2020年四川省乐山市中考数学试卷(含解析)

2020年四川省乐山市中考数学试卷
（考试时间：120分钟满分：150分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．的倒数是（）
A．﹣B．C．﹣2 D．2
2．某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为（）
A．1100 B．1000 C．900 D．110
3．如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB＝（）
A．10°B．20°C．30°D．40°
4．数轴上点A表示的数是﹣3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B．则点B表示的数是（）A．4 B．﹣4或10 C．﹣10 D．4或﹣10
5．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连结OA．则四边形AOED的周长为（）
A．9+2B．9+C．7+2D．8
6．直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b≤2的解集是（）
A．x≤﹣2 B．x≤﹣4 C．x≥﹣2 D．x≥﹣4
7．观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为1），如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是（）
A．B．
C．D．
8．已知3m＝4，32m﹣4n＝2．若9n＝x，则x的值为（）
A．8 B．4 C．2D．
9．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分面积为（）
A．B．C．D．π
10．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y＝交于A、B两点，P是以点C（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（）
A．﹣B．﹣C．﹣2 D．﹣
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．用“＞”或“＜”符号填空：﹣7 ﹣9．
12．某小组七位学生的中考体育测试成绩（满分40分）依次为37，40，39，37，40，38，40．则这组数据的中位数是．
13．如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为4m．则自动扶梯的垂直高度BD＝m．（结果保留根号）
14．已知y≠0，且x2﹣3xy﹣4y2＝0．则的值是．
15．把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E为AD的中点，连结BE交AC于点F．则＝．
16．我们用符号[x]表示不大于x的最大整数．例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2．那么：
（1）当﹣1＜[x]≤2时，x的取值范围是；
（2）当﹣1≤x＜2时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象下方．则实数a的范围
是．
三、解答题（共102分）
17．（9分）计算：|﹣2|﹣2cos60°+（π﹣2020）0．
18．（9分）解二元一次方程组：
19．（9分）如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1．求DF的长度．
20．（10分）已知y＝，且x≠y，求（）÷的值．
21．（10分）如图，已知点A（﹣2，﹣2）在双曲线y＝上，过点A的直线与双曲线的另一支交于点B（1，a）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）过点B作BC⊥x轴于点C，连结AC，过点C作CD⊥AB于点D．求线段CD的长．
22．（10分）自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．
根据上面图表信息，回答下列问题：
（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为万人，扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为°；
（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；
（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率；
（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为1%、2.75%、3.5%、10%、20%，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率．
23．（10分）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：
车型每车限载人数（人）租金（元/辆）
商务车 6 300
轿车 4
（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？
（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？
24．（10分）如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，连结BD交AC于点G，且AF＝FG．
（1）求证：点D平分；
（2）如图2所示，延长BA至点H，使AH＝AO，连结DH．若点E是线段AO的中点．求证：DH是⊙O的切线．
25．（12分）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．
（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是；
（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF、AE、OE之间的关系．
26．（13分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tan∠CBD＝，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连结FB、FC，求△BCF的面积的最大值；
②连结PB，求PC+PB的最小值．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【解答】解：根据倒数的定义，可知的倒数是2．
故选：D．
2．【解答】解：2000×＝1100（人），
故选：A．
3．【解答】解：∵∠FEA＝40°，GE⊥EF，
∴∠CEF＝180°﹣∠FEA＝180°﹣40°＝140°，∠CEG＝180°﹣∠AEF﹣∠GEF＝180°﹣40°﹣90°＝50°，
∵射线EB平分∠CEF，
∴，
∴∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG＝70°﹣50°＝20°，
故选：B．
4．【解答】解：点A表示的数是﹣3，左移7个单位，得﹣3﹣7＝﹣10，
点A表示的数是﹣3，右移7个单位，得﹣3+7＝4．
所以点B表示的数是4或﹣10．
故选：D．
5．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝4，AB∥CD，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ADB＝∠CDB＝30°，
∵O是对角线BD的中点，
∴AO⊥BD，
在Rt△AOD中，AO＝AD＝2，
OD＝OA＝2，
∵OE⊥CD，
∴∠DEO＝90°，
在Rt△DOE中，OE＝OD＝，
DE＝OE＝3，
∴四边形AOED的周长＝4+2++3＝9+．
故选：B．
6．【解答】解：∵直线y＝kx+b与x轴交于点（2，0），与y轴交于点（0，1），
∴，解得
∴直线为y＝﹣+1，
当y＝2时，2＝﹣+1，解得x＝﹣2，
由图象可知：不等式kx+b≤2的解集是x≥﹣2，
故选：C．
7．【解答】解：由题意，选项A阴影部分分面积为6，B，C，D的阴影部分的面积为5，
如果能拼成正方形，选项A的正方形的边长为，选项B，C，D的正方形的边长为，
观察图象可知，选项B，C，D阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得图1的5个图形，可以拼成图2的边长为的正方形，
故选：D．
8．【解答】解：∵3m＝4，32m﹣4n＝（3m）2÷（3n）4＝2．
∴42÷（3n）4＝2，
∴（3n）4＝42÷2＝8，
又∵9n＝32n＝x，
∴（3n）4＝（32n）2＝x2，
∴x2＝8，
∴x＝＝．
故选：C．
9．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，
∴﹣﹣（﹣）＝，
故选：B．
10．【解答】解：点O是AB的中点，则OQ是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线时，PB最大，则OQ＝BP最大，
而OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，
则BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，
设点B（m，﹣m），则（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝32，
解得：m2＝，
∴k＝m（﹣m）＝﹣，
故选：A．
二、填空题
11．【解答】解：∵|﹣7|＝7，|﹣9|＝9，7＜9，
∴﹣7＞﹣9，
故答案为：＞．
12．【解答】解：把这组数据从小到大排序后为37，37，38，39，40，40，40，其中第四个数据为39，
所以这组数据的中位数为39．
故答案为39．
13．【解答】解：∵∠BCD＝∠BAC+∠ABC，∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，
∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴BC＝AC＝4，
在Rt△BDC中，sin∠BCD＝，
∴sin60°＝＝，
∴BD＝2（m），
答：自动扶梯的垂直高度BD＝2m，
故答案为：2．
14．【解答】解：∵x2﹣3xy﹣4y2＝0，即（x﹣4y）（x+y）＝0，
可得x＝4y或x＝﹣y，
∴或，
即则的值是4或﹣1；
故答案为：4或﹣1．
15．【解答】解：连接CE，∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，E是AD的中点，
∴AC＝AD，CE＝AD＝AE，
∴∠ACE＝∠CAE＝30°
∵∠BAC＝30°，∠ABC＝90°，
∴AB＝AC＝AD，∠BAC＝∠ACE，
∴AB∥CE，
∴△ABF∽△CEF，
∴，
∴，
故答案为．
16．【解答】解：（1）由题意∵﹣1＜[x]≤2，
∴0≤x≤2，
故答案为0≤x≤2．
（2）由题意：当﹣1≤x＜2时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象下方，则有x＝﹣1时，1+2a+3＜﹣1+3，解得a＜﹣1，
或x＝2时，4﹣2a+3≤1+3，解得a≥，
故答案为a＜﹣1或a≥．
二、解答题
17．【解答】解：原式＝
＝2．
18．【解答】解：，
法1：②﹣①×3，得 2x＝3，
解得：x＝，
把x＝代入①，得 y＝﹣1，
∴原方程组的解为；
法2：由②得：2x+3（2x+y）＝9，
把①代入上式，
解得：x＝，
把x＝代入①，得 y＝﹣1，
∴原方程组的解为．
19．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝3，∠ADC＝∠C＝90°．
∵CE＝1，
∴DE＝＝．
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝90°＝∠C，∠∠ADF+∠DAF＝90°．又∵∠ADF+∠EDC＝90°，
∴∠EDC＝∠DAF，
∴△EDC∽△DAF，
∴＝，即＝，
∴FD＝，即DF的长度为．
20．【解答】解：原式＝
＝
＝，
∵，
∴原式＝
解法2：同解法1，得原式＝，
∵，
∴xy＝2，
∴原式＝＝1．
21．【解答】解：（1）将点A（﹣2，﹣2）代入，得k＝4，
即，
将B（1，a）代入，得a＝4，
即B（1，4），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
将A（﹣2，﹣2）、B（1，4）代入y＝kx+b，得，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x+2；
（2）∵A（﹣2，﹣2）、B（1，4），
∴，
∵，
∴．
22．【解答】解：（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为9÷45%＝20（万人），扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为360°×＝72°，
故答案为：20、72；
（2）20﹣39岁人数为20×10%＝2（万人），
补全的折线统计图如图2所示；
（3）该患者年龄为60岁及以上的概率为：＝0.675；
（4）该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率为：
．
23．【解答】解：（1）设租用一辆轿车的租金为x元，
由题意得：300×2+3x＝1320，
解得 x＝240，
答：租用一辆轿车的租金为240元；
（2）①若只租用商务车，
∵，
∴只租用商务车应租6辆，所付租金为300×6＝1800（元）；
②若只租用轿车，
∵，
∴只租用轿车应租9辆，所付租金为240×9＝2160（元）；
③若混和租用两种车，设租用商务车m辆，租用轿车n辆，租金为W元．由题意，得，
由6m+4n＝34，得 4n＝﹣6m+34，
∴W＝300m+60（﹣6m+34）＝﹣60m+2040，
∵﹣6m+34＝4n≥0，
∴，
∴1≤m≤5，且m为整数，
∵W随m的增大而减小，
∴当m＝5时，W有最小值1740，此时n＝1．
综上，租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最少为1740元．24．【解答】证明：（1）如图1，连接AD、BC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝∠ABD，
又∵AF＝FG，即点F是Rt△AGD的斜边AG的中点，
∴DF＝AF，
∴∠DAF＝∠ADF＝∠ABD，
又∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴＝，
∴即点D平分；
（2）如图2所示，连接OD、AD，
∵点E是线段OA的中点，
∴，
∴∠AOD＝60°，
∴△OAD是等边三角形，
∴AD＝AO＝AH，
∴△ODH是直角三角形，且∠HDO＝90°，
∴DH是⊙O的切线．
25．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，
又∵∠AEO＝∠CFO，∠AOE＝∠COF＝90°，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF，
故答案为：OE＝OF；
（2）补全图形如图所示，
结论仍然成立，
理由如下：
延长EO交CF于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO＝∠GCO，
∵点O为AC的中点，
∴AO＝CO，
又∵∠AOE＝∠COG，
∴△AOE≌△COG（AAS），
∴OE＝OG，
∵∠GFE＝90°，
∴OE＝OF；
（4）点P在线段OA的延长线上运动时，线段CF、AE、OE之间的关系为OE＝CF+AE，证明如下：如图，延长EO交FC的延长线于点H，
由（2）可知△AOE≌△COH，
∴AE＝CH，OE＝OH，
又∵∠OEF＝30°，∠HFE＝90°，
∴HF＝EH＝OE，
∴OE＝CF+CH＝CF+AE．
26．【解答】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣5），∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴D（2，0），
又∵＝，
∴CD＝BD•tan∠CBD＝4，
即C（2，4），
代入抛物线的解析式，得4＝a（2+1）（2﹣5），
解得，
∴二次函数的解析式为＝﹣x2++；
（2）①设P（2，t），其中0＜t＜4，
设直线BC的解析式为 y＝kx+b，
∴，
解得
即直线BC的解析式为，
令y＝t，得：，
∴点E（5﹣t，t），
把代入，得，
即，
∴，
∴△BCF的面积＝×EF×BD＝（t﹣）＝，∴当t＝2时，△BCF的面积最大，且最大值为；
②如图，连接AC，根据图形的对称性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，
∴，
过点P作PG⊥AC于G，则在Rt△PCG中，，∴，
过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PH≥BH，
∴线段BH的长就是的最小值，
∵，
又∵，
∴，
即，
∴的最小值为．。