工程光学(2).ppt

D
解:设OD=d, 则光线矢高为
h2 r2 (r d )2 d (2r d )
由几何关系可得入射光线和折射光线几何长度,
AE
h2
2
AD
h2 (l d )2
l2 2d (l r)
l
1
2d
(l
l2
r)
1/ 2
EA'
h2
2
DA'
h2 (l ' d )2
l '2 2d (l ' r)
nl
1
d
(l
r) l2
n
'l
' 1
d
(l
' r) l '2
nl
Hale Waihona Puke n'l'
n (l r) n ' (l ' r) 0
l
l'
n ' n n ' n l' l r
得到物像距公式, 且像点位置L'与d无关, 这表明物点A在傍轴条件下完
善成像于像点A'.
习题：
例1：物体放在凹面反射镜的何处，可产生大小与物体相等 的倒立实像？
从焦点A发出的光线经一次反射后通过焦点B的 诸光线具有相同的光程长。根据费马原理，经 表面任意一点反射的光路都是可能的,且光程为 稳定值。
此外，借助解析几何可以证明，任何光 线从一个焦点出发，经表面上任何一点反射 后必通过另一个焦点，其条件是入射角等于 反射角。
P
Q
A
O
B
习题：利用费马原理推导傍轴条件下 单球面折射成像的物像距关系．
l' l r
44
d
2 2
(L
x)2
根据费马原理，光程应取极值，即
x
2
d2
n2
B
dS dx
n1
x d12 x2
n2
Lx 0 d22 (L x)2
如图定义入射角和折射角，则光程取极值必有
即折射定律
dS dx
n1 sin1
n2 sin2
0
n1 sin1 n2 sin2
4.光程最大值的情况：
设有一凹面镜M。A和B是与轴等距的两点。
l
'
1
2d
(l
' r) l '2
1/ 2
考虑符号规则, 经E点折射的光程为
S( AEA') n( AE) n ' EA'
在傍轴近似下, d<<l, l'和 r, 进行泰勒展开并略去二阶无穷小量,有
AE
l
1
d
(l
r) l2
EA '
l
' 1
d
(l ' r) l '2
由物象之间的等光程性, 有 S(AEA') S(AOA') 成立, 即
证明：在各向同性均匀介质(折射率为常数)中，两点间的光程为
B
S A ndl nL
其中L为两点间光线的几何路径长度。 由于两点间直线距离最短，因此，两点间最短的光程就是连接两
点的直线。根据费马原理，显然光线是沿直线传播的。
2.光的反射定律：
证明：设光路为AQB，Q是反射面上任意 A 一点，则光程为
S n( AQ BQ)
从A点向反射面作垂线，并延长到D点，使 AC=CD。C点为垂足。显然，AQ=DQ，于 是光程
S n(DQ BQ)
由两点间直线距离最短，故最小光程对应的 Q点必位于D点和B点的连线上。因此光路必 定是APB，P点为直线BD与反射面的交点。
显然，P点必包含在A,C,D和B构成的平面 内，所以入射光线AP，反射光线PB，及法 线PN共面。其次，由于AP=DP，且DPB为 直线，故入射角等于反射角。证毕！
偏向角 (n 1) ，其中n是光楔的折射率。
例4：设光导纤维玻璃芯和外包层的折射率分别为n1和n2(n1>n2)， 垂直端面外的媒质的折射率为n0。试证明：能使光线在纤芯内发生 全反射的入射光束的最大孔径角满足
n0 sini n12 n22
（ n0 sini 称为纤维的数值孔径）。
1.光的直线传播定律：
l ' 2 l ' 2l
代入成像公式求得
l
1 1 2 l 3 r 3 (40)cm 30cm
l' l r
44
2) 放大两倍的虚像.
此时应有>0, l’与l 异号,物像虚实相反,因此
l ' 2 l ' 2l
l
代入成像公式求得
1 1 2 l 1 r 1 (40)cm 10cm
N
直线AB通过曲率中心并与轴垂直。试证明经一次 反射后从A到达B的光线，其光程比邻近的任何光 程都长。
M
A
n
证明：设P为顶点,经P点反射的光路光程为
C
P
SP n(AP PB)
Q
现通过P点，并以A和B为焦点作一椭圆N。
设Q为M上除P点外的任意一点,则经Q反射的光程 R
B
SQ n(AQ QB)
延长AQ交N于R点,并连接RB。由于椭圆上的点与两 焦点间线段长度之和为定值,即总有AP+PB=AR+RB,
基本定律的应用：
例1：在水中深度为y处有一发光点Q,作QO垂直于水面，求射出水 面折射光线的延长线与QO交点Q’的深度y’与入射角i的关系。
例2：证明：光线相继经过几个平行分界面的多层媒质时，出射光线 的方向只与两边的折射率有关，与中间各层媒质无关。
例3：顶角a很小的棱镜称为光楔。证明光楔使垂直入射的光线产生
解：由反射镜放大率公式 =y’/y=-l’/l=-1，
求得像距l’=l。代入反射镜成像公式求得
11 2lr l' l r
因此,物体应放在凹面反射镜的球心处.
例2：凹面反射镜的半径为40cm，物体放在何处可产生放大
两倍的实像？放在何处成放大两倍的虚像?
解: 1) 放大两倍的实像. 此时应有<0, l’与l 同号,物像虚实相同,因此
因此有，
SP n(AR RB) n AQ (QR RB) n(AQ QB) SQ
根据费马原理，APB为实际反射光路,且光程为极大值。 证毕。
5.光程恒定的情况：
考察内表面反射的椭圆反射器。设A和B为 椭圆的两个焦点,试证明光线经单次反射,从 A到B传播,其光程是一个不随反射点位置而 变化的稳定值。 证明：由于椭圆具有这样的特性：椭圆表面 上的任何一点与两焦点间线段长度之和为定 值，即总有AP+PB=AQ+QB成立。由此可见，
MC
D
B N
PQ
3.光的折射定律：
L
证明：设MN为折射率为n1和n2的两种各向
A
同性均匀介质的分界面。光线由 A点入射，在
N
n1
P点折射并前进到B点。令M和N分别表示从A 和B点在街面上的垂足，并设MN=L。设MP距
d1
离为x。则A到B的光程为
M
P 1
N
S n1 AP n2 PB
n1
d12 x2 n2