1.3 常用的经济函数介绍

把满足 Q TR Q TC Q 0 的Q0
称为盈亏平衡点（保本点）.
例 5 设某种商品的总成本为 TC(Q) 20 2Q 0.5Q 2 , 若每售出一件该商品的收入是 20 万元，求生产 20 件的总利润、平均利润、该经济活动的无盈亏点.
解 由题意知 P 20 （万元） ,
TR(Q) PQ , AR P
例 4 设某商品的需求关系是 3Q+4P=100, 求总收 益和平均收益．
100 3Q P , 解 价格函数为 4
100Q 3Q 所以总收益为TR(Q ) P Q , 4 平均收益为 AR(Q ) P (Q ) 100 3Q . 4
将本利和A1再存入, 第2期末的本利和为:
A2 A1 A1r A0 (1 r )2
再把本利和存入银行, 如此反复, 第t期末的本利和为:
At A0 (1 r )t
若按年为期, 年利率为R, 则第n年末的本利和为:
An A0 (1 R)n
二、需求函数与供给函数
1、需求函数
总收益为 TR(Q) P Q 20Q
所以 (Q) TR(Q) TC(Q)
20 18Q 0.5Q 2
(20) 20 18 20 0.5 202
140(万元)
(20) 20
20
2 20 18 Q 0.5 Q 0 7 令
供需均衡点
供需均 衡价格
(Q*,P*)
均衡数量
例2 某商品的需求量和价格的关系满足
Q 2 20Q P 99
供给量与价格的பைடு நூலகம்系满足 3Q 2 P 123 试求市场达到供需平衡时的均衡价格和均 衡需求量. 解：
Q 2 20Q P 99 由 2 3 Q P 123
A2 A0 r A0 (1 r ) A0 (1 2r )
An A0 (1 nr ) 我国银行的定期存款实行的是单利计息的方法.
第n期末的本利和为:
2、复利公式
设现有本金A0, 每期利率为r, 期数为t. 每期末结算 第1期末的本利和为:
A1 A0 A0r A0 (1 r )
2250 平均成本为 AC (100) 22.5 100
四、收益函数与利润函数
1、收益函数
总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部 收入. 用 Q 表示出售的产品数量，TR 表示总收 益, AR表示平均收益，则
TR(Q ) TR TR(Q ) , AR Q
如果产品价格 P 保持不变，则
当P=30时，取得最大利润90000 元. 所以该产品的出厂价应定为30元.
五、小结
1、单利与复利公式 An A0 (1 nr ) At A0 (1 r )t 2、需求函数与供给函数 QD f ( P ) QS QS ( P ) 3、成本函数与平均成本函数
C (Q ) FC VC (Q ) TC (Q) FC VC (Q) AC Q Q Q
需求的含义：消费者在某一特定的时期内， 在一定的价格条件下对某种商品具有购买力 的需要． 如果价格是决定需求量的最主要因素， 可以认为 需求量QD 是 价格P的函数。记作
QD QD ( P )
称为需求函数.
常见的需求函数：
线性函数： QD aP b 幂函数： QD kP a 指数函数： QD ae bp ( 其中 a,b,k > 0 ) 需求函数QD=QD(P)的反函数，称为价格函 数，记为 P=P(QD）
2
2、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成
本之差。即 (Q) TR(Q) TC (Q) 利润函数的三种情况：
Q TR Q TC Q 0 盈余状态
Q TR Q TC Q 0 亏损状态
Q TR Q TC Q 0 保本状态
经济数学——微积分
1.3
常用经济函数介绍
一、单利与复利公式
二、需求函数与供给函数 三、成本函数与平均成本函数
四、收益函数与利润函数 五、小结
一、单利公式与复利公式
1、单利公式
设现有本金A0, 每期利率为r, 期数为n,每期末结算 第1期末的本利和为: 第2期末的本利和为:
A1 A0 A0 r A0 (1 r )
解得： Q1 1.15, Q2 34.85 例6 某厂生产一种产品，据调查其需求函数为 Q=-900P+45000，生产该产品的固定成本是 270000元，而单位产品的变动成本为10元，为 获得最大利润，出厂价格应为多少？
解 成本函数 TC(Q)=270000+10Q 需求函数 Q=-900P+45000 故 TC(P)=-9000P+720000 收益函数 TR(P)=PQ=-900P2+45000P 利润函数 π(Q)=TR(P)-TC(P) =-900(P-30)2+90000
4、收益函数与利润函数 TR(Q) PQ , AR P , (Q) TR(Q) TC (Q)
例1
设某商品的需求函数为
Q aP b (a , b 0)
讨论P=0时的需求量和Q=0时的价格. 解 P=0时，Q=b，它表示价格为零时的 需求量为 b ，称为饱和需求量；
b b Q 0 时 P , 表示价格为 时 , a a
无人愿意购买此商品.
2、供给函数
供给的含义：在某一时间内，在一定的价格 条件下，生产者愿意并且能够售出的商品． 如果价格是决定供给量的最主要因素， 可以认为 供给量Q 是价格 P 的函数。记作
QS QS ( P )
称为供给函数.
常见的供给函数： 线性函数： QS aP b , a , b 0 幂函数：
QS kP a , a 0 , k 0
bP Q ae , a0,b0 指数函数： S
在同一个坐标系中作出需求曲线 D和供
给曲线 S ，两条曲线的交点称为供需均衡点， 该点的横坐标称为供需均衡价格 .
(舍去)， Q1 1
解得 P1 120
P2 15 Q2 6
三、成本函数与平均成本函数
1、成本函数
成本是生产一定数量产品所需要的各种生 产要素投入的价格或费用总额，它由固定成本 与可变成本两部分组成. TC (Q) FC VC (Q)
2、平均成本函数
总成本 固定成本 可变成本 平均成本 产量 产量
C (Q ) FC VC (Q ) 即AC Q Q Q
例 3 已知某种产品的总成本函数为 求当生产 100 个该产品时的总成本和平均成本．
解 由题意，求产量为100时的总成本
Q2 TC(Q ) 1000 . 8
1002 TC(100) 1000 2250 , 8