2.1矩阵的概念及几种特殊矩阵

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2.对角矩阵
主对角线上的元素不全为零, 其余的元素全为零 的方阵称为对角矩阵. 如
a11
A
a22
.
ann
主对角线
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为 n 阶对角矩阵, 其中未标记出的元素全为零, 即
aij = 0 , i j , i, j = 1, 2, … , n ,
§2.1 矩阵的概念 几种特殊的矩阵
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一、基本概念
定义 由 m n 个数 aij (i= 1, 2, … , m; j=1,
2,… , n) 排成的 m 行 n 列的数表
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am 2 amn
称为m行n 列矩阵，简称m n 矩阵. 记作
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4.单位矩阵
如下形式的 n 阶矩阵称为单位矩阵，记为 In 或 I,
或 En 或 E。
1 0 0 0 1 0 I 。 0 0 1
单位矩阵是特殊的数量矩阵：a11a22anna1。
单位矩阵的作用： 类似于数字“1”的运算。
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简记为 A= ( aij )n 或 An
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2 .行矩阵与列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵 (也称为行向量).
如
A = ( a11 , a12 , … , a1n ).
只有一列的矩阵称为列矩阵 (也称为列向量).
如
a 11
B
a 21
.
a m 1
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对角矩阵常记为 Λ= diag( a11 , a22 , … , ann ). 例如
3 0 0
diag(132,,) 0 1 0 .
0
0
2
对角矩阵
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3.数量矩阵
如下形式的 n 阶矩阵称为数量矩阵：
a 0 0 A 0 a 0 。
0 0 a
数量矩阵是特殊的对角矩阵：a11a22anna。
mn 矩阵A也记作 Amn.
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（1）式也可简记为 A ＝ ( aij )mn 或 A = ( aij ) . 编辑课件
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关于矩阵定义的几点说明：
1.矩阵是一个 数表, 且矩阵的行数与列数可不同;
行列式是一个 数值. 例 如
5×2
1 2 4 3
1 2 3 0
矩阵
9 8 5 2 9 8
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a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
(1)
am1 am2 amn
这 m n 个数叫做矩阵的元素, 数aij 位于矩阵 A 的
第 i 行第 j 列, 称为矩阵A的(i ,j)元.
以数aij 为 (i ,j) 元的矩阵简记为 ( a ij ) 或 (aij )mn,
如果对应元素相等, 即 aij = bij , i = 1,2, … , m , j = 1, 2, … , n ,
则称矩阵 A 和矩阵 B 相等, 记为 A = B .
例如
3 4
1 2
与
5 6
a b c d e f
当 a=3, b=-1, c=4, d=2, e=-5, f=6 时, 它们相等.
4 2 1 0
5 1
3 5
３×４矩阵
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二、几个常用概念
1.n阶方阵
行数和列数相同的矩阵称为方阵． 例如
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2
n
.
an1 an2 ann
n×n 矩阵
A 称为 n n 方阵, 常称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵,
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5.对称矩阵
如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA ，则称 A 为对称矩阵，即
a11 a12 a1n
A
a12 a22 a2n
。
a1n a2n ann
在对称矩阵中，有aijaji。
例如，矩阵
1 1 和 1 0 都是对称矩阵。
103 0 2 1 3 1 3
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三、几种特殊的矩阵
1 .零矩阵
若一个矩阵的所有元素都为零, 则称这个矩阵为
零矩阵, m n 零矩阵记为 Ｏm n , 在不会引起
混淆的情况下, 也可记为 Ｏ．
零矩阵的作用：类似于数字“0”的运算。
注：
（1）零矩阵是每个元素都是零的数表,但它不是数零. （2）不同型的零矩阵不相等.
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3 .同型矩阵
矩阵 A = ( aij )m×n 与 B = ( bij )p×q , 如果满足m = p 且 n = q , 即这两个矩阵行数相等，列数也相等, 则称这两个矩阵为同型矩阵.
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4 .两个矩阵相等 定义 两个同型矩阵 A = ( aij )m×n 与B = ( bij )m×n ,