2008年浙江省高考数学试卷(理科)及答案

2008年浙江省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a=（）
A．1 B．﹣1 C．D．﹣
2．（5分）已知U=R，A={x|x＞0}，B={x|x≤﹣1}，则（A∩∁U B）∪（B∩∁U A）=（）
A．∅B．{x|x≤0}C．{x|x＞﹣1}D．{x|x＞0或x≤﹣1}
3．（5分）已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）在（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）的展开式中，含x4的项的系数是（）
A．﹣15 B．85 C．﹣120 D．274
5．（5分）在同一平面直角坐标系中，函数（x∈[0，2π]）的图象和直线的交点个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．4
6．（5分）已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=（）A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2﹣n）C．（1﹣4﹣n）D．（1﹣2﹣n）7．（5分）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2，则双曲线的离心率是（）
A．3 B．5 C．D．
8．（5分）若，则tanα=（）
A．B．2 C．D．﹣2
9．（5分）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）
•（﹣）=0，则||的最大值是（）
A．1 B．2 C．D．
10．（5分）如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）
A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线
二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）
11．（4分）已知平面内三点A（2，﹣3），B（4，3），C（5，a）共线，则a= 12．（4分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、
B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=．
13．（4分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=．
14．（4分）如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于．
15．（4分）已知t为常数，函数y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=．
16．（4分）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻．这样的六位数的个数是（用数字作答）．
17．（4分）若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax+by≤1，则以a、b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于．
三、解答题（共5小题，满分72分）
18．（12分）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=．
（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；
（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°？
19．（14分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．
（Ⅰ）若袋中共有10个球，从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．
（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．
20．（15分）已知曲线C是到点和到直线距离相等的点的轨迹，l是过点Q（﹣1，0）的直线，M是C上（不在l上）的动点；A、B在l上，MA⊥l，MB⊥x轴（如图）．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）求出直线l的方程，使得为常数．
21．（15分）已知a是实数，函数
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（a）为f（x）在区间[0，2]上的最小值．
（i）写出g（a）的表达式；
（ii）求a的取值范围，使得﹣6≤g（a）≤﹣2．
22．（16分）已知数列{a n}，a n≥0，a1=0，a n+12+a n+1﹣1=a n2（n∈N•）．记S n=a1+a2+…+a n．．
求证：当n∈N•时，
（Ⅰ）a n＜a n+1；
（Ⅱ）S n＞n﹣2．
（Ⅲ）T n＜3．
2008年浙江省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）（2008•浙江）已知a是实数，是纯虚数，则a=（）
A．1 B．﹣1 C．D．﹣
【分析】化简复数分母为实数，复数化为a+bi（a、b是实数）明确分类即可．【解答】解：由是纯虚数，
则且，故a=1
故选A．
2．（5分）（2008•浙江）已知U=R，A={x|x＞0}，B={x|x≤﹣1}，则（A∩∁U B）∪（B∩∁U A）=（）
A．∅B．{x|x≤0}C．{x|x＞﹣1}D．{x|x＞0或x≤﹣1}
【分析】由题意知U=R，A={x|x＞0}，B={x|x≤﹣1}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．
【解答】解：∵U=R，A={x|x＞0}，B={x|x≤﹣1}，
∴C u B={x|x＞﹣1}，C u A={x|x≤0}
∴A∩C u B={x|x＞0}，B∩C u A={x|x≤﹣1}
∴（A∩C u B）∪（B∩C u A）={x|x＞0或x≤﹣1}，
故选D．
3．（5分）（2008•浙江）已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】首先由于“a2＞b2”不能推出“a＞b”；反之，由“a＞b”也不能推出“a2＞b2”．故“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．
【解答】解：∵“a2＞b2”既不能推出“a＞b”；
反之，由“a＞b”也不能推出“a2＞b2”．
∴“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．
故选D．
4．（5分）（2008•浙江）在（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）的展开式中，含x4的项的系数是（）
A．﹣15 B．85 C．﹣120 D．274
【分析】本题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题．本题可通过选括号（即5个括号中4个提供x，其余1个提供常数）的思路来完成．
【解答】解：含x4的项是由（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）的5个括号中4个括号出x仅1个括号出常数
∴展开式中含x4的项的系数是（﹣1）+（﹣2）+（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣15．
故选A．
5．（5分）（2008•浙江）在同一平面直角坐标系中，函数（x∈[0，2π]）的图象和直线的交点个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．4
【分析】先根据诱导公式进行化简，再由x的范围求出的范围，再由正弦函数的图象可得到答案．
【解答】解：原函数可化为：y=cos（）（x∈[0，2π]）=，x∈[0，2π]．当x∈[0，2π]时，∈[0，π]，其图象如图，
与直线y=的交点个数是2个．
故选C．
6．（5分）（2008•浙江）已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=（）
A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2﹣n）C．（1﹣4﹣n）D．（1﹣2﹣n）【分析】首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项的特点发现仍是等比数列，且首项是a1a2=8，公比为．进而根据等比数列求和公式可得出答案．【解答】解：由，解得．
数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，
所以，
故选：C．
7．（5分）（2008•浙江）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比
为3：2，则双曲线的离心率是（）
A．3 B．5 C．D．
【分析】先取双曲线的一条准线，然后根据题意列方程，整理即可．
【解答】解：依题意，不妨取双曲线的右准线，
则左焦点F1到右准线的距离为，
右焦点F2到右准线的距离为，
可得，即，
∴双曲线的离心率．
故选D．
8．（5分）（2008•浙江）若，则tanα=（）
A．B．2 C．D．﹣2
【分析】本小题主要考查三角函数的求值问题，需要把正弦和余弦化为正切和正割，两边平方，根据切割的关系进行切割互化，得到关于正切的方程，解方程得结果．
【解答】解：∵cosα+2sinα=﹣，
∴cosα≠0，
两边同时除以cosα得1+2tanα=﹣，
∴（1+2tanα）2=5sec2α=5（1+tan2α），
∴tan2α﹣4tanα+4=0，
∴tanα=2．
故选B．
9．（5分）（2008•浙江）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）
A．1 B．2 C．D．
【分析】本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题，所给出的两个向量是互相垂直的单位向量，这给运算带来很大方便，利用数量积为零的条件时要移项变化．
【解答】解：．∵，
∵，
∴，
∵cosθ∈[﹣1，1]，
∴的最大值是．
故选C．
10．（5分）（2008•浙江）如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）
A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线
【分析】根据题意，因为三角形面积为定值，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P的轨迹为一以AB为轴线的圆柱面，与平面α的交线，分析轴线与平面的性质，可得答案．
【解答】解：本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题，
因为三角形面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，
分析可得，点P在以AB为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且α与圆柱的轴线斜交，
由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆；
故选：B．
二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）
11．（4分）（2008•浙江）已知平面内三点A（2，﹣3），B（4，3），C（5，a）共线，则a=6
【分析】利用向量坐标的求法求出两个向量的坐标，将三点共线转化为两向量共线，利用向量共线的充要条件列出方程求出a．
【解答】解：
由已知知
所以2（a+3）=6×3
解得a=6
故答案为：6
12．（4分）（2008•浙江）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线
交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．
【分析】运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a=20，再由周长，即可得到AB的长．
【解答】解：椭圆=1的a=5，
由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，
则三角形ABF2的周长为4a=20，
若|F2A|+|F2B|=12，
则|AB|=20﹣12=8．
故答案为：8
13．（4分）（2008•浙江）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=．
【分析】先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系，再运用两角和与差的正弦公式化简可得到sinBcosA=sinB，进而可求得cosA的值．
【解答】解：由正弦定理，知
由（b﹣c）cosA=acosC可得
（sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，
∴sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA
=sin（A+C）=sinB，
∴cosA=．
故答案为：
14．（4分）（2008•浙江）如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于π．
【分析】说明△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，球的直径就是CD，求出CD，即可求出球的体积．
【解答】解：AB⊥BC，△ABC的外接圆的直径为AC，AC=，
由DA⊥面ABC得DA⊥AC，DA⊥BC，△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，
=πR3=π．
∴CD为球的直径，CD==3，∴球的半径R=，∴V
球
故答案为：π．
15．（4分）（2008•浙江）已知t为常数，函数y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=1．
【分析】本题应先画出函数的大体图象，利用数形结合的方法寻找解题的思路．画出大体图象后不难发现函数的最大值只能在x=1或x=3处取得，因此分情况讨论解决此题．
【解答】解：记g（x）=x2﹣2x﹣t，x∈[0，3]，
则y=f（x）=|g（x）|，x∈[0，3]
f（x）图象是把函数g（x）图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，
其对称轴为x=1，则f（x）最大值必定在x=3或x=1处取得
（1）当在x=3处取得最大值时f（3）=|32﹣2×3﹣t|=2，
解得t=1或5，
当t=5时，此时，f（0）=5＞2不符条件，
当t=1时，此时，f（0）=1，f（1）=2，符合条件．
（2）当最大值在x=1处取得时f（1）=|12﹣2×1﹣t|=2，
解得t=1或﹣3，
当t=﹣3时，f（0）=3＞2不符条件，
当t=1此时，f（3）=2，f（1）=2，符合条件．
综上t=1时
故答案为：1．
16．（4分）（2008•浙江）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻．这样的六位数的个数是40（用数字作答）．
【分析】欲求可组成符合条件的六位数的个数，只须利用分步计数原理分三步计算：第一步：先将3、5排列，第二步：再将4、6插空排列，第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中即可．
【解答】解析：可分三步来做这件事：
第一步：先将3、5排列，共有A22种排法；
第二步：再将4、6插空排列，插空时要满足奇偶性不同的要求，共有2A22种排法；
第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有C51种排法．
由分步乘法计数原理得共有A22•2A22•C51=40（种）．
答案：40
17．（4分）（2008•浙江）若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax+by≤1，则以a、b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于1．
【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关
系画出其表示的平面区域，再利用求最优解的方法，结合题中条件：“恒有ax+by ≤1”得出关于a，b的不等关系，最后再据此不等式组表示的平面区域求出面积即可．
【解答】解：令z=ax+by，
∵ax+by≤1恒成立，
即函数z=ax+by在可行域要求的条件下，z max≤1恒成立．
当直线ax+by﹣z=0过点（1，0）或点（0，1）时，0≤a≤1，0≤b≤1．
点P（a，b）形成的图形是边长为1的正方形．
∴所求的面积S=12=1．
故答案为：1
三、解答题（共5小题，满分72分）
18．（12分）（2008•浙江）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=．
（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；
（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°？
【分析】（Ⅰ）过点E作EG⊥CF并CF于G，连接DG，证明AE平行平面DCF内的直线DG，即可证明AE∥平面DCF；
（Ⅱ）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH，说明∠AHB为二面角A ﹣EF﹣C的平面角，通过二面角A﹣EF﹣C的大小为60°，求出AB即可．
【解答】（Ⅰ）证明：过点E作EG⊥CF并CF于G，连接DG，可得四边形BCGE 为矩形．又ABCD为矩形，
所以AD⊥∥EG，从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG．
因为AE⊄平面DCF，DG⊂平面DCF，所以AE∥平面DCF．
（Ⅱ）解：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH．
由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得
AB⊥平面BEFC，
从而AH⊥EF，
所以∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角．
在Rt△EFG中，因为EG=AD=．
又因为CE⊥EF，所以CF=4，
从而BE=CG=3．
于是BH=BE•sin∠BEH=．
因为AB=BH•tan∠AHB，
所以当AB=时，二面角A﹣EF﹣G的大小为60°．
【考点】空间点、线、面位置关系，空间向量与立体几何．
【点评】由于理科有空间向量的知识，在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用，这为考生选择解题方案提供了方便，但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的缺陷，那就是空间向量的运算问题，空间向量有三个分坐标，在进行运算时极易出现错误，而且空间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显，所以在复习立体几何时，不要纯粹以空间向量为解题的工具，要注意综合几何法的应用．
19．（14分）（2008•浙江）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．
（Ⅰ）若袋中共有10个球，从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．
（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．
【分析】（I）首先根据从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，列出关系式，得到白球的个数，从袋中任意摸出3个球，白球的个数为ξ，根据题意得到变量可能的取值，结合对应的事件，写出分布列和期望．
（II）设出两种球的个数，根据从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于，得到两个未知数之间的关系，得到白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于，得到袋中红球个数最少．
【解答】解：（Ⅰ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，
则，
得到x=5．
故白球有5个．
随机变量ξ的取值为0，1，2，3，
∴分布列是
∴ξ的数学期望．
（Ⅱ）证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得，
∴2y＜n，2y≤n﹣1，
故．
记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，
则．
∴白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于．
故袋中红球个数最少．
20．（15分）（2008•浙江）已知曲线C是到点和到直线距离相等的点的轨迹，l是过点Q（﹣1，0）的直线，M是C上（不在l上）的动点；
A、B在l上，MA⊥l，MB⊥x轴（如图）．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）求出直线l的方程，使得为常数．
【分析】（I）设N（x，y）为C上的点，进而可表示出|NP|，根据N到直线
的距离和|NP|进而可得曲线C的方程．
（II）先设，直线l：y=kx+k，进而可得B点坐标，再分别表示出|QB|，|QM|，|MA|，最后根据|QA|2=|QM|2﹣|AM|2求得k．
【解答】解：（I）设N（x，y）为C上的点，则，
N到直线的距离为．
由题设得，
化简，得曲线C的方程为．
（II）设，直线l：y=kx+k，则B（x，kx+k），从而．在Rt△QMA中，因为=，
．
所以，
∴，
．
当k=2时，，
从而所求直线l方程为2x﹣y+2=0．
21．（15分）（2008•浙江）已知a是实数，函数
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（a）为f（x）在区间[0，2]上的最小值．
（i）写出g（a）的表达式；
（ii）求a的取值范围，使得﹣6≤g（a）≤﹣2．
【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域[0，+∞），求出f′（x），因为a为实数，讨论a
≤0，（x＞0）得到f′（x）＞0得到函数的单调递增区间；若a＞0，令f'（x）=0，得到函数驻点讨论x取值得到函数的单调区间即可．
（Ⅱ）①讨论若a≤0，f（x）在[0，2]上单调递增，所以g（a）=f（0）=0；若0＜a＜6，f（x）在上单调递减，在上单调递增，所以
；若a≥6，f（x）在[0，2]上单调递减，所以
．得到g（a）为分段函数，写出即可；②令﹣6≤g（a）≤﹣2，代到第一段上无解；若0＜a＜6，解得3≤a＜6；若a≥6，解得．则求出a的取值范围即可．
【解答】解；（Ⅰ）解：函数的定义域为[0，+∞），（x ＞0）．
若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）有单调递增区间[0，+∞）．
若a＞0，令f'（x）=0，得，当时，f'（x）＜0，
当时，f'（x）＞0．f（x）有单调递减区间，单调递增区间．（Ⅱ）解：（i）若a≤0，f（x）在[0，2]上单调递增，所以g（a）=f（0）=0．若0＜a＜6，f（x）在上单调递减，在上单调递增，
所以．若a≥6，f（x）在[0，2]上单调递减，
所以．
综上所述，改天
（ii）令﹣6≤g（a）≤﹣2．若a≤0，无解．若0＜a＜6，解得3≤a＜6．
若a≥6，解得．故a的取值范围为．
22．（16分）（2008•浙江）已知数列{a n}，a n≥0，a1=0，a n+12+a n+1﹣1=a n2（n∈N•）．记S n=a1+a2+…+a n．．
求证：当n∈N•时，
（Ⅰ）a n＜a n+1；
（Ⅱ）S n＞n﹣2．
（Ⅲ）T n＜3．
【分析】（1）对于n∈N•时的命题，考虑利用数学归纳法证明；
（2）由a k
+12+a k
+1
﹣1=a k2，对k取1，2，…，n﹣1时的式子相加得S n，最后对S n
进行放缩即可证得．
（3）利用放缩法由，得≤（k=2，3，…，n﹣1，n≥3），≤（a≥3），即可得出结论．
【解答】（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．
①当n=1时，因为a2是方程x2+x﹣1=0的正根，所以a1＜a2．
②假设当n=k（k∈N*）时，a k＜a k+1，
因为a k
+12﹣a k2=（a k
+2
2+a k
+2
﹣1）﹣（a k+12+a k+1﹣1）=（a k+2﹣a k+1）（a k+2+a k+1+1），
所以a k
+1
＜a k+2．
即当n=k+1时，a n＜a n+1也成立．
根据①和②，可知a n＜a n+1对任何n∈N*都成立．
（Ⅱ）证明：由a k
+12+a k
+1
﹣1=a k2，k=1，2，…，n﹣1（n≥2），
得a n2+（a2+a3+…+a n）﹣（n﹣1）=a12．
因为a1=0，所以S n=n﹣1﹣a n2．
由a n＜a n+1及a n+1=1+a n2﹣2a n+12＜1得a n＜1，
所以S n＞n﹣2．
（Ⅲ）证明：由，得：
，
所以，故当n≥3时，，
又因为T1＜T2＜T3，所以T n＜3．。