常微分方程复习资料
常微分方程复习提纲
常微分方程复习与考试提纲一、复习与分值结构总体分三块，解方程部分，包括第2，4，5章，这部分内容分值在60分左右；理论部分，就是，主要是第三章，第四章，第五章等的解的存在唯一性定理以及解的结构定理20分左右；应用部分20分左右； 其次从试题难度上看70左右的基础题、常规题，20分左右的，具有一定灵活性的问题，10左右难题。
二、知识点解析（一） 解方程部分分一阶、高阶与方程组三部分1、一阶微分方程：解方程的三个思想：可分离变量类型，全微分（恰当）微分方程，参数方程法（1）可分离变量类型及其可化为可分离变量类型的方程的类型，这部分习题主要集中在P42-43，P49-50；a ．齐次方程 ()y y xϕ'=，令 y x μ=即可； b ．111222a x b y c y f a x b y c ⎛⎫++'= ⎪++⎝⎭；c ．一些简单的组合变换，如P43，2（1），（2），（5）等；d ．一阶线性微分方程及其通解公式（含伯努利方程，黎卡提方程），见P44-45，其主要思想是常数变异法，其实质是变量分离；特别提示一阶线性微分方程是目前解决的最为彻底的一类方程，应该好好掌握。
（2）全微分（恰当）微分方程及其可化为全微分微分方程的类型，这部分习题主要集中在P60-61；a ．全微分（恰当）微分方程的定义及其判定的充要条件；b ．要求熟记的一些简单二元函数的全微分，见P54及课堂提供；c ．(,)(,)0M x y dx N x y dy +=分别具有形为()x μ、()y μ、()x y μ+和()x y μ-的充要条件及其推导，见P52；d ．方程变换前的积分因子与方程变换前的积分因子之间的关系，P61，5我给大家提供的第二种解法等；e ．常见用到的结论，如P61，4，5，8，11等；f ．难点问题：P61 2（11），10等。
(3) 参数方程法，主要习题见P70，与P73 1 （10）（19）（20）等；a ．(,),y f x y '=或(,)x f y y '=，可设y p '=（参数），然后求解；b ．(,)0,F x y '=或(,)0F y y '=，视问题而灵活设定。
常微分方程(竞赛复习)
二、用积分求解的高阶 微分方程
1. y
( n)
( x) f ( x)
积分n次
2. y ( x ) f ( x , y ) 3. y ( x ) f ( y , y )
dp 令p( x ) y ( x ), 方程 f ( x , p) dx
（一个等式，两个变量 ）
3
1 dx C ] 3 2 ( x 1) x 1 x C1 x x , 2 x 1 4 C1 3 1 2 通解 ： y x x x C2 . 4 3 2
2[
2
例2
2 2 0 的通解。 求 y y 1 y
dP 解： 令 y P y P , dy dP 2 d y dP 2 2 代入方程： P P 0, P y 1 dy 1 y ln P 2 ln( y 1) ln C1 dy dy 2 C1 d x P C1 ( y 1) 2 ( y 1) dx 1 y 1 . C1 x 2
3 1 cos x x 1 2 3
2.设y1 x是方程 x y xy y 0的一个解,
2
求方程的通解
3.设f ( x )具有二阶连续导数积分 , [ xy( x y ) f ( x ) y ]dx [ f ( x ) x 2 y ]dy与路径无关 ,
三、高阶线性微分方程
1.几个关于解函数的叠加 原理
2.齐次、非齐次方程通解 的结构
3.常数变易法 见教材P169 P171
已知齐次方程的一个解 ，求另一个线性无关 解； ( )
已知齐次方程的通解， 求非齐次方程的通解；
4.特征值法 常系数线性方程的解
常微分方程复习资料
（16）
2
（18）
1 a2 x2
dx arc sin
x C a
（19） （20）
1 a x
2 2
dx ln( x a 2 x 2 ) C
dx x a
2 2
ln | x x 2 a 2ln | cos x | C （22） cot xdx ln | sin x | C （23） sec xdx ln | sec x tan x | C （24） csc xdx ln | csc x cot x | C 注：1、从导数基本公式可得前 15 个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把 x 换成 u 仍成立， u 是以 x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式：
f ( y, y)型, 例如：yy ( y) 2 0
dp dp , 代入原方程得yp p2 0 dy dy dp dy 当y 0, p 0时，约去p并分离变量得 p y dy p C1 y C1 y dx y C2 eC1x 令y p，则y p
常微分方程复习资料
一.基本概念： 含有一元未知函数一 y(x)（即待求函数）的导数或微分 的方程，称为常微分方程。 显然一个微分方程若有解，则必有无穷多解； 若 n 阶微分方程的解仲含有 n 个独立的附加条件（称为 定解条件）定出了所有任意常数的解称为特解； 微分方程连同定解条件一起，合称为一个定解问题； 当定解条件是初始条件（给出 y, y, y,, y ( n1) 在同一点 x0 处 的值）时，称为初值问题。 二.一阶微分方程 y ( x, y) 的解法
积分类型 1. f (ax b)dx 1 f (ax b)d (ax b) (a 0) a 1 2. f ( x ) x 1 dx f ( x )d ( x ) ( 0)
ode复习资料
ode复习资料ODE 复习资料ODE（Ordinary Differential Equations，常微分方程）是数学中的一个重要分支，研究的是描述自然界中变化现象的方程。
它在物理学、工程学、生物学等领域都有广泛的应用。
对于学习ODE的同学来说，复习资料是非常重要的辅助工具。
本文将介绍一些常见的ODE复习资料，并提供一些学习建议。
一、经典教材1. 《常微分方程教程》（作者：丁同仁）：这是一本经典的ODE教材，内容全面、系统，适合初学者。
书中深入浅出地介绍了ODE的基本概念、解法和应用，配有大量的例题和习题，有助于读者理解和巩固知识。
2. 《常微分方程教程》（作者：谢金星）：这本教材是国内外ODE教学的重要参考书之一。
作者结合自己多年的教学经验，将复杂的理论问题简化为易于理解的形式，让读者能够迅速掌握ODE的基本概念和解法。
3. 《Ordinary Differential Equations》（作者：Vladimir I. Arnold）：这是一本经典的英文教材，被誉为ODE领域的圣经。
书中内容丰富，涵盖了ODE的各个方面，包括基本理论、解的存在唯一性、稳定性等。
虽然是英文教材，但对于有一定数学基础的同学来说，是一本不可多得的学习资料。
二、在线课程1. Coursera：Coursera是一个知名的在线教育平台，提供了许多优质的ODE课程。
例如，由加州大学洛杉矶分校（UCLA）开设的《Ordinary Differential Equations for Engineers》课程，介绍了ODE的基本概念和解法，并通过实例讲解了ODE在工程领域的应用。
2. MIT OpenCourseWare：麻省理工学院的开放课程平台提供了许多免费的ODE课程资料。
例如，他们的《Differential Equations》课程包括了从ODE的基本概念到高级应用的内容，让学习者能够全面掌握ODE的知识。
三、学习建议1. 理论与实践结合：ODE是一门理论与实践相结合的学科，理论只有通过实际问题的解析才能更好地理解。
常微分方程复习(一)
因为
故存在仅与x有关的积分因子
( x) e
1 dx x
x
以 x乘方程两边得 :
( x2 2 xy)dx x2dy 0
( x2 2 xy)dx x2dy 0
这是恰当方程，对方程重新分项组合得
x dx (2xydx x dy) 0 1 3 d x ( ydx 2 x 2 dy ) 0 即 3 1 3 d ( x x2 y) 0 3 1 3 故方程的通解为: x x2 y c 3
dy f ( x, y ) 设 dx 解为y ( x, x0 , y0 ) y ( x0 ) y0
x f ( x, ) f ( x0 , y0 ) exp( dx) x0 x0 y x f ( x, ) exp( dx) x0 y0 y
exp(
1
1 dx) x x
题型：
一、填空（20分） 二、求解微分方程（组）（60分） 三、证明题（20分）
第一章 （2---4分） 1.微分方程、线性微分方程概念 2.微分方程的解、通解 3.初值问题的解、定解条件
dy f ( x, y ) 一阶微分方程 dx 的解y ( x)所表示xy平面上的一条曲线,
称为微分方程的积分曲线.
x f ( x, ) ( x, x0 , y0 ) x0 1 [ f ( x0 , y0 ) exp( dx)]x 1 [ ] y0 0 y 0 x y x0 x1 ( x, 0, 0)
0 0 0
f (1, 0) exp(
0
x
cos(
x
) dx)
0
常微分方程复习资料
第二章 一阶微分方程的初等解法
§2.1 变量分离方程与变量变换 §2.2 线性微分方程与常数变易法 §2.3 恰当微分方程与积分因子 §2.4 一阶隐式微分方程与参数表示
变量分离方程的求解
1、形式: dy f ( x )( y ) dx
2、求解方法： 分离变量、 两边积分、 考虑特殊情况
3、方程 dy p( x )y 的解为： dx
D(D 1) pD q y f (et )
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c(x)
Q(
x)e
p(
x
)dx
dx
~
c
y e ( p(x)dx
Q(
x)e
p(
x
)
dxdx
~
c)
(3)
二 伯努利(Bernoulli )方程
伯努利方程：形如 dy p(x) y Q(x) yn 的方程， dx
这里P( x), Q( x)为x的连续函数。
解法:
10 引入变量变换 z y1n ,方程变为
dy a1x b1 y c1 dx a2 x b2 y c2
k(a2 x b2 y) c1 a2 x b2 y c2
f (a2x b2 y)
3. a1 b1
a2 b2
0,
且C1、C2不同时为零的情形
aa21
x x
b1 b2
y y
c1 c2
0 0
X x Y y ,
初值条件/Initial Value Conditions/ 对于 n 阶方程 y(n) f (x, y, y,, y(n1) )
初值条件可表示为
y(x0) y0, y(x0) y0 , y(x0) y0,, y(n1) (x0) y0(n1)
常微分方程复习提要全文
式
dyi (x) dx
fi (x, y1(x),
, yn (x)), (i 1.2
n)
则称 y1(x), , yn (x) 为微分方程组(3.1)在区间 [a,b] 的一个解。
通解及通积分：
含有n个任意常数 c1, cn 的方程组（3.1）的解
y1 1(x, c1, cn )
yn
n (x, c1,
齐次方程组的解组线性相关性的判别法：
推论3.3 方程组(3.8)的n个解在其定义区间I上线性 无关的充要条件是它们的朗斯基行列式W(x)在I上任一点
不为零.
解组
线性相关 W ( x0 )=0 线性无关 W ( x0 ) 0
我们把一阶线性齐次方程组(3.8)的n个线性无关解 称为它的基本解组。其对应的矩阵称为基本解矩阵。
（其中F为已知的函数）
定义（P3） ：微分方程中出现的未知函数的 最高阶导数的阶数(或微分的阶数)称为微分方程的 阶数.
定义（P4） ：如果一个微分方程关于未知函数 及其各阶导数都是一次的，则称它为线性微分方程， 否则称之为非线性微分方程.
定义（P4）: 设函数 y x在区间I上连续，且有
dy1
dx
a11( x) y1
a12 ( x) y2
dy2 dx
a21( x) y1
a22 ( x) y2
dyn dx
an1( x) y1
an2 ( x) y2
a1n ( x) yn f1( x),
a2n ( x) yn f2 ( x), （3.6）
ann ( x) yn fn ( x).
解法：两边除以yn ，得 yn dy p( x) y1n f ( x) dx
令z y1n ，则 dz (1 n) yn dy ,代入方程
常微分方程复习资料(可编辑修改word版)
常微分方程复习资料一、填空题1. 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线．2. 方程 y ' - 2 y ' + y = 0 的基本解组是 ．3. 一个不可延展解的存在在区间一定是 区间． d y4. 方程d x 的常数解是．5. 方程d y = x 2 + y 2 满足解的存在唯一性定理条件的区域是．d x6. 若 y =(x ) 在(-∞, + ∞) 上连续，则方程 d yd x与 x 轴相交．= (x ) y 的任一非零解7. 在方程 y ' + p (x ) y ' + q (x ) y = 0 中，如果 p (x ) ， q (x ) 在(-∞, + ∞) 上连续，那么它的任一非零解在 xoy 平面上 与 x 轴相切．8. 向量函数组Y 1 (x ), Y 2 (x ), , Y n (x ) 在其定义区间 I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式W (x ) = 0 ， x ∈ I ．9. 方程 x ( y 2 - 1)d x + y (x 2 - 1)d y = 0 所有常数解是 ．10. 方程 y ' + 4 y = 0 的基本解组是 ．d y11. 方程= d x+ 1满足解的存在唯一性定理条件的区域是．12．若 y = 1 (x ), 二、单项选择题y = 2 (x ) 是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点．d y1. 方程 d x- 1 = x 3 + y 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）．（A ）上半平面（B ）xoy 平面（C ）下半平面 （D ）除 y 轴外的全平面 d y2.f ( y ) 连续可微是保证方程 = d xf ( y ) 解存在且唯一的（）条件．（A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分3. 二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．（A ）构成一个 2 维线性空间（B ）构成一个 3 维线性空间（C ）不能构成一个线性空间（D ）构成一个无限维线性d y 4. 方程d x2= 3y 3过点(0, 0)有（）．(A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解5. n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间． （A ） n 维 （B ） n + 1维 （C ） n - 1维 （D ） n + 2 维d y 6. 方程= d x+ 2 （）奇解．（A ）有三个 （B ）无 （C ）有一个 （D ） 有两个 7. 若 y = 1 (x ) ， y = 2 (x ) 是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ ）． （A ）1 (x ) -2 (x ) （B ）1 (x ) +2 (x ) （C ） C (1 (x ) - 2 (x )) + 1 (x )（D ） C 1 (x ) +2 (x ) 1 - y 2 y x - y =1 - ( y )2 x ⎪ d y ⎪ d y 8.f ' (x , y ) 连续是方程 d y= y d x f (x , y ) 初值解唯一的（ ）条件．（A ）必要（B ）必要非充分（C ）充分必要（D ）充分d y9. 方程= d x 的奇解是（）．（A ） y = xd y（B ） y = 1（C ） y = -1（D ） y = 010.方程 = d x 过点( 2, 1) 共有（）个解．（A ）一 （B ）无数 （C ）两 （D ）三11. n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个． （A ） n （B ） n -1 （C ） n +1 （D ） n +2 12. 一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解 （C ） 是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解13. 如果 f (x , y ) ，∂f (x , y )∂yd y 都在 xoy 平面上连续，那么方程 d x f (x , y ) 的任一解的存在区间（）．（A ）必为(-∞, + ∞) 三、计算题（B ）必为(0, + ∞) （C ）必为(-∞, 0) （D ） 将因解而定 求下列方程的通解或通积分：1.d y = y ln y d x2.d y = + yd x x 3.d y = y + xy 5d x4． 2xy d x + (x 2 - y 2 )d y = 0 5． y = xy ' + 2( y ')36.d y= d x xy 1 + x 27.d y+ 3y = e 2xd x 8. (x 3 + xy 2 )d x + (x 2 y + y 3 )d y = 0 9．e y ' + y ' - x = 0 10． yy ' + ( y ')2 = 011.d y = d x y + tan y x x12.d y = d x y + 1x13. (x 2e y - y )d x + x d y = 014． y '(x - ln y ') = 115． yy ' + y '2 + 2x = 017．求下列方程组的通解．⎧d x= y + d t ⎨⎪ = -x ⎩ d t19．求下列方程组的通解1 sin t 16．求方程 y ' - 5 y ' = -5x2 的通解．18．求方程 y ' - y =1 e x 的通解．2五、证明题⎧d x= -x - 2 y d t⎨． ⎪ = 3x + 4 y ⎩ d ty 1 - y 2=1 - u2 ⎰ ⎰ x1. 设 f (x ) 在[0, + ∞) 上连续，且 limx →+∞ f (x ) = 0 ，求证：方程 d yd x+ y = f (x ) 的一切解 y (x ) ，均有 lim y (x ) = 0 ．x →+∞2. 在方程 y ' + p (x ) y ' + q (x ) y = 0 中， p (x ), q (x ) 在(-∞, + ∞) 上连续，求证：若 p (x ) 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W (x ) 是(-∞, + ∞) 上的严格单调函数．d y3. 设 f (x , y ) 在整个 xoy 平面上连续可微，且 f (x , y 0 ) ≡ 0 ．求证：方程 d x= f (x , y )的非常数解 y = y (x ) ，当 x → x 0 时，有 y (x ) → y 0 ，那么 x 0 必为- ∞ 或+ ∞ ．4. 设 y = 1 (x ) 和 y = 2 (x ) 是方程 y '' + q (x ) y = 0 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式W (x ) ≡ C ， 其中C 为常数．d y5. 在方程 d xf ( y )( y ) 中，已知 f ( y ) ，'(x ) 在(-∞, + ∞) 上连续，且(±1) = 0 ．求证：对任意 x 0 和y 0 < 1 ，满足初值条件 y (x 0 ) = y 0 的解 y (x ) 的存在区间必为(-∞, + ∞) ．6. 在方程 y ' + p (x ) y ' + q (x ) y = 0 中，已知 p (x ) ， q (x ) 在(-∞, + ∞) 上连续．求证：该方程的任一非零解在 xoy 平面上不能与 x 轴相切．参考答案一、填空题1．2 2． e x , x e x 3．开 4． y = ±15．xoy 平面 6．不能 7．不能 8．必要 9． y = ±1, x = ± 1 10． sin 2x , cos 2x 11． D = {(x , y ) ∈ R 2 y > 0}，（或不含 x 轴的上半平面） 12．没有二、单项选择题1.D2.B3.C4.A5.A6.A7.C8.D 9.D10.B 11.A12.C13.D三、计算题1. 解 当 y ≠ 0 ， y ≠ 1时，分离变量取不定积分，得d y= d x + Cy ln y 通积分为ln y = C e xd y d u2.解 令 y = xu ，则 d xx d u =d x= u + x d x ，代入原方程，得分离变量，取不定积分，得⎰ d u = ⎰ d x + ln C （ C ≠ 0 ）通积分为：arcsin y= ln Cxx3. 解方程两端同乘以 y-5 ，得 y -5 d y= y -4 + xd x令 y -4 = z ，则- 4 y -5 d y = d z，代入上式，得d x d x1 - u2 =⎩通解为 -1 d z- z = x 4 d xz = C e -4x - x + 14原方程通解为y -4 = C e -4x - x + 14∂M 4.解 因为 ∂y = 2x =∂N，所以原方程是全微分方程． ∂x取(x 0 , y 0 ) = (0, 0) ，原方程的通积分为xy 2⎰02xy d x - ⎰y 即x 2 y - 1y 3 = C3 d y = C5. 解 原方程是克莱洛方程，通解为 y = Cx + 2C 36. 解 当 y ≠ 0 时，分离变量得d y = y xd x 1 + x 2等式两端积分得ln y 即通解为= 1 ln(1 + x 2 ) + ln C 2 y = C 7. 解 齐次方程的通解为y = C e -3x令非齐次方程的特解为y = C (x )e -3x代入原方程，确定出原方程的通解为C (x ) = 1 e 5x+ C 5y = C e -3x + 1e 2x5∂M ∂N8.解 由于 ∂y = 2xy =，所以原方程是全微分方程． ∂x取(x 0 , y 0 ) = (0, 0) ，原方程的通积分为 x (x 3 + xy 2 )d x + y y 3d y = C⎰⎰1即x 4 + 2x 2 y 2 + y 4 = C 9. 解 令 y ' = t ，则原方程的参数形式为⎧x = t + e t⎨y ' = t 由基本关系式1 + x 2y积分有d y = y 'd x = t (1 +e t )d ty = 1t 2 + e t (t - 1) + C2得原方程参数形式通解⎧x = t + e t ⎪ ⎨ y = 1 t 2 + e t(t - 1) + C ⎩⎪ 210. 解 原方程为恰当导数方程，可改写为( yy ')' = 0即分离变量得yy ' = C 1 y d y = C 1d x积分得通积分1 y 2= C x + C2 1 211. 解 令 y = u ，则d y = u + x d u，代入原方程，得x d x d xu + x d u = u + tan u ， x d u = tan ud x d x当tan u ≠ 0 时，分离变量，再积分，得⎰ d u = ⎰ d x + ln C tan u x即通积分为： ln sin u = ln x + ln C sin y = Cx x12. 解 齐次方程的通解为y = Cx令非齐次方程的特解为y = C (x )x代入原方程，确定出原方程的通解为C (x ) = ln x + C y = Cx +x ln x 13. 解 积分因子为(x ) =原方程的通积分为 x (e x-1 x 2y )d x +d y = C⎰1x 2⎰1即e x + y= C , xC = e + C 1）14.解 令 y ' = p ，则原方程的参数形式为⎧x = 1+ ln p⎪ ⎨⎪⎩y ' = p p2 1由基本关系式d y= y ' ，有 d xd y = y 'd x = p ⋅ (- 1p 2 + 1 )d pp积分得= (1 - 1 )d ppy = p - ln p + C 得原方程参数形式通解为 ⎧x = 1+ ln p ⎪⎨⎪⎩y = p - ln p + C 15. 解 原方程可化为( yy ' + x 2 )' = 0 于是y d y+ x 2 = Cd x 1积分得通积分为1y 2 = C x - 1x 3 + C2 13 2（6 分）16. 解对应齐次方程的特征方程为2- 5= 0 ，特征根为1 = 0 ，2 = 5 ，齐次方程的通解为 y = C 1 + C e 5x因为= 0 是特征根。
《常微分方程》知识点整理
《常微分方程》复习资料1．（变量分离方程）形如()()dyf x y dxϕ=（1.1）的方程，称为变量分离方程，这里(),()f x y ϕ分别是,x y 的连续函数． 解法：（1）分离变量，当()0y ϕ≠时，将（1.1）写成()()dyf x dx y ϕ=，这样变量就“分离”了； （2）两边积分得()()dyf x dx c y ϕ=⎰⎰+（1.2），由（1.2）所确定的函数(,)y x c ϕ=就为（1.1）的解． 注：若存在0y ，使0()0y ϕ=，则0y y =也是（1.1）的解，可能它不包含在方程（1.2）的通解中，必须予以补上． 2．（齐次方程）形如(dy yg dx x=的方程称为齐次方程，这里是u 的连续函数． ()g u 解法：（1）作变量代换（引入新变量）y u x =，方程化为()du g u u dx x -=，（这里由于dy dux u dx dx=+）；（2）解以上的分离变量方程；（3）变量还原．3．（一阶线性微分方程与常数变异法）一阶线性微分方程()()()0dya xb x yc x dx++=在的区间上可写成()0a x ≠()()dyP x y Q x dx =+（3.1），这里假设在考虑的区间上是(),()P x Q x x 的连续函数．若，则（3.1）变为()0Q x =()dyP x y dx=（3.2），（3.2）称为一阶齐次线性方程．若()0Q x ≠，则（3.1）称为一阶非齐次线性方程． 解法：（1）解对应的齐次方程()dyP x y dx=，得对应齐次方程解()p x y ce dx ⎰=，为任意常数；c （2）常数变异法求解（将常数变为c x 的待定函数，使它为（3.1）的解）：令为（3.1）的解，则()c x ()()p x dxy c x e ⎰=()()()()()p ⎰⎰p x dx p x dy dc x e c x x e dx dx =+dx ，代入（3.1）得()()()p x dx dc dxx Q x e -⎰=)，积分得；()p x dx c ⎰=+ ()()c x Q x e -⎰（3）故（3.1）的通解为()()(()p x dxp x dxy e Q x e dx -⎰⎰c=+⎰ ． 4．（伯努利方程）形如()()n dyP x y Q x y dx=+的方程，称为伯努利方程，这里为(),()P x Q x x 的连续函数． 解法：（1）引入变量变换，方程变为1nz y -=(1)()(1)()dz n P x z n Q x dx=-+-；（2）求以上线性方程的通解； （3）变量还原．5．（可解出的方程）形如y (,)dyy f x dx=(5.1)的方程，这里假设(,)f x y '有连续的偏导数． 解法：（1）引进参数dyp dx=，则方程（5.1）变为(,)y f x p =（5.2）； （2）将（5.2）两边对x 求导，并以dy p dx =代入，得f f pp x p x∂∂∂=+∂∂∂（5.3），这是关于变量,x p 的一阶微分方程；（3）（i ）若求得（5.3）的通解形式为(,)p x c ϕ=，将它代入（5.2），即得原方程（5.1）的通解(,(,))y f x x c ϕ=，为任意常数；c（ii ）若求得（5.3）的通解形式为(,)x p c ψ=，则得（5.1）的参数形式的通解为(,)((,),)x p c y f p c p ψψ=⎧⎨=⎩，其中p 是参数，是任意常数；c （iii ）若求得（5.3）的通解形式为，则得（5.1）的参数形式的通解为(,,)0x p c Φ=(,,)0(,)x p c y f x p Φ=⎧⎨=⎩，其中p 是参数，是任意常数．c 6．（可解出x 的方程）形如(,)dyx f y dx=(6.1)的方程，这里假设(,)f y y '有连续的偏导数． 解法：（1）引进参数dyp dx=，则方程（6.1）变为(,)x f y p =（6.2）； （2）将（6.2）两边对y 求导，并以1dx dy p=代入，得1f f pp y p y ∂∂∂=+∂∂∂（6.3），这是关于变量,y p 的一阶微分方程；（3）若求得（6.3）的通解形式为，则得（6.1）的参数形式的通解为(,,)0y p c Φ=(,)(,,)0x f y p y p c =⎧⎨Φ=⎩，其中p 是参数，是任意常数．c 7．（不显含的方程）形如y (,)0dyF x dx=的方程，这里假设(,)F x y '有连续的偏导数． 解法：（1）设dyp dx=，则方程变为； (,)0F x p =（2）引入参数，将用参数曲线表示出来，即t (,)0F x p =()()x t p t ϕψ=⎧⎨=⎩，（关键一步也是最困难一步）； （3）把()x t ϕ=，()p t ψ=代入dy ，并两边积分得pdx =()()y t t dt ψϕ'c =+⎰；（4）通解为()()()x t y t t dt ϕψϕ=⎧⎪⎨'=+⎪⎩⎰c ．8．（不显含x 的方程）形如(,)0dyF y dx=的方程，这里假设(,)F y y '有连续的偏导数．解法：（1）设dyp dx=，则方程变为；(,)0F y p =（2）引入参数，将用参数曲线表示出来，即t (,)0F y p =()()y t p t ϕψ=⎧⎨=⎩，（关键一步也是最困难一步）；（3）把()y t ϕ=，()p t ψ=代入dy dx p =，并两边积分得()()t x dt c t ϕψ'=+⎰； （4）通解为()()()t x dt c t y t ϕψϕ'⎧=+⎪⎨⎪=⎩⎰． 9．（型可降阶高阶方程）特点：不显含未知函数()(1)(,,,,)0(1)k n n F x y y y k -=≥ y 及．(1),,k y y -' 解法：令()()k yz x =，则(1)k y z +'=，．代入原方程，得．若能求得，()()n n y z -=k ()(,(),(),,())0n k F x z x z x z x -'= ()z x将()()k yz x =()yf =连续积分次，可得通解．k , 10．（型可降阶高阶方程）特点：右端不显含自变量()(1)(,,)n k y y y -n x ．解法：设，则()y 222,(dp dy dP d p dP y P y P P dy dx dy dy dy'''''===+ y p '=2,) ，代入原方程得到新函数的()P y (1n -阶方程，求得其解为1()(,,,)n 1P y y C C ϕ-== dy dx，原方程通解为11(,,,)n n dyx C y C C ϕ-=+⎰ ．11．（恰当导数方程）特点：左端恰为某一函数对(1)(,,,,)n x y y y -'Φ x 的导数，即(1)(,,,,)0n dx y y y dx-'Φ= ． 解法：类似于全微分方程可降低一阶(1)(,,,,)n x y y y C -'Φ ='，再设法求解这个方程．12．（齐次方程）特点：（k 次齐次函数）．()()(,,,,)(,,,,)n k n x ty ty ty t F x y y y '= F zdx解法：可通过变换y e =⎰将其降阶，得新未知函数．因为()z x 2()(1),(),,(,,,)zdxzdxzdxn n y ze y z z e yz z z e -⎰⎰⎰'''''==+=Φ (1)(,,,,)0n f x z z z -'，代入原方程并消去，得新函数的阶方程k z e ⎰dx ()z x (n -1)= ．13．（存在唯一性定理）考虑初值问题00(,)()dyf x y dxy x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（13.1），其中(,)f x y 在矩形区域00:,R x x a y y b -≤-≤上连续，并且对满足Lipschitz 条件：即存在，使对所有(,y 0L >12(,)),x y x y R ∈常成立121(,)(,)2f x y f x y L y y -≤-，则初值问题（13.1）在区间0x x -≤h 上的解存在且唯一，这里(,)min(,h a =(,)x y R M Max f x y ∈=bM．初值问题（13.1）等价于积分方程00(,)xx y y f t y =+⎰dt ，构造Picard 逐步逼近函数列}{00001()()()(,())xn nn x x y x x y f ϕϕϕξϕ-=⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰dx ξ 00x x x ≤≤+h ，n ．1,= 2,14．（包络的求法）曲线族（14.1）的包络包含在下列两方程(,,)0x y c Φ=(,,)0(,,)0c x y c x y c Φ=⎧⎨'Φ=⎩消去参数而得到的曲线之中．曲线c (,)0F x y =(,)0F x y =称为（14.1）的c -判别曲线．15．（奇解的直接计算法）方程(,,)0dyF 15.1）的奇解包含在由方程组⎨去参数x y dx =（消(,,)0(,,)0c F x y p F x y p =⎧'=⎩p 而之得到的曲线(,Φ=中，此曲线称为（15.1）的)0x y p -别曲线，这里(,F 判,)x y p 0=是,,x y p 的连续可微函数． 注：p -判别曲线是否为方程的奇解，尚需进一步讨论． 16．（克莱罗方程）形如dy dy y xf dxdx ⎛⎫=+ ⎝⎭⎪（16.1）的方程，称为克莱罗方程，这里． ()0f p ''≠解法：令dy p dx =，得．两边对()y xp f p =+x 求导，并以dyp dx=代入，即得()dp dp p x p f p dx dx '=++，经化简，得[()]0．dpx f p dx '+= 如果0dp dx=，则得到p c =．于是，方程（16.1）的通解为：()y cx f c =+．如果，它与等式()0x f p '+=()y xp f p =+联立，则得到方程（16.1）的以p 为参数的解：()0()x f p y xp f p '+=⎧⎨=+⎩或()0()x f c y xc f c '+==+⎧⎨⎩其中为参数．消去参数c p 便得方程的一个解． 17．（函数向量组线性相关与无关）设12(),(),,()m x t x t x t a t b ≤≤是一组定义在区间[,上的函数列向量，如果存在一组不全为0的常数，使得对所有，有恒等式]a b c 12,,m c c c 1122()()()0m m c x t c x t x t +++ =， 则称12(),(),,()m x t x t x t 在区间[,上线性相关；否则就称这组向量函数在区间[,上线性无关．]a b ]a b 18．（Wronsky 行列式）设有n 个定义在a t 上的向量函数b ≤≤nn 11121212221212()()()()()()(),(),,()()()()n n n n n x t x t x t x t x t x x t x t x t t x t x t x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢===⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣ ⎦ ，由这n 个向量函数所构成的行列式111212122212[(),(12()()()()()()),()()()()()n n n n n nn x t x t x t x t x t x t W x x t W t t x t x t x t x t ≡称为这个向量函数所构成的Wronsky 行列式．n 如果向量函数12(),(),,()n x t x t x t 在a t 上线性相关，则它们的Wronsky 行列式． b ≤≤()0,t W t a b ≡≤≤19．（基解矩阵的计算公式）（1）如果矩阵具有个线性无关的特征向量，它们相应的特征值为A n 12,,,n v v v 12,,,n λλ λ（不必互不相同），那么矩阵是常系数线性微分方程组12tte λλ12(),,,],n tn v v e v λΦ=-∞<< [t e x +∞x Ax '=的一个基解矩阵； （2）矩阵的特征值、特征根出现复根时（略）； A （3）矩阵的特征根有重根时（略）．A 20．（常系数齐线性方程）考虑方程111[]0n n n n n d x d xL x a a x dt dt--=+++= （20.1），其中为常数，称（20.1）为阶常系数齐线性方程．12,,n a a a n 解法：（1）求（20.1）特征方程的特征根12,,,k λλλ ；（2）计算方程（20.1）相应的解：（i ）对每一个实单根k λ，方程有解k teλ；（ii ）对每一个重实根1m >k λ，方程有个解：m 21,,,,k k k tttm e te t e te k tλλλ- λ；（iii ）对每一个重数是1的共轭复数i αβ±，方程有两个解：cos ,sin tte t e ααt ββ； （iv ）对每一个重数是的共轭复数1m >i αβ±，方程有个解：2m 11cos ,cos ,,cos ;sin ,sin ,,sin t t m t ttm te t te t t e t e t te t te tααααααββββββ-- ；（3）根据（2）中的（i ）、（ii ）、（iii ）、（iv ）情形，写出方程（20.1）的基本解组及通解．21．（常系数非齐次线性方程）()y py qy f x '''++=二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程，通解结构0y py qy '''++=y Y y =+．设非齐次方程特解()x y Q x e λ=代入原方程 2()(2)()()()()m Q x p Q x p q Q x P x λλλ'''+++++=（1）若λ不是特征方程的根，，可设20p q λλ++≠()()m Q x Q x =，()xm y Q x e λ=；（2）若λ是特征方程的单根，，2020p q λλ++=p λ+≠，可设()()m Q x xQ x =，()xm y xQ x e λ=； （3）若λ是特征方程的重根，，2020p q λλ++=p λ+=，可设，2()()m Q x x Q x =2()xm y x Q x e λ=． ()k x综上讨论，设y m x e Q x λ=，． 012k λλλ⎧⎪=⎨⎪⎩不是根是单根是重根。
期末复习：福师版《常微分方程》
期末复习：福师版《常微分方程》第一章导论1.1 微分方程的定义与例子- 微分方程：未知函数及其导数之间的关系式。
- 一阶微分方程：形式为 \( \frac{dy}{dx} = f(x) \) 的微分方程。
- 二阶微分方程：形式为 \( \frac{d^2y}{dx^2} = f(x) \) 的微分方程。
1.2 微分方程的解法- 分离变量法：将方程中的变量分离到等式的两边。
- 积分因子法：乘以一个积分因子使方程变为可积形式。
- 变量替换法：用一个新的变量替换原方程中的变量。
第二章一阶微分方程2.1 可分离变量的微分方程- 形式：\( \frac{dy}{dx} = f(x) \)- 解法：分离变量，积分求解。
2.2 齐次方程- 形式：\( \frac{dy}{dx} = f(y) \)- 解法：设 \( y = v(x) \)，代入原方程，解出 \( v(x) \)，从而得到 \( y \) 的解。
2.3 一阶线性微分方程- 形式：\( \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \)- 解法：积分因子法。
2.4 可化为齐次方程的线性微分方程- 形式：\( \frac{dy}{dx} + Py = Q(x) \)- 解法：先求解对应的齐次方程，再求解非齐次方程的通解。
第三章二阶微分方程3.1 二阶线性微分方程- 形式：\( \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = R(x) \)- 解法：特征方程法。
3.2 常系数二阶线性微分方程- 形式：\( a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = f(x) \)- 解法：特征方程法，求出特征根，写出通解。
3.3 伯努利方程- 形式：\( \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = 0 \) - 解法：配方，化为标准形式。
常微分方程期末试题复习资料
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x xy+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy=初值唯一的 充分 条件．4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y +=6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e -- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d yp x y q x x+=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=xx q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y (C)1±=y , 1±=x (D)1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
常微分方程总复习
常微分方程复习总结初等积分法一、主要概念常微分方程：未知函数是一个变元的函数，由这样的函数及其导数（或微分）构成的等式。
方程的阶：在微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶。
微分方程的解：一个函数代入微分方程中去，使得它成为关于自变量的恒等式，称此函数为微分方程的解。
通解：n 阶方程，其解中含有n 个（独立的）任意常数，此解称为方程的通解。
由隐式表出的通解称为通积分。
特解：给通解中的任意常数以定值，所得到的解称为特解，由隐式给出的特解称为特积分。
初值问题：求微分方程满足初值条件的解的问题。
变量可分离方程： 形如 )()(d d y g x f xy=或 y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211= 的方程称为变量可分离方程。
齐次微分方程：形如)(d d xyx y ϕ=的方程，称为齐次微分方程。
线性微分方程：未知函数和它的导数都是一次的微分方程。
一阶线性微分方程：一阶线性微分方程的形式是 )()(d d x f y x p x y =+ 如果0)(≡x f ,即0)(d d =+y x p xy称为一阶线性齐次方程。
如果)(x f 不恒为零，则称)()(d d x f y x p x y=+为一阶线性非齐次方程。
伯努利（Bernoulli ）方程：形如 n y x f y x p xy)()(d d =+ (1,0≠n ) 的方程，称为伯努利方程。
全微分方程：如果微分形式的一阶方程0d ),(d ),(=+y y x N x y x M (1.1)的左端恰好是一个二元函数),(y x U 的全微分，即y y x N x y x M y x U d ),(d ),(),(d += (1.2)则称方程(1.1)是全微分方程或恰当方程，而函数),(y x U 称为微分式(1.2)的原函数。
积分因子：假如存在这样的连续可微函数0),(≠y x μ，使方程0d ),(),(d ),(),(=+y y x N y x x y x M y x μμ成为全微分方程，我们就把),(y x μ称为方程(1.1)的一个积分因子。
常微分方程-总复习
dy a1 x b1 y c1 dx a2 x b2 y c2
dx
x
2.3 恰当方程和积分因子 2.3.1 恰当方程 定义、判别方法、求解方法 2.3.2 积分因子 定义、特殊类型方程的积分因子的求法 2.4 一阶隐方程和参数表示
第三章 一阶微分方程解的存在定理
解的存在唯一性定理的内容及证明过程。
近似计算和误差估计；
解对初值的可微性
第四章 高阶微分方程
4.1 线性微分方程的一般理论 4.1.1 齐线性方程解的性质与结构 定理2－定理6 4.1.2 非齐线性方程与常数变易法 定理7 常数变易法 4.2 常系数线性方程的解法 4.2.2 复值函数与复值解 复值函数的运算性质、定理8、定理9
4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程 欧拉待定指数函数法、根据特征根的性质确定 方程的基本解组、欧拉方程的求解 4.2.3 非齐线性方程－比较系数法
第五章 线性微分方程组
5.1 解的存在唯一性定理 5.1.1 记号和定义 将n阶线性微分方程的初值问题化为等价的微分 方程组的初值问题 5.1.2 存在唯一性定理 5.2 线性微分方程组的一般理论 5.2.1 齐线性微分方程组
定理2－定理6 定理1＊定理2＊ 5.2.2 非齐线性微分方程组 定理7 定理8 常数变易公式
常微分方程
总复习
第一章 绪论
基本概念 常微分方程、偏微分方程、微分方程的阶 线性和非线性微分方程 解：隐式解、通解、特解 积分曲线
第二章 一阶微分方程
2.1 变量分离方程和变量变换 2.1.1 变量分离方程 2.1.2 可化为变量分离方程的类型 y 1) dy g
2) 2.2 线性方程与常数变易法 一阶齐线性微分方程、一阶非齐线性微分方程、 伯努利方程
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常微分方程复习资料一、 填空题1．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线． 2．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ． 3．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间．4．方程21d d y x y-=的常数解是 ．5．方程22d d y x xy+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．6．若)(x y ϕ=在),(∞+-∞上连续，则方程y x xy)(d d ϕ=的任一非零解与x 轴相交． 7．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，如果)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续，那么它的任一非零解在xoy 平面上 与x 轴相切．8．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．9．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是 ． 10．方程04=+''y y 的基本解组是 ．11．方程1d d +=y xy满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．12．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点． 二、单项选择题1．方程y x xy+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面 2．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy=解存在且唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分 3．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．（A ）构成一个2维线性空间（B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间（D ）构成一个无限维线性4．方程323d d y xy=过点(0, 0)有（ ）．(A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解 5．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间．（A ）n 维 （B ）1+n 维 （C ）1-n 维 （D ）2+n 维 6. 方程2d d +-=y x xy（ ）奇解． （A ）有三个 （B ）无 （C ）有一个 （D ） 有两个7．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ ）．（A ）)()(21x x ϕϕ- （B ）)()(21x x ϕϕ+ （C ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+- （D ）)()(21x x C ϕϕ+8．),(y x f y '连续是方程),(d d y x f xy=初值解唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）充分9．方程y xy=d d 的奇解是（ ）． （A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y10. 方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有（ ）个解．（A ）一 （B ）无数 （C ）两 （D ）三11．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个． （A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +2 12．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解 （C ）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解13．如果),(y x f ，y y x f ∂∂),(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f xy=的任一解的存在区间（ ）． （A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+ （C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定 三、计算题求下列方程的通解或通积分：1.y y xyln d d = 2. x y x y x y +-=2)(1d d 3. 5d d xy y xy += 4．0)d (d 222=-+y y x x xy5．3)(2y y x y '+'= 6. 21d d xxy x y += 7. x y x y 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x9．0e =-'+'x y y 10．0)(2='+''y y y11. x y x y x y tan d d += 12. 1d d +=x y x y13. 0d d )e (2=+-y x x y x y14．1)ln (='-'y x y15．022=+'+''x y y y 16．求方程255x y y -='-''的通解．17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=xty ty t x d d sin 1d d 18．求方程x y y e 21=-''的通解．19．求下列方程组的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x ty y x tx43d d 2d d ．五、证明题1．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ．2．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．3．设),(y x f 在整个xoy 平面上连续可微，且0),(0≡y x f ．求证：方程),(d d y x f xy= 的非常数解)(x y y =，当0x x →时，有0)(y x y →，那么0x 必为∞-或∞+． 4．设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．5．在方程)()(d d y y f xyϕ=中，已知)(y f ，)(x ϕ'在),(∞+-∞上连续，且0)1(=±ϕ．求证：对任意0x 和10<y ，满足初值条件00)(y x y =的解)(x y 的存在区间必为),(∞+-∞．6．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，已知)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续．求证：该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切．参考答案一、填空题1．2 2．xx x e ,e 3．开 4．1±=y 5．xoy 平面 6．不能 7．不能 8．必要 9．1,1±=±=x y10．x x 2cos ,2sin 11．}0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面） 12．没有二、单项选择题1.D2.B3.C4.A5.A6.A7.C8.D9.D 10.B 11.A 12.C 13.D三、计算题1．解 当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得C x yy y+=⎰⎰d ln d 通积分为xC y e ln = 2．解 令xu y =，则xuxu x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u x ux-= 分离变量，取不定积分，得C xxu u ln d 1d 2+=-⎰⎰（0≠C ） 通积分为： Cx xyln arcsin = 3．解方程两端同乘以5-y ，得x y xyy +=--45d d 令 z y=-4，则xzx y y d d d d 45=--，代入上式，得x z xz=--d d 41 通解为41e 4+-=-x C z x原方程通解为 41e 44+-=--x C y x 4．解 因为xNx y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰20d d 2即 C y y x =-3231 5．解 原方程是克莱洛方程，通解为 32C Cx y += 6．解 当0≠y 时，分离变量得x x x y y d 1d 2+= 等式两端积分得 C x y ln )1ln(21ln 2++= 即通解为21x C y += 7．解 齐次方程的通解为xC y 3e -= 令非齐次方程的特解为 x x C y 3e)(-=代入原方程，确定出 C x C x+=5e 51)( 原方程的通解为xC y 3e-=+x2e51 8．解 由于xNxy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x yx =++⎰⎰即 C y y x x =++42242 9．解 令t y ='，则原方程的参数形式为⎩⎨⎧='+=ty t x te由基本关系式t t x y y td )e 1(d d +='= 积分有C t t y t +-+=)1(e 212得原方程参数形式通解⎪⎩⎪⎨⎧+-+=+=Ct t y t x tt)1(e 21e 2 10．解 原方程为恰当导数方程，可改写为 0)(=''y y 即1C y y =' 分离变量得x C y y d d 1= 积分得通积分21221C x C y +=11．解 令u x y =，则xux u x y d d d d +=，代入原方程，得 u u xuxu tan d d +=+，u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得C xxu u ln d tan d +=⎰⎰C x u ln ln sin ln +=即通积分为： Cx xy =sin12．解 齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为 x x C y )(=代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为Cx y =+x x ln 13．解 积分因子为 21)(x x =μ 原方程的通积分为1012d d )(e C y x xy y x x =+-⎰⎰即 1e ,e C C C xyx+==+） 14．解 令p y ='，则原方程的参数形式为⎪⎩⎪⎨⎧='+=p y p p x ln 1由基本关系式y xy'=d d ，有 p p pp x y y )d 11(d d 2+-⋅='=p p)d 11(-=积分得 C p p y +-=ln得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=C p p y p p x ln ln 1 15．解 原方程可化为0)(2='+'x y y于是 12d d C x xyy=+ 积分得通积分为23123121C x x C y +-= （6分） 16．解 对应齐次方程的特征方程为052=-λλ，特征根为01=λ，52=λ，齐次方程的通解为 xC C y 521e += 因为0=α是特征根。