弹性力学简明教程(第四版)_第八章_课后作业题答案
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第八章 空间问题的解答
【8-1】 设有任意形状的等截面杆，密度为ρ，上端悬挂，下端自由，如题8-1图所示。试考察应力分量0,0,,0,0,0x y z yz zx xy gz σσσρτττ======是否能满足所有一切条件。
【解答】按应力求解空间问题时，须要使得六个应力分量在弹性体区域内满足平衡微分方程，教材中式（7-1）；满足相容方程，教材中式（8-13）；并在边界上满足应力边界条件，教材中式（7-5）。
（1）0,x y z f f f g ρ===-，很显然，应力分量满足如下的平衡微分方程
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨⎧=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂。，，000z z yz xz y zy y xy
x zx
yx x f z y x f z y x f z y x
στττστττσ （2）x y z gz σσσρΘ=++=，应力分量也满足贝尔特拉米相容方程
()()()()()()222
2
2222
2
2222
2
210,10,10,
10,10,
10x xy y yz z zx x x y
y y z
z z x
μσμτμσμτμσμτ⎧∂Θ∂Θ
+∇+=+∇+
=⎪∂∂∂⎪⎪∂Θ∂Θ
⎪+∇+=+∇+
=⎨∂∂∂⎪
⎪∂Θ∂Θ
+∇+=+∇+
=⎪∂∂∂⎪⎩
。 （3）考察应力边界条件：柱体的侧面和下端面，0x y z f f f ===。在（x ,y ）平面上应考虑为任意形状的边界（侧面方向余弦分别为n =0, l ,m 为任意的；在下端面方向余弦分别为n =-1, l =m =0），应用一般的应力边界条件，将应力和面力分
量、方向余弦分别代入下式
()()(),
,x yx zx x s xy y zy y s xz
yz z z s l m n f l m n f l m n f στττστττσ⎧++=⎪
⎪
++=⎨⎪
++=⎪⎩。 直杆的侧面和下端的应力边界条件都能满足。因此，所给应力分量是本问题的解。
【8-8】扭杆的横截面为等边三角形OAB ，其高度为ａ（题8-8图），取坐标轴如图所示，则AB ，OA ，OB
三边的方程分别为0,0,0x a x x -=-==。试证应力函数
(
)(
)()
Φm x a x x =--+
能满足一切条件，并求出最大切应力及扭角。
【解答】（1）扭杆无孔洞，应力函数Φ显然满足侧面边界条件()Φ0s =。由杆满足端部的边界条件，教材中式（8-18）得
(
)(
)()
))3
2220
4
30
2,
233,2,
A a
a a a m x a x x dxdy M m x
xy ax ay dxdy M m x ax dx M --+
=--+=-=⎰⎰⎰
⎰
⎰
积分求解得m =。 （2）将Φ代入相容方程，教材中式（8-21）
(
)2222
3222222,
334GK x xy ax ay am M x
y ∇Φ=-⎛⎫∂∂∇Φ=+--+== ⎪∂∂⎝⎭。
再将m 代入上式结果，得
4
2,M GK a
-
=-
得4
K Ga =
。 （3）由教材中式（8-15）求切应力分量得
(
)()22
,323xz yz x a y y M x ax y x ττ∂Φ=
=-∂∂Φ=-
=--∂。
（4）由薄膜比拟法知，在扭杆的边界上，三个边的中点将发生最大剪应力，为方便计算，考虑C 点：
(
)()max ,0,0,0zy zx x a y x a y τττ======
=。
（5）单位长度上扭角为
2C K G =-
= 【8-10】设有一边长为a 的正方形截面杆，与一面积相同的圆截面杆，受有相同的扭矩M ，试比较两者的最大切应力和单位长度的扭角。
【解答】（1）根据教材中式（8-34）和式（8-35）可知任意矩形杆的最大切应力和扭转角的表达式，
max 231
,,M M
K ab ab G τβ
β=
=
对于边长为a 的正方形截面杆，1,0.208,0.141a b ββ===。 将这些数值代入上式，得
max 23
341=4.808,7.092。M M
M M
K ab a ab G a G
τββ=
=
=
（2）根据教材中式（8-27）和式（8-28）可知椭圆截面杆的最大切应力和扭转角的表达式
()2
2max
2
332,。
a b M
M
K a b
a b G
τππ''+''==
'''' 对于面积为2
a π
的圆截面杆，上式中=
a b ''=。
将这些数值代入上式，得
()2
2
max
23
33422=,=
。a b M
M M
K a b a a b G
a G
πτππ''+''==
'''' （3）比较两杆的最大切应力和单位长度的扭转角。
max
max
1.3562, 1.1288K
K ττ==''
。