欧几里得空间知识题课
欧几里得空间
第九章-欧几里得空间复习题一、判断题1、欧氏空间中两两正交的向量组是线性无关的.2、欧氏空间中保持向量夹角不变的线性变换一定是正交变换.3、两个正交矩阵的乘积一定是正交矩阵.4、n 维欧氏空间n R 的恒等变换，既是正交变换，也是对称变换.5、有限维欧氏空间不同的基的度量矩阵是合同的.6、欧氏空间中保持向量长度不变的变换必是正交变换.7、任意一个(1)n n ≥维欧氏空间都存在标准正交基.8、n 维欧氏空间V 的正交变换在V 的任一组基下的矩阵必是正交矩阵.9、设V 为欧氏空间，βαβα⊥∈,,V ，则222βαβα+=+.10、设V 为有限维欧氏空间，是V 上对称线性变换，1V 为的不变子空间，则⊥1V 也为的不变子空间.11、设1V ，2V 是欧氏空间V 的两个正交子空间，则{}021=V V .12、实对称矩阵A 的任意两个特征向量都正交.13.欧氏空间是定义了内积的线性空间.14.若实对称矩阵A 的特征值全不等于零，则A 必正定.15.若A 是实对称矩阵，则必存在正交矩阵P ，使B =P -1AP =P T AP 为以A 的特征值为对角元的对角矩阵.16.n 阶矩阵A 是正交矩阵的充要条件是||=1A .17.欧氏空间中的正交变换是保持向量内积不变的线性变换.18.与任意向量都正交的向量不一定是零向量.19.同构的两个欧氏空间具有相同的维数.20.对n 维欧氏空间V 中任意两个向量α，β，必有|(α,β)|≤|α|⋅|β|.21.任一n 维欧氏空间V 与R n 同构.22.n 维欧氏空间V 中一定存在某组基的度量矩阵是非正定的.23.设n 维欧氏空间V 的一组基的度量矩阵为A,则在这组基下向量的内积由A 完全确定.24.同一个线性空间对于不同内积构成不同欧氏空间.25.n 维欧氏空间V 中向量α与β正交当且仅当α与β的夹角为π/2.26.设V 为有限维欧氏空间,则V 中任意两个向量在标准正交基下的内积等于它们的对应分量的乘积之和.27.欧氏空间V 的正交变换是V 到自身的同构映射.28.对称变换在标准正交基下的矩阵一定是实对称矩阵.29.实对称矩阵A 的正、负惯性指数分别为正、负特征值的个数.30.任意n 元实二次型都可经过正交线性替换化为标准形.二、选择题1、设21,V V 是欧氏空间V 的两个子空间，则下列推断正确的是.A 、11)(V V =⊥⊥；B 、⊥⊥⊥=)(2121V V V V ；C 、121)(V V V =+⊥⊥⊥+2V ；D 、若21V V ⊂，则⊥⊥⊂21V V .2、设A 是一个n 级实对称矩阵，则下列结论正确的有.A 、A 的特征根都大于零；B 、A 的特征向量都正交；C 、A 一定有n 个不同的特征值；D 、一定存在正交矩阵T ，使AT T '为对角矩阵.3、设A 是n 级实对称矩阵，则下列结论正确是.A 、A 的特征值都是实数；B 、A 的特征向量都正交；C 、A 必有n 个不同的特征值；D 、A 的特征值必不为0.4、设{}R b a b a V ∈=,),(，V b b a a ∈==),(),,(2121βα，则下列定义的内积中使V 为欧氏空间.A 、1221),(b a b a +=βα；B 、1),(2211++=b a b a βα；C 、2211),(b a b a -=βα；D 、221153),(b a b a +=βα.5、设是n 维欧氏空间V 的一个线性变换，则是正交变换的充分必要条件是.A 、在任一组基下的矩阵是正交矩阵；B 、保持V 中元素的正交关系，即⇒⊥∈∀βαβα,,V ⊥αβ；C 、保持V 中的非零元素的夹角不变，即>=<<∈∀βαβα,,,V ,α>β；D 、如果n εεε,,,21 是标准正交基，那么,1ε,,2 εn ε也是标准正交基.6、)1(≥n n 维欧氏空间的标准正交基.A 、不存在；B 、存在不唯一；C 、存在且唯一；D 、不一定存在.7.设V 是n 维欧氏空间，则对V 的同一内积而言，不同基的度量矩阵之间的关系是.A 、等价；B 、相似；C 、合同；D 、以上说法都不对.8.以下关于正交变换说法错误的是.A 、正交变换保持n 维欧氏空间中的标准正交基不变；B 、正交变换保持向量间的距离不变；C 、正交变换在标准正交基下的矩阵为正交矩阵；D 、正交变换的逆变换不一定是正交变换.9.下列关于欧氏空间同构的说法正确的是.A 、设V ，V′都是n 维欧氏空间，则V 与V′同构；B 、数乘变换是欧氏空间V 到自身的同构映射；C 、若是线性空间V 到V′的同构映射，则也是欧氏空间V 到V′的同构映射；D 、若是欧氏空间V 到V′的一个映射，且保持线性运算，则是V 到V′的同构映射.10.设V 是n 维欧氏空间，则下列关于V 的标准正交基的说法错误的是.A 、标准正交基的度量矩阵是单位矩阵；B 、任意两组标准正交基之间的过渡矩阵是单位矩阵；C 、若ε1，ε2，…，εn 是V 的一组标准正交基，A 是正交矩阵，若(η1，η2，…，ηn)=(ε1，ε2，…εn)A ，则η1，η2，…，ηn 也是V 的一组标准正交基；D 、V 的标准正交基与它的任意一组基等价.11.设V 是n 维欧氏空间，α1，α2，…，αm 是V 中的正交向量组，则m 和n 满足.A 、m<n ；B 、m=n ；C 、m ≥n ；D 、m ≤n.12.若A,B 是正交矩阵，下列说法中错误的是.A.T A A =-1； B.11或－=A ；C.AB 不是正交阵； D.A 的列向量都是单位向量，且两两正交．13．设A 是n 阶正交阵，①1-A 也是正交阵；②1-=A ；③A 的列向量都是单位向量且两两正交；④A 的行向量组都是单位向量且两两正交.则以上说法正确的有.A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．三、综合题1.在R 4中求一单位向量与()()()3,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1---正交。
第九章 欧几里德空间
第九章 欧几里德空间§1基本知识§1. 1 基本概念 1、欧式空间： 2、向量的长度：3、向量之间的夹角：4、单位向量：5、向量的正交：6、度量矩阵：7、正交向量组：8、正交基与标准正交基： 9、正交矩阵：10、欧式空间的同构： 11、正交变换：12、子空间、子空间的正交与正交补： 13、内射影或正射影： 14、对称变换：15、向量之间的距离： 16、最小二乘法：§1. 2 基本定理定理1（正交组的性质定理）正交向量组一定是线性无关组.定理2 （标准正交基的存在性定理）对于n 维欧式空间中任意一组基n ααα,,,21 ，都可以找到一组标准正交基n εεε,,,21 ，使得：n r L L r r ,,2,1),,,,(),,,(2121 ==αααεεε定理3（有限维欧式空间同构的条件）两个有限维欧式空间同构的充分必要条件是：它们的维数相等.定理4（正交变换的等价条件）设σ是n 维欧式空间V 的一个线性变换，则如下条件等价（1）σ是正交变换；（2）σ保持向量的长度不变，即：V ∈∀=ααασ|,||)(|；（3）如果n εεε,,,21 是V 的一组标准正交基，则)(,),(),(21n εσεσεσ 也是V 的一组标准正交基；（4）σ在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
定理5如果子空间s V V V ,,,21 两两正交，那么：s V V V +++ 21是直和。
定理6（正交补存在性定理）n 维欧式空间V 的任何一个子空间1V 都有唯一的正交补。
定理7（实对称矩阵的性质定理）对于任意一个n 阶实对称矩阵A ，都存在一个n 阶正交矩阵P ，使得：AP P T 为对角矩阵。
§1. 3 基本性质1、欧式空间的性质：（1）零向量且仅有零向量与任何向量的内积为零；（2）对任何R a V ∈∈,,,ζηξ，有：),(),(),(ηζξζηξζ+=+；),(),(ηξηξa a =；（3）s j r i R b a V j i j i ,,2,1;,,2,1,,,, ==∈∈∀ηξ，有：∑∑∑∑=====r i sj j i j i j s j j i r i i b a b a 1111),(),(ηξηξ；（4）V ∈∀βα,，有：),)(,(),(2ββααβα≤，当且仅当βα,线性相关时，等号成立。
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(欧几里得空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品】
第9章欧几里得空间9.1复习笔记一、定义与基本性质1．欧几里得空间定义设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（α，β），它具有以下性质：（1）（α，β）＝（β，α）；（2）（kα，β）＝k（α，β）；（3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）；（4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0.这里α，β，r是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间．2．长度（1）定义非负实数称为向量α的长度，记为|α|．（2）关于长度的性质①零向量的长度是零，②|kα|＝|k||α|，③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1αα就是一个单位向量，通常称此为把α单位化．3．向量的夹角（1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有|（α，β）|≤|α||β|当且仅当α，β线性相关时，等号才成立．（2）非零向量α，β的夹角＜α，β＞规定为（3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，那么α，β称为正交或互相垂直，记为α⊥β．零向量才与自己正交．（4）勾股定理，即当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2．4．有限维空间的讨论（1）度量矩阵设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n），显然a ij＝a ji，于是利用矩阵，（α，β）还可以写成（α，β）＝X'AY，其中分别是α，β的坐标，而矩阵A＝（a ij）nn称为基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵．（2）性质①设η1，η2，…，ηn是空间V的另外一组基，而由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为C，即（η1，η2，…，ηn）＝（ε1，ε2，…，εn）C，于是基η1，η2，…，ηn的度量矩阵B＝（b ij）＝（ηi，ηj）＝C'AC；表明不同基的度量矩阵是合同的．②对于非零向量α，即有（α，α）＝X'AX＞0．因此，度量矩阵是正定的．二、标准正交基1．正交向量组欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组．按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组．2．标准正交基（1）定义在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基．说明：①对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基．②一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵．（2）标准正交基的求法①定理1n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基．②定理2对于n维欧氏空间中任意一组基ε1，ε2，…，εn，都可以找到一组标准正交基η1，η2，…，ηn，使L（ε1，ε2，…，εi）＝L（η1，η2，…，ηi），i＝1，2，…，n．定理2中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法称做施密特正交化过程．例：把α1＝（1，1，0，0），α3＝（－1，0，0，1），α2＝（1，0，1，0），α4＝（1，－1，－1，1）变成单位正交的向量组．解：①先把它们正交化，得β1＝α1＝（1，1，0，0），②再单位化，得3．基变换公式设ε1，ε2，…，εn与η1，η2，…，ηn是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A＝（a ij），即因为η1，η2，…，ηn是标准正交基，所以矩阵A的各列就是η1，η2，…，ηn在标准正交基ε1，ε2，…，εn下的坐标．4．正交矩阵n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A＝E．由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基．三、同构1．同构定义实数域R上欧式空间V与V'称为同构的，如果由V到V'有一个双射σ，满足（1）σ（α＋β）＝σ（α）＋σ（β），（2）σ（kα）＝kσ（α），（3）（σ（α），σ（β））＝（α，β），这里α，β∈V，k∈R，这样的映射σ称为V到V'的同构映射．同构的欧氏空间必有相同的维数．每个n维的欧氏空间都与R n同构．2．同构的性质同构作为欧氏空间之间的关系具有（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性；（4）两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同．.四、正交变换1．定义欧氏空间V的线性变换A称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对于任意的α，β∈V，都有（Aα，Aβ）＝（α，β）．2．性质。
第六章 欧几里得空间课程
NKU-LZH
2 正交向量组的性质
定理1 若n维向量 1, 2 , , r是一组两两正交的 非零向量, 1, 2 , , r 线性无关. 则
证明 设有 1 , 2 ,, r 使
11 2 2 r r 0
两端求α1的内积 1 1 ,1 2 1 , 2 r 1 , r 0
a a b b
f ( x), g ( x) f ( x) g ( x)dx
a
b
2.
g ( x) f ( x), h( x) ( g ( x) f ( x))h( x)dx
a
b
g ( x)h( x)dx f ( x)h( x)dx g ( x), h( x) f ( x), h( x)
1
, k
特别是，当 0,
是一个单位向量
定理1. 对于欧氏空间的任意两个向量α，β 恒有
, , ,
2
或者 ,
证明：若α,β线性相关，则有 α＝0,或者β＝0, 或者α＝k β 在上述情况下，容易证明题设的等号成立。 若α,β线性无关，则对于任意k R, 都有
k 0
k , k k , k 2 k , , , k 2 2 , k , 0 这是一个关于k的一元二次多项式，因为 , 0
上述不等式成立的条件是
4 ,
2
2
4 , , 0
第六章 欧几里得空间
NKU-LZH
内积的定义与性质 向量的模、单位向量 向量的夹角 正交组、标准正交组 正交基、标准正交基 施密特正交化方法 正交矩阵、正交变换
大学数学高数微积分第九章欧几里得空间第六节课件课堂讲解
再单位化，得
1
1, 2
1 ,0,0 , 2
2
1 , 6
1, 6
2 ,0 , 6
3
1, 12
1, 12
1, 12
3 . 12
这是属于三重特征值 1 的三个标准正交的特征向
量.
再求属于 -3 的特征向量. 得
用 = -3 代入 (4)
3x1 x2 x3 x4 0 ,
xx11x32x2
1x22 + 2y22 + 3z22 + d * = 0,
其中
d * d b1*2 b2*2 b3*2 .
1 2 3
例 3 把下列二次曲面的方程化为标准形，并
确定曲面的形状.
x2 y2 5z2 6xy 2xz 2yz 6x 6y 6z 10 0 .
解 方程中的二次型部分的矩阵为
单击这里求解
( 1)3( 3) .
所以 A 的特征值为：
1 2 3 1 , 4 3 .
其次，求属于 1 的特征向量.
把 = 1 代入
x1 x2 x3 x4 0 ,
x1 x1
x2 x3 x2 x3
x4 x4
0 0
, ,
(4)
x1 x2 x3 x4 0 ,
单击这里求解 求得基础解系为
1 2
(1,1,0,0) (1,0,1,0)
, ,
3 (1,0,0,1) .
把它正交化，得
1
1
(1 ,1
,0
,0)
,
2
2
(2 , 1) (1, 1)
1
1 2
,
1 2
,1,0
,
3
3
考研高数总复习第九章欧几里得空间第七节(讲义)
3.8a + b - 0.9 = 0 , 3.9a + b - 0.81 = 0 , 4.0a + b - 0.60 = 0 , 4.1a + b - 0.56 = 0 , 4.2a + b - 0.35 = 0
都成立.
实际上是不可能的.
任何 a , b 代入上面
各式都会发生些误差.
于是想找 a , b 使得上面各
第七节
向量到子空间的距离 最小二乘法
主要内容
定义 向量到子空间各向量间的最短距离 最小二乘法
一、定义
在解析几何中，两个点 和 间的距离等于向 量 - 的长度. 在欧氏空间中我们同样可引入长度 | - | 称为向量 和 的
定义 13
记为 d( , ) .
距离
不难证明距离的三条基本性质：
现在回到前面的例子，易知
3 .6 3 .7 3. 8 A 3 .9 4. 0 4 .1 4. 2
1 1 1 1 , 1 1 1
1.00 0.90 0.90 B 0.81 . 0.60 0.56 0.35
回忆矩阵乘法规则，上述一串等式可以写成矩阵相 乘的式子，即
1T C = 0 , 2T C = 0 , … , sT C = 0 .
而 1T , 2T , … , sT 按行正好排成矩阵 AT ，上述 一串等式合起来就是 AT(B - AX) = 0 ，
或
AT AX = AT B .
这就是最小二乘解所满足的代数方程，它是一个线 性方程组，系数矩阵是 ATA，常数项是 ATB. 线性方程组总是有解的. (参见第5章习题17) 这种
欧几里德空间知识点总结 (2)
AY
y1 y2 yn
A a ij
n n
,
X
Y
（4） 内积的简单性质 V为欧氏空间，
1)
, , V , k R
( , k ) k ( , ),
（2）
x 1 1 x 2 2 x n n y 1 1 y 2 2 y n n
f ( , )
n n
则
i1 j1
f i ,
j
xi y j X
T
AY
(3)设 1 , 2 , , n ; 1 , 2 , , n 为向量空间V的两组基， 双线性函数 f 在这两组基下的度量矩阵分别为A、B ， 则A与B 合同：
f ( x ) g ( x ) dx
a
b
f ( x ) dx
2
a
b
g ( x )d x
2
ii )
d ( , ) d ( , ) d ( , )
三角 不等式
例1、证明：在一个欧氏空间里，对于任意向量 , ,
以下列式子成立：
（P182习题2）
(2)求与下列向量都正交的单位向量
1 1, 1, 1, 1 , 2 1, 1, 1, 1 , 3 2 , 1, 1, 3
二、长度、夹角、距离、正交、不等式
长度
1) 2)
V ,
( , )
0;
0 0
1 2 m
0
所得的正交组，证明:
欧几里得空间习题
2)因为 A 正定，所以存在可逆矩阵 C 使 A CEC CC, 由1）知 C QT , 故 A T QQT T T
9.证明：正交矩阵旳实特征值为±1. 证：设 A为正交矩阵， 为 A 旳实特征值，
即 A , 取共轭转置得 A , 再右乘 A 有 AA 2 , 利用 AA E 得 2 , 因为 0, 所以 2 1,
i1 j1
nn
nn
aij xi x j ,
aij yi y j
i1 j1
i1 j1
故柯西—布涅科夫斯基不等式为
nn
nn
nn
aij xi yj
aij xi x j
aij yi y j
i1 j1
i1 j1
i1 j1
2. 设 1,2, ,n 是欧式空间旳一组基，证明： 1）假如 V 使 ( ,i ) 0(i 1, 2, , n), 那么 0 2）假如 1, 2 V 使对任一 V 有 (1, ) ( 2, )
A (1,2, ,n ) QT 若还有Q1,T1,使 A Q1T1 是 A 旳另一种分解，则 Q1T1 QT , 于是 Q11Q T1T 1 因为Q1,Q 为正交阵, 所以 Q11Q 也是正交阵, 从而 T1T 1 也是正交阵, 另一方面, T1T 1是上三角阵, 由7题知 T1T 1 是主对角线上元素为1或-1旳对角阵, 而 T1,T 旳主对角线元素为正，故 T1T 1 E 即 T1 T , 从而 Q1 Q.
3) 详细写出这个空间中旳柯西—布涅科夫斯基 不等式.
解：1)
(a).(, ) A A ( , )
(b).(k, ) (k ) A k( A ) k(, )
(c).( , ) ( ) A A A (, ) ( , )
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2
(3) 度量矩阵
基1 , 2 ,
,
的度量矩阵
n
(1 ,1 )
A
(
aij )nn
(
2
,
1
)
(
n
,
1
)
(1 ,2 ) ( 2 , 2 )
( n , 2 )
与的内积可用矩阵表示:
( , ) X AY
其中X 和Y 分别是与 在基1 ,2 ,
(1 , n )
(
2
,
n
在这个基下的矩阵是对角矩阵.
(7) 对n级实对称阵A, 都存在n级正交矩阵T，
使T AT T 1 AT为对角阵.
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12
二、基本解题方法
1. 欧氏空间是一个实数域上的线性空间, 对于线性空间的一些基本概念,比如 向量的线性相关性、基、维数、坐标、子空间以及有关性质,对欧氏空间都适用.
欧几里得空间习题课
基本内容 基本解题方法 例题选讲
1
一、基本内容
1. 基本概念
(1) 内积与欧氏空间概念(4个条件) (2) 向量的长度、距离与夹角
长度： | | (,) 距离： d(, ) | | 夹角： , arccos ( , ) , 0 , .
| || |
)
(
n
,
n
)
, n下的坐标.
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3
(4) 标准正交基 由两两正交的单位向量组成的基.
(5) 正交子空间
V1 V1 , 恒有( , ) 0,
V1 V2 V1 , V2 , 恒有( , ) 0,
W的正交补：W { | V 且( ,W ) 0}
即:1 ,2 ,
,
是标准正交基的
n
Hale Waihona Puke 是它的度量矩阵是单位矩阵.
3. 标准正交基下基本度量的表达式
设1 , 2 ,
则
, n是欧氏空间V的一个标准正交基,
n
n
xii , yii ,
i 1
i 1
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6
(1) xi ( ,i ) , (i 1, 2, , n)
n
(2) ( , ) xi yi i 1
| 1
m
m1 m1 ( m1 ,i )i
i 1
m 1
1
| m1
| m1
(m 1, 2, , n 1)
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8
5. 正交变换与正交矩阵
设 是n维欧氏空间V的一个线性变换. 是正
交变换的刻化 :
1) 对 , V ,( ( ), ( )) ( , ); 2) 对 V ,都有 | ( ) || |; 3) 设1 , 2 , , n是V的标准正交基, 是正交 变换 (1 ), ( 2 ), , ( n )也是V的标准正交基; 4) 是正交变换 在任意标准正交基下的
n
(3) | |
xi 2
i 1
(4) , arccos
n
xi yi
i 1
n
n
xi2
yi 2
i 1
i 1
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7
n
(5) d( ) ( xi yi )2 i 1
4. 标准正交基的存在性与正交化方法
设
1
,
，
2
,
是一组基.正交化过程如下
n
:
1
1
| 1
矩阵是正交阵.
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9
n级实数矩阵A是正交矩阵 AA E.
标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵;
设A (aij ),则A是正交矩阵
a1i a1 j a2i a2 j
1, 当i j, ani anj 0, 当i j.
ai1a j1 ai2a j2
1, i j aina jn 0, i j
i1 j1
(3) (, )2 (, )( , ).即| (, ) || || | .
等号成立 , 线性相关.
关于标准正交基, 有:
(4) 正交向量组是线性无关的.
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5
(5) 1 ,2 ,
,
是标准正交基的
n
1, 当i j
( i , j ) 0, 当i j (i, j 1, 2, , n)
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主要结论:
(1) 对称变换的特征值都是实数.
(2) 实对称矩阵的特征值都是实数.
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(3) 对称变换的属于不同特征值的特征向量必 正交 .
(4) 对称变换的属于不同特征值的特征子空间 必正交.
(5) 设A是实对称矩阵,则Rn中属于A的不同特 征值的特征向量必正交.
(6) 设 是对称变换,则存在标准正交基,使
2. 学习欧氏空间,要抓住“内积”这个概念. 内积实际上是定义在线性空间V 上的二元实函数.它满足对称性、线性性、非负性.
注:同一个线性空间对不同的内积,所作成的欧氏空间一般是不同的.
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3.对有限维欧氏空间的讨论,标准正交基是核心,在标准正交基下,向量的度 量性质显得较为简单.
A是正交矩阵 A的列向量组和行向量组都构成
Rn的标准正交基.
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6. 对称变换与对称矩阵
设 是n维欧氏空间V的一个线性变换. 是
对称变换的刻化 :
1) 对 , V ,( ( ), ) ( , ( )); 2) 是对称变换 在标准正交基下的矩阵
是对称矩阵.
(6) 欧氏空间的同构
V W W
同构映射保持运算(加法、数乘、内积)
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2. 基本性质 设V为欧氏空间,对于V的内积,有:
(1) 对于 V ,(, ) 0 0.
s
t
st
(2) ( kii , l j j )
ki l j (i , j ).
i 1
j1
4.用正交化方法求标准正交基,可以从一组基出发,先正交化,得正交基,再 单位化(即正交化与单位化分开进行).也可以在正交化过程中的每一步,将所得 的向量单位化(即标准化).
5.利用线性变换与矩阵的密切关系、内积、标准正交基来研究欧氏空间中 的两类重要的线性变换-正交变换和对称变换.
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