常微分方程期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分）1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。

2、一阶微分方程2=dyx dx的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 21=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 24=+y x ，满足条件303ydx =⎰的解为 22=-y x 。

3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。

4、对方程2()dyx y dx=+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。

5、方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有 无数 个解。

6、方程''21=-y x的通解为 4212122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 421912264=-++x x y x 。

7、方程x x y xy +-=d d 无 奇解。

8、微分方程2260--=d y dyy dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dyz dx dz z y dx 。

9、方程y xy=d d 的奇解是 y=0 。

10、35323+=d y dyx dx dx是 3 阶常微分方程。

11、方程22dyx y dx=+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。

12、微分方程22450d y dy y dx dx--=通解为 512-=+x xy C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 45⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dy z dxdz z y dx。

13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()y x y x ϕϕ==成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。

14、设1342A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则线性微分方程组dXAX dt =有基解矩阵 25253()4φ--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦t t t t e e t e e 。

二、解方程（每个小题8分，共120分） 1、0d d )2(=-+y x x y x 答案：方程化为xyx y 21d d += 令xu y =，则x u x u x y d d d d +=，代入上式，得u xu x +=1d d 分离变量，积分，通解为1-=Cx u ∴ 原方程通解为x Cx y -=22、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x ty y x tx4d d d d答案：特征方程为 01411=--=-λλλE A 即0322=--λλ。

特征根为 31=λ，12-=λ对应特征向量应满足 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0031413111b a 可确定出 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b a 同样可算出12-=λ对应的特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2122b a∴ 原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--t t t t C C y x 2e e 2e e 2331 。

3、x y xy2e 3d d =+ 答案：齐次方程的通解为x C y 3e -=令非齐次方程的特解为x x C y 3e )(-=C x C x +=5e 51)(代入原方程，确定出原方程的通解为x C y 3e -=+x 2e 514、2-=x y dydx ； 答案：2-=x y dydx是一个变量分离方程 变量分离得22y x dy dx =两边同时积分得22y x c =+（其中c 为任意常数） 5、xy e xydx dy =+ 答案：xy xe xy e dx dy xyxy -=-= 积分：c x e xy +=--221 故通解为：0212=++-c e x xy6、{}0)(22=-+-xdy dx y x x y答案：0)(22=+--dx y x x xdy ydx ?两边同除以22y x +得022=-+-xdx y x xdy ydx ，即021)(2=-dx y x arctg d ， 故原方程的解为C x y x arctg =-221 7、2453dxx y dtdy x y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ .答案：方程组的特征方程为203A E λλλ---==--45即(2)(3)(4)(5)0λλ----⨯-=，即25140λλ--= 特征根为17λ=，22λ=-对应特征向量应满足1127405370a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可得1145a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 同样可算出22λ=-时，对应特征向量为2211a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴ 原方程组的通解为72127245--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦t t t t x e e C C y e e8、sin cos2x x t t ''+=-答案：线性方程0x x ''+=的特征方程210λ+=故特征根i λ=±1()sin f t t = i λ=是特征单根，原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原方程A=-12B=02()cos 2f t t =- 2i λ=不是特征根，原方程有特解cos2sin 2x A t B t =+代入原方程13A =B=0所以原方程的解为1211cos sin cos cos223x c t c t t t t =+-+9、0)2()122(=-++-+dy y x dx y x答案：2)(1)(2-+-+-=y x y x dx dy ，令z=x+y ，则dx dy dx dz +=1所以 –z+3ln|z+1|=x+1C ， ln 3|1|+z =x+z+1C即y x Ce y x +=++23)1(10、220++=d x dxx dt dt答案：所给方程是二阶常系数齐线性方程。

其特征方程为210λλ++=特征根为112λ=-+，212λ=-∴ 方程的通解为111()()2221212()t t t x c ec ec c e ---=+=+11、312+++-=y x y x dx dy 答案： (x-y+1)dx-(x+2y +3)dy=0xdx-(ydx+xdy)+dx-2y dy-3dy=0即21d 2x -d(xy)+dx-331dy -3dy=0所以C y y x xy x =--+-3312132三、证明题（共160分）1、（12分）证明如果Ax x t =/）是（ϕ满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么 =)(t ϕ[]η)(0t t A e -。

证明：设)(t ϕ的形式为)(t ϕ=C e At （1）（C 为待定的常向量）则由初始条件得)(0t ϕη==C e At 0又1)(0-At e=0At e - 所以C=1)(0-At e η=0At e -η代入（1）得)(t ϕ=ηη)(0t t A At At e e e --= 即命题得证。

2、（12分）设)(x ϕ在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程y x xysin )(d d ϕ=的所有解的存在区间必为),(∞+-∞。

证明 ：由已知条件，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件。

显然1±=y 是方程的两个常数解。

任取初值),(00y x ，其中),(0∞+-∞∈x ,10<y 。

记过该点的解为)(x y y =， 由上面分析可知，一方面)(x y y =可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过1=y ，下方不能穿过1-=y ，否则与惟一性矛盾； 故该解的存在区间必为),(∞+-∞。

3、（12分）设)(1x y ，)(2x y 是方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的解，且满足)(01x y =)(02x y =0，0)(1≠x y ，这里)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，),(0∞+-∞∈x ．试证明：存在常数C 使得)(2x y =C )(1x y ．证明：设)(1x y ，)(2x y 是方程的两个解，则它们在),(∞+-∞上有定义，其朗斯基行列式为)()()()()(2121x y x y x y x y x W ''=由已知条件，得0)()(0)()()()()(0201020102010=''=''=x y x y x y x y x y x y x W 故这两个解是线性相关的；由线性相关定义，存在不全为零的常数21αα，， 使得0)()(2211=+x y x y αα，),(∞+-∞∈x 由于0)(1≠x y ，可知02≠α．否则，若02=α，则有0)(11=x y α，而0)(1≠x y ，则01=α， 这与)(1x y ，)(2x y 线性相关矛盾．故)()()(11212x Cy x y x y =-=αα 4、（12分）叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理的内容，并给出唯一性的证明。

定理：设00:||,||R x x a y y b -≤-≤.（1）(,)f x y 在R 上连续，（2）(,)f x y 在R 上关于y 满足利普希茨条件：120,(,),(,)L x y x y R ∃>∀∈，总有1212|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤-.则初值问题00(,)()dyf x y dx y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩存在唯一的解()y x ϕ=，定义于区间0||x x h -≤上，连续且满足初值条件00()x y ϕ=，这里(,)min(,),max |(,)|x y R bh a M f x y M∈==.唯一性：设()x φ是积分方程在区间00[,]x h x h -+上的解，则()()x x φϕ=. 证明：00()(,())xx x y f d φξφξξ=+⎰，001()(,())xn n x x y f d ϕξϕξξ-=+⎰，1,2,......n =首先估计0x x ≥.00|()()||(,())|()xx x x f d M x x ϕφξφξξ-≤≤-⎰，设10|()()|()(1)!nn n ML x x x x n ϕφ+-≤-+成立，则 001210|()()||(,())(,())||()()|()(2)!n xxn n n n x x ML x x f f d d x x n ϕφξϕξξφξξϕξφξξ+++-≤-≤-=-+⎰⎰这就证明了对任意的n ，总成立估计式：110|()()|()(1)!(1)!n n n n n ML ML x x x x h n n ϕφ++-≤-≤++. 因此，{()}n x ϕ一致收敛于()x φ，由极限的唯一性，必有00()(),[,]x x x x h x h φϕ=∈-+.5、（10分）求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=++=51y x dtdy y x dt dx的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。