CE的长为（）A．3B．5C．2D．6.517．如图，已知□ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，交AC于点F，且∠BCD=60°，BC=2CD，连结OE．下列结论：①OE∥AB；=BD•CD；②S平行四边形ABCD③AO=2BO；④S=2S△EOF．△DOF其中成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个18．如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S1+S3=S2+S4②如果S4＞S2，则S3＞S1③若S3=2S1，则S4=2S2④若S1﹣S2=S3﹣S4，则P点一定在对角线BD上．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．419．如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD=8，则图中阴影部分的面积是（）A．3B．4C．5D．620．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于E，AF⊥DE，垂足为F，已知∠DAF=50°，则∠B=（）A．50°B．40°C．80°D．100°21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°．①四边形ACED是平行四边形；②△BCE是等腰三角形；③四边形ACEB的周长是5+；④四边形ACEB的面积是16．则以上结论正确的是（）A．①②B．②④C．①②③D．①③④22．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD 于F，DE、BF相交于H，直线BF交线段AD的延长线于G，下面结论：①BD= BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④∠BHD=∠BDG；其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．423．如图，F是▱ABCD的边AD上一点，连接BD，BF，BF的延长线与CD的延长线交于点E．若∠E=∠A，∠BDC=90°，则下列结论中不正确的是（）A．2DF=BC B．BE=BCC．∠ADE=∠CBE D．D是CE的中点二．填空题（共4小题）24．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE交于点P，BF 与CE交于点Q，若S=20cm2，S△BQC=30cm2，则图中阴影部分的面积为△APDcm2．25．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交边AD于点E，若平行四边形ABCD的周长为20，则△ABE的周长等于．26．已知平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，BC边上的高AE=2，AF⊥DC于F，则DF的长是．27．如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，如果AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，那么DP：DC等于．三．解答题（共23小题）28．如图，在平行四边形中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=60°，BE=2，DF=3，求AB，BC的长及平行四边形ABCD的面积？29．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD于点F，交BC的延长线于点E，连结BF．（1）求证：BE=CD；（2）若点F是CD的中点．①求证BF⊥AE；②若∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．30．如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E 为AC的中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：DF=AE．31．如图，在▱ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF=∠CDE，连接AF，AE．（1）求证△ABF≌△EDA；（2）延长AB与CF相交于G．若AF⊥AE，求证BF⊥BC．32．在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F．（1）求证：BE=BF；（2）若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．求证：AG=CG；AG⊥CG．33．如图1，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边AD，AB上，连接CE，CF，且满足∠DCE=∠BCF，BF=DE，∠A=60°，连接EF．（1）若EF=2，求△AEF的面积；（2）如图2，取CE的中点P，连接DP，PF，DF，求证：DP⊥PF．34．如图，在▱ABCD中，BD⊥BC，∠BDC=60°，∠DAB和∠DBC的平分线相交于点E，F为AE上一点，EF=EB，G为BD延长线上一点，BG=AB，连接GE．（1）若▱ABCD的面积为9，求AB的长；（2）求证：AF=GE．35．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：BF=CD；（2）连接BE，若BE⊥AF，∠F=60°，BE=2，求AB的长．36．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且点F恰好为边AD的中点．（1）求证：△ABF≌△DEF；（2）若AG⊥BE于G，BC=4，AG=1，求BE的长．37．已知，在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，且AB=AE，连接BE交AC 于点H，过点A作AF⊥BC于F，交BE于点G．（1）若∠D=50°，求∠EBC的度数；（2）若AC⊥CD，过点G作GM∥BC交AC于点M，求证：AH=MC．38．如图，在▱ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∠AND=90°，连结CM交DN于点O．（1）求证：△ABN≌△CDM；（2）猜想：四边形CDMN是什么特殊四边形？并证明你的猜想；（3）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的长．39．已知如图，▱ABCD，AD=a，AC为对角线，BM∥AC，过点D作DE∥CM，交AC的延长线于F，交BM的延长线于E．（1）求证：△ADF≌△BCM；（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求四边形ABED的面积（用含a的代数式表示）．40．如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．（1）求证：CG=CD；（2）若CF=2，AE=3，求BE的长．41．如图，在▱ABCD中，E为AB中点，EF与CF分别平分∠AEC与∠DCE，G为CE中点，过G作GH∥EF交CF于点O，交CD于点H．（1）猜想四边形CGFH是什么特殊的四边形？并证明你的猜想；（2）当AB=4，且FE=FC时，求AD长．42．已知E为平行四边形ABCD中AB边上一点，且BE=AB，连接DE交BC于F，交AC于G．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）试探究OF与AB有什么位置关系和数量关系，并说明理由．43．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，联结DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）设CD与OE交于点F，若OF2+FD2=OE2，CE=3，DE=4，求线段CF的长．44．如图，在▱ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F．（1）求证：CF=CD；（2）若AD=2AB，连接DE，试判断DE与AF的位置关系，并说明理由．45．如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，分别以BC和CD为边作等边△BCE和等边△CDF．求证：AE=AF．46．已知：如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长BC至E，使CE=BC，连接AE交CD于点F．（1）求证：CF=FD；（2）若AD=DC=6，求：∠BDE的度数和OF的长．47．在平行四边形ABCD中，E是BC上任意一点，延长AE交DC的延长线与点F．（1）在图中当CE=CF时，求证：AF是∠BAD的平分线．（2）根据（1）的条件和结论，若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图‚），请求出∠BDG的度数．（3）如图，根据（1）的条件和结论，若∠BAD=60°，且FG∥CE，FG=CE，连接DB、DG，求出∠BDG的度数．48．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于E，交直线DC于F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），讨论线段DG与BD的数量关系．49．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连结DB、DG（如图2），求∠BDG 的度数．50．如图，已知平行四边形ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD，CE=3，AB=5．（1）求线段CF的长度；（2）求证：AB=DG+CE．华师大新版八年级下学期《18.1 平行四边形的性质》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共23小题）1．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，α=60°．若AB=OD=2，则▱ABCD 的面积是（）A．8B．C．2D．4【分析】根据等边三角形的判定得出△DOC是等边三角形，再根据平行四边形的性质和的面积公式即可求解．【解答】解：∵在▱ABCD中，∴AB=DC，∵α=60°．AB=OD=2，∴△DOC是等边三角形，∴△DOC的面积=，∴▱ABCD的面积=4△DOC的面积=4，故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质和面积，解此题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．2．如图，▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，BF平分∠ABC交AD于F点，CE平分∠BCD交AD于E点，则EF的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据平行四边形的性质可知∠AEB=∠EBC，又因为BE平分∠ABC，所以∠ABE=∠EBC，则∠ABE=∠AEB，则AB=AE=3，同理可证FD=3，继而可求得EF=AE+DE﹣AD．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB=∠EBC，AD=BC=5cm，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，则∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=3cm，同理可证：DF=DC=AB=3cm，则EF=AE+FD﹣AD=3+3﹣5=1cm．故选：A．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠BCD的平分线CE与边AB相交于E，若EB=EA=EC，那么下列结论正确的个数有（）①∠ACE=30°②OE∥DA ③S▱ABCD=AC•AD ④CE⊥DBA．1B．2C．3D．4【分析】想办法证明∠ACB=90°，△BCE是等边三角形即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OD=DB，∴∠DCA=∠CEB，∵∠DCA=∠BCE，∴∠BCE=∠CEB，∴BC=EC，∵EB=EA=EC，∴∠ACB=90°，EC=BC=EB，∴△BEC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠CAB=30°，故①正确，∵OD=DB，AE=EB，∴OE∥AD，故②正确，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=90°，∴AD⊥AC，∴S▱ABCD=AC•AD，故③正确，假设CE⊥BD，则推出四边形ABCD是菱形，显然不可能，故④错误，故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB 上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC ＜2S△CEF；④∠DFE=4∠AEF．A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．【解答】解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故①正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴CF=EF，故②正确；③∵EF=FM，∴S=S△CFM，△EFC∵MC＞BE，∴S△BEC ＜2S△EFC故③正确；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故④错误．故选：B．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题关键．5．如图，平行四边形纸片ABCD和CEFG上下叠放（G在CD上），CE∥AD且CE=AD，连结AF、CF．已知▱ABCD的面积为10，▱CEFG的面积为4，则图中阴影部分△AFC的面积为（）A．4B．6C．7D．8【分析】作EN⊥AB，延长DC交EN与M，由S阴影=S四边形FEBA﹣S△EFC﹣S△ABC可求阴影部分面积．【解答】解：如图作EN⊥AB，延长DC交EN与M∵AB∥CD，AN⊥EN∴CM⊥EN∵AB∥CD∴且EC=AD=BC ∴EM=MN∵S阴影=S四边形FEBA﹣S△EFC﹣S△ABC=﹣EF×EM﹣AB×MN∴S阴影=（EF+AB）×EM﹣﹣EF×EM﹣AB×MN=EF×EM+AB×MN=S四边形EFGC +S四边形ABCD且S四边形EFGC=4，S四边形ABCD=10∴S阴影=7故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，关键是作出平行四边形的高，用已知面积表示阴影部分面积．6．如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．6【分析】想办法证明S阴=S△ADE+S△DEC=S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC=S△ACF解决问题；【解答】解：连接AF、EC．∵BC=4CF，S△ABC=12，∴S△ACF=×12=3，∵四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，EF∥AC，∴S△DEB=S△DEC，∴S阴=S△ADE+S△DEC=S△AEC，∵EF∥AC，∴S△AEC=S△ACF=3，∴S阴=3．故选：B．【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．7．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF 相交于点G．下列结论错误的是（）A．∠BAD=2∠DFC B．若BC=4EF，则AB：BC=3：8C．AF=DE D．∠BGC=90°【分析】求出AB=CD，AD∥BC，根据平行线性质和角平分线性质求出∠ABE=∠AEB，推出AB=AE，同理求出DF=CD，求出AE=DF可知选项C正确，由∠A=∠BCD=2∠FDC，可知选项A正确，由∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠BCD，又∠ABC+∠BCD=180°，推出∠GBC+∠GCB=90°，可知D正确；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∠A=∠BCD，∴∠AEB=∠EBC，∠BCF=∠DFC，∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠ABE=∠CBE，∠BCF=∠DCF，∴∠ABE=∠AEB，∴∠BAD=2∠DFC，故A正确∴AB=AE，同理DF=CD，∴AE=DF，即AE﹣EF=DF﹣EF，∴AF=DE．故C正确∵∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠BCD，又∠ABC+∠BCD=180°，∴∠GBC+∠GCB=90°，∴∠BGC=90°，故D正确，故选：B．【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．如图，已知点M为▱ABCD边AB的中点，线段CM角BD于点E，S△BEM=1，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．5【分析】由四边形ABCD是平行四边形，推出AB=CD，AB∥CD，由AM=BM，推=2S△EBM，S△EBC=2S△EBM，由此即可解决问题；出===，可得S△DEM【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∵AM=BM，∴===，=2S△EBM，S△EBC=2S△EBM，∴S△DEM=1，∵S△BEM=S△EBC=2，∴S△DEM=2+2=4，∴S阴故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．如图，▱ABCD中，AD=2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD=S△AEF；④∠上，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF=∠C；②EF=AF；③S△ABF BFE=3∠CEF中，一定成立的是（）A．只有①②B．只有②③C．只有①②④D．①②③④【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．【解答】解：①∵F是BC的中点，∴BF=FC，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴BC=2AB=2CD，∴BF=FC=AB，∴∠AFB=∠BAF，∵AD∥BC，∴∠AFB=∠DAF，∴∠BAF=∠FAB，∴2∠BAF=∠BAD，∵∠BAD=∠C，∴∠BAF=2∠C故①正确；②延长EF，交AB延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠MBF=∠C，∵F为BC中点，∴BF=CF，在△MBF和△ECF中，，∴△MBF≌△ECF（ASA），∴FE=MF，∠CEF=∠M，∵CE⊥AE，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠BAE=90°，∵FM=EF，∴EF=AF，故②正确；③∵EF=FM，∴S△AEF=S△AFM，∴S△ABF ＜S△AEF，故③错误；④设∠FEA=x，则∠FAE=x，∴∠BAF=∠AFB=90°﹣x，∴∠EFA=180°﹣2x，∴∠EFB=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠CEF=90°﹣x，∴∠BFE=3∠CEF，故④正确，故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF≌△DME．10．如图，在▱ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题；【解答】解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，=S△CFG，∵S△DFE=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∴S四边形DEBC∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选：D．【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．11．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠DCB交BD 于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE，下列结论：①∠ACD=30°②S▱ABCD=AC•BC③OE：AC=1：4=2S△OEF④S△OCF其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE是等边三角形，证得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；由AC⊥BC，得到S▱ABCD=AC•BC，故②正确，根据直角三角形的性质得到AC=BC，根据三角形的中位线的性质得到OE=BC，于是得到OE：AC=：6；故③错误；根据相似三角形的性=2S△OEF；故④正确．质得到=2，求得S△OCF【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵CE平分∠BCD交AB于点E，∴∠DCE=∠BCE=60°∴△CBE是等边三角形，∴BE=BC=CE，∵AB=2BC，∴AE=BC=CE，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；∵AC⊥BC，∴S▱ABCD=AC•BC，故②正确，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴AC=，∵AO=OC，AE=BE，∴OE=BC，∴OE：AC=，∴OE：AC=：6；故③错误；∵AO=OC，AE=BE，∴OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴=2：1，∴S△OCF ：S△OEF==2，∴S△OCF=2S△OEF；故④正确．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△BCE是等边三角形，OE 是△ABC的中位线是关键．12．已知▱ABCD中，AD=2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，连结EF、AF，下列结论：①2∠BAF=∠BAD；②EF=AF；③S△ABF ≤S△AEF．中一定成立的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．【解答】解：①∵F是BC的中点，∴BC=2BF，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴BC=2AB，∴BF=AB，∴∠AFB=∠BAF，∵AD∥BC，∴∠AFB=∠DAF，∴∠BAF=∠FAB，∴2∠BAF=∠BAD，故①正确；②延长EF，交AB延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠MBF=∠C，∵F为BC中点，∴BF=CF，在△MBF和△ECF中，，∴△MBF≌△ECF（ASA），∴FE=MF，∵CE⊥AE，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠BAE=90°，∵FM=EF，∴EF=AF，故②正确；③∵EF=FM，∴S△AFE=S△AFM，∴S△ABF ≤S△AEF，故③正确；故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△MBF≌△ECF．13．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，E是AB上一点，连接CF、EF、EC，且CF=EF，下列结论正确的个数是（）①CF平分∠BCD；②∠EFC=2∠CFD；③∠ECD=90°；④CE⊥AB．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①只要证明DF=DC，利用平行线的性质可得∠DCF=∠DFC=∠FCB；②延长EF和CD交于M，根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠A=∠FDM，证△EAF≌△MDF，推出EF=MF，求出CF=MF，求出∠M=∠FCD=∠CFD，根据三角形的外角性质求出即可；③④求出∠ECD=90°，根据平行线的性质得出∠BEC=∠ECD，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∵AF=DF，AD=2AB，∴DF=DC，∴∠DCF=∠DFC=∠FCB，∴CF平分∠BCD，故①正确，延长EF和CD交于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠FDM，在△EAF和△MDF中，，∴△EAF≌△MDF（ASA），∴EF=MF，∵EF=CF，∴CF=MF，∴∠FCD=∠M，∵由（1）知：∠DFC=∠FCD，∴∠M=∠FCD=∠CFD，∵∠EFC=∠M +∠FCD=2∠CFD ；故②正确，∵EF=FM=CF ，∴∠ECM=90°，∵AB ∥CD ，∴∠BEC=∠ECM=90°，∴CE ⊥AB ，故③④正确，故选：D ．【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．14．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ，且AB=AE ，延长AB 与DE 的延长线交于点F ．下列结论中：①△ABC ≌△EAD ；②△ABE 是等边三角形；③AD=AF ；④S △ABE =S △CEF 其中正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④【分析】由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AD=BC ，由AE 平分∠BAD ，可得∠BAE=∠DAE ，可得∠BAE=∠BEA ，得AB=BE ，由AB=AE ，得到△ABE 是等边三角形，②正确；则∠ABE=∠EAD=60°，由SAS 证明△ABC ≌△EAD ，①正确；由△FCD 与△ABD 等底（AB=CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），得出S △FCD =S △ABD ，由△AEC 与△DEC 同底等高，所以S △AEC =S △DEC ，得出S △ABE =S △CEF ．④正确．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAD=∠AEB，又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，∵AB=AE，∴△ABE是等边三角形；②正确；∴∠ABE=∠EAD=60°，∵AB=AE，BC=AD，∴△ABC≌△EAD（SAS）；①正确；∵△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），=S△ABC，∴S△FCD又∵△AEC与△DEC同底等高，=S△DEC，∴S△AEC∴S=S△CEF；④正确．△ABE若AD与AF相等，即∠AFD=∠ADF=∠DEC即EC=CD=BE即BC=2CD，题中未限定这一条件∴③不一定正确；∴①②④正确，故选：B．【点评】此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．15．如图所示，在▱ABCD中，BC=6，∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且点F为边AD的中点，AG⊥BE于点G，若AG=2，则BE的长度是（）A．10B．8C．4D．4【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可求出AB=AF，再根据等腰三角形的性质可求出BG的长，进而可求出BF的长，根据全等三角形的性质得到BF=EF，所以BE=2BF，问题得解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABF=∠E，∵点F恰好为边AD的中点，∴AF=DF，在△ABF与△DEF中，，∴△ABF≌△DEF，∴BF=EF，BE=2BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=6，∵∠AFB=∠FBC，∵∠ABC的平分线与CD的延长线相交于点E，∴∠ABF=∠FBC，∴∠AFB=∠ABF，∴AB=AF，∵点F为AD边的中点，AG⊥BE．∴BG==，∴BF=2，∴BE=2BF=4．故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质、勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等．16．如图，在▱ABCD中，AB=8，BC=5，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AD、AB于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠DAB内交于点M，连接AM并延长交CD于点E，则CE的长为（）A．3B．5C．2D．6.5【分析】根据作图过程可得得AE平分∠DAB；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAE=∠DEA，证出AD=DE=5，即可得出CE的长．【解答】解：根据作图的方法得：AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠EAB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，AD=BC=5，∴∠DEA=∠EAB，∴∠DAE=∠DEA，∴AD=DE=5，∴CE=DC﹣DE=8﹣5=3；【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出AD=DE是解决问题的关键．17．如图，已知□ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，交AC于点F，且∠BCD=60°，BC=2CD，连结OE．下列结论：①OE∥AB；=BD•CD；②S平行四边形ABCD③AO=2BO；=2S△EOF．④S△DOF其中成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①证明BE=CE，OA=OC，根据三角形中位线定理可得结论正确；②证明BD⊥CD，可得结论正确；③设AB=x，分别表示OA和OB的长，可以作判断；④先根据平行线分线段成比例定理可得：DF=2EF，由同高三角形面积的比等于对应底边的比可作判断．【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∵∠BCD=60°，∴∠ADC=120°，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=60°=∠BCD，∴△CDE是等边三角形，∴CE=CD，∵BC=2CD，∴BE=CE，∴OE∥AB；故①正确；②∵△DEC是等边三角形，∴∠DEC=60°=∠DBC+∠BDE，∵BE=EC=DE，∴∠DBC=∠BDE=30°，∴∠BDC=30°+60°=90°，∴BD⊥CD，∴S=BD•CD；平行四边形ABCD故②正确；③设AB=x，则AD=2x，则BD=x，∴OB=，由勾股定理得：AO==x，故③不正确；④∵AD∥EC，∴=，∴DF=2EF，=2S△EOF．∴S△DOF故④正确；故选：C．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△BCE是等边三角形，OE 是△ABC的中位线是关键．18．如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S1+S3=S2+S4②如果S4＞S2，则S3＞S1③若S3=2S1，则S4=2S2④若S1﹣S2=S3﹣S4，则P点一定在对角线BD上．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，AD=BC，设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出①正确；根据三角形的面积公式即可判断②③错误；根据已知进行变形，求出S1+S4=S2+S3=S△ABD=S△BDC=S平行四边形ABCD，即可判断④．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，则S1=ABh1，S2=BCh2，S3=CDh3，S4=ADh4，∵ABh1+CDh3=AB•h AB，BCh2+ADh4=C•h BC，又∵S=AB•h AB=BC•h BC平行四边形ABCD∴S2+S4=S1+S3，故①正确；根据S4＞S2只能判断h4＞h2，不能判断h3＞h1，即不能得出S3＞S1，∴②错误；根据S3=2S1，能得出h3=2h1，不能推出h4=2h2，即不能推出S4=2S2，∴③错误；∵S1﹣S2=S3﹣S4，∴S1+S4=22+S3=S平行四边形ABCD，此时S1+S4=S2+S3=S△ABD=S△BDC=S平行四边形ABCD，即P点一定在对角线BD上，∴④正确；故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，以及平行四边形对角线上点的判定的应用，用平行四边形的面积表示出相对的两个三角形的面积的和是解题的关键，也是本题的难点．19．如图，E 是平行四边形内任一点，若S 平行四边形ABCD =8，则图中阴影部分的面积是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．所以S 阴影=S 四边形ABCD ．【解答】解：设两个阴影部分三角形的底为AD ，CB ，高分别为h 1，h 2，则h 1+h 2为平行四边形的高，∴S △EAD +S △ECB=AD•h 1+CB•h 2=AD （h 1+h 2）=S 四边形ABCD=4．故选：B ．【点评】本题主要考查了三角形的面积公式和平行四边形的性质（平行四边形的两组对边分别相等）．要求能灵活的运用等量代换找到需要的关系．20．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 于E ，AF ⊥DE ，垂足为F ，已知∠DAF=50°，则∠B=（）A ．50°B ．40°C ．80°D ．100°【分析】由平行四边形的性质及角平分线的性质可得∠ADC 的大小，进而可求解∠B 的度数．【解答】解：在Rt △ADF 中，∵∠DAF=50°，∴∠ADE=40°，又∵DE平分∠ADC，∴∠ADC=80°，∴∠B=∠ADC=80°．故选：C．【点评】本题主要考查平行四边形的性质及角平分线的性质，应熟练掌握，并能做一些简单的计算问题．21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°．①四边形ACED是平行四边形；②△BCE是等腰三角形；③四边形ACEB的周长是5+；④四边形ACEB的面积是16．则以上结论正确的是（）A．①②B．②④C．①②③D．①③④【分析】证明AC∥DE，再由条件CE∥AD可证明四边形ACED是平行四边形；根据线段的垂直平分线证明AE=EB可得△BCE是等腰三角形；首先利用三角函数计算出AD=4，CD=2，再算出AB长可得四边形ACEB的周长是10+2，利用△ACB和△CBE的面积和可得四边形ACEB的面积．【解答】解：①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，∴∠ACD=∠CDE=90°，∴AC∥DE，∵CE∥AD，∴四边形ACED是平行四边形，故①正确；②∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴EC=EB，∴△BCE是等腰三角形，故②正确；③∵AC=2，∠ADC=30°，∴AD=4，CD=2，∵四边形ACED是平行四边形，∴CE=AD=4，∵CE=EB，∴EB=4，DB=2，∴CB=4，∴AB==2，∴四边形ACEB的周长是10+2故③错误；④四边形ACEB的面积：×2×4+×4×2=8，故④错误，故选：A．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、特殊角三角函数、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．等腰三角形的判定方法，属于中考常考题型．22．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD 于F，DE、BF相交于H，直线BF交线段AD的延长线于G，下面结论：①BD= BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④∠BHD=∠BDG；其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】通过判断△BDE为等腰直角三角形，得到BE=DE，BD=BE，则可对①进行判断；根据等角的余角相等得到∠BHE=∠C，再根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，则∠A=∠BHE，于是可对②进行判断；根据“AAS”可证明△BEH≌△DEC，得到BH=CD，接着由平行四边形的性质得AB=CD，则AB=BH，运算可对③进行判断；因为∠BDH=90°+∠EBH，∠BDG=90°+∠BDE，由∠BDE＞∠EBH，推出∠BDG＞∠BHD，所以④错误；【解答】解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC，∴△BDE为等腰直角三角形，∴BE=DE，BD=BE，所以①正确；∵BF⊥CD，∴∠C+∠CBF=90°，而∠BHE+∠CBF=90°，∴∠BHE=∠C，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠C，∴∠A=∠BHE，所以②正确；在△BEH和△DEC中，∴△BEH≌△DEC，∴BH=CD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，∴AB=BH，所以③正确；∵∠BDH=90°+∠EBH，∠BDG=90°+∠BDE，∵∠BDE＞∠EBH，∴∠BDG＞∠BHD，所以④错误；故选：C．。

人教版八年级下册数学平行四边形第2课时平行四边形的对角线性质同步练习

18.1 平行四边形第2课时平行四边形的对角线性质基础训练知识点1 平行四边形的性质——对角线互相平分1.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列说法一定正确的是( )A.AO=ODB.AO⊥ODC.AO=OCD.AO⊥AB2.如图,在平行四边形ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,对角线AC,BD相交于点O,则OA的取值范围是( )A.2 cm<OA<5 cmB.2 cm<OA<8 cmC.1 cm<OA<4 cmD.3 cm<OA<8 cm3.(2016·丽水)如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知AD=8,BD=12,AC=6,则△OBC的周长为( )A.13B.17C.20D.264.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB=4,AC=6,则BD的长是( )A.8B.9C.10D.115.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,则图中全等的三角形共有( )A.7对B.6对C.5对D.4对6.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于O,OE⊥BD于O交BC于E,连接DE,若△CED的周长是21 cm,则▱ABCD的周长是.知识点2 平行四边形的面积7.将一张平行四边形的纸片折一次,使得折痕平分这个平行四边形的面积.则这样的折纸方法共有( )A.1种B.2种C.4种D.无数种8.如图,在平行四边形ABCD中,点A1,A2,A3,A4和C1,C2,C3,C4分别是AB和CD的五等分点,点B1,B2和D1,D2分别是BC和DA的三等分点,已知四边形A4B2C4D2的面积为1,则平行四边形ABCD的面积为( )A.2B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.159.如图,过▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH,那么图中的▱AEMG的面积S1与▱HCFM的面积S2的大小关系是( )A.S1>S2B.S1<S2C.S1=S2D.2S1=S210.如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD为对角线,BC=6,BC边上的高为4,则图中阴影部分的面积为( )A.3B.6C.12D.24易错点容易把未知条件当作已知条件使用11.如图,在平行四边形ABCD中,AC和BD相交于点O,OE⊥AD于点E,OF⊥BC于点F.试说明:OE=OF.提升训练考查角度1 利用平行四边形的对角线性质证明线段相等(构造法)12.如图,已知▱ABCD和▱EBFD的顶点A,E,F,C在一条直线上,求证:AE=CF.考察角度2 利用平行四边形对角线性质解坐标问题13.如图,已知点A(-4,2),B(-1,-2),▱ABCD的对角线交于坐标原点O.(1)请直接写出点C,D的坐标;(2)写出从线段AB到线段DC的变换过程;(3)直接写出▱ABCD的面积.探究培优拔尖角度1 利用平行四边形平行性质求面积14.(2016·永州)如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.(1)求证:BE=CD;(2)连接BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求▱ABCD的面积.拔尖角度2 利用平行四边形对角线性质探究面积15.探究:如图①,▱ABCD中,AC,BD交于点O,过点O的直线交AD于E,交BC于F.(1)求证:四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等.(2)直线EF是否将▱ABCD的面积分成二等份?试说明理由.应用:张大爷家有一块平行四边形的菜园,园中有一口水井P,如图②所示,张大爷计划把菜园平均分成两块分别种植西红柿和茄子,且使两块地共用这口水井,请你帮助张大爷把地分开.参考答案1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】C解：在▱ABCD中,OA=OC,OB=OD,所以AO=错误!未找到引用源。

平行四边形的性质与判定经典例题练习

平行四边形的性质与判定经典例题练习一、平行四边形的性质1. 定义：平行四边形是一种具有两对对边平行的四边形。

定义：平行四边形是一种具有两对对边平行的四边形。

2. 性质1：平行四边形的对边相等。

性质1：平行四边形的对边相等。

3. 性质2：平行四边形的对角线相等。

性质2：平行四边形的对角线相等。

4. 性质3：平行四边形的内角和为180度（即任意两个相邻内角之和为180度）。

性质3：平行四边形的内角和为180度（即任意两个相邻内角之和为180度）。

5. 性质4：平行四边形的两组对边分别互相平行并且相互等长。

性质4：平行四边形的两组对边分别互相平行并且相互等长。

二、平行四边形的判定1. 判定方法1：若一个四边形的对边分别平行且相等，则它是一个平行四边形。

判定方法1：若一个四边形的对边分别平行且相等，则它是一个平行四边形。

2. 判定方法2：若一个四边形的对角线互相相等，则它是一个平行四边形。

判定方法2：若一个四边形的对角线互相相等，则它是一个平行四边形。

三、经典例题练1. 例题1：已知四边形ABCD，AB = BC，且AD与BC互相平行，证明四边形ABCD是平行四边形。

例题1：已知四边形ABCD，AB = BC，且AD与BC互相平行，证明四边形ABCD是平行四边形。

2. 例题2：已知四边形EFGH，EF = GH，且EG与FH互相垂直，证明四边形EFGH是平行四边形。

例题2：已知四边形EFGH，EF = GH，且EG与FH互相垂直，证明四边形EFGH是平行四边形。

3. 例题3：判定以下四边形是否为平行四边形：（a）四边形ABCD，AB = CD，且AD与BC互相垂直；（b）四边形PQRS，PQ = SR，且PS与QR互相平行。

例题3：判定以下四边形是否为平行四边形：（a）四边形ABCD，AB = CD，且AD与BC互相垂直；（b）四边形PQRS，PQ = SR，且PS与QR互相平行。

- （a）根据对边平行和相等的判定方法，若AB = CD且AD与BC互相垂直，则四边形ABCD是平行四边形。

(完整版)平行四边形的性质习题(有答案)

平行四边形的性质测试题一、选择题（每题 3 分共 30 分）1．下边的性质中，平行四边形不必定具备的是（）A．对角互补B．邻角互补C．对角相等D．内角和为 360°2．在中，∠ A：∠ B：∠ C：∠ D 的值能够是（）A ．1：2：3：4B ．1：2：1：2C ．1：1：2：2 D．1： 2：2：13．平行四边形的对角线和它的边能够构成全等三角形（）A．3对B．4 对 C ．5对D． 6 对A D 4．以下图，在中，对角线 AC、BD交于点 O，?以下式子中一O 定建立的是（）B CA．AC⊥ BD B ． OA=OC C． AC=BD D ．AO=OD5．以下图，在中， AD=5，AB=3，AE均分∠ BAD交BC A D边于点 E，则线段 BE、 EC的长度分别为（）BE C A ．2和3 B．3和2 C ．4和1 D ．1和46．的两条对角线订交于点 O，已知 AB=8cm，BC=6cm，△AOB的周长是 18cm，那么△ AOD的周长是（）A ．14cmB ．15cmC ．16cmD ．17cm7．平行四边形的一边等于14，它的对角线可能的取值是（）A ．8cm和 16cmB ．10cm和 16cmC ． 12cm和 16cmD ． 20cm和 22cm 8．如图，在中，以下各式不必定正确的选项是（）A．∠ 1+∠ 2=180° B ．∠ 2+∠ 3=180C．∠ 3+∠ 4=180°D．∠ 2+∠4=180°9．如图，在中，∠ ACD=70°，AE⊥ BD于点E，则∠ ABE等于（）A、20°B、25° C 、 30° D 、35°10．如图，在△ MBN中， BM=6，点 A、C、D 分别在 MB、NB、MN上，四边形 ABCD为平行四边形，∠NDC=∠ MDA，那么的周长是（）二、填空题（每题 3 分共 18 分）11．在中，∠ A：∠ B=4：5，则∠ C=______．12．在中， AB：BC=1：2，周长为 18cm，则 AB=______cm，AD=_______cm．13．在中，∠A=30°，则∠ B=______，∠C=______，∠D=________．14．如图，已知：点 O是的对角线的交点， ?AC=?48mm，?BD=18mm，AD=16mm，那么△ OBC的周长等于 _______mm．15．如图，在中，E、F是对角线BD上两点，要使△ ADF≌△ CBE，还需增添一个条件是 ________．16．如图，在中，EF∥ AD，MN∥ AB，那么图中共有_______?个平行四边形．三、解答题17．已知：如图，在中，E、F是对角线AC?上的两点，AE=CF．BE与DF的大小有什么关系，并说明原因。

平行四边形性质及判定练习题及答案

平行四边形性质及判定练习题及答案1、如下图，在中，分别是边的中点，已知，则的长为（）A．3 B．4 C．5 D．62、如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，若AE:AF=2 :3，平行四边形ABCD的周长为40，则AB的长为( )A．12 B．9 C．8 D．6 3、如图,在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF•的周长是（）A．10 B．20 C．30 D．404、下列四个命题：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题个数有（）A． 4个 B．3个 C．2个 D． 1个5、如图，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（）A．1cm＜OA＜4cm B．2cm＜OA＜8cm C．2cm＜OA＜5cm D．3cm＜OA＜8cm6、如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF=3，则CD的长为（）A．3 B．6 C．8 D．127、如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（）A．4 B．3 C．2.5 D．28、如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3 cm，则AB的长为( )A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm9、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论不正确的是（）10、A．DC∥AB B．OA=OC C．AD=BC D．DB平分∠ADC10、如图，将ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B’处.若∠1=∠2=44°，则∠B为( )A． 124° B．114° C． 104° D．6611、在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，A D∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的条件共有。

北师大版八年级数学下册利用四边形对角线的性质判定平行四边形同步练习题

D A CB 6.2 平行四边形的判定第2课时平行四边形的判定定理3与两平行线间的距离【学习内容】平行四边形的判定（P143—P145页）【学习目标】1、理解平行四边形的另一种判定方法，并学会简单运用。

2、在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力。

【学习重难点】重点：平行四边形判定方法理解运用；难点：平行四边形判定方法运用【自研课】定向导学（15分钟）复习引入1．平行四边形的定义是什么？平行四边形的定义：的四边形，叫做平行四边形2．判定四边形是平行四边形的方法有哪些？（1）两组对边分别的四边形是平行四边形. （2）两组对边的四边形是平行四边形.(3)一组对边的四边形是平行四边形.探究活动：工具:两根不同长度的细木条.动手:能否合理摆放这两根细木条,使得连接四个顶点后成为平行四边形？思考：你能说明你得到的四边形是平行四边形吗？已知:如图,四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,并且OA=OC,OB=OD.求证:四边形ABCD 是平行四边形.已知：如图,在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O,点E 、F 在对角线AC 上，并且AE=CF ．求证:四边形BFDE 是平行四边形【训练课】（时段：晚自习，时间20分钟）基础题：1、如图，四边形ABCD中，AC、BD相交于点O,若OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD是______ ___ ,根据是。

A DOB C2、四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且OA=OC，如果要使四边形ABCD 是平行四边形，则还需补充的条件是（）A．AC⊥BD B. OA=OB C.OC=OD D.OB=OD3、下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）A．一组对角相等 B. 对角线互相平分C．一组对边相等 D. 对角线互相相等4、如图，在平行四边形ABCD中，O是AC，BD的交点，点E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，四边形EFGH是平行四边形吗？说说你的理由.A DE O HF GB C发展题5、下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（）A.AB=CD，AD∥BCB.AB=CD，AB∥CDC.AB∥CD，AD∥BCD.AB=CD，AD=BC6、A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC=AD；④BC∥AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）A.3种 B.4种 C.5种 D.6种提高题：7、已知如图：在ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，则线段AC与EF是否互相平分？说明理由.北师大版九年级数学上册期中测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是 A.1 B.12 C.13 D.14 2. 关于方程x 2-2＝0的理解错误的是 A.这个方程是一元二次方程 B.方C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D.这个方程可以用公式法求解 3.下列说法正确的个数是 ①菱形的对角线相等 ②对角线互相垂直的四边形是菱形; ③有两个角是直角的四边形是矩形 ④正方形既是菱形又是矩形 ⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分 A.1 B.2 C.3 D.4 4.方程x 2-3x+6＝0的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定 5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..的结果.下面有三个推断:①某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则“钉尖向上”的频率是0.616;②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上＂”的频率一定是0.620.其中合理的是A.①②B.②③C.①③D.①②③ 6.将一张正方形纸片按如图所示步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是 7.现有三张质地大小完全相同的卡片，上面分别标有数字-2，-1，1，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再任意抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.23B.12C.13D.498.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13，对角线AC ＝10，若过点A 作AE ⊥BC 垂足为E ，则AE 的长为 A.8 B.6013 C.12013 D.24013 9.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为 A.5 B.4 C.342 D.34 10.如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论:①△ADG ≌△FDG:②GB ＝2AG:③3∠GDE ＝45°④S △BEF ＝725,在以上4个结论中，正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)11.将分别标有“柠”“檬”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球不放回，再随机摸出球，两次摸出的球上的汉字能组成“柠幪”的概率是________.12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝2∠A ，若对角线BD ＝3，则菱形ABCD 的周长为________.13.桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片(不放回)，其数字记为P ，再随机摸出一张卡片，其数字记为q ，则关于的方程x 2+px+q ＝0有实数根的概率是________. 14.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下: 由此可以估计油菜籽发芽的概率约为________.(精确到乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..0.1)15.一个两位数，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，若设个位数字为x ，则列出的方程为________. 16.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分別在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝1，BE 与AF 相交于点G ，点为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为________. 三、解答题(本题共7小题，共66分) 17.(8分)解方程: (1)2x 2-4x+1＝0 (2)(x+8)(x+1)＝-12乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..18.(8分)甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示.游戏规定:转动两个转盘停止后，指针必须指到某数字，否则重转(1)请用画树状图法或列表法列出所有可能的结果;(2)若指针所指的两个数字都是方程x2-5x+6＝0的解，则甲获胜若指针所指的两个数字都不是方程x2-5x+6＝0的解，则乙获胜.问他们两人谁获胜的概率大?请分析说明19.(10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件村衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件. (1)若商场平均每天要盈利1200元，且让顺客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元?乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(2)商场平均每天可能盈利1700元吗?请说明理由.20.(10分)如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC ＝2，过对角线BD 的中点O 的直线分別交AB 、CD 边于点E 、F.(1)求证:四边形BEDF 是平行四边形;(2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长.21.(10分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆園成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，国成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.求: (1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米? (2)能围成面积为200平方米的鸡场吗?乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..22.(10分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律.(1)求每月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式;(2)若某月该茶叶专卖店销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x.23.(10分)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F. (1)求证:△BDF 是等腰三角形; (2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FC 交BD 于点O ①判断四边形BFDC 的形状，并说明理由; ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长.乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..。

（完整版）平行四边形的性质练习题及答案

（完整版）平⾏四边形的性质练习题及答案平⾏四边形的性质、课中强化（10分钟训练）1?如图3,在平⾏四边形 ABCD 中，下列各式不⼀定正确的是（）A. / 1 + Z 2=180 °B. / 2+ / 3=180 °C. / 3+Z 4=180的周长为（）3. 如图5,」ABCD 中,EF 过对⾓线的交点 O,如果AB=4 cm,AD=3 cm,OF=1 cm,则四边形 BCFE 的周长为 ____________________ .4. 如图6,已知在平⾏四边形 ABCD 中，AB=4 cm , AD=7 cm , / ABC 的平分线交 AD 于点E ,5. 如图7,在平⾏四边形 ABCD 中，点E 、F 在对⾓线6. 如图 8,在 ABCD 中,AE 丄BC 于 E,AF 丄 CD 于 F,BE=2 cm,DF=3 cm, / EAF=60° ,试求 CF 的长.D. /2+ /4=180O , OE 丄AC 交AD 于丘，则⼛DCEA.4 cmB.6 cmC.8 cmD.10 cm交CD 的延长线于点 F ,贝U DF= _____________cm.BD 上，且 BE=DF ，求证:AE=CF.图32?如图4,⼆ABCD 的周长为图5图6图7图8三、课后巩固（30分钟训练）1?⼆ABCD中，/A⽐/ B⼤20。

，则/ C的度数为（）A.60 °B.80 °C.100 °D.120 2?以A、B、C三点为平⾏四边形的三个顶点,作形状不同的平⾏四边形，⼀共可以作（A.0个或3个B.2个C.3个D.4个3?如图9 所⽰，在—ABCD 中,对⾓线AC、BD交于点0,下列式⼦中⼀定成⽴的是（）A.AC 丄BDB.OA=OCC.AC=BDD.AO=OD4?如图10,平⾏四边形ABCD中，对⾓线AC、BD相交于点O ,将⼛AOD平移⾄△ BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有（）A.1条B.2条C.3条D.4条5?如图11,在平⾏四边形ABCD中，EF // AB , GH // AD , EF与GH交于点O,则该图中的平⾏四边形的个数共有（）6?如图12,平⾏四边形ABCD中，AE丄BD , CF丄BD，垂⾜分别为E、F，求证：/ BAE= / DCF.7、如图13所⽰,已知平⾏四边形ABCD中，E、F分别是BC和AD上的点，且BE=DF.求证:△ ABE CDF.A.7个B.8个C.9个D.11 个图12图138?如图14,已知四边形ABCD是平⾏四边形，/ BCD的平分线CF交边AB于F，/ ADC的平分线DG交边AB于G.⑴求证:AF=GB ;（2）请你在已知条件的基础上再添加⼀个条件，使得△EFG是等腰直⾓三⾓形，并说明理由?19.1.2平⾏四边形的判定⼆、课中强化（10分钟训练）1?如图3,在ABCD中，对⾓线AC、BD相交于点O,E、F是对⾓线AC上的两点，当E、F满⾜下列哪个条件时，四边形DEBF不⼀定是平⾏四边形（）A.AE=CFC.Z ADE= / CBFD. / AED= / CFB，使四边形AECF是平⾏四边形.4. 如图6,AD=BC,要使四边形ABCD是平⾏四边形，还需补充的⼀个条件是：__________________5. 如图，在，ABCD中，已知M和N分别是边AB、DC的中点，试说明四边形BMDN也是平⾏四边形.2.如图4,AB 喪DC ,DC=EF=10 ,DE=CF=8，则图中的平⾏四边形有，理由分别是图4 图53.如图5,E、F是平⾏四边形ABCD对⾓线BD上的两点,B.DE=BF图14三、课后巩固（30分钟训练）1?以不在同⼀直线上的三个点为顶点作平⾏四边形最多能作（）是平⾏四边形的是（）4?已知四边形 ABCD 的对⾓线 AC 、BD 相交于点② OA=OC :③ AB=CD ;④/ BAD= / DCB :⑤ AD // BC.（1）从以上5个条件中任意选取 2个条件，能推出四边形 ABCD 是平⾏四边形的有（⽤序号表⽰）： _____________________________ :（2）对由以上5个条件中任意选取 2个条件，不能推出四边形请选取⼀种情形举出反例说明平⾏四边形？6?如图，E 、F 是四边形ABCD 的对⾓线 AC 上的两点，AF=CE , DF=BE , DF // BE. 求证：⑴△AFD ◎△ CEB;（2）四边形ABCD 是平⾏四边形A.4个B.3个C.2个D.1个2?下⾯给出了四边形 ABCD 中/A 、/ B 、/ C 、/ D 的度数之⽐,其中能判定四边形 ABCDA.1 : 2 : 3 : 4B. 2 : 2 : 3 : 3C. 2 : 3 : 3 : 2D. 2 : 3 : 2 : 33?九根⽕柴棒排成如右图形状，图中 ____ 个平⾏四边形 ,你判断的根据是O ,给出下列 5个条件：①AB // CD ;5?若三条线段的长分别为20 cm,14 cm,16 cm,以其中两条为对⾓线 ABCD 是平⾏四边形的,，另17?如图,已知DC // AB，且DC= — AB , E为AB的中点.2(1) 求证:△ AED ◎△ EBC ;(2) 观察图形，在不添加辅助线的情况下，除△EBC⼣⼘，请再写出两个与△ AED的⾯积相等的三⾓形(直接写出结果，不要求证明)： ___________________________8?如图,已知⼆ABCD中DE丄AC,BF丄AC,证明四边形DEBF为平⾏四边形9?如图，已知■ ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点?求证:(1) △ AFD ◎△ CEB;(2) 四边形AECF是平⾏四边形?⼆、课中强化(10 分钟训练)1 答案:D2. 解析：因为四边形ABCD 是平⾏四边形，所以OA=OC. ⼜0E丄AC , 所以EA=EC.贝U △ DCE 的周长=CD+DE+CE=CD+DE+EA=CD+AD. 在平⾏四边形ABCD 中，AB=CD ，AD=BC ，且AB+BC+CD+AD=16 cm ，所以CD+AD=8 cm.答案:C3?解析：0E=0F=1,其周长=BE+BC+CF+EF=CD+BC+EF=AD+AB+2DF=8(cm).答案:8 cm4?解析：由平⾏四边形的性质AB // DC,知/ ABE= / F,结合⾓平分线的性质/ ABE= / EBC，得/ EBC= / F,再根据等⾓对等边得到BC=CF=7 ,再由AB=CD=4 , AD=BC=7 得到DF=DE=AD-AE=3.答案:35?答案：证明：四边形ABCD是平⾏四边形，AB // CD , AB=CD./ ABE= / CDF.AB CD,在⼛ABE和⼛CDF中，ABE CDF ,BE DF .△ ABE ◎△ CDF.AE=CF.6. 解：/ EAF=60°AE 丄BC,AF 丄CD, C=120°. B=60°「./ BAE=30° .AB=2BE=4(cm). CD=4(cm). CF=1(cm).三、课后巩固(30 分钟训练)1 答案:C2. 解析：分两种情况,A、B、C三点共线时，可作0个当点A、B、C不在同⼀直线上时，可作3 个. 答案:A3. 解析：平⾏四边形对⾓线互相平分,所以OA=OC. 答案:B4. 解析：由平⾏四边形的对⾓线互相平分知OA=OC；再由平移的性质：经过平移，对应线段平⾏且相等可得OA=BE.答案:B5?解析：本题借助于平⾏四边形的定义，按照从左到右，从⼩到⼤的顺序，可找到下列的平⾏四边形：DEOH，.HOFC,. DEFC, EAGO，OGBF，EABF，■ DAGH，■ HGBC，⼆ABCD.答案:C6?答案：证明：四边形ABCD是平⾏四边形，AB // CD , AB=CD. /-Z ABE= / CDF ?/ AE 丄BD , CF 丄BD ,「./ AEB= / CFD=90 .△ABE ◎△ CDF. /.Z BAE= Z DCF.7、答案:证明：四边形ABCD是平⾏四边形，AB=CD, Z B= Z D.在⼛ABE和⼛CDF中,AB CD,B D, ?/△ ABE 也⼛CDF.BE DF.8?答案：(1)证明：四边形ABCD是平⾏四边形，? AB // CD. AGD= Z CDG.vZ ADG= Z CDG，/?/ ADG= Z AGD. ? AD=AG ?同理,BC=BF.⼜四边形ABCD 是平⾏四边形，? AD=BC,AG=BF. ? AG-GF=BF-GF ,即AF=GB.(2)解:添加条件EF=EG.理由如下：1 1由(1)证明易知Z AGD= Z ADG= Z ADC , Z BFC= Z BCF= Z BCD.2 2/ AD // BC，/?/ ADC+ Z BCD=180 ./Z AGD+ Z BFC=90 ./Z GEF=90 .⼜v EF=EG ,?△ EFG为等腰直⾓三⾓形.⼆、课中强化(10分钟训练)1. 解析：当E、F满⾜AE=CF时，由平⾏四边形的对⾓线相等知OB=OD,OA=OC , 故OE=OF.可知四边形DEBF是平⾏四边形.当E、F满⾜Z ADE= Z CBF 时，因为AD // BC,所以Z DAE= Z BCF.⼜AD=BC，可证出⼛ADE ◎△ CBF，所以DE=BF , Z DEA= Z BFC.故Z DEF= Z BFE.因此DE // BF，可知四边形DEBF是平⾏四边形.类似地可说明D也可以.。

人教版八年级数学下册18.1.1平行四边形的性质(第二课时)对角线同步练习题

平行四边形的性质（第二课时）同步练习题一、单选题1．平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长可以是（）A ．4和6B ．6和8C ．8和12D ．20和302．平行四边形的一组对角的平分线（）A ．一定相互平行B ．一定相交C ．可能平行也可能相交D ．平行或共线 3．有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质： ②平行四边形是中心对称图形：③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．其中正确说法的序号是（）．A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．①②③④4．如图，在▱ABCD 中，已知90ODA =∠°，10cm AC =，6cm BD =，则AD 的长为（）第4题第5题第7题第9题 A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的顶点A ，B ，D 的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C 的坐标是（）A ．(3，7)B ．(5，3)C ．(7，3)D ．(8，2)6．平行四边形一边的长是10cm ，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（）A ．4cm ，6cmB ．6cm ，8cmC ．8cm ，12cmD ．20cm ，30cm7．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BC 于E ，AB 3AC ＝2，BD ＝4，则AE 的长为（）A 3B ．32C ．217D ．2178．已知四边形ABCD 是平行四边形，则下列各图中1∠与2∠一定不相等的是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，已知平行四边形ABCD 中，4B A ∠=∠，则C ∠=（）A．18°B．36°C．72°D．144°10．如图，设M是ABCD边AB上任意一点，设AMD∆的面积为1S，BMC∆的面积为2S，CDM∆的面积为S，则（）第10题第12题第13题第14题A．12S S S=+B．12S S S>+C．12S S S<+D．不能确定二、填空题11．在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE＝4，AB＝5，EC＝7，则平行四边形ABCD的周长等于_____．12．如图，在中，．以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点，则____．13．如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点O，若四边形AEFB的面积为20cm2，则平行四边形ABCD的面积为___cm2．14．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF 相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④∠BHD＝∠BDG．其中正确的结论是 ___．15．如图，在一个平行四边形中，两对平行于边的直线将这个平行四边形分为九个小平行四边形，如果原来这个平行四边形的面积为，而中间那个小平行四边形（阴影部分）的面积为20平方厘米，则四边形的面积是________．三、解答题16、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝25，且AO∶BO＝2∶3.(1)求AC的长；(2)求▱ABCD的面积．17．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F，连接EC.ABCD50D∠=︒B AB BA BC PQ P Q12PQ ABC∠M BM AD E AEB∠=122100cmABDC(1)求证：OE＝OF；(2)若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长．。

初中数学平行四边形对角线的性质练习题

初中数学平行四边形对角线的性质练习题1.如图所示，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，则下列结论中错误的是( )A．OA＝OC B．AB＝CDC．AC＝BD D．∠ABC＝∠ADC2．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O.已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为( )A．13 B．17 C．20 D．263．如图，▱ABCD的对角线AC，( ) A．S▱ABCD＝4S△AOBB．AC＝BDC．AC⊥BDD．▱ABCD是轴对称图形4．如图，▱ABCD的周长是26 cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC 的中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm，则AE的长为( ) A．3 cm B．4 cmC．5 cm D．8 cm5、如图22－1－20，EF过▱AD于点E，交BC于点F.若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )A．14 B．13 C．12 D．10 6、在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD，∠EAD＝60°，AE＝2 cm，AC＋BD＝14 cm，则△OBC的周长是________ cm.7．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则OA＝________＝________AC；OB＝________＝________BD.8、如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M.如果△CDM的周长为8，那么▱ABCD的周长是________．9．如图，在▱ABCD中，若AC＝8，＝6，＝，则a的取值范围是________.10.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O.(1)如果∠ABC＝40°，求∠ADC，∠BCD的度数；(2)如果AD＝20，AC＝18，BD＝26，求△OBC的周长．11．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF分别交AD，BC于点E，F.求证：△AOE≌△COF.12．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，G，H在BD上，AF＝CE，BH＝DG.求证：GF∥HE.。

平行四边形的性质--对角线

18.1.1(3.1)平行四边形的性质--对角线一．【知识要点】1.平行四边形的性质对角线：对角线互相平分；对角线的平方之和等于各边的平方之和对称性：平行四边形是中心对称图形，平行四边形绕其对角线的交点旋转180后，与自身重合，所以说平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点。

二．【经典例题】1.平行四边形的两条对角线的长分别为10,16，则它的边长x的取值范围是______________.2.问题背景探究：如图1在平行四边形ABCD中，EF∥AB,GH∥AD将平行四边形ABCD分成S1，S2，S3，S4四部分易得到S1：S2=S3：S4，利用该结论完成下列问题。

如图2，在三角形ABC中，DF∥AC，DE∥BC，若三角形ADE,三角形BDF的面积分别为4，6则四边形CEDF的面积为：。

三．【题库】【A】∆的周长1. 已知平行四边形ABCD的周长为28,对角线AC,BD相交于一点O,且AOB∆的周长大4,则AB= ,BC= ;比BOC2.若□ABCD的周长是30，AC，BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大，则AB ＝ .3.ABCD的周长为40cm，△ABC的周长为25cm，则对角线AC长为（）A. 5cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm4.平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB 的周长大2cm，则CD＝ cm。

【B】∆的周长1. 已知平行四边形ABCD的周长为28,对角线AC,BD相交于一点O,且AOB∆的周长大4,则AB= ,BC= ;比BOC2.若一个平行四边形的一边长为8，一条对角线长为6，则另一条对角线x的取值范围是。

3.如下图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AB，∠ABD=30°，AC交BD于点O，AO=1，则BC的长是（）2A.7B.5C.3D.24.将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有（）A．1种 B．2种 C．4种 D．无数种5.如图，□ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为．6.已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线a的取值范围为（）A．4<a<16 B．14<a<26 C．12<a<20 D．以上答案都不正确【C】1.若平行四边形的一边长为５,则它的两条对角线长可以是( )Ａ. 12和2 Ｂ. 3和4 Ｃ. ４和６Ｄ. ４和８【D】。

平行四边形的性质分类题组(精排版_有答案)

平行四边形的性质分类题组类1 平行四边形-性质-辨析1．平行四边形对角线一定具有的性质是( )A ．相等；B ．互相平分；C ．互相垂直；D ．互相垂直且相等；类2 平行四边形-性质-边长与周长2．用20边与短边的比为3︰2，则它的边长为_______长为________．类3 平行四边形-性质-对角线的中垂线3．如图，□ABCD 的周长为16cm ，AC 、BD 点O ，OE ⊥AC 交AD 于E ，则△DCE 的周长为( A ．4 cm ； B ．6cm ； C ．8cm ； D ．10cm ；AEBDOC类4 平行四边形-性质-等腰模型4．在△MNB 中，BM ＝6，点A 、C 、 D 分别在BN ，NM 上，四边形ABCD 为平行四边形，∠＝∠MDA ，平行四边形ABCD 的周长是( ) A ．24； B ．18； C ．16； D ．12；ABMNC D5．在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E ，F 分别是AC BC ，BA 延长线上的点，四边形ADEF 形．求证：AD ＝BF ．AB CDEF类5 平行四边形-性质-三角形周长ABCD 的周长为60cm ，对角线交于O ，△OAB 的周长比△OBC 的周长大8cm ，则＝____________cm ．6 平行四边形-性质-高与面积已知平行四边形面积是144，相邻两边上的高分8和9，则它周长是__________．7 平行四边形-性质-三边关系平行四边形的两条对角线的长分别是6和8，则x 可能的取值范围是（）A ．2＜x ＜6；B ．2＜x ＜14；C ．1＜x ＜7；D ．不能确定；平行四边形的两条对角线长和一边长可依次为（）A ．6，6，6B ．6，4，3C ．6，4，6D ．3，4，58 平行四边形-性质-对角线与边垂直．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，⊥AC ，∠DAC ＝45°，AC ＝2，求BD 的长．9 平行四边形-性质-角分线+平行线．如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则线段BE ，EC ( ) A BC DEA ．2和3；B ．3和2；C ．4和1；D ．1和4；．如图，四边形ABCD 是平行四边形，BE 平分ABC ，CF 平分∠BCD ，BE 、CF 交于点G ．若使＝3，AD ＝5，EF ＝____________． A C DE F G．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，∠BCDCF 交边AB 于F ，∠ADC 的平分线DG AB 于G ．(1)求证：AF ＝GB ．(2)得△EFG 为等腰直角三角形，并说明理由．A BCD EFG类10 平行四边形-性质-对角邻角计算14．已知平行四边形ABCD 中，∠B ＝4∠A ，＝( )A ．18°；B ．36°；C ．72°；D ．144°； 15．如图，□ABCD 与□DCFE 的周长相等，且∠＝60°，∠F ＝110°，则∠DAE 的度数为 A BCDEF类11 平行四边形-性质-对角线互相平分16．如图，□ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠EAC ＝30AE ＝3，则AC 的长等于____________． A DBCE类12 平行四边形-性质-面积17．如图，在▱ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，∠B 30°，则此平行四边形的面积是( ) ABCDA ．6；B ．12；C ．18；D ．24；类13 平行四边形-性质-面积与周长18( ) A ．1种；B ．2种；C ．4种；D ．无数种；．在平行四边形ABCD 中，EF 过对角线交点O ， AB ＝6cm ，AD ＝5cm ，OF ＝2cm ，那么四边BCEF 的周长为_____________．．已知：点P 是▱ABCD 的对角线AC 的中点，经P 的直线EF 交AB 于点E ，交DC 于点F ．求AE ＝CF ． A BCDEF P14 平行四边形-性质-对角线上两个点．如图，四边形ABCD 是平行四边形，BE 、DF ABC ，∠ADC 的平分线，且与对角线AC E 、F ．求证：AE ＝CF ．ABCDE F．如图，E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上BE ∥DF ．求证：BE ＝DF ．AFE D15 平行四边形-性质-对角平行线．如图，在平行四边形ABCD 中，∠B ，∠D 的E 、F ，交四边形对角线AC于点G 、H ．求证：AH =CG ．ABCDE FHG类16 平行四边形-性质-一边中点※24．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝4，∠的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC F ，且点F 为边DC 的中点，DG ⊥AE ，垂足为G 若DG ＝1，则AE 的边长为( )A ．B ．C ．4；D ．8；A B CDFEG※25．如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2M 为AD 的中点，CE ⊥AB 于E ，试说明∠DME 3∠AEM ．A BCDEM类17 平行四边形-性质-折叠26．如图，将□ABCD 沿对角线AC 折叠，使点落在B ′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为( )114°；D ．124°； C最值1的⊙A 上一点，AC 为对角线作ABCD 面积的最大值( ) C ．对角互补；AB ＝4，则BC ＝( ) D ．28；中，AB ＝3cm ，BC O ，则OA 的取B ．2cm ＜OA ＜8cm ；D ．3cm ＜OA ＜8cm ； (端点除外)作两腰 B ．一腰的长； D ．两腰的和； 2AB ，CE 平分∠BCD AB 的长为( )A ．4；B ．3；C ．52； D ．2；BC DAE33．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，＝4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有□中，DE 最小的值是( )A ．2；B ．3；C ．4；D ．5； CA B DEO34．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点且AB ≠AD ，过O 作OE ⊥BD 交BC 于点E ．若△的周长为10，则平行四边形ABCD 的周长为____________． ABDC E O35．在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ＝4，AC ＝6，则BD ＝__________．36．如图，□ABCD 中，点E 、F 分别在AD ，上，且AE ＝CF ．求证：BE ＝DF ．BCDAFE37．如图，在□ABCD 中，E 、F 为对角线BD 两点，且∠BAE ＝∠DCF ．ABCD 的对角线线段BE 与线C∴∠A＋∠B＝180°，∵∠B＝4∠A，∴∠A＝36°，∴∠C＝∠A＝36°．15．&【答案】25°．【解答过程】∵□ABCD与□DCFE的周长相等，且有公共边CD，∴AD＝DE, ∠ADE＝∠BCF＝60°＋70°＝130°．∴∠DAE＝11(180)5025 22ADE︒-∠=⨯︒=︒．类11 平行四边形-性质-对角线互相平分16．解：∵在直角△AOE中，cos∠EAC＝，∴OA＝＝＝2，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OA＝4．故答案是：4．类12 平行四边形-性质-面积17．B．；解：过点A作AE⊥BC于E，∵直角△ABE中，∠B＝30°，∴AE＝AB＝×4＝2∴平行四边形ABCD面积＝BC•AE＝6×2＝12，类13 平行四边形-性质-过中心直线平分面积与周长18．D．；19．15；20．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠P AE＝∠PCF，∵点P是▱ABCD的对角线AC的中点，∴P A＝PC，在△P AE和△PCE中，，∴△P AE≌△PCE(ASA)，∴AE＝CF．类14 平行四边形-性质-对角线上两个点21．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠ABC＝∠CDA，AB∥CD∴∠BAC＝∠DCA∵BE、DF分别是∠AB C．∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F∴∠ABE＝21∠ABC，∠CDF＝21∠ADC∴∠ABE＝∠CDF∴ABE∆≌CDE∆(AAS)∴AE＝CF；22．证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴BC＝AD BC∥AD …2分∴∠ACB＝DAC………………3分∵BE∥DF∴∠BEC＝∠AFD………………4分∴△CBE≌△ADF………………5分∴BE＝DF………………6分类15 平行四边形-性质-对角平行线23．证明：∵∠ABC=∠CDA(平行四边形对角相等) BE平分∠ABC，DF平分∠CDA(已知)∴∠ADH＝∠CBG在△ADH和△CBG中AD=CB∠ADH=∠CBG(已证)∠DAH=∠BCG(两直线平行，内错角相等)∴△ADH≌△CBG(SAS)∴AH=CG(全等三角形的对应边相等)；类16 平行四边形-性质-一边中点24．B．；解：∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵DC ∥AB ， ∴∠BAE ＝∠DF A ， ∴∠DAE ＝∠DF A ， ∴AD ＝FD ，又F 为DC 的中点， ∴DF ＝CF ，∴AD ＝DF ＝12DC ＝12AB ＝2，在Rt △ADG 中，根据勾股定理得：AG ＝3，则AF ＝2AG ＝23，在△ADF 和△ECF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DAF ＝∠E ∠ADF ＝∠ECF DF ＝CF， ∴△ADF ≌△ECF (AAS )， ∴AF ＝EF ，则AE ＝2AF ＝43．25．解：连接CM 并延长交BA 于F ，A BCD EM F x2xxx x αα αα α 2α设CD ＝x ，∴BC ＝2AB ＝2x ， ∵M 为AD 的中点， ∴AM ＝MD ＝x ， ∴DM ＝DC ＝x ，∴设∠DCM ＝∠DMC ＝α＝∠AMF ，在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ， ∠DCM ＝∠F ＝α， ∴△CDM ≌△FAM ∴MF ＝MC 又∵CE ⊥AB在Rt △CEF 中，M 为CF 的中点，∴EM ＝12 CF ＝MF∴∠F ＝∠FEM ＝α， ∵∠EMC 为△EFM ∴∠EMC ＝∠F ＋∠＝2α，∴∠EMD ＝∠EMC ＋∠CMD ＝3α＝3∠∠EMC ；即，∠DME ＝3∠AEM ．类17 平行四边形-性质-折叠26．C ．；【考点】平行四边形的性质．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ， ∴∠ACD ＝∠BAC ，由折叠的性质得：∠BAC ＝∠B ′AC ， ∴∠BAC ＝∠ACD ＝∠B ′AC ＝∠1＝22°， ∴∠B ＝180°－∠2－∠BAC ＝180°－44°－22°＝114°；类18 平行四边形-性质-最值27．解：由已知条件可知，当AB ⊥AC 时□ABCD 的面积最大，以点A 为圆心，3AB ＝3，所以点B 为圆上动点，要使□ABCD 面积最大，即是要△ABC 的面积最大，我们以AC 为底，高即是B 点到直线AC 的垂线段BH 的长，如下图，点B 与点E 重合时，垂线段BH 最长，即AB ⊥AC时□ABCD 的面积最大，APBD EH∵AB ＝3，AC ＝2 ∴S △ABC ＝132AB AC ⋅= ∴S □ABCD ＝2S △ABC ＝3∴□ABCD面积的最大值为故答案为作业28．C ．；29．B ． 30．C ．； 31．D ．；32．B33．B．；解：∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝4， ∴AC 5=．∵四边形ADCE 是平行四边形， ∴OD ＝OE ，OA ＝OC ＝2.5．∴当OD 取最小值时，DE 线段最短(点O 到BC 垂线段最短)，此时OD ⊥BC ，∴OD ＝12AB ＝1.5，∴ED ＝2OD ＝3．34．20．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝OD ，AB ＝CD ，AD ＝BC ， ∵OE ⊥BD ， ∴BE ＝DE ，∵△CDE 的周长为10，即CD ＋DE ＋EC ＝10， ∴平行四边形ABCD 的周长为：AB ＋BC ＋CD ＋＝2(BC ＋CD )＝2(BE ＋EC ＋CD )＝2(DE ＋EC ＋CD )＝2×10＝20． 35．10； ABCDO 4 3 35 536．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∵AE ＝CF ，∴DE ＝BF ，DE ∥BF ， ∴四边形DEBF 是平行四边形， ∴BE ＝DF ．37．证明：∵□ABCD 中，AB ＝CD ，AB ∥CD ， …………2分∴∠ABE ＝∠CDF ……4分BAE ＝∠DCF ，∴△ABE ≌△CDF ，…6分 BE ＝DF …8分．猜想：BEDF ．∵四边形ABCD 是平行四边形，…2分 CB AD =，CB ∥AD ． BCE DAF ∠= ． BCE △和DAF △，CB ADBCE DAF CE AF =∠=∠= BCE △≌DAF △． ………………5分 BE DF =，BEC DFA ∠=∠， BE ∥DF ． BE DF ．……………7分。

18.1.2 平行四边形对角线的性质练习题

中考数学总复习《平行四边形的判定与性质》练习题及答案

中考数学总复习《平行四边形的判定与性质》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．如图在四边形ABCD中AB=CD，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE，若DE=BF，则下列结论不一定正确的是（）A．CF=AE B．OE=OFC．△CDE为直角三角形D．四边形ABCD是平行四边形2．如图四边形ABCD中AB∥CD，∥B＝∥D点E为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD于点H，∥DCE的平分线交AE于点G．若AB＝2AD＝10，点H为CD的中点，HE＝6，则AC的值为（）A．9B．√97C．10D．3 √103．如图在Rt∥ABC中∥ACB=90°，分别以AB、AC为腰向外作等腰直角三角形∥ABD和∥ACE，连结DE，CA的延长线交DE于点F,则与线段AF相等的是()A．AC B．AB C．BC D．AB4．如图在菱形ΑΒCD中∠Α=60∘，AD=8，F是ΑΒ的中点．过点F作FΕ⊥ΑD，垂足为Ε．将ΔΑΕF沿点Α到点Β的方向平移，得到ΔΑ′Ε′F ′．设Ρ、Ρ′分别是ΕF、Ε′F ′的中点，当点Α′与点Β重合时，四边形ΡΡ′CD的面积为（）A．28√3B．24√3C．32√3D．32√3−85．下列说法中错误的是()A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相平分的四边形是平行四边形6．如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD7．如图点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，若∥ABC+∥ADC=120°，则∥A的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．125°8．如图在∥ABC中AB＝AC＝10，BC＝12，点D是BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，则∥BED与∥DFC的周长的和为（）A．34B．32C．22D．209．如图在平面直角坐标系中点A(1,5),B(4,1),C(m,−m),D(m−3,−m+4)，当四边形ABCD 的周长最小时，则m 的值为（）.A．√2B．32C．2D．310．如图分别在四边形ABCD的各边上取中点E，F，G，H，连接EG，在EG上取一点M，连接HM，过F作FN∥HM，交EG于N，将四边形ABCD中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形AHM′G′和AF′N′E，延长M′G′，N′F′相交于点K，得到四边形MM′KN′．下列说法中错误的是（）A．S四边形MM′KN′=S四边形ABCD B．HM=NFC．四边形MM′KN′是平行四边形D．∠K=∠AHM′11．如图,已知∥ABC与∥CDA关于点O成中心对称,过点O任作直线EF分别交AD,BC于点E,F,则下则结论:①点E和点F,点B和点D是关于中心O的对称点;②直线BD必经过点O;③四边形ABCD 是中心对称图形;④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等;⑤∥AOE与∥COF成中心对称.其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．512．如图P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB、AD的平行线交平行四边形于E、F、G、H四点，若S四边形AHPE＝3，S四边形PFCG＝5，则S∥PBD为（）A．0.5B．1C．1.5D．2二、填空题13．如图在平行四边形ABCD中点E，F分别在BC，AD上，请添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．14．如图在Rt△ABC中AC=2√3，BC=2，点P是斜边AB上任意一点，D是AC的中点，连接PD并延长，使DE=PD.以PE，PC为边构造平行四边形PCQE，则对角线PQ的最小值为.15．如图▱ABCD中∥BAD=120°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF∥BC，EF=5√3，则AB的长是16．如图在∥ABC中∥ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD= 13BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=．17．若AC＝10，BD＝8，那么当AO＝DO＝时，四边形ABCD是平行四边形。

平行四边形对角线性质专题练习附答案

平行四边形对角线性质专题练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为3，则▱ABCD 的面积为( )A. 6B. 9C. 12D. 182．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为( )A. 13B. 17C. 20D. 263．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边交点分别为点E，F，G，H，则图中面积相等的平行四边形的对数为( )A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对4．4．如图，在▱ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为( )A. 3B. 6C. 12D. 245．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝5，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，且OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )A. 10B. 12C. 14D. 166．在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是( )A. 2 cm＜OA＜5 cmB. 2 cm＜OA＜8 cmC. 1 cm＜OA＜4 cmD. 3 cm＜OA＜8 cm7．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是( )A. BO＝DOB. CD＝ABC. ∠BAD＝∠BCDD. AC＝BD二、解答题8．实验与探究(1)在图①，图②，图③中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标，写出图①，图②，图③中的顶点C的坐标，它们分别是________，___________，____________；(2)在图④中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标(如图所示)，求出顶点C的坐标(C点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示)；归纳与发现(3)通过对图①，图②，图③，图④的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点C坐标为(m，n)(如图④)时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为___________，纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为__________．(不必证明)9．如图，▱ABCD的周长为26 cm，AC，BD相交于点O，△BOC的周长比△AOB的周长小3 cm，求AB，BC的长．10．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，N在对角线AC上，且AM＝CN，求证：BM∥DN.11．如图，O为▱ABCD的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB，CD 交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE＝OF.(1)图中共有几对全等三角形，请把它们都写出来；(2)求证：∠MAE＝∠NCF.12．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AC∶BD＝2∶3.(1)求AC的长；(2)求△AOD的面积．三、填空题13．如图，在平行四边形ABCD中，AB=2cm，AD=4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长______cm．14．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为____．15．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为____．参考答案1．C【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∴S△AOD=S△COD=S△BOC=S△AOB．∵△AOB的面积为3，∴▱ABCD的面积为4×3=12．故选C．2．B【解析】试题分析：由平行四边形的性质得出OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，即可求出△OBC的周长．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，∴△OBC的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17．故选：B．3．A【解析】解：∵ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．∵EF∥AB，GH∥AD，∴EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC ，∴AGPE，ABFE，AGHD，PFCH，BCHG，FCDE是平行四边形．∵ABCD为平行四边形，BD为对角线，∴S△ABD=S△BCD．同理S△BFP=S△BGP，S△PED=S△HPD．∵S△BCD－S△BFP－S△PHD=S PFCH，S△ABD－S△GBD－S△EPD=S AGPE，∴S PFCH=S AGPE，∴S AGHD=S EFCD，S ABFE=S BCHG，∴有3对面积相等的平行四边形．故选A．点睛：本题考查了平行四边形的性质．平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．并且平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成面积相等的两个图形．4．C【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∴△OBE≌△ODH，△OAQ≌△OCG，△OPD≌△OFB，∴S阴影=S△BCD，∴S△BCD=12S平行四边形ABCD=12×6×4=12．故选C.5．B【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=4，AD=BC=5，OA=OC，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠C FO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OF=OE=1.5，CF=AE．故四边形EFCD的周长为CD+EF+AD=12．故选B．6．C【解析】解：∵AB=3，BC=5，∴2＜AC＜8．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=AC，∴1＜OA＜4．故选C．7．D【解析】试题分析：根据平行四边形的性质（①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分）判断即可．A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD（平行四边形的对角线互相平分），正确，不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，正确，不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD，正确，不符合题意；D、根据四边形ABCD是平行四边形不能推出AC=BD，错误，符合题意；故选D．考点: 平行四边形的性质．8．(1) (5，2)，(e＋c，d)，(c＋e－a，d) ；(2)C(e＋c－a，f＋d－b) ；(3) m＋a＝c＋e，n＋b＝d＋f【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质：对边平行且相等，得出图2，3中顶点C的坐标分别是（e+c，d），（c+e﹣a，d）；（2）分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，分别过A，D作AE⊥BB1于E，DF⊥CC1于点F．在平行四边形ABCD中，CD=BA，根据内角和定理，利用BB1∥CC1，可推出∠EBA=∠FCD，△BEA≌△CFD．依题意得出AF=DF=a﹣c，BE=CF=d﹣b．设C（x，y）．由e﹣x=a﹣c，得x=e+c﹣a．由y﹣f=d﹣b，得y=f+d﹣b．继而推出点C的坐标．（3）在平行四边形ABCD中，CD=BA，同理证明△BEA≌△CFD（同（2）证明）．然后推出AF=DF=a﹣c，BE=CF=d﹣b．又已知C点的坐标为（m，n），e﹣m=a﹣c，故m=e+c﹣a．由n﹣f=d﹣b，得出n=f+d﹣b．试题解析：解：（1）利用平行四边形的性质：对边平行且相等，得出图1、图2，3中顶点C的坐标分别是：（5，2）、（e+c，d），（c+e﹣a，d）．故答案为：（5，2）、（e+c，d），（c+e﹣a，d）．（2）分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，分别过A，D作AE⊥BB1于E，DF⊥CC1于点F．在平行四边形ABCD中，CD=BA，又∵BB1∥CC1，∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180度，∴∠EBA=∠FCD．在△BEA和△CFD中，∵∠AEB=∠DFC，∠EF A=∠FCD，AB=DC，∴△BEA≌△CFD（AAS），∴AE=DF=a﹣c，BE=CF=d﹣b．设C（x，y）．由e﹣x=a﹣c，得：x=e+c﹣a．由y﹣f=d﹣b，得：y=f+d﹣b，∴C（e+c﹣a，f+d﹣b）．（3）在平行四边形ABCD中，CD=BA，同理可得△BEA≌△CFD，则AF=DF=a﹣c，BE=CF=d﹣b，∵C点的坐标为（m，n），e﹣m=a﹣c，∴m=e+c﹣a．由n﹣f=d﹣b，得：n=f+d﹣b，故答案为：m=c+e﹣a，n=d+f﹣b或m+a=c+e，n+b=d+f．点睛：本题主要考查了平行四边形的性质，平面直角坐标系内的坐标，平行线的性质等知识．理解平行四边形的特点结合平面直角坐标系是解决本题的关键．9．AB＝8 cm，BC＝5 cm【解析】试题分析：根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于△BOC的周长比△AOB的周长小3cm，则AB比BC大3cm，继而可求出AB、BC的长度．试题解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD．∵△BOC的周长比△AOB的周长小3cm，∴（AB＋OB＋OA）－（BC＋OC＋OB）＝3，∴AB－BC＝3．∵2（AB＋BC）＝26，∴AB＋BC＝13，∴AB＝8 cm，BC＝5 cm．10．证明见解析【解析】试题分析：由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，再证出OM=ON，由SAS证明△BOM≌△DON，得出对应角相等∠OBM=∠ODN，再由内错角相等，两直线平行，即可得出结论．试题解析：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AM=CN，∴在△BOM和△DON中, {OB OD BOM DONOM ON=∠=∠=，∴△BOM≌△DON(SAS)，∴∠OBM=∠ODN，∴BM∥DN.11．(1) 4对，△AMO≌△CNO，△OCF≌△OAE，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA；(2) 证明见解析【解析】试题分析：（1）单个三角形全等的是：△AMO≌△CNO，△AME≌△CNF．由2部分组成全等的是：△OCF≌△OAE，△ABC≌△CDA；（2）由题中已知条件可证得△OCF≌△OAE，进而求得∠EAO=∠FCO，而后利用平行四边形的对边平行的性质求得相应的内错角相等，进而求解．试题解析：（1）有4对全等三角形．分别为△AMO≌△CNO，△OCF≌△OAE，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA；（2）∵OA=OC，∠1=∠2，OE=OF，∴△OCF≌△OAE．∴∠EAO=∠FCO．在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO．∴∠EAM=∠NCF．考点：全等三角形的判定与性质．12．(1) (2)【解析】试题分析：（1）由“平行四边形的对角线互相平分”得到AO：BO=2：3，所以在直角△AOB中，利用勾股定理来求OA的长度，则AC=2OA；（2）△AOD与△AOB是等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．解：（1）如图，在▱ABCD中，OA=OC=AC，OB=OD=BD．∵AC：BD=2：3，∴AO：BO=2：3，故设AO=2x，BO=3x，则在直角△ABO中，由勾股定理得到：OB2﹣OA2=AB2，即9x2﹣4x2=20，解得，x=2或x=﹣2（舍去），则2x=4，即AO=4，∴AC=2OA=8；（2）如图，S△AOB=AB•AO=××4=4．∵OB=OD，∴S△AOD=S△AOB=4．考点：平行四边形的性质．13．4【解析】试题分析：在▱ABCD中，已知AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，根据平行四边形的性质得到AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，又因AC⊥BC，根据勾股定理可得AC=6cm，即可得OC=3cm，再由勾股定理求得BO==5cm，所以BD=10cm，所以△DBC的周长﹣△ABC的周长=BC+CD+BD ﹣（AB+BC+AC）=BD﹣AC=10﹣6=4cm，考点：平行四边形的性质；勾股定理．14．20【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，∵OE⊥BD，∴BE=DE，∵△CDE的周长为10，即CD+DE+EC=10，∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=2（BC+CD）=2（BE+EC+CD）=2（DE+EC+CD）=2×10=20．15【解析】试题分析：如图，连接BB′．根据折叠的性质知△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=BE．又B′E是BD的中垂线，则DB′=BB′．解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD=2，∴BE=BD=1．如图2，连接BB′．根据折叠的性质知，∠AEB=∠AEB′=45°，BE=B′E．∴∠BEB′=90°，∴△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=BE=．又∵BE=DE，B′E⊥BD，∴DB′=BB′=．故答案为：．考点：平行四边形的性质；等腰直角三角形；翻折变换（折叠问题）．。

初中数学八年级下册《平行四边形的对角线的性质》

18.1.1 平行四边形的性质(2)——平行四边形的对角线的性质练习设计：一、基础巩固:1．如图所示，如果□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，那么力中的全等三角形有（）A．1对 B.2对 C.3对 D.4对2.如图,在□ABCD中.AC与BD相交于点O.则下列结论不一定成立的是( )A.BO=DOB.CD=ABC.∠BAD=∠BCAD.AC=BD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=40，AB=13，则△OCD的周长为 .4.一个平行四边形的一边长为8，一条对角线长为6，则另一条对角线x的取值范围为： .5.□ABCD的对角线AC,BD交于点O,若△AOB的面积为3,则△ABC的面积为 ,□ABCD的面积为 .6.设M是□ABCD边AB上的任意一点.设△AMD的面积为S1, △BMC的面积为S2, △CDM的面积为S,则( )A.S=S1+S2B.S＞S1+S2C.S＜S1+S2D.不能确定二、综合应用:7.如图，□ABCD的周长为50cm，对角线AC、BD相交于点O，且△AOB的周长比△BOC的周长长7cm，求ABCD的各边长.8.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.（1）若AB＝4，AD＝8，求对角线AC的范围；（2）若AB＝4，BD＝10，求对角线AC的范围.三、拓展延伸9.如图，王大爷有一块平行四边形菜地，现在想把它分成面积相等的两块，两块地中间挖一条与一组对边AD、BC都垂直的水沟，你能帮助他完成这个分法吗？10.小明家有一块平行四边形菜地，菜地中间有一口井，为了浇水的方便，小明建议妈妈经过水井修一条路，可以把菜地分成面积相等的两部分. 同学们，你知道聪明的小明是怎么帮妈妈分的吗？B。

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平行四边形对角线的性质
1.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，下列说法正确的是()
A．AC＝BD，OA＝OC
B．AC⊥BD，OB＝OD
C．OA＝OC，OB＝OD
D．OA＝OD，OB＝OC
2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝8，BD＝10，AB＝6，则△OAB 的周长为()
A．12 B．13 C．15 D．16
3．如图，在ABCD中，两条对角线AC，BD将ABCD分成四个小三角形：△AOB，△AOD，△DOC，△BOC，则这四个小三角形的面积()
A．都不相等B．不都相等
C．都相等D．以上结论都有可能
4．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，AC⊥BC，且AB＝10 cm，AD＝6 cm，则AO＝________．
5．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别交于点E，F.求证：OE＝OF.
6．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且两条对角线长的和为36，△OCD的周长为23，则AB的长为()
A．5 B．6 C．7 D．8
7．若平行四边形的两条对角线长是8 cm和16 cm则这个平行四边形的一边长可以是()
A．3 cm B．4 cm C．8 cm D．12 cm
8．如果平行四边形的一条边长为6 cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是()
A．8 cm和3 cm B．8 cm和4 cm C．8 cm和5 cm D．8 cm和20 cm
9．如图，平行四边形ABCD的周长为120 cm，AC，BD相交于点O，若△AOB的周长比△BOC的周长小10 cm，则这个平行四边形的一组邻边长分别是()
A．20 cm，40 cm B．25 cm，35 cm
C．15 cm，45 cm D．10 cm，50 cm
10．如图，平行四边形ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝，则四边形BCEF的周长为()
A．10 B．9 C．8 D．7
11．请按要求，只用无刻度的直尺作图(请保留画图痕迹，不写作法)：如图，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是平行四边形，在图中画出∠AOB的平分线．
12．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AC∶BD＝2∶3.求AC 的长．
13．如图18－1－24，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，求证：AE＝CF.
14．已知：如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF.求证：EB∥DF.
15．如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别交于点M，N.
(1)若四边形ABNM的面积为4，则平行四边形ABCD的面积为________；
(2)若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则平行四边形ABCD的面积为________．
16．如图，在平行四边形ABCD中，PQ，MN分别平行于DC，AD，PQ，MN交于点O，其中S四边形AMOP ＝3，S四边形MBQO＝4，S四边形NCQO＝10，则△DMQ的面积＝________．
17．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.
(1)若AE＝4，AF＝6，平行四边形ABCD的周长为40，求平行四边形ABCD的面积；
(2)若AE＝3，AF＝4，∠EAF＝60°，求平行四边形ABCD的面积；
(3)若∠EAF＝45°，且AE＋AF＝5，AB∶AD＝2∶3，求平行四边形ABCD的面积．
18．如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA＝2∠BAE.
(1)若∠D＝105°，∠DAF＝35°，求∠FAE的度数；
(2)求证：AF＝CD＋CF.
答案
1．C cm
5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠OAE＝∠OCF.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF.
6．A7．C8．C9．B
10．A
11．解：如图所示，射线OP即为所求．
12．解：∵AC ⊥AB ， ∴∠BAO ＝90°.
∵AC ∶BD ＝2∶3，∴设AC ＝2a ，BD ＝3a . ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO ＝12AC ＝a ，BO ＝1
2BD ＝.
在Rt △BAO 中，由勾股定理得：22＋a 2＝2，解得a ＝4
5 5，
∴AC ＝2a ＝8
5
5.
13．证明：连接BD ，交AC 于点O ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO ＝DO ，OA ＝OC . ∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，∴∠BEO ＝∠DFO . 又∵∠BOE ＝∠DOF ，∴△BEO ≌△DFO ， ∴OE ＝OF ，∴OA －OE ＝OC －OF ，即AE ＝CF .
14．证明：连接BD ，交AC 于点O .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO ＝CO ，BO ＝DO .
∵AE ＝CF ，∴EO ＝FO .∵∠EOB ＝∠FOD ， ∴△EOB ≌△FOD ，∴∠OEB ＝∠OFD ， ∴EB ∥DF . 15．(1)8 (2)24
17．解：(1)∵平行四边形ABCD 的周长为40，∴BC ＋CD ＝20.设BC ＝x ，则4x ＝(20－x )×6，解得x ＝12，∴平行四边形ABCD 的面积为12×4＝48.
(2)∵AE ⊥BE ，AF ⊥CD ，∴∠AEC ＝∠AFC ＝90°.∵∠EAF ＝60°，∴∠C ＝120°.
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠B ＋∠C ＝180°，∴∠B ＝60°， ∴∠BAE ＝30°，∴AB ＝2BE ，∴AB 2－1
4AB 2＝32，∴AB ＝2 3(负值已舍去)，∴CD ＝2
3.
∵AF ＝4，∴平行四边形ABCD 的面积是4×2 3＝8
3.
(3)设AE ＝x ，则AF ＝5－x . ∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，
∴∠AEC ＝∠AEB ＝∠AFD ＝∠AFC ＝90°. ∵∠EAF ＝45°，∴∠C ＝135°. ∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，∠B ＝∠D ，∴∠B ＝∠D ＝180°－135°＝45°，∴∠BAE ＝∠DAF ＝45°，即∠B ＝∠BAE ，∠D ＝∠DAF ，∴BE ＝AE ＝x ，AF ＝DF ＝5－x .在△ABE 和△ADF 中，根据勾股定理得：AB ＝2x ，AD ＝2(5－x )．
∵AB ∶AD ＝2∶3，∴2x ∶2(5－x )＝2∶3，解得x ＝2，∴AE ＝2，AF ＝3，AB ＝CD ＝2 2，
∴平行四边形ABCD 的面积是2
2×3＝6
2.
18．解：(1)∵∠D ＝105°，∠DAF ＝35°，∴∠DFA ＝180°－∠D －∠DAF ＝40°(三角形内角和定理)． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD (平行四边形的对边平行)，
∴∠DFA ＝∠FAB ＝40°(两直线平行，内错角相等)． ∵∠DFA ＝2∠BAE (已知)，
∴∠FAB ＝2∠BAE (等量代换)，即∠FAE ＋∠BAE ＝2∠BAE ，∴∠FAE ＝∠BAE ， ∴2∠FAE ＝40°，∴∠FAE ＝20°.
(2)证明：在AF 上截取AG ＝AB ，连接EG ，CG .
又∵∠FAE＝∠BAE，
AE＝AE，∴△AEG≌△AEB，∴EG＝BE，∠B＝∠AGE.又∵E为BC的中点，∴CE＝BE，∴EG＝CE，
∴∠EGC＝∠ECG.
∵AB∥CD，∴∠B＋∠BCD＝180°.
又∵∠AGE＋∠EGF＝180°，∠AGE＝∠B，
∴∠EGF＝∠BCD.
又∵∠EGC＝∠ECG，
∴∠FGC＝∠FCG，∴FG＝CF.
又∵AG＝AB，AB＝CD，
∴AF＝AG＋FG＝AB＋CF＝CD＋CF.。