1.3 常用的经济函数介绍
高等数学教材txt
高等数学教材txt高等数学是大学数学的重要基础学科之一，对于理工科学生而言，它是一门不可或缺的学科。
为了提供方便、快捷的学习方式，以下是一份高等数学教材的txt版本，让学生们可以随时随地地进行学习。
第一章：函数与极限1.1 函数的概念及性质函数是一种非常重要的数学关系，它描述了两个集合之间的对应关系。
本节介绍了函数的定义、定义域、值域以及常见函数的性质，为后续章节的学习打下基础。
1.2 一元函数的极限极限是高等数学中一个重要的概念，它能够描述函数在某一点的趋势和性质。
本节介绍了函数极限的定义、性质以及常用的计算方法，包括极限的四则运算、复合函数的极限等。
1.3 函数的连续性连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数在某一点的“无间断性”。
本节介绍了函数连续性的定义、性质以及常见的连续函数和间断函数，以及关于连续函数的一些应用问题。
第二章：微分学2.1 导数的概念导数是微分学的核心概念之一，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。
本节介绍了导数的定义、性质以及常用的导数计算法则，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等函数的导数计算方法。
2.2 导数的几何意义与应用导数不仅仅是一个数值，它还具有几何意义和应用价值。
本节介绍了导数的几何意义，包括切线和法线的概念，以及导数在物理、经济等领域的应用。
2.3 高阶导数与隐函数求导高阶导数是导数的推广，它描述了函数变化的更高阶特性。
本节介绍了高阶导数的定义和性质，以及隐函数求导的方法和应用。
第三章：积分学3.1 定积分的概念定积分是微积分的重要内容，它描述了函数在某一区间上的累积效应。
本节介绍了定积分的定义、性质以及常见函数的定积分计算方法，包括基本初等函数、换元法、分部积分法等。
3.2 定积分的几何意义与应用定积分不仅仅是一个数值，它还具有几何意义和应用价值。
本节介绍了定积分的几何意义，包括曲线长度、曲线面积、体积等概念，以及定积分在物理、几何等领域的应用。
3.3 微积分基本定理与不定积分微积分基本定理是微积分的核心内容，它建立了微积分中积分与导数之间的联系。
函数和极限：极限的计算和应用
函数和极限：极限的计算和应用函数和极限是高等数学中的重要概念，它们在数学和其他学科中都有广泛的应用。
本文将介绍极限的计算方法以及其在数学和实际问题中的应用。
一、极限的计算方法1.1 无穷小量法利用无穷小量的性质来计算极限是一种常用的方法。
无穷小量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于零的量。
常见的无穷小量有常数型、多项式型和指数型等。
通过对函数进行无穷小量展开，可以得到极限的近似值。
1.2 L'Hopital法则L'Hopital法则是解决函数极限问题的重要工具。
当直接代入极限的定义形式无法得到确定的结果时，可以对函数的导数进行求解。
L'Hopital法则的核心思想是将函数的极限转化为导数的极限，从而简化计算过程。
1.3 夹逼定理夹逼定理是一种常用的极限计算方法。
当需要计算某个函数在某点的极限时，可以通过夹逼定理来确定其极限值。
夹逼定理利用了函数与两个其他函数之间的关系，通过比较确定函数的极限。
二、极限的应用2.1 数列极限与函数极限的关系数列极限是极限概念的一种特殊形式，与函数极限密切相关。
通过研究数列极限的性质，可以推导出函数极限的性质。
数列极限与函数极限的关系是高等数学中的重要内容之一。
2.2 极值问题极限在求解极值问题中有广泛的应用。
当需要求解函数的最大值或最小值时，可以通过求解函数极限来确定。
极值问题在经济学、物理学等领域有着重要的应用。
2.3 泰勒展开与近似计算泰勒展开是将一个函数在某一点附近展开成幂级数的方法。
借助泰勒展开，可以将复杂的函数近似为简单的幂函数或多项式，从而便于计算和分析。
泰勒展开在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
2.4 极限在微分学和积分学中的应用极限在微分学和积分学中起着核心作用。
微分学在研究函数的变化规律和斜率等方面有着重要的应用，而积分学在计算面积、体积等方面有广泛的应用。
极限作为微积分的基础，为这些应用提供了理论支撑。
三、总结函数和极限是高等数学中重要的概念，它们在数学和其他学科中都有广泛的应用。
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2024体育单招数学讲义一、数学基础知识1.1 数的性质数的分类：自然数、整数、有理数、无理数、实数、复数等。
不同类型的数有不同的性质和运算规则。
1.2 数的运算数的四则运算：加法、减法、乘法、除法。
运算时需要注意运算顺序和运算法则，遵循先乘除后加减的原则。
1.3 代数式与方程代数式由数字、字母和运算符号组成，可进行各种运算。
方程是代数式中含有等号的表达式，需要求解出未知数的值。
二、函数与方程2.1 函数的概念函数是一种特殊的关系，将自变量的值映射到因变量的值上。
函数的图像可以用曲线表示，反映了自变量和因变量之间的关系。
2.2 一元一次方程一元一次方程是形如ax+b=0的方程，其中a和b为已知数，x为未知数。
求解一元一次方程可以通过移项、化简等方法进行。
2.3 一元二次方程一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b和c为已知数，x为未知数。
求解一元二次方程可以通过配方法、因式分解、求根公式等方法进行。
三、几何与空间3.1 几何图形的性质常见的几何图形包括点、线、面、体等。
不同几何图形有不同的性质和特点，如线段有长度、面积有大小等。
3.2 平面几何平面几何研究平面内的几何图形及其性质。
常见的平面几何问题包括平行线与垂直线、相似三角形、等腰三角形等。
3.3 空间几何空间几何研究三维空间内的几何图形及其性质。
常见的空间几何问题包括直线与平面的位置关系、平行四边形的性质等。
四、概率与统计4.1 概率的基本概念概率是研究随机事件发生可能性的数学分支。
概率可以用数字表示，范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示必然发生。
4.2 随机事件与样本空间随机事件是指在一次试验中可能发生的事件，样本空间是该试验所有可能结果的集合。
通过计算随机事件发生的概率，可以进行概率预测和统计分析。
4.3 统计分析统计分析是通过收集、整理和分析数据，得出结论和推断的方法。
常用的统计方法包括平均值、标准差、频率分布等。
北大 数学分析
2 。
下面图中给出 y = x ， x 2 ， x 2 ， x − 1 四个幂函数的图形。（见下页）
1
π
3
y 2 y=x y=x y = x1/2 y = x- 1 0 x 0 它们的上升，下降，凸凹性质是很值得研究的。 当 α > 0 时， y = xα 在 [ 0,+∞) 严格上升， α > 1 时凸函数 （从下往上看， 严格定义 以后再讲）， 0 < α < 1 时凹函数。当 α < 0 时， y = xα 在 [ 0,+∞) 严格下降。
幂函数 y = xα ， 0 < x < +∞ ， α ≠ 0 。如果 α = １，２，３，．．．， 它就是单项式函数的一
半，这里我们研究一般的 α ≠ 0 ，它甚至可以是无理数。细想一下这个函数并不简单，比 如
π
2 如何定义都很难说清楚， 要等到第三册才能给出严格定义，其实 2 本身的定
指数函数 y = a x （ a > 0 ， a ≠ 1 ）．
y y=ax (a<1) y=ax (a>1)
a > 1 时在 ( −∞,+∞ ) 严格上升。
a < 1 时在 ( −∞,+∞ ) 严格下降。
第 一 章 函 数
§１．１ 初等函数
数学分析的研究对象是函数。 初等数学中我们已经初步地接触到初等函数。首先我们 回顾一下初等函数， 用严厉和好奇的目光， 看一看定义上它们有什么不完善的地方， 性质上 它们还有哪些深刻的东西尚不为认识， 为了进一步认识这些性质， 需要什么样的新工具。 这里讲的初等函数基本上是最基本的初等函数， 即常数函数， 单项式函数， 多项式函数， 有 理函数， 幂函数， 指数函数， 对数函数， 三角函数， 反三角函数， 我们还将介绍双曲函数及 其反函数。 常数函数 y = c 对所有 x ， − ∞ < x < +∞ ． 这里 − ∞ ， + ∞ 分别表示负无穷大和正无 穷大。也就是说常数函数的定义域为整个实数轴。下面是 y = 1 的函数图形， 它是一条与
贷款利息计算公式 利息怎么算
贷款利息计算公式利息怎么算利息怎么计算利息怎么计算？这利息究竟是怎么算出来的呢？这得先说一下银行计息的基本规定： 1、储蓄利息不计复息。
2、计息金额起点为元，元以下的角分不计利息。
3、利息金额算至厘位，计至分位，分位以下四舍五入。
分段计算利息时，各段利息应先保留到厘位(厘位以下不再保留)，各段相加得出的利息总额计至分位，再将分位以下的厘位四舍五入。
4、存期的计算: 算头不算尾:从存款当日起息，算至取款的前1天为止。
即存入日应计息，取款日不计息。
每月按30天计算:不论大月、小月、平月、闰月，每月均按30天计算存期。
到期日如遇节假日，储蓄所不营业的，可以在节假日前1日支取，按到期计息，手续按提前支取处理。
利息计算的基本常识：（一）.人民币业务的利率换算公式日利率=年利率/360=月利率/30月利率=年利率/12(二）.银行可采用积数计息法和逐笔计息法计算利息。
1.积数计息法：。
2.逐笔计息法：（三）.复利：复利是对利息按一定的利率加收利息。
（四）.罚息：（五）贷款逾期违约金合同期限内的利息计算：（一）单利计算（二）复利计算：银行利息如何算银行利息如何算贷款可以考虑用抵押方式(房产等)贷款，也可以通过担保贷款,后者贷款额度小一些。
银行贷款利息，一般是按月复利计算的，分期还款方式有两种，一种是等额本息，一种是等额本金，短期的也可以一次性还本付息还款， 60000元，一年(12个月)，按现在一年期贷款年利率5.31%（月利率：5.31%/12=0.4425%）计算。
1、一次性还本付息，本息合计：（第一种）60000*(1+0.4425%)=63264.69元2、分期偿还，等额本息还款：是每一期(每个月)还款额都是一样的还款，计算如下： 6万,1年(12个月), 月还款额：（第二种）[60000*0.4425%*(1+0.4425%)]/[(1+0.4425%)-1]=5144.98元还款总额：5144.98*12=61739.76元说明：为12次方3、分期偿还，等额本金还款：是不等息还款，就是越来越少的那种,每个月偿还本金相同,利息递减。
区间与邻域
6 4 72 4 8
o
o
a a
a
例1 点5的3邻域 { x | | x -5 | < 3} = (2, 8).
7
点 a 的去心邻域. 即
o
U(a， ) {x 0 x a } (a , a) (a, a )
6 4 72 4 8
o
a
a°
o
a
点 a的左邻域, 即 点 a 的右邻域, 即
{x 0 a x } (a , a) {x 0 x a } (a, a )
8
a•
(a, ) { x a x },
a°Leabharlann (, ) {x x }.
6
二. 邻域
设 a， R ，其中 0 ，数集 x x a 称为
点 a 的 邻域，记作 U(a， )
U(a,) {x x a } {x a x a }
4
[a, b] {x a x b}, (a,b] {x a x b}, [a, b) { x a x b},
a•
•b
°a
•
b
•
b°
(,a) {x x a}, (, a] {x x a},
°a
•a
5
[a, ) {x a x },
第一章 函数
§1.1 区间与领域 §1.2 函数 §1.3 反函数与复合函数 §1.4 基本初等函数与初等函数 §1.5 经济学中常用的函数
1
函数是微积分的一个重要概念, 也是现代数学研究的一个 基本对象. 有关函数概念, 在中学数学中我们有了初步的了 解, 在这一章中, 将介绍函数、函数特性、基本初等函数、初 等函数等概念.
第六版高等数学同济版教材
第六版高等数学同济版教材第一章函数与极限函数是数学中的一种基本概念，描述了一种输入和输出之间的关系。
在高等数学中，函数的概念被广泛应用于各个分支领域，如微积分、线性代数等。
本章将介绍函数的定义、性质以及与极限的关系。
1.1 函数的定义函数是一种映射关系，将一个集合的元素映射到另一个集合。
在数学中，常用符号表示函数，如f(x)，其中x为自变量，f(x)为对应的函数值。
函数的定义包括定义域、值域和对应关系。
1.2 函数的性质函数具有多个性质，如奇偶性、周期性、单调性等。
奇偶性指函数关于原点的对称性，周期性指函数在一定区间内重复出现的性质，单调性指函数随自变量变化的方向性。
1.3 极限的概念极限是函数与自变量趋于某个值时的特殊性质。
在同济版教材中，极限的定义包括数列极限和函数极限。
数列极限是指数列中的数值随着序号的增加逐渐接近某个值，函数极限是指函数在某个点附近的取值逐渐趋近于某个值。
第二章一元函数微分学一元函数微分学是高等数学中的重要分支，涵盖了函数的导数与微分以及相关应用。
本章将介绍导数的定义、运算法则以及一些典型函数的导数计算方法。
2.1 导数的定义导数描述了函数在某一点附近的变化率，可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。
导数的定义包括了函数的极限和斜率的概念，可以通过极限计算得到。
2.2 导数的运算法则导数具有多个运算法则，如和差法则、乘法法则、链式法则等。
这些法则用于简化函数导数的计算步骤，提高计算效率。
2.3 典型函数的导数计算一些常见函数的导数计算方法被广泛应用于微分学中。
如幂函数、指数函数、对数函数等，它们的导数计算方法需要掌握并灵活运用。
第三章函数的应用函数的应用十分广泛，可以用于解决实际问题、描述自然现象以及进行科学建模等。
本章将介绍一些常见的函数应用领域，并探讨如何将数学理论与实际问题相结合。
3.1 函数建模函数建模是将实际问题转化为数学模型的过程，通过构建适当的函数关系，描述问题的规律和特征。
经济学中常用的函数
例1 某产品销售70元/件, 可买出10000件, 价格每增 某产品销售 元 件 可买出 件 元就少买300件 的函数. 加3元就少买 件, 求需求量 Qd 与价格 p 的函数 元就少买 设价格由70元增加 个 元 解 设价格由 元增加 k个3元, 则
p = 70 + 3k , Qd = 10000 300k
p( x ) =
库存费为 (x/2) c, 故
为批数, 为库存量. 其中 a/x 为批数 x/2 为库存量
ab cx , x ∈ (0, a ]. + x 2
12
某矿厂A要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂 例6 某矿厂 要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂 B冶炼 已知该矿距冶炼厂所在铁路垂直距离为 a 公里 冶炼. 公里, 冶炼 公里. 它的垂足 C 到 B 的距离为 b公里 又知铁路运价为 m 元/ 公里 公里, 公里(m 为节省运费, 吨公里 公路运价是 n元/吨公里 < n), 为节省运费 公里 元 吨 公里 作为转运站, 拟在铁路上另修一小站 M 作为转运站 那么总运费的多 少决定于M的位置 试求出运费与距离 |CM| 的函数关系. 少决定于 的位置. 的函数关系 的位置 解 设 运费 CM＝ x , 运费为 y, 则
1 x + 40, x ∈ (0,1600] 40
10
工厂生产某种产品, 生产准备费1000元, 可变资 例4 工厂生产某种产品 生产准备费 元 本4元, 单位售价 元. 求： 元 单位售价8元 (1) 总成本函数 总成本函数; (3) 销售收入函数 销售收入函数; 解 (2) 单位成本函数 单位成本函数; (4) 利润函数 利润函数.
2
这个函数的几何形态, 这个函数的几何形态 是一条反应需求量与价格关系的 曲线, 我们称之为需求曲线, 如右图. 曲线 我们称之为需求曲线 如右图
高等数学系列教材目录
高等数学系列教材目录第一册：微积分基础1.数集与函数1.1 数集的表示与运算1.2 函数的定义与性质1.3 常用函数及其图像2.极限与连续2.1 数列与极限2.2 函数的极限2.3 连续函数与间断点3.导数与微分3.1 导数的定义与计算3.2 微分的概念与应用3.3 高阶导数与高阶微分4.一元函数的应用4.1 函数的单调性与极值4.2 函数的凹凸性与拐点4.3 泰勒公式及其应用第二册：多元函数微积分1.二元函数与偏导数1.1 二元函数的定义与性质1.2 偏导数与全微分1.3 隐函数与参数方程求导2.多元函数的极值与条件极值2.1 多元函数的极值2.2 隐函数极值与参数方程极值2.3 条件极值与拉格朗日乘子法3.重积分3.1 二重积分的计算3.2 三重积分的计算3.3 积分次序与坐标变换4.曲线与曲面积分4.1 曲线积分的计算4.2 曲面积分的计算4.3 斯托克斯定理与高斯公式第三册：级数与常微分方程1.级数的收敛性与性质1.1 数项级数的概念与性质1.2 正项级数的审敛法1.3 交错级数与绝对收敛2.幂级数与函数展开2.1 幂级数的收敛域与收敛半径 2.2 幂级数的运算与逐项求导2.3 函数的泰勒级数展开3.常微分方程基础3.1 微分方程的基本概念3.2 一阶线性微分方程3.3 高阶线性微分方程4.常微分方程应用4.1 古典物理问题的建模与求解 4.2 生物、经济与工程领域的应用4.3 相图与稳定性分析第四册：向量与解析几何1.向量代数基础1.1 向量的定义与运算1.2 向量的线性相关性与线性无关性1.3 向量的内积与外积2.空间直线与平面2.1 三维空间的点、直线与平面2.2 直线的方向向量与法向量2.3 空间直线与平面的位置关系3.空间曲线与曲面3.1 曲面的参数方程与一阶偏导数 3.2 流形与曲率3.3 空间曲线、曲面与切线法向第五册：数学分析基础1.度量空间与拓扑1.1 度量空间的定义与性质1.2 拓扑空间的概念与特征1.3 开集、闭集与连通性2.泛函分析2.1 功能空间与泛函空间2.2 线性算子与线性泛函2.3 无穷维空间与紧性理论3.微分流形3.1 流形的定义与性质3.2 曲线与曲面的切空间3.3 切向量场与流形上的积分4.测度论基础4.1 测度空间的定义与测度函数4.2 测度的可测性与测度的完备性4.3 测度函数与积分运算这是《高等数学系列教材》的目录，详细介绍了每一册的章节内容。
导数在经济学中的应用
导数在经济学中的应用一、边际和弹性（一）边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。
而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，确实是边际分析方法。
1、总成本、平均成本、边际成本总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。
用c(x)表示，其中x 表示产品的产量，c(x)表示当产量为x 时的总成本。
不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)确实是固定成本。
平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x 0变化到x x ∆+0，则：xx c x x c ∆-∆+)()(00称为c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均变化率。
而x x c /)(称为平均成本函数，表示在产量为x 时平均每单位产品的成本。
例1，设有某种商品的成本函数为：x x x c 30135000)(++=其中x 表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x 吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为：（元）1080040030400135000)(400=⨯+⨯+==x x c 吨）（元/2740010800)(400===x xx c 假如产量由400吨增加到450吨，即产量增加x ∆=50吨时，相应地总成本增加量为：4.686108004.11468)400()450()(=-=-=∆c c x c 728.13504.686)()(500400==∆∆+=∆∆=∆=x x xx x c x x c 这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。
类似地运算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即x ∆=1时，总成本的变化为：7495.13)400()401()(=-=∆c c x c 7495.1317495.13)(1400=∆∆=∆=x x xx c表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。
高数讲义系列之一
高数讲义系列之一第一章函数及其图形1．1预备知识一、集合1、定义：具有某种共同属性的元素的全体构成集合。
通常用大写字母A、B、C。
表示集合，用abc表示集合中的元素，a属于A，表示为a∈A,元素与集合的关系是属于不属于的关系。
2、集合的表示方法：①列举法②描述法③区间法3、集合的类型：①有限集合②无限集合③空集4、集合之间的关系：子集与相等5、集合的运算：①交集②并集③补集二、区间是数集的表示方法，一般用I表示，区间类型：1、开区间：（a,b）=｛x︱a<x<b｝2、闭区间：[a,b]=｛x︱a≤x≤b｝3、半开半闭区间：[a,b)与(a,b]4、无限区间：（-∞，a）、（-∞，a）、（a,+∞）、[a, +∞]、（-∞，+∞）三、邻域是一个很小的区间，邻域指相邻的区域，有数还要有半径（范围）。
a为中心，δ为半径的邻域是指开区间（a-δ, a+δ）,记为N（a,δ）,即N（a,δ）=（a-δ, a+δ）=｛x︱a-δ<x< a+δ｝作业：习题1.1 (P8) ：全做1．2 函数一、一元函数的定义：设有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个值，按照某个对应法则，y有唯一确定的值与之对应，则x是自变量，y是x的函数。
记为y=f(x),也可记为y=g(x) y=Ф(x) y=F(x)等。
二、函数的主要表示方法：1、解析法（也叫代数法、公式法）：用x的代数式表示一个函数的方法。
有三种标准式：例如：①y=3x+1 ②f(x)=3x+1 ③3x+1 其中③是函数的简写式，一般在说函数时使用。
分段函数也是用解析法表示的一个函数2、图像法（图形法）：用函数图形表示函数的方法。
画图的方法是找几个点，连起来。
三、求定义域方法：定义域指自变量的取值范围，用D f表示；函数值的取值范围为值域，用R f表示。
求定义域通常考虑以下因素：①分母不能为0；②偶次根式的被开方数≥0；③对数的真数>0；④若函数有几项组成，其定义域是每项定义域交集；⑤分段函数的定义域是每段定义域的并集，每段定义域是该段的分段区间。
数学函数不等式知识点总结
数学函数不等式知识点总结一、常见的函数不等式类型在数学中，函数不等式涉及到各种类型的函数，常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
这些函数类型在不等式中都有着各自的特点和解法方法。
接下来我们将针对这些常见的函数类型分别进行介绍。
1.1 线性函数不等式线性函数的一般形式为：f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a≠0。
线性函数不等式的形式为：ax + b > 0或者ax + b < 0。
解线性函数不等式最常用的方法就是通过解一元一次不等式，首先将不等式化为一元一次不等式，然后通过移项、乘除以常数等基本操作进行解答。
1.2 二次函数不等式二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数不等式的形式为：ax^2 + bx + c > 0或者ax^2 + bx + c < 0。
解二次函数不等式的方法通常有两种，一种是通过画出二次函数的图像，找出函数的取值范围；另一种是通过配方法或者公式法解出二次函数的解析式。
1.3 指数函数不等式指数函数的一般形式为：f(x) = a^x，其中a为正实数且a≠1。
指数函数不等式的形式为：a^x > b或者a^x < b。
解指数函数不等式的方法通常是通过取对数进行化简，然后再求解对数不等式的解。
1.4 对数函数不等式对数函数的一般形式为：f(x) = loga(x)，其中a为正实数且a≠1。
对数函数不等式的形式为：loga(x) > b或者loga(x) < b。
解对数函数不等式的方法通常也是通过取对数进行化简，然后再求解对数不等式的解。
需要注意的是，对数函数的定义域为正实数，所以在解对数函数不等式时需要考虑函数的定义域。
二、函数不等式的解法方法解函数不等式的方法通常有几种常见的技巧和步骤，下面我们将对这些解法方法进行介绍。
2.1 移项法移项法是解一元一次不等式的常用方法，通过将不等式中的项移到一边，使得不等式变为一个不含未知数的式子，然后再求解不等式。
河南省普通专升本高等数学教材
河南省普通专升本高等数学教材高等数学教材第一章：函数与极限1.1 函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个自变量映射到一个因变量上。
函数的定义域、值域、图像等基本概念要通过例题进行说明和讲解。
1.2 函数的性质与运算介绍函数的奇偶性、周期性、单调性等基本性质，并讲解函数的四则运算、复合运算等。
1.3 极限的概念与性质引入极限的概念，重点讲解极限的局部有界性、保序性、保号性等基本性质，同时介绍重要的极限定理和计算极限的方法。
第二章：导数与微分2.1 导数的概念与几何意义介绍导数的定义及其几何意义，包括切线与函数图像的关系等。
2.2 导数的基本公式与性质讲解导数的基本运算法则，如四则运算、复合运算、反函数的导数等。
2.3 高阶导数与相关公式深入研究高阶导数的概念和计算方法，并介绍莱布尼茨公式等相关公式。
第三章：微分中值定理与应用3.1 罗尔中值定理详细讲解罗尔中值定理的假设、结论以及证明思路，并通过实例解释应用。
3.2 拉格朗日中值定理介绍拉格朗日中值定理的条件和结论，包括柯西中值定理的特殊情况。
3.3 应用题解析通过一些实际问题，例如曲线的凹凸性、最值问题等，来解释中值定理的应用。
第四章：不定积分与定积分4.1 不定积分的定义与基本性质介绍不定积分的概念与基本性质，讲解几个常用的不定积分法则。
4.2 定积分的概念与性质引入定积分的概念，介绍黎曼积分的定义、性质和存在性。
4.3 定积分的计算方法讲解定积分的计算方法，包括换元积分法、分部积分法和分段积分法等。
第五章：微分方程基本概念与常微分方程5.1 微分方程的概念与基本性质介绍微分方程的定义、分类及基本性质，例如线性微分方程和常系数线性微分方程。
5.2 常微分方程的解法讲解一阶常微分方程和二阶常微分方程等基本类型的解法，包括常数变易法、齐次线性微分方程的解法等。
5.3 应用问题分析通过一些实际问题，例如生物衰变问题和弹簧振动问题，来引入微分方程解的应用。
高等数学教材答案第二版
高等数学教材答案第二版本文为《高等数学教材答案第二版》的详细解答和讲解，是对该教材的配套学习资料。
通过本文的阅读，你将会找到你在学习高等数学过程中遇到的问题的答案，并且对相关知识点有更深入的理解。
第一章微分学1.1 极限与连续在微分学的第一章中，我们将开始介绍极限与连续的概念。
极限是微积分的核心内容之一，它在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
本章将详细讲解极限的定义、性质和求解方法，并通过一系列的例题加深理解。
1.2 导数与微分第二节将涉及导数与微分的概念。
导数是极限的一种应用，它表征了函数在某一点上的变化率。
本节将详细介绍导数的定义、性质以及计算方法，并通过实例演示如何求解导数和微分的具体步骤。
1.3 微分中值定理与导数的应用微分中值定理是微积分中重要的定理之一，它与导数密切相关。
本节将讲解微分中值定理的概念、证明及应用，并通过一些典型例题演示如何运用微分中值定理解决实际问题。
第二章积分学2.1 不定积分积分是微积分学中的另一核心概念，它是导数的逆运算。
本章将着重介绍不定积分的概念、性质以及计算方法，并通过一些具体的数学和物理问题来展示如何运用不定积分解决实际问题。
2.2 定积分与反常积分第二节将讨论定积分和反常积分的概念与计算方法。
定积分主要用于计算曲线与坐标轴所围成的面积，而反常积分则是对于某些函数在特定区间上积分存在问题时的处理方法。
本节将详细讲解定积分和反常积分的定义、性质和计算步骤，并通过例题掌握其应用技巧。
2.3 微积分基本公式与定积分的应用微积分基本公式是积分学习中常用的一组公式，它们能够大大简化积分的计算过程。
本节将介绍常见的微积分基本公式和定积分的应用，并通过实例演示如何灵活运用这些公式解决实际问题。
第三章微分方程3.1 微分方程的基本概念和解法微分方程是描述物理、经济和生物等领域中变化规律的重要工具。
本章将从微分方程的基本概念开始，讲解常微分方程的解法和解的存在唯一性定理，并通过实例演示如何应用微分方程求解实际问题。
经济数学
图书目录
01
第1章
02
第2章
03
第3章
04
第4章
05
第5章
06
第6章
第7章 第8章
第9章 附表目录
函数、极限与连续 §1.1函数 1.1.1函数的概念与性质 1.1.2初等函数 1.1.3经济函数模型举例 §1.2极限的概念 1.2.1数列的极限 1.2.2函数的极限 §1.3无穷小量和无穷大量 1.3.1无穷小量 1.3.2无穷大量
MATLAB数学实验 §9.1 MATLAB数学软件简介 9.1.1 MATLAB基本知识介绍 9.1.2 MATLAB基本运算 实验训练题(一) §9.2函数运算与作图实验 9.2.1函数运算 9.2.2作图实验 实验训练题(二) §9.3极限与导数、极值实验 9.3.1极限实验
附表一标准正态分布表 附表二 x2分布表 附表三 t分布表
二元函数的偏导数及其应用 §4.1二元函数的极限与连续 4.1.1二元函数的概念 4.1.2二元函数的极限与连续 §4.2二元函数的偏导数 4.2.1偏导数的概念 4.2.2高阶偏导数 4.2.3偏导数在经济中的应用 §4.3二元函数的极值 4.3.1二元函数的极值 4.3.2二元函数的条件极值
积分及其应用 §5.1定积分的概念与性质 5.1.1两个实例 5.1.2定积分的定义 5.1.3定积分的几何意义 5.1.4.定积分的简单性质 §5.2原函数与微积分基本定理 5.2.1原函数与不定积分的概念 5.2.2不定积分的基本公式与基本运算 5.2.3微积分基本公式 §5.3换元积分法与分部积分法
经济数学
2009年高等教育出版社出版的图书
01 书籍介绍
03 主要内容
目录
02 图书目录
【教案】微积分教案
教学重点难点
教学方法
参考文献
习题作业
内容
3.1中值定理
பைடு நூலகம்学时
1学时
教学目标及
要求
1.理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理
2.知道这三个定理之间的联系
3.会用中值定理证明简单的命题
教学内容要点
罗尔定理
拉格朗日中值定理
推论1、推论2
柯西中值定理
教学重点难点
1.罗尔定理和拉格朗日中值定理
基本初等函数的微分公式
微分的四则运算法则
微分形式不变性
函数线性化的概念
教学重点难点
1.可导与可微的关系
2.一阶微分形式不变性求微分的方法
教学方法
由具体问题引进微分概念，并进一步推广到一般结论
参考文献
《微积分》吴赣昌，学习辅导与习题解答，经管类简明版，第三版
《数学分析》华东师范大学数学系，第三版，上册，高等教育出版社
学时
2学时
教学目标及
要求
1熟练掌握各种求导法则：
基本初等函数的求导公式、四则运算求导法则、反函数求导法则、复合函数求导法则、隐函数求导法则、对数求导法则
2.了解高阶导数的概念，会求二阶、三阶导数及一些简单的 阶导数
3.熟练进行导数的运算
教学内容要点
导数的四则运算法则
反函数的导数
复合函数的求导法则
初等函数的求导法则
2.理解函数的概念，掌握函数的常用表示法；掌握函数的有界性,了解函数几何特性
3.了解反函数概念、函数与其反函数的几何关系,掌握基本初等函数概念性质及图形
4.理解复合函数的概念、了解构成复合函数的条件、掌握将一个复合函数分解成基本初等函数的方法
函数的最大值和最小值教案
函数的最大值和最小值教案第一章：引言1.1 课程目标让学生理解函数的概念，掌握函数的最大值和最小值的基本性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
1.2 教学内容本章将介绍函数的最大值和最小值的概念，并通过实例来解释它们的含义和应用。
1.3 教学方法采用讲解和案例分析相结合的方法，引导学生通过观察和思考来理解函数的最大值和最小值的概念。
第二章：函数的最大值和最小值的概念2.1 课程目标让学生理解函数的最大值和最小值的概念，并能够判断一个函数是否存在最大值或最小值。
2.2 教学内容本章将通过具体的例子来介绍函数的最大值和最小值的概念，并解释它们的区别和联系。
2.3 教学方法通过讲解和案例分析，引导学生通过观察和思考来理解函数的最大值和最小值的概念。
第三章：函数的最大值和最小值的求法3.1 课程目标让学生掌握函数的最大值和最小值的求法，并能够运用这些方法解决实际问题。
3.2 教学内容本章将介绍常用的求函数最大值和最小值的方法，包括导数法、图像法和对称轴法等。
3.3 教学方法通过讲解和案例分析，引导学生掌握函数的最大值和最小值的求法，并能够运用这些方法解决实际问题。
第四章：函数的最大值和最小值的应用4.1 课程目标让学生能够运用函数的最大值和最小值的概念和求法解决实际问题，提高解决问题的能力。
4.2 教学内容本章将通过实例来介绍函数的最大值和最小值在实际问题中的应用，如最优化问题、经济问题等。
4.3 教学方法采用案例分析的方法，引导学生通过观察和思考来理解函数的最大值和最小值的应用。
第五章：总结与展望5.1 课程目标让学生总结本章所学的内容，理解函数的最大值和最小值的概念、求法和应用，并能够运用这些知识解决更复杂的问题。
本章将对本章所学的内容进行总结和回顾，并通过思考题来激发学生对函数的最大值和最小值更深入的思考。
5.3 教学方法采用总结和思考题的方式，引导学生对所学内容进行回顾和思考，提高解决问题的能力。
已知生产函数求最大值
已知生产函数求最大值1.引言1.1 概述生产函数是在经济学中常用的一个概念，它描述了生产过程中输入和产出之间的关系。
生产函数的求最大值是指找到一组合适的输入因素，使得产出达到最大化。
本文将讨论已知生产函数的情况下，如何求取最大值的方法。
在经济学中，生产函数是描述企业或者产业如何将输入资源转化为产出的数学函数。
它反映了输入因素（例如劳动力、资本等）与产出之间的关系。
通过生产函数，我们可以分析不同输入因素对产出的影响，并找到最佳的输入组合以达到最大化的产出。
本文将集中讨论已知生产函数时如何求取最大值的方法。
已知生产函数的情况下，我们可以利用微积分的工具和最优化理论来解决这一问题。
其中最常用的方法是求解导数为零的条件，也就是找到生产函数的驻点。
通过求解这些驻点，我们可以找到生产函数取得最大值的点。
除了驻点法之外，我们还可以使用边界法来求取最大值。
边界法是指考虑生产函数的边界条件，例如输入因素的限制，来确定最大值所在的位置。
这种方法特别适用于生产函数存在约束条件的情况。
通过分析已知生产函数的求最大值的方法，我们可以更好地理解经济中生产过程的优化和最优决策问题。
此外，对已知生产函数求最大值方法的研究还有很大的应用前景。
例如，在实际的生产管理和资源配置中，准确地求取生产函数的最大值可以帮助企业和产业合理利用资源，提高产出效率，从而实现可持续发展。
综上所述，本文将详细探讨已知生产函数的求最大值方法。
在正文部分，我们将介绍生产函数的概念和相关理论，然后重点讨论已知生产函数求最大值的方法。
最后，结论部分将总结已知生产函数求最大值的方法，并展望其在实际应用中的前景。
通过这篇文章的阅读，读者将对生产函数的求最大值有更深入的理解，并能将其应用于实际问题的解决中。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行论述：第一部分为引言，对文章的目的和背景进行概述，介绍已知生产函数求最大值的重要性和应用前景。
第二部分为正文，主要分为两个小节：生产函数的概念和已知生产函数的求最大值方法。
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4、收益函数与利润函数 TR(Q) PQ , AR P , (Q) TR(Q) TC (Q)
QS QS ( P )
称为供给函数.
常见的供给函数： 线性函数： QS aP b , a , b 0 幂函数：
QS kP a , a 0 , k 0
bP Q ae , a0,b0 指数函数： S
在同一个坐标系中作出需求曲线 D和供
给曲线 S ，两条曲线的交点称为供需均衡点， 该点的横坐标称为供需均衡价格 .
将本利和A1再存入, 第2期末的本利和为:
A2 A1 A1r A0 (1 r )2
再把本利和存入银行, 如此反复, 第t期末的本利和为:
At A0 (1 r )t
若按年为期, 年利率为R, 则第n年末的本利和为:
An A0 (1 R)n
二、需求函数与供给函数
1、需求函数
需求的含义：消费者在某一特定的时期内， 在一定的价格条件下对某种商品具有购买力 的需要． 如果价格是决定需求量的最主要因素， 可以认为 需求量QD 是 价格P的函数。记作
QD QD ( P )
称为需求函数.
常见的需求函数：
线性函数： QD aP b 幂函数： QD kP a 指数函数： QD ae bp ( 其中 a,b,k > 0 ) 需求函数QD=QD(P)的反函数，称为价格函 数，记为 P=P(QD）
TR(Q) PQ , AR P
例 4 设某商品的需求关系是 3Q+4P=100, 求总收 益和平均收益．
100 3Q P , 解 价格函数为 4
100Q 3Q 所以总收益为TR(Q ) P Q , 4 平均收益为 AR(Q ) P (Q ) 100 3Q . 4
当P=30时，取得最大利润90000 元. 所以该产品的出厂价应定为30元.
五、小结
1、单利与复利公式 An A0 (1 nr ) At A0 (1 r )t 2、需求函数与供给函数 QD f ( P ) QS QS ( P ) 3、成本函数与平均成本函数
C (Q ) FC VC (Q ) TC (Q) FC VC (Q) AC Q Q Q
经济数学——微积分
1.3
常用经济函数介绍
一、单利与复利公式
二、需求函数与供给函数 三、成本函数与平均成本函数
四、收益函数与利润函数 五、小结
一、单利公式与复利公式
1、单利公式
设现有本金A0, 每期利率为r, 期数为n,每期末结算 第1期末的本利和为: 第2期末的本利和为:
A1 A0 A0 r A0 (1 r )
解得： Q1 1.15, Q2 34.85 例6 某厂生产一种产品，据调查其需求函数为 Q=-900P+45000，生产该产品的固定成本是 270000元，而单位产品的变动成本为10元，为 获得最大利润，出厂价格应为多少？
解 成本函数 TC(Q)=270000+10Q 需求函数 Q=-900P+45000 故 TC(P)=-9000P+720000 收益函数 TR(P)=PQ=-900P2+45000P 利润函数 π(Q)=TR(P)-TC(P) =-900(P-30)2+90000
(舍去)， Q1 1
解得 P1 120
P2 15 Q2 6
三、成本函数与平均成本函数
1、成本函数
成本是生产一定数量产品所需要的各种生 产要素投入的价格或费用总额，它由固定成本 与可变成本两部分组成. TC (Q) FC VC (Q)
2、平均成本函数
总收益为 TR(Q) P Q 20Q
所以 (Q) TR(Q) TC(Q)
20 18Q 0.5Q 2
(20) 20 18 20 0.5 202
140(万元)
(20) 20
20
2 20 18 Q 0.5 Q 0 7 令
把满足 Q TR Q TC Q 0 的Q0
称为盈亏平衡点（保本点）.
例 5 设某种商品的总成本为 TC(Q) 20 2Q 0.5Q 2 , 若每售出一件该商品的收入是 20 万元，求生产 20 件的总利润、平均利润、该经济活动的无盈亏点.
解 由题意知 P 20 （万元） ,
供需均衡点
供需均 衡价格
(Q*,P*)
均衡数量
例2 某商品的需求量和价格的关系满足
Q 2 20Q P 99
供给量与价格的关系满足 3Q 2 P 123 试求市场达到供需平衡时的均衡价格和均 衡需求量. 解：
Q 2 20Q P 99 由 2 3 Q P 123
A2 A0 r A0 (1 r ) A0 (1 2r )
An A0 (1 nr ) 我国银行的定期存款实行的是单利计息的方法.
第n期末的本利和为:
2、复利公式
设现有本金A0, 每期利率为r, 期数为t. 每期末结算 第1期末的本利和为:
A1 A0 A0r A0 (1 r )
2
2、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成
本之差。即 (Q) TR(Q) TC (Q) 利润函数的三种情况：
Q TR Q TC Q 0 盈余状态
Q TR Q TC Q 0 亏损状态
Q TR Q TC Q 0 保本状态
例1
设某商品的需求函数为
Q aP b (a , b 0)
讨论P=0时的需求量和Q=0时的价格. 解 P=0时，Q=b，它表示价格为零时的 需求量为 b ，称为饱和需求量；
b b Q 0 时 P , 表示价格为 时 , a a
无人愿意购买此商品.
2、供给函数
供给的含义：在某一时间内，在一定的价格 条件下，生产者愿意并且能够售出的商品． 如果价格是决定供给量的最主要因素， 可以认为 供给量Q 是价格 P 的函数。记作
总成本 固定成本 可变成本 平均成本 产量 产量
C (Q ) FC VC (Q ) 即AC Q Q Q
例 3 已知某种产品的总成本函数为 求当生产 100 个该产品时的总成本和平均成本．
解 由题意，求产量为100时的总成本
Q2 TC(Q ) 1000 . 8
1002 TC(100) 1000 2250 , 8
2250 平均成本为 AC (100) 22.5 100
四、收益函数与利润函数
1、收益函数
总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部 收入. 用 Q 表示出售的产品数量，TR 表示总收 益, AR表示平均收益，则
TR(Q ) TR TR(Q ) , AR Q
如果产品价格 P 保持不变，则