稳恒电流
稳恒电流与电场
J E
dU dI ds dl
dI 1 dU ds dl
电导率
电流密度与电场强度点点对应关系 四、焦耳楞次定律的微分形式: 我们熟悉的焦耳楞次定率 其微分形式是
2 2
2 U p I 2R R 2
we E
2
dl p I R j ds小 J dI 1、电流密度矢量： ds 2、电流场： 电流线：曲线的切线方向和该点 的电流密度方向一致
I
三、欧姆定律的微分形式： J E
欧姆定律
电阻
s
J ds
s
J cosds
dU dI R
dl
dI
dU
dl R ds
ds
R
r2
r1
r2 dr ln 2ra 2a r1
r2
r1
单位长度漏电阻
r2 R ln 2 r1
'
7
解、设径向漏电流为I,两导体间任意点的电流密度
I J 2ra
而
J E
I E 2ra
内外导体之间的电位差
U
r2
r1
r2 I Edr ln 2a r1
r2 U R ln I 2a r1
r2 R ln 2 r1
'
8
稳恒电流 与电场
1
稳恒电流与电场
一、稳恒电流与稳恒电场形成电流的条件：
1、电流：电荷有规则移动形成电流 2、形成电流的条件：有可以自由移动的电荷； 存在电场。 3、电流强度： 电流的方向：本身是标量， 规定正电荷流动的方向为正 电流强度的大小： I 单位：安培
dq dt
高中物理：稳恒电流
I
一段不闭合电路
q (t)
E (t)
I FK
I (t)
要维持稳恒电流， 电路必须闭合。 而 E d l 0
L
+
必须有非静电力 FK 存在， 才
R
能在闭合电路中形成稳恒电流。
+q
Ii 0
i
i =1, 2,
— 基尔霍夫第一定律 （Kirchhoff first law）
规定从节点流出： I > 0 ，流入节点：I < 0 。 由基尔霍夫
第一定律可知
二端 网络 电路I
稳恒情况 必有 I = 0 I入 I出 电路II
稳恒情况必 有 I入 = I出
7
§6.4 电动势、温差电现象
（图示）
2
大块导体
定义：电流密度
I
dI Pபைடு நூலகம்
ev
v
j
dS
dI j ev d S
ev
dI 大小： j j d S d 对任意小面元 d S ， I j d S j d S
dI
P 处正电荷定向移动 速度方向上的单位矢量
方向 // v
j
j nqv
I
v q定向移动速度
7.4 10 mm/s
2
对Cu：j 1 A/mm 2 时， v
∵电流有热效应，故应限制 j 的大小： 例如对Cu导线要求： j 6 A/mm 2 （粗）
j 15 A/mm （细）
2
对于超导导线，
稳恒电流知识介绍
非静电力场强 二.电动势
EK
FK q
把单位正电荷经电源内部由负极移向正极
过程中 非静电力所作的功
EK dl EK dl
L
第三章 稳恒电流 steady current(自学)
从场的角度认识 内容要点 §1 电流和电流密度 一.电流强度 大小：单位时间内通过导体某一横截面的电量
I dq dt
方向：正电荷运动的方向 单位：安培
二.电流密度 current density
1.电流密度 J dI dS
dI
ds
ds
导体中某点的电流密度，数值上等于和该点正电荷定 性移动方向垂直的单位面积上的电流强度。
稳恒电场对运动电荷作功 稳恒电场的存在 总伴随着能量的转移
§3 欧姆定律的微分形式
导体中任一点电流密度的方向(正电荷运动的
方向)和该点场强方向相同
有关系式
J E
§4 电动势 electromotive force (emf)
一.电源及电源的作用 source of emf
非静电力 non-electrostatic force
对于稳恒电路 导体内存在电场 稳恒电场 由不随时间改变的电荷分布产生
2.和静电场比较
相同之处
电场不随时间改变
满足高斯定理 满足环路定理 是保守场
可引入电势概念
LE dl 0
回路电压定律(基尔霍夫第二定律)
在稳恒电路中 沿任何闭合回路一周的电势 降落的代数和等于零
不同之处
产生稳恒电流的电荷是运动的电荷 电荷 分布不随时间改变
方向：该点正电荷定向移动的方向。
2.电流密度和电流强度的关系
I SJ ds
dI Jds J ds
大学物理稳恒电流 电流密度
大小：单位时间通过导体某一横截面的电量。 方向：正电荷运动的方向。
I dq dt
单位：A
二、电流密度
电流强度对电流的描述比较粗糙：
对于横截面不相等的导体， I 不能反映不同截面处及同 一截面不同位置处电流流动的情况。
电流密度矢量—描写空间各点电流大小和方向的 物理量。
方向：该点正电荷定向运动的方向。
第11章 真空中的稳恒磁场
1、静止电荷周围存在电场，电场对处于其中的电荷施加 电场力。 2、当电荷运动时，它周围不仅有电场，还有磁场。 3、磁场对运动电荷施加作用力，对静止电荷毫无影响。
学习提示：
稳恒磁场与静电场的性质完全不同，但在研究方法 上有许多类似之处，学习过程中注意与静电场进行对 比。
§11-1 稳恒电流 电流密度 一、电流强度
大小：通过垂直于该点正电荷运动方向的单位面积
上的电流强度。
dS
n
j
j
dI dS
dI
dS cos
单位：A/㎡
三、电流密度和电流强度的关系 (1)通过面元dS的电流强度
dI jds cos
(2)通过电流场中任一面积S的电流强度
四、稳恒电流
定义：电流强度I等于常量，这种
电流叫做稳恒电流。
特点：通过导线中任意两个横截面
1.电流（现象）
电流—带电粒子的定向运动。 载流子—电子、质子、离子、空穴。 电流形成条件(导体内)： (1)导体内有可以自由运动的电荷； (2)导体内要维持一个电场。 (导体内有电荷运动说明导体内肯定有电场，这和静电 平衡时导体内场强为零情况不同。)
2.电流强度
电流的大小强弱，通过 电流强度来度量
的电流强度相等
I1 I2
稳恒电流
b
[例]计算如图电路中的 I 和电源1的端电压 已知 1 20 V ， 2 15 V R1 R2 2 ，r1 r2 0.5
1 2 解：I R1 R2 r1 r2
20 15 1A 2 2 0.5 0.5
I
r R1 1 r2 R2 2
E dl
含源电路：
b j b b Vab E dl dl Ek dl a a a
c
j ( E Ek )
1 2 I a R r c r R2 1 1 2
b
b I ( R1 R2 r1 r2 ) Ek dl Ek dl
磁力与q、v、 v与磁场方向的夹角 有关，
F qv sin
定义：
B
F qv sin
或
----磁感应强度大小
B 沿 Fmax v 方向 叠加原理 B Bi
i
Fmax B 特斯拉(T) qv
1T = 10 Gs
高斯
4
三.磁感应线(磁场线、B 线 ) B 线切向----磁场方向 B 的大小 dN
----电源内电势升高的方向
若非静电力存在于整个电流回路，
说明：
L
EK dl
----非静电场是非保守性场 电动势和电势是两个不同的物理量
电动势：与非静电力的功相联系 电势：与静电力的功相联系
三. 欧姆定律 1. 欧姆定律的微分形式
dI jdS dl dl R dS 1 dV dV jdS dS R dl
标量
静电场和稳恒电流的相关知识
静电场和稳恒电流的相关知识1. 静电场1.1 定义静电场是指在空间中某点由于静止电荷产生的电场。
静电场的基本特性是对放入其中的电荷有力的作用。
1.2 静电场的基本方程静电场的基本方程为高斯定律，它描述了静电场与静止电荷之间的关系。
高斯定律表明，通过任何闭合曲面的电通量与该闭合曲面所包围的净电荷成正比。
1.3 电场强度电场强度是描述静电场强度的物理量，定义为单位正电荷在电场中所受到的力。
电场强度的方向与正电荷所受力的方向相同，大小与电荷所受力的大小成正比。
1.4 电势电势是描述静电场能量状态的物理量，定义为单位正电荷在电场中的势能。
电势的大小与电场中的位置有关，其方向从高电势指向低电势。
1.5 静电场的能量静电场的能量是指静止电荷在静电场中的势能总和。
静电场的能量与电荷的分布和电势有关。
2. 稳恒电流2.1 定义稳恒电流是指在电路中电流的大小和方向不随时间变化的电流。
稳恒电流的形成条件是电路中的电压源和电阻保持不变。
2.2 欧姆定律欧姆定律是描述稳恒电流与电压、电阻之间关系的定律。
欧姆定律表明，在稳恒电流条件下，电流的大小与电压成正比，与电阻成反比。
2.3 电阻电阻是描述电路对电流阻碍作用的物理量。
电阻的大小与材料的种类、形状和温度有关。
2.4 电路的基本元件电路的基本元件包括电源、导线、电阻、电容和电感。
这些元件共同决定了电路中的电流、电压和能量传输。
2.5 稳恒电流的计算稳恒电流的计算可以通过欧姆定律和基尔霍夫定律进行。
基尔霍夫定律包括电流定律和电压定律，用于描述电路中电流和电压的分布。
3. 静电场和稳恒电流的关系3.1 静电场的产生静电场的产生是由于电荷的分布和运动。
当电荷静止时，产生的电场为静电场；当电荷运动时，产生的电场为磁场。
3.2 稳恒电流的磁场稳恒电流在空间中产生的磁场为圆形磁场，其大小与电流的大小和距离有关。
稳恒电流的磁场与静电场无关。
3.3 静电场和稳恒电流的相互作用静电场和稳恒电流之间存在相互作用。
稳恒电流
3. 稳恒电场与静电场比较
①共同点
它们的电荷分布都不随时间而变化，所 以具有静电场的性质，高斯定理和安培环路 定理均成立适用。 ②异同点
静电场中，导体最终要达到静电平衡， 内部场强为零，没有电流。 稳恒电场是凭借外界作用建立起来的， 导体内场强不为零，以形成稳恒电流。
二、电流强度和电流密度矢量
1. 电流强度 I（描述电流的大小强弱） ①定义： lim q dq
t 0
t
dt
单位： 库仑
秒
安培 ()
毫安(m)、微安( ) 常用单位：
1 10 m 10
3 6
②物理意义： 电流强度是标量，它表示单 位时间内通过导体内某一截面的 电量多少。它反映的是截面的整 体情况，不能反映出导体中各点 的电荷运动情况。
4. 电流的连续性方程
根据电荷守恒，单位时间内穿入、穿出 闭合曲面的电流等于该曲面内电量变化速率 的负值： q I in I out j t 有
S
dq j dS dt
S
上式称为电流连续性方程。它表明电流 密度矢量的通量等于该面内电荷减少的速率. 电流稳恒条件
I
2. 电流密度矢量 j
①引入 在粗细不均匀，材料也不均匀的 导线中，或在大块导体中，每一点的 电流方向不一样。这时电流强度这一 物理量就显得不太方便。有必要引入 一新的、方便的物理量。
②定义：
d j n0 dS
I
S
S
单位：
ห้องสมุดไป่ตู้
m2
S
大小： 通过这点垂直于电流方向的单 位面积的电流强度。
方向：n0 为该点电流方向，即场强方
向的单位矢.
稳恒电流
的分布密切相关。
设想在导体的电流场内取一小电流管，设其长度为 l ，垂直截 面为
S
U
R
。把欧姆定律用于这段电流管，则有
I
R
l S
I
1 U S l
j E / E
I 1 U S l
这就是电流密度的欧姆定律。称它为欧姆定律的微分形式。
+
–
静电力欲使正电荷 从高电位到低电位。 非静电力欲使正电 荷从低电位到高电 位。
▲ ▲
▲
3、电源的表示法
电势高的地方为正极， 电势低的地方为负极。
4、电流流向 电源内部电流从负极 板到正极板叫内电路 电源外部电流从正极 板到负极板叫外电路 5、ε、K 的引入
+
–
+ * 正极
_ ri
°
负极
电源
连续性方程积分形式 式中负号表示“减少”。
左侧：单位时间内由S 面流出的电量； 右侧：单位时间内 V 中电量的减少量。
dq 当 0时 , 有 j dS 0 ，则流入S面内电荷量多于流出量。 S dt dq 当 0时 , 有 j dS 0 ，则流出S面内电荷量多于流入量。 S dt
■
用电流强度描述导体中电荷的宏观流动太“粗糙”。
（1）不能描述电流沿截面的分布情况；
（2）不能描述电流的方向，即正电荷移动的方向。
■ 为了描述导体中各点电流的大小和方向，人们引入一个更
“精细”的物理量——电流密度。
5、电流密度定义：
电流密度矢量：单位时间内通过垂 直与电流方向单位面积的电量为导 体中某点电流密度矢量 j 的大小， dq dI j 的方向与正电荷在该点漂移运 j n0 n0 dS dt dS cos 动的方向相同， ■ 电流密度矢量构成的矢量场称之为电流场。 ■ 类似静电场，对电流场也可以通过引入“电流线”来进行形 象描述。电流线即电流所在空间的一组曲线，其上任一点 的切线方向和该点的电流密度方向一致。一束这样的电流 线围成的管状区域称为电流管。 6、电流强度和电流密度矢量关系
3稳恒电流
二.电容器的放电过程
(一)放电过程方程 iR + u C = 0; R 放电过程方程: 一 放电过程方程
t dq dt ln q = + K ′; ; = RC q RC t t K′ RC RC
dq q + = 0; dt C
aK
R
ε
b
放电电路
C
t RC
q=e e
ε C = qmax
n
v v漂
ds
v n ( dl ds ) e v 漂 j = ( ( dl / v 漂 ) ds v 漂
v v j ds
v v dl ); j = nev漂
v v dQ ∫S j ds = dt v ρ j = t
v ds
v j′
v j
v v I = ∫∫S j ds
S
v′ ds
电荷守恒定律的 必然结果. 必然结果
3.12)在 接通电键而使RC电路放电。 RC电路放电 例2：( 习题3.12)在t＝0时，接通电键而使RC电路放电。最初 ： 习题3.12) 电容器两端的电势差为100V 如果10 100V， 10秒后电容器两端的电势差 电容器两端的电势差为100V，如果10秒后电容器两端的电势差 降到1.0V 1.0V， 降到1.0V，则 20秒时电势差为多大 秒时电势差为多大？ （1）t＝20秒时电势差为多大？ 这电路的时间常数为多大？ （2）这电路的时间常数为多大？ 提示： 提示： 放电期间极板间电势差随时间的变化关系为
0.37qmax
q
; q = Cε e
ε = umax
0.37umax
uC
; uC = ε e
t RC
; i = Re
0
稳恒电流
稳恒电流1.电流---（1）定义:电荷的定向移动形成电流. （2）电流的方向:规定正电荷定向移动的方向为电流的方向.在外电路中电流由高电势点流向低电势点，在电源的内部电流由低电势点流向高电势点（由负极流向正极）.2.电流强度: ------（1）定义:通过导体横截面的电量跟通过这些电量所用时间的比值，I=q/t（2）在国际单位制中电流的单位是安.1mA=10-3A，1μA=10-6A（3）电流强度的定义式中，如果是正、负离子同时定向移动，q应为正负离子的电荷量和.2.电阻--（1）定义:导体两端的电压与通过导体中的电流的比值叫导体的电阻. （2）定义式:R=U/I，单位:Ω（3）电阻是导体本身的属性，跟导体两端的电压及通过电流无关.3★★.电阻定律（1）内容:在温度不变时，导体的电阻R与它的长度L成正比，与它的横截面积S成反比.（2）公式:R=ρL/S. （3）适用条件:①粗细均匀的导线;②浓度均匀的电解液.4.电阻率:反映了材料对电流的阻碍作用.（1）有些材料的电阻率随温度升高而增大（如金属）;有些材料的电阻率随温度升高而减小（如半导体和绝缘体）;有些材料的电阻率几乎不受温度影响（如锰铜和康铜）.（2）半导体:导电性能介于导体和绝缘体之间，而且电阻随温度的增加而减小，这种材料称为半导体，半导体有热敏特性，光敏特性，掺入微量杂质特性. （3）超导现象:当温度降低到绝对零度附近时，某些材料的电阻率突然减小到零，这种现象叫超导现象，处于这种状态的物体叫超导体.5.电功和电热（1）电功和电功率:电流做功的实质是电场力对电荷做功.电场力对电荷做功，电荷的电势能减少，电势能转化为其他形式的能.因此电功W=qU=UIt，这是计算电功普遍适用的公式. 单位时间内电流做的功叫电功率，P=W/t=UI，这是计算电功率普遍适用的公式. （2）★焦耳定律:Q=I 2 Rt，式中Q表示电流通过导体产生的热量，单位是J.焦耳定律无论是对纯电阻电路还是对非纯电阻电路都是适用的.（3）电功和电热的关系①纯电阻电路消耗的电能全部转化为热能，电功和电热是相等的.所以有W=Q，UIt=I 2 Rt，U=IR（欧姆定律成立），②非纯电阻电路消耗的电能一部分转化为热能，另一部分转化为其他形式的能.所以有W>Q，UIt>I 2 Rt，U>IR（欧姆定律不成立）.★ 6.串并联电路电路串联电路(P、U与R成正比) 并联电路(P、I 与R成反比)电阻关系 R串=R1+R2+R3+ 1/R并=1/R1+1/R2+1/R3+电流关系 I总=I1=I2=I3I并=I1+I2+I3+电压关系 U总=U1+U2+U3+ U总=U1=U2=U3=功率分配 P总=P1+P2+P3+ P总=P1+P2+P3+7.电动势 --（1）物理意义:反映电源把其他形式能转化为电能本领大小的物理量.例如一节干电池的电动势E=15V，物理意义是指:电路闭合后，电流通过电源，每通过1C的电荷，干电池就把15J的化学能转化为电能.（2）大小:等于电路中通过1C电荷量时电源所提供的电能的数值，等于电源没有接入电路时两极间的电压，在闭合电路中等于内外电路上电势降落之和E=U外+U内.★★ 8.闭合电路欧姆定律（1）内容:闭合电路的电流强度跟电源的电动势成正比，跟闭合电路总电阻成反比.（2）表达式:I=E/（R+r）（3）总电流I和路端电压U随外电阻R的变化规律当R增大时，I变小，又据U=E-Ir知，U变大.当R增大到∞时，I=0，U=E（断路）.当R减小时，I变大，又据U=E-Ir知，U变小.当R减小到零时，I=E r ，U=0（短路）.9.路端电压随电流变化关系图像U端=E-Ir.上式的函数图像是一条向下倾斜的直线.纵坐标轴上的截距等于电动势的大小;横坐标轴上的截距等于短路电流I短;图线的斜率值等于电源内阻的大小.10.闭合电路中的三个功率（1）电源的总功率:就是电源提供的总功率，即电源将其他形式的能转化为电能的功率，也叫电源消耗的功率 P总=EI.（2）电源输出功率:整个外电路上消耗的电功率.对于纯电阻电路，电源的输出功率.P出=I 2 R=[E/（R+r）] 2 R ，当R=r时，电源输出功率最大，其最大输出功率为Pmax=E 2/ 4r（3）电源内耗功率:内电路上消耗的电功率 P内 =U内I=I 2 r（4）电源的效率:指电源的输出功率与电源的功率之比，即η=P出 /P总=IU/IE =U /E .11.电阻的测量原理是欧姆定律.因此只要用电压表测出电阻两端的电压，用安培表测出通过电流，用R=U/ I 即可得到阻值.①内、外接的判断方法:若R x 大大大于R A ，采用内接法;R x 小小小于R V ，采用外接法.②滑动变阻器的两种接法:分压法的优势是电压变化范围大;限流接法的优势在于电路连接简便，附加功率损耗小.当两种接法均能满足实验要求时，一般选限流接法.当负载RL较小、变阻器总阻值较大时（RL的几倍），一般用限流接法.但以下三种情况必须采用分压式接法:a.要使某部分电路的电压或电流从零开始连接调节，只有分压电路才能满足.b.如果实验所提供的电压表、电流表量程或电阻元件允许最大电流较小，采用限流接法时，无论怎样调节，电路中实际电流（压）都会超过电表量程或电阻元件允许的最大电流（压），为了保护电表或电阻元件免受损坏，必须要采用分压接法电路.c.伏安法测电阻实验中，若所用的变阻器阻值远小于待测电阻阻值，采用限流接法时，即使变阻器触头从一端滑至另一端，待测电阻上的电流（压）变化也很小，这不利于多次测量求平均值或用图像法处理数据.为了在变阻器阻值远小于待测电阻阻值的情况下能大范围地调节待测电阻上的电流（压），应选择变阻器的分压接法.交变电流1.交变电流:大小和方向都随时间作周期性变化的电流，叫做交变电流.按正弦规律变化的电动势、电流称为正弦交流电.2.正弦交流电 ----（1）函数式:e=E m sinωt （其中★E m =NBSω）（2）线圈平面与中性面重合时，磁通量最大，电动势为零，磁通量的变化率为零，线圈平面与中心面垂直时，磁通量为零，电动势最大，磁通量的变化率最大.（3）若从线圈平面和磁场方向平行时开始计时，交变电流的变化规律为i=I m cosωt..（4）图像:正弦交流电的电动势e、电流i、和电压u，其变化规律可用函数图像描述。
稳恒电流
S
稳恒电流：导体中各点的电流密度的大小和 方向不随时间变化。
电荷分布不 随时间变化
稳恒电流
稳恒电场
稳恒电流条件
S
j dS 0
单位时间从闭合面向外流出的电荷量等于单位 时间流进闭合面的电荷量。
9.1.3
欧姆定律的微分形式
一段均匀电路的 欧姆定律
U AB I R
l R S
电阻率（欧姆 米）
0
B
2 R x
2
0 IS
2 32
2当x R，即P点远离圆电流时，磁感应强度为
IS B 2x
0 3
（3）一段圆弧形载流导线在圆心处产生的磁感 应强度为
0 I 0 I B 2R 2 4R
定义：圆电流回路的磁矩
Pm ISn
S为线圈所围的面积
r
q
B
q, r
r
v
B
v
q
9.3
磁通量
恒定磁场的基本性质
dm B dS B cos dS
m
(S )
9.3.1 磁场的高斯定理
B dS
磁场高斯定理
B dS 0
S
磁场是一个无源场
9.3.2 安培环路定理
dq I I t dt
电流密度矢量
电流的方向：正电荷流 动的方向
电流在不均匀导体或大块导体中流动时, 导体中各点电流的分布不均匀。电流强度的描 述不再适用。
电流密度 矢量
dI j dS
dI
ds
ds
单位时间内通过垂直于电流方向单位面积的电量 方向： 该点电流的方向
3-1稳恒电流的闭合性.
少的电量
I S j dS 0
单位时间内通过封闭曲面进入 其内的电量， 等于该封闭曲面内单位时间所
增加的电量
3-1 稳恒电流的闭合性
第 电流的连续性方程（积分形式）
三 章 稳
S
j
dS
dq dt
dS j
S
恒
电 • 物理意义
流 1)是电荷守恒定律在电流场中的数学表示
恒 电 流
电解质溶液、气体中：正负离子、电 子流 半导作用（本章以此为主） 化学作用 机械作用等
3-1 稳恒电流的闭合性
第 三
3、电流的方向 大量自由电荷集体运动的结果，形成宏观上的
章 “传导电流”。当将导线接到电源的两极时，导线
稳 恒
电流强度是单位时间内通过某一曲面的总电量。 是标量，描述导体中电流的整体特征
电流密度反映了空间各点电流的分
稳 恒 电
布情况。是矢量，更精确地描述了导 体中电流的分布规律
流 5、电流 场 矢量场 电流线
j j (x, y, z,t)
电流线上每点的切线方向与该
S1 S2 S3 绝缘体
点电流密度的方向相同，曲线的
稳 解： j nqu
恒 电 流
u j j 7.4103 m/s nq ne
可见，金属导体内自由电子的漂移速度是很低的
带电粒子密度足够大的电离气体称为等离子体 （plasma），但整体上它通常是呈电中性（或准电 中性）的。例如太阳就是一个巨大的高温等离子体， 地球大气层顶部也存在一个电离层
内的自由电子倾向于逆着电场方向漂移而形成传导 电历流史. 的原因，习惯上规定：带正电的载流子的定
电 向运动方向作为电流的方向
稳恒电流和稳恒电场讲解
1
§1 电流密度 一、电流密度 二、电流线
2
一、电流密度 对大块导体不仅需用物理量电流强度来描述 还需建立电流密度的概念 进一步描述电流强度 的分布
例如：电阻法探矿
（图示）
3
电流密度定义式
J
I出
稳恒情况必 有 I入= I出
12
§3 欧姆定律的微分形式 一、欧姆定律的积分形式 二、欧姆定律的微分形式 三、稳恒电场
13
一、欧姆定律的积分形式
L
U IR U a b
S
aR
I
b
a
对一段均匀金属导体：
U
b
电阻 R L
S
电阻率
单位： m
1
电导：G 1 单位：
J E — 欧姆定律微分形式
上式对非均匀导体 非稳恒电流也成立 15
三、稳恒电场
1.稳恒电场
1）稳恒电路 导体内存在的电场
与稳恒电流密度关系：
J E 2）稳恒电场 由不随时间改变的电荷
分布产生
由稳恒条件决定： J dS 0
S
16
2.与静电场相同之处 1）电场不随时间改变 2）满足高斯定理 3）满足环路定理 是保守场
v
dS
ˆ P 处正电荷定向移动
速度方向上的单位矢量
5
二、电流线
为形象描写电流分布，引入“电流线”的概念
规定：
1）电流线上某点的切向
与该点
J
的方向一致；
J
P 电流线
2）电流线的密度等于 J，
§1电流的稳恒条件
在导体内取一小柱体,小柱体的发热功率
dP
(
dI dU
jdS)(E
( jdS)(E j )dl
dl
)
j
dS
dU j
dI
E jdV体积
dl
P热 E 2V
太原理工大学物理系
热功率密度：单位时间、单位体积内的焦耳热。
p E2
表明焦耳热的热功率密度与场强平方成正比， 也与电导率成正比。 金属导电的经典电子论 1900年特鲁德提出：把气体分子运动论用于金属， 提出了经典的金属自由电子气体模型。
负电荷运动引起的电流与等量正电荷沿反方向 运动引起的电流等效.
把正电荷的运动方向规定为电流的方向.
太原理工大学物理系
导体内电流形成条件： (1)导体内有可以自由运动的电荷； (2)导体内要维持一个电场。
导体内有电荷运动说明导体内肯定有电场，这 和静电平衡时导体内场强为零情况不同。
2.电流强度 大小：单位时间通过导体某一横截面的电量。 方向：正电荷运动的方向。
导体内部有电场存在，导体内才会有电流。
伴随
j
E
不随时间发生改变
不随时间发生改变
要求空间各点的电荷分布不随时间发生改变。
根据电流连续性方程
S
j
dS
dq dt
闭合曲面内的电量不随时间改变
dq 0 dt
太原理工大学物理系
稳恒电流条件的数学表 达式：
S j dS 0
电流密度j对任意闭合曲面的通量等于零。 3 由稳恒条件可得出的几个结论
晶格（离子实）变化可以忽略 价电子，可以脱出成为独立、自由的电子
太原理工大学物理系
j Ne2 E
2m v
v T
稳恒电流
四、欧姆定律的失效问题
主要表现是j与E或者说I与U的比例关系遭到破坏，而 代之以非线性关系。下面就几种重要的情况进行讨论。
（1）电场很强时，例如在金属中E > 103—104 V·m1时，
则 F ,a , u ,此时 u ~ v ,故计算 时
不能忽略 u ，于是，便有 (E) ，从而j与E的关系
金属
具有电阻和金属发热的原因。
在电场力和碰撞力的共同作用下，自由电子的总体运 动为一逆着外电场方向的漂移运析电子的漂移速度。假设经碰撞后电子对原 来的运动方向完全丧失“记忆”，即沿各个方向等概
率散射，其宏观定向速度u0 = 0。此后，电子在电场力
作用下定向加速，直到下一次碰撞为止。
△S
■ 按电流的定义，在导体
中如果有 k 种带电粒子，
其中第i种带电粒子的电量、数密度、平均速度分别为
qi , ni , ui , 则有：
k
k
I qiniui S eiui S
i1
i1
I j S
k
k
j eiui qiniui
i1
§4.1 稳恒条件
一、 电流强度和电流密度 二、 电流的物理图像 三、 电流连续方程 四、 稳恒条件
一、 电流强度和电流密度
■ 中学里接触到直流电路的时候，曾引入电流强度：
I q . t
(4.1.1)
电流强度的单位为库仑/秒，称为安[培]，符号为A。
■ 用电流强度描述导体中电荷的宏观流动性质似乎 太“粗糙”。（1）不能描述电流沿截面的分布情况； （2）不能描述电流的方向，即正电荷移动的方向。
(1) 恒定电场与电流之间的依赖关系满足一定的实验 规律，该规律反映了导体的导电性质；
第八章稳恒电流
A
IR
B
U A UB I ( R Ri )
§8-3 含源电路的欧姆定律
三、由几个电阻和电源组成的含源电路
UA UB IR
A
IR
B
在上式的应用中，为了不至于发生混乱，规定了如下的
正负号选取规则：
先任意选取沿电路的指向，写出始末端的电势差 UA－UB 。 如果通过电阻的电流方向与电路指向相同，该电阻上 电势降落取“+”号，相反则取“－”号。
(1) 1 R L
S
(2) I U R
(3) E U E
L
(4) dU U dL L
(5) P IU
(6) v
8-18 在如图所示的电路中,已知 1 2.0 V, 2 6.0 V,
3 2.0 V, R1 1.0, R2 5.0, R2 5.0 ,
R4 2.0 . 求通过电阻R2的电流的大小和方向。
2、接触电势差的大小
kT ln nA
e nB
+
A
+ +
B
+
§ 8-2 电动势
三、温差电动势
1、温电动势的形成 两种不 同的导体，互相接触，形成 闭合路，若两个接触端处于 同一温度，回路电动势为零， 若将两个接触端置于不同温 度下，则形成电势差。
2、温差电动势的大小
温差电动势的形成
1
2
k (T1 T2 ) e
ln
nA nB
§ 8-2 电动势
3、温差电动势的应用
温差电偶测温示意图 温差电堆测温示意图
§ 8-2 电动势
四、能斯特电动势
1、能斯特电动势的形成 在由半透膜相隔的溶液系中，由 于带电离子的扩散作用，在膜的两侧产生电动势。
§7.1 稳恒电流
S
2. 欧姆定律的微分形式：
j E
3. 电源电动势：
()
i Ek dr
,
i
Ek dr
()
L
( The end )
从负极经电源内部移至正极时非静
电力所作的功。
q
q
Fk Fe
Ek
Eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
令：
Ek
Fk q
Cha作pt者er：7.杨稳茂恒田电流与稳恒磁场
( 等效成非静电力场强度 )
§7. 1 稳恒电流
()
i Ek dr
()
εi 指向：－
＋
若 Ek存在于整个回路中，则：
Cha作pt者er：7.杨稳茂恒田电流与稳恒磁场
§7. 1 稳恒电流
§7.1 稳恒电流
Cha作pt者er：7.杨稳茂恒田电流与稳恒磁场
一、电流强度与电流密度
电流强度：
I
dq dt
即单位时间内通过某截面的电量！
电流密度：
j
dI dS
eˆ i
(A/m 2 )
即单位面积上流过的电流！
S S2 I
方向：电流方向；
某点切线方向即为该
点的 j 方向。
§7. 1 稳恒电流
j
j
j
dI dS
nev
j nev eˆ i
其中，e 为基本电荷电量：e ＝1.6×10-19 C 。
Cha作pt者er：7.杨稳茂恒田电流与稳恒磁场
常用
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2019年高中物理竞赛辅导北京领航元旦班
第二讲：稳恒电流
考纲：
欧姆定律电阻率和温度的关系
电功和电功率
电阻的串、并联
电动势闭合电路的欧姆定律
一段含源电路的欧姆定律※基尔霍夫定律
电流表电压表欧姆表
惠斯通电桥
补偿电路
第一部分：相关物理量的计算
一、电阻的计算
例1．在00C下，两根长、粗相同的均匀导线1和2。
导线2的电阻率比导线1的电阻率大，是它的k倍，它们的电阻率温度系数分别为α1和α2。
求由这两根导线串联、并联后组成的部分电路的电阻率温度系数。
例2．半径分别为a、b（a<b）的两个同心金属球面中间填充了电导率为σ、介电常数为ε的均匀介质。
以这两个金属球面为两极，试求两极间的电阻，并讨论b时的情况；
∞
→
例3．半径分别为a、b，长为L（a<b<<L）的两薄壁金属圆筒同轴放置，其间充以电阻率为ρ的均匀介质。
内、外圆筒间加电压U。
忽略边缘效应。
求流经内、外圆筒的电流强度I；
二、电流（或电流密度）的计算
例4．半径为R的薄壁球形导体，球心在O点，球面上有A、B和C，三条半径OA、OB和OC相互垂直。
球面上A、B两点有细导线，并由这两根细导线接至电源。
已知通过电源的电流为I0进入球面A点，再由球面B点流出，如图所示。
求C处的电流密度（在球面上垂直于电流方向单位长度上流过的电流）。
例5．在一块很大的电阻材料的水平面上，竖直地、并排插四根金属针，相邻针间距离均为d，针与表面接触良好。
外边两针接电源，中间两针接电压表，如图所示。
设流过电源的电流为I，电压表示数为U，求材料的电阻率ρ。
三、欧姆定律和焦耳定律的应用
例7．气体放电管在通过被激放电情况下，流经的电流强度I与两极间的电压U 存在非线性关系，因而它是一个非线性元件。
为了简化，把气体放电管中流经的电流强度I与管子两极间的电压U视为存在图中所示的理想化关系。
现在将这个气体放电管与一阻值为R=107Ω的电阻器串联，接到充电至U C0=300V、电容为C=10-3F的电容器上。
求在电容器完全放电时间内气体放电管释放的热量。
例8．半径分别为a、b，长为L（a<b<<L）的两薄壁金属圆筒同轴放置，其间充以电阻率为ρ的均匀介质。
内、外圆筒间加电压U。
忽略边缘效应。
（1）求流经内、外圆筒的电流强度I；
（2）若圆筒的轴线方向加上磁感应强度大小为B的匀强磁场，求此时流经内、外圆筒的电流强度I’。
设介质相对磁导率为1，载流子带电量为e，载流子数密度为n。
忽略电流自身产生的磁场。
提示：电介质相对介电常数为1时，不产生极化电荷。
与此相应，磁介质相对磁导率为1时，不产生磁化电流。
四、简单电路中的相关计算
例9．如图所示的电路中，R1=R3=R5=…=R99=5Ω，R2=R4=R6…=R98=10Ω，R100=5Ω，电源电动势ε=10V，内阻不计。
（1）求R2上的电功率；
（2）试找出各电阻上电功率分配的规律。
例10．滑线变阻器用来限流和分压，其原理电路分别如图a和b所示。
已知电源端电压为U（不计内阻），负载电阻为R0，滑线变阻器的全电阻为R，总匝数为N，A、C端的电阻为R AC。
（1）在图a中，当移动端C滑动时，电流I的最小改变量为多少？设变阻器每匝阻值<<R。
（2）在图a中，为使在整个调节范围内电流I的最小改变量不大于电流I的0.1%，滑线变阻器的匝数N不得小于多少匝？
（3）在图b中，滑线变阻器的额定电流不得小于多少？
（4）在图b中，设R0>>R，证明：负载端电压与R AC有简单的正比关系。
第二部分：复杂电路的分析与计算
一．一段含源电路的欧姆定律
例1、一电路如图所示，已知R1=R2=R3=R4=2Ω，R5=3Ω，ε1＝12V，ε2＝8V ，ε3＝9V ，r1= r2= r3=1Ω，求U ab、U cd。
二．基尔霍夫定律
三．电桥及其平衡
例3．如图所示为一桥式电路，其中检流计的内阻为Rg，此电路的A、C两点接上电动势为E（内阻忽略）的电源。
试求检流计G中流过的电流Ig。
例4．正四面体ABCD，每条边长的电阻均为R，取一条边的两个顶点，如图中A、B，问整个四面体的等效电阻R AB为多少？
四．等势点的断开与短接
例5．（波兰全国中学生物理奥赛题）如图所示电路中，每个小方格每边长上的电阻值均为R，试求A、B间的等效电阻。
例6．如图所示，12个阻值都是R的电阻，组成一立方体框架，试求AC间的电阻R AC、AB间的电阻R AB与AG间的电阻R AG。
例7. 如图所示的平面电阻丝网络中，每一直线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为r．试求A、B两点间的等效电阻。
例8．三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连接成如图所示的网络．已知每一个金属圆圈的电阻都是R，试求图中A、B两点间的等效电阻R AB。
例9．如图所示的正方形网格由24个电阻r0=8Ω的电阻丝构成，电池电动势ε=6.0 V，内电阻不计，求通过电池的电流。
例10．田字形电阻丝网络如图所示，每小段电阻丝的电阻均为R，试求网络中A、B两点间的等效电阻R AB。
例11．有无限多根水平和竖直放置的电阻丝，交叉处都相连，构成无限多个小正方形，如图所示。
已知每个小正方形边长的电阻值均为R。
试求：（1）图中A、B两点的等效电阻；（2）若A、B间电阻丝的电阻为r(r不等于R)，其余各段仍为R，再求A、B两点间的等效电阻。
例12．有一个无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，如图所示。
所有六边形每边的电阻为R，求：
（1）结点a、c间的电阻；
（2）结点a、b间的电阻。
例13．如图是一个无限大导体网络，它由无数个大小相同的正三角形网眼构成，小三角形每边的电阻均为r，求把该网络中相邻的A、B两点接入电路中时，AB 间的电阻R AB。
例14．如图所示，每个电阻的阻值都为R，求A、B两点间的总电阻。
六．Y-Δ等效变换
例15．如图所示的有阻金属丝网络中，每一段金属丝的电阻值均为r，试求MF 两点间的等效电阻。
七、谢尔宾斯基镂垫
例16．波兰数学家谢尔宾斯基1916年研究了一个有趣的几何图形。
他将如图1所示的一块黑色的等边三角形ABC的每一个边长平分为二，再把平分点连起来，此三角形被分成四个相等的等边三角形，然后将中间的等边三角形挖掉，得到如图2的图形；接着再将剩下的黑色的三个等边三角形按相同的方法处理，经过第二次分割就得到图3的图形。
经三次分割后，又得到图4的图形．这是带有自相似特征的图形，这样的图形又称为谢尔宾斯基镂垫。
它的自相似性就是将其中一个小单元（例如图4中的△BJK）适当放大后，就得到图2的图形。
如果这个分割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫中的黑色部分将被不断地镂空。
数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究，创造和发展出了一门称为“分形几何学”的新学科。
近三十多年来，物理学家将分形几何学的研究成果和方法用于有关的物理领域，取得了有意义的进展。
我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的等效电阻问题：设如图1所示的三角形ABC边长l0的电阻均为r；经一次分割得到如图2所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的二分之一；经二次分割得到如图3所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的四分之一；三次分割得到如图4
所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的八分之一．
⑴试求经三次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻。
⑵试求按此规律作了n次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻。