甘肃省天水市第一中学2020-2021学年高三上学期第一学段考试数学理科试题
2021届甘肃省天水市第一中学高三上学期第一次考试数学(理)试题
2020届甘肃省天水市第一中学高三上学期第一次考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()UA B ⋂=（ ）A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-2．已知平面向量(1,)a m =，(3,1)b =-，且()//a b b +，则实数m 的值为（ ）A ．13B ．13-C ．23D ．23-3．“2211og a og b <”是“11a b<”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S =（ ） A ．60B ．75C ．90D ．1055．已知函数y =f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=1，则f （-2）=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．如右图所示的图象对应的函数解析式可能是（ ）A ．()22xy x x e -= B ．2sin 41x xy x ⋅=+C ．ln x y x=D ．221x y x =--7．已知:p m R ∀∈，210x mx --=有解，0:q x N ∃∈，020210x x --≤则下列选项中是假命题的为（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．()p q ∨⌝8．同一平面上三个单位向量,,a b c 两两夹角都是23π，则a b -与a c +的夹角是( ) A ．3πB ．23π C ．12π D ．6π9．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足n m m n S S S ++=(m n ，N *∈）且15a =，则8a =（ ） A ．40B ．35C ．5D ．1210．已知函数()sin 33f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (0)>ω在区间3,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且在区间[0,2]π内恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是( ) A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．如图所示，O 为ABC ∆的外心，4AB =，2AC =，BAC ∠为钝角，M 为BC 边的中点，则AM AO ⋅的值为（ ）A ．B ．12C ．6D ．512．设定义在R 上的函数()f x ，满足()1f x >，()3y f x =-为奇函数，且()'()1f x f x +>，则不等式ln(()1)ln 2f x x ->-的解集为（ ）A ．()1,+∞B ．()(),01,-∞⋃+∞C ．()(),00,-∞⋃+∞D ．()0,∞+二、填空题13．已知112112322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，，，，，，，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0+∞，上递减，则a =____．14．将函数2sin3y x =的图象向左平移12π个单位长度得到()y f x =的图象，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为________．15．已知函数1(10)()1)x x f x x +-≤≤⎧=<≤则11()f x dx -⎰的值为____． 16．已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式223(5)n n n a λ--<-，对n N +∀∈恒成立，则整数λ的最大值为______．三、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =ABC S ∆=ABC ∆的周长. 18．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.19．如图，ABC 中，4AB BC ==， 90ABC ∠=︒，,E F 分别为 AB ，AC 边的中点，以EF 为折痕把AEF 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 P B BE =．（1）证明： BC ⊥平面 P BE ；（2）求平面 P BE 与平面 PCF 所成锐二面角的余弦值．20．已知()0,0A x ，()00,B y 两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1AB =，若动点(),P x y 满足23OP OA OB =+．()1求出动点P 的轨迹对应曲线C 的标准方程；()2一条纵截距为2的直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，若以PQ 直径的圆恰过原点，求出直线方程．21．已知函数2()2x f x e x a b =-++（x ∈R ）的图象在0x =处的切线为y bx =（e 为自然对数的底数） （1）求,a b 的值； （2）若k Z ∈，且21()(352)02f x x x k +--≥对任意x ∈R 恒成立，求k 的最大值. 22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是()sin ρθθ=射线:3OM πθ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 23．已知000a b c ＞，＞，＞，函数().f x a x x b c =-+++ (1)当1a b c ===时,求不等式()3f x ＞的解集； (2)当()f x 的最小值为3时,求111a b c++的最小值.参考答案1．A 【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-故选：A 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误. 2．B 【分析】先求出a b +的坐标，再由向量共线，列出方程，即可得出结果. 【详解】因为向量(1,)a m =，(3,1)b =-，所以(2,1)+=-+a b m ， 又()//a b b +，所以213(1)0-⨯++=m ，解得13m =-. 故选B 【点睛】本题主要考查由向量共线求参数的问题，熟记向量的坐标运算即可，属于常考题型. 3．D 【分析】由2211og a og b <可推出a b <，再结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】若2211og a og b <，则0a b <<，所以110a b>>，即“2211og a og b <”不能推出“11a b <”，反之也不成立，因此“2211og a og b <”是“11a b<”的既不充分也不必要条件. 故选D 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，熟记概念即可，属于基础题型.4．B 【分析】由条件，利用等差数列下标和性质可得5253a =，进而得到结果. 【详解】3482585325a a a a a a a ++=++==，即5253a =，而19959()25997523a a S a +===⨯=，故选B . 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查运算能力与推理能力，属于中档题. 5．D 【解析】∵()y f x x =+是偶函数 ∴()()f x x f x x +=--当2x =时，()()2222f f +=--，又()21f = ∴()25f -= 故选D 6．A 【分析】根据图像判断函数的定义域可排除B,C 选项，对于选项D 分析函数值的正负可得出错误，对选项A 可通过求导，求出单调区间，极值，函数值的正负，可判断正确. 【详解】选项A ：()22,(2)(2x x xy x e x x e e x y x '-==-=，令0,(,(2,),0y x x x y ''===∈-∞+∞>，(0x y '∈<，函数的单调递增区间是(,)-∞+∞，单调递减区间是(，函数的极大值点为，，函数的零点为0,2，(,0)(2,),0x y ∈-∞+∞>，(0,2),0x y ∈<，故选项A 满足题意；选项B ：函数定义域为11(,)(,)44-∞-+∞，不合题意； 选项C ：函数的定义域为(0,)+∞，不合题意； 选项D ：当31,02x y =-=-<时，不合题意. 故选:A 【点睛】本题考查了函数的图像和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与值域的图像特征，是综合性题目. 7．B 【分析】分别判断p 、q 命题的真假，然后判断选项即可. 【详解】∵2m 40∆=+>恒成立，∴对m R ∀∈，210x mx --=有解．所以p 是真命题.取00x N =∈，满足020210x x --≤，∴q 也是真命题.∴()p q ∧⌝是假命题，故选B ．【点睛】本题考查简单命题以及复合命题真假的判断，属于基础题. 8．D 【分析】根据向量的数量积，可得a b -，a c +，然后利用向量的夹角公式，可得结果. 【详解】 由21cos32a b a b π==- 21cos 32a c a c π==-,所以3a b -=,1a c =+,则()2()a a c a a b b a c b c ⋅=+⋅-⋅--+⋅ 所以()()a b a c ⋅-+112111cos 223π=+--⨯⨯即()13()122a b a c ⋅==-++. 设a b -与a c +的夹角为θ,则()3()2cos 3a b a c a b a cθ⋅===⨯⋅-+-+, 又0θπ≤≤,所以a b -与a c +的夹角为6π. 故选：D . 【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，属基础题. 9．C 【分析】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m ∈N *）且a 1=5，令m=1，可得S n+1=S n +S 1，可得a n+1=5．即可得出． 【详解】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m ∈N *）且a 1=5， 令m=1，则S n+1=S n +S 1=S n +5．可得a n+1=5． 则a 8=5． 故选C ． 【点睛】本题考查了数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．B 【分析】由三角函数恒等变换的应用化简得可得()2sin (0)f x x ωω=>,,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数含原点的递增区间，结合已知可得3,,2242ππππωω⎡⎤⎡⎤-⊇-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，可解得203ω<≤，又函数在区间[0,2]π上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得3242ππω⨯≤，得14ω≥ ，进而得解． 【详解】()sin 33f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin (0)x ωω=>∴,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数含原点的递增区间． 又∵函数在3,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增， ∴3,,2242ππππωω⎡⎤⎡⎤-⊇-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ∴得不等式组：324ππω-≤-，且22ππω≤， 又∵0>ω， ∴203ω<≤， 又函数在区间[0,2]π上恰好取得一次最大值， 根据正弦函数的性质可知1224ππω⨯≤且5224ππω⨯> 可得15,44ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．综上：12,43ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于中档题． 11．D 【分析】取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥ ，所求AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅ ，由数量积的定义可得||,||AD AO AD AE AO AE ⋅=⋅= ，代值即可．【详解】如图所示，取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥， ∵M 是边BC 的中点，∴1()2AM AB AC =+ . 11AM ()()22AO AB AC AO AB AO AC AO AD AO AE AO ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅，由数量积的定义可得cos ,AD AO AD AO AD AO ⋅= ，而||cos ,||AO AD AO AD <>= ，故222||4||422AB AD AO AD ⎛⎫⎛⎫⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；同理可得222||2||122AC AE AO AE ⎛⎫⎛⎫⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故415AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅=+=. 故选D ．【点睛】本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题． 12．D 【解析】分析：构造函数g （x ）=e x f （x ）+e x ，（x ∈R ），求函数的导数，研究g （x ）的单调性，将不等式进行转化求解即可．详解：设g （x ）=e x f （x ）-e x ，（x ∈R ），则g′（x ）=e x f （x ）+e x f′（x ）-e x =e x [f （x ）+f′（x ）-1]，∵f （x ）+f′（x ）＞1，∴f （x ）+f′（x ）+1＞0，∴g′（x ）＞0，∴y=g （x ）在定义域上单调递增，不等式ln （f （x ）-1）＞ln2-x等价为不等式ln[f （x ）-1]+x ＞ln2，即为ln[f （x ）-1]+lne x ＞ln2，即e x （f （x ）-1）＞2，则e x f （x ）-e x ＞2，∵y=f （x ）-3为奇函数，∴当x=0时，y=0，即f （0）-3=0，得f （0）=3，又∵g （0）=e 0f （0）-e 0=3-1=2，∴e x f （x ）-e x ＞2等价为g （x ）＞g （0），∴x ＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）， 故选D ．点睛：本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，综合性较强，有一定的难度． 13．-1 【分析】由幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a 是奇数，且a ＜0，由此能求出a 的值． 【详解】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣1122，，1，2，3}，幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减， ∴a 是奇数，且a ＜0， ∴a=﹣1． 故答案为﹣1． 【点睛】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14． 【分析】根据三角函数图像变换法则可得()2sin 34y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,进而求值即可 【详解】由题意,()2sin 32sin 3124y f x x x ππ⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当3x π=时,2sin 32sin 3344f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故答案为： 【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查三角函数值的计算 15．124π+ 【分析】由函数()f x的解析式，得到111()(1)f x dx x dx --=++⎰⎰，即可求解.【详解】由题意，根据函数1(10)()1)x x f x x +-≤≤⎧=<≤，可得111()(1)f x dx x dx --=++⎰⎰201112424x x ππ-⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中解答中根据函数的解析式，利用微积分基本定理，得到11()f x dx -⎰，然后利用定积分求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 16．4 【详解】当1n =时，21122S a =-，得14a =，当2n ≥时，122nn n S a -=-， 又122n n n S a +=-，两式相减得1222nn n n a a a -=--，得122nn n a a -=+，所以11122n n n n a a ---=． 又1122a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列，12nn a n =+，即(1)2n n a n =+⋅． 因为0n a >，所以不等式223(5)n n n a λ--<-，等价于2352nn λ-->． 记122311,,224n nn b b b -==-=， 2n ≥时，112121223462n n nnn b n n b n ++--==--． 所以3n ≥时，11,n nb b +< 综上，max 33()8n b b ==，所以33375,5888λλ-><-=，所以整数λ的最大值为4． 考点：1．数列的通项公式；2．解不等式． 17．（1）3C π=（2）5【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C （2）11sin 6222∆=⇒=⋅⇒=ABC S ab C ab ab 又2222cos +-=a b ab C c2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为5+考点：正余弦定理解三角形.18．（1）；（2）详分布列见解析，35. 【分析】（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可知1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知1(3,)5XB ，分别求得00331464(0)()()55125P XC ===；11231448(1)()()55125P X C ===；22131412(2)()()55125P X C ===；3303141(3)()()55125P X C ===，即可知的概率分布及其期望. 【详解】（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝， 1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝， 2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝， 由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥， 且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12CB B =+， ∵142()105P A ==，251()102P A ==， ∴11212211()()()()525P B P A A P A P A ===⨯=，2121212121212()()()()()(1())(1())()P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A =+=+=-+-21211(1)(1)52522=⨯-+-⨯=， 故所求概率为1212117()()()()5210P C P B B P B P B =+=+=+=；（2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15， ∴1(3,)5XB ，于是00331464(0)()()55125P X C ===；11231448(1)()()55125P X C ===；22131412(2)()()55125P X C ===；3303141(3)()()55125P X C ===，故的分布列为的数学期望为13()355E X =⨯=. 考点：1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望. 【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.19．（1）见解析；（2 【分析】（1）由E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，可得EFBC ，由已知结合线面垂直的判定可得EF ⊥平面PBE ，从而得到BC ⊥平面PBE ；（2）取BE 的中点O ，连接PO ，由已知证明PO ⊥平面BCFE ，过O 作OM BC 交CF 于M ，分别以OB ，OM ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PCF 与平面PBE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值． 【详解】（1）因为,E F 分别为AB ，AC 边的中点， 所以EFBC ，因为90ABC ∠=︒，所以EF BE ⊥，EF PE ⊥， 又因为BE PE E ⋂=， 所以EF ⊥平面PBE ， 所以BC ⊥平面PBE ．（2）取BE 的中点O ，连接PO ，由（1）知BC ⊥平面PBE ，BC ⊂平面BCFE ， 所以平面PBE ⊥平面BCFE ， 因为PB BE PE ==， 所以PO BE ⊥，又因为PO ⊂平面PBE ，平面PBE ⋂平面BCFE BE =， 所以PO ⊥平面BCFE ， 过O 作OMBC 交CF 于M ，分别以OB ，OM ，OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(P ，()1,4,0C ，()1,2,0F -．(1,4,PC =，(1,2,PF =-，设平面PCF 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,PC m PF m ⎧⋅=⎨⋅=⎩即40,20,x y x y ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩ 则()1,1,m =-，易知()0,1,0n =为平面PBE 的一个法向量，cos<,m n >===， 所以平面PBE 与平面PCF【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，两半平面所成的二面角与面的法向量之间所成的角相等或互补，主要通过题意或图形来确定最后结果.20．（1）22143x y +=（2）y 2=+【分析】（1）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程．（2）直线l 1斜率必存在，且纵截距为2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出k 的值，问题得以解决． 【详解】(1) 因为23OP OA OB =+即()())()0000,2,00,2x y x y x ==所以002,3x x y y == 所以001,2x x y y == 又因为1AB =,所以22001x y +=即:221123x y ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即22143x y += 所以椭圆的标准方程为22143x y +=(2) 直线1l 斜率必存在，且纵截距为2,设直线为2y kx =+联立直线1l 和椭圆方程222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得: ()22341640kxkx +++=由>0∆,得214k >()* 设()()112,2,,P x y Q x y 以PQ 直径的圆恰过原点 所以OP OQ ⊥,•0OP OQ = 即12120x x y y +=也即()()1212220x x kx kx +++= 即()()212121240kx xk x x ++++= 将(1)式代入,得()2224132403434k kk k+-+=++ 即()()22241324340kk k +-++=解得243k =,满足（*）式，所以k =所以直线23y x =±+ 21．(1)a=-1,b=1;(2)-1. 【解析】（1）对()f x 求导得()2xf x e x '=-，根据函数()f x 的图象在0x =处的切线为y bx =，列出方程组，即可求出,a b 的值；（2）由（1）可得()21xf x e x =--，根据()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立，等价于215122x k e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立，构造()215122x h x e x x =+--，求出()h x '的单调性，由()00h '<，()10h '>，102h ⎛⎫< ⎪⎭'⎝，304h ⎛⎫> ⎪⎭'⎝，可得存在唯一的零点013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，利用单调性可求出()()0min h x h x =，即可求出k 的最大值. （1）()22xf x e x a b =-++，()2xf x e x '=-.由题意知()()01201011f a b a f b b ⎧=++==-⎧⎪⇒⎨⎨==='⎪⎩⎩. （2）由（1）知：()21xf x e x =--，∴()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立 2151022x e x x k ⇔+---≥对任意x R ∈恒成立215122x k e x x ⇔≤+--对任意x R ∈恒成立.令()215122x h x e x x =+--，则()52xh x e x ='+-.由于()'10xh x e +'=>，所以()h x '在R 上单调递增.又()3002h =-<'，()3102h e =->'，121202h e ⎛⎫=-< ⎪'⎝⎭，343737104444h e ⎛⎫=->+-⎪'= ⎝⎭，所以存在唯一的013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，且当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '>. 即()h x 在()0,x -∞单调递减，在()0,x +∞上单调递增.所以()()02000min 15122xh x h x e x x ==+--. 又()00h x '=，即00502xe x +-=，∴0052x e x =-.∴ ()()2200000051511732222h x x x x x x =-+--=-+. ∵ 013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴ ()0271,328h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.又因为215122xk e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立()0k h x ⇔≤， 又k Z ∈，∴ max 1k =-.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 22．（1）2cos ρθ=；（2）2 【分析】（1）先由圆的参数方程消去参数，得到圆的普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出圆的极坐标方程；（2）由题意，先设,P Q 两点的极坐标为：1(,)ρθP ，2(,)ρθQ ，将3πθ=代入直线l 的极坐标方程，得到2ρ；将3πθ=代入圆的极坐标方程，得到1ρ，再由12ρρ=-PQ ，即可得出结果. 【详解】（1）因为，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），消去参数可得：()2211x y -+=；把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入()2211x y -+=，化简得：2cos ρθ=，即为此圆的极坐标方程；（2）设,P Q 两点的极坐标为：1(,)ρθP ，2(,)ρθQ ，因为直线l 的极坐标方程是()sin ρθθ=:3OM πθ=，将3πθ=代入()sin ρθθ=12ρ⎫=⎪⎪⎝⎭，即23ρ=； 将3πθ=代入2cos ρθ=得12cos13πρ==，所以122PQ ρρ=-=．【点睛】本题主要考查圆的参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标下的两点间距离，熟记公式即可，属于常考题型.23．（1）{|11}x x x <->或；（2）3【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）先用绝对值不等式的性质求出最小值为a +b +c ＝3，然后用基本不等式可得．【详解】（1）()111f x x x =-+++，∴1123x x ≤-⎧⎨->⎩或1133x -<<⎧⎨>⎩或1213x x ≥⎧⎨+>⎩， 解得{|11}x x x 或-.（2）f x x a x b c =-+++ a x x b c a b c ≥-+++=++ 3a b c =++=， ()11111113a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 133b a c a c b a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()1322233≥+++=. 当且仅当1a b c ===时取得最小值3.【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
甘肃省天水一中2020届高三数学上学期第一阶段考试试题理[含答案]
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甘肃省天水一中2020届高三数学上学期第一阶段考试试题 理（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集，集合，，则（{}1,0,1,2,3U =-{}0,1,2A ={}1,0,1B =-U C A B ⋂=（））A ．B ．C ．D ．{}1-{}0,1{}1,2,3-{}1,0,1,3-2．已知平面向量，且，则实数的值为（ ）a =(1,m)b =(‒3,1)(2a +b )//b m A ． B ． C ． D ．13‒1323‒233．“”是“”的 2211og a og b <11a b <()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在等差数列中，为其前项和，若，则（ ）{a n }S n n a 3+a 4+a 8=25S 9=A ．60 B ．75 C ．90 D ．1055．已知函数y =f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=1，则f （-2）=（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．如右图所示的图象对应的函数解析式可能是A ． B ．221x yx=--2sin 41x xy x ⋅=+C ．D ．ln xy x=()22e x y x x =-7．已知，有解，，则下列选项中是假命p:∀m ∈R x 2‒mx ‒1=0q:∃x 0∈N x 02‒2x 0‒1≤0题的为（ ）A ．B ．C ．D ．p ∧q p ∧(¬q)p ∨q p ∨(¬q)8．平面上三个单位向量两两夹角都是，则与夹角是（ ）a ,b ,c 23πa ‒b a +c A ．B ．C ．D ．3π23π12π6π9．已知数列的前项和满足( ）且，则（{a n }n S n S n +S m =S m +n m ， n ∈N ∗a 1=5a 8=）A ．B ．C ．D ．403551210．已知函数在区间上单调，且在区f(x)=sin (ωx +π3)‒3cos (ωx +π3)(ω>0)[‒3π4,π2]间内恰好取得一次最大值2，则的取值范围是( )[0,2π]ωA ．B ．C ．D ．(0,23][14,23](0,34][14,34]11．如右图所示，为的外心，，，O ABC ∆4AB =2AC=为钝角，为边的中点，则的值为（ ）BAC ∠M BC AM ⋅AOA ．．12 C ．6 D ．512．设定义在上的函数，满足，为奇函数，且，R f(x)f(x)>1y =f(x)‒3f(x)+f'(x)>1则不等式的解集为（ ）ln(f(x)‒1)>ln 2‒x A ． B ． C ． D ．(1,+∞)(‒∞,0)∪(1,+∞)(‒∞,0)∪(0,+∞)(0,+∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，若幂函数为奇函数，且在α∈{‒2 ， ‒1 ， ‒12 ， 12 ， 1 ， 2 ， 3}f (x )=x a上递减，则____．(0 ， +∞)a =14．将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则的值为y =2sin3x π12y =f(x)f(π3)．15．已知函数则的值为____．1(10)()1)x x f x x +-≤≤⎧=<≤11()f x dx -⎰16．已知数列的前项和，若不等式对{a n }n S n =2a n ‒2n +12n 2‒n ‒3<(5‒λ)a n 恒成立，则整数的最大值为______．∀n ∈N +λ三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17．（12分）的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △2cos (cos cos ).C a B+b A c =（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若，求的周长．c ABC △=ABC △18．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.19．（12分）如图， 中，，，分别为，ABC △4AB BC == 90ABC ∠=︒,E FAB 边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．AC EF ΔAEF A P P B BE =（1）证明：平面；B C ⊥ P BE （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．P BE PCF 20．（12分）已知，两点分别在x 轴和y 轴上运动，且，若()0,0A x ()00,B y 1AB =动点满足(),P x y OP =2OA 求出动点P 的轨迹对应曲线C 的标准方程；()1一条纵截距为2的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，若以PQ 直径的圆恰过原点，求出()21l 直线方程．21．（12分）已知函数（）的图象在处的切线为()22xf x e x a b =-++x R ∈0x =（为自然对数的底数）y bx =e （1）求的值；,a b （2）若，且对任意恒成立，求的最大值.k Z ∈()()2135202f x x x k +--≥x R ∈k (二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（10分）在直角坐标系中，圆的参数方程（为参数）．以x y O C 1{ x cos y sin ϕϕ=+=ϕ为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．O x （1）求圆的极坐标方程；C（2）直线的极坐标方程是，射线 与圆的交点为、l 2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:OM 3πθ=C O ，与直线的交点为，求线段的长．P l Q Q P 23．（10分）已知函数000a b c ＞，＞，＞，().f x a x x b c =-+++(1)当时,求不等式的解集；1a b c ===()3f x ＞(2)当的最小值为3时,求的最小值.()f x 111a b c ++天水一中2020届2019—2020学年度第一学期第一次考试数学理科试题答案1．A 【解析】【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】，则={1,3}U C A -(){1}U C A B =- 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2．B 【解析】,选B.(2a +b )//b ⇒(‒1,2m +1)//(‒3,1)⇒‒3(2m +1)=‒1⇒m =‒133．D 【解析】【分析】由可推出，再结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.2211og a og b <a b <【详解】若，则，所以，即“”不能推出“2211og a og b <0a b <<110a b >>2211og a og b <”，反之也不成立，因此“”是“”的既不充分也不必要条件.11a b <2211og a og b <11a b <故选D 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，熟记概念即可，属于基础题型.4．B 【解析】，即 ，而a 3+a 4+a 8=a 2+a 5+a 8=3a 5=25a 5=253 ，故选B.S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5=9×253=755．D 【解析】∵是偶函数y =f (x )+x ∴f (x )+x =f (‒x )‒x当时，，又x =2f (2)+2=f (‒2)‒2f (2)=1∴f (‒2)=5故选：D 6．D【解析】对于，∵，当趋向于时，函数趋向于0，A 221x yx =--x -∞2x y =趋向于21y x =++∞∴函数的值小于0，故排除221x yx =--A对于，∵是周期函数B sin y x =∴函数的图像是以轴为中心的波浪线，故排除2sin 41x xy x ⋅=+x B对于， ∵的定义域是，且在时， C ln xy x=()()0,11,⋃+∞()0,1x ∈ln 0x <∴，故排除0ln xy x=<C 对于，∵函数，当时，；当时，D ()22211y x x x =-=--0,1x x 0y >01x <<；且恒成立0y <0xy e =>∴的图像在趋向于时， ； 时， ； 趋向于()22x y x x e =-x -∞0y >01x <<0y <x 时， 趋向于+∞y +∞故选D点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞不合题意的选项一一排除.7．B 【解析】试题分析：∵，∴是真命题，取，满足，∴也p x 0=0∈N x 20‒2x 0‒1≤0q 是真命题，∴是假命题，故选B ．p ∧(¬q)考点：命题真假判断．8．D【解析】 由题意得，向量为单位向量，且两两夹角为，,,a b c 23π则，1a b c -==且()()222213111cos 11cos 11cos 133322a b a c a a c a b b c πππ-⋅+=+⋅-⋅-⋅=+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=+=，所以与的夹角为，且，a b - a c + ()()cos a b a c a b a cθ-⋅+===-⋅+0θπ≤≤ 所以与的夹角为，故选D.a b -a c +6π9．C 【解析】【分析】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m∈N *）且a 1=5，令m=1，可得S n+1=S n +S 1，可得a n+1=5．即可得出．【详解】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m∈N *）且a 1=5，令m=1，则S n+1=S n +S 1=S n +5．可得a n+1=5．则a 8=5．故选：C ．【点睛】本题考查了数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．B 【解析】【分析】由三角函数恒等变换的应用化简得f （x ）=2sinωx 可得[﹣，]是函数含原点(ω>0)π2ωπ2ω的递增区间，结合已知可得[﹣，]⊇[]，可解得0＜ω≤，又函数在区间π2ωπ2ω‒3π4,π223[0，2π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得 ，得 ，14×π2ω≤2πω≥14进而得解．【详解】=2sinωx ，f(x)=sin (ωx +π3)‒3cos (ωx +π3)(ω>0)∴[﹣，]是函数含原点的递增区间．π2ωπ2ω又∵函数在[]上递增，‒3π4,π2∴[﹣，]⊇[]，π2ωπ2ω‒3π4,π2∴得不等式组：﹣≤，且≤，π2ω‒3π4π2π2ω又∵ω＞0，∴0＜ω≤ ，23又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知 且 14×π2ω≤2π54×π2ω>2π可得ω∈[，．综上：ω∈1454)[14,23]故选：B ．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于中档题．11．D 【解析】【分析】取的中点，且为的外心，可知 ，所求AB,AC ,D E O ABC ∆OD AB,OE AC ⊥⊥ ，由数量积的定义可得AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅，代值即可．,AD AO AD AE AO AE⋅=⋅= 【详解】如图所示，取的中点，且为的外心，可知，AB,AC ,D E O ABC ∆OD AB,OE AC ⊥⊥∵是边的中点，∴ .M BC 1()2AM AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，11AM ()()22AO AB AC AO AB AO AC AO AD AO AE AO⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅由数量积的定义可得，cos ,AD AO AD AO AD AO⋅=而 ，故；cos ,AO AD AO AD =2224||422AB AD AO AD ⎛⎫⎛⎫ ⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 同理可得 ，2222||122AC AE AO AE ⎛⎫⎛⎫⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故.415AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅=+=故选：D ．【点睛】本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题．12．D【解析】分析：构造函数g（x）=e x f（x）+e x，（x∈R），求函数的导数，研究g（x）的单调性，将不等式进行转化求解即可．详解：设g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x=e x[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）+1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，不等式ln（f（x）-1）＞ln2-x等价为不等式ln[f（x）-1]+x＞ln2，即为ln[f（x）-1]+lne x＞ln2，即e x（f（x）-1）＞2，则e x f（x）-e x＞2，∵y=f（x）-3为奇函数，∴当x=0时，y=0，即f（0）-3=0，得f（0）=3，又∵g（0）=e0f（0）-e0=3-1=2，∴e x f（x）-e x＞2等价为g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：D．点睛：本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，综合性较强，有一定的难度．13．-1【解析】【分析】由幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a 是奇数，且a ＜0，由此能求出a 的值．【详解】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，12，12幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a 是奇数，且a ＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14．‒2【解析】【分析】先由平移得f(x)的解析式，再将代入解析式求值即可π3【详解】f(x)=2sin3(x+=2sin(3x+,则π12)π4)f(π3)=2sin5π4=‒2故答案为‒2【点睛】本题考查图像平移，考查三角函数值求解，熟记平移原则，准确计算是关键，是基础题15．124π+【解析】【分析】由函数的解析式，得到，即可求解.()fx 111()(1)f x dx x dx --=++⎰⎰【详解】由题意，根据函数，1(10)()1)x x f x x +-≤≤⎧=<≤可得.111()(1)f x dx x dx --=++⎰⎰201112424x x ππ-⎛⎫=++=+⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中解答中根据函数的解析式，利用微积分基本定理，得到，然后利用定积分求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答11()f x dx-⎰问题的能力，属于基础题.16．4【解析】试题分析：当时，得，；n =1S 1=2a 1‒22a 1=4S n =2a n ‒2n +1当时，，两式相减得，得，所n ≥2S n ‒1=2a n ‒2n a n =2a n ‒2a n ‒1‒2n a n =2a n ‒1+2n以．a n 2n ‒a n ‒12n ‒1=1又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，，即a 121=2{a n 2n }a n2n=n +1．a n =(n +1)•2n 因为，所以不等式，等价于．a n >02n 2‒n ‒3<(5‒λ)a n 5‒λ>2n ‒32n记，时，．所以时，b n =2n ‒32n n ≥2b n +1b n=2n ‒12n +12n ‒32n=2n ‒14n ‒6n ≥3．b n +1b n<1,(b n )max =b 3=38所以，所以整数的最大值为4．5‒λ>38,λ<5‒38=378λ考点：1．数列的通项公式；2．解不等式．17．（Ⅰ）；（Ⅱ）.πC 3=5+【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理进行边角代换，化简即可求角C ；（Ⅱ）根据1sin C 2ab =及可得．再利用余弦定理可得 ，从而可得的周长为πC 3=6ab =()225a b +=ΑΒC △5试题解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得，()2cos sin cos sin cos sin C ΑΒΒΑC +=．()2cos sin sin C ΑΒC +=故．2sin cos sin C C C =可得，所以．1cos 2C =πC 3=（Ⅱ）由已知，．1sin 2ab C =又，所以．πC 3=6ab =由已知及余弦定理得，．222cos 7a b ab C +-=故，从而．2213a b +=()225a b +=所以的周长为．ΑΒC △5+【考点】正弦定理、余弦定理及三角形面积公式【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,,这是常用的结论,另()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=-()tan tan A B C +=-外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边”.18．（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）记事件｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，｛从乙箱中摸出的A 1=A 2=1个球是红球｝｛顾客抽奖1次获一等奖｝，｛顾客抽奖1次获二等奖｝，｛顾客抽奖1次能B 1=B 2=C =获奖｝，则可知A 1与相互独立，与互斥，与互斥，且 ， ，A 2A 1A 2A 1A 2B 1B 2B 1=A 1A 2B 2=A 1A 2+A 1A 2，再C =B 1+B 2利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知，分别求得X ∼B(3,15)，，P(X =0)=C 03(15)0(45)3=64125P(X =1)=C 13(15)1(45)2=48125，，即可知的概率分布及其期P(X =2)=C 23(15)2(45)1=12125P(X =3)=C 33(15)3(45)0=1125望.试题解析：（1）记事件｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，｛从乙箱中摸出的A 1=A 2=1个球是红球｝｛顾客抽奖1次获一等奖｝，｛顾客抽奖1次获二等奖｝，｛顾客抽奖1次能B 1=B 2=C =获奖｝，由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，且 ， A 1A 2A 1A 2A 1A 2B 1B 2B 1=A 1A 2B 2= ，，A 1A 2+A 1A 2C =B 1+B 2∵，，∴，P(A 1)=410=25P(A 2)=510=12P(B 1)=P(A 1A 2)=P(A 1)P(A 2)=25×12=15P(B 2)=P(A 1A 2+A 1A 2)=P(A 1A 2)+P(A 1A 2)=P(A 1)(1‒P(A 2))+(1‒P(A 1))P(A 2)，故所求概率为=25×(1‒12)+(1‒25)×12=12；（2）顾客抽奖3次独立重复试验，由P(C)=P(B 1+B 2)=P(B 1)+P(B 2)=15+12=710（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，∴，15X ∼B(3,15)于是，，P(X =0)=C 03(15)0(45)3=64125P(X =1)=C 13(15)1(45)2=48125，P(X =2)=C 23(15)2(45)1=12125，故的分布列为P(X =3)=C 33(15)3(45)0=1125123P6412548125121251125的数学期望为.E(X)=3×15=35考点：1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望.【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.19．（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）由，分别为，边的中点，可得，由已知结合线面垂直的判定E F AB AC EF BC 可得平面，从而得到平面；（2）取的中点，连接，由EF⊥PBE BC ⊥PBE BE O PO 已知证明平面，过作交于，分别以，，PO ⊥BCFE O OM BC CF M OB OM 所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一OP x y z PCF PBE 个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面与平面所成锐二面角的余弦PBE PCF 值．【详解】（1）因为分别为，边的中点，,E F AB AC 所以，EF BC 因为，90ABC ∠=︒所以，，EFBE ⊥EF PE ⊥又因为，BE PE E ⋂=所以平面，EF ⊥PBE 所以平面．BC⊥PBE （2）取的中点，连接，BE O PO由（1）知平面，平面，BC ⊥PBE BC ⊂BCFE 所以平面平面，PBE ⊥BCFE 因为，PB BE PE ==所以，PO BE ⊥又因为平面，平面平面，PO ⊂PBE PBE ⋂BCFEBE =所以平面，PO ⊥BCFE 过作交于，分别以，，所在直线为轴建立空间O OM BC CF M OB OM OP ,,x y z 直角坐标系，则， ，．(P ()1,4,0C ()1,2,0F -，，(1,4,PC =(1,2,PF =-设平面的法向量为，PCF (),,m x y z=则即0,0,PC m PF m ⎧⋅=⎨⋅=⎩40,20,x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩则，(m=-易知为平面的一个法向量，()0,1,0n=PBE ，cos<,m n >===所以平面与平面PBE PCF【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，两半平面所成的二面角与面的法向量之间所成的角相等或互补，主要通过题意或图形来确定最后结果.20．（1）（2）22143x y +=y 2x =+【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程．（2）直线l 1斜率必存在，且纵截距为2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出k 的值，问题得以解决．【详解】(1)因为2OP OA =即()())()0000,2,00,2x y x y x =+=所以002,x x y ==所以001,2x x y y==又因为,所以1AB =22001x y +=即:,即22112x y ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭22143x y +=所以椭圆的标准方程为22143x y += (2) 直线斜率必存在，且纵截距为,设直线为1l 22y kx =+联立直线和椭圆方程1l 222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得:()22341640k xkx +++=由,得>0∆214k >()*设()()112,2,,P x y Q x y 以直径的圆恰过原点PQ 所以,OP OQ ⊥•0OP OQ = 即12120x x y y +=也即()()1212220x x kx kx +++=即()()212121240k x xk x x ++++=将(1)式代入,得()2224132403434k kkk +-+=++即()()22241324340k k k +-++=解得,满足（*）式，所以243k=k =所以直线2y x =+21．(1)a=-1,b=1;(2)-1.【解析】（1）对求导得，根据函数的图象在处的切线()f x ()2xf x e x '=-()f x 0x =为，列出方程组，即可求出的值；（2）由（1）可得，根y bx =,a b ()21x f x e x =--据对任意恒成立，等价于对任()()2135202f x x x k +--≥x R ∈215122x k e x x ≤+--意恒成立，构造，求出的单调性，由， x R ∈()215122x h x e x x =+--()h x '()00h '<， ， ，可得存在唯一的零点，使得()10h '>102h ⎛⎫< ⎪⎭'⎝304h ⎛⎫> ⎪⎭'⎝013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用单调性可求出，即可求出的最大值.()00h x '=()()0min h x h x =k （1）， .()22x f x e x a b =-++()2xf x e x '=-由题意知. ()()01201{ { 011f a b a f b b =++==-⇒==='（2）由（1）知： ，()21x f x e x =--∴对任意恒成立()()2135202f x x x k +--≥x R ∈对任意恒成立2151022x e x x k ⇔+---≥x R ∈对任意恒成立. 215122x k e x x ⇔≤+--x R ∈令，则.()215122x h x e x x =+--()52x h x e x ='+-由于，所以在上单调递增. ()'10xh x e +'=>()h x 'R又， ， ， ()3002h =-<'()3102h e =->'121202h e ⎛⎫=-< ⎪'⎝⎭，343737104444h e ⎛⎫=->+-⎪'= ⎝⎭所以存在唯一的，使得，且当时， ， 013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00h x '=()0,x x ∈-∞()0h x '<时， . 即在单调递减，在上单调递增.()0,x x ∈+∞()0h x '>()h x ()0,x -∞()0,x +∞所以.()()02000min 15122x h x h x e x x ==+--又，即，∴.()00h x '=00502x e x +-=0052x e x =-∴.()()2200000051511732222h x x x x x x =-+--=-+∵，∴ . 013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0271,328h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭又因为对任意恒成立，215122x k e x x ≤+--x R ∈()0k h x ⇔≤又，∴ .k Z ∈max 1k =-点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.22．（1）；（2）22cos ρθ=【解析】试题分析：（I ）把cos 2φ+sin 2φ=1代入圆C 的参数方程为 1{ x cos y sin ϕϕ=+=（φ为参数），消去参数化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（II ）设P （ρ1，θ1），联立，解得ρ1，θ1；设Q （ρ2，θ2），2{ 3cos ρθπθ==联立，解得ρ2，θ2，可得|PQ|．()sin { 3ρθθπθ==解析：（1）圆的普通方程为，又， C ()2211x y -+=cos x ρθ=sin y ρθ=所以圆的极坐标方程为C 2cos ρθ=（2）设，则由解得， ()11,ρθP 2{ 3cos ρθπθ==11ρ=13πθ=设，则由解得， ()22Q ,ρθ()sin { 3ρθθπθ+==23ρ=23πθ=所以Q 2P =23．（1）；（2）3{|11}x x x <->或【解析】【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）先用绝对值不等式的性质求出最小值为a +b +c ＝3，然后用基本不等式可得．【详解】（1），()111f x x x =-+++∴或或，1123x x ≤-⎧⎨->⎩1133x -<<⎧⎨>⎩1213x x ≥⎧⎨+>⎩解得.{|11}x x x 或-（2） ，f x x a x b c =-+++a x x b c a b c ≥-+++=++3a b c =++= ()11111113a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭133b a c a c b a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.()1322233≥+++=当且仅当时取得最小值3.1a b c ===【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2022届甘肃省天水市一中高三上学期8月第一次考试数学(理)试题(word版含答案)
天水市一中2021级高三第一次考试数学试题〔理科〕(总分值150分，时间120分钟)一、单项选择题〔共12小题，每题5分，共60分〕1．集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,那么B 中所含元素个数为〔〕 A ．3B ．6C ．8D ．10 2．下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为〔〕 1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p3．命题p ：∀x 1,x 2∈R,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)≥0,那么⌝p 是〔〕A ．∃x 1,x 2∈R,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1,x 2∈R,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1,x 2∈R,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1,x 2∈R,(f(x 2)-f(x 1))(x 2-x 1)<0 4．命题p:0,ln(1)0x x ∀>+>；命题q ：假设a ＞b ，那么a 2>b 2，以下命题为真命题的是〔〕 A ．p q ∧B ．⌝∧p q C ．⌝∧p q D ．⌝⌝∧p q 5．ln x π=，5log 2y =，21-=ez ，那么〔〕A.x ＜y ＜zB.z ＜x ＜yC.z ＜y ＜xD.y ＜z ＜x6．以下函数中，既是偶函数，又在区间〔1,2〕内是增函数的为〔〕 A ．cos 2y x =，x ∈R B ．2log y x =，x ∈R 且x ≠0 C ．2x x e e y --=,x ∈R D ．3+1y x =，x ∈R7．函数在区间(0,1)内的零点个数是〔〕 A ．0B ．1C ．2D ．38．函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，那么c =〔〕 A ．2-或2B ．9-或3C ．1-或1D ．3-或19．设a ，b 都是不等于1的正数，那么“333a b >>〞是“log 3log 3a b <〞的〔〕 A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 10．设函数()xf x xe =，那么〔〕A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点 11．函数1()ln(1)f x x x=+-,那么()y f x =的图像大致为〔〕A ．B ．C ．D ．12．假设[0,)x ∈+∞，那么以下不等式恒成立的是〔〕A ．21xe x x ≤++ B 2111241x x x ≤-++ C ．21cos 12x x ≥- D ．21ln(1)8x x x +≥- 二、填空题〔共4小题，每题5分，共20分〕 13．假设“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦〞是真命题，那么实数m 的最小值为_____________. 14．假设函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩〔0a >且1a ≠〕的值域是[)4,+∞，那么实数a 的取值范围是__________．15．假设函数2()ln()f x x x a x =+为偶函数，那么a =_____．16．设曲线xy e =在点〔0,1〕处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，那么P 的坐标为_____．三、解答题〔共6小题，70分〕〔一〕必考题：每题12分，共60分.17．〔12分〕在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ,角A ，B ，C 成等差数列． ⑴求cos B 的值；⑵边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值．18．〔12分〕如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==，D 是棱的中点，〔1〕证明：〔2〕求二面角的大小.19．〔12分〕电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷〞． (Ⅰ)根据条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷〞与性别 有关？(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷〞人数为X ．假设每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望和方差．附：20．〔12分〕曲线C:22(5)(2)8m x m y -+-=(m ∈R) 〔1〕假设曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围；〔2〕设m=4，曲线c 与y 轴的交点为A ，B 〔点A 位于点B 的上方〕，直线y=kx+4与曲线c 交于不同的两点M 、N,直线y=1与直线BM 交于点G.求证：A ，G ，N 三点共线． 21．〔12分〕函数()ln f x x x x =+． 〔1〕求函数()f x 的极值；〔2〕假设m Z ∈，且 (1)()m x f x -<对任意1x >恒成立，求m 的最大值．〔二〕选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.22．〔10分〕选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，直线l 的参数方程为132{32x ty t=+=〔t 为参数〕．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．〔Ⅰ〕写出的直角坐标方程；〔Ⅱ〕P 为直线l 上一动点，当P 到圆心的距离最小时，求P 的直角坐标．22．〔10分〕选修4-5：函数()|1|2||,0f x x x a a =+-->. 〔1〕当1a =时，求不等式()1f x >的解集；〔2〕假设()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围参考答案1—6．DCCBDB7—12．BABDBC 13．114．(]1,215．116．17．〔1〕由2,B A C A B C π=+++=,解得3B π=，所以1cos 2B =〔2〕解法一：由2b ac =，及1cos 2B =，根据正弦定理得2sin sin sin B AC =， 所以23sin sin 1cos 4A CB =-=18．二面角的大小为30︒19．〔1〕由频率分步直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷〞有25人，从而22⨯列联表如下：非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女4510 55 合计7525100将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得222112212211212()100(30104515)1003.0307525455533n n n n n x n n n n ++++-⨯⨯-⨯===≈++⨯⨯⨯ 因为3.030 3.841<，所以没有理由认为“体育迷〞与性别有关．〔2〕由频率分步直方图知抽到“体育迷〞的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷〞的概率为14. 由题意X ～1(3,)B ，从而X 的分布列为 X12320． (1)曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，当且仅当 50{20m m －＞，－＞，解得2＜m ＜5，所以m 的取值范围是(2，5)．(2)当m ＝4时，曲线C 的方程为x 2＋2y 2＝8，点A ，B 的坐标分别为(0，2)，(0，－2)．由224{28y kx x y ＝＋，＋＝，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋24＝0. 设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，那么y 1＝kx 1＋4，y 2＝kx 2＋4，x 1＋x 2＝21612k k －＋，x 1x 2＝22412k ＋.直线BM 的方程为y ＋2＝112y x +x ，点G 的坐标为113 12x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，＋. 因为直线AN 和直线AG 的斜率分别为k AN ＝222y x －，k AG ＝－1123y x ＋，所以k AN －k AG ＝ 2121223y y x x +－＋＝2121263kx kx x x +＋＋＝12122()43x x k x x ⨯+＋＝2216241224312kk k k ⨯+－＋＋＝0. 即k AN ＝k AG .故A ，G ，N 三点共线．21．〔1〕函数()f x 的的定义域为(0,)+∞，()ln 2f x x '=+，()20,e x -∈，()0f x '<，()2e ,x -∈+∞，()0f x '>，即函数()f x 在()20,e -单调递减，在()2,e -+∞单调递增，所以()f x 的极小值是()22f e e --=-，无极大值；〔2〕因为(1)()m x f x -<对任意1x >恒成立，即ln 1x x xm x +<-对任意1x >恒成立， 令ln ()1x x x g x x +=-，那么2ln 2()(1)'--=-x x g x x ，令()ln 2(1)h x x x x =-->，那么11()10x h x x x'-=-=>， 于是得函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，而(3)1ln30h =-<，(4)22ln 20h =->， 方程()0h x =在(1,)+∞上存在唯一实根0(3,4)x ∈，并满足00ln 2x x =-， 当01x x <<时，()0h x <，即()0g x '<，当0x x >时，()0h x >，即()0g x '>， 从而得函数ln ()1x x xg x x +=-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 即有()()()0000min 00001ln 12[()](3,4)11x x x x g x g x x x x ++-====∈--，那么min 0[()](3,4)m g x x <=∈， 所以整数m 的最大值是3．22.〔Ⅰ〕由23sin ρθ=，得223sin ρρθ=， 从而有，所以．〔Ⅱ〕设，又，那么，故当时，C P 取最小值，此时P 点的直角坐标为．23. 〔I 〕当1a =时，()1f x >化为12110x x +--->， 当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解； 当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<． 所以()1f x >的解集为223xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．〔II 〕由题设可得，()12,1,312,1,12,,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -⎛⎫ ⎪⎝⎭，()21,0B a +，(),1C a a +，ABC ∆的面积为()2213a +．由题设得()22163a +>，故2a >． 所以a 的取值范围为。
甘肃省天水一中2021届高三信息卷数学(理)试题
甘肃省天水一中2021届高三信息卷数学（理）试题2021年天水一中信息卷数学理第一卷为多项选择题，共60分；第二卷为非多项选择题，总分为90分。
满分为100分，考试时间为120分钟。
第ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共有12个子题，每个子题得5分，共计60分。
每个子问题中给出的四个选项中只有一个是符号合题目要求的．1．已知集合a??0，，12?，集合b??xx?2?，则a?b?（）a、 ?。
？2.b．?0，，12?c、 ?。
？xx？2.d．?2.如果已知我是一个虚构的单位，那么a．?i1.2I等于（）2？i4b。
？我5c．43? 我55D，我3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）a、十二b．11c。
123d．1134.如果序列{an}的前n项之和为Sn，则以下命题：（1）若数列{an}是递增数列，则数列{sn}也是递增数列；（2）数列{sn}是递增数列的充要条件是数列{an}的各项均为正数；（3）如果{an}是一个等差序列（公差D？0），那么S1？s2？？sk？0的充要条件是a1?a2??ak?0.（4）如果{an}是等比序列，那么S1？s2？？sk？0（k？2，k？N）的充要条件是an?an?1?0.其中，正确命题的数量为（）a.0和B.1c．2个d、三,5．如图，长方形的四个顶点为o(0,0),a(4,0),b(4,2),c(0,2)，曲线y?x经过点b．现如果将一个粒子随机放入一个矩形oabc中，则该粒子落入图中阴影区域的概率为（）a．512b。
12c．23d。
346.已知：命题p：“a？1是x？0，x？2a?2的充分必要条件”；x命题q：“?x0?r,x0?x0?2?0”．则下列命题正确的是（）a．命题“p∧q”是真命题c．命题“p∧（┐q）”是真命题b、命题“（Υp）∧q”是一个真命题d．命题“（┐p）∧（┐q）”是真命题7.如果空间中的三条直线a、B和C与a相交？b、 b//C，然后是直线a和C（）a．一定平行c、它必须是一条从不同平面来的直线b．一定相交d．一定垂直8.功能y？lnxx的图像大致是（）p,q,e,f,g,h，则op?oq?（）9．如图所示的方格纸中有定点o,a、哦b．ogc、 fod．eo十、Y5.010.让X和y满足约束条件？，然后（x？1）2？Y2的最大值为（）？十、Y0 x？3.a．80b．45c．25d。
甘肃省天水一中2021届高三上学期第一次考试数学(理)试题答案
理科参考答案1．B2．D3．A4．C5．D6．D7．B8．A9．A10．Cx 1，x 2∈（﹣∞，0]（x 1≠x 2），由（x 2﹣x 1）（f （x 2）﹣f （x 1））＞0，∴x 2＞x 1时，f （x 2）＞f （x 1），∴f （x ）在（﹣∞，0]为增函数，∵f （x ）为偶函数， ∴f （x ）在[0，+∞）为减函数，∵n +1＞n ＞n ﹣1≥0，∴f （n +1）＜f （n ）＜f （n ﹣1）， ∴f （n +1）＜f （﹣n ）＜f （n ﹣1）11．C 圆()()22:161C x y ++-=的圆心为()1,6-，圆()()22:261D x y -+-=的圆心为()2,6，()1,6-关于直线:l y x =的对称点为()16,1C -，1C D ==，故PM PN +的最小值是1122C D r r --=.12．A 由条件可知函数()()log a g x f x x =-恰有6个不同的零点，转化为()y f x =与log a y x =恰有6个不同的交点，()()2f x f x +=，∴()y f x =的周期2T =，且[)1,1x ∈-时，()3f x x =，log a y x =是偶函数，图象关于y 轴对称，如图，在同一坐标系下画出函数()y f x =和log a y x =的图象，①当1a >时，log a y x =的图象如图所示，y 轴左侧有4个交点，右侧有2个交点，此时应满足log 51log 71a a<⎧⎨≥⎩，解得57a <≤；②当01a <<时，()y f x =与log a y x =在y 轴左侧有2个交点， 右侧有4个交点，此时应满足log 51log 71a a ≥-⎧⎨<-⎩ ，解得：1175a <≤； 综上可知，a 的取值范围是(]11,5,775⎛⎤ ⎥⎝⎦.13．15 14．7 15．58. 16．13711110,,663a ⎛⎤-+⎡⎫∈ ⎥⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦由于13a a <+， 当1013a a <<+≤，即203a <≤时，函数()f x 单调递减，显然合乎题意； 当1123a a ≤<+≤，即513a ≤≤时，函数()f x 递增，显然不合乎题意； 当10123a a <<<+<，即2533a <<，可得221log log 3a a ⎛⎫ ⎪⎝≥+⎭-，解得213736a -+<≤，当11243a a <<<+<，即有523a <<， 由题意可得221log log 43a a ≥--⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得1126a ≤<， 当1243a a ≤<+<，即1123a ≤<时，函数()f x 单调递减，显然合乎题意； 综上可得a 的范围是13711110,,63⎛⎤-+⎡⎫⋃ ⎥⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦， 故答案为：13711110,,63⎛⎤-+⎡⎫⋃ ⎥⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦. 17．（1）3π；（2）6 18．（1）()*21n a n n N=-∈；（2）1131494nn n R -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）由题意知：122144n n n n a n b ---==，所以012101214444n n n R --=++++，则1211012144444nn n n n R ---=++++， 两式相减得1211111311111111441144444434414n n n n n n nn n n R ---⎛⎫- ⎪---⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-- ⎪⎝⎭-131134n n +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因此，1431131149494n n n n n R -++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 19．（1）0.030m =（2）平均数为71，中位数为73.33（3）35（1）由()100.0100.0150.0150.0250.051m ⨯+++++=，得0.030m =.（2）平均数为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 设中位数为n ，则()0.10.150.15700.030.5n +++-⨯=，得22073.333n =≈. 故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33. （3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个， 由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品、二等品各有3个、2个.记这3个一等品为a ，b ，c ，2个二等品为d ，e ，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10种，其中恰有1个口罩为一等品的可能结果有：(),a d ，(),a e ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e .共6种.故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为63105P ==. 20．（1）证明见解析；（2）90°．解：（1）连接AC ，交DM 于H ，连接NH ， ∵M 是AB 的中点，∴::1:2AM DC AH HC ==， ∵:1:2PN NC =，∴//PA NH ， ∵PA ⊄平面MND ，NH ⊂平面MND ， ∴//PA 平面MND ．（2）∵PD ⊥平面ABCD ，,DA DC 在平面ABCD 内， ∴ ,PD DA PD DC ⊥⊥，∵四边形ABCD 为正方形，所以DA DC ⊥, ∴,,PD DA DC 两两垂直，∴建立如图所示的空间坐标系，则()0,0,6P ，()0,3,0C ，260,1,N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，33,,02M ⎛⎫⎪⎝⎭．33,,02DM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，260,1,3DN N ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，33,,02CM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，260,2,3CN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面DMN 的法向量为()000,,m x y z =，∴00003302260x y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令01x =，则61,2,m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭． 设平面CMN 的法向量为(),,n x y z =，∴33022620x y y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令1x =，则()1,2,6n =， ∴0m n ⋅=，m n ⊥，即二面角D MN C --的大小为90°． 21．（1）7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）1,24⎛⎫- ⎪⎝⎭解：（1）()2xf x m <⋅即122221x x x xm -+<⋅+-， ∴()()211112221221x x x x x m ->+=++--+，∵()221332212244x xx ⎛⎫-+=-+≥ ⎪⎝⎭，1x =-时取等号，∴()21471133221x x +≤+=-+，∴73m >即m 的取值范围是7,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，（2）()()()122x xf x k f x +⎡⎤=+-⎣⎦即1122221221x xxx x x k +--++=+-+-， ∴2121212x x x k ++-+=+，∴223220x x k -⨯+-=， ∵()()()122x xf x k f x +⎡⎤=+-⎣⎦有两个实数解，∴223220x x k -⨯+-=有两个的实数解，令2,0xt t =>，即2320t t k -+-=，有两个正的实数解.∴()9420k -->，20k ->， ∴124k -<<即k 的取值范围是1,24⎛⎫- ⎪⎝⎭. 22．(1)由题意，直线l 的直角坐标方程为：+40x y -=，∴直线l 的极坐标方程为：cos +sin 40ρθρθ-=，曲线C 的直角坐标方程：2220x y y +-=，曲线C 的极坐标方程为：2sin ρθ=.(2)由题意设：(,)A A ρα，(,)B B ρα，由(1)得4cos sin A ραα=+，2sin B ρα=，1111sin (cos sin )(sin 2cos 2))244444B A OB OAρπααααααρ∴==+=-+=-+， 02πα<<，32444απππ∴-<-<，∴当242ππα-=，即38πα=时，sin(2)14πα-=,此时OB OA取最大值14. 23．（1）{|0x x <或8}3x >；（2）证明见解析. （1）由()2f x ≤，得232,15ax ax -≤-≤≤≤，()2f x ≤的解集为{}15x x ≤≤，则0a >，1155aa⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得1a =．不等式()()211f x f x <+-可化为2321x x -<--，则()33221x x x ≥⎧⎨-<--⎩或()()233221x x x ≤<⎧⎨--<--⎩或()()23221x x x <⎧⎨--<---⎩，解得3x ≥或833x <<或0x <， 所以原不等式的解集为{|0x x <或8}3x >． （2）因为3m ≥，3n ≥，所以()()–33333f m f n m n m n +=-=-+-=+，即9m n +=．所以()141141411451999n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当4n mm n=，即3m =，6n =时取等号． 所以不等式得证.。
甘肃省天水一中2021届高三数学上学期第一阶段考试试题 文.doc
甘肃省天水一中2021届高三数学上学期第一阶段考试试题 文（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U C A B ⋂=（）（ ） A ．{}1- B ．{}0,1 C ．{}1,2,3- D ．{}1,0,1,3- 2．已知平面向量，且，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．3．“2211og a og b <”是“11a b<”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．在等差数列中，为其前项和，若，则（ ）A ．60B ．75C ．90D ．1055．已知函数y =f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=1，则f （-2）=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．如右图所示的图象对应的函数解析式可能是 A ．221x yx=-- B ．2sin 41x x y x ⋅=+ C ．ln xy x= D ．()22e x y x x =- 7．已知，有解，，则下列选项中是假命题的为（ ） A ． B ．C ．D ．8．平面上三个单位向量两两夹角都是23π，则与夹角是（ ） A ．3π B ．23π C ．12π D ．6π9．已知数列的前项和满足(）且，则（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数 在区间上单调，且在区间内恰好取得一次最大值2，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．11．如右图所示，O 为ABC ∆的外心，4AB =，2AC =，BAC ∠为钝角，M 为BC 边的中点，则的值为（ ）A ．23 B ．12 C ．6 D ．512．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足当x ≥0时，，则的解集为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则____．14．将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则的值为___．15．若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且*21()n n S a n =-∈N ，则6S 等于________．16．在同一个平面内，向量的模分别为1,1,2,与的夹角为α，且tan 7,α=与的夹角为45︒，若，则m n +=_________．三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分.17．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若7,c ABC △=的面积为332，求ABC △的周长． 18．（12分）某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下： 微信控 非微信控 合计 男性 26 24 50 女性 30 20 50 合计5644100（1）根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人是“微信控”的概率．附：2()P K k ≥0.100 0.050 0.010 0.001k2.7063.841 6.635 10.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．（12分）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB EF ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，已知AB ＝2，EF ＝1．（I ）求证：平面DAF ⊥平面CBF ；（II ）若BC ＝1，求四棱锥F －ABCD 的体积．20．（12分）已知()0,0A x ，()00,B y 两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1AB =，若动点(),P x y 满足．()1求出动点P 的轨迹对应曲线C 的标准方程；()2一条纵截距为2的直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，若以PQ 直径的圆恰过原点，求出直线方程．21．（12分）已知函数()22xf x e x a b =-++（x R ∈）的图象在0x =处的切线为y bx =（e为自然对数的底数） （1）求,a b 的值； （2）若k Z ∈，且()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立，求k 的最大值. (二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（10分）在直角坐标系x y O 中，圆C 的参数方程1{x cos y sin ϕϕ=+=（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是2sin 333πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线:OM 3πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段Q P 的长．23．（10分）已知000a b c ＞，＞，＞，函数().f x a x x b c =-+++ (1)当1a b c ===时,求不等式()3f x ＞的解集； (2)当()f x 的最小值为3时,求111a b c++的最小值.天水一中2021届2021—2021度第一学期第一次考试数学文科试题参考答案1．A 【解析】 【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误. 2．B 【解析】,选B.3．D 【解析】 【分析】由2211og a og b <可推出a b <，再结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】若2211og a og b <，则0a b <<，所以110a b>>，即“2211og a og b <”不能推出“11a b <”，反之也不成立，因此“2211og a og b <”是“11a b<”的既不充分也不必要条件. 故选D 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，熟记概念即可，属于基础题型. 4．B 【解析】，即，而，故选B.5．D 【解析】 ∵是偶函数∴当时，，又∴故选：D 6．D【解析】对于A ，∵221xy x =--，当x 趋向于-∞时，函数2xy =趋向于0， 21y x =+趋向于+∞∴函数221xy x =--的值小于0，故排除A 对于B ，∵sin y x =是周期函数∴函数2sin 41x x y x ⋅=+的图像是以x 轴为中心的波浪线，故排除B对于C ， ∵ln xy x=的定义域是()()0,11,⋃+∞，且在()0,1x ∈时， ln 0x < ∴0ln xy x=<，故排除C 对于D ，∵函数()22211y x x x =-=--，当0,1x x 时， 0y >；当01x <<时， 0y <；且0xy e =>恒成立∴()22x y x x e =-的图像在x 趋向于-∞时， 0y >； 01x <<时， 0y <； x 趋向于+∞时， y 趋向于+∞ 故选D点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 7．B 【解析】 试题分析：∵，∴是真命题，取，满足，∴也是真命题，∴是假命题，故选B ．考点：命题真假判断． 8．D【解析】 由题意得，向量,,a b c 为单位向量，且两两夹角为23π， 则3,1a b a c -=+=， 且()()222213111cos11cos 11cos 133322a b a c a a c a b b c πππ-⋅+=+⋅-⋅-⋅=+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=+=，所以a b -与a c +的夹角为()()332cos 231a b a c a b a cθ-⋅+===⨯-⋅+，且0θπ≤≤， 所以a b -与a c +的夹角为6π，故选D. 9．C 【解析】 【分析】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m∈N *）且a 1=5，令m=1，可得S n+1=S n +S 1，可得a n+1=5．即可得出． 【详解】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m∈N *）且a 1=5， 令m=1，则S n+1=S n +S 1=S n +5．可得a n+1=5． 则a 8=5． 故选：C ． 【点睛】本题考查了数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．B【解析】【分析】由三角函数恒等变换的应用化简得f（x）=2sinωx可得[﹣，]是函数含原点的递增区间，结合已知可得[﹣，]⊇[]，可解得0＜ω≤，又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得，得，进而得解．【详解】=2sinωx，∴[﹣，]是函数含原点的递增区间．又∵函数在[]上递增，∴[﹣，]⊇[]，∴得不等式组：﹣≤，且≤，又∵ω＞0，∴0＜ω≤，又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知且可得ω∈[，．综上：ω∈故选：B．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于中档题．11．D【解析】【分析】取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥ ，所求AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅ ，由数量积的定义可得,AD AO AD AE AO AE ⋅=⋅= ，代值即可．【详解】如图所示，取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥， ∵M 是边BC 的中点，∴1()2AM AB AC =+ . 11AM ()()22AO AB AC AO AB AO AC AO AD AO AE AO ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅，由数量积的定义可得cos ,AD AO AD AO AD AO ⋅= ，而cos ,AO AD AO AD = ，故2224||422AB AD AO AD ⎛⎫⎛⎫⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 同理可得2222||122AC AE AO AE ⎛⎫⎛⎫⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故415AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅=+=. 故选：D ．【点睛】本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题． 12．A 【解析】【分析】由于函数为奇函数，并且在上有定义，利用求出的值.然后解这个不等式，求得的取值范围.【详解】由于函数为奇函数，并且在上有定义，故，解得，故当时，，这是一个增函数，且，所以，故，注意到，故.根据奇函数图像关于原点对称可知，当时，，.综上所述，.故选A.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查奇函数图像关于原点对称的特点，考查绝对值不等式的解法.属于中档题.13．-1【解析】【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【详解】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14．【解析】【分析】先由平移得f(x)的解析式，再将代入解析式求值即可 【详解】f(x)=2sin3(x+=2sin(3x+,则故答案为【点睛】本题考查图像平移，考查三角函数值求解，熟记平移原则，准确计算是关键，是基础题 15．63 【解析】 【分析】根据n S 和n a 关系得到数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，再利用公式得到答案. 【详解】当1n =时，1121a a =-，得11a =， 当2n 时，21n n S a =-，1121n n S a --=-， 两式作差可得：122n n n a a a -=-，则：12n n a a -=， 据此可得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，其前6项和为66216321S -==-．故答案为63． 【点睛】本题考查了等比数列的前N 项和，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用. 16．3. 【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，根据各向量的模和各自的夹角可得,,A B C 各点坐标，再利用向量的等式关系到各坐标之间关系，解出,m n 后可求m n +的值．【详解】以OA 为x 轴，建立直角坐标系，则(1,0)A ，由OCOA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=知，cos αα== ，可得17,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()()()cos 45,sin 45B αα︒︒++，34,55B ⎛⎫∴-⎪⎝⎭， 由OC mOA nOB =+可得13173455,,,74555555m nm n n n ⎧=-⎪⎪⎛⎫⎛⎫=-⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⎪⎩，57,44m n ==，3m n ∴+=，故答案为3.【点睛】向量的线性运算可以利用基底向量来计算，注意基底向量的合理确定，也可以利用向量之间的关系合理建立平面直角坐标系，把向量系数的计算归结为系数的方程组来考虑. 17．（Ⅰ）πC 3=；（Ⅱ）5【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理进行边角代换，化简即可求角C ；（Ⅱ）根据1sin C 2ab = 及πC 3=可得6ab =．再利用余弦定理可得 ()225a b +=，从而可得ΑΒC △的周长为5+．试题解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C ΑΒΒΑC +=，()2cos sin sin C ΑΒC +=．故2sin cos sin C C C =． 可得1cos 2C =，所以πC 3=．（Ⅱ）由已知，1sin 2ab C =．又πC 3=，所以6ab =． 由已知及余弦定理得，222cos 7a b ab C +-=． 故2213a b +=，从而()225a b +=．所以ΑΒC △的周长为57+．【考点】正弦定理、余弦定理及三角形面积公式【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=- ()tan tan A B C +=-,这是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边”.18．（1）见解析；（2）3,2；（3）.【解析】 【分析】（1）列出联表，计算,所以没有的把握认为“微信控”与“性别”有关．（2）由图表可知，在名女性用户中，微信控有人，非微信控有人.（3）利用列举法，列举出位女性任选人的基本事件，由此求得抽取人中恰有人是“微信控”的概率. 【详解】（1）由列联表可得：所以没有的把握认为“微信控”与“性别”有关．（2）根据题意所抽取的位女性中，“微信控”有人，“非微信控”有人.（3）抽取的位女性中，“微信控”人分别记为，，；“非微信控”人分别记为，．则再从中随机抽取人构成的所有基本事件为：，，，，，，，，，，共有种；抽取人中恰有人为“微信控”所含基本事件为：，，，，，，共有种，所求为．【点睛】本小题主要考查列联表分析两个分类变量是否有关，考查分成抽样的知识，考查利用列举法求简单的古典概型问题.属于中档题.19．（I）见解析;（II）.【解析】【分析】（I）通过证明，证得平面，由此证得平面平面.（II）矩形所在平面和圆所在平面垂直，点到边的距离即为四棱锥FABCD的高，然后利用锥体体积公式求得四棱锥的体积.【详解】（I）∵AB为圆O的直径，点F在圆O上∴AF⊥BF又矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直且它们的交线为AB，CB⊥AB∴CB⊥圆O所在平面∴AF⊥BC 又BC、 BF为平面CBF上两相交直线∴AF⊥平面CBF又∴平面DAF⊥平面CBF．（II）连接OE∵AB＝2，EF＝1，AB EF∴OA＝OE＝1，即四边形OEFA为菱形∴AF ＝OA ＝OF ＝1 ∴等边三角形OAF 中，点F 到边OA 的距离为又矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直 ∴点F 到边OA 的距离即为四棱锥F －ABCD 的高 ∴四棱锥F －ABCD 的高又BC ＝1∴矩形的ABCD 的面积S ABCD ＝∴【点睛】本小题考查空间两个平面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法.要证明两个平面垂直，则需要在一个平面内找到另一个平面的垂线来证明.属于中档题.20．（1）22143x y +=（2）3y 23x =±+【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程．（2）直线l 1斜率必存在，且纵截距为2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出k 的值，问题得以解决． 【详解】(1) 因为23OP OA OB =+即()())()0000,2,030,23x y x y x == 所以002,3x x y y == 所以0013,23x x y y == 又因为1AB =,所以22001x y +=即:221312x y ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即22143x y +=所以椭圆的标准方程为22143x y +=(2) 直线1l 斜率必存在，且纵截距为2,设直线为2y kx =+联立直线1l 和椭圆方程222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得: ()22341640kxkx +++= 由>0∆,得214k >()* 设()()112,2,,P x y Q x y 以PQ 直径的圆恰过原点 所以OP OQ ⊥,•0OP OQ = 即12120x x y y +=也即()()1212220x x kx kx +++= 即()()212121240kx xk x x ++++=将(1)式代入,得()2224132403434k kk k+-+=++ 即()()22241324340kk k +-++=解得243k =,满足（*）式，所以3k =±所以直线23y x =±+ 21．(1)a=-1,b=1;(2)-1.【解析】（1）对()f x 求导得()2xf x e x '=-，根据函数()f x 的图象在0x =处的切线为y bx =，列出方程组，即可求出,a b 的值；（2）由（1）可得()21x f x e x =--，根据()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立，等价于215122x k e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立，构造()215122x h x e x x =+--，求出()h x '的单调性，由()00h '<，()10h '>，102h ⎛⎫< ⎪⎭'⎝， 304h ⎛⎫> ⎪⎭'⎝，可得存在唯一的零点013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，利用单调性可求出()()0min h x h x =，即可求出k 的最大值.（1）()22x f x e x a b =-++， ()2xf x e x '=-.由题意知()()01201{{ 011f a b a f b b =++==-⇒==='.（2）由（1）知： ()21xf x e x =--，∴()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立 2151022x e x x k ⇔+---≥对任意x R ∈恒成立215122x k e x x ⇔≤+--对任意x R ∈恒成立.令()215122x h x e x x =+--，则()52xh x e x ='+-.由于()'10xh x e +'=>，所以()h x '在R 上单调递增.又()3002h =-<'，()3102h e =->'，121202h e ⎛⎫=-< ⎪'⎝⎭，343737104444h e ⎛⎫=->+-⎪'= ⎝⎭，所以存在唯一的013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h x '=，且当()0,x x ∈-∞时， ()0h x '<， ()0,x x ∈+∞时， ()0h x '>. 即()h x 在()0,x -∞单调递减，在()0,x +∞上单调递增. 所以()()02000min 15122xh x h x e x x ==+--. 又()00h x '=，即00502x e x +-=，∴0052xe x =-.∴()()2200000051511732222h x x x x x x =-+--=-+. ∵013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴ ()0271,328h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.又因为215122xk e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立()0k h x ⇔≤， 又k Z ∈，∴ max 1k =-.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 22．（1）2cos ρθ=；（2）2【解析】试题分析：（I ）把cos 2φ+sin 2φ=1代入圆C 的参数方程为1{x cos y sin ϕϕ=+= （φ为参数），消去参数化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（II ）设P （ρ1，θ1），联立2{ 3cos ρθπθ==，解得ρ1，θ1；设Q （ρ2，θ2），联立()sin {3ρθθπθ==，解得ρ2，θ2，可得|PQ|．解析：（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos x ρθ=， sin y ρθ=所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=（2）设()11,ρθP ，则由2{ 3cos ρθπθ==解得11ρ=， 13πθ= 设()22Q ,ρθ，则由()sin {3ρθθπθ+==解得23ρ=， 23πθ=所以Q 2P =23．（1）{|11}x x x <->或；（2）3 【解析】 【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）先用绝对值不等式的性质求出最小值为a +b +c ＝3，然后用基本不等式可得． 【详解】（1）()111f x x x =-+++，∴1123x x ≤-⎧⎨->⎩或1133x -<<⎧⎨>⎩或1213x x ≥⎧⎨+>⎩，解得{|11}x x x 或-.（2）f x x a x b c =-+++ a x x b c a b c ≥-+++=++ 3a b c =++=，()11111113a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭133b a c a c b a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()1322233≥+++=. 当且仅当1a b c ===时取得最小值3. 【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
08 - 甘肃省天水市一中2018级2020--2021学年度第一次考试理科数学试题(WORD版)
甘肃省天水市一中2018级2020--2021学年度第一次考试试题数学（理）一、单选题（每小题5分，共60分）1．设集合{}1,0,1M =-，{}2|N x x x =≤，则MN =（ ）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}1,0,1-2．已知函数2()1xf x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于点(1,2)中心对称 B ．函数()f x 在(,1)-∞上是增函数 C ．函数()f x 的图象关于直线x ＝1对称D ．函数()f x 的图象上至少存在两点A ，B ，使得直线AB //x 轴 3．已知函数1()f x x=的导函数为()'f x ，若12()()''<f x f x ，则12,x x 的大小关系不可能为（ ） A ．120x x << B ．210x x << C ．120x x <<D ．210x x <<4．已知ααcos 1sin 2+=，其中α是第一象限角，则=2tanα（ ）A.21- B.2 C.21 D.315．已知函数()()cos 20,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移6π个单位后得函数()cos2g x x =的图象，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线23x π=对称B ．关于直线6x π=对称 C ．关于点2-03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 D ．关于点5-012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 6．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．697．已知在ABC 中，22tan tan A a B b=，判断ABC 的形状为（ ）.A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形8．设a ，b 都是不等于1的正数，则“5a >5b ”是“log 5log 5a b <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．若2233x y x y ---<-，则（ ）A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<10．若34cos,sin ,2525θθ==则角θ的终边落在直线（ ）上 A ．2470x y -=B ．2470x y +=C ．7240x y +=D ．7240x y -=11．已知函数()ln ||f x x =£¬2()g x mx =，若方程()()0f x g x -=在(,1][1,)x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，则m 的取值范围为（ ）A ．1(0,)2eB ．1(,)2e+∞ C ．1(0,)eD ．1(,)e+∞ 12．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，则t 的取值范围是（ ）A ．(,2ln 2)-∞-B ．(],2ln 2-∞-C ．(,112ln 2)-∞-+D ．(],112ln 2-∞-+二、填空题（每小题5分，共20分） 13．命题“0x R ∃∈，00x ex <”的否定是_______________.14．曲线sin (0)y x x π=≤≤与直线12y =围成的封闭图形的面积为__________. 15．曲线2ln y x x =+在点()1,b 处的切线方程与直线10ax y --=垂直，则a b +=______．16．设x 、y 是常数，且满足()()()()3312018*********x x y y ⎧-+-=-⎪⎨-+-=⎪⎩，则x y +的值是________. 三、解答题（第17题10分；第18--22题每小题12分，共70分） 17．已知函数()()22sin cos f x x x x =++（1）求它的单调递增区间； （2）若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求此函数的值域. 18．已知等差数列{}n a 满足636a a =+，且31a -是21a -，4a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()*11n n n b n N a a +=∈.求数列{}n b 的前n 项和n T . 19．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b sin Acos B +a sin B ． （1）求B ；（2）设b ＝，a ＝4，D 为线段BC 上一点，若S △ABD＝2，求AD 的长． 20．在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习．某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不少于120分的有10人，统计成绩后得到如下22⨯列联表：（1）请完成上面22⨯列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）在上述样本中从分数不少于120分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于5小时和线上学习时间不足5小时的学生共5名，若在这5名学生中随机抽取2人，其中每周线上学习时间不足5小时的人数为X ，求X 的分布列及其数学期望． （下面的临界值表供参考）（参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++）21．设()13ln 122f x a x x x =+-+曲线()y f x =在点()()1,1f 处取得极值. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间和极值.22．已知函数()sin f x x x =，(0,)x π∈，()'f x 为()f x 的导数，且()()g x f x '=.证明：()1()g x 在22,3π⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一零点； ()2()2f x .（参考数据：sin 20.9903≈，cos20.4161≈-，tan 2 2.1850≈- 1.4142≈， 3.14π≈）。
2020-2021学年甘肃省天水一中高三(上)期中数学试卷(理科)
2020-2021学年甘肃省天水一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、单选题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A＝{x|y＝}，B＝{﹣2，0，2，3}，则M的子集共有（）A．3个B．4个C．7个D．8个2．（5分）已知向量＝（2，2），＝（t，1），若•＝2，则t＝（）A．5B．4C．3D．23．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3＝3，a11+a12+a13＝12，则a5+a9＝（）A．15B．10C．5D．14．（5分）已知，则sin2α﹣sinαcosα的值是（）A．B．C．﹣2D．25．（5分）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a＞b＞0，则下列结论错误的是（）A．B．log2（a﹣b）＞0C．D．3a＞3b6．（5分）一个等比数列{a n}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A．63B．108C．75D．837．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+），则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象的一个对称中心为（，0）C．函数f（x）的图象的一条对称轴方程为x＝D．函数f（x）的图象可以由函数y＝cos2x的图象向右平移个单位长度得到8．（5分）△ABC中A，B，C的对边分别是a，b，c，若＝，（b+c+a）（b+c﹣a）＝3bc（）A．等边三角形B．等腰非等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形9．（5分）已知正项等比数列{a n}中a9＝9a7，若存在两项a m、a n，使a m a n＝27a12，则的最小值为（）A．5B．C．D．10．（5分）已知点P（x，y）在曲线C：x2+y2﹣2x＝0上，则x﹣2y的最大值为（）A．2B．﹣2C．1+D．1﹣11．（5分）已知函数f（x）定义域为R，且满足下列三个条件：①任意x1≠x2∈（﹣4，0），都有＞0（x）＝﹣f（x+4）；③y＝f（x+4），则（）A．f（2019）＞f（15）＞f（2）B．f（15）＞f（2）＞f（2019）C．f（2）＞f（15）＞f（2019）D．f（2）＞f（2019）＞f（15）12．（5分）已知函数f（x）＝e x+ax﹣3，其中a∈R，若对于任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，都有x2•f（x1）﹣x1•f（x2）＜a（x1﹣x2）成立，则a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，2]二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若复数，则||＝．14．（5分）已知实数x，y，则则z＝2x﹣y的最大值为．15．（5分）已知等差数列{a n}前n项和S n，且S2019＞0，S2020＜0，若a k a k+1＜0，则k的值为．16．（5分）如图，在△ABC中，cos∠BAC＝，且BD＝3DC，AD＝．三、解答题（第17题10分：第18-22题各小题12分，共70分）17．（10分）已知命题p：∀x∈R，tx2+x+t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃x∈[2，16]，t log2x+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t 的取值范围．18．（12分）已知在等差数列{a n}中，a2+a4＝10，a5＝9．（1）求数列{a n}的通项公式，写出它的前n项和S n；（2）若c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）设函数f（x）＝（sin x+cos x）2+．（1）求函数f（x）的最小正周期T和单调递减区间；（2）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（A）的取值范围．20．（12分）在ABC中，角A、B、C所对的边长是a、b、c，向量+bc．（1）求角A的大小；（2）若a＝，求△ABC的周长的最大值．21．（12分）若数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知函数f（x）＝+lnx﹣1（a∈R）．（1）若函数f（x）在区间（0，1）上单调递增；（2）若a＞0，函数f（x）在x＝t处取得极小值（t）﹣t+＜0．2020-2021学年甘肃省天水一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A＝{x|y＝}，B＝{﹣2，0，2，3}，则M的子集共有（）A．3个B．4个C．7个D．8个【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可求出M，然后根据子集个数的计算公式即可得出M的子集个数．【解答】解：A＝{x|x2+2x﹣2≥0}＝{x|x≤﹣3或x≥7}，B＝{﹣2，0，7，∴M＝A∩B＝{2，3}，∴M的子集共有：32＝4个．故选：B．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）已知向量＝（2，2），＝（t，1），若•＝2，则t＝（）A．5B．4C．3D．2【分析】利用已知条件，求出数量积的两个向量，然后利用数量积求解即可．【解答】解：向量＝（2，＝（t，所以＝（t﹣2，因为•＝4，所以2t﹣4﹣5＝2，解得t＝4．故选：B．【点评】本题考查向量的数量积的运算与应用，考查计算能力，是基础题．3．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3＝3，a11+a12+a13＝12，则a5+a9＝（）A．15B．10C．5D．1【分析】根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的性质可得a1+a2+a3＝3a2＝3，a11+a12+a13＝3a12＝12，变形可得a2＝1，a12＝4，求出公差d，又由a5+a9＝2a7＝2（a2+5d），计算可得答案．【解答】解：根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，若a1+a2+a3＝3，a11+a12+a13＝12，则有a1+a7+a3＝3a7＝3，a11+a12+a13＝3a12＝12，变形可得a3＝1，a12＝4，则d＝＝＝，而a5+a8＝2a7＝5（a2+5d）＝5×（1+5×）＝5，故选：C．【点评】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列通项公式的应用，属于基础题．4．（5分）已知，则sin2α﹣sinαcosα的值是（）A．B．C．﹣2D．2【分析】由已知条件求出tanα值，化简sin2α﹣sinαcosα＝，把tanα值代入运算．【解答】解：∵，∴，∴tanα＝2．∴sin2α﹣sinαcosα＝＝＝＝，故选：A．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，1的代换，把所求的sin2α﹣sinαcosα变形为是解题的难点．5．（5分）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a＞b＞0，则下列结论错误的是（）A．B．log2（a﹣b）＞0C．D．3a＞3b【分析】根据特殊值法判断即可．【解答】解：令a＝2，b＝1，得选项B错误，故选：B．【点评】本题考查了不等式的性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题．6．（5分）一个等比数列{a n}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A．63B．108C．75D．83【分析】根据等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列，进而根据等比等比数列的第一个n项的和和第二个n项的和，求得第三个n项的和，进而把前2n项的和加上第三个n项的和，即可求得答案．【解答】解：由等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列．则等比数列的第一个n项的和为48，第二个n项的和为60﹣48＝12，∴第三个n项的和为：＝3，∴前3n项的和为60+6＝63．故选：A．【点评】本题主要考查了等比数列的前n项的和．解题的关键是利用等比数列每k项的和也成等比数列的性质．7．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+），则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象的一个对称中心为（，0）C．函数f（x）的图象的一条对称轴方程为x＝D．函数f（x）的图象可以由函数y＝cos2x的图象向右平移个单位长度得到【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：对于函数f（x）＝sin（2x+）＝π；当x＝时，求得f（x）＝，0）；令x＝，求得f（x）＝7，故C错误；把函数y＝cos7x的图象向右平移，可得y＝）＝）的图象，故选项D正确，故选：D．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．8．（5分）△ABC中A，B，C的对边分别是a，b，c，若＝，（b+c+a）（b+c﹣a）＝3bc（）A．等边三角形B．等腰非等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形【分析】把（b+c+a）（b+c﹣a）＝3bc整理课求得b2+c2﹣a2和bc的关系式，代入余弦定理中可求得cos A的值，进而取得A，同时利用正弦定理和＝整理后可知b＝c，最后可判断出三角形的形状．【解答】解：∵（b+c+a）（b+c﹣a）＝3bc，∴（b+c）2﹣a3＝3bc，∴b2+c2+2bc﹣a2＝4bc，∴b2+c2﹣a8＝bc，由余弦定理得：cos A＝＝，A∈（0，∴A＝，∵△ABC中，由正弦定理得：＝，∴＝，又＝，∴＝，∴b＝c，综合可知三角形为等边三角形．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应．解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成角和边的问题的转化．9．（5分）已知正项等比数列{a n}中a9＝9a7，若存在两项a m、a n，使a m a n＝27a12，则的最小值为（）A．5B．C．D．【分析】由已知结合等比数列的性质及通项公式可求m+n，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为正项等比数列{a n}中a9＝9a7，所以q2＝＝9，若存在两项a m、a n，使，则＝27a18，所以m+n＝5，m＞0，m≠n），则＝（）＝，当且仅当且n+m＝5即m＝5，故选：A．【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，还考查了利用乘1法在基本不等式的应用条件配凑中的应用，属于中档试题．10．（5分）已知点P（x，y）在曲线C：x2+y2﹣2x＝0上，则x﹣2y的最大值为（）A．2B．﹣2C．1+D．1﹣【分析】根据题意，设x﹣2y＝t，将其代入圆的方程中，变形，由直线与圆的位置关系分析可得△≥0，解可得t的取值范围，分析可得答案．【解答】解：根据题意，设x﹣2y＝t，可以看成一条直线，将其代入圆的方程x2+y3﹣2x＝0中，可得6y2+（4t﹣4）y+t2﹣2t＝5，则有△≥0，可得t2﹣8t﹣4≤0，解﹣+1；则x﹣8y的最大值为+1；故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，把几何问题转化为代数问题是解题的关键，是中档题．11．（5分）已知函数f（x）定义域为R，且满足下列三个条件：①任意x1≠x2∈（﹣4，0），都有＞0（x）＝﹣f（x+4）；③y＝f（x+4），则（）A．f（2019）＞f（15）＞f（2）B．f（15）＞f（2）＞f（2019）C．f（2）＞f（15）＞f（2019）D．f（2）＞f（2019）＞f（15）【分析】根据题意，由①分析可得函数f（x）在区间（﹣4，0）上为增函数，由②分析可得函数f（x）的周期为8，由③分析可得函数f（x）的图象关于直线x＝﹣4和x＝4对称，进而分析可得f（2）＝f（6），f（15）＝f（7），f（2019）＝f（5），结合函数在[4，8]上的单调性，分析可得答案．【解答】解：根据题意，若对任意的x1，x2∈（﹣6，0）1＜x7时，都有，则函数f（x）在区间（﹣4，若f（x+6）＝﹣f（x），则f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），故（8，若y＝f（x+4）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝4对称，∵f（2）＝f（6），f（15）＝f（1）＝f（7），又由函数f（x）在区间[5，8]上为增函数，则有f（2019）＜f（2）＜f（15）．故选：B．【点评】本题考查抽象函数的应用，关键是依据题意，分析函数的单调性和周期性．12．（5分）已知函数f（x）＝e x+ax﹣3，其中a∈R，若对于任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，都有x2•f（x1）﹣x1•f（x2）＜a（x1﹣x2）成立，则a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，2]【分析】将不等式变形为：＜恒成立，构造函数h（x）＝，转化为当x1＜x2时，h（x1）＜h（x2）恒成立，为了求a的范围，所以需要构造函数，可通过求导数，根据单调性来求它的范围．【解答】解：∵对于任意的x1，x2∈[7，+∞）1＜x2，都有x8•f（x1）﹣x1•f（x7）＜a（x1﹣x2）成立，∴不等式等价为＜恒成立，令h（x）＝，则不等式等价为当x1＜x2时，h（x3）＜h（x2）恒成立，即函数h（x）在（1，+∞）上为增函数；h（x）＝，则h′（x）＝≥5在[1；∴xe x﹣e x+3﹣a≥7；即a﹣3≤xe x﹣e x恒成立，令g（x）＝xe x﹣e x，∴g′（x）＝xe x＞0；∴g（x）在[3，+∞）上为增函数；∴g（x）≥g（1）＝0；∴3﹣a≥7；∴a≤3．∴a的取值范围是（﹣∞，3]．故选：C．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件将不等式进行转化，多次构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若复数，则||＝．【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数＝＝＝1﹣i．∴|z|＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．14．（5分）已知实数x，y，则则z＝2x﹣y的最大值为1．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z＝2x﹣y得y＝2x﹣z作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）平移直线y＝5x﹣z，由图象可知当直线y＝2x﹣z过点A时，直线y＝2x﹣z的截距最小，由，解得，1）．代入目标函数z＝3x﹣y，得z＝2×1﹣5＝1，∴目标函数z＝2x﹣y的最大值是8．故答案为：1．【点评】本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数的几何意义是解答好本题的关键．15．（5分）已知等差数列{a n}前n项和S n，且S2019＞0，S2020＜0，若a k a k+1＜0，则k的值为1010．【分析】利用等差数列的前n项和公式，等差数列的性质可得a1010＞0，a1011＜0，结合a k a k+1＜0，可求k的值．【解答】解：等差数列{a n}中，S2019＝＞7，所以a1+a2019＞0，即3a1010＞0，即a1010＞0，同理S2020＝＜0，所以a8+a2020＜0，即a1011＜0，所以a1010•a1011＜6，又因为a k a k+1＜0，所以k＝1010．故答案为：1010．【点评】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和公式，掌握等差数列的性质是解题的关键，属于基础题．16．（5分）如图，在△ABC中，cos∠BAC＝，且BD＝3DC，AD＝．【分析】设∠BAD＝θ，则0＜θ＜∠BAC，根据三角形的面积公式求出AC，AB，然后由S△ABC＝AB•AC•sin∠BAC＝[4sin（2θ+φ）﹣1]，根据三角函数的性质求出面积的最大值．【解答】解：设∠BAD＝θ，则0＜θ＜∠BAC．∵BD＝3DC，AD＝，∴S△ABD＝S△ABC，∴AB⋅AD sinθ＝，∴AC＝sinθ，∴S△ABC＝AB⋅AC sin∠BAC＝＝sinθ（sinθ）＝5sin8θ+cos2θ﹣＝（sin2θ+cos7θ）﹣＝[2sin（2θ+φ）﹣1]），∵8＜θ＜∠BAC，∴当2θ+φ＝时，sin（5θ+φ）max＝1，∴（S△ABC）max＝．故答案为：．【点评】本题考查了余弦定理和基本不等式，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．三、解答题（第17题10分：第18-22题各小题12分，共70分）17．（10分）已知命题p：∀x∈R，tx2+x+t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃x∈[2，16]，t log2x+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t 的取值范围．【分析】（1）利用全称命题，以及不等式恒成立，通过二次函数的性质求解即可．（2）求出命题q成立时，t的范围，然后通过复合命题的真假转化求解即可．【解答】解：（1）∵∀x∈R，tx2+x+t≤0，∴t＜7且△＝1﹣4t7≤0，解得∴p为真命题时，．…（7分）（2）∃x∈[2，16]2x+4≥0⇒∃x∈[2，16]，．又x∈[2，16]时，．…（8分）∵p∨q为真命题且p∧q为假命题时，∴p真q假或p假q真，当p假q真，有解得，有解得t＜﹣1；∴p∨q为真命题且p∧q为假命题时，t＜﹣4或【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，复合命题的真假的判断，考查计算能力．18．（12分）已知在等差数列{a n}中，a2+a4＝10，a5＝9．（1）求数列{a n}的通项公式，写出它的前n项和S n；（2）若c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）首先利用等差数列的性质求出首项和公差，进一步求出数列的通项公式和数列的和；（2）利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．【解答】解：（1）设首项为a1，公差为d的等差数列{a n}中，a2+a3＝10，a5＝9．所以，整理得，所以a n＝1+2（n﹣5）＝2n﹣1．则．（2）由（1）得＝，所以＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19．（12分）设函数f（x）＝（sin x+cos x）2+．（1）求函数f（x）的最小正周期T和单调递减区间；（2）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（A）的取值范围．【分析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，求出它的最小正周期和单调递减区间；（2）利用正弦定理求出tan B和B的值，再利用三角函数的图象与性质求出f（A）的取值范围．【解答】解：（1）函数＝＝，所以函数f（x）的最小正周期为；令3kπ+≤2x+，k∈Z，解得，k∈Z，所以函数f（x）的单调递减区间为；（2）在锐角△ABC中，由，利用正弦定理得＝，所以tan B＝，其中A∈（0，所以；由，得，所以，所以sin（2A+）∈（﹣，），所以3sin（2A+）+4∈（1﹣），即f（A）的取值范围是．【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数图象的性质，正弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．20．（12分）在ABC中，角A、B、C所对的边长是a、b、c，向量+bc．（1）求角A的大小；（2）若a＝，求△ABC的周长的最大值．【分析】（1）根据向量的模和余弦定理即可求出，（2）利用余弦定理和基本不等式即可求出．【解答】解：（1）向量，且满足，可得b5+c2＝a2+bc，则cos A＝＝，又A∈（8，π），∴A＝．（2）由余弦定理可得a2＝b8+c2﹣2bc cos A＝（b+c）7﹣3bc≥（b+c）2﹣（b+c）2＝（b+c）2，当且仅当b＝c时取等号，∴（b+c）2≤12，∴b+c≤2∴△ABC的周长为a+b+c≤+2．【点评】本题考查了余弦定理和基本不等式，考查了运算求解能力，属于中档题．21．（12分）若数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣1①，当n＝4时，解得a1＝1，当n≥8时，S n﹣1＝2a n﹣5﹣1②，①﹣②得：a n＝2a n﹣7a n﹣1，所以（常数），所以数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列．所以．（2）由于，所以①，②，①﹣②得：T n＝1+3（++…+＝1+2×﹣（4n﹣1）•，整理得．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝+lnx﹣1（a∈R）．（1）若函数f（x）在区间（0，1）上单调递增；（2）若a＞0，函数f（x）在x＝t处取得极小值（t）﹣t+＜0．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤＝x+﹣2在（0，1）上恒成立，令g（x）＝x+﹣2，x∈（0，1），根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）求出a＝，故f（t）＝+lnt﹣1，问题转化为只需证明2lnt﹣t+＜0（t ＞1）成立即可，令h（t）＝2lnt﹣t+＜0（t＞1），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，∴f′（x）≥3在（0，1）上恒成立，即f′（x）＝﹣+≥8，∵x∈（0，1）＝x+，5）上恒成立，令g（x）＝x+﹣2，4），则g′（x）＝1﹣＜0，故g（x）在（0，2）递减，故a≤0时，f（x）在（0，故a的取值范围是（﹣∞，8]；（2）证明：∵函数f（x）在x＝t处取极小值，故f′（t）＝0即f′（t）＝﹣+，即a＝，故f（t）＝，f（x）的定义域是（0，5）∪（1，f′（x）＝﹣+＝，∵a＞0，∴△＝（a+2）3﹣4＞0，设f′（x）＝8的两根为x1，x2（x4＜x2），解得：x1＝，x2＝，由x4+x2＝a+2，x2x2＝1，得4＜x1＜1＜x2，故x∈（0，x1），（x3，+∞）时，f′（x）＞01，7），（1，x2）时，f′（x）＜7，∵f（x）在x＝t处取得极小值，故t＞1，要证2f（t）﹣t+＜0＜7（t＞1）成立即可，令h（t）＝2lnt﹣t+＜0（t＞1），则h′（t）＝﹣1﹣＜0，故h（t）在（1，+∞）递减，故5f（t）﹣t+＜0．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．。
2020年8月甘肃省天水一中2021届高三上学期第一次考试数学(理)试题
试卷第1页，总4页天水一中2018级高三第一次考试（数学）理科命题文贵双王伟审题马静（满分：150分时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}1lg 0,222x A x x B x⎧⎫=<=<<⎨⎬⎩⎭，则（）A ．A B =B ．A B ⊆C ．B A ⊆D ．A B =∅2．已知函数23x y a -=+(0a >且1a ≠）的图像恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图像上，则3log (3)f =()A ．2-B ．1-C ．1D ．23．设524a =，131log 10b =，()3log 311c =，则（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a<<4．下列函数中是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数的是（）A ．2y x x =-B ．ln y x=C ．ln 1y x =+D ．3y x =5．下列有关命题的说法正确的是()A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B ．若p q ∨为真命题，则,p q 均为真命题.C ．命题“存在R x ∈，使得210x x ++<”的否定是：“对任意R x ∈，均有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．6．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶,甲车、乙车的速度曲线分别为V 甲和V 乙（如图所示）,那么对于图中给定的0t 和1t ，下列判断中一定正确的是（）A ．在1t 时刻，两车的位置相同B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面C ．在0t 时刻，两车的位置相同D ．在0t 时刻，甲车在乙车前面。
2021学年高三第一学期第一学段数学考试试题理
（1）由题意，函数 ，则
所以 ，
当 时，可得 ，即 在 内没有零点，
当 时， ，
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减，
又 ，且 ，
所以 在 内有唯一零点 .
（2）由（1）得，当 时， ，所以 ，即 单调递增；
当 时， ，所以 ，即 单调递减，
即 的最大值为 ，
由 得 ，所以 ，
因此 ，
因为 ，所以
.
（参考数据： ， ， ， ， ）
参考答案
1．B2．A3．B4．C5．D6．C7．C8．D9．A10．B11．A
【解析】
【分析】
因为函数 ， 都是偶函数，所以方程 在 有四个不同的解，只需在 上， 的图象两个不同的交点，画出函数图象，求出两函数图象相切时的 值，利用数形结合可得结果.
【详解】
因为函数 ， 都是偶函数，
18．已知等差数列 满足 ，且 是 ， 的等比中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 .求数列 的前n项和 .
19．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinA＝ acosB+asinB．
（1）求B；
（2）设b＝2 ，a＝4，D为线段BC上一点，若S△ABD＝ ，求AD的长．
20．在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习．某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不少于120分的有10人，统计成绩后得到如下 列联表：
所以方程 在 有四个不同的解，
只需在 上， 的图象在两个不同的交点，
甘肃省天水一中2020届高三数学上学期第一阶段考试试题文201912310253
甘肃省天水一中2020届高三数学上学期第一阶段考试试题 文（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U C A B ⋂=（）（ ） A ．{}1- B ．{}0,1 C ．{}1,2,3- D ．{}1,0,1,3-2．已知平面向量，且，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．3．“2211og a og b <”是“11a b <”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．在等差数列中，为其前项和，若，则（ ）A ．60B ．75C ．90D ．1055．已知函数y =f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=1，则f （-2）=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．如右图所示的图象对应的函数解析式可能是A ．221x y x =-- B ．2sin 41x x y x ⋅=+ C ．ln x y x =D ．()22e x y x x =-7．已知，有解，，则下列选项中是假命题的为（ ）A ．B ．C ．D ．8．平面上三个单位向量两两夹角都是23π，则与夹角是（ ） A ．3πB ．23πC ．12πD ．6π 9．已知数列的前项和满足(）且，则（ ） A ． B ． C ． D ．10．已知函数 在区间上单调，且在区间内恰好取得一次最大值2，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．11．如右图所示，O 为ABC ∆的外心，4AB =，2AC =，BAC∠为钝角，M 为BC 边的中点，则的值为（ ） A ．23 B ．12 C ．6 D ．512．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足当x ≥0时，，则的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则____． 14．将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则的值为___．15．若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且*21()n n S a n =-∈N ，则6S 等于________．16．在同一个平面内，向量的模分别为1,1,2,与的夹角为α，且tan 7,α=与的夹角为45︒，若，则m n +=_________．三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若7,c ABC △=33ABC △的周长． 18．（12分）某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：微信控 非微信控 合计 男性26 24 50 女性30 20 50 合计 56 44 100（1）根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人是“微信控”的概率．附：2()P K k ≥ 0.100 0.050 0.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 19．（12分）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB EF ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，已知AB ＝2，EF ＝1．（I ）求证：平面DAF ⊥平面CBF ；（II ）若BC ＝1，求四棱锥F －ABCD 的体积．20．（12分）已知()0,0A x ，()00,B y 两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1AB =，若动点(),P x y 满足．()1求出动点P 的轨迹对应曲线C 的标准方程；()2一条纵截距为2的直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，若以PQ 直径的圆恰过原点，求出直线方程．21．（12分）已知函数()22x f x e x a b =-++（x R ∈）的图象在0x =处的切线为y bx =（e 为自然对数的底数）（1）求,a b 的值；（2）若k Z ∈，且()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立，求k 的最大值. (二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（10分）在直角坐标系x y O 中，圆C 的参数方程1{ x cos y sin ϕϕ=+=（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 333πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线:OM 3πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段Q P 的长．23．（10分）已知000a b c ＞，＞，＞，函数().f x a x x b c =-+++(1)当1a b c ===时,求不等式()3f x ＞的解集；(2)当()f x 的最小值为3时,求111a b c++的最小值.天水一中2020届2019—2020学年度第一学期第一次考试数学文科试题参考答案1．A【解析】【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2．B【解析】,选B.3．D【解析】【分析】 由2211og a og b <可推出a b <，再结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.【详解】若2211og a og b <，则0a b <<，所以110a b>>，即“2211og a og b <”不能推出“11a b <”，反之也不成立，因此“2211og a og b <”是“11a b <”的既不充分也不必要条件.故选D【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，熟记概念即可，属于基础题型.4．B【解析】，即 ，而，故选B.5．D【解析】∵是偶函数 ∴ 当时，，又∴故选：D6．D【解析】对于A ，∵221x y x =--，当x 趋向于-∞时，函数2x y =趋向于0， 21y x =+趋向于+∞∴函数221x y x =--的值小于0，故排除A对于B ，∵sin y x =是周期函数 ∴函数2sin 41x x y x ⋅=+的图像是以x 轴为中心的波浪线，故排除B 对于C ， ∵ln x y x =的定义域是()()0,11,⋃+∞，且在()0,1x ∈时， ln 0x < ∴0ln x y x=<，故排除C 对于D ，∵函数()22211y x x x =-=--，当0,1x x 时， 0y >；当01x <<时， 0y <；且0x y e =>恒成立∴()22xy x x e =-的图像在x 趋向于-∞时， 0y >； 01x <<时， 0y <； x 趋向于+∞时， y 趋向于+∞故选D点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.7．B【解析】试题分析：∵，∴是真命题，取，满足，∴也是真命题，∴是假命题，故选B ． 考点：命题真假判断．8．D【解析】 由题意得，向量,,a b c v v v 为单位向量，且两两夹角为23π， 则3,1a b a c -=+=v v v v ，且()()222213111cos 11cos 11cos 133322a b a c a a c a b b c πππ-⋅+=+⋅-⋅-⋅=+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=+=v v v v v v v v v v v ，所以a b -v v 与a c +v v 的夹角为()()332cos 31a b a c a b a c θ-⋅+===⨯-⋅+v v v v v v v v 0θπ≤≤， 所以a b -v v 与a c +v v 的夹角为6π，故选D. 9．C【解析】【分析】 数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m∈N *）且a 1=5，令m=1，可得S n+1=S n +S 1，可得a n+1=5．即可得出．【详解】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m∈N *）且a 1=5，令m=1，则S n+1=S n +S 1=S n +5．可得a n+1=5．则a =5．故选：C．【点睛】本题考查了数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．B【解析】【分析】由三角函数恒等变换的应用化简得f（x）=2sinωx可得[﹣，]是函数含原点的递增区间，结合已知可得[﹣，]⊇[]，可解得0＜ω≤，又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得，得，进而得解．【详解】=2sinωx，∴[﹣，]是函数含原点的递增区间．又∵函数在[]上递增，∴[﹣，]⊇[]，∴得不等式组：﹣≤，且≤，又∵ω＞0，∴0＜ω≤，又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知且可得ω∈[，．综上：ω∈故选：B ． 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于中档题． 11．D 【解析】 【分析】取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥ ，所求AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，由数量积的定义可得,AD AO AD AE AO AE ⋅=⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，代值即可．【详解】如图所示，取AB,AC 的中点,D E ，且O 为ABC ∆的外心，可知OD AB,OE AC ⊥⊥，∵M 是边BC 的中点，∴1()2AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r.11AM ()()22AO AB AC AO AB AO AC AO AD AO AE AO ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，由数量积的定义可得cos ,AD AO AD AO AD AO ⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，而cos ,AO AD AO AD =u u u v u u u v u u u v u u u v ，故2224||422AB AD AO AD ⎛⎫⎛⎫⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v ； 同理可得2222||122AC AE AO AE ⎛⎫⎛⎫⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v ， 故415AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅=+=u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v. 故选：D ．【点睛】本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题．12．A【解析】【分析】由于函数为奇函数，并且在上有定义，利用求出的值.然后解这个不等式，求得的取值范围.【详解】由于函数为奇函数，并且在上有定义，故，解得，故当时，，这是一个增函数，且，所以，故，注意到，故.根据奇函数图像关于原点对称可知，当时，，.综上所述，.故选A.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查奇函数图像关于原点对称的特点，考查绝对值不等式的解法.属于中档题.13．-1【解析】【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【详解】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减， ∴a 是奇数，且a ＜0， ∴a=﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 14．【解析】 【分析】先由平移得f(x)的解析式，再将代入解析式求值即可 【详解】f(x)=2sin3(x+=2sin(3x+,则故答案为【点睛】本题考查图像平移，考查三角函数值求解，熟记平移原则，准确计算是关键，是基础题 15．63 【解析】 【分析】根据n S 和n a 关系得到数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，再利用公式得到答案. 【详解】当1n =时，1121a a =-，得11a =，当2n …时，21n n S a =-，1121n n S a --=-，两式作差可得：122n n n a a a -=-，则：12n n a a -=， 据此可得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，其前6项和为66216321S -==-．故答案为63． 【点睛】本题考查了等比数列的前N 项和，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用. 16．3. 【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，根据各向量的模和各自的夹角可得,,A B C 各点坐标，再利用向量的等式关系到各坐标之间关系，解出,m n 后可求m n +的值． 【详解】以OA 为x 轴，建立直角坐标系，则(1,0)A ，由OC uuu rOA u u u r 与OC uuur 的夹角为α，且tan 7α=知，cos αα== ，可得17,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()()cos 45,sin 45B αα︒︒++，34,55B ⎛⎫∴-⎪⎝⎭， 由OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r 可得13173455,,,74555555m nm n n n ⎧=-⎪⎪⎛⎫⎛⎫=-⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⎪⎩，57,44m n ==，3m n ∴+=，故答案为3.【点睛】向量的线性运算可以利用基底向量来计算，注意基底向量的合理确定，也可以利用向量之间的关系合理建立平面直角坐标系，把向量系数的计算归结为系数的方程组来考虑. 17．（Ⅰ）πC 3=；（Ⅱ）5【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理进行边角代换，化简即可求角C ；（Ⅱ）根据133sin C 22ab =． 及πC 3=可得6ab =．再利用余弦定理可得 ()225a b +=，从而可得ΑΒC △的周长为57+．试题解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C ΑΒΒΑC +=，()2cos sin sin C ΑΒC +=．故2sin cos sin C C C =． 可得1cos 2C =，所以πC 3=． （Ⅱ）由已知，133sin 22ab C =． 又πC 3=，所以6ab =． 由已知及余弦定理得，222cos 7a b ab C +-=． 故2213a b +=，从而()225a b +=．所以ΑΒC △的周长为57+．【考点】正弦定理、余弦定理及三角形面积公式【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=- ()tan tan A B C +=-,这是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边”.18．（1）见解析；（2）3,2；（3）.【解析】 【分析】（1）列出联表，计算,所以没有的把握认为“微信控”与“性别”有关．（2）由图表可知，在名女性用户中，微信控有人，非微信控有人.（3）利用列举法，列举出位女性任选人的基本事件，由此求得抽取人中恰有人是“微信控”的概率. 【详解】（1）由列联表可得：所以没有的把握认为“微信控”与“性别”有关．（2）根据题意所抽取的位女性中，“微信控”有人，“非微信控”有人.（3）抽取的位女性中，“微信控”人分别记为，，；“非微信控”人分别记为，．则再从中随机抽取人构成的所有基本事件为：，，，，，，，，，，共有种；抽取人中恰有人为“微信控”所含基本事件为：，，，，，，共有种，所求为．【点睛】本小题主要考查列联表分析两个分类变量是否有关，考查分成抽样的知识，考查利用列举法求简单的古典概型问题.属于中档题.19．（I）见解析;（II）.【解析】【分析】（I）通过证明，证得平面，由此证得平面平面.（II）矩形所在平面和圆所在平面垂直，点到边的距离即为四棱锥FABCD的高，然后利用锥体体积公式求得四棱锥的体积.【详解】（I）∵AB为圆O的直径，点F在圆O上∴AF⊥BF又矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直且它们的交线为AB，CB⊥AB∴CB⊥圆O所在平面∴AF⊥BC 又BC、 BF为平面CBF上两相交直线∴AF⊥平面CBF又∴平面DAF⊥平面CBF．（II）连接OE∵AB＝2，EF＝1，AB EF∴OA＝OE＝1，即四边形OEFA为菱形∴AF＝OA＝OF＝1∴等边三角形OAF中，点F到边OA的距离为又矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直∴点F到边OA的距离即为四棱锥F－ABCD的高∴四棱锥F－ABCD的高又BC＝1∴矩形的ABCD的面积S ABCD＝∴【点睛】本小题考查空间两个平面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法.要证明两个平面垂直，则需要在一个平面内找到另一个平面的垂线来证明.属于中档题.20．（1）22143x y +=（2）y 23x =±+【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程．（2）直线l 1斜率必存在，且纵截距为2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出k 的值，问题得以解决． 【详解】(1)因为2OP OA =+u u u v u u u v u u v即()())()0000,2,00,2x y x y x ==所以002,x x y ==所以001,23x x y y == 又因为1AB =,所以22001x y +=即:22112x y ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即22143x y += 所以椭圆的标准方程为22143x y +=(2) 直线1l 斜率必存在，且纵截距为2,设直线为2y kx =+联立直线1l 和椭圆方程222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得: ()22341640kxkx +++= 由>0∆,得214k >()*设()()112,2,,P x y Q x y 以PQ 直径的圆恰过原点 所以OP OQ ⊥,•0OP OQ =u u u v u u u v即12120x x y y +=也即()()1212220x x kx kx +++= 即()()212121240kx xk x x ++++=将(1)式代入,得()2224132403434k kk k+-+=++ 即()()22241324340kk k +-++=解得243k =,满足（*）式，所以k =所以直线23y x =±+ 21．(1)a=-1,b=1;(2)-1.【解析】（1）对()f x 求导得()2xf x e x '=-，根据函数()f x 的图象在0x =处的切线为y bx =，列出方程组，即可求出,a b 的值；（2）由（1）可得()21x f x e x =--，根据()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立，等价于215122x k e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立，构造()215122x h x e x x =+--，求出()h x '的单调性，由()00h '<，()10h '>，102h ⎛⎫< ⎪⎭'⎝， 304h ⎛⎫> ⎪⎭'⎝，可得存在唯一的零点013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，利用单调性可求出()()0min h x h x =，即可求出k 的最大值. （1）()22xf x e x a b =-++， ()2xf x e x '=-.由题意知()()01201{{ 011f a b a f b b =++==-⇒==='. （2）由（1）知： ()21xf x e x =--，∴()()2135202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立 2151022x e x x k ⇔+---≥对任意x R ∈恒成立215122x k e x x ⇔≤+--对任意x R ∈恒成立.令()215122x h x e x x =+--，则()52xh x e x ='+-.由于()'10xh x e +'=>，所以()h x '在R 上单调递增.又()3002h =-<'，()3102h e =->'，121202h e ⎛⎫=-< ⎪'⎝⎭，343737104444h e ⎛⎫=->+-⎪'= ⎝⎭，所以存在唯一的013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h x '=，且当()0,x x ∈-∞时， ()0h x '<， ()0,x x ∈+∞时， ()0h x '>. 即()h x 在()0,x -∞单调递减，在()0,x +∞上单调递增. 所以()()02000min 15122xh x h x e x x ==+--. 又()00h x '=，即00502x e x +-=，∴0052xe x =-.∴()()2200000051511732222h x x x x x x =-+--=-+.∵013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴ ()0271,328h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.又因为215122xk e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立()0k h x ⇔≤， 又k Z ∈，∴ max 1k =-.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 22．（1）2cos ρθ=；（2）2【解析】试题分析：（I ）把cos 2φ+sin 2φ=1代入圆C 的参数方程为1{x cos y sin ϕϕ=+= （φ为参数），消去参数化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（II）设P（ρ1，θ1），联立2{3cosρθπθ==，解得ρ1，θ1；设Q（ρ2，θ2），联立()sin{3ρθθπθ==，解得ρ2，θ2，可得|PQ|．解析：（1）圆C的普通方程为()2211x y-+=，又cosxρθ=，sinyρθ=所以圆C的极坐标方程为2cosρθ=（2）设()11,ρθP，则由2{3cosρθπθ==解得11ρ=，13πθ=设()22Q,ρθ，则由()sin{3ρθθπθ+==解得23ρ=，23πθ=所以Q2P=23．（1）{|11}x x x<->或；（2）3【解析】【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）先用绝对值不等式的性质求出最小值为a+b+c＝3，然后用基本不等式可得．【详解】（1）()111f x x x=-+++，∴1123xx≤-⎧⎨->⎩或1133x-<<⎧⎨>⎩或1213xx≥⎧⎨+>⎩，解得{|11}x x x或-.（2）f x x a x b c=-+++a x x b c a b c≥-+++=++3a b c=++=，()11111113a b ca b c a b c⎛⎫++=++++⎪⎝⎭133b ac a c ba b a c b c⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1322233≥+++=. 当且仅当1a b c ===时取得最小值3.【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2021届甘肃省天水一中高三上学期第一次考试数学(理)试题解析
（2）若 ， ，求二面角 的大小．
答案：（1）证明见解析；（2）90°．
（1）连接 ，交 于 ，连接 ，则由 是 的中点，可得 ，而由 可得 ，所以可得到 ，从而由线面平行的判定定理可证得 平面 ；
答案：（1） （2）平均数为71，中位数为73.33（3）
（1）根据频率分布直方图中各小矩形面积和为1，即可求得 的值；
（2）由平均数与中位数的求法，结合频率分布直方图即可得解.
（3）由分层抽样性质可分别求得抽取的5个口罩中一等品、二等品的数量，利用列举法列举出抽取2个口罩的所有情况，即可求得2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.
，即
解得 ，
所以 ．
点评：
准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．
一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算 ，避免繁分式计算．
16．已知函数 ，若 ，则 的取值范围是______．
答案：
作出函数图象，得出函数单调区间，分类讨论解不等式．
关于直线 的对称点为 ， ，
故 的最小值是 .
故选：C.
点评：
本题考查了点关于直线对称，与圆相关的距离的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化能力.
12．已知定义在 上的函数 对任意的 都满足 ，当 时， ．若函数 恰有6个不同零点，则 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
答案：A
根据题意作出 与 的图像，讨论当 时， ，当 ， ，分别解不等式组即可求解.
7．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 取决于信道带宽 ，信道内信号的平均功率 ，信道内部的高斯噪声功率 的大小，其中 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽 ，而将信噪比 从1000提升至4000，则 大约增加了（）附：
2020-2021学年甘肃省天水一中高三(上)期中数学试卷(理科)
2020-2021学年甘肃省天水一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|y =√x 2+2x −3}，B ={−2,0，2，3}，M =A ∩B ，则M 的子集共有( )A. 3个B. 4个C. 7个D. 8个2. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,1)，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则t =( )A. 5B. 4C. 3D. 23. 在等差数列{a n }中，若a 1+a 2+a 3=3，a 11+a 12+a 13=12，则a 5+a 9=( )A. 15B. 10C. 5D. 14. 已知sinα+3cosα3cosα−sinα=5，则sin 2α−sinαcosα的值是( )A. 25B. −25C. −2D. 25. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a >b >0，则下列结论错误的是( )A. 1a <1bB. log 2(a −b)>0C. a 12>b 12D. 3a >3b6. 一个等比数列{a n }的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为( )A. 63B. 108C. 75D. 837. 已知函数f(x)=√3sin(2x +π3)，则下列结论正确的是( )A. 函数f(x)的最小正周期为2πB. 函数f(x)的图象的一个对称中心为(π6,0) C. 函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x =π3D. 函数f(x)的图象可以由函数y =√3cos2x 的图象向右平移π12个单位长度得到8. △ABC 中A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sinAsinB =ac ，(b +c +a)(b +c −a)=3bc ，则△ABC 的形状为( )A. 等边三角形B. 等腰非等边三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形9. 已知正项等比数列{a n }中a 9=9a 7，若存在两项a m 、a n ，使a m a n =27a 12，则1m +16n的最小值为( )A. 5B. 215C. 516D. 65410. 已知点P(x,y)在曲线C ：x 2+y 2−2x =0上，则x −2y 的最大值为( )A. 2B. −2C. 1+√5D. 1−√511. 已知函数f(x)定义域为R ，且满足下列三个条件：①任意x 1≠x 2∈(−4,0)，都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1>0；②f(x)=−f(x +4)；③y =f(x +4)为偶函数，则( )A. f(2019)>f(15)>f(2)B. f(15)>f(2)>f(2019)C. f(2)>f(15)>f(2019)D. f(2)>f(2019)>f(15)12. 已知函数f(x)=e x +ax −3，其中a ∈R ，若对于任意的x 1，x 2∈[1,+∞)，且x 1<x 2，都有x 2⋅f(x 1)−x 1⋅f(x 2)<a(x 1−x 2)成立，则a 的取值范围是( )A. [3,+∞)B. [2,+∞)C. (−∞,3]D. (−∞,2]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 复数z =21+i ，则|z|=______．14. 已知实数x ，y ，则{x ≤1,x +y −2≥0,x −y +2≥0,则z =2x −y 的最大值为______．15. 已知等差数列{a n }前n 项和S n ，且S 2019>0，S 2020<0，若a k a k+1<0，则k 的值为______．16. 如图，在△ABC 中，cos∠BAC =14，点D 在线段BC 上，且BD =3DC ，AD =√152，则△ABC 的面积的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知命题p ：∀x ∈R ，tx 2+x +t ≤0．(1)若p 为真命题，求实数t 的取值范围；(2)命题q ：∃x ∈[2,16]，tlog 2x +1≥0，当p ∨q 为真命题且p ∧q 为假命题时，求实数t 的取值范围．18.已知在等差数列{a n}中，a2+a4=10，a5=9．(1)求数列{a n}的通项公式，写出它的前n项和S n；(2)若c n=2a n⋅a n+1，求数列{c n}的前n项和T n．19.设函数f(x)=(sinx+cosx)2+√3sin(2x+5π2)．(1)求函数f(x)的最小正周期T和单调递减区间；(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且√3asinA =bcosB，求f(A)的取值范围．20.在ABC中，角A、B、C所对的边长是a、b、c，向量m⃗⃗⃗ =(b,c)，且满足|m⃗⃗⃗ |2=a2+bc．(1)求角A的大小；(2)若a=√3，求△ABC的周长的最大值．21.若数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−1，n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2n−1，求数列{b n}的前n顶和T n．a n+lnx−1(a∈R)．22.已知函数f(x)=ax−1(1)若函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，求实数a的取值范围；<0．(2)若a>0，函数f(x)在x=t处取得极小值，证明：2f(t)−t+3t答案和解析1.【答案】B【解析】解：A ={x|x 2+2x −3≥0}={x|x ≤−3或x ≥1}，B ={−2,0，2，3}， ∴M =A ∩B ={2,3}， ∴M 的子集共有：22=4个． 故选：B ．可求出集合A ，然后进行交集的运算即可求出M ，然后根据子集个数的计算公式即可得出M 的子集个数．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,1)， 所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −2,−1)， 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，所以2t −4−2=2，解得t =4． 故选：B ．利用已知条件，求出数量积的两个向量，然后利用数量积求解即可． 本题考查向量的数量积的运算与应用，考查计算能力，是基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，等差数列{a n }中，设其公差为d ， 若a 1+a 2+a 3=3，a 11+a 12+a 13=12，则有a 1+a 2+a 3=3a 2=3，a 11+a 12+a 13=3a 12=12，变形可得a 2=1，a 12=4， 则d =a 12−a 212−2=4−110=310，而a 5+a 9=2a 7=2(a 2+5d)=2×(1+5×310)=5， 故选：C ．根据题意，设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的性质可得a 1+a 2+a 3=3a 2=3，a11+a12+a13=3a12=12，变形可得a2=1，a12=4，求出公差d，又由a5+a9= 2a7=2(a2+5d)，计算可得答案．本题考查等差数列的性质，涉及等差数列通项公式的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵sinα+3cosα3cosα−sinα=5，∴tanα+33−tanα=5，∴tanα=2．∴sin2α−sinαcosα=sin2α−sinαcosα sin2α+cos2α=tan2α−tanα tan2α+1=4−24+1=25，故选：A．由已知条件求出tanα值，化简sin2α−sinαcosα=tan2α−tanα tan2α+1，把tanα值代入运算．本题考查同角三角函数的基本关系的应用，1的代换，把所求的sin2α−sinαcosα变形为sin2α−sinαcosα sin2α+cos2α是解题的难点．5.【答案】B【解析】解：令a=2，b=1，得选项B错误，故选：B．根据特殊值法判断即可．本题考查了不等式的性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题．6.【答案】A【解析】解：由等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列．则等比数列的第一个n项的和为48，第二个n项的和为60−48=12，∴第三个n项的和为：12248=3，∴前3n项的和为60+3=63．故选：A．根据等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列，进而根据等比等比数列的第一个n 项的和和第二个n 项的和，求得第三个n 项的和，进而把前2n 项的和加上第三个n 项的和，即可求得答案．本题主要考查了等比数列的前n 项的和．解题的关键是利用等比数列每k 项的和也成等比数列的性质．7.【答案】D【解析】解：对于函数f(x)=√3sin(2x +π3)，它的周期为2π2=π，故A 错误； 当x =π6时，求得f(x)=32，故f(x)的图象的对称中心不会是(π6,0)，故B 错误； 令x =π3，求得f(x)=0，故f(x)的图象的对称轴不会是x =π3，故C 错误； 把函数y =√3cos2x 的图象向右平移π12个单位长度，可得y =√3cos(2x −π6)=√3sin(2x +π3)的图象， 故选项D 正确， 故选：D ．由题意利用正弦函数的图象和性质，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：∵(b +c +a)(b +c −a)=3bc ， ∴(b +c)2−a 2=3bc ， ∴b 2+c 2+2bc −a 2=3bc ， ∴b 2+c 2−a 2=bc ， 由余弦定理得：cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，A ∈(0,π)，∴A =π3，∵△ABC 中，由正弦定理得：asinA =bsinB ， ∴sinAsinB =ab ，又sinAsinB =ac ， ∴ab =ac ，∴b=c，综合可知三角形为等边三角形．故选：A．把(b+c+a)(b+c−a)=3bc整理课求得b2+c2−a2和bc的关系式，代入余弦定理中可求得cos A的值，进而取得A，同时利用正弦定理和sinAsinB =ac整理后可知b=c，最后可判断出三角形的形状．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应．解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成角和边的问题的转化．9.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，还考查了利用乘1法在基本不等式的应用条件配凑中的应用，属于中档试题．由已知结合等比数列的性质及通项公式可求m+n，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为正项等比数列{a n}中a9=9a7，所以q2=a9a7=9，即q=3，若存在两项a m、a n，使a m a n=27a12，则a12⋅3n+m−2=27a12，所以m+n=5，m>0，n>0，m≠n，则1m +16n=15(m+nm+16(m+n)n)=15(17+nm+16mn)≥15(17+8)=5，当且仅当nm =16mn且n+m=5即m=1，n=4时取等号，故选：A．10.【答案】C【解析】解：根据题意，设x−2y=t，则有x=2y+t，可以看成一条直线，将其代入圆的方程x2+y2−2x=0中，可得5y2+(4t−4)y+t2−2t=0，则有△≥0，可得t2−2t−4≤0，解−√5+1≤t≤√5+1；则x−2y的最大值为√5+1；故选：C．根据题意，设x−2y=t，将其代入圆的方程中，变形，由直线与圆的位置关系分析可得△≥0，解可得t的取值范围，分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，把几何问题转化为代数问题是解题的关键，是中档题．11.【答案】B【解析】解：根据题意，若对任意的x1，x2∈(−4,0)，当x1<x2时，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>0，则函数f(x)在区间(−4,0)上为增函数，若f(x+4)=−f(x)，则f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，即函数f(x)的周期为8，故(4,8)上也递增，若y=f(x+4)是偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x=4对称，∵f(2)=f(6)，f(15)=f(1)=f(7)，f(2019)=f(252×8+3)=f(3)=f(5)，又由函数f(x)在区间[4,8]上为增函数，则有f(2019)<f(2)<f(15)．故选：B．根据题意，由①分析可得函数f(x)在区间(−4,0)上为增函数，由②分析可得函数f(x)的周期为8，由③分析可得函数f(x)的图象关于直线x=−4和x=4对称，进而分析可得f(2)=f(6)，f(15)=f(7)，f(2019)=f(5)，结合函数在[4,8]上的单调性，分析可得答案．本题考查抽象函数的应用，关键是依据题意，分析函数的单调性和周期性．12.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件将不等式进行转化，多次构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．将不等式变形为：f(x1)+ax1<f(x2)+ax2恒成立，构造函数ℎ(x)=f(x)+ax，转化为当x1<x2时，ℎ(x1)<ℎ(x2)恒成立，为了求a的范围，所以需要构造函数，可通过求导数，根据单调性来求它的范围．【解答】解：∵对于任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1<x2，都有x2⋅f(x1)−x1⋅f(x2)<a(x1−x2)成立，∴不等式等价为f(x1)+ax1<f(x2)+ax2恒成立，令ℎ(x)=f(x)+ax，则不等式等价为当x1<x2时，ℎ(x1)<ℎ(x2)恒成立，即函数ℎ(x)在(1,+∞)上为增函数；ℎ(x)=e x+ax−3+ax，则ℎ′(x)=xe x−e x+3−ax2≥0在[1,+∞)上恒成立；∴xe x−e x+3−a≥0；即a−3≤xe x−e x恒成立，令g(x)=xe x−e x，∴g′(x)=xe x>0；∴g(x)在[1,+∞)上为增函数；∴g(x)>g(1)=0；∴3−a≥0；∴a≤3．∴a的取值范围是(−∞,3]．故选：C．13.【答案】√2【解析】【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．【解答】解：∵复数z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1−i．∴|z|=√12+(−1)2=√2．故答案为：√2．14.【答案】1第11页，共17页【解析】解：由z =2x −y 得y =2x −z作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)：平移直线y =2x −z ，由图象可知当直线y =2x −z 过点A 时，直线y =2x −z 的截距最小，此时z 最大， 由{x =1x +y −2=0，解得{x =1y =1，即A(1,1)． 代入目标函数z =2x −y ， 得z =2×1−1=1，∴目标函数z =2x −y 的最大值是1． 故答案为：1．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数的几何意义是解答好本题的关键．15.【答案】1010【解析】解：等差数列{a n }中，S 2019=2019×(a 1+a 2019)2>0，所以a 1+a 2019>0，即2a 1010>0，即a 1010>0， 同理S 2020=2020×(a 1+a 2020)2<0，所以a 1+a 2020<0，即a 1011<0， 所以a 1010⋅a 1011<0， 又因为a k a k+1<0， 所以k =1010． 故答案为：1010．利用等差数列的前n 项和公式，等差数列的性质可得a 1010>0，a 1011<0，结合a k a k+1<0，可求k 的值．本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和公式，掌握等差数列的性质是解题的关键，属于基础题．16.【答案】√15【解析】解：设∠BAD=θ，则0<θ<∠BAC．∵BD=3DC，AD=√152，∴S△ABD=34S△ABC，∴12AB⋅ADsinθ=34×12×AB⋅ACsin∠BAC，∴AC=83sinθ，同理AB=8sin(∠BAC−θ)，∴S△ABC=12AB⋅ACsin∠BAC=8√153sinθsin(∠BAC−θ)=8√153sinθ(√154cosθ−14sinθ)=5sin2θ+√153cos2θ−√153=√153(√15sin2θ+cos2θ)−√153=√153[4sin(2θ+φ)−1]，(其中tanφ=√1515)，∵0<θ<∠BAC，∴当2θ+φ=π2时，sin(2θ+φ)max=1，∴(S△ABC)max=√15．故答案为：√15．设∠BAD=θ，则0<θ<∠BAC，根据三角形的面积公式求出AC，AB，然后由S△ABC=1 2AB⋅AC⋅sin∠BAC=√153[4sin(2θ+φ)−1]，根据三角函数的性质求出面积的最大值．本题考查了余弦定理和基本不等式，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵∀x∈R，tx2+x+t≤0，∴当t=0时，x≤0，与x∈R矛盾，舍去；当t<0且△=1−4t2≤0，解得t≤−12．∴p为真命题时，t≤−12．第12页，共17页第13页，共17页(2)∃x ∈[2,16]，tlog 2x +1≥0，，即，∴∃x ∈[2,16]，t ≥−1log 2x 有解．又x ∈[2,16]时，−1log2x∈[−1,−14]，∴t ≥−1，∴q 为真命题时，t ≥−1．∵p ∨q 为真命题且p ∧q 为假命题时，∴p 真q 假或p 假q 真， 当p 假q 真，有{t ≥−1t >−12解得t >−12； 当p 真q 假，有{t <−1t ≤−12解得t <−1；∴p ∨q 为真命题且p ∧q 为假命题时，t <−1或t >−12．【解析】(1)利用全称命题，以及不等式恒成立，通过二次函数的性质求解即可． (2)求出命题q 成立时，t 的范围，然后通过复合命题的真假转化求解即可． 本题考查命题的真假的判断与应用，复合命题的真假的判断，考查计算能力．18.【答案】解：(1)设首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }中，a 2+a 4=10，a 5=9． 所以{a 2+a 4=10a 5=9，整理得{2a 1+4d =10a 1+4d =9，解得{a 1=1d =2，所以a n =1+2(n −1)=2n −1． 则S n =1+3+5+⋯+(2n −1)=n(1+2n−1)2=n 2．(2)由(1)得c n =2an ⋅a n+1=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1，所以T n =1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1=1−12n+1=2n2n+1．【解析】(1)首先利用等差数列的性质求出首项和公差，进一步求出数列的通项公式和数列的和；(2)利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)函数f(x)=2sinxcosx +√3cos2x +1=sin2x +√3cos2x +1第14页，共17页=2sin(2x +π3)+1，所以函数f(x)的最小正周期为T =2π2=π；令2kπ+π2≤2x +π3≤2kπ+3π2，k ∈Z ，解得kπ+π12≤x ≤kπ+7π12，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递减区间为[kπ+π12,kπ+7π12](k ∈Z)； (2)在锐角△ABC 中，由√3a sinA =b cosB，利用正弦定理得√3bsinB=bcosB ， 所以tanB =√3，其中A ∈(0,π)， 所以B =π3； 由{0<A <π20<2π3−A <π2， 得π6<A <π2， 所以2A +π3∈(2π3,4π3)，所以sin(2A +π3)∈(−√32,√32)，所以2sin(2A +π3)+1∈(1−√3,1+√3)， 即f(A)的取值范围是(1−√3,1+√3)．【解析】(1)化函数f(x)为正弦型函数，求出它的最小正周期和单调递减区间； (2)利用正弦定理求出tan B 和B 的值，再利用三角恒等变换求出f(A)的取值范围． 本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)向量m ⃗⃗⃗ =(b,c)，且满足|m ⃗⃗⃗ |2=a 2+bc ， 可得b 2+c 2=a 2+bc ， 则cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，又A ∈(0,π)， ∴A =π3．(2)由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA =(b +c)2−3bc ≥(b +c)2−34(b +c)2=14(b+c)2，当且仅当b=c时取等号，∴(b+c)2≤12，∴b+c≤2√3∴△ABC的周长为a+b+c≤√3+2√3=3√3．【解析】(1)根据向量的模和余弦定理即可求出，(2)利用余弦定理和基本不等式即可求出．本题考查了余弦定理和基本不等式，考查了运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−1①，当n=1时，解得a1=1，当n≥2时，S n−1=2a n−1−1②，①−②得：a n=2a n−2a n−1，所以a na n−1=2(常数)，所以数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列．所以a n=1×2n−1=2n−1．(2)由于b n=2n−1a n =(2n−1)⋅(12)n−1，所以T n=1×120+3×(12)1+⋯+(2n−1)⋅(12)n−1①，1 2T n=1×121+3×(12)2+⋯+(2n−1)⋅(12)n②，①−②得：12T n=1+2(12+14+⋯+12n−1)−(2n−1)⋅12n=1+2×12(1−12n−1)1−12−(2n−1)⋅12n，整理得T n=6−2n+32n−1．【解析】(1)利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；(2)利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．第15页，共17页22.【答案】解：(1)∵函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，∴f′(x)≥0在(0,1)上恒成立，即f′(x)=−a(x−1)2+1x≥0，∵x∈(0,1)，∴a≤(x−1)2x =x+1x−2在(0,1)上恒成立，令g(x)=x+1x−2，x∈(0,1)，则g′(x)=1−1x2<0，故g(x)在(0,1)递减，g(x)>g(1)=0，故a≤0时，f(x)在(0,1)递增，故a的取值范围是(−∞,0]；(2)证明：∵函数f(x)在x=t处取极小值，故f′(t)=0即f′(t)=−a(t−1)2+1t=0，即a=(t−1)2t ，故f(t)=t−1t+lnt−1，f(x)的定义域是(0,1)∪(1,+∞)，f′(x)=−a(x−1)2+1x=x2−(a+2)x+1x(x−1)2，∵a>0，∴△=(a+2)2−4>0，设f′(x)=0的两根为x1，x2(x1<x2)，解得：x1=a+2−√a2+4a2，x2=a+2+√a2+4a2，由x1+x2=a+2，x1x2=1，得0<x1<1<x2，故x∈(0,x1)，(x2,+∞)时，f′(x)>0，当x∈(x1,1)，(1,x2)时，f′(x)<0，∵f(x)在x=t处取得极小值，故t>1，要证2f(t)−t+3t <0，只需证明2lnt−t+1t<0(t>1)成立即可，令ℎ(t)=2lnt−t+1t<0(t>1)，则ℎ′(t)=2t −1−1t2=−(t−1)2t2<0，故ℎ(t)在(1,+∞)递减，ℎ(t)<ℎ(1)=0，故2f(t)−t+3t<0．【解析】(1)求出函数的导数，问题转化为a≤(x−1)2x =x+1x−2在(0,1)上恒成立，令g(x)=x+1x−2，x∈(0,1)，根据函数的单调性求出a的范围即可；(2)求出a=(t−1)2t ，故f(t)=t−1t+lnt−1，问题转化为只需证明2lnt−t+1t<0(t>1)第16页，共17页<0(t>1)，根据函数的单调性证明即可．成立即可，令ℎ(t)=2lnt−t+1t本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．第17页，共17页。
甘肃省天水一中2021届高三数学上学期第一学段考试试题文【含答案】
故 G(x)max=G(1)=-1<0,
∴g(x)<x. (2)解：∵f(x)=ax2-x-lnx (a>0),
∴x>0,f'(x)=
,
∵(-1)2+8a>0,∴方程 2ax2-x-1=0 有两个不相等的实根,设为 x1,x2(x1<x2),
∴f'(x)=
分数不少于 120 分 分数不足 120 分 合计
线上学习时间不少于 5 小时
4
19
线上学习时间不足 5 小时
10
合计
45
（1）请完成上面 2 2 列联表；并判断是否有 99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线 上学习时间有关”； （2）在上述样本中从分数不少于 120 分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间 不少于 5 小时和线上学习时间不足 5 小时的学生共 5 名，若在这 5 名学生中随机抽取 2 人，求 每周线上学习时间不足 5 小时的人数为 1 人的概率． （下面的临界值表供参考）
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.） 1-5 B C C A D 6-10 D A B D B 11-12 A B 12.【解答】 解：由 f（x）＝mlnx-2x， 故 f（ex）＝mx-2ex 由不等式 f（x＋1）＞mx-2ex 在 x∈（0，＋∞）上恒成立， 则 f（x＋1）＞f（ex）在 x∈（0，＋∞）上恒成立． ∵1＜x＋1＜ex ， ∴f（x）＝mlnx-2x 在 x∈（1，＋∞）上单调递减，
2
4
∴△ABC 的面积的最大值为 3 ．
20．(12 分）（1）列联表见解析，有 99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时
3
2021届甘肃省天水市一中高三上学期第一阶段考试数学(理)试题Word版含答案
2021届甘肃省天水市一中高三上学期第一阶段考试数学（理）试题一、选择题（本大题共个小题，每小题4分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1．已知集合，则（）A. B. C. D.2．“”是“函数在区间上为增函数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要3．已知，则（）A. B. C. D.4．曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.5．定义域为上的奇函数满足，且，则（）A. 2B. 1C. -1D. -26．已知函数，（为自然对数的底数），且,则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7．在中，，若，则面积的最大值是（）A. B. 4C. D.8．已知函数，且，则（）A. B. C. D.9．函数的示意图是（）A. B. C. D.10．已知，是函数图像上的两个不同点.且在两点处的切线互相平行，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．已知函数.若命题：“，使”是真命题，则实数的取值范围是__________．12．若点在直线上，则．13．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是____．14．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点（为自然对数的底），则线段的长度的最小值为______．三、解答题（本大题共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）设命题：实数满足，其中；命题：实数满足. （1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.16．（10分）已知函数（，）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为.（1）当时，求的单调递减区间；（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域.17．（12分）在中，角所对的边分别为，且.（1）若，求；（2）若，的面积为，求.18．(12分)已知函数.（Ⅰ）判断函数在上的单调性；（Ⅱ）若恒成立, 求整数的最大值．2021届甘肃省天水市一中高三上学期第一阶段考试数学（理）试题参考答案一、选择题1——5 DAAAC 6——10 CDDCD二、填空题11、 12、3 13、 14、三、解答题15、【答案】(1) (2)试题解析：解：（1）由得，又，所以，当时，，即为真时实数的取值范围是.为真时等价于，得，即为真时实数的取值范围是.若为真，则真且真，所以实数的取值范围是.（2）是的充分不必要条件，即，且，等价于，且，设，，则；则，且所以实数的取值范围是.16、【答案】(1) ;(2) .试题解析：（1）由题意可得：，因为相邻量对称轴间的距离为，所以，，因为函数为奇函数，所以，，，因为，所以，函数∵∴要使单调减，需满足，，所以函数的减区间为；（2）由题意可得：∵，∴∴，∴即函数的值域为.17、【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）由正弦定理得：，即，∴，∵，∴，则，∵，∴由正弦定理得：（2）∵的面积为，∴，得，∵，∴，∴，即，∵，∴.18、试题解析：（Ⅰ）上是减函数（Ⅱ），即的最小值大于.令，则上单调递增, 又，存在唯一实根, 且满足，当时，当时，∴，故正整数的最大值是3。
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甘肃省天水市第一中学2020-2021学年高三上学期
第一学段考试数学理科试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 设集合，，则（）A．B．C．D．
2. 已知函数，则下列结论正确的是（）
A．函数的图象关于点中心对称
B．函数在上是增函数
C．函数的图象关于直线x＝1对称
D．函数的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB//x轴
3. 已知函数的导函数为，若，则的大小关系不可能为（）
A．B．
C．D．
4. 已知，其中是第一象限角，则（）
A．B．2
C．D．
5. 已知函数的最小正周期为，将其图象
向右平移个单位后得函数的图象，则函数的图象
（）
A．关于直线对称B．关于直线对称
C．关于点对称D．关于点对称
6. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K
时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
7. 已知在中，，判断的形状为（）.
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形
8. 设a，b都是不等于1的正数，则“5a>5b”是“”的
（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9. 若，则（）
A．B．C．D．
10. 若则角的终边落在直线（）上
A．B．C．D．
11. 已知函数，，若方程在
有四个不同的解，则的取值范围为（）A．B．C．D．
12. 已知函数有两个不同的极值点，，若不等式
有解，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
二、填空题
13. 命题“，”的否定是_______________.
14. 曲线与直线围成的封闭图形的面积为__________.
15. 曲线在点处的切线方程与直线垂直，则
______．
16. 设、是常数，且满足，则的值是
________.
三、解答题
17. 已知函数
（1）求它的单调递增区间；
（2）若，求此函数的值域.
18. 已知等差数列满足，且是，的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设.求数列的前n项和.
19. △ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b sin A＝
a cos B+a sin B．
（1）求B；
（2）设b＝2，a＝4，D为线段BC上一点，若S△ABD＝，求AD的长．
20. 在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习．某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不少于120分的有10人，统计成绩后得到如下列联表：
分数不少于120分分数不足120
分
合计
线上学习时间不少于5小
时
4 19
线上学习时间不足5小时10
合计45
（1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；
（2）在上述样本中从分数不少于120分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于5小时和线上学习时间不足5小时的学生共5名，若在这5名学生中随机抽取2人，其中每周线上学习时间不足5小时的人数为，求的分布列及其数学期望．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式其中）
21. 设曲线在点处取得极值.
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间和极值.
22. 已知函数，，为的导数，且.证明：
在内有唯一零点；
.
（参考数据：，，，，.）。