经典算法——动态规划教程
动态规划算法入门
动态规划算法⼊门1. 动态规划算法定义：动态规划，英⽂描述为Dynamic programming. 是⼀种可以把原始问题分解为若⼲相关联的⼦解问题，并通过求取和保存⼦问题的解，获得原问题的解。
动态规划算法可以解决的问题通常包含如下特征：重叠⼦问题最优⼦结构 对于第⼀个特征，⽐较容易理解，即分解的若⼲⼦问题，包含着重复的解。
举例如：斐波那契数列，F(n) = F(n-1) + F(n-2)，求解的F(n-1)的过程中，包含着求解F(n-2)的结果。
对于第⼆个特征，参考⽹上的说法为：假设当前决策结果是f[n],则最优⼦结构就是要让f[n-k]最优,最优⼦结构性质就是能让转移到n的状态是最优的,并且与后⾯的决策没有关系,即让后⾯的决策安⼼地使⽤前⾯的局部最优解的⼀种性质。
关键字解读为：当前的决策与后⾯的决策是⽆关的， f[n-k]是最优的，转移到f[n]的状态是最优的2. 动态规划算法的⼀般步骤和难点使⽤动态规划算法解决问题的⼀般步骤是:找到问题的最优解的性质，⽤数学公式或者算法描述拆解⼦问题，确定问题的递推结构，保证可以收敛。
⽤知乎⼤神们的总结就是：找到问题的状态描述和状态转移⽅程。
3. 动态规划算法的分类和理解根据我的理解，以及⽹上的说法，我把动态规划算法分为三个类别和层次：简单动态规划算法，即状态⽅程是⽤⼀个维度的变量的描述的，常见的问题如：斐波那契数列，爬台阶问题等 爬台阶问题问题描述：有⼀座⾼度是10级台阶的楼梯，从下往上⾛，每跨⼀步只能向上1级或者2级台阶。
要求⽤程序来求出⼀共有多少种⾛法。
状态描述：我们使⽤变量n表⽰台阶的级数，F(n)表⽰n级台阶⼀共有多少种⾛法 状态转移⽅程与问题分解：根据每次能跨越的台阶数⽬：1级台阶或者2级台阶，因为⾛到N级台阶之前，⼈⼀定是处于N-1级台阶或者N-2级台阶。
F（n）的⾛法，⼀定是n-1级别的台阶的所有的⾛法和n-2级别台阶的所有⾛法之和。
F（n） = F(n-1) + F(n-2); 关于状态的分解，更详细的说明，可以看这篇⽂章：。
动态规划解决最优化问题的高效算法
动态规划解决最优化问题的高效算法动态规划是一种高效解决最优化问题的算法。
它通过将问题划分为多个子问题，并利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解。
本文将介绍动态规划算法的原理和应用。
一、动态规划的原理动态规划的基本思想是将原问题拆解为多个子问题，然后通过递推公式求解子问题的最优解，最后得到原问题的最优解。
其核心是利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解。
动态规划的求解过程分为三个步骤：1. 定义子问题：将原问题分解为多个子问题，并定义子问题的状态。
2. 确定递推关系：确定子问题之间的递推关系，即子问题之间的重叠性质。
3. 求解最优解：使用递推公式从子问题的最优解中求解原问题的最优解。
二、动态规划的应用动态规划广泛应用于最优化问题的求解，包括线性规划、背包问题、最长公共子序列等。
下面以背包问题为例，介绍动态规划的应用过程。
背包问题是指在给定容量的背包和一组具有重量和价值的物品中，选择物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大化。
动态规划可以通过以下步骤求解背包问题：1. 定义子问题：定义子问题的状态为背包容量和可选择的物品数量。
2. 确定递推关系：通过递推公式将子问题和原问题联系起来，递推公式为dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])，其中dp[i][j]表示前i个物品在容量为j的背包中的最大价值，w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。
3. 求解最优解：通过递推公式，计算dp[i][j]的值，最后得到背包问题的最大价值。
三、动态规划算法的优势动态规划算法在解决最优化问题时具有以下优势：1. 高效性：动态规划算法通过将问题分解为多个子问题，避免了重复计算，从而提高了求解效率。
2. 最优性：动态规划算法可以保证求解出的最优解是全局最优解。
3. 可行性：动态规划算法使用递推公式进行求解，因此可以确保求解过程是可行的。
综上所述，动态规划是一种高效解决最优化问题的算法。
动态规划算法的详细原理及使用案例
动态规划算法的详细原理及使用案例一、引言动态规划是一种求解最优化问题的算法，它具有广泛的应用领域，如机器学习、图像处理、自然语言处理等。
本文将详细介绍动态规划算法的原理，并提供一些使用案例，以帮助读者理解和应用这一算法的具体过程。
二、动态规划的基本原理动态规划算法通过将问题分解为多个子问题，并利用已解决子问题的解来求解更大规模的问题。
其核心思想是利用存储技术来避免重复计算，从而大大提高计算效率。
具体来说，动态规划算法通常包含以下步骤：1. 定义子问题：将原问题分解为若干个子问题，这些子问题具有相同的结构，但规模更小。
这种分解可以通过递归的方式进行。
2. 定义状态：确定每个子问题的独立变量，即问题的状态。
状态具有明确的定义和可计算的表达式。
3. 确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，建立状态之间的转移方程。
这个方程可以是简单的递推关系式、递归方程或其他形式的方程。
4. 解决问题：使用递推或其他方法，根据状态转移方程求解每个子问题，直到获得最终解。
三、动态规划的使用案例1. 背包问题背包问题是动态规划算法的经典案例之一。
假设有一个背包，它能容纳一定重量的物品，每个物品有对应的价值。
目的是在不超过背包总重量的前提下，选取最有价值的物品装入背包。
这个问题可以通过动态规划算法来求解。
具体步骤如下：（1）定义问题：在不超过背包容量的限制下，选取物品使得总价值最大化。
（2）定义状态：令dp[i][j]表示将前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
（3）状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i], dp[i-1][j])，其中w[i]为第i个物品的重量，v[i]为第i个物品的价值。
（4）解决问题：根据状态转移方程依次计算每个子问题的解，并记录最优解，直到获得最终答案。
2. 最长公共子序列最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是一种经典的动态规划问题，它用于确定两个字符串中最长的共同子序列。
动态规划算法原理及应用
动态规划算法原理及应用动态规划算法（Dynamic Programming，DP）是一种通过将问题分解为子问题来解决复杂问题的方法。
其核心思想就是将原问题分解为若干个子问题，先求解子问题，然后再根据子问题的解得出原问题的解。
1.定义子问题：将原问题分解为若干个子问题，每个子问题都是原问题的一个子集。
2.构建状态转移方程：根据子问题的关系，建立状态转移方程来描述问题的解。
3.确定边界条件：确定问题的边界条件，即当问题规模很小的时候可以直接求解的情况。
4.自底向上求解：根据状态转移方程，自底向上地求解子问题，最终得到原问题的解。
1.背包问题：给定一个背包的容量和一系列物品的重量和价值，选择若干个物品放入背包中，使得背包的总重量不超过容量，同时总价值最大化。
2.最长公共子序列（LCS）问题：给定两个字符串，求它们的最长公共子序列，即两个字符串中都出现的最长的子序列。
3.最短路径问题：给定一个有向带权图和两个顶点，求两个顶点之间的最短路径。
4.最大连续子序列和问题：给定一个整数数组，找到一个具有最大和的连续子序列。
5.斐波那契数列：求解斐波那契数列中第n个数的值。
其中，斐波那契数列的定义为：F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)，n>11.避免了重复计算：动态规划算法使用备忘录或者数组来存储中间计算结果，避免了重复计算，提高了效率。
2.自底向上求解：动态规划算法从最小的子问题开始求解，逐步拓展到原问题，保证了每个子问题都是已经求解过的。
3.可通过状态压缩进行优化：动态规划算法中，可以根据具体问题的特点，通过状态压缩来减少空间复杂度。
然而，动态规划算法也有一些限制：1.无法应用于所有问题：动态规划算法要求问题满足最优子结构的性质，因此不是所有问题都可以使用动态规划算法来解决。
2.有时需要额外的空间和时间：动态规划算法可能需要使用额外的空间来存储中间结果，同时也需要额外的时间来计算和存储中间结果。
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于在给定约束条件下最大化或者最小化线性目标函数。
动态规划是一种解决多阶段决策问题的方法，通过将问题分解为子问题并使用递归的方式求解。
本文将介绍如何使用动态规划方法来求解线性规划问题。
二、问题描述假设我们有一个线性规划问题，目标是最大化一个线性目标函数，同时满足一组线性不等式约束条件。
具体而言，我们有n个决策变量x1, x2, ..., xn，每一个变量都有一个非负的上界约束。
我们还有m个线性不等式约束，形式为a1x1 + a2x2+ ... + anxn ≤ b，其中ai和b是常数。
我们的目标是找到满足所有约束条件的最大化目标函数的解。
三、动态规划方法求解线性规划问题的步骤1. 确定阶段和状态将线性规划问题转化为多个阶段的决策问题。
每一个阶段对应一个决策变量的取值。
状态表示每一个阶段的决策变量的取值。
2. 定义状态转移方程根据线性规划问题的约束条件，定义状态转移方程。
状态转移方程描述了在每一个阶段如何根据前一个阶段的状态转移到当前阶段的状态。
在线性规划问题中，状态转移方程可以表示为：f(i, j) = max{f(i-1, j), f(i-1, j-aixi) + cixi}，其中i表示当前阶段，j表示当前状态，aixi表示第i个决策变量的系数，cixi表示第i个决策变量的目标函数系数。
3. 初始化边界条件初始化第一个阶段的状态和目标函数值。
4. 递推计算最优解使用状态转移方程递推计算每一个阶段的最优解和目标函数值，直到达到最后一个阶段。
5. 回溯确定最优解通过回溯的方式确定最优解，即找到每一个阶段的最优决策变量取值。
四、示例假设我们有一个线性规划问题，目标是最大化目标函数f(x) = 2x1 + 3x2 + 4x3，满足以下约束条件：1. x1 ≤ 52. x2 ≤ 43. x3 ≤ 34. x1 + x2 + x3 ≤ 7我们可以将问题转化为三个阶段的决策问题：1. 第一个阶段决策变量为x1，取值范围为[0, 5]2. 第二个阶段决策变量为x2，取值范围为[0, 4]3. 第三个阶段决策变量为x3，取值范围为[0, 3]我们定义状态转移方程为：f(i, j) = max{f(i-1, j), f(i-1, j-aixi) + cixi}初始化边界条件为：f(0, j) = 0，其中0 ≤ j ≤ 7递推计算最优解：1. 计算第一个阶段的最优解和目标函数值：f(1, j) = max{f(0, j), f(0, j-x1) + 2x1}，其中0 ≤ j ≤ 72. 计算第二个阶段的最优解和目标函数值：f(2, j) = max{f(1, j), f(1, j-x2) + 3x2}，其中0 ≤ j ≤ 73. 计算第三个阶段的最优解和目标函数值：f(3, j) = max{f(2, j), f(2, j-x3) + 4x3}，其中0 ≤ j ≤ 7回溯确定最优解：从第三个阶段开始，根据状态转移方程逐步确定每一个阶段的最优决策变量取值，直到达到第一个阶段。
动态规划算法
动态规划算法
动态规划算法（Dynamic Programming）是一种解决多阶段最优化决策问题的算法。
它将问题分为若干个阶段，并按照顺序从第一阶段开始逐步求解，通过每一阶段的最优解得到下一阶段的最优解，直到求解出整个问题的最优解。
动态规划算法的核心思想是将问题划分为子问题，并保存已经解决过的子问题的解，以便在求解其他子问题时不需要重新计算，而是直接使用已有的计算结果。
即动态规划算法采用自底向上的递推方式进行求解，通过计算并保存子问题的最优解，最终得到整个问题的最优解。
动态规划算法的主要步骤如下：
1. 划分子问题：将原问题划分为若干个子问题，并找到问题之间的递推关系。
2. 初始化：根据问题的特点和递推关系，初始化子问题的初始解。
3. 递推求解：按照子问题的递推关系，从初始解逐步求解子问题的最优解，直到求解出整个问题的最优解。
4. 得到最优解：根据子问题的最优解，逐步推导出整个问题的最优解。
5. 保存中间结果：为了避免重复计算，动态规划算法通常会使
用一个数组或表格来保存已经求解过的子问题的解。
动态规划算法常用于解决最优化问题，例如背包问题、最长公共子序列问题、最短路径问题等。
它能够通过将问题划分为若干个子问题，并通过保存已经解决过的子问题的解，从而大大减少计算量，提高算法的效率。
总之，动态规划算法是一种解决多阶段最优化决策问题的算法，它通过将问题划分为子问题，并保存已经解决过的子问题的解，以便在求解其他子问题时不需要重新计算，从而得到整个问题的最优解。
动态规划算法能够提高算法的效率，是解决最优化问题的重要方法。
背包问题的算法
背包问题是一种经典的优化问题，通常用于解决在给定一组物品和它们的重量、价值等信息的情况下，如何选择一些物品放入一个容量有限的背包中，使得背包中物品的总价值最大或总重量最小等问题。
以下是背包问题的一种经典算法——动态规划法：
1. 定义状态：设f[i][j]表示前i个物品中选择若干个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值或最小重量。
2. 状态转移方程：对于第i个物品，有两种情况：
- 不放入背包中，此时f[i][j]=f[i-1][j]；
- 放入背包中，此时f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]]+v[i])，其中w[i]和v[i]分别表示第i 个物品的重量和价值。
3. 初始化：f[0][0]=0。
4. 计算最优解：根据状态转移方程，从上到下依次计算每个物品的状态值，最终得到f[n][m]即为所求的最优解。
时间复杂度：O(n*m)，其中n为物品数量，m为背包容量。
空间复杂度：O(n*m)。
动态规划经典教程
动态规划经典教程引言：本人在做过一些题目后对DP有些感想，就写了这个总结：第一节动态规划基本概念一，动态规划三要素：阶段，状态，决策。
他们的概念到处都是，我就不多说了，我只说说我对他们的理解：如果把动态规划的求解过程看成一个工厂的生产线，阶段就是生产某个商品的不同的环节，状态就是工件当前的形态，决策就是对工件的操作。
显然不同阶段是对产品的一个前面各个状态的小结，有一个个的小结构成了最终的整个生产线。
每个状态间又有关联（下一个状态是由上一个状态做了某个决策后产生的）。
下面举个例子：要生产一批雪糕，在这个过程中要分好多环节：购买牛奶，对牛奶提纯处理，放入工厂加工，加工后的商品要包装，包装后就去销售……，这样没个环节就可以看做是一个阶段；产品在不同的时候有不同的状态，刚开始时只是白白的牛奶，进入生产后做成了各种造型，从冷冻库拿出来后就变成雪糕（由液态变成固态=_=||）。
每个形态就是一个状态，那从液态变成固态经过了冰冻这一操作，这个操作就是一个决策。
一个状态经过一个决策变成了另外一个状态，这个过程就是状态转移，用来描述状态转移的方程就是状态转移方程。
经过这个例子相信大家对动态规划有所了解了吧。
下面在说说我对动态规划的另外一个理解：用图论知识理解动态规划：把动态规划中的状态抽象成一个点，在有直接关联的状态间连一条有向边，状态转移的代价就是边上的权。
这样就形成了一个有向无环图AOE网（为什么无环呢？往下看）。
对这个图进行拓扑排序，删除一个边后同时出现入度为0的状态在同一阶段。
这样对图求最优路径就是动态规划问题的求解。
二，动态规划的适用范围动态规划用于解决多阶段决策最优化问题，但是不是所有的最优化问题都可以用动态规划解答呢？一般在题目中出现求最优解的问题就要考虑动态规划了，但是否可以用还要满足两个条件：最优子结构（最优化原理）无后效性最优化原理在下面的最短路径问题中有详细的解答；什么是无后效性呢？就是说在状态i求解时用到状态j而状态j就解有用到状态k…..状态N。
最短路径问题的动态规划算法
最短路径问题的动态规划算法最短路径问题的动态规划算法是一种常用的解决路径优化的方法。
动态规划算法的核心思想是将原问题拆分成若干个子问题，通过递推关系找到最优解。
在最短路径问题中，我们通常希望找到从起点到终点的最短路径。
首先，我们需要定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从起点到达坐标(i, j)的最短路径长度。
初始化dp数组，将起点的值设为0，其他位置的值设为无穷大（即表示不可达）。
接下来，我们需要确定动态规划的状态转移方程。
对于任意一个坐标(i, j)，它可以从上方的坐标(i-1, j)、左方的坐标(i, j-1)、右方的坐标(i, j+1)、下方的坐标(i+1, j)四个位置中的某一个到达。
因此，可以得到状态转移方程如下：
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i][j+1], dp[i+1][j]) + 1
其中，min表示取其中的最小值。
通过以上状态转移方程，我们可以逐步更新dp数组，直到最终得到终点的最短路径长度。
需要注意的是，动态规划算法的时间复杂度通常是O(n^2)，其中n 表示问题规模。
因此，在处理大规模最短路径问题时，需要考虑算法的效率，可能需要进行剪枝等优化操作。
总的来说，最短路径问题的动态规划算法在路径优化领域有着重要的应用价值，通过合理定义状态转移方程和优化算法效率，可以找到从起点到终点的最短路径长度，为路径规划提供有效的解决方案。
动态规划算法的实施步骤
动态规划算法的实施步骤1. 算法介绍动态规划是一种常用的求解最优化问题的方法，它适用于求解具有重叠子问题特性的问题。
动态规划算法通过将问题拆分成小问题，并保存这些小问题的解来减少重复计算，从而提高求解效率。
2. 实施步骤步骤一：定义问题的状态在动态规划算法中，第一步是定义问题的状态。
问题的状态是指问题的子问题中需要求解的变量或指标。
这些状态一般可以用一个或多个变量来表示。
步骤二：确定状态转移方程确定状态转移方程是动态规划算法的核心步骤。
状态转移方程可以根据问题的特点和定义的状态来确定。
状态转移方程描述了问题的当前状态和下一个状态之间的关系。
步骤三：确定初始状态初始状态是指问题的最小规模的子问题的解，也就是边界条件。
初始状态的确定需要根据具体问题来定义。
步骤四：计算最优解根据定义的状态转移方程和初始状态，可以通过自底向上（bottom-up）或自顶向下（top-down）的方式，计算出问题的最优解。
步骤五：返回最优解最后一步是返回计算得到的最优解。
根据问题的特点和需求，最优解可以是一个值，也可以是一组值。
3. 实施示例为了更好地理解动态规划算法的实施步骤，下面以求解斐波那契数列为例进行说明。
步骤一：定义问题的状态在求解斐波那契数列的问题中，状态可以定义为第n个斐波那契数F(n)。
步骤二：确定状态转移方程斐波那契数列的状态转移方程为F(n) = F(n-1) + F(n-2)。
步骤三：确定初始状态斐波那契数列的初始状态可以定义为F(0) = 0，F(1) = 1。
步骤四：计算最优解根据状态转移方程和初始状态，可以通过自底向上的方式计算斐波那契数列的最优解。
def fibonacci(n):if n ==0:return0elif n ==1:return1else:dp = [0] * (n+1)dp[0] =0dp[1] =1for i in range(2, n+1):dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]return dp[n]步骤五：返回最优解在上述示例中，最优解为fibonacci(n)，即第n个斐波那契数。
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题动态规划方法是一种常用的优化算法，可以用于求解线性规划问题。
线性规划是一种数学优化问题，其目标是在一组线性约束条件下，找到使目标函数取得最大（或者最小）值的变量取值。
在动态规划方法中，我们将线性规划问题分解为一系列子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
下面我们将详细介绍动态规划方法求解线性规划问题的步骤和标准格式。
步骤一：确定问题的决策变量和约束条件首先，我们需要明确线性规划问题的决策变量和约束条件。
决策变量是我们要优化的变量，约束条件是限制决策变量取值的条件。
例如，假设我们要优化生产计划，决策变量可以是不同产品的生产量，约束条件可以是生产资源的限制。
步骤二：建立目标函数和约束条件的数学模型在确定了决策变量和约束条件后，我们需要建立目标函数和约束条件的数学模型。
目标函数是我们要最大化（或者最小化）的函数，约束条件是决策变量必须满足的条件。
数学模型可以用线性方程组或者不等式组表示。
步骤三：定义子问题和递推关系接下来，我们将线性规划问题分解为一系列子问题，并定义它们之间的递推关系。
子问题是原问题的一部份，通过求解子问题的最优解，我们可以得到原问题的最优解。
递推关系描述了子问题之间的关系，可以用递推公式表示。
步骤四：确定初始条件和边界条件在求解子问题时，我们需要确定初始条件和边界条件。
初始条件是子问题的起始状态，边界条件是子问题的结束状态。
初始条件和边界条件可以是已知的数值或者特定的条件。
步骤五：求解子问题的最优解根据递推关系，我们可以求解子问题的最优解。
这可以通过动态规划算法中的迭代过程实现。
迭代过程将子问题的最优解逐步更新，直到达到结束状态。
步骤六：得到原问题的最优解通过求解子问题的最优解，我们可以得到原问题的最优解。
这可以通过将子问题的最优解合并起来得到。
合并过程可以通过递推关系和初始条件实现。
步骤七：进行结果的验证和分析最后，我们需要对求解得到的最优解进行验证和分析。
动态规划求解方法
动态规划求解方法动态规划(Dynamic Programming)是一种常见的求解优化问题的方法，它通过将问题分解成更小的子问题，并保存子问题的解来降低时间复杂度。
动态规划通常使用一个表格来记录子问题的解，然后根据递推关系计算出更大问题的解。
动态规划的求解方法一般包含以下几个步骤：1.定义问题：首先，需要明确要解决的问题是什么。
动态规划通常适用于求解具有最优子结构性质的问题，即原问题的最优解可以通过一系列子问题的最优解得到。
2.确定状态：接下来，需要确定动态规划的状态。
状态是问题中会变化的量，它包含了问题的关键信息。
在动态规划中，状态可以是一个或多个变量。
3.建立转移方程：然后，需要建立问题的转移方程。
转移方程描述了问题状态之间的关系，用来计算子问题的最优解。
转移方程可以通过观察问题的特点或者使用递推关系得到。
4.确定初始条件：接下来，需要确定边界条件或初始条件。
边界条件是问题中的一些特殊情况，它们通常是一些最小子问题的解。
初始条件是指将边界条件中的解赋值给表格中对应的位置。
5.使用递推关系计算：最后，使用递推关系将表格中的其他位置的解计算出来。
通常，可以使用自底向上的方法，从表格的第一个位置开始计算，依次填充整个表格。
动态规划的优点在于它可以将一个复杂的问题分解成多个子问题，然后通过记录子问题的解来减少重复计算。
这样，可以大大提高求解问题的效率。
动态规划通常适用于求解满足最优化原理和无后效性条件的问题。
最优化原理是指问题的最优解具有递归的结构，即解可以通过子问题的最优解得到。
无后效性条件是指问题的当前状态决定了未来的决策，与过去的决策无关。
动态规划在算法设计和实现中有很多经典的应用，例如最长公共子序列问题、0/1背包问题、最短路径问题等。
下面简要介绍其中的两个经典应用。
1.最长公共子序列问题：给定两个字符串s1和s2，求它们的最长公共子序列。
最长公共子序列是指在两个字符串中以相同的顺序出现的最长的子序列。
《动态规划算法》课件
多阶段决策优化
详细描述
背包问题是一个经典的动态规划问题，通过将问题分解 为多个阶段，并为每个阶段定义状态和状态转移方程， 我们可以找到最优解。在背包问题中，我们使用一个二 维数组来存储每个状态的最优解，并逐步更新状态以找 到最终的最优解。
最长公共子序列求解
总结词
字符串匹配优化
详细描述
最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题，用 于找到两个序列的最长公共子序列。通过动态规划， 我们可以避免在寻找公共子序列时进行冗余比较，从 而提高算法效率。在动态规划中，我们使用一个二维 数组来存储子问题的最优解，并逐步构建最终的最长 公共子序列。
动态规划的基本思想
01
将问题分解为子问 题
将原始问题分解为若干个子问题 ，子问题的解可以构成原问题的 解。
02
保存已解决的子问 题
将已解决的子问题的解保存起来 ，以便在求解其他子问题时重复 使用。
03
递推求解
从子问题的解逐步推导出原问题 的解，通常采用自底向上的方式 求解。
02
动态规划算法的步骤
可并行化
动态规划算法可以并行化执行，以提高计算效率，这对于 大规模问题的求解非常有利。
缺点
• 空间复杂度高：动态规划算法需要存储大量的中间状态，因此其空间复杂度通常较高，有时甚至会超过问题规 模的一个指数倍。
• 问题规模限制：由于动态规划算法的空间复杂度较高，因此对于大规模问题的求解可能会遇到困难。 • 可能产生大量重复计算：在动态规划算法中，对于每个子问题，可能会被多次计算和存储，这会导致大量的重复计算和存储空间浪费。 • 不易发现：动态规划算法的应用范围有限，对于一些非最优子结构问题或没有重叠子问题的优化问题，动态规划算法可能不适用。因此，在解决问题时需要仔细分析问题特性，判断是
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题动态规划是一种通过将问题分解成子问题并以最优子结构性质递归地求解的方法。
在线性规划问题中，我们希翼找到一组变量的最优值，使得目标函数达到最大或者最小值，同时满足一组线性约束条件。
首先，我们需要明确线性规划问题的数学模型。
假设有n个决策变量x1, x2, ..., xn，目标函数为f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为g(x1, x2, ..., xn) ≤ b1, h(x1, x2, ..., xn) ≤ b2, ..., 其中g和h为线性函数，b1, b2, ...为常数。
接下来，我们将问题转化为动态规划的形式。
定义状态变量dp[i1, i2, ..., in]表示在决策变量x1, x2, ..., xn取值为i1, i2, ..., in时的最优解。
则我们可以得到如下的状态转移方程：dp[i1, i2, ..., in] = max/min {dp[i1-a1, i2-a2, ..., in-an] + c}其中，a1, a2, ..., an为决策变量的系数，c为常数项。
这个方程的意义是，在决策变量x1, x2, ..., xn取值为i1, i2, ..., in时，最优解可以通过在决策变量取值为i1-a1, i2-a2, ..., in-an的情况下的最优解加之c来得到。
我们可以使用动态规划的方法，从决策变量的边界条件开始，逐步计算出所有状态变量的最优解。
具体步骤如下：1. 初始化边界条件：根据约束条件设置决策变量的取值范围，并计算出边界条件下的最优解。
2. 逐步计算状态变量的最优解：从边界条件开始，按照状态转移方程计算出所有状态变量的最优解。
可以使用递归或者迭代的方法进行计算。
3. 根据最优解得到最优解决策：根据计算得到的最优解，反向推导出决策变量的取值，得到最优解决策。
4. 检验最优解：将最优解代入目标函数和约束条件中，验证是否满足所有约束条件，并计算目标函数的值。
动态规划 算法
动态规划算法
动态规划是一种用于解决最优子结构问题的算法思想。
它将原问题分解为若干个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解。
动态规划的核心思想是通过保存子问题的解来避免重复计算，从而提高算法的效率。
动态规划算法通常包含以下几个步骤：
1. 定义状态：将原问题划分为若干个子问题，并定义状态，状态一般用一个或多个变量表示。
状态的选择要满足最优子结构的要求，即原问题的最优解可以通过求解子问题的最优解得到。
2. 定义状态转移方程：根据子问题之间的关系，定义状态转移方程。
状态转移方程表示子问题的最优解与其他子问题的最优解之间的关系。
通过求解状态转移方程，可以得到所有子问题的最优解。
3. 初始化：确定初始状态的值，一般通过给定的条件来确定。
4. 递推求解：根据状态转移方程，从初始状态开始逐步求解更大规模的子问题，直到求解出原问题的最优解。
5. 返回最优解：根据最终的子问题的最优解，可以逆推得到原问题的最优解。
动态规划算法的时间复杂度和空间复杂度往往比较高，但通过合理选择状态和状态转移方程，可以有效地优化算法的效率。
动态规划算法可以应用于各种问题，例如最短路径问题、背包问题、序列比对等。
总结起来，动态规划算法是一种分阶段求解最优问题的算法思想，通过保存子问题的解，避免了重复计算，提高了算法的效率。
它通常包括定义状态、定义状态转移方程、初始化、递推求解和返回最优解等步骤。
动态规划算法可以应用于各种问题，是一种非常重要和实用的算法思想。
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题动态规划（Dynamic Programming）是一种通过将问题分解为子问题并存储子问题的解来解决复杂问题的方法。
在线性规划问题中，我们希望找到一组变量的最优值，使得满足一组线性约束条件的目标函数达到最大或最小值。
线性规划问题可以用以下标准格式表示：目标函数：max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ非负约束条件：x₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z是目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ是目标函数中变量的系数，a₁₁,a₁₂, ..., aₙₙ是约束条件中变量的系数，b₁, b₂, ..., bₙ是约束条件的右侧常数，x₁, x₂, ..., xₙ是变量。
动态规划方法可以用来求解线性规划问题的最优解。
下面我们将介绍动态规划方法的步骤：1. 确定子问题：将线性规划问题分解为子问题，每个子问题都是一个小规模的线性规划问题。
2. 定义状态：定义状态变量，表示子问题的解。
3. 确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，确定状态转移方程，用于计算子问题的解。
4. 初始化边界条件：初始化边界条件，即最小规模的子问题的解。
5. 递推计算：根据状态转移方程，递推计算子问题的解。
6. 求解原问题：根据子问题的解，求解原问题的解。
下面我们通过一个具体的例子来演示动态规划方法求解线性规划问题。
假设我们有一个线性规划问题如下：目标函数：max Z = 2x₁ + 3x₂ + 4x₃约束条件：x₁ + x₂ + x₃ ≤ 52x₁ + x₂ + 3x₃ ≤ 10x₁, x₂, x₃ ≥ 0我们将该问题转化为动态规划问题的步骤如下：1. 确定子问题：将线性规划问题分解为子问题，每个子问题都是一个小规模的线性规划问题。
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题动态规划是一种常见的优化算法，可以用来求解线性规划问题。
线性规划是一类数学规划问题，目标函数和约束条件都是线性的。
动态规划方法可以通过将问题分解为子问题，并利用子问题的最优解来求解原问题的最优解。
下面将详细介绍动态规划方法求解线性规划问题的步骤和具体实现。
1. 问题描述假设有一个线性规划问题，目标是最大化或最小化一个线性函数，同时满足一组线性约束条件。
线性规划问题可以用如下标准形式表示：最大化：maximize c^T x约束条件：Ax ≤ bx ≥ 0其中，c是一个n维列向量，表示目标函数的系数；x是一个n维列向量，表示决策变量；A是一个m×n维矩阵，表示约束条件的系数矩阵；b是一个m维列向量，表示约束条件的右侧常数向量。
2. 动态规划方法求解步骤（1）定义子问题将线性规划问题分解为若干子问题，每个子问题都是一个线性规划问题，目标是最大化或最小化一个线性函数，同时满足一组线性约束条件。
（2）确定状态定义状态变量，描述子问题的特征。
在线性规划问题中，状态变量可以是决策变量的某个分量或某个组合。
（3）建立状态转移方程根据子问题之间的关系，建立状态转移方程。
状态转移方程描述了子问题之间的转移关系，可以通过子问题的最优解来求解原问题的最优解。
（4）确定初始条件和边界条件确定初始条件和边界条件，即最小子问题的最优解。
这些条件可以是已知的约束条件或问题的特殊要求。
（5）计算最优解根据状态转移方程和初始条件，计算出每个子问题的最优解。
通过递推或迭代的方式，从最小子问题开始，逐步计算出更大规模的子问题的最优解，直到求解出原问题的最优解。
3. 实例演示假设有一个线性规划问题如下：最大化：maximize 3x1 + 2x2约束条件：x1 + x2 ≤ 52x1 + x2 ≤ 8x1, x2 ≥ 0（1）定义子问题将原问题分解为两个子问题，分别是：子问题1：最大化 3x1 + 2x2约束条件：x1 + x2 ≤ 5x1, x2 ≥ 0子问题2：最大化 3x1 + 2x2约束条件：2x1 + x2 ≤ 8x1, x2 ≥ 0（2）确定状态状态变量可以选取为决策变量的某个分量或某个组合。
第3章动态规划
第3章动态规划动态规划是一种通过将问题分解为子问题，并且以自底向上的方式求解子问题从而求解整个问题的算法设计方法。
它在计算机科学中的应用非常广泛，特别是在优化问题和组合优化问题中。
动态规划的核心思想是将问题划分为多个重叠子问题，并且将计算结果储存起来以供后续使用。
通过这种方式，可以避免重复计算，提高算法效率。
动态规划通常适用于满足最优子结构的问题，即问题的最优解可以通过一系列子问题的最优解得到。
在动态规划中，需要定义一个状态转移方程，用于描述问题的最优解与其子问题的最优解之间的关系。
通过利用状态转移方程，可以从最底层的子问题开始，逐步求解出更大规模的问题的最优解。
最终，可以得到整个问题的最优解。
动态规划的基本步骤包括问题建模、确定状态、定义状态转移方程、确定边界条件和计算最优解。
首先，需要将原始问题转化为适合动态规划求解的形式，通常可以采用数学建模的方法。
然后，需要确定问题的状态，即将问题划分为多个子问题，并且定义子问题的状态。
接下来，需要定义状态转移方程，该方程记录了问题的最优解与子问题的最优解之间的关系。
然后，需要确定边界条件，即问题的最基本解。
最后，通过逐步计算子问题的最优解，得到整个问题的最优解。
动态规划在多个领域都有广泛的应用。
在计算机科学中，动态规划被广泛应用于图论算法、字符串处理算法、序列比对算法等。
此外，动态规划还被应用于经济学、运筹学和生物学等领域的优化问题。
通过应用动态规划，可以有效地解决这些领域中的复杂问题。
总结起来，动态规划是一种通过将问题划分为多个子问题，并且利用状态转移方程求解子问题从而求解整个问题的算法设计方法。
通过避免重复计算，动态规划可以提高计算效率，并且被广泛应用于计算机科学和其他领域的问题求解。
0018算法笔记——【动态规划】流水作业调度问题与Johnson法则
0018算法笔记——【动态规划】流水作业调度问题与Johnson法则D记S=N-{π(1)}，则有T’=T(S,bπ(1))。
证明：事实上，由T的定义知T’>=T(S,bπ(1))。
若T’>T(S,bπ(1))，设π’是作业集S在机器M2的等待时间为bπ(1)情况下的一个最优调度。
则π(1)，π'(2)，…，π'(n)是N的一个调度，且该调度所需的时间为aπ(1)+T(S,bπ(1))<aπ(1)+T’。
这与π是N的最优调度矛盾。
故T’<=T(S,bπ(1))。
从而T’=T(S,bπ(1))。
这就证明了流水作业调度问题具有最优子结构的性质。
由流水作业调度问题的最优子结构性质可知:从公式（1）可以看出，该问题类似一个排列问题，求N个作业的最优调度问题，利用其子结构性质，对集合中的每一个作业进行试调度，在所有的试调度中，取其中加工时间最短的作业做为选择方案。
将问题规模缩小。
公式（2）说明一般情况下，对作业集S进行调度，在M2机器上的等待时间，除了需要等该部件在M1机器上完成时间，还要冲抵一部分原来的等待时间，如果冲抵已成负值，自然仍需等待M1将作业做完，所以公式取max{t-ai,0}。
3、动态规划法求解思路假设有一组作业需要在M1和M2 两台机器上进行流水作业，他们在M1和M2上的作业时间如下表：问题是如何安排他们的加工顺序，使得，到最后一个作业在机器M2上加工完成所需要的时间最少。
也就是所有作业在两台机器全部加工完成所需的时间最少。
思路如下：考虑如果只有一个作业的情况，肯定所需时间就是它自身需要在M1和M2 上的加工时间总和；如果有两个作业就要考虑在两种不同的加工顺序下选取最优的一种作为候选，三个作业的时会出现三种组合情况(0,(1,2)); (1,(0,2)); (2,(0,1)),拿第一种为例,它表示先加工作业0,然后再按照作业1和作业2的优化顺序加工;将三种的作业时间计算出来,取最小值,即为三个作业的优化结果,同理可对更多的作业进行排序优化。
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动态规划是对最优化问题的一种新的算法设计方法。
由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的没计法对不同的问题，有各具特色的表示方式。
不存在一种万能的动态规划算法。
但是可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行讨论，学会这一设计方法。
多阶段决策过程最优化问题——动态规划的基本模型在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。
因此各个阶段决策的选取不能任意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。
当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线。
这种把一个问题看做是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策最优化问题。
【例题1】最短路径问题。
图中给出了一个地图，地图中每个顶点代表一个城市，两个城市间的连线代表道路，连线上的数值代表道路的长度。
现在，想从城市A到达城市E，怎样走路程最短，最短路程的长度是多少?【分析】把从A到E的全过程分成四个阶段，用k表示阶段变量，第1阶段有一个初始状态A，两条可供选择的支路ABl、AB2；第2阶段有两个初始状态B1、 B2，B1有三条可供选择的支路，B2有两条可供选择的支路……。
用dk(x k，x k+1)表示在第k阶段由初始状态x k到下阶段的初始状态x k+1的路径距离，Fk(x k)表示从第k阶段的x k到终点E的最短距离，利用倒推方法求解A到E的最短距离。
具体计算过程如下：S1：K=4，有：F4(D1)=3，F4(D2)=4，F4(D3)=3S2: K=3，有：F3(C1)=min{d3(C1,D1)+F4(D1),d3(C1,D2)+F4(d2)}=min{8,10}=8F3(C2)=d3(C2,D1)+f4(D1)=5+3=8F3(C3)=d3(C3,D3)+f4(D3)=8+3=11F3(C4)=d3(C4,D3)+f4(D3)=3+3=6S2: K=2，有：F2(B1)=min{d2(B1,C1)+F3(C1),d2(B1,C2)+f3(C2),d2(B1,C3)+F3(C3)}=min {9,12,14}=9F2(m)=min{d2(B2,c2)+f3(C2),d2(B2,C4)+F3(C4)}=min{16,10}=10S4：k=1，有：F1(A)=min{d1(A,B1)+F2(B1),d1(A,B2)+F2(B2)}=min{13,13}=13因此由A点到E点的全过程的最短路径为A—>B2一>C4—>D3—>E。
最短路程长度为13。
从以上过程可以看出，每个阶段中，都求出本阶段的各个初始状态到过程终点E的最短路径和最短距离，当逆序倒推到过程起点A时，便得到了全过程的最短路径及最短距离，同时附带得到了一组最优结果(即各阶段的各状态到终点E的最优结果)。
在上例的多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有“动态”的含义，称这种解决多阶段决策最优化问题的方法为动态规划方法。
根据上例分析和动态规划的基本概念，可以得到动态规划的基本模型如下：(1)确定问题的决策对象。
(2)对决策过程划分阶段。
(3)对各阶段确定状态变量。
(4)根据状态变量确定费用函数和目标函数。
(5)建立各阶段状态变量的转移过程，确定状态转移方程。
动态规划的基本知识动态规划是研究一类最优化问题的方法，在经济、工程技术、企业管理、工农业生产及军事等领域中都有广泛的应用。
近年来，在ACM/ICPC中，使用动态规划(或部分应用动态规划思维)求解的题不仅常见，而且形式也多种多样。
而在与此相近的各类信息学竞赛中，应用动态规划解题已经成为一种趋势，这和动态规划的优势不无关系。
1、动态规划的常用名词在学习动态规划之前，先得对下面的名词有所了解。
本书将标准名词作了一些简化，便于大家更好的理解。
(1)状态(smte)对于一个问题，所有可能到达的情况(包括初始情况和目标情况)都称为这个问题的一个状态。
(2)状态变量(s k)对每个状态k关联一个状态变量s k，它的值表示状态k所对应的问题的当前解值。
(3)决策(decision)决策是一种选择，对于每一个状态而言，你都可以选择某一种路线或方法，从而到达下一个状态。
(4)决策变量(d k)在状态k下的决策变量d k的值表示对状态k当前所做出的决策。
(5)策略策略是一个决策的集合，在我们解决问题的时候，我们将一系列决策记录下来，就是一个策略，其中满足某些最优条件的策略称之为最优策略。
(6)状态转移函数(t)从一个状态到另一个状态，可以依据一定的规则来前进。
我们用一个函数t来描述这样的规则，它将状态i和决策变量d i映射到另一个状态j，记为t(i，d i)=j(7)状态转移方程(f)状态转移方程f描述了状态变量之间的数学关系。
一般来说，与最优化问题相应，状态转移方程表示s i的值最优化的条件，或者说是状态i所对应问题的最优解值的计算公式，用代数式表示就是：s i=f({(s j,d j)|i=t(j,d j)，对决策变量d j所有可行的取值})2、最优化原理1951年美国数学家R．Bellman等人，根据一类多阶段问题的特点，把多阶段决策问题变换为一系列互相联系的单阶段问题，然后逐个加以解决。
一些静态模型，只要人为地引进“时间”因素，分成时段，就可以转化成多阶段的动态模型，用动态规划方法去处理。
与此同时，他提出了解决这类问题的“最优化原理”(Principle of optimality)：“一个过程的最优决策具有这样的性质：即无论其初始状态和初始决策如何，其今后诸策略对以第一个决策所形成的状态作为初始状态的过程而言，必须构成最优策略”。
简言之，一个最优策略的子策略，对于它的初态和终态而言也必是最优的。
这个“最优化原理”如果用数学化一点的语言来描述的话，就是：假设为了解决某一优化问题，需要依次作出n个决策D1，D2，…，D n，如若这个决策序列是最优的，对于任何一个整数k，1 < k < n，不论前面k个决策是怎样的，以后的最优决策只取决于由前面决策所确定的当前状态，即以后的决策D k+1，D k+2，…，D n也是最优的。
最优化原理是动态规划的基础。
任何一个问题，如果失去了这个最优化原理的支持，就不可能用动态规划方法计算。
3、什么是动态规划动态规划是运筹学的一个分支。
与其说动态规划是一种算法，不如说是一种思维方法来得更贴切。
因为动态规划没有固定的框架，即便是应用到同一道题上，也可以建立多种形式的求解算法。
许多隐式图上的算法，例如求单源最短路径的Dijkstra算法、广度优先搜索算法，都渗透着动态规划的思想。
还有许多数学问题，表面上看起来与动态规划风马牛不相及，但是其求解思想与动态规划是完全一致的。
因此，动态规划不像深度或广度优先那样可以提供一套模式，需要的时候，取来就可以使用；它必须对具体问题进行具体分析处理，需要丰富的想象力去建立模型，需要创造性的思想去求解。
4、动态规划适于解决什么样的问题准确地说，动态规划不是万能的，它只适于解决一定条件的最优策略问题。
或许，大家听到这个结论会很失望：其实，这个结论并没有削减动态规划的光辉，因为属于上面范围内的问题极多，还有许多看似不是这个范围中的问题都可以转化成这类问题。
上面所说的“满足一定条件”主要指下面两点：(1)状态必须满足最优化原理；(2)状态必须满足无后效性。
所谓的无后效性是指：“过去的决策只能通过当前状态影响未来的发展，当前的状态是对以往决策的总结”。
这条特征说明什么呢?它说明动态规划适于解决当前决策和过去状态无关的问题。
状态，出现在策略的任何一个位置，它的地位都是相同的，都可以实施同样的决策。
这就是无后效性的内涵。
5、用动态规划解题的好处说了这么多的动态规划，它到底给我们解题能带来什么好处呢?其实动态规划的最大优势在于它具有极高的效率，而且动态规划还有其他的优势，例如：动态规划可以得出一系列解，算法清晰简便，程序易编、易调，等等。
最优化原理与无后效性上面已经介绍了动态规划模型的基本组成，现在需要解决的问题是：什么样的“多阶段决策问题”才可以采用动态规划的方法求解?一般来说，能够采用动态规划方法求解的问题必须满足.最优化原理和.无后效性原则。
(1)动态规划的最优化原理。
作为整个过程的最优策略具有如下性质：无论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的当前状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。
可以通俗地理解为子问题的局部最优将导致整个问题的全局最优，即问题具有最优子结构的性质，也就是说一个问题的最优解只取决于其子问题的最优解，非最优解对问题的求解没有影响。
在例题1最短路径问题中，A到E的最优路径上的任一点到终点E的路径也必然是该点到终点E的一条最优路径，满足最优化原理。
下面来讨论另外一个问题。
【例题2】余数最少的路径。
如图所示，有4个点，分别是A、B、C、D，相邻两点用两条连线C2k，C2k-1(1≤k≤3)表示两条通行的道路。
连线上的数字表示道路的长度。
定义从A到D的所有路径中，长度除以4所得余数最小的路径为最优路径。
求一条最优路径。
【分析】在这个问题中，如果还按照例题1中的方法去求解就会发生错误。
按照例题1的思想，A的最优取值可以由B的最优取值来确定，而B的最优取值为(1+3) mod 4 = 0，所以A的最优值应为2，而实际上，路径C1－C3－C5可得最优值为(2+1+1) mod 4 = 0，所以，B的最优路径并不是A的最优路径的子路径，也就是说，A的最优取值不是由B的最优取值决定的，即其不满足最优化原理，问题不具有最优子结构的性质。
由此可见，并不是所有的“决策问题”都可以用“动态规划”来解决，运用“动态规划”来处理问题必须满足最优化原理。
(2)动态规划的无后效性原则。
所谓无后效性原则，指的是这样一种性质：某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不再受此前各状态及决策的影响。
也就是说，“未来与过去无关”，当前的状态是此前历史的一个完整总结，此前的历史只能通过当前的状态去影响过程未来的演变。
具体地说，如果一个问题被划分各个阶段之后，阶段I 中的状态只能由阶段I+1 中的状态通过状态转移方程得来，与其他状态没有关系，特别是与未发生的状态没有关系，这就是无后效性。
从图论的角度去考虑，如果把这个问题中的状态定义成图中的顶点，两个状态之间的转移定义为边，转移过程中的权值增量定义为边的权值，则构成一个有向无环加权图，因此，这个图可以进行“拓扑排序”，至少可以按他们拓扑排序的顺序去划分阶段。