第5章电磁场讲义

此为适合任意媒 质的坡印廷定理
B D E H dS H E J E dV S V t t
A B A B A B t t t
H B D w 1 1 E w ED H B t t t 2 2

如果线圈是静止的，则
E dl
C
B dS S t
引起回路磁通的 变化的原因？

其微分形式
B E t
时变场中，电场不再是无 旋场，且变化的磁场激发 电场.
6
结论
Faladay 电磁感应定律说明了随时间变化的磁 场可以激发电场，或者说变化的磁场也是电场 的源。 那么反过来，随时间变化的电场能否激发磁场 呢？
感应电动势在闭合回路中引起的 感应电流的方向是使它所产生的 磁场阻止回路中磁通的变化(楞 次定律)。
当通过线圈回路的磁通量减少， 则闭合回路中的电流的方向？
4
1.法拉第电磁感应定律

法拉第定律和楞次定律的结合就是法拉第电磁感应定律.
ε
d d B dS dt dt S
感应电动势
27
（2）当导体的电导率σ为有限值时，导体内部存在沿电流方 向的电场
J I E内 ez 2 πa
根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即 E外z E内 z 因此，在内导体表面外侧的电场为
E外
a
U I e ez 2 a ln(b a) πa
a
磁场则仍为 H 外
10
结论
时变电场和电流均可以产生磁场；
时变磁场和电荷均可以产生电场；
11
[例5-1]
海水的电导率为4S/m，相对介电常数为81，求频率为1MHz时位移 电流与传导电流的比值。设电场是正弦变化 E a E cost

x 0

解： 根据位移电流的定义 J d
D a xE0 sin t t
5.1节 法拉第电磁感应定律 5.2节 位移电流 5.3节 麦克斯韦方程 5.4节 坡印廷定理与坡印廷矢量 5.5节 电磁场的位函数及其方程 5.6节 时谐电磁场 5.7节 波动方程
3
5.1 法拉第电磁感应定律
当穿过线圈所包围面积的磁通发生变化时，线圈回路中 将会感应一个电动势(法拉第定律)。
B
+
如果频率为 1GHz? 10GHz?
位移电流的幅值为 J dm E0 而传导电流的幅值为 J cm E0

位移电流与传导电流的比值为
J dm J cm 2f 81 1 109 36 1.125 103 4
12
5.3 麦克斯韦方程及边界条件
本节要点
23
4.坡印廷矢量
坡印廷矢量 (Poynting vector)

S EH
H E
单位为W/m2，它的方向表示该点功率流的方向。 S
其方向总是与考察点处的电场 E和 H 磁场相垂直，且 E、H、 S三者成右手螺旋关系； •它的数值表示单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单 位面积的能量。 时变电磁场中，S=EH代表瞬时功率流密度，它在任意 截面积上积分代表瞬时功率。
第五章 时变电磁场
静电场：由静止的且其电量不随时间变化的电荷所产生 的电场称为静电场；静电场与时间无关，仅是空间位置 的函数。
恒定磁场：由恒定电流所产生的磁场称为恒定磁场；
恒定磁场与时间无关，仅是空间位置的函数。 静电场和恒定磁场都不随时间变化，统称为静态场。 静态场的突出特点：电场和磁场各自独立，即：在静电 场的区域中可以没有恒定磁场，反之亦然。

kx 得 H az E0 sin 0 d
z cost k x x
两导体表面的电流密度分别为 z=d J S a z H z 0 a y E0 sin t k x x 0 d
J S az H
z d
z
ay E0 sin t k x x z=0 0 d
26
穿过任意横截面的功率为
P S ez dS
S
b
a
UI 2π d UI 2 2π ln(b a)
（1）结论 沿同轴线传输的功率等于电压和电流的乘积， 这与电路理论中的结果是一致的。 值得注意的是：这个结果是在不包括导体本身 在内的横截面上积分得到的。可见，由理想导 体构成的同轴线在传输能量时，功率全部是从 内外导体之间的绝缘空间中通过的，导体本身 并不传输能量。
I e 2πa
内导体表面外侧的坡印廷矢量为
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （非理想导体情况）
两种不同媒质的分界面上各场量所满足的方程称为边界条件。
n E1 E 2 0
推导过程静 态场相似
n H1 H 2 J S
n B1 B2 0
n D1 D2 S
1 , 1 , 1
n
2 , 2 , 2
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4.边界条件(boundary conditions)
D H J t
位移电流产生磁效应代表了随时 间变化的电场能够产生磁场。
D H d l J dS C S t
正是由于这一项的存在，使麦克斯韦能够预言电磁场将在空间以 波的形式传播。在1880年，赫兹(Hertz)用实验证明了电磁波的存在。 自此为人类无线通信技术打开了大门。

24
例4.3.1 同轴线的内导体半径为a 、外导体的内半径为b，其
间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U ，导体中流过 的电流为I 。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传
输的功率；（2）当导体的电导率σ为有限值时，计算通过内导体
表面进入每单位长度内导体的功率。
同轴线
25
解：（1）理想导体的情况下，电场和磁场只存在于内外导体 之间的理想介质中，导体表面电场无切向分量，只有电场的径向 分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内外导体之间的 电场和磁场分别为

由第2章知道，感应电动势由导体内的感应电场来维持
ε E in dl
C
5
2. 定律的物理意义

如果空间中同时存在由静止电荷产生的保守电场Ec，
则总电场E=Ein+Ec。
1. B随时间变化 2. 闭合路径所包围的 面积随时间变化 3. 两者的组合
d E d l B dS 电场沿闭合路径的积分为 C S dt
n E1 E 2 0 n H1 H 2 0
n B1 B2 0
n D1 D2 0
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[例5-2]
在两导体平板 (z=0和z=d)之间的空气中传播的电磁波， 已知其电场强度

试求
E a y E0 sin z cost k x x d

麦克斯韦方程 边界条件
积分形式 微分形式 物理意义
电介质—电介质 电介质—理想导体 标量边界条件 矢量边界条件
13
1.麦克斯韦方程(Maxwell equations)

麦克斯韦方程是经典电磁理论的核心，它包括四个方程
D J dS C H dl S t
d 1 1 其中： ( E D H B )d V —— 单位时间内体积V 中所增加 dt V 2 2 的电磁能量。

V
E J dV —— 单位时间内电场对体积V中的电流所做的功；
在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率。
S
(E H) dS —— 通过曲面S 进入体积V 的电磁功率。
14
2.麦克斯韦方程的物理意义
H J D t
第一方程，表明传导电流和变化的 电场都能产生磁场 第二方程，表明变化的磁 场产生电场 第三方程表明磁场是无源 场，磁感线总是闭合曲线
B E t
B 0
D V
麦克斯韦第四方程，表 明电荷产生电场
15
3.时变电磁场的边界条件
20
x
5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量
本节要点
电磁场能量 坡印廷定理和坡印廷矢量 时变电磁场的唯一性定理

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1.坡印廷定理(Poynting’s theorem)
设 V内既没有电荷也没有电流，充满线性、各向同性的导 电媒质，区域内的电场和磁场分别为E和H，电场在其中引 起的传导电流为J=E
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（理想导体情况）
U E e , ln(b a)
I H e 2π
( a b)
内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量
U I UI S E H [e ] (e ) ez ln(b a) 2π 2π 2 ln(b a)
1
时变电磁场
由q(x,y,z,t)产生的电场-----E(x,y,z,t)
由J(x,y,z,t)产生的磁场H(x,y,z,t) 随时间变化的电磁场称为时变电磁场
时变电磁场特点：随时间变化的电场可以产生磁场，随 时间变化的磁场也可以产生电场，电场和磁场成为不可 分割的、统一的整体。
2
本章内容

若媒质1为理想介质，媒质2为理想导体，
对于时变场中的理想导体，电场总是 与理想导体相垂直，而磁场总是与理 想导体相切。 导体内部既没有电场也没有磁场。

则边界条件为
n E1 0 n H1 J S n D1 S n B1 0
E
H
导体
17
边界条件
若媒质1、2均为理想介质

C
H dl J dS 0
S
8
1.位移电流(displacement current)
由于这电流不能由传导产生，在电容器的两极板间存在 着另一种电流——位移电流。

对于S和S 构成的闭合面，应用电 流连续性方程 ，有

S S
J dS
dq dt
S

再对上式应用高斯定理
J dS
D dS q
S S
S
S S
D S S t dS
Jd D t


i (t )

S S
J d dS

位移电流密度
单位为A/m2
9
2.安培定律的修正(全电流定律)

一般来说，空间同时存在传导电流和位移电流 安培定律的修正形式为 其微分形式为
利用恒等式
V E ，H
,,
S
(E H) dS
d 1 1 ( E D H B) dV E J dV V V dt 2 2
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实质上，坡印廷定理是能量守恒定律在电磁问题中的具体表现。
坡印廷定理各项物理意义
V E，H
,,
d 1 1 积分形式： (E H) d S ( E D H B)d V E Jd V S V dt V 2 2
磁场强度H； 这个电磁场满足的边界条件如何？ 求两导体表面的电流密度JS。

z

解： 由麦克斯韦第二方程
E B H 0 t t
z=d
z=0
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x
[例5-2]
结论：电磁波 可被限制在一 定的区域内传 输，这就是平 ax E0 cos z sin t k x x 行板波导的原 0 d d 理。 由在两理想导体表面切向电场和法向磁场均等于零的边界条件得
H J
B CE dl S t dS
S
D t
E
B t
B dS 0
B 0
D V
D dS q
S

习惯上把上述四个方程依次称为麦克斯韦第一、二、三、四方程。
上式称为麦克斯韦方程的非限定形式，适用于任意媒质。
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5.2位移电流
如果选择一个闭合路径C所包围 的电容器外的开曲面S
C S S

i (t )

一个电容器与时变电源相连 由安培定律得
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C
H dl J dS i t
S
显然，上两式相矛 但若考虑同一路径C所包围的包含电容器极板的另一个开 盾。电容器中必然 曲面S，由于电容器内传导电流等于零，故 有电流存在!