平行四边形对角线的性质练习题

平行四边形对角线的性质

1.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，下列说法正确的是()

A．AC＝BD，OA＝OC

B．AC⊥BD，OB＝OD

C．OA＝OC，OB＝OD

D．OA＝OD，OB＝OC

2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝8，BD＝10，AB＝6，则△OAB 的周长为()

A．12 B．13 C．15 D．16

3．如图，在ABCD中，两条对角线AC，BD将ABCD分成四个小三角形：△AOB，△AOD，△DOC，△BOC，则这四个小三角形的面积()

A．都不相等B．不都相等

C．都相等D．以上结论都有可能

4．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，AC⊥BC，且AB＝10 cm，AD＝6 cm，则AO＝________．

5．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别交于点E，F.求证：OE＝OF.

6．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且两条对角线长的和为36，△OCD的周长为23，则AB的长为()

A．5 B．6 C．7 D．8

7．若平行四边形的两条对角线长是8 cm和16 cm则这个平行四边形的一边长可以是()

A．3 cm B．4 cm C．8 cm D．12 cm

8．如果平行四边形的一条边长为6 cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是()

A．8 cm和3 cm B．8 cm和4 cm C．8 cm和5 cm D．8 cm和20 cm

9．如图，平行四边形ABCD的周长为120 cm，AC，BD相交于点O，若△AOB的周长比△BOC的周长小10 cm，则这个平行四边形的一组邻边长分别是()

A．20 cm，40 cm B．25 cm，35 cm

C．15 cm，45 cm D．10 cm，50 cm

10．如图，平行四边形ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝，则四边形BCEF的周长为()

A．10 B．9 C．8 D．7

11．请按要求，只用无刻度的直尺作图(请保留画图痕迹，不写作法)：如图，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是平行四边形，在图中画出∠AOB的平分线．

12．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AC∶BD＝2∶3.求AC 的长．

13．如图18－1－24，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，求证：AE＝CF.

14．已知：如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF.求证：EB∥DF.

15．如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别交于点M，N.

(1)若四边形ABNM的面积为4，则平行四边形ABCD的面积为________；

(2)若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则平行四边形ABCD的面积为________．

16．如图，在平行四边形ABCD中，PQ，MN分别平行于DC，AD，PQ，MN交于点O，其中S四边形AMOP ＝3，S四边形MBQO＝4，S四边形NCQO＝10，则△DMQ的面积＝________．

17．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.

(1)若AE＝4，AF＝6，平行四边形ABCD的周长为40，求平行四边形ABCD的面积；

(2)若AE＝3，AF＝4，∠EAF＝60°，求平行四边形ABCD的面积；

(3)若∠EAF＝45°，且AE＋AF＝5，AB∶AD＝2∶3，求平行四边形ABCD的面积．

18．如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA＝2∠BAE.

(1)若∠D＝105°，∠DAF＝35°，求∠FAE的度数；

(2)求证：AF＝CD＋CF.

答案

1．C cm

5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠OAE＝∠OCF.

又∵∠AOE＝∠COF，

∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF.

6．A7．C8．C9．B

10．A

11．解：如图所示，射线OP即为所求．

12．解：∵AC ⊥AB ， ∴∠BAO ＝90°.

∵AC ∶BD ＝2∶3，∴设AC ＝2a ，BD ＝3a . ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO ＝12AC ＝a ，BO ＝1

2BD ＝.

在Rt △BAO 中，由勾股定理得：22＋a 2＝2，解得a ＝4

5 5，

∴AC ＝2a ＝8

5

5.

13．证明：连接BD ，交AC 于点O ，

∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO ＝DO ，OA ＝OC . ∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，∴∠BEO ＝∠DFO . 又∵∠BOE ＝∠DOF ，∴△BEO ≌△DFO ， ∴OE ＝OF ，∴OA －OE ＝OC －OF ，即AE ＝CF .

14．证明：连接BD ，交AC 于点O .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO ＝CO ，BO ＝DO .

∵AE ＝CF ，∴EO ＝FO .∵∠EOB ＝∠FOD ， ∴△EOB ≌△FOD ，∴∠OEB ＝∠OFD ， ∴EB ∥DF . 15．(1)8 (2)24

17．解：(1)∵平行四边形ABCD 的周长为40，∴BC ＋CD ＝20.设BC ＝x ，则4x ＝(20－x )×6，解得x ＝12，∴平行四边形ABCD 的面积为12×4＝48.

(2)∵AE ⊥BE ，AF ⊥CD ，∴∠AEC ＝∠AFC ＝90°.∵∠EAF ＝60°，∴∠C ＝120°.

∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠B ＋∠C ＝180°，∴∠B ＝60°， ∴∠BAE ＝30°，∴AB ＝2BE ，∴AB 2－1

4AB 2＝32，∴AB ＝2 3(负值已舍去)，∴CD ＝2

3.

∵AF ＝4，∴平行四边形ABCD 的面积是4×2 3＝8

3.

(3)设AE ＝x ，则AF ＝5－x . ∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，

∴∠AEC ＝∠AEB ＝∠AFD ＝∠AFC ＝90°. ∵∠EAF ＝45°，∴∠C ＝135°. ∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AB ∥CD ，∠B ＝∠D ，∴∠B ＝∠D ＝180°－135°＝45°，∴∠BAE ＝∠DAF ＝45°，即∠B ＝∠BAE ，∠D ＝∠DAF ，∴BE ＝AE ＝x ，AF ＝DF ＝5－x .在△ABE 和△ADF 中，根据勾股定理得：AB ＝2x ，AD ＝2(5－x )．

∵AB ∶AD ＝2∶3，∴2x ∶2(5－x )＝2∶3，解得x ＝2，∴AE ＝2，AF ＝3，AB ＝CD ＝2 2，

∴平行四边形ABCD 的面积是2

2×3＝6

2.

18．解：(1)∵∠D ＝105°，∠DAF ＝35°，∴∠DFA ＝180°－∠D －∠DAF ＝40°(三角形内角和定理)． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD (平行四边形的对边平行)，

∴∠DFA ＝∠FAB ＝40°(两直线平行，内错角相等)． ∵∠DFA ＝2∠BAE (已知)，

∴∠FAB ＝2∠BAE (等量代换)，即∠FAE ＋∠BAE ＝2∠BAE ，∴∠FAE ＝∠BAE ， ∴2∠FAE ＝40°，∴∠FAE ＝20°.

(2)证明：在AF 上截取AG ＝AB ，连接EG ，CG .