常微分方程期末模拟试题
福师《常微分方程》期末试卷解析
福师《常微分方程》期末试卷解析一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1. 答案：A解析：对常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。
2. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。
将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。
3. 答案：B解析：常微分方程dy/dx = ky是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = kdx，再进行积分，最后解出y。
4. 答案：D解析：常微分方程dy/dx = -y/x是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = -dx/x，再进行积分，最后解出y。
5. 答案：A解析：常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。
6. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。
将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。
7. 答案：B解析：常微分方程dy/dx = ky是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = kdx，再进行积分，最后解出y。
8. 答案：D解析：常微分方程dy/dx = -y/x是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = -dx/x，再进行积分，最后解出y。
9. 答案：A解析：常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。
10. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。
将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。
常微分期末试题及答案
常微分期末试题及答案[正文开始]第一部分：选择题1. 若函数 f(x) = 3x^2 + 2x + c 在区间 [0, 1] 上是增函数，则实数 c 的取值范围是：A) c > 1/4B) c > -1/4C) c < 1/4D) c < -1/4答案：A) c > 1/4解析：当 f(x) 是增函数时，f'(x) > 0。
对于 f(x) = 3x^2 + 2x + c，求导得到 f'(x) = 6x + 2。
显然当 x > -1/3 时，f'(x) > 0，即 c > 1/4。
2. 解微分方程 dy/dx = x^2 + 1 的通解为：A) y = (1/3)x^3 + x + CB) y = (1/3)x^3 + CC) y = (1/3)x^2 + x + CD) y = (1/3)x^2 + C答案：A) y = (1/3)x^3 + x + C解析：对方程 dy/dx = x^2 + 1 进行积分，得到 y = (1/3)x^3 + x + C，其中 C 为积分常数。
3. 设三角函数f(x) = sin(2x + π/3)，则 f'(x) = ？A) 2cos(2x + π/3)B) 2cos(2x - π/3)C) 2cos(2x)D) 2cos(2x + π/6)答案：B) 2cos(2x - π/3)解析：根据链式法则，对sin(2x + π/3) 求导，得到 f'(x) = 2cos(2x +π/3) * 2 = 2cos(2x - π/3)。
4. 设 f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，则 f(g(2)) = ？A) e^2B) e^3C) 2D) ln(2)答案：A) e^2解析：首先求 g(2) = ln(2)，然后将结果代入 f(x) = e^x 中计算，得到 f(g(2)) = f(ln(2)) = e^ln(2) = 2。
常微分方程期末试题
常微分方程期末试题一、填空题（3618''⨯=）1．x x xe C e C y 21+=所满足的一阶微分方程是 ．2. 方程1,(0)0dy x y y dx=++=的皮卡序列 . 3 12(),()y x y x ϕϕ==是二阶齐次微分方程''()'()0y p x y q x y ++=的两个线性无关的解，1()y x ϕ=，2()y x ϕ=的朗斯基行列式W(x)= ．4．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001A ，则Ax e = ． 5．方程x dxdy 2-=的解为 ． 6．奇解和包络的关系 .二、求解下列一阶微分方程.（8324''⨯=）1..2x xe y dxdy -=+2．0)cos sin ()sin cos =++-dy x x x y dx x x x y （3．')1'(y e y y -=三、求解下列微分方程组 （810'18''+=） (1) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y x dtdy yx dt dx 432(2) 110,010104dy Ay A dx -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭, 满足初始条件3(0)9.1y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭四．求234sin 2y y x '''+=+的通解．(10)'五．设二阶常系数微分方程22,0,(),a b dx x p q p a d q ad bc c d dt ⎛⎫=+≠=-+=- ⎪⎝⎭证明（1）0,0p q >>零解渐近稳定．（2）0,0p q =>零解稳定(10)'六、讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=y x dtdy yx dt dx αα 的零解的稳定性。
（10'）七．判定二阶系统⎪⎩⎪⎨⎧-=+=y x dt dy yx dt dx 53的奇点类型并作出其相图．（10'）。
《常微分方程》期末练习
B）一阶变量可分离方程 D）一阶隐方程 （ C）特解； D）不是解 ）
班级:＿＿＿＿＿＿＿＿姓名:＿＿＿＿＿＿学号:＿＿＿＿＿＿＿＿
x
0
e t dt 是 y"2 xy' 0 的
B）通解；
2
一．填空题（15 分）
1． 已知一曲线上任一点 ( x, y ) 处的切线斜率为 y 则曲线方程为： 2．二阶线性常系数非齐次方程 x x (t 1)e 的特解可待定为：
（ ； ）
*
则下列结论正确的是： A） x (t ) cos 2t 是（1）式的解
x * (t ) =
线
1 8
3．设 X 1 (t ), , X n (t ) 是一阶 n 维齐线性方程组
dX (t ) A(t ) X (t ) 的 n 个线性无关解， dt
封
X * (t ) 是非齐线性方程组
t
A）解；
1 ：且曲线过（1，1）点， x2
3．已知 x * (t ) ie 2 it i cos 2t
1 1 1 sin 2t 是方程 x 4 x 4 x e 2it 的解 8 8 8 记方程： x 4x 4x cos 2t （1） （2） x 4x 4x sin 2t （3） x 4x 4x cos 2t sin 2t
1.
dy xy x 2 y 4 dx
2.
x y x x t t y 2 x y e
班级:＿＿＿＿＿＿＿＿姓名:＿＿＿＿＿＿学号:＿＿＿＿＿＿＿＿
四．求下列方程的通解或特解（共 42 分）
线
1． （6 分）求方程 3x y dx 2 x ydy cos xdx 0 的满足初始条件 y( ) 1 解
常微分方程模拟试题
常微分方程模拟试题一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ．3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ．4．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间． 5．方程21d d y xy-=的常数解是 ． 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．方程y x xy+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）．（A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面 7. 方程1d d +=y xy （ ）奇解．（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy=解存在且唯一的（ ）条件．（A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间 （C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy=过点(0, 0)有（ B ）．(A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解(D) 只有三个解三、计算题（每小题６分，本题共30分） 求下列方程的通解或通积分：11.y y x yln d d = 12. x yx y x y +-=2)(1d d13. 5d d xy y xy+=14．0)d (d 222=-+y y x x xy15．3)(2y y x y '+'=四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16．求方程255x y y -='-''的通解． 17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty t y t x d d sin 1d d五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ．19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．常微分方程模拟试题参考答案一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．2 2．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3．x x x e ,e 4．开 5．1±=y 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．D 7．C 8．B 9．C 10．A 三、计算题（每小题６分，本题共30分）11．解： 1y =为常数解（1分）当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x y y y+=⎰⎰d ln d （3分）通积分为x C y e ln =（6分）注：1y =包含在常数解中，当0c =时就是常数解，因此常数解可14．解： 因为xx y ∂==∂2，所以原方程是全微分方程． （2分）取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰020d d 2 （4分）计算得C y y x =-3231（6分）15．解： 原方程是克莱洛方程，通解为32C Cx y += （6分）四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．解： 对应齐次方程的特征方程为052=-λλ，（1分）特征根为1=λ，52=λ，（2分）齐次方程的通解为xC C y 521e +=（4分）因为0=α是特征根。
常微分方程期末试题标准答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
常微分期末考试试题和答案
《 常微分方程 》期末考试试卷（1）班级 学号 姓名 成绩.一、填空（每格3分，共30分）1、方程(,)(,)M x y d x N x y d y +=有只与x有关的积分因子的充要条件是 。
2、若12(),(),,()n x t x t x t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是 。
3、若()t Φ和()t ψ都是'()x A t x=的基解矩阵，则()t Φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。
4、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如果 。
5、当 时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程。
6、若()t Φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x的解 。
7、若()(1,2,,)i x t i n =为n 阶齐线性方程()()1()()0n n n x a t x a t x +++=的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为 。
8、求dxdy=f(x,y)满足00()y x y =的解等价于求积分方程 的解。
9、如果),(y x f 在R 上 且关于y 满足李普希兹条件，则方程),(y x f dxdy=存在唯一的解)(x y ϕ=，定义于区间h x x ≤-0上，连续且满足初始条件00)(y x =ϕ，其中h = ，),(max ),(y x f M Ry x ∈=。
二、计算题(每题10分,共50分)10、求方程 221dy y dx xy x y +=+ 的解。
11、求方程2dyx y dx=-通过点(1,0)的第二次近似解。
12、求非齐线性方程sin x xt ''+=的特解。
13、求解恰当方程 0)4()3(2=---dy x y dx x y 。
数学系常微分方程期末试卷及答案
数学系常微分方程期末试卷及答案题目一考虑常微分方程：$$\\frac{{dy}}{{dx}} + 2xy = x^2$$1.求该常微分方程的通解。
2.求通过点(0,1)的特解。
3.求满足初值条件y(0)=2的特解。
解答：1.首先对方程进行整理得到：$$\\frac{{dy}}{{dx}} = x^2 - 2xy$$这是一个一阶线性非齐次常微分方程，我们可以使用常数变易法求其通解。
设通解为y=y(y)y(y)，代入原方程中，得到：$$u(x)\\frac{{dv}}{{dx}} + v(x)\\frac{{du}}{{dx}} +2xu(x)v(x) = x^2 - 2xu(x)v(x)$$化简得到：$$v(x)\\frac{{du}}{{dx}} = x^2$$将$v(x)\\frac{{du}}{{dx}}$作为整个等式的导数进行积分，得到：$$\\int v(x)\\frac{{du}}{{dx}}dx = \\int x^2dx$$对等式两边进行积分得到：$$\\int v(x)du = \\int x^2dx$$对右侧积分得到$\\frac{{1}}{{3}}x^3 + C_1$，对左侧进行积分得到：$$v(x)u + C_2 = \\frac{{1}}{{3}}x^3 + C_1$$其中，y1和y2为积分常数。
对方程两边整理得到：$$u(x)v(x) = \\frac{{1}}{{3}}x^3 + C$$其中y=y1−y2为常数。
由于y和y的乘积等于y，因此通解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + Cu(x)$$2.要求通过点(0,1)，即y(0)=1的特解。
将y=0和y=1代入通解中，得到：1=0+yy(0)由此得到y=1，特解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + u(x)$$3.要求满足初值条件y(0)=2的特解。
将y=0和y=2代入通解中，得到：2=0+yy(0)由此得到y=2，特解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + 2u(x)$$题目二已知常微分方程：$$\\frac{{dy}}{{dx}} = x^2y + 2x$$1.求该常微分方程的通解。
常微分方程期末考试试卷(6)
常微分方程期末考试试卷(6)学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______一． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。
1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。
2、________________称为齐次方程。
3、求dxdy =f(x,y)满足00)(y x =ϕ的解等价于求积分方程____________________的连续解。
4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dxdy = 的解 y=),,(00y x x ϕ作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。
5、若)(),..(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。
6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。
7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。
8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。
9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。
二、计算题（共6小题，每题10分）。
1、求解方程：dx dy =312+++-y x y x2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程23=dx dy 31y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解4、求解常系数线性方程：t e x x x t cos 32///-=+-5、试求方程组Ax x =/的一个基解矩阵，并计算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3421,为其中A e At 6、试讨论方程组cy dtdy by ax dtdx =+=, （1）的奇点类型，其中a,b,c 为常数，且ac ≠0。
(完整版)常微分方程期末试题答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
《常微分方程》期末模拟试题
《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分）1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n个。
2、一阶微分方程2dy x dx的通解为2y xC （C 为任意常数），方程与通过点（2，3）的特解为21y x，与直线y=2x+3相切的解是24yx，满足条件303ydx 的解为22y x。
3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的必要条件。
4、对方程2()dy x y dx作变换u x y，可将其化为变量可分离方程，其通解为tan()y x C x。
5、方程过点共有无数个解。
6、方程''21yx的通解为4212122xxyC x C ，满足初始条件13|2,|5xxy y 的特解为421912264xxyx。
7、方程无奇解。
8、微分方程2260d y dy ydxdx可化为一阶线性微分方程组6dyzdx dz z ydx。
9、方程的奇解是 y=0。
10、35323d y dy x dxdx 是 3阶常微分方程。
11、方程22dy xy dx满足解得存在唯一性定理条件的区域是xoy 平面。
12、微分方程22450d y dy y dxdx通解为512xxy C e C e，该方程可化为一阶线性微分方程组45dy zdx dz z ydx。
21d d y xy )1,2(xxyxy d d y xy d d13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()yx yx 成为其基本解组的充要条件是线性无关。
14、设1342A，则线性微分方程组dX AX dt有基解矩阵25253()4t t tte et ee。
二、解方程（每个小题8分，共120分）1、答案：方程化为令，则，代入上式，得分离变量，积分，通解为∴原方程通解为2、答案：特征方程为即。
特征根为，对应特征向量应满足可确定出同样可算出对应的特征向量为∴原方程组的通解为。
3、答案：齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+0d d )2(y x x y xxy xy 21d d xu y xu xu xy d d d d uxu x 1d d 1Cx uxCx y 2yxtyy x t x 4d d d d 01411E A 03223112031413111b a 2111b a 122122b a tt tt C C yx 2ee2ee2331xy xy 2e3d d xC y 3e xx C y3e)(Cx C x 5e 51)(xC y 3ex2e 514、2x ydy dx；答案：2x ydy dx是一个变量分离方程变量分离得22yxdydx两边同时积分得22yxc （其中c 为任意常数）5、答案：积分：故通解为：6、)(22xdydx y xx y 答案：)(22dxy xx xdy ydx 两边同除以22y x得022xdx y x xdy ydx ，即021)(2dxy x arctgd ，故原方程的解为Cxyx arctg2217、2453dxx ydt dy x ydt.答案：方程组的特征方程为203A E45即(2)(3)(4)(5)0，即25140特征根为17，22对应特征向量应满足112740537a b ，可得1145a b xyexy dx dy xyxexyedxdy xyxydxy xe xdy xy)(dxxe ydx xdyxydxxe dxyxyxdx e dxy xycx exy2210212c exxy同样可算出22时，对应特征向量为2211a b ∴原方程组的通解为72127245t t ttx ee C C yee8、答案：线性方程的特征方程故特征根是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0 所以原方程的解为9、0)2()122(dyy x dx y x 答案：，令z=x+y ，则所以–z+3ln|z+1|=x+， ln =x+z+即10、22d x dx x dtdt答案：所给方程是二阶常系数齐线性方程。
常微分方程模拟试题与答案
常微分方程模拟试题一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） ． 3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是x x x e ,e ．4．一个不可延展解的存在在区间一定是 开 区间．5．方程21d d y xy-=的常数解是1±=y ． 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．方程y x xy+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（D ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面 7. 方程1d d +=y xy （ C ）奇解．（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个 8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy=解存在且唯一的（ B ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分 9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间 （C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy=过点(0, 0)有（ A ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解 三、计算题（每小题６分，本题共30分） 求下列方程的通解或通积分：11.y y x yln d d = 12. x yx y x y +-=2)(1d d13. 5d d xy y xy+= 14．0)d (d 222=-+y y x x xy15．3)(2y y x y '+'=四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程255x y y -='-''的通解．17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty ty t x d d sin 1d d五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ．19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．常微分方程模拟试题参考答案三、计算题（每小题６分，本题共30分）11．解 当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x y y y+=⎰⎰d ln d （3分） 通积分为xC y e ln = （6分） 12．解 令xu y =，则xu x u x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u xux-= （3分） 分离变量，取不定积分，得C xxu u ln d 1d 2+=-⎰⎰（0≠C ） 通积分为： Cx xyln arcsin = （6分） 13．解 方程两端同乘以5-y ，得x y xy y+=--45d d 令 z y =-4，则xz x y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z xz=--d d 41 （3分） 通解为41e 4+-=-x C z x原方程通解为 41e 44+-=--x C y x （6分） 14．解 因为xNx y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． （2分） 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰20d d 2 （4分）即 C y y x =-3231 （6分） 15．解 原方程是克莱洛方程，通解为 32C Cx y +=（6分）四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16．解 对应齐次方程的特征方程为052=-λλ，特征根为01=λ，52=λ，齐次方程的通解为 x C C y 521e += （4分） 因为0=α是特征根。
《常微分方程》期末考试试题库
《常微分方程》期末考试试题目录《常微分方程》期末考试题（一） (1)《常微分方程》期末考试题（二） (6)《常微分方程》期末考试题（三） (13)《常微分方程》期末考试题（四） (18)《常微分方程》期末考试题（五） (24)《常微分方程》期末考试题（六） (31)《常微分方程》期末考试题库 (36)《常微分方程》期末考试题（一）一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x x y+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy=初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y +=6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e -- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d yp x y q x x+=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=xx q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y (C)1±=y , 1±=x (D)1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
常微分期末考试题及答案
常微分期末考试题及答案**常微分期末考试题及答案**一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 微分方程 \( y' = 2x \) 的通解是（）A. \( y = x^2 + C \)B. \( y = 2x + C \)C. \( y = 2x^2 + C \)D. \( y = x^2 + 2C \)2. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的特征方程是（）A. \( r^2 + 4 = 0 \)B. \( r^2 - 4 = 0 \)C. \( r^2 + 4r = 0 \)D. \( r^2 - 4r = 0 \)3. 微分方程 \( y' = \frac{y}{x} \) 的通解是（）A. \( y = Cx \)B. \( y = Cx^2 \)C. \( y = Cx^{-1} \)D. \( y = Cx^{-2} \)4. 微分方程 \( y' + 2y = 0 \) 的通解是（）A. \( y = Ce^{-2x} \)B. \( y = Ce^{2x} \)C. \( y = Cxe^{-2x} \)D. \( y = Cxe^{2x} \)5. 微分方程 \( y' = 3y \) 的通解是（）A. \( y = Ce^{3x} \)B. \( y = Ce^{-3x} \)C. \( y = 3Ce^{3x} \)D. \( y = 3Ce^{-3x} \)6. 微分方程 \( y'' - 5y' + 6y = 0 \) 的特征方程是（）A. \( r^2 - 5r + 6 = 0 \)B. \( r^2 + 5r + 6 = 0 \)C. \( r^2 - 5r - 6 = 0 \)D. \( r^2 + 5r - 6 = 0 \)7. 微分方程 \( y' = 2xy \) 的通解是（）A. \( y = Cxe^{x^2} \)B. \( y = Cxe^{-x^2} \)C. \( y = Cx^2e^{x^2} \)D. \( y = Cx^2e^{-x^2} \)8. 微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解是（）A. \( y = C_1 \cos x + C_2 \sin x \)B. \( y = C_1 \sin x + C_2 \cos x \)C. \( y = C_1 \cosh x + C_2 \sinh x \)D. \( y = C_1 \sinh x + C_2 \cosh x \)9. 微分方程 \( y' = \frac{1}{y} \) 的通解是（）A. \( y = Cx + 1 \)B. \( y = Cx - 1 \)C. \( y = \frac{1}{Cx + 1} \)D. \( y = \frac{1}{Cx - 1} \)10. 微分方程 \( y'' + 4y' + 4y = 0 \) 的特征方程是（）A. \( r^2 + 4r + 4 = 0 \)B. \( r^2 - 4r + 4 = 0 \)C. \( r^2 + 4r - 4 = 0 \)D. \( r^2 - 4r - 4 = 0 \)**答案：**1. A2. A3. A4. A5. A6. A7. A8. A9. C10. A二、填空题（每题5分，共30分）1. 微分方程 \( y' = 3x^2 \) 的通解是 \( y = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
常微分方程练习试卷及答案
常微分方程练习试卷及答案常微分方程练试卷一、填空题。
1.方程d2x/dt2+1=是二阶非线性微分方程。
2.方程xdy/ydx=f(xy)经变换ln|x|=g(xy)可以化为变量分离方程。
3.微分方程d3y/dx3-y2-x=0满足条件y(0)=1,y'(0)=2的解有一个。
4.设常系数方程y''+αy'+βy=γex的一个特解y(x)=e-x+e2x，则此方程的系数α=-1，β=2，γ=1.5.朗斯基行列式W(t)≠0是函数组x1(t),x2(t)。
xn(t)在[a,b]上线性无关的条件。
6.方程xydx+(2x2+3y2-20)dy=0的只与y有关的积分因子为1/y3.7.已知X'=A(t)X的基解矩阵为Φ(t)，则A(t)=Φ(t)-1dΦ(t)/dt。
8.方程组x'=[2,5;1,0]x的基解矩阵为[2e^(5t),-5e^(5t);e^(5t),1]。
9.可用变换将伯努利方程y'+p(x)y=q(x)化为线性方程。
10.方程y''-y'+2y=2e^x的通解为y(x)=C1e^x+C2e^2x+e^x。
11.方程y'''+2y''+5y'+y=1和初始条件y(0)=y'(0)=y''(0)=0的唯一解为y(x)=e^-x/2[sin(5^(1/2)x/2)-cos(5^(1/2)x/2)]。
12.三阶常系数齐线性方程y'''-2y''+y=0的特征根是1，1，-1.二、计算题1.设曲线方程为y(x)=kx/(1-k^2)，则曲线上任一点处的斜率为y'(x)=k/(1-k^2)，切点为(0,0)，切线方程为y=kx，点(1,0)的连线斜率为-1/k，因此k=-1，曲线方程为y=-x/(1+x)。
《常微分方程》福师期末试题与解答
《常微分方程》福师期末试题与解答常微分方程福师期末试题与解答试题一1. 求解以下常微分方程：(a) $y'' + 5y' + 6y = 0$;(b) $y'' + 2y' + y = e^{-x}$;解答一1. (a) 特征方程为 $r^2 + 5r + 6 = 0$，解得 $r_1 = -2$ 和 $r_2 = -3$。
因此齐次方程的通解为 $y_c = C_1e^{-2x} + C_2e^{-3x}$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为常数。
(b) 齐次方程的特征方程为 $r^2 + 2r + 1 = 0$，解得 $r = -1$（重根）。
因此齐次方程的通解为 $y_c = (C_1 + C_2x)e^{-x}$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为常数。
对于非齐次方程，根据常数变易法，假设非齐次方程的特解为$y_p = Ae^{-x}$，代入方程得到 $Ae^{-x} = e^{-x}$，解得 $A = 1$。
因此非齐次方程的特解为 $y_p = e^{-x}$。
综上所述，非齐次方程的通解为 $y = (C_1 + C_2x)e^{-x} +e^{-x}$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为常数。
试题二2. 解析解以下常微分方程：(a) $y' + \frac{1}{x}y = x^2$，已知 $y(1) = 2$；(b) $xy' - y = x^2$。
解答二2. (a) 首先将方程改写为标准形式 $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = x^2$。
根据线性一阶常微分方程的解法，通过乘以积分因子$\mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = |x|$，得到方程的通解为 $y = \frac{1}{|x|}\left(\int x^2 |x| dx + C\right)$，其中 $C$ 为常数。
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《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分）1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。
2、一阶微分方程2=dyx dx的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 21=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 24=+y x ，满足条件303ydx =⎰的解为 22=-y x 。
3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。
4、对方程2()dyx y dx=+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。
5、方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有 无数 个解。
6、方程''21=-y x的通解为 4212122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 421912264=-++x x y x 。
7、方程x x y xy +-=d d 无 奇解。
8、微分方程2260--=d y dyy dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dyz dx dz z y dx 。
9、方程y xy=d d 的奇解是 y=0 。
10、35323+=d y dyx dx dx是 3 阶常微分方程。
11、方程22dyx y dx=+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。
12、微分方程22450d y dy y dx dx--=通解为 512-=+x xy C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 45⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dy z dxdz z y dx。
13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()y x y x ϕϕ==成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。
14、设1342A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则线性微分方程组dXAX dt =有基解矩阵 25253()4φ--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦t t t t e e t e e 。
二、解方程（每个小题8分，共120分） 1、0d d )2(=-+y x x y x 答案：方程化为xyx y 21d d += 令xu y =，则x u x u x y d d d d +=，代入上式，得u xu x +=1d d 分离变量，积分，通解为1-=Cx u ∴ 原方程通解为x Cx y -=22、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x ty y x tx4d d d d答案：特征方程为 01411=--=-λλλE A 即0322=--λλ。
特征根为 31=λ，12-=λ对应特征向量应满足 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0031413111b a 可确定出 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b a 同样可算出12-=λ对应的特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2122b a∴ 原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--t t t t C C y x 2e e 2e e 2331 。
3、x y xy2e 3d d =+ 答案：齐次方程的通解为x C y 3e -=令非齐次方程的特解为x x C y 3e )(-=C x C x +=5e 51)(代入原方程，确定出原方程的通解为x C y 3e -=+x 2e 514、2-=x y dydx ； 答案：2-=x y dydx是一个变量分离方程 变量分离得22y x dy dx =两边同时积分得22y x c =+（其中c 为任意常数） 5、xy e xydx dy =+ 答案：xy xe xy e dx dy xyxy -=-= 积分：c x e xy +=--221 故通解为：0212=++-c e x xy6、{}0)(22=-+-xdy dx y x x y答案：0)(22=+--dx y x x xdy ydx ?两边同除以22y x +得022=-+-xdx y x xdy ydx ，即021)(2=-dx y x arctg d ， 故原方程的解为C x y x arctg =-221 7、2453dxx y dtdy x y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ .答案：方程组的特征方程为203A E λλλ---==--45即(2)(3)(4)(5)0λλ----⨯-=，即25140λλ--= 特征根为17λ=，22λ=-对应特征向量应满足1127405370a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可得1145a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 同样可算出22λ=-时，对应特征向量为2211a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴ 原方程组的通解为72127245--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦t t t t x e e C C y e e8、sin cos2x x t t ''+=-答案：线性方程0x x ''+=的特征方程210λ+=故特征根i λ=±1()sin f t t = i λ=是特征单根，原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原方程A=-12B=02()cos 2f t t =- 2i λ=不是特征根，原方程有特解cos2sin 2x A t B t =+代入原方程13A =B=0所以原方程的解为1211cos sin cos cos223x c t c t t t t =+-+9、0)2()122(=-++-+dy y x dx y x答案：2)(1)(2-+-+-=y x y x dx dy ，令z=x+y ，则dx dy dx dz +=1所以 –z+3ln|z+1|=x+1C ， ln 3|1|+z =x+z+1C即y x Ce y x +=++23)1(10、220++=d x dxx dt dt答案：所给方程是二阶常系数齐线性方程。
其特征方程为210λλ++=特征根为112λ=-+，212λ=-∴ 方程的通解为111()()2221212()t t t x c ec ec c e ---=+=+11、312+++-=y x y x dx dy 答案： (x-y+1)dx-(x+2y +3)dy=0xdx-(ydx+xdy)+dx-2y dy-3dy=0即21d 2x -d(xy)+dx-331dy -3dy=0所以C y y x xy x =--+-3312132三、证明题（共160分）1、（12分）证明如果Ax x t =/）是（ϕ满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么 =)(t ϕ[]η)(0t t A e -。
证明：设)(t ϕ的形式为)(t ϕ=C e At （1）（C 为待定的常向量）则由初始条件得)(0t ϕη==C e At 0又1)(0-At e=0At e - 所以C=1)(0-At e η=0At e -η代入（1）得)(t ϕ=ηη)(0t t A At At e e e --= 即命题得证。
2、（12分）设)(x ϕ在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程y x xysin )(d d ϕ=的所有解的存在区间必为),(∞+-∞。
证明 ：由已知条件，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件。
显然1±=y 是方程的两个常数解。
任取初值),(00y x ，其中),(0∞+-∞∈x ,10<y 。
记过该点的解为)(x y y =， 由上面分析可知，一方面)(x y y =可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过1=y ，下方不能穿过1-=y ，否则与惟一性矛盾； 故该解的存在区间必为),(∞+-∞。
3、（12分）设)(1x y ，)(2x y 是方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的解，且满足)(01x y =)(02x y =0，0)(1≠x y ，这里)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，),(0∞+-∞∈x ．试证明：存在常数C 使得)(2x y =C )(1x y ．证明：设)(1x y ，)(2x y 是方程的两个解，则它们在),(∞+-∞上有定义，其朗斯基行列式为)()()()()(2121x y x y x y x y x W ''=由已知条件，得0)()(0)()()()()(0201020102010=''=''=x y x y x y x y x y x y x W 故这两个解是线性相关的；由线性相关定义，存在不全为零的常数21αα，， 使得0)()(2211=+x y x y αα，),(∞+-∞∈x 由于0)(1≠x y ，可知02≠α．否则，若02=α，则有0)(11=x y α，而0)(1≠x y ，则01=α， 这与)(1x y ，)(2x y 线性相关矛盾．故)()()(11212x Cy x y x y =-=αα 4、（12分）叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理的内容，并给出唯一性的证明。
定理：设00:||,||R x x a y y b -≤-≤.（1）(,)f x y 在R 上连续，（2）(,)f x y 在R 上关于y 满足利普希茨条件：120,(,),(,)L x y x y R ∃>∀∈，总有1212|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤-.则初值问题00(,)()dyf x y dx y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩存在唯一的解()y x ϕ=，定义于区间0||x x h -≤上，连续且满足初值条件00()x y ϕ=，这里(,)min(,),max |(,)|x y R bh a M f x y M∈==.唯一性：设()x φ是积分方程在区间00[,]x h x h -+上的解，则()()x x φϕ=. 证明：00()(,())xx x y f d φξφξξ=+⎰，001()(,())xn n x x y f d ϕξϕξξ-=+⎰，1,2,......n =首先估计0x x ≥.00|()()||(,())|()xx x x f d M x x ϕφξφξξ-≤≤-⎰，设10|()()|()(1)!nn n ML x x x x n ϕφ+-≤-+成立，则 001210|()()||(,())(,())||()()|()(2)!n xxn n n n x x ML x x f f d d x x n ϕφξϕξξφξξϕξφξξ+++-≤-≤-=-+⎰⎰这就证明了对任意的n ，总成立估计式：110|()()|()(1)!(1)!n n n n n ML ML x x x x h n n ϕφ++-≤-≤++. 因此，{()}n x ϕ一致收敛于()x φ，由极限的唯一性，必有00()(),[,]x x x x h x h φϕ=∈-+.5、（10分）求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=++=51y x dtdy y x dt dx的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。