全等三角形的专题

全等三角形问题中常见的辅助线的作法

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造两条边之间的相等，两个角之间的相等。

1、添加辅助线的方法和语言表述

（1）作线段：连接……；

（2）作平行线：过点……作……∥……；

（3）作垂线（作高）：过点……作……⊥……，垂足为……；

（4）作中线：取……中点……，连接……；

（5）延长并截取线段：延长……使……等于……；

（6）截取等长线段：在……上截取……，使……等于……；

（7）作角平分线：作……平分……；作角……等于已知角……；

（8）作一个角等于已知角：作角……等于……。

2、全等三角形中的基本图形的构造与运用

（1）倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．

（2）截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。

①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段

（3）角平分线：以角平分线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形，利用的思维

模式是三角形全等变换中的“对折”。

①可以在角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

②可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

③可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

（4）一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。

(5)角含半角、等腰三角形的（绕顶点）旋转重合法：）图形补全：有一个角为60°或120°的，把该角添线后构成等边三角形。

一、倍长中线

1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，比较BE+CF与EF的大小.

二、截长补短

3、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC。

4：如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．

5、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证：

三、角平分线造全等

6、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证：

四、“K”字图、弦图、三垂图

由△ABE≌△BCD导出

BC=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD

五、旋转

（一）、含半角绕顶点旋转

如图，四边形ABCD是正方形，

方法：延长其中一个补角的线段（延长CD到E，使ED=BM ，连AE或

延长CB到F，使FB=DN ，连AF ）

结论：①MN=BM+DN②AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM

②翻折：

思路:分别将△ABM和△ADN以AM和AN 为对称轴翻折，但一定要证明M、P、N三点共线.（∠B+∠D=180°且AB=AD）

（二）、等腰三角形绕顶点旋转

①△ABE和△ACF均为等边三角形

结论：（1）△ABF≌△AEC；

（2）∠B0E=∠BAE=60°（“八字型”模型证明）；

（3）OA平分∠EOF

拓展：

条件：△ABC和△CDE均为等边三角形

结论：（1）、AD=BE（2）、∠ACB=∠AOB

（3）、△PCQ为等边三角形（4）、PQ∥AE

（5）、AP=BQ（6）、CO平分∠AOE（7）、OA=OB+OC （8）、OE=OC+OD（（7），（8）需构造等边三角形证明）

②条件：△ABD和△ACE均为等腰直角三角形

结论：（1）、BE=CD （2）BE⊥CD

③条件：ABEF和ACHD均为正方形

结论：（1）、BD⊥CF（2）、BD=CF

变形一：ABEF和ACHD均为正方形，AS⊥BC交FD于T，

求证：①T为FD的中点. ②

方法一：方法二：方法三：

变形二：ABEF和ACHD均为正方形，M为FD的中点，求证：AN⊥BC

练习巩固

1、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

2、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

3、已知：如图，是等边三角形，，求证：.

4、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

5、已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．

（1）当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．

（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；

（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．