欧几里得空间知识题课

2. 学习欧氏空间,要抓住“内积”这个概念. 内积实际上是定义在线性空间V 上的二元实函数.它满足对称性、线性性、非负性.
注:同一个线性空间对不同的内积,所作成的欧氏空间一般是不同的.
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3.对有限维欧氏空间的讨论,标准正交基是核心,在标准正交基下,向量的度 量性质显得较为简单.
i1 j1
(3) (, )2 (, )( , ).即| (, ) || || | .
等号成立 , 线性相关.
关于标准正交基, 有:
(4) 正交向量组是线性无关的.
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5
(5) 1 ,2 ,
,
ห้องสมุดไป่ตู้
是标准正交基的
n
1, 当i j
( i , j ) 0, 当i j (i, j 1, 2, , n)
| 1
m
m1 m1 ( m1 ,i )i
i 1
m 1
1
| m1
| m1
(m 1, 2, , n 1)
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5. 正交变换与正交矩阵
设 是n维欧氏空间V的一个线性变换. 是正
交变换的刻化 :
1) 对 , V ,( ( ), ( )) ( , ); 2) 对 V ,都有 | ( ) || |; 3) 设1 , 2 , , n是V的标准正交基, 是正交 变换 (1 ), ( 2 ), , ( n )也是V的标准正交基; 4) 是正交变换 在任意标准正交基下的
)
(
n
,
n
)
, n下的坐标.
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(4) 标准正交基 由两两正交的单位向量组成的基.
(5) 正交子空间
V1 V1 , 恒有( , ) 0,
V1 V2 V1 , V2 , 恒有( , ) 0,
W的正交补：W { | V 且( ,W ) 0}
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(3) 度量矩阵
基1 , 2 ,
,
的度量矩阵
n
(1 ,1 )
A
(
aij )nn
(
2
,
1
)
(
n
,
1
)
(1 ,2 ) ( 2 , 2 )
( n , 2 )
与的内积可用矩阵表示:
( , ) X AY
其中X 和Y 分别是与 在基1 ,2 ,
(1 , n )
(
2
,
n
矩阵是正交阵.
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n级实数矩阵A是正交矩阵 AA E.
标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵;
设A (aij ),则A是正交矩阵
a1i a1 j a2i a2 j
1, 当i j, ani anj 0, 当i j.
ai1a j1 ai2a j2
1, i j aina jn 0, i j
(6) 欧氏空间的同构
V W W
同构映射保持运算(加法、数乘、内积)
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2. 基本性质 设V为欧氏空间,对于V的内积,有:
(1) 对于 V ,(, ) 0 0.
s
t
st
(2) ( kii , l j j )
ki l j (i , j ).
i 1
j1
在这个基下的矩阵是对角矩阵.
(7) 对n级实对称阵A, 都存在n级正交矩阵T，
使T AT T 1 AT为对角阵.
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二、基本解题方法
1. 欧氏空间是一个实数域上的线性空间, 对于线性空间的一些基本概念,比如 向量的线性相关性、基、维数、坐标、子空间以及有关性质,对欧氏空间都适用.
主要结论:
(1) 对称变换的特征值都是实数.
(2) 实对称矩阵的特征值都是实数.
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(3) 对称变换的属于不同特征值的特征向量必 正交 .
(4) 对称变换的属于不同特征值的特征子空间 必正交.
(5) 设A是实对称矩阵,则Rn中属于A的不同特 征值的特征向量必正交.
(6) 设 是对称变换,则存在标准正交基,使
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欧几里得空间习题课
基本内容 基本解题方法 例题选讲
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一、基本内容
1. 基本概念
(1) 内积与欧氏空间概念(4个条件) (2) 向量的长度、距离与夹角
长度： | | (,) 距离： d(, ) | | 夹角： , arccos ( , ) , 0 , .
| || |
A是正交矩阵 A的列向量组和行向量组都构成
Rn的标准正交基.
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6. 对称变换与对称矩阵
设 是n维欧氏空间V的一个线性变换. 是
对称变换的刻化 :
1) 对 , V ,( ( ), ) ( , ( )); 2) 是对称变换 在标准正交基下的矩阵
是对称矩阵.
n
(3) | |
xi 2
i 1
(4) , arccos
n
xi yi
i 1
n
n
xi2
yi 2
i 1
i 1
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n
(5) d( ) ( xi yi )2 i 1
4. 标准正交基的存在性与正交化方法
设
1
,
，
2
,
是一组基.正交化过程如下
n
:
1
1
| 1
4.用正交化方法求标准正交基,可以从一组基出发,先正交化,得正交基,再 单位化(即正交化与单位化分开进行).也可以在正交化过程中的每一步,将所得 的向量单位化(即标准化).
5.利用线性变换与矩阵的密切关系、内积、标准正交基来研究欧氏空间中 的两类重要的线性变换-正交变换和对称变换.
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即:1 ,2 ,
,
是标准正交基的
n
是它的度
量矩阵是单位矩阵.
3. 标准正交基下基本度量的表达式
设1 , 2 ,
则
, n是欧氏空间V的一个标准正交基,
n
n
xii , yii ,
i 1
i 1
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(1) xi ( ,i ) , (i 1, 2, , n)
n
(2) ( , ) xi yi i 1