动态规划法求解生产与存储问题
动态规划1(qh)
4 1 C3
B2
2
2
C2 3
5 B1 4
3 C1 3
D3 5
E2
3
2
D2
4
F
4
2 E1
D1
A
B
C
D
E
F
动态规划的函数方程（DP）
建立DP函数方程是指确定过 程的阶段及阶段数，规定状态变 量和决策变量的取法，给出各阶 段的状态集合，允许决策集合， 状态转移方程和指标函数等。
在上面的计算过程中，利用了第 k阶段与第k+1阶段的关系：
f3(C1)=MIN r(C1,D1)+ f4(D1) r(C1,D2)+ f4(D2)
=MIN（3+6，3+5）=8 最短路线： C1——D2——E2——F 最优解： d3*(C1)= D2
4 A3
4 1 C3
B2
2
2
C2 3
5 B1 4
3 C1 3
D3 5
E2
3
2
D2
4
F
4
2 E1
D1
A
B
C
D
4
F
4
2 E1
D1
A
B
C
D
E
F
d1
r (S 1,d 1 (S 1))+ f2(S 2) f 1(S 1) d 1 (S 1)
S1
B1
B2
A
15
14
14
B2
4 A3
4 1 C3
B2
2
2
C2 3
5 B1 4
3 C1 3
D3 5
E2
3
动态规划例1求解下列整数规划的最优解
例1 求解下列整数规划的最优解：()123123max 45634510..01,2,3,j j Z x x x x x x s t x j x =++++⎧⎪⎨=⎪⎩≤≥为整数.解 （1）建立动态规划模型：阶段变量：将给每一个变量j x 赋值看成一个阶段，划分为3个阶段，且阶段变量k=1,2,3. 设状态变量k s 表示从第k 阶段到第3阶段约束右端最大值，则10.j s = 设决策变量k x 表示第k 阶段赋给变量k x 的值(1,2,3)k =. 状态转移方程：2113223,4.s s x s s x =-=-阶段指标：111122223333(,)4,(,)5,(,)6.u s x x u s x x u s x x === 基本方程；()(){}()3113,2,1044()max ,()0.s k k k k k k k k k k x a f s u s x f s f s ++⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎧=+⎪⎨⎪=⎩≤≤ 其中1233,4, 5.a a a === （1） 用逆序法求解： 当3k =时，()(){}{}33333443330055max 6max 6,ssx x f s x f s x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=≤≤≤而{}[]30,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.s x ∈表示不超过x 的最大整数。
因此，当30,1,2,3,4s =时，30x =；当35,6,7,8,9s =时，3x 可取0或1；当310s =时，3x 可取0，1，2，由此确定()33.f s 现将有关数据列入表4.1中当时，有()(){}(){}22222332322220044max 5max 54,ssx x f s xf s xf s x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=+-≤≤≤≤而{}20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10s ∈。
所以当20,1,2,3s =时，20x =；当24,5,6,7s =时，201x =或；当28,9,10s =时20,1,2x =。
运筹学论文
吴禹锟一院八队201101044032 运筹学摘要：临近年末，家中生产的冰糖橙到了一个大卖的时候，采摘下来的冰糖橙需要合理的保存，才能够长期保鲜。
而摘下来的冰糖橙需要进行进一步包装，才能卖到一个更好的价格。
最后就是运输问题，怎样用最少的运价运到更多的地方。
这就需要制定一个严密的计划，使自己所用的花费最少。
关键字：生产与存储 动态规划 经济批量订货模型 运输问题 lingo正文：研究背景：家中种有3000余棵冰糖橙树，每年到年底时，也就是冰糖橙成熟的时候。
冰糖橙采摘需分阶段，且采摘需要请员工，这会产生一个费用，存贮需要存储空间，就会产生一个存储费用。
这就涉及到一个生产与存储的问题，可以建立一个数学模型。
采摘下来的冰糖橙，需要装入保鲜袋，然后装进箱子中，箱子需要订购。
这就会涉及到一个经济批量（EOQ ）问题，是一个优化问题，且不允许缺货。
最后就是卖往各个地区，这里还可能产生产销不平衡的情况，需要寻求最优解。
研究内容：一、生产与存储问题：这是一个动态规划问题，需要合理的安排生产与库存的问题，达到既要满足需求，又要尽量降低成本费用。
一次，确定不同时期的的的生产量和库存量，以使总的雇佣费与库存费之和最小。
设d k 为第k 阶段对产品的需求量，x k 为第k 阶段该产品的生产数量，sk 为第k 阶段初的产品数量，则有z k =s k -1+x k -1-d k -1。
C k （x k ）表示第k 阶段生产xk 数量的产品使的成本费用，它包括生产准备费用k 和产品城北ax k 两项费用。
即C k （x k ）={0, xk =0k +axk,0<xk ≤mk其中m k 为第k 阶段生产xk 数量的上限。
用h k （s k ）表示在地k 阶段初库存量为s k 时的存储费用。
因此，第k 阶段的成本费用为C k （x k ）+h k （s k ）所以，上述问题的数学模型为Minz=∑ck （xk ）+ℎk(sk ）n k=1s.t.{s0=0,sn +1=0sk =∑(xj −dj ), k =1,2,…,n −1k j=10≤xk ≤mk, k =1,2,…,n xk 为正整数用动态规划方法求解，s k 为状态变量，他表示第k 阶段开始时的库存量x k 为决策变量，他表示第k 阶段的生产量；状态转移方程为S k+1=s k +x k -d k , k=1,2，…,n 最优值函数f k （s k ）表示从第k 阶段初始库存量为s k 到底n 阶段末的最小总费用。
8.4离散动态规划建模与求解
H ○ I ○
5
E ○
8 9 F 6 ○
G ○
河北
6 1
山西
8.3.3 离散动态规划举例—正向求解
第二步 求解
3. 求 f3 (s4 ) 即求 f3 ( H ), f2 ( I )
利用公式 f3 (s4 ) min f2 (s3 ) V3 (u3 , s3 )
当s4 I时,从s3到s4有三条路径, 即 E I , F I 和G I 当u3 E I时,V3 (u3 , s3 ) 8 当u3 F I时,V3 (u3 , s3 ) 6 当u G I时,V (u , s ) 6 3 3 3 3 则 f3 ( I ) min{ f 2 ( E ) 8, f 2 ( F ) 6, f 2 (G ) 6} min{8 8, 6 6,9 6} 12
利用公式 f1 (s2 ) min V1 (u1, s1 )
故f1 ( s2 B) 4 故f1 ( s2 C ) 2 故f1 ( s2 D) 3
最优化理论在生产调度问题中的应用
最优化理论在生产调度问题中的应用生产调度是指对生产过程中的各项任务进行合理安排和优化，以实现生产目标的过程。
而最优化理论作为数学领域中的一个重要分支，可以为生产调度问题提供有效的解决方法和工具。
本文将探讨最优化理论在生产调度问题中的应用，并重点介绍调度问题的数学建模和求解方法。
一、调度问题的数学建模生产调度问题的核心是在有限资源下合理安排生产任务的顺序和时间，以达到最佳的生产效果。
针对不同的生产环境和目标函数，调度问题可以分为以下几种类型：1. 单机调度问题：这是最简单的调度问题形式，即在一个机器上调度多个任务的顺序。
其数学模型可以使用排列问题或图论中的最短路径等方法来表述。
2. 并行机调度问题：当生产环境中存在多台机器并行工作时，如何合理安排任务以最大程度地提高生产效率成为调度问题。
这类问题可使用图着色、网络流等方法进行建模。
3. 作业车间调度问题：工厂中存在多个机器和任务，如何安排任务在不同机器上的调度顺序以最大限度地提高工作效率。
这类问题常用图论中的有向图或动态规划进行建模。
二、调度问题的求解方法为了解决调度问题，研究者们提出了各种求解方法，在最优化理论的指导下进行了深入研究。
以下介绍几种常见的调度问题求解方法：1. 贪婪算法：贪婪算法是一种常用的启发式算法，在调度问题中应用广泛。
该算法每次选择最有利于当前状态的任务进行调度，以期望达到全局最优解。
尽管贪婪算法可能无法保证获得最优解，但它具有计算简单、效率高的优点。
2. 动态规划：动态规划是一种通过将问题划分为更小的子问题，并存储中间结果来求解的方法。
在调度问题中，可以使用动态规划法求解单机调度、车间调度等问题。
该方法的优势在于能够获得最优解，但是时间复杂度较高。
3. 遗传算法：遗传算法是模拟生物遗传和进化过程的一种优化方法。
它通过模拟种群的选择、交叉和变异等操作，逐步优化调度方案，以期找到全局最优解。
遗传算法适用于多机调度、车间调度等问题。
动态规划算法在资源调度中的最优解分析
动态规划算法在资源调度中的最优解分析资源调度是指合理利用和配置各种资源，以满足不同任务需求的过程。
在现代社会中，资源调度常常涉及到各种复杂的问题，如生产线的优化、交通流量的调配、网络带宽的分配等。
为了解决这些问题，动态规划算法被广泛应用在资源调度的优化过程中，以求得最优解。
动态规划是一种通过将问题划分为子问题，并通过寻找子问题之间的最优解来求解整个问题的算法。
它的基本思想是将原问题分解为若干个子问题，然后将子问题的解存储起来，以避免重复计算。
在资源调度中，可以将资源的分配过程看作是一个决策序列，每个决策点都会对资源调度产生影响，而每个决策点的最优解会影响到后续决策点的最优解。
因此，动态规划算法能够有效地处理资源调度中的决策问题。
在资源调度中，动态规划算法的最优解分析主要涉及如何定义状态、设计状态转移方程以及如何利用已经计算得到的子问题解来求解当前问题的最优解。
首先，我们需要定义合适的状态来描述问题。
在资源调度中，可以将资源的可利用数量作为状态进行描述。
若将资源的可利用数量用i来表示，那么状态可以定义为f(i)，表示在资源数量为i的情况下能够达到的最大利用量。
状态的定义要符合问题的特点，并涵盖所有可能的情况。
其次，设计状态转移方程是动态规划算法的关键。
状态转移方程描述了子问题与当前问题之间的关系，通过寻找子问题之间的最优解来求解当前问题的最优解。
在资源调度中，可以根据资源的分配规则设计状态转移方程。
假设资源的分配规则可以用函数g(k)表示，表示将资源分配给k个任务所能够达到的最大效益。
那么，状态转移方程可以定义为：f(i) = max{f(i-k) + g(k)}，其中1<=k<=i在这个状态转移方程中，f(i)表示在资源数量为i的情况下能够达到的最大利用量。
通过遍历所有可能的分配情况(k的取值范围)，可以找到能够使f(i)最大化的子问题解，进而得到当前问题的最优解。
最后，利用已经计算得到的子问题解来求解当前问题的最优解。
动态规划在经济管理中的应用研究
动态规划在经济管理中的应用研究1 绪言20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。
动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法。
是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。
同时动态规划也是一种在数学和计算机中使用的，用于求解包含重叠子问题的最优化问题的方法。
其基本思想是，将原问题分解为相似的子问题，在求解过程中通过子问题的解求出原问题的解。
动态规划的思想是多种算法的基础，被广泛应用于计算机科学和工程领域。
它作为运筹学的一个分支，在工程技术，经济，工业生产及军事等部门都得到了广泛的应用，并获得了显著的效果。
许多问题，利用动态规划去处理，常比线性规划和非线性规划这样一些“静态”的优化方法更有成效。
特别是对于离散性质的问题，传统的解析数学方法无法施展其技，动态规划就常常成为一种有用的工具。
在某些情况下，用动态规划处理不仅能作定性的描述分析，而且可以利用计算机给出求其数值解的方法。
因此对动态规划应用的研究有重要的意义。
2 动态规划介绍动态规划是用来解决多阶段决策过程中最优化问题的一种方法。
动态规划基本原理是将一个问题的最优解转化为求子问题的最优解。
研究的对象是决策过程的最优化，其变量是变动的时间或变动的状态，最后达到整个系统的最优。
基本原理一方面说明了原问题的最优解中包含了子问题的最优解，另一方面给出了一种求解问题的思路，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同子问题，每一个子问题只解一次，并将结果保存起来以后直接引用，避免每次碰到时都要重复计算，以便各个击破。
第五章 物流运筹学——动态规划
的单件重量和装载收费如表5-1所示，又规 由于它表示了由 段到 段的状态转移
因此，在物流管理中，如何进行决策，制定一个最优的设备维护更新策略，是非常重要的。
第三节 动态规划模型的建立与求解
定货物2和货物3都至多装两件。问如何装 但假设初始状态虽已给定，终点状态有多个，需比较到达不同终点状态的各个路径及最优指标函数值，以选取总效益最正确的终点状
3
• 【例5-1】〔生产与存储问题〕工厂在3个季度中
• 安排某种产品的生产方案。假设该季度生产此
种产x
x2
• 品 〔吨〕，那么本钱为 元。假设当季
生产的
• 每吨产品未销售a k 掉，那么进库，季末需付存储费，
• 产品每季的存储费为1元。现估计3个季度对该 产
• 品的需求量 分别为100吨，110吨和120吨，
3
j 仪器
1
2
3
10
9
14
9
12
10
6
5
8
7
• 【例5-4】〔机器负荷问题〕设某机器可以在高、
• 低两种不同的负荷下进行生产。假设年初x 有 台
• 机器在高负荷下进行生产，那么产品年a产 8x
量
，
0.3
y
• 机器的年折损率
低
0.1
；假设年b 初5有y 台机器在
• 负荷下进行生产，那么产品年产量
，机器
的
• 年折损率
。假设初始时有性能正常的机器
1000
• 台，要求制定机器负荷的四年分配方案，确定每
年
8
A
管理运筹学07动态规划
连续时间动态规划
定义
连续时间动态规划是指时间连续变化，状态 和决策也连续变化，状态转移和决策可以发 生在任意时刻。
解决思路
通过将时间连续化，将连续的时间动态问题转化为 离散的时间动态问题，然后应用动态规划的方法进 行求解。
应用场景
控制系统优化、金融衍生品定价、物流优化 等。
状态转移
指从一个状态转移到另一个状态的过程，是动态规划的基本要素 之一。
状态转移方程
描述了状态转移的数学表达式，是动态规划算法的核心。
最优化原理
最优化原理
在多阶段决策问题中，如果每个阶段 都按照最优策略进行选择，则整个问 题的最优解一定是最优的。
最优子结构
如果一个问题的最优解可以由其子问 题的最优解推导出来，则称该问题具 有最优子结构。
解决方案
采用启发式搜索策略， 如模拟退火、遗传算法 等，来引导算法跳出局 部最优解。
案例
在旅行商问题中，采用 模拟退火算法结合动态 规划，在局部搜索和全 局搜索之间取得平衡， 得到全局最优解。
06 动态规划案例研究
案例一：生产与存储问题的动态规划解决方案
总结词
该案例研究探讨了如何利用动态规划解决生 产与存储问题，通过合理安排生产和存储策 略，降低总成本。
管理运筹学07动态规划
contents
目录
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的应用 • 动态规划的扩展 • 动态规划的挑战与解决方案 • 动态规划案例研究
01 动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法，从而有效 地解决最优化问题的方法。
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第7章 动态规划
两级决策问题，从城市④到 E 有两条路线，需加以比较，取其中最短的，即
f3 (4)
=
min
⎧d ⎩⎨d
(4, 7) + (4,8) +
f
4
(7)⎫ ⎬
f4 (8) ⎭
表 7-1
i月
1
2
3
4
yi （需求）
2
3
2
4
这也是一个 4 阶段决策问题。 例 3 投资决策问题
某公司现有资金 Q 万元，在今后 5 年内考虑给 A、B、C、D 四个项目投资，这些项目 的投资期限、回报率均不相同，问应如何确定这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有资
金的本利总额最大。 这是一个 5 阶段决策问题。
c(
j)
=
⎧ ⎨⎩a
0 + bj
( j = 0) ( j = 1, 2,3,L , m)
（千元）
其中 a 为生产的固定费用， b 为可变生产费率， m 为生产能力。供应需求所剩余产品应存 入仓库，每月库存 j 单位产品的费用为
E( j) = c * j （千元）
计划开始和计划期末库存量都是 0。试制定 4 个月的生产计划，在满足用户需求的条件下使 总费用最小。
现在我们利用动态规划最优性原理，由最后一段路线开始，向最初阶段递推求解，逐
步求出各段各点到终点 E 的最短路线，最后求得 A 点到 E 点的最短路线。 上面我们已经规定了本例的阶段数、状态变量、决策变量，给出了转移方程、指标函数
等。再用 d (sk , uk ) 表示由状态 s k 点出发，采用决策 uk 到达下一阶段 sk+1 点时的两点间距离。 第一步从 k=4 开始，状态变量 s4 可取两种状态⑦、⑧，它们到 E 点的路长分别为 4，3。
生产与存储问题
vk vk1 xk dk
k 1, 2, , n
最优值函数fk(xk)表示从第1阶段初始库存量为0到第k阶段末库存量为 vk时的最小总费用。
❖5
顺序递推关系式为：
fk
(vk
)
min
0xk
k
ck (xk ) hk (vk ) fk1(vk1)
k 1, , n
其中 k min(vk dk,m )。这是因为一方面每阶段生产的上限为m；
当xk 0 当xk 1, 2, , m 当xk m
hk(vk)表示在第k阶段结束时有库存量vk所需的存储费用。
k阶段的成本费用为
ck (xk ) hk (xk )
m表示每阶段最多能生产该产品的上限数。
❖4
上述问题的数学模型为
n
min g ck (xk ) hk (vk ) k 1
v0 0, vn 0
所以 x2 0
f2
(2)
min
0 x2 5
c2 (x2 ) h2 (2)
f1(5 x2 )
14
所以 x2 5
f2
(3)
min
0 x2 6
c2 (x2 ) h2 (3)
f1(6 x2 )
15.5
所以 x2 6
❖10
当k=3时，由
f3
(v3
)
min
0x3 3
c3(x3) h3(v3)
min d j,m dk
jk 1
之间的值，最后求得的fn(0)即为所求的最小总费用。
❖6
例3 某工厂要对一种产品制订今后四个时期的生产计划，据估计在 今后四个时期内，市场对于该产品的需求量如表6-1所示。
表6-1
运筹学课程动态规划课件
5 A
3
1 B1 3
6
8 B2 7
6
C1 6 8
3 C2 5
3 C3 3
84 C4
2 D1
2
D2 1 2
3 D3
3
E1 3
5 5 E2 2
6 6
E3
F1 4
G 3 F2
1
2
3 4 运筹学课程动态规划
5
6
7
示例5（生产与存储问题）：
某工厂生产并销售某种产品。已知今后四个月市场需求 预测及每月生产j个单位产品的费用如下：
上一个阶段的决策直接影响下一个阶段的决策
运筹学课程动态规划
8
示例6（航天飞机飞行控制问题）：
由于航天飞机的运动的环境是不断变化的，因 此就要根据航天飞机飞行在不同环境中的情况， 不断地决定航天飞机的飞行方向和速度（状态）， 使之能最省燃料和实现目的（如软着落问题）。
运筹学课程动态规划
9
所谓多阶段决策问题是指一类活动过程，它可以分为若 干个相互联系的阶段，在每个阶段都需要作出决策。这 个决策不仅决定这一阶段的效益，而且决定下一阶段的 初
1 6
C3
D1
10
E
D2
6
运筹学课程动态规划
12
以上求从A到E的最短路径问题，可以转化为四个性质完
全相同，但规模较小的子问题，即分别从 Di 、 Ci 、Bi、
A到E的最短路径问题。
第四阶段：两个始点 D 1 和 D 2 ，终点只有一个；
本阶段始点 （状态）
D1 D2
本阶段各终点（决策） E 10 6
cj30j
j0 j1,2,6
月1 2 3
4
需求 2 3 2
数学建模 生产与存贮问题的探讨
生产与存贮问题的探讨摘 要在一定时期内,生产的成本费与库存费一直是厂家最关心的优化指标。
本文根据题中的条件针对如何在成本费与库存费之和最优的情况下，使总工时最小的问题，利用了多目标动态规划的方法，建立了生产与存储的优化模型。
我们知道增大生产量可以降低成本费，但如果超过市场的需求量,就会因积压增加存贮费而造成损失。
相反，如果减少生产量，虽然可以降低存贮费，但又会增加生产的成本费，同样会造成损失。
故可以找到一个生产计划使得生产的生产费与存贮费之和达到一个最小值,并且使他们所花的工时也最少。
我们根据实际生活中生产的部件的性质可以将生产模式分成两种情况：允许有缺货的情况和不允许有缺货的情况。
在模型一中,我们假设这种部件是不允许缺货的，于是目标函数为：∑∑==+++=6161)(7.03.0min k k k k k k c h p akx g在模型二中,我们假设这种部件是可以缺货的，但是我们要求上个月所缺的部件必须要在本月补回来。
如果中间某个月或者是某几个月出现缺货的现象,就会因为有损失费,面对这样的情况时,如果损失费比生产费少的话,对于这种方案公司还是可以考虑,根据这种情况我们可以得到目标函数为：∑∑==++++=6161)(7.03.0min k k k k k k k q p h c akx g我们建立的模型一和模型二都是以动态规划为主要解题思路，在模型中我们将生产费与库存费之和赋予0.7的权重值，总耗费工时数赋予0.3的权重值，假设每件产品的单位工时费为10元，每件产品每月的存贮费为20元，每件产品每月的缺货损失费为5元，因为产品的生产量与成本费成反比，设反比系数为S ，若生产量为X ，则成本费为S/X 元，设反比系数S 为840。
我们利用Lingo 软件求解，在没有缺货存在的条件下得到的最小成本费为5158元，总耗费工时数最少为382小时，一到六月的逐月分配方案为：7 4 5 4 3 4；在有缺货存在的条件下得到的最小成本费为4960元，总耗费工时数最少为363小时，一到六月的逐月分配方案为：6 3 4 3 3 8，每月的缺货量为：0 2 1 0 4 0。
利用动态规划求解最优生产策略问题及Lingo实现
利用动态规划求解最优生产策略问题及Lingo实现蔡鸣晶【摘要】This article discusses the optimization problem of production strategy. This is a multi-stages decision problem,which develops production models with the lowest cost of production. A dynamic programming model is established,and Lingo programming is used to obtain the optimal production strategy under the restriction of resources.%讨论了生产策略的优化问题。
这是一个多阶段决策的生产问题，要求制定生产策略使得生产总成本最低。
建立了动态规划模型，利用Lingo编程求解得到了在资源限制条件下的最优化的生产策略。
【期刊名称】《林区教学》【年(卷),期】2015(000)011【总页数】2页(P80-81)【关键词】动态规划;生产策略;Lingo【作者】蔡鸣晶【作者单位】南京信息职业技术学院，南京210023【正文语种】中文【中图分类】O236蔡鸣晶(南京信息职业技术学院，南京210023)现代化生产过程中，生产部门面临的突出问题之一，便是如何选取合理的生产率。
生产率过高，导致产品大量积压，使流动资金不能及时回笼;生产率过低，产品不能满足市场需要，使生产部门失去获利的机会。
可见，生产部门在生产过程中必须时刻注意市场需求的变化，以便适时调整生产率，获取最大收益。
某生产厂家年初要制定生产策略，已预知其产品在年初的需求量为a = 6万单位，并以b = 1万单位/月速度递增。
若生产产品过剩，则需付单位产品单位时间(月)的库存保管费c2=0．2万元;若产品短缺，则单位产品单位时间的缺货损失费c3=0．4万元。
运筹学习题
判断题：1． 单纯形法计算中，选取最大正检验数k 对应的变量k x 作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长。
（ ）2． 单纯形计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负。
（ ）3． 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。
（ ）4． 任何线性规划问题存在并具有唯一的对偶问题。
（ ）5． 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解。
（ ） 6． 对偶问题的对偶问题一定是原问题。
（ ）7． 运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求解结果也可能出现下列四种情况之一；有惟一最优解，有无穷多最优解，无界解，无可行解。
（ ）8． 整数规划解的目标函数值一般优于其相应的线性规划问题的解的目标函数值。
（ ） 9． 指派问题效率矩阵的每个元素都乘上同一常数k ，将不影响最优指派方案。
（ ） 10．指派问题数学模型的形式同运输问题十分相似，故也可以用表上作业法求解。
（ ） 11．按最小元素法给出的初始基可行解，从每一空格出发可以找到而且仅能找出惟一的闭回路。
（ ）12．表上作业法实质就是求解运输问题的单纯形法。
（ ）13．图论中的图不仅反映了研究对象之间的关系，而且是真实图形的写照，因而对图中点与点的相对位置、点与点边线的长短曲直等都要严格注意。
（ ）14．在任一图G 中，当点集V 确定后，树图是G 中边数最少的连通图。
（ ）15．大M 法处理人工变量时，若最终表上基变量中仍含有人工变量，则原问题无可行解。
（ ）16．若可行域是空集，则表明存在矛盾的约束条件。
（ ）17．用单纯形法求线性规划问题，若最终表上非基变量的检验数均非正，则该模型一定有唯一最优解。
（ ）18．指派问题的每个元素都加上同一个常数k ，并不会影响最优分配方案。
（ ） 19．指派问题的每个元素都乘上同一个常数k ，并不会影响最优分配方案。
动态规划在企业生产与储存管理中的应用
ｃ ３ （， ， （元 吲 ＋ ２ ６ 千 ） ｉ １… ） ，
（ ２ ）
每月库存 ｊ 单位产 品的费用为 Ｅｉ ｏ５（ （： ． 千元） 厂最 ） ｊ ，该
题 ，然后逐个求解 ．２求解时从边界条件开始 ，逆 （ （， ） 或顺）
过程行进方向 ，逐段 递推寻优． 在每一个子 问题求解时 ，都 要 使用它前面已求 出的子问题 的最优结果 ，最 后一个子 问 题的最优解 ， 就是整个 问题 的最优解 ．３动态规划方法是既 （） 把当前一段与未来各段分开 ，又把 当前效益 和未来 效益结 合起来考虑的一种最优化方法 ，因此每段 的最 优决 策选取
ｌ （ ｏＶｋ） ｔｋ】 ＝ 一 ， （ 析 ｆ ｓ ｐｔ， ｆ－－ ｋ，， １ ｋ ｔ（ ｔ （） ｎ ｔ） ［ｓ ＋ ＋＋ ： ｕ ｓ ｎ… ） ：
ｌ 。 ）０ ｆ （ ＝ ＋ ｓ
式 中 ｏｔ ｐ 可根据求解问题 取 ｍｎ或 ｍａ，Ｖ（，） 态 ｉ ｘ ｋｋ ｋ Ｓｕ 为状
下面 以生产与储 存问题为例来具体说 明动 态规 化的应
用．
某公司生产销１ ｑ： ０ 品，已知今后四个月市场需求
预测 如表 １ 所示 ，
ｆ ０ ’ ｛
； 产ｊ 单位产 品费用为 ：
，
际问题写成动 态规 化模 型 ，具体包括 以下思想 ：（ 将多 阶 １ ） 段决策过程划分 阶段 ，恰 当地选取状 态变 量、决策变量及 定 义最优 指标 函数 ，从而 把问题 化成 一族 同类 型 的子 问
维普资讯
第２ 卷 第 ３ ３ 期
２０ ０７年 ６月
赤 峰 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ） Ｊｕｎｌ ｆ ｈ ｅｇ ｏｅｅＮ ｔｒ ｉ ｃ ｄｔｎ ｏｒａ ｏＣ ｆ ｎ ｌ ｇ（ａｕａＳ ｅ ｅ ｉｏ ） Ｃｌ ｌ ｃｎ Ｅ ｉ
(二) 动态规划算法
(二) 动态规划算法目录- 几个动态规划问题中的术语- 阶段- 状态- 无后效性- 决策- 多阶段决策问题- 策略- 状态转移方程- 最优化原理/最优子结构性质- 动态规划引出- 基本思想- 适用情况- 基本步骤- 书面版- 细讲- 个人理解- 备忘录算法- 程序设计- 思维过程- 一般的算法设计模式- 经典运用# 先来说几个动态规划问题中的术语：动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。
20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。
多阶段决策问题的图示## 阶段把所给求解问题的过程恰当地分成若干个相互联系的阶段，以便于求解，过程不同，阶段数就可能不同．描述阶段的变量称为阶段变量。
在多数情况下，阶段变量是离散的，用k表示。
此外，也有阶段变量是连续的情形。
如果过程可以在任何时刻作出决策，且在任意两个不同的时刻之间允许有无穷多个决策时，阶段变量就是连续的。
在前面的图中，第一个阶段就是点A，而第二个阶段就是点A 到点B，第三个阶段是点B到点C，而第四个阶段是点C到点D。
## 状态状态表示每个阶段开始面临的不以人的主观意志为转移的自然或客观条件，也叫不可控因素。
在上面的例子中，状态是某个阶段的开始位置，它不仅是该阶段一条道路的起点，也是前一阶段一条分支的终点。
前面的例子(图)中，第一个阶段有一个状态即A，而第二个阶段有两个状态B1和B2，第三个阶段是三个状态C1，C2和C3，而第四个阶段又是一个状态D。
过程的状态通常可以用一个或一组数来描述，称为状态变量。
运筹学课程07-动态规划(胡运权 清华大学)
Vk ,n (sk , uk , sk 1 , uk 1 , , sn1 )
可递推
k [ sk , uk , Vk 1, n ( sk 1 , uk 1 , , sn 1 )]
指标函数形式: 和、 积
NEUQ
原过程的一个后部子过程： 对于任意给定的k（1 ≤ k≤n），从第k段到第n段的过 程称为原过程的一个后部子过程
阶段4
本阶段始点 （状态） D1 D2 本阶段各终点（决策） E 10 6 10 6 到E的最短距离 本阶段最优终点 （最优决策) E E
NEUQ
分析得知：从D1 和 D2 到E的最短路径唯一。
NEUQ
第三阶段：有三个始点C1，C2，C3，终点有D1，D2，对始点 和终点进行分析和讨论分别求C1，C2，C3到D1，D2 的最短路 径问题：
NEUQ
动态规划 Dynamic Programming
不要过河拆桥 追求全局最优
本章内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原 理 动态规划方法的基本步骤 动态规划方法应用举例
NEUQ
NEUQ
一、多阶段决策过程的最优化
示例1（工厂生产安排）：
某种机器可以在高、低两种负荷下生产。高负荷生产
NEUQ
示例3 （连续生产过程的控制问题）：
一般化工生产过程中，常包含一系列完成
生产过程的设备，前一工序设备的输出则是后
一工序设备的输入，因此，应该如何根据各工
序的运行工况，控制生产过程中各设备的输入 和输出，以使总产量最大。
示例4、最短路径问题
NEUQ
给定一个交通网络图如下，其中两点之间的数字表示距离 （或花费），试求从A点到G点的最短距离（总费用最小）。
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动态规划一·动态规划法的发展及其研究内容动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法。
20世纪50年代初美国数学家等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，把多阶段问题转化为一系列的单阶段问题，逐个求解创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。
1957年出版的他的名著《Dynamic Proggramming》，这是该领域的第一本著作。
动态规划问世以来，在经济管理·生产调度·工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。
例如最短路线·库存管理·资源分配·设备更新·组合·排序·装载等问题，采用动态规划法求解比用其他方法更为简便。
二·动态规划法基本概念一个多阶段决策过程最优化问题的动态规划模型通常包括以下几个要素：1．阶段阶段（stage）是对整个过程的自然划分。
通常根据时间顺序或是空间特征来划分阶段，对于与时间，空间无关的“静态”优化问题，可以根据其自然特征，人为的赋予“时段”概念，将静态问题动态化，以便按阶段的顺序解优化问题。
阶段变量一般用k=….n.表示。
1.状态状态(state)是我们所研究的问题（也叫系统）在过个阶段的初始状态或客观条件。
它应能描述过程的特征并且具有无后效性，即当某阶段的状态给定时，这个阶段以后的过程的演变与该阶段以前各阶段的状态无关。
通常还要求状态是可以直接或者是间接可以观测的。
描述状态的变量称为状态变量（State Virable）用s 表示，状态变量的取值集合称为状态集合，用S表示。
变量允许取值的范围称为允许状态集合(set of admissble states).用x(k)表示第k阶段的状态变量，它可以是一个数或者是一个向量。
用X(k)表示第k阶段的允许状态集合。
n 个阶段的决策过程有n+1个状态变量，x(n+1)是x(n)的演变的结果。
根据演变过程的具体情况，状态变量可以是离散的或是连续的。
为了计算方便有时将连续变量离散化，为了分析的方便有时又将离散的变量视为连续的。
2．决策当一个阶段的状态确定后，可以做出各种选择从而演变到下一阶段的某个状态，这种选择手段称为决策（decision），在最优控制问题中也称为控制（control）描述决策的变量称为决策变量（decision virable）。
变量允许取值的范围称为允许决策集合（set ofadmissble decisions）。
用表示第k阶段处于阶段x(k)的决策变量，它是x(k)的函数，用表示x(k)的允许决策集合决策变量简称决策。
4.策略决策组成的系列称为策略（policy）。
由初始状态x1开始的全过程的策略记作..由第k阶段的状态x(k)开始到终止状态的后部子过程的策略,;k=2,…,n-1 .可供选择的策略有一定的范围，称为允许策略集合（set of admissble polices）,用,等表示。
5.状态转移方程在确定性过程中，一旦某阶段的状态和决策为已知，下阶段的状态偏完全可以确定。
用状态转移方程（state transfer equations）表示这种演变规律，写作：6.阶段指标函数对于k阶段的状态x(k)，当执行了决策时，除带来系统状态的转移之外，还产生第k阶段的局部利益，它是总效益的一部分，称为阶段指标函数（stage effective fuction），记作.7.过程指标函数用来衡量策略或者是子策略执行效果的数量指标称为过程指标函数（process effective fuction），它定义在所有k后部子过程上，常用用表示，即k=1,2,…,n.当k=1时，就是全过程指标函数。
如果状态x(k)和子策略给定，那么也就被确定了，所以是x(k)和的函数，记为：常见的过程指标函数是连和形式或连积形式：8.最优指标函数过程指标函数的最优值称为最优指标函数(optimum effective fuction），记为f(x(k).它表示，采取了最优子策略之后，后部子过程所获得的总效益，表示为：式中opt是optimization的缩写，意为最优化，可以根据具体问题去max或min三·动态规划法的最优性原理和基本函数方程在动态规划中起核心作用的是最优性原理：“作为整个过程的最优策略具有这样的性质，无论过去的状态和决策如何，相对于前面决策所形成的状态而言，余下的决策系列必须构成最优子策略。
”动态规划解法的关键在于给出一种递推关系，一般把这种关系称为基本函数方程，注意到无后效性，最优指标函数为当k=n时，由于x(n+1)是整个决策过程的终止状态，以后不再做出决策，因此，这样就得到了可以用来递推的基本函数方程：f(x(n+1))=0.类似的，可以得到乘法形式的基本函数方程：f(x(n+1))=1.四·建立动态规划模型的基本步骤1.阶段；2.状态变量及可能状态集合；3.决策变量及允许决策集合；4.状态转移方程；5.阶段指数函数；6.基本函数方程；建立动态规划模型基本上是上面6个步骤，按上述顺序逐步确定1~6的内容。
五·动态规划法的递推方向及求解形式1.递推解法基本方程：f(x(n+1))=0状态转移方程为计算步骤是，利用终端条件从k=n开始由后向前递推基本方程，求得各阶段的最优决策和最优函数，最后算出f(x(1)时就得到了最优决策系列再按照状态转移方程从k=1开始确定，k=1,2,…,n}为最优轨迹线，为最优策略。
2.顺推解法使用顺推解法时，一些概念的含义须做相应调整。
状态变量x(k)表示第k阶段末系统的形态·状况，最优值函数f(x(k))表示从第一阶段到第k阶段总效益的最优值，状态转移方程为基本函数方程为f(x(0))=0或13.求解形式求解动态规划问题，一般有两种形式：解析形式和表格形式，解析形式是利用函数的解析表达式，在每个阶段用经典求极值的方法得到最优解。
表格形式是指各阶段的计算过程均在表格中进行，这种形式便于分析和比较，操作过程直观且简练，适用于没有解析表达式的离散型问题。
4.动态规划的适用条件适用动态规划的问题通常应满足如下3点：○1最优化原理(最优子结构性质)。
如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构性质，即满足最优化原理。
由于对于有些问题的某些递归式来讲并不一定能保证最优化原则，因此在求解问题时有必要对它进行验证。
若不能保持最优原则，则不可以应用动态规划法求解。
在得到最优解的递归式之后，需要执行回溯以构造最优解。
○2无后效性。
应用动态规划法的一个重要条件就是将各阶段按照一定的次序排好，阶段i的状态只能由阶段i+1的状态来确定，与其他状态没有关系，尤其是于未发生的状态没有关系。
换言之，每个状态都是“过去历史的一个完整总结”。
这就是无后效性。
○3子问题的重叠性。
子问题的重叠性是指在利用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的问题并不总是新问题，有些子问题可能会被重复计算多次。
动态规划法正是利用子问题的这种重叠性质，对每一个问题只计算一次，然后将其计算结果保持起来，当再次需要计算已经计算过的子问题时，只要简单的查看一下以往的计算结果，从而获得较高的解题效率。
子问题的的重叠性并不是动态规划适用的必要条件，但是如果该性质无法满足，动态规划算法同其他算法相比就无优势可言了。
5.解决问题的步骤利用动态规划法求解问题的算法通常包含如下几个步骤。
○1分析。
对原始的问题进行分析，找到问题的最优解的结构特征。
○2分解。
将所给问题按时间或空间特征分解成相互关联的阶段，并确定出计算局部最优解的递推关系，这是利用动态规划法解决问题的关键和难点所在。
需要注意的是，分解后的各个阶段一定是有序的或者是可以排序的，即无后向性。
否则问题就无法用动态规划求解。
阶段之间相互联系方式是通过状态和状态转移体现的。
每个阶段通常包含若干个状态，可以描述问题发展到这个阶段时所处在的一种客观情况。
每个阶段的状态都由以前阶段的状态以某种方式“变化”来的，这样的“变化”称为状态转移。
状态转移是导出状态的途径，也是联系各阶段的方式。
○3解决。
对于每个阶段通过自底向上的方法求得局部最优解。
由于这一步骤通常是通过递推实现的，因此，需要递推终止条件或边界条件。
○4合并。
将各个阶段求出的解合并为原问题的解，即构造一个最优解。
动态规划的主要难点在于理论的设计，特别是递推关系的建立，一旦设计完成，实现部分就会非常简单。
整个求解过程就可以使用一个最优决策表的二维数组来描述，其中行表示决策的阶段，列表示问题状态，表格需要填写的数据一般对应此问题的在某阶段某个状态下的最优值，如最短路径，最长公共子序列，最大价值等。
填表的过程就是根据递推关系从1行1列开始，以行或者列优先的顺序，依次填写表格。
最后根据整个表格的数据通过简单的取舍或者运算求得问题的最优解。
总之，动态规划算法的关键在于解决冗余，是一个以空间换时间的技术，所以它的空间复杂度要大于其他的算法。
六·动态规划问题在问题中的具体实现例如：动态规划规划在生产存储中的运用生产存储问题是生产活动中经常遇到的问题。
大批量生产可以降低成本，但当产量大于销量时就会造成产品积压而增加库存费用；单纯按市场要求安排生产也会因为开工不足或加班加点造成生产成本增加。
因此合理利用存贮资源调节产量，满足要求是十分有意义的。
生产与存贮问题是一个生产部门如何在已知生产成本，存贮费用和各阶段市场要求的条件下，决定各个生产阶段的产量，使得计划期内的费用之和最小。
现设有一个生产部门，生产计划周期为n个阶段，已知最初库存量为x1，阶段需求量为dk，单位产品的消耗费用是lk，单位产品的阶段库存费用为hk，仓库容量为mk，阶段生产能力为bk，生产固定成本为问如何安排现阶段的产量，使计划期内的费用综合为最小该问题本身就是一个多阶段决策问题，设状态变量为xk 为k阶段初的库存量，由于计划期初的库存量x1已知，计划期末的库存量通常也是给定的，为简单起见，假定x（n+1）=0，于是状态变量xk的约束条件是：决策变量uk选为阶段k的产量，它满足的约束条件是：状态转移方程为，它满足无后效性的要求。
阶段效用由两阶段组成，一部分为生产费用，另一部分为存贮费用，即：动态规划基本方程为：七．设计题目：某机床厂根据合同，在一至四月份为客户生产某种机床。
工厂每月的生产能力为10台，机床可以库存，存储费用为每台每月万元，每月需要的数量及每台机床的生产成本如下表。
试确定每月的生产量，要求既能满足每月的需求，又能使生产成本和存储费用之和达到最小。
表需求量及生产成本月份1234需求（台）67126生产成本（万元/台）781.构造动态规划模型○1阶段变量k把每个月作为一个阶段，k=1,2,3,4○2状态变量选择每个阶段的库存量为状态变量，可满足无后效性，由已知条件可知：x1=x5=0，单位为台○3决策变量设每个阶段的生产量为决策变量，由已知条件得0≤≤10台，○4状态转移方程状态转移方程为：=+-（是第k阶段的市场需求量）○5阶段指标第k阶段的指标费用：（,）=+y(i)（>0）i=1,2,3,4.或（,）=+0 （=0）其中y1=7，y2=，y3=8，y4=，单位为万元2.建立基本方程设最优值函数是从第k阶段的状态出发到过程终结的最小费用，按动态规划方法的逆序解基本方程又：[(,)+] （k=4,3,2,1）F5(x5)=03.逆序逆推计算○1k=4时按照问题的各种约束条件，确定状态变量x4的取值范围。