龙格现象实验

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拉格朗日插值龙格现象的matlab实现

拉格朗日插值龙格现象的matlab实现

拉格朗日插值法在实践中的应 用
在数值分析中的应用
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插值法:拉格朗日插值法是数值分析中常用的插值方法之一,具有简单易 行、计算量小等优点。
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数据拟合:拉格朗日插值法可以用于数据拟合,通过对已知数据进行插值, 得到未知数据的近似值。
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数值微积分:拉格朗日插值法在数值微积分中也有广泛应用,例如在求解 函数的导数、积分等运算时,可以利用拉格朗日插值法进行近似计算。
龙格现象
龙格现象的定义
定义:当插值多项式的阶数过高时, 插值结果可能变得不可预测或出现 剧烈振荡
解决方法:在实际应用中,应避免 使用过高的插值多项式阶数,而应 选择合适的阶数以保证插值结果的 稳定性和准确性
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原因:由于高阶插值多项式对数据 点的敏感性增强,导致插值结果不 稳定
拉格朗日插值龙格现象的 Matlab实现
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单击输入目录标题 拉格朗日插值法 龙格现象 拉格朗日插值法在Matlab中的实现 拉格朗日插值法的龙格现象分析 拉格朗日插值法在实践中的应用
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拉格朗日插值法
插值法的定义
插值法是一种数学方法,通过已知的离散数据点,构造一个多项式函数,使得该函数在 数据点处的取值等于已知的数据点值。
算法收敛性:在某些情况下,龙格现象可能导致算法收敛速度减慢,增加计算时间和计算成本。
实际应用限制:由于龙格现象的存在,某些数值方法在实际应用中可能受到限制,无法处理某些 复杂问题。
算法改进需求:为了克服龙格现象的影响,需要研究和发展新的数值方法和算法,提高数值计算 的稳定性和精度。
拉格朗日插值法在Matlab中的 实现

Runge现象的研究

Runge现象的研究
幂激励矩阵 V 和插值输出列向量 y 分别为:
[ ] =a a0 , a1,, an T ∈ Rn+1
1

=V
1
x0 x1

x0n x1n


R ( n +1)×( n +1)
1
xn

xnn

[ ] =y y0 , y1,, yn T ∈ Rn+1
DOI: 10.12677/aam.2019.88175
Received: August 6th, 2019; accepted: August 21st, 2019; published: August 28th, 2019
Abstract
Firstly, this paper explains the Runge phenomenon generated by high-order polynomial interpolation, and proves that the interpolation polynomial divergence is obtained by calculating the systematic error. Secondly, taking the Runge function, inverse trigonometric function and fractional function as examples, the interpolation polynomial of the function is obtained by using the equally spaced Newton interpolation, and then the interpolation residual function expression is obtained, and then the midpoint of adjacent two nodes is calculated. The error at the location determines that the above three functions have generated the Runge phenomenon. Thirdly, the three algorithms of Chebyshev node, piecewise linear interpolation and cubic spline interpolation are introduced and verified, which can avoid the Runge phenomenon. Finally, the approximation performance index is proposed, and based on the optimal polynomial construction coefficient and order double determination method, the algorithm has excellent function approximation effect while avoiding the Runge phenomenon.

利用MQ拟插值解决高次插值所出现的龙格现象

利用MQ拟插值解决高次插值所出现的龙格现象

利用MQ拟插值解决高次插值所出现的龙格现象寿媛;陈豫眉【摘要】Interpolation is an ancient and practical approach mostly used for function approximation .In view of that different interpolation methods have different advantages and disadvantages , this paper is aimed at the re-search on how to solve Runge phenomenon appearing in the Lagrange polynomial interpolation .In practice, piece-wise linear interpolation is frequently used to avoid high order interpolation Runge phenomenon , while MQ quasi-in-terpolation can also be applied for the high-order interpolation Runge phenomenon solution by real example analy-sis.%本文对拉格朗日插值法在高次插值时出现的龙格现象展开研究。

通过实例分析可知,MQ拟插值可以解决高次插值时出现的龙格现象。

【期刊名称】《洛阳师范学院学报》【年(卷),期】2016(035)005【总页数】4页(P6-9)【关键词】拉格朗日插值;线性分段插值;MQ拟插值【作者】寿媛;陈豫眉【作者单位】西华师范大学数学与信息学院,四川南充637009;西华师范大学数学与信息学院,四川南充637009【正文语种】中文【中图分类】O241.3插值是函数逼近的一种重要方法,它可以通过函数在有限个点处的取值,利用形式简单的函数估计出形式复杂、不易计算的函数在其它点处的近似值.常用的插值有多项式插值[1]、样条曲线插值、代数曲线插值等.由于多项式插值具有计算简单等特点,因此常常用做逼近函数.对于一些函数,运用多项式插值,可以构造出形式简单并且具有良好逼近效果的多项式.但并不是所有的函数利用插值多项式都能够得到良好的逼近效果,例如有些函数在插值节点周围会出现龙格现象.龙格现象[2]是指,在区间内取等距插值点,运用插值多项式进行逼近时,逼近多项式在区间两端会发生震荡,并且随着插值次数增高,震荡现象也会严重,因而逼近误差也会增大.为了解决龙格现象,通常使用分段线性插值,利用分区间的低阶多项式对被插值函数进行良好地逼近.本文利用MQ拟插值[3]来解决龙格现象.MQ拟插值中有可调节的形状参数c,并且MQ拟插值自身具有无穷次可微性,因此MQ拟插值继承了分段线性插值函数的优点,同时解决了分段线性插值函数在插值节点处不光滑的缺点,从而可知MQ拟插值能够构造出基于等距节点的插值函数,这种插值函数能良好的逼近原函数,可以消除龙格现象.多项式具有简单、容易计算等特点,而且多项式函数几乎可以逼近所有的函数,因此,常常运用多项式逼近其它复杂、不易计算的函数.对于一个n次插值多项式Pn(x),往往需要求解插值多项式的系数ai(i=0,1,…,n),而且,当n较大时,求解多项式的系数会麻烦.因此,为了简化计算,可以通过拉格朗日插值来构造插值函数.定义1[4] 设a=x0<x1<…<xn=b,已知函数值yi=f(xi)(i=0,1,…,n),Ln(x)为不超过n次的多项式,则拉格朗日插值多项式为li(x)=).利用拉格朗日多项式构造插值时,随着插值节点个数的增加,拉格朗日插值对于原函数的逼近效果并不见得好.因为随着插值节点个数的增多,在插值节点周围会发生震荡现象,并且这种偏离现象往往会随着插值节点个数的增加而越来越严重.为段线性插值.定义2[4] f(x)在[a,b]上具有二阶连续导数,对于节点a=x0<x1<…<xn=b,已知其函数值f(x0), f(x1), …, f(xn),记hi=xi+1-xi,h=maxihi,因此,Ih(x)在每个小区间[xi,xi+1]上可表示为1968年,R.L. Hardy提出一种新的径向基函数——Multi-quadric函数,简称MQ[5],并于1971年首次发表了一篇关于MQ的论文[6]. 现如今,人们主要将MQ用于函数的逼近,也就是函数的插值.但是,利用MQ插值时需要求解一个系数矩阵,而当插值节点的个数很大时,这个系数矩阵往往是病态的.因此,就开始了对MQ拟插值(Lf)(x)的研究.定义3[3] 如果a=x0<x1<…<xn=b,h=max(xj-xj-1),对于给定函数f∈C1[x0, xn]和数据拟插值算子为(L f)(x)=∑fjψj(x),其中ψj(x)是函数φ(‖x-xj‖)的线性组合,φj(x)=φ(‖x-xj‖) c为参数且大于零.Powell和Beatson构造了三种MQ拟插值算子: (LA f)(x),(LB f)(x),(LCf)(x)[7],但是(LC f)(x)需要被插值函数在其端点处的导数信息,这限制了(LC f)(x)在实际中的应用. 因此,Wu和Schaback提出了另一种不需要被插值函数在端点处导数信息的MQ拟插值算子(LD f)(x)[8].MQ拟插值算子(LD f)(x)为.利用拉格朗日插值,分段线性插值和MQ拟插值分别进行函数插值,其中对于MQ拟插值中的形状参数c取为0.05.实验].实验].实验3 f3(x)=arctanx,x∈[-10,10].从实验1到实验3可以看出,对于简单函数,当插值节点的个数为6(即插值次数为5),用拉格朗日插值时,插值函数在插值区间的两端出现了震荡现象,并且随着插值次数的增加,震荡现象越明显.但是利用分段线性插值与MQ拟插值中并没有出现龙格现象,而且拟合的效果比较好.实验表明,除了常用的分段线性插值能够解决高次插值时出现的龙格现象,MQ拟插值也能消除龙格现象.。

hermite多项式龙格现象

hermite多项式龙格现象

hermite多项式龙格现象
关于Hermite多项式和龙格现象,我可以从多个角度进行解释。

首先,让我们先来了解一下Hermite多项式。

Hermite多项式
是一类特殊的多项式,通常用来解决量子力学和概率论中的问题。

它们是Hermite微分方程的解,这些微分方程在量子力学中具有重
要的物理意义。

Hermite多项式在概率论中也有广泛的应用,特别
是在描述正态分布的概率密度函数时。

现在,让我们来谈谈龙格现象。

龙格现象是指在使用插值多项
式逼近某些函数时出现的现象。

当我们使用高次插值多项式来逼近
某些函数时,虽然在节点附近的逼近效果很好,但在远离节点的地
方却出现了振荡的现象,这就是龙格现象。

龙格现象对于数值计算
和插值问题具有重要的启示意义,需要我们谨慎选择插值多项式的
次数和节点的位置,以避免出现龙格现象导致的误差增大。

结合Hermite多项式和龙格现象,我们可以讨论在使用
Hermite插值多项式逼近某些函数时可能出现的龙格现象。

由于Hermite插值多项式是在给定节点处不仅给出函数值,还给出导数值,因此可以更好地逼近某些函数。

但是,当我们使用高次
Hermite插值多项式时,仍然可能会出现龙格现象,导致远离节点的地方逼近效果变差,甚至出现振荡现象。

总的来说,Hermite多项式和龙格现象都是数学和数值计算中重要的概念,它们在不同领域有着广泛的应用和深远的影响。

我们需要深入理解它们的性质和特点,以更好地应用于实际问题的求解和分析中。

龙格现象实验

龙格现象实验

关于龙格现象的实验报告1.实验目的:观察拉格朗日插值的龙格(Runge)现象.。

2. 实验内容: 对于函数211)(xx f +=进行拉格朗日插值,取不同的节点数n ,在区间[-5,5]上取等距间隔的节点为插值点,把f (x )和插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较。

具体步骤如下:1)、编写拉格朗日插值函数(并将其存到当前路径的M 文件中)function y=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:mz=x(i);L=0.0;for j=1:nT=1.0;for k=1:nif k~=jT=T*(z-x0(k))/(x0(j)-x0(k));endendL=T*y0(j)+L;endy(i)=L;end2)、取不同的n 值(注:当n 值不同时,间距间隔10/n 也在发生改变,程序中只需改变x0=-5:10/n:5中的n 值)。

现取n 分别等于4,6,8,10时,程序分别如下(1)取n =4,>> x0=-5:10/4:5;>> y0=1./(1+x0.^2);>> x=-5:0.1:5;>> y=lagrange(x0,y0,x);>> y1=1./(1+x.^2);>> plot(x,y1,'-k') 绘制原函数图象>> hold on>> plot(x,y,'-.r')>>(2)取n=6,>> x0=-5:10/6:5;>> y0=1./(1+x0.^2);>> x=-5:0.1:5;>> y=lagrange(x0,y0,x);>> y1=1./(1+x.^2);>> plot(x,y1,'-k')>> hold on>> plot(x,y,'--h')>>(3)取n=8,>> x0=-5:10/8:5;>> y0=1./(1+x0.^2);>> x=-5:0.1:5;>> y=lagrange(x0,y0,x);>> y1=1./(1+x.^2);>> plot(x,y1,'-k')>> hold on>> plot(x,y,'--g')>>(4)取n=10,>> x0=-5:1:5;>> y0=1./(1+x0.^2);>> x=-5:0.1:5;>> y=lagrange(x0,y0,x);>> y1=1./(1+x.^2);>> plot(x,y1,'-k')>> hold on>> plot(x,y,'--m')>>(5)依次输入上述程序,将f(x)和取不同节点数的插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较。

数值分析实验报告--实验2--插值法

数值分析实验报告--实验2--插值法

1 / 21数值分析实验二:插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。

显然拉格朗日插值中使用的节点越多,插值多项式的次数就越高。

我们自然关心插值多项式的次数增加时, 是否也更加靠近被逼近的函数。

龙格(Runge )给出一个例子是极著名并富有启发性的。

设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分,分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。

实验要求:(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ,画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1,1]上的图像,比较并分析实验结果。

(2) 选择其他的函数,例如定义在区间[-5,5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。

(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式,比较其结果,试分析2 / 21原因。

1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上,根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本,其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数,方便调用。

1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20,画出原函数和拉格朗日插值函数的图像,如图1所示。

Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。

可以看出,当n 较小时,拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x),即插值效果越来越好。

计算方法实验报告newton

计算方法实验报告newton

南昌航空大学实验报告2012年4月22日课程程名称:计算方法 实验名称:Lagrange 和Newton 插值多项式 班级: ____ 姓名:______一、实验目的理解插值的基本原理, 掌握Lagrange 、Newton 插值算法的定义与异同, 观察Lagrange 插值的龙格现象。

二、实验原理1)插值原理已知数据:0011(,),(,),,(,)n n x y x y x y , 根据插值基本定理:n +1个互异的数据点, 可以唯一确定一个满足插值条件的n 次插值多项式。

最简单的两种插值多项式是Lagrange 插值多项式与Newton 插值多项式。

2)Lagrange 插值多项式公式为:()()nn i ii L x l x y ==∑, 其中0()()()nj i j i j j ix x l x x x =≠-=-∏;牛顿插值多项式是拉格朗日插值多项式的另一种等价表示方式, 与Lagrange 插值多项式相比, 当节点数增加时,能充分利用已有的计算数据, 且总计算量小的特点。

它的公式为:00100120101011()()[,]()[,,]()()[,,,]()()()n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x -=+-+--+++--- 其中01[,]f x x 、012[,,]f x x x 、 、01[,,,]n f x x x 依次为一阶、二阶、 、n 阶差商。

(3)相关说明:poly 函数 求多项式的系数(由已知根求多项式的系数) 调用格式:Y = poly (V) X1=[1,2]; l1=poly(X1), l1=[ 1 -3 2]poly2sym 函数 将多项式系数向量转为解析式形式 调用格式:poly2sym (C) poly2sym(l1) ans =x^2 - 3*x + 2polyval 函数 给定多项式系数向量,求某点的值 调用格式:Y = polyval(P ,X) polyval(l1,2) ans = 0conv 函数 求多项式相乘后的多项式系数。

数值分析实验报告Hermite插值法、Runge现象,比较Language插值、分段线性插值、分段三次Hermie插值

数值分析实验报告Hermite插值法、Runge现象,比较Language插值、分段线性插值、分段三次Hermie插值

山东师范大学数学科学学院实验报告x 0.1 0.5 1 1.5 2 2.5 3y 0.95 0.84 0.86 1.06 1.5 0.72 1.9y' 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4求质点在时刻1.8时的速度,并画出插值多项式的图像。

1)运用Hermite插值法画出图像,如图4-1,并求质点在时刻1.8时的速度。

>>clear>>clc>>X=[0.1 0.5 1 1.5 2 2.5 3;0.95 0.84 0.86 1.06 1.5 0.72 1.9;1 1.5 2 2.5 3 3.5 4];>> x=0.1:0.01:3;>> H=Hermite1(X,x);>> plot(x,H)>> hold on>> plot(X(1,:),X(2,:),'r*')>> H1_8=Hermite(X,1.8);>> plot(1.8,H1_8,'go')>> legend('插值图像','原始点','目标点');图4-1二、验证高次插值的Runge现象问题分析和算法设计(一)Language插值代码function [Ln] =Lagrange(X,x)%请输入2*n+1矩阵X,X中第一行每个元素都是插值节点,X中第二行每个元素都是插值节点对应的函数值;%第二章P24例一拉格朗日插值n=size(X,2);d=0;for m=1:1:nif x==X(1,m);d=m;breakendend运行结果和总结 运行结果 例:给定函数55,11)(2≤≤-+=x xx f ; (1) 验证表2-10的误差结果(高次插值的Runge 现象);(2) 以0.1为步长分别进行Language 插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值,画出三种插值函数以及f(x)的图像,比较三种插值结果。

实验一:插值方法

实验一:插值方法

实验一:插值方法学时:41.龙格现象的发生、防止和插值效果的比较对区间[-5,5]做等距划分:xi=-5+ih(I=0,1,2….,n),h=10/n,对下列函数分别按给定方案进行插值,计算其在点xk=-5+0.25k(k=0,1,…,40)上的值,并绘出插值函数的图形(1)y=arctgx (2)y=x/(1+x4)方案1 分别取n=10,20作拉格朗日插值方案2 分别取n=10,20作分段线性插值方案3 分别取n=10,20作I型三次样条插值将计算结果用表格的形式排列,观察同一方案,不同的n的计算结果的变化状态,不同方案结果的精度比较,有无龙格现象发生2.插值法的稳定性已知y=cosx,对区间[0,1]作等距划分,结点为xi=i/n(I=0,1,…,n),试对下面两种情况分别案指定方案求cosx在0.73333点的近似值(n=10,40,160)(1)以给定节点为插值节点(2)仍以给定节点为插值节点,但在cos0.5上人为增加一个误差0.05方案1 拉格朗日插值方案2 分段线性插值方案3 I型三次样条插值试比较同一方案对不同的n、不同方案对相同的n的精度情况,分析人为增加的误差对不同方案计算结果的影响3.样条插值的应用设给定下述两种边界条件,试分别计算插值函数在点xi=50k(k=1,2,…,36)的值,并绘出飞机头部外型曲线(1)自然边界条件(2)y’(0)=1 y’(1841)=0实验二数值积分方法的使用和比较学时:2对给定的积分(1)I=∫x2e x dx (2)I=∫x5/2dx分别用下述计算方案求积分值,要求误差不超过10-6。

将每个积分的计算结果用表格排好,比较收敛速度,并讨论或说明原因方案1 复化梯形法方案2 复化辛普生法方案3 龙贝格公式方案4 复化两点高斯-勒让德公式实验三常微分方程数值解法实验学时:41.解初值问题的各种方法的比较给定初值问题y’=(2/x)y+x2e x 1<x≤2y(1)=0其准确解为y=x2(ex-e),分别案下列方案求它在节点xi=1+0.1k(k=0,1,…,10)处的数值解及误差,比价格方法的优缺点方案1 欧拉法,步长h=0.025、h=0.1方案2 改进的欧拉法,步长h=0.05、h=0.1方案3 四阶标准龙格-库塔法步长h=0.1方案4 带误差修正的哈明公式,步长h=0.12.变步长龙格-库塔法用变步长四阶标准龙格-库塔法解下列初值问题,并与准确解进行比较。

数值分析-插值函数的震荡现象

数值分析-插值函数的震荡现象

数值分析课程设计多项式插值的振荡现象远露冬201030770134指导教师李娇娇讲师学院名称理学院专业名称数学与应用数学提交日期2012年6月一、 问题的提出考虑在一个固定区间上用插值逼近一个函数。

显然,Lagrange 插值中使用的节点越多,插值多项式的次数就越高。

我们自然关心插值多项式增加时,Ln(x)是否也更加靠近被逼近的函数。

龙格(Runge)给出的一个例子是极著名并富有启发性的。

设区间[-1,1]上的函数:二、 实验内容考虑区间[-1,1]的一个等距划分,节点为则拉格朗日插值多项式为其中的a i(x),i=0,1,2,…,n 是n 次Lagrange 插值基函数。

1)选择不断增大的分点数n=2,3,4,5,6,7,8,9,101.画出原函数f(x)及插值多项式函数Ln(x)在[-1,1]上的图像;2.给出每一次逼近的最大误差;2)选择定义在区间[-5,5]上的函数重复上述实验看其结果如何。

3)区间[a,b]上切比雪夫(Chebychev)点的定义为以x1,x2,…,xn+1为插值节点构造上述各函数的Lagrange 插值多项式,比较其结果。

以下均用Matlab 软件绘制图象 (实线:f(x) 虚线:Ln(x))。

在这里为方便作比较,对于每个函数的不同的n 的取值都有上下两个函数图像比较,一组采用平均插值点,一组采用切比雪夫插值点, 并分别给出了两函数的误差最大值。

21()125f x x=+21,0,1,2,,i ix i nn=-+= 201()()125nn ii iL x a x x ==+∑(21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭对于函数: x ∈[-1,1]当n=2时平均插值点图像如下,此时max|f(x)- L2(x)|=0.6462-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.20.40.60.81切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L2(x)|=0.6006.-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.50.5121()125f x x =+当n=3时平均插值点图像如下,此时max|f(x)- L3(x)|=0.7070.-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L3(x)|=0.7503.-1-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.8100.10.20.30.40.50.60.70.80.91当n=4时平均插值点图像如下:此时max|f(x)- L4(x)|= 0.4384-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.200.20.40.60.811.2切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L4(x)|=0.4020.-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.200.20.40.60.811.2当n=5时平均插值点图像如下:此时max|f(x)- L5(x)|= 0.4327-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L5(x)|=0.5559-1-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.8100.10.20.30.40.50.60.70.80.91n=6时平均插值点图像如下:此时max|f(x)-L6(x)|=0.6169-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.200.20.40.60.811.2切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L6(x)|=0.2642-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.200.20.40.60.811.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.20.40.60.81切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L7(x)|=0.3917-1-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.8100.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L8(x)|=0.1708-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.200.20.40.60.811.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.4-0.20.20.40.60.81切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L9(x)|=0.2692-1-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.8100.10.20.30.40.50.60.70.80.91当n=10时平均插值点图像如下:此时max|f(x)- L10(x)|= 1.9157-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.500.511.52切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L10(x)|=0.1092-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.200.20.40.60.811.2对于函数:()41h x xx +=x ∈[-5,5]当n=2时平均插值点图像如下, 此时max|f(x)- L2(x)|= 0.5687-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L2(x)|= 0.5677.-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.6-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.6切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L3(x)|= 0.5092.-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.6-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.6切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L4(x)|= 0.5549.-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.6平均插值点图像如下, 此时max|f(x)- L5(x)|=0.6584.-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L5(x)|= 0.3514.-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.6平均插值点图像如下, 此时max|f(x)- L6(x)|=0.4545.-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.6切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L6(x)|= 0.5179.-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.6平均插值点图像如下, 此时max|f(x)- L7(x)|=1.4420.-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L7(x)|= 0.3476.-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.6当n=8时平均插值点图像如下, 此时max|f(x)- L8(x)|=0.3247.-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.6切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L8(x)|= 0.4463.-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.6平均插值点图像如下, 此时max|f(x)- L9(x)|=2.7365.-5-4-3-2-1012345-3-2-1123切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L9(x)|= 0.3013.-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8平均插值点图像如下, 此时max|f(x)- 10(x)|=0.8547.-5-4-3-2-112345-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L10(x)|= 0.3431.-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.6对于函数:g(x)=arctanx , x ∈[-5,5]当n=2时平均插值点图像如下, 此时max|f(x)- L2(x)|= 0.5728-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L2(x)|= 0.5173.-5-4-3-2-1012345-2-1.5-1-0.500.511.52当n=3,平均插值点图像如下, 此时max|f(x)- L3(x)|= 0.3593.-5-4-3-2-1012345-2-1.5-1-0.500.511.52切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L3(x)|= 0.2325.-5-4-3-2-1012345-2-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L4(x)|= 0.2887.-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L5(x)|= 0.1378.-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L6(x)|= 0.1700.-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5-5-4-3-2-1012345-2-1.5-1-0.500.511.52切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L7(x)|= 0.0822.-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5当n=8时平均插值点图像如下, 此时max|f(x)- L8(x)|=0.1492.-5-4-3-2-1012345-2-1.5-1-0.500.511.52切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L8(x)|=0.1022-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5.当n=9时平均插值点图像如下, 此时max|f(x)- L9(x)|=0.5599.-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L9(x)|= 0.0488.-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5当n=10时平均插值点图像如下, 此时max|f(x)- 10(x)|=0.2026.-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5切比雪夫插值点图像如下,此时max|f(x)- L10(x)|= 0.0622.-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.50.511.5三、 实验结果及分析为清晰明朗的观察随着n 的增加,每一次逼近的最大误差的变化,即max|f(x)- Ln(x)|的变化,这里以n 为代表横轴,max|f(x)- Ln(x)|代表纵轴,将其值在坐标上并用折线连接,实线表示平均插值点最大误差,虚线表示切比雪夫插值点最大误差,表示如下: 对于函数 x ∈[-1,1]234567891000.20.40.60.811.21.41.61.82对于函数()41h x xx +=x ∈[-5,5]0.511.522.5321()125f x x =+对于函数: g(x)=arctanx x ∈[-5,5]234567891000.10.20.30.40.50.60.7由以上实验内容,和所得的图像和数据可以得出以下结论:1.随着插值点n 的增大,采用平均插值点所得的拉格朗日逼近函数,在x 的中点位置附近(该三个例子中即x=0),与原函数越来越接近;在x 的两个端点位置,误差呈波动性逐渐增大;而采用切比雪夫插值点所得的拉格朗日逼近函数随着n 的增大,与原函数在x 的任何位置都越来越接近。

数值计算方法实验报告

数值计算方法实验报告

数值分析实验报告实验一、解线性方程组的直接方法——梯形电阻电路问题利用追赶法求解三对角方程组的方法,解决梯形电阻电路问题:电路中的各个电流{1i ,2i ,…,8i }须满足下列线性方程组:R V i i =- 22 210 252321=-+-i i i 0 252 432=-+-i i i 0 252 543=-+-i i i 0 252 654=-+-i i i 0 252 765=-+-i i i 0 252 876=-+-i i i 052 87=+-i i设V 220=V ,Ω=27R ,运用追赶法,求各段电路的电流量。

问题分析:上述方程组可用矩阵表示为:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------------00000001481.8522520000002520000002520000002520000002520000002520000002287654321i i i i i i i i问题转化为求解A x b =,8阶方阵A 满足顺序主子式(1,2...7)0i A i =≠,因此矩阵A存在唯一的Doolittle 分解,可以采用解三对角矩阵的追赶法!追赶法a=[0 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2]; b=[2 5 5 5 5 5 5 5];c=[-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 0]; d=[220/27 0 0 0 0 0 0 0];Matlab 程序function x= zhuiganfa( a,b,c,d )%追赶法实现要求:|b1|>|C1|>0,|bi|>=|ai|+|ci| n=length(b); u=ones(1,n); L=ones(1,n); y=ones(1,n); u(1)=b(1); y(1)=d(1); for i=2:nL(i)=a(i)/u(i-1);u(i)=b(i)-c(i-1)*L(i); y(i)=d(i)-y(i-1)*L(i); endx(n)=y(n)/u(n); for k=n-1:-1:1x(k)=(y(k)-c(k)*x(k+1))/u(k); end endMATLAB 命令窗口输入:a=[0 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2]; b=[2 5 5 5 5 5 5 5];c=[-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 0] d=[220/27 0 0 0 0 0 0 0];x= zhuiganfa(a,b,c,d )运行结果为:x =8.1478 4.0737 2.0365 1.0175 0.5073 0.2506 0.1194 0.0477存在问题根据电路分析中的所讲到的回路电流法,可以列出8个以回路电流为独立变量的方程,课本上给出的第八个回路电流方程存在问题,正确的应该是78240i i -+=;或者可以根据电路并联分流的知识,同样可以确定78240i i -+=。

计算方法实验二

计算方法实验二

《计算方法》实验报告实验二插值法二级学院:计算机学院专业:计算机科学与技术指导教师:爨莹班级学号:姓名:实验二插值法1、实验目的:1、掌握直接利用拉格郎日插值多项式计算函数在已知点的函数值;观察拉格郎日插值的龙格现象。

2、了解Hermite插值法、三次样条插值法原理,结合计算公式,确定函数值。

2、实验要求:1、认真分析题目的条件和要求,复习相关的理论知识,选择适当的解决方案和算法;2、编写上机实验程序,作好上机前的准备工作;3、上机调试程序,并试算各种方案,记录计算的结果(包括必要的中间结果);4、分析和解释计算结果;5、按照要求书写实验报告;3、实验内容:1、用拉格郎日插值公式确定函数值;对函数f(x)进行拉格郎日插值,并对f(x)与插值多项式的曲线作比较。

2、已知函数表:(0.56160,0.82741)、(0.56280,0.82659)、(0.56401,0.82577)、(0.56521,0.82495)用三次拉格朗日插值多项式求x=0.5635时函数近似值。

3、P129,(12)4、题目:插值法5、原理:拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。

许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律,而不少函数都只能通过实验和观测来了解。

如对实践中的某个物理量进行观测,在若干个不同的地方得到相应的观测值,拉格朗日插值法可以找到一个多项式,其恰好在各个观测的点取到观测到的值。

这样的多项式称为拉格朗日(插值)多项式。

数学上来说,拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。

6、设计思想:通过拉格朗日插值法找到拉格朗日多项式,计算某个x对应的y值。

7、对应程序://Lagrange.cpp#include <stdio.h>#include <conio.h>#define N 4int checkvalid(double x[], int n);void printLag (double x[], double y[], double varx, int n);double Lagrange(double x[], double y[], double varx, int n);void main (){double x[N+1] = {0.56160, 0.56280, 0.56401, 0.56521};double y[N+1] = {0.82741, 0.82659, 0.82577, 0.82459};double varx = 0.5635;if (checkvalid(x, N) == 1){printf("\n\n插值结果: P(%f)=%f\n", varx, Lagrange(x, y, varx, N));}else{printf("结点必须互异");}getch();}int checkvalid (double x[], int n){int i,j;for (i = 0; i < n; i++){for (j = i + 1; j < n+1; j++){if (x[i] == x[j])//若出现两个相同的结点,返回-1{return -1;}}}return 1;}double Lagrange (double x[], double y[], double varx, int n){double fenmu;double fenzi;double result = 0;int i,j;printf("Ln(x) =\n");for (i = 0; i < n+1; i++){fenmu = 1;for (j = 0; j < n+1; j++){if (i != j){fenmu = fenmu * (x[i] - x[j]);}}printf("\t%f", y[i] / fenmu);fenzi = 1;for (j = 0; j < n+1; j++){if (i != j){printf("*(x-%f)", x[j]);fenzi = fenzi * (varx - x[j]);}}if (i != n){printf("+\n");}result += y[i] / fenmu * fenzi;}return result;}8、实验结果:9、实验体会:拉格朗日插值法能很好的解决生产和科研中的一些问题,计算机编程的实现有利于其更好的应用。

精密星历插值中龙格现象处理策略

精密星历插值中龙格现象处理策略
在 插 值 时 应 尽 可 能 使 内插 点 位 于 插 值 弧 段 的 中
f ( ) = 兀
3 龙格 现象 处理策 略
, ≠
( 2 )
为了减弱 和 消除精 密 星历插 值 中龙 格现 象 的影 响, 提高插值 的精 度和可 靠性 , 分 别采用 阶次 组合 、 增
加星历 和先外推后插值三种方法进行精密星历插值 。 ( 1 ) 阶次 组合 法 : 阶 次 组合 法 是 指 对 不 同位 置
1 引 言
产 的精 密 星历 的事 后 星历 精 度则 优 于 5 c m。I G S是

个 非军 方 的国 际协 作 组织 , 其 开放 度 也 较 高 。因
在 高精 度 G P S数据 处 理 中 , 为 了保证 结 果 的可 靠 性 和精确 性 , 通 常使 用 I G S提 供 的精 密卫 星 星 历 进行计 算 。 由于实际 作业 时 I G S提供 的星历 时 间间 隔都 大于观 测数 据 的 采样 间隔 , 使 用 时需 要 对 精 密 卫 星 星历进 行插 值 处 理来 满 足 计 算 的需 求 , 以得 到 观测 历元 时刻所 需 要 的卫 星位 置 , 提 高精 密 单 点 定
插值 是通 过构造 已知值 与未知值 之 间的多项 式 关 系来计 算未 知值 的数学 方法 。常用 的插 值方 法包 括 拉格 朗 日多项式插 值法 、 内维尔插 值法 、 牛顿 插值
法、 三次 样条 插值法 、 三 角多项 式插 值法 和切 比雪夫
n + 1 个点之间的任意位置的函数值 J 。
位 的精度 。
此, 精 密单 点定位 中通 常采用 I G S提供 的精 密星历 , 给出 1 5 mi n等 时 间间隔 点上 的卫 星 坐标 数据 , 坐 标 参考 基准 属于 I T F参 考框 架 。

实验报告

实验报告

实验实验题一实验题1 水手、猴子和椰子问题:五个水手带了一只猴子来到南太平洋的一个荒岛上,发现那里有一大堆椰子。

由于旅途的颠簸,大家都很疲倦,很快就入睡了。

第一个水手醒来后,把椰子平分成五堆,将多余的一只给了猴子,他私藏了一堆后便又去睡了。

第二、第三、第四、第五个水手也陆续起来,和第一个水手一样,把椰子分成五堆,恰好一只给猴子,私藏一堆,再去入睡。

天亮以后,大家把余下的椰子重新等分成五堆,每人分一堆,正好余一只再给猴子。

试问原来共有几只椰子?试分析椰子数目的变化规律,利用逆向递推的方法求解这一问题。

实验题2 设,。

(1)从I0尽可能精确的近似值出发,利用递推公式:计算从I1到I20的近似值:(2)从I30较粗糙的估计值出发,用递推公式:计算从I1到I20的近似值:(3)分析所得结果的可靠性以及出现这种现象的原因。

实验题3 递推计算的稳定性计算积分其中a为参数,分别对a =0.05及a =15按下列两种方案计算,列出其可靠性进行分析比较,说明原因。

方案I 用递推公式递推初值可由积分直接得。

方案II 用递推公式根据估计式或取递推初值为或计算中取n =13开始。

实验课题4 三种求ln2的算法比较按下列三种方案构造逼近ln2的数列,用以求出ln2的近似值,要求精度。

观察和比较三种计算方案的收敛速度。

方案I 利用级数设则可取。

方案II 对方案I中的数据,按下列公式生成新数列。

称为数列的埃特金(Aitken)外推数列。

可以证明。

因此可取。

方案III 利用级数设则可取。

实验课题5 值的计算下面给出了三种求的近似值的计算方案,试比较它们的收敛速度和精度。

方案I 利用逼近单位圆半周长的方法。

单位圆半周长的值为,图1所示为一单位半圆,设为将半圆弧分成等份得以的角,其对应的弦线长度是。

则这样的弦线之和为(1-5)P n就是单位圆半周长的一个近似值由三角公式知(1-6)记,则由式(1-5),(1-6)可建立如下迭代公式(1-7)(1-8)则P n就是的逼近值。

数值分析上机作业1-1解析

数值分析上机作业1-1解析

数值计算方法上机题目11、实验1. 病态问题实验目的:算法有“优”与“劣”之分,问题也有“好”和“坏”之别。

所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感,反之属于好问题。

希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。

数值分析的大部分研究课题中,如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。

病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决,当然一般要付出一些代价(如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等)。

问题提出:考虑一个高次的代数多项式∏=-=---=201)()20)...(2)(1()(k k x x x x x p (E1-1)显然该多项式的全部根为l ,2,…,20,共计20个,且每个根都是单重的(也称为简单的)。

现考虑该多项式方程的一个扰动0)(19=+xx p ε (E1-2)其中ε是一个非常小的数。

这相当于是对(E1-1)中19x 的系数作一个小的扰动。

我们希望比较(E1-1)和(E1-2)根的差别,从而分析方程(E1-1)的解对扰动的敏感性。

实验内容:为了实现方便,我们先介绍两个 Matlab 函数:“roots ”和“poly ”,输入函数u =roots (a )其中若变量a 存储1+n 维的向量,则该函数的输出u 为一个n 维的向量。

设a 的元素依次为121,...,,+n a a a ,则输出u 的各分量是多项式方程0...1121=++++-n n n n a x a x a x a的全部根,而函数b=poly(v)的输出b 是一个n +1维变量,它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。

可见“roots ”和“Poly ”是两个互逆的运算函数.ve=zeros(1,21); ve(2)=ess;roots(poly(1:20))+ve)上述简单的Matlab 程序便得到(E1-2)的全部根,程序中的“ess ”即是(E1-2)中的ε。

实验要求:(1)选择充分小的ess ,反复进行上述实验,记录结果的变化并分析它们。

龙格现象

龙格现象

差值里的龙格现象实验临床八年1004张馨予2204100412 一.实验任务:由书上例子2.2和2.3表明适当的提高多项式的次数,有可能提高插值的精度,但是绝对不可能由此认为插值多项的次数越高越好。

此次试验的任务便是验证差值多项式里的龙格现象。

二.算法设计:对函数f(x)=1/(1+25*x*x),(-1<=x<=1).先以xi=-1+2/5i(i=0,1,2,…,5)为节点做五次插值多项式P5(x),再以xi=-1+1/5i(i=0,1,…,10)为节点做十次插值多项式P10(x),并将曲线f(x)=1/(1+25*x*x),y=P5(x),y=P10(x),在区间[-1,1]上,描绘在同一个坐标系。

程序设计,对于插值法,首先计算lagrange差值基本函数lk(x)。

再写出满足差值条件的n次插值多项式Ln(x)=yl(x)的总和。

三.计算机程序:1.求5个点对应y值的m文件function y=flongge2x=-1:0.4:1for i=1:length(x)y(i)=1/(1+25*x(i)*x(i));enddisp(y)2.求10个点对应y值的函数文件function y=flongge2x=-1:0.2:1for i=1:length(x)y(i)=1/(1+25*x(i)*x(i));enddisp(y)3. 差值里的龙格现象function f=Language(x,y,x0)syms t;if(length(x)==length(y))n=length(x);elsedisp('xand y are not of the same demision');return;endf=0.0;for(i=1:n)l=y(i);for(j=1:i-1)l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));end;for(j=i+1:n)l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));end;f=f+l;f=simplify(f);if(i==n)if(nargin==3)f=subs(f,'t',x0)elsef=collect(f);f=vpa(f,6);endendend并在命令编辑器里输入x y 矩阵,以及f=Language(x,y)4.龙格总图的m文件functiontu=longgezongtufplot('-220.940*t^10+494.907*t^8-381.433*t^6+123.360*t^4-16.8552*t^2+1.',[-1,1] ),holdon;fplot('1/(1+25*x*x)',[-1,1]), hold on;fplot('1.20199*t^4-1.73079*t^2+.567309',[-1,1],1e-4),grid四.调试以及运行结果1.在命令编辑器里输入flongge2,得到十个点的对应y值:(截的图)2.输入f,得到五个点对应的y值:3.在命令编辑器里输入x矩阵,和y矩阵,以及f=Language(x,y),就会得到对应的两个差值公式:y=-220.940*t^10+494.907*t^8-381.433*t^6+123.360*t^4-16.8552*t^2+1.y=1.20199*t^4-1.73079*t^2+.567309根据这两个公式编出可以输出图的程序。

实验:龙格现象

实验:龙格现象

用二次多项式拟合
x0123456 y 15 14 14 14 14 15 16
y y 14 , x x 3
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y1000012
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y 14 1 5 (x 3) 5 (x 3)2
7 28
28
Байду номын сангаас
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求 arctanx 在区间[0,1] 上的最佳平方一次式
b=b*(s-x(j))
do 15 i6=0,k
continue
f(i,0)=1/(1+x(i)*x(i)*25.0) c=c+f(i,i)*b
15 Contin5u0e
continue
write(10,80) s,c
do 20 j8=01,kformat(1x,E20.9,E20.9)
do 30 4i=0j,k continue
f(i,j)=(f(i,j-1)-f(i-1,j-1)e)/n(0d.2*j)
30
continue 无忧PPT整理发布
20
continue
double precision a,b,c,h,x,xx(10)
open(10,file="ff.dat")
do 10 j=0,k c=1.0
kk=10do 20 i1=0,k h=2.0/kikf (i1.eq.j) then c=1.0
else c=(x-xx(i1))/(xx(j)-xx(i1))
a=-1.0 end if do 2 i=0,kkc=c*c
x=20a+i*h continue
b=b+c/(1+25*xx(j)*xx(j)) 10 continue
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关于龙格现象的实验报告
1.
实验目的:
观察拉格朗日插值的龙格(Runge)现象.。

2. 实验内容: 对于函数211)(x
x f +=进行拉格朗日插值,取不同的节点数n ,在区间[-5,5]上取等距间隔的节点为插值点,把f (x )和插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较。

具体步骤如下:
1)、编写拉格朗日插值函数(并将其存到当前路径的M 文件中)
function y=lagrange(x0,y0,x)
n=length(x0);m=length(x);
for i=1:m
z=x(i);
L=0.0;
for j=1:n
T=1.0;
for k=1:n
if k~=j
T=T*(z-x0(k))/(x0(j)-x0(k));
end
end
L=T*y0(j)+L;
end
y(i)=L;
end
2)、取不同的n 值(注:当n 值不同时,间距间隔10/n 也在发生改变,程序中只需改变x0=-5:10/n:5中的n 值)。

现取n 分别等于4,6,8,10时,程序分别如下
(1)取n =4,
>> x0=-5:10/4:5;
>> y0=1./(1+x0.^2);
>> x=-5:0.1:5;
>> y=lagrange(x0,y0,x);
>> y1=1./(1+x.^2);
>> plot(x,y1,'-k') 绘制原函数图象
>> hold on
>> plot(x,y,'-.r')
>>
(2)取n=6,
>> x0=-5:10/6:5;
>> y0=1./(1+x0.^2);
>> x=-5:0.1:5;
>> y=lagrange(x0,y0,x);
>> y1=1./(1+x.^2);
>> plot(x,y1,'-k')
>> hold on
>> plot(x,y,'--h')
>>
(3)取n=8,
>> x0=-5:10/8:5;
>> y0=1./(1+x0.^2);
>> x=-5:0.1:5;
>> y=lagrange(x0,y0,x);
>> y1=1./(1+x.^2);
>> plot(x,y1,'-k')
>> hold on
>> plot(x,y,'--g')
>>
(4)取n=10,
>> x0=-5:1:5;
>> y0=1./(1+x0.^2);
>> x=-5:0.1:5;
>> y=lagrange(x0,y0,x);
>> y1=1./(1+x.^2);
>> plot(x,y1,'-k')
>> hold on
>> plot(x,y,'--m')
>>
(5)依次输入上述程序,将f(x)和取不同节点数的插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较。

3.实验结果:
(1)取n=4,
(2)取n=6,
(3)取n=8,
(4)取n=10,
(5)f(x)和取不同节点数的插值多项式的曲线在同一图形框内的比较
4.实验结论:
上述现象及结果告诉我们,在进行数值计算时,并不是插值多项式的次数越高(即插值节点越多),插值效果越好,精度也不一定随次数的提高而升高,这种现象称为Runge现象。

从数值计算上可解释为高次插值多项式的计算会带来舍入误差的增大,从而引起计算失真。

因此,实际应用做插值时一般只用一次、二次最多用三次插值多项式。

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