1.2热传导方程和定解条件(0)
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初始状态以及边界上的物理情况。
定解条件包括初始条件和边界条件。
初始条件：表征某过程“初始”时刻状态的条件。 对于弦振动问题来说，初始条件指的是弦
在“初始”时刻的位移和速度。
u |t0 (x), 初始位移
u t
|t 0
( x).
初始速度
7
边界条件：表征某过程的物理量在系统的边界上 所满足的物理条件。
1.1 弦振动方程与定解条件
给定一根两端固定且拉紧的均匀的柔 软的弦，其长度为L。在外力作用下在平衡 位置附近作微小的横振动，求弦上各点的 运动规律。
1
u
1
M1 M2
T0
T0
O x1 x2
2
lx
当弦不受外力作用时，应用牛顿第二定律，得
2u t 2
|
( x2
x1)
T0
2u x 2
其中 k(x, y, z) 称为物体在点 (x, y, z) 处的热传导 系数，为正值. 当物体为均匀且各向同性时，
k 为常数， n 为曲面 dS 沿热流方向的法线.
14
dQ k(x, y, z) u dSdt, n
为了导出温度 u 所满足的方程, 在物体G内任取
一闭曲面 , 它所包围的区域记作 , 则从时刻 t1
数，则相应的边界条件为
u x
|x0
2
(t).
非齐次边界
条件
9
3、第三类边界条件（鲁宾Robin）
若弦的一端（例如 x l ）固定在弹性支承上，
并且弹性支承的伸缩符合胡克定律. 若支承的位置
为u 0, 则u在端点的值表示支承在该点的伸长。
弦对支承拉力的垂直方向分量为
T0
u x
,
由胡克定律得
T0
u x
|xl
ku
|xl
.
u x
|xl
k T0
u
|xl
0.
因此在弹性支承的情形，边界条件归结为
10
因此在弹性支承的情形，边界条件归结为
(
u x
u)
|xl
0,
齐次边界条件
其中 k / T0 是已知正数.
在数学中也可以考虑更普遍的边界条件
根据定解条件的不同，定解问题又细分为：
初值问题或柯西（Cauchy）问题； 边值问题 混合问题或初边值问题；
12
1.2 热传导方程与定解条件
热传导现象： 如果空间某物体G内各处的温度 不同，则热量就从温度较高的点处向温度较 低的点流动。
一、下面先从物理G内的热传导问题出发来导出 热传导方程。
为此，我们用函数 u(x, y, z,t) 表示物体G
齐次边界条件
8
2、第二类边界条件（诺伊曼Neumann）
若弦的一端（例如 x 0 ）在垂直于 x 轴的直线
上自由滑动，且不受到垂直方向的外力，这种边界
成为自由边界. 根据边界微元右端的张力沿垂直方
向的分量是
T0
u x
，得出在自由边界时成立
u x
|x0
0.
齐次边界条件
若边界张力沿垂直方向的分量是t的一个已知函
到时刻 t2 经过曲面 流入区域 的热量为
Q1
[t2
t1
k u dS]dt, n
其中 u 表示 u 对曲面的外法向导数.
n
u u cos u cos u cos .
对于弦振动问题而言，有三种基本类型： 1、第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）
弦的一端的运动规律已知， 以 x 0 为例，若以
1(t) 表示其运动规律，则边界条件可以表达为
u |x0 1(t);
非齐次边界 条件
特别的，若 x 0 端被固定，则相应的边界条件为
u |x0 0.
其中a2 T0 , f (x,t) F (x,t) .
受到与弦垂直方向的力的作用时，弦运动为受迫振动。 5
弦振动方程中只含有两个自变量 x 和 t,
其中t 表示时间，x 表示位置。
由于它们描述的是弦的振动或波动现象， 因而又称它为一维波动方程。
类似地可导出二维波动方程（例如薄膜 振动）和三维波动方程（例如电磁波、 声波的传播），它们的形式分别为
|
( x2
x1).
消去 x2 x1, 并令x2 x1,
2u t 2
T0
2u x 2
.
2
u
1
M1 M2
T0
T0
O x1 x2
上式化为
2
lx
2u a2 2u ,
t 2
x 2
其中a2 T0 .
这个方程称为弦的自由横振动方程。
在上式推导过程中，出现的力是弦内的张力， 外力为零。
(
u x
u)
|xl
3
(t),
其中 3 (t) 是t的已知函数。
非齐次边界条件
11
两端固定的弦的自由振动问题
定 解 问
2u a2 2u ,
t 2
x 2
u |t0 (x),
u t
|t 0
( x).
题 u |x0 0, u |xl 0.
定解问题：由泛定方程和定解条件构成的问题
3
u
1
M1 M2
T0
2
T0
O x1 x2
lx
若还有外力作用到弦上，其方向垂直于 x 轴，
设其力密度(单位长度上弦受力)为 F(x,t),
由于弦段 (x1, x2) 很小，其上各点处的外力近似相等， 因此作用在该段上的外力近似地等于
F ( ,t)(x2 x1)(x1 x2 ). 4
2u t 2
a
2
(
2u x 2
2u y 2
)
f
(x,
y, t ),
2u t 2
a
2
(பைடு நூலகம்
2u x 2
2u y 2
2u z 2
)
f
(x,
y,
z, t ).
6
二、定解条件
对于一个确定的物理过程，仅建立表征该过程
的物理量 u 所满足的方程还是不够的，还要附加
一定的条件，这些条件应该恰恰足以说明系统的
u
1
M1 M2
T0
2
T0
O x1 x2
lx
同样应用牛顿第二定律，得
2u t 2
|
( x2
x1 )
T0
2u x 2
|
( x2
x1)
F (
, t)(x2
x1 ).
消去x2 x1,并令x2 x1,则得弦的强迫横振动方程
2u t 2
a2
2u x 2
f
( x, t ),
在位置 (x, y, z) 处及时刻 t 的温度。
13
热的传播按傅立叶（Fourier）实验定律进行：
物体在无穷小时段 dt 内流过一个无穷小面积
dS 的热量 dQ 与物体温度沿曲面 dS 法线方向 的方向导数 u 成正比，而热流方向与温度升高的
n
方向相反，即
dQ k(x, y, z) u dSdt, n
定解条件包括初始条件和边界条件。
初始条件：表征某过程“初始”时刻状态的条件。 对于弦振动问题来说，初始条件指的是弦
在“初始”时刻的位移和速度。
u |t0 (x), 初始位移
u t
|t 0
( x).
初始速度
7
边界条件：表征某过程的物理量在系统的边界上 所满足的物理条件。
1.1 弦振动方程与定解条件
给定一根两端固定且拉紧的均匀的柔 软的弦，其长度为L。在外力作用下在平衡 位置附近作微小的横振动，求弦上各点的 运动规律。
1
u
1
M1 M2
T0
T0
O x1 x2
2
lx
当弦不受外力作用时，应用牛顿第二定律，得
2u t 2
|
( x2
x1)
T0
2u x 2
其中 k(x, y, z) 称为物体在点 (x, y, z) 处的热传导 系数，为正值. 当物体为均匀且各向同性时，
k 为常数， n 为曲面 dS 沿热流方向的法线.
14
dQ k(x, y, z) u dSdt, n
为了导出温度 u 所满足的方程, 在物体G内任取
一闭曲面 , 它所包围的区域记作 , 则从时刻 t1
数，则相应的边界条件为
u x
|x0
2
(t).
非齐次边界
条件
9
3、第三类边界条件（鲁宾Robin）
若弦的一端（例如 x l ）固定在弹性支承上，
并且弹性支承的伸缩符合胡克定律. 若支承的位置
为u 0, 则u在端点的值表示支承在该点的伸长。
弦对支承拉力的垂直方向分量为
T0
u x
,
由胡克定律得
T0
u x
|xl
ku
|xl
.
u x
|xl
k T0
u
|xl
0.
因此在弹性支承的情形，边界条件归结为
10
因此在弹性支承的情形，边界条件归结为
(
u x
u)
|xl
0,
齐次边界条件
其中 k / T0 是已知正数.
在数学中也可以考虑更普遍的边界条件
根据定解条件的不同，定解问题又细分为：
初值问题或柯西（Cauchy）问题； 边值问题 混合问题或初边值问题；
12
1.2 热传导方程与定解条件
热传导现象： 如果空间某物体G内各处的温度 不同，则热量就从温度较高的点处向温度较 低的点流动。
一、下面先从物理G内的热传导问题出发来导出 热传导方程。
为此，我们用函数 u(x, y, z,t) 表示物体G
齐次边界条件
8
2、第二类边界条件（诺伊曼Neumann）
若弦的一端（例如 x 0 ）在垂直于 x 轴的直线
上自由滑动，且不受到垂直方向的外力，这种边界
成为自由边界. 根据边界微元右端的张力沿垂直方
向的分量是
T0
u x
，得出在自由边界时成立
u x
|x0
0.
齐次边界条件
若边界张力沿垂直方向的分量是t的一个已知函
到时刻 t2 经过曲面 流入区域 的热量为
Q1
[t2
t1
k u dS]dt, n
其中 u 表示 u 对曲面的外法向导数.
n
u u cos u cos u cos .
对于弦振动问题而言，有三种基本类型： 1、第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）
弦的一端的运动规律已知， 以 x 0 为例，若以
1(t) 表示其运动规律，则边界条件可以表达为
u |x0 1(t);
非齐次边界 条件
特别的，若 x 0 端被固定，则相应的边界条件为
u |x0 0.
其中a2 T0 , f (x,t) F (x,t) .
受到与弦垂直方向的力的作用时，弦运动为受迫振动。 5
弦振动方程中只含有两个自变量 x 和 t,
其中t 表示时间，x 表示位置。
由于它们描述的是弦的振动或波动现象， 因而又称它为一维波动方程。
类似地可导出二维波动方程（例如薄膜 振动）和三维波动方程（例如电磁波、 声波的传播），它们的形式分别为
|
( x2
x1).
消去 x2 x1, 并令x2 x1,
2u t 2
T0
2u x 2
.
2
u
1
M1 M2
T0
T0
O x1 x2
上式化为
2
lx
2u a2 2u ,
t 2
x 2
其中a2 T0 .
这个方程称为弦的自由横振动方程。
在上式推导过程中，出现的力是弦内的张力， 外力为零。
(
u x
u)
|xl
3
(t),
其中 3 (t) 是t的已知函数。
非齐次边界条件
11
两端固定的弦的自由振动问题
定 解 问
2u a2 2u ,
t 2
x 2
u |t0 (x),
u t
|t 0
( x).
题 u |x0 0, u |xl 0.
定解问题：由泛定方程和定解条件构成的问题
3
u
1
M1 M2
T0
2
T0
O x1 x2
lx
若还有外力作用到弦上，其方向垂直于 x 轴，
设其力密度(单位长度上弦受力)为 F(x,t),
由于弦段 (x1, x2) 很小，其上各点处的外力近似相等， 因此作用在该段上的外力近似地等于
F ( ,t)(x2 x1)(x1 x2 ). 4
2u t 2
a
2
(
2u x 2
2u y 2
)
f
(x,
y, t ),
2u t 2
a
2
(பைடு நூலகம்
2u x 2
2u y 2
2u z 2
)
f
(x,
y,
z, t ).
6
二、定解条件
对于一个确定的物理过程，仅建立表征该过程
的物理量 u 所满足的方程还是不够的，还要附加
一定的条件，这些条件应该恰恰足以说明系统的
u
1
M1 M2
T0
2
T0
O x1 x2
lx
同样应用牛顿第二定律，得
2u t 2
|
( x2
x1 )
T0
2u x 2
|
( x2
x1)
F (
, t)(x2
x1 ).
消去x2 x1,并令x2 x1,则得弦的强迫横振动方程
2u t 2
a2
2u x 2
f
( x, t ),
在位置 (x, y, z) 处及时刻 t 的温度。
13
热的传播按傅立叶（Fourier）实验定律进行：
物体在无穷小时段 dt 内流过一个无穷小面积
dS 的热量 dQ 与物体温度沿曲面 dS 法线方向 的方向导数 u 成正比，而热流方向与温度升高的
n
方向相反，即
dQ k(x, y, z) u dSdt, n