现代控制理论稳定性的判定

例：系统的状态空间表 达式为 试分析系统的状态稳定 性。
X
1 0
0 1
x
1 1
u,
y
1
0X
解： 由A阵的特征方程 detI A ( 1)( 1) 0
可得特征根 1 1， 2 1。
不稳定
电气工程学院
3、非线性系统的稳定性
(1)、系统的状态方程 X f ( X , t ) X e为其平衡状态，
2、第一方法（间接法） 内容 （1）、对于线性系统；已知 为其平衡点。
X AX , A非奇异，则X e 0
(2)、内容 [1]、A的特征根全部具有负的实部，系统是渐进稳定 的。 [ 2]、 A 中有一个实部为正的特 征根，实际系统不稳定 [3]、线性系统渐进稳定，则一定是大范围渐进稳 定的。
电气工程学院
f ( X , t )为和 X的同维矢量函数，对 X具有连 续的一阶偏导数。
要讨论系统在 X e处的稳定性，要将非线 性系统线性化。将非
线性函数在
X
的邻域内泰勒级数展开
e
。可得
X
f X T
(X
Xe
)
（X）
而 Xe 0
f X T
f1 f1 x1 x2
f
2
f2
x1 x2
f
n
fn
x1 x2
x2 S( )
S( )
x0
xe
x1
渐进稳定的平衡状态及其状态轨线
电气工程学院
4、大范围渐进稳定
若对状态空间所有点， 由这些状态出发的轨迹 都具有 渐进稳定性，称系统 大范围渐进稳定。 讨论：按照李亚普诺夫稳定性定义
线性系统稳定，一定是大范围渐进稳定的。 非线性系统，若平衡点的不唯一，不可能存在大范围稳定， 若稳定，也只能是小范围渐进稳定。
x2 S( )
S( )
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x0 x1
xe
稳定的平衡状态及其状态轨线
电气工程学院
2、一致稳定
实数 和 有关，也和 t0有关。若 与t0 无关，称平衡状态X e 一致稳定
电气工程学院
3、渐进稳定
当 t无限增长，若存在 lim t
X (t)
Xe
0
即系统回到原来的平衡 状态 X e 则称系统是 渐进稳定
解：[1]、找出系统的平衡状态
0 Xe1 0
X e2
1 1
[
2]、在
X
处进行讨论，将非线性
e1
方程线性化
电气工程学院
Xe 1
0 0
A
1 0
0 1
其特征值为 1 1， 2 1。
结论： 系统在
0 X e1 0
处是不稳定的。
[
3]、在
X
e
处线性化得
2
X e2
1 1
A
0 1
1 0
2、所谓自由运动，是指已知系统的数学模型， 不考虑外加激励， 研究系统的自由运动。设系统的齐次状态 方程； X f ( X , t ) 其解为 X (t; X 0; t0 )
3、平衡状态 X e 若状态方程的解存在状 态矢量 X e ，使得对所有的 t，都有 X f ( X e , t ) 0 成立，则称 X e 为系统的平衡状态。
电气工程学院
5、不稳定
对于一个无论多么小的 实数 0 ，存在一个 0，由S ( ) 出发的状态轨迹有一个 轨线超越 S( )，则称这种系统 不稳定
x2 S( )
S( )
x0 x1
xe
不稳定的平衡状态及其状态轨线
电气工程学院
三、二次型函数的定号 性和塞尔维斯特（ sylvester ）准则 参见 自动控制原理 下 吴麒 P.242 现代控制理论 刘豹 P.147
(1) 若由于扰动使系统的平 衡状态遭到破坏。在 t t0时刻产生
初始状态 X (t0 ) X 0。在 t t0 后，系统的运动状态 X (t ) 将随时间变化。
如果，对应于无论多么 小的 0 的园域或球域 S ( ), 总存在
一个
0 的园域或球域
S ( )，在初始状态
X
不超过
0
S
(
)
的条件下
[2]、若A的特征值，至少有一个具有正实部，则原系统 的平
衡状态
X
是不稳定的。
e
[3]、若 A的特征根至少有一个实 部为零，则原非线性系 统的
平衡状态
X
的稳定性取决于高阶导
e
数项 （X），而不能用
A的特征值符号确定。
例：系统状态方程为 x1 x1 x1 x2 试分析系统在平衡状态 的稳定性。 x2 x2 x1 x2
当t t0后，X (t )的运动轨迹始终在 S ( ) 的范围内，称这种系统 为
稳定系统。
电气工程学院
(2)、
即 X 0 X e ( , t0 ) 或 S
如果存在 X (t ) X e
结论：系统是稳定的。
或 S( )
欧几里德范数
1
式中；X (t ) X e ( x1 x1e )2 ( x2 x2e )2 ( xn xne )2 2
f1
xn
f2
xn
fn
xn nn
雅克比 Jacobian
矩阵
f A X T X Xe
令 X X X e , 可得线性化的方程 X AX
电气工程学院
(2)、第一法（间接法）的 内容
[1]、若 A的所有特征根都具有负 实部，则原非线性系统 在平
衡状态 X e 是渐进稳定的。且系统的稳定性和 （X）无关。
教材 p.505
附录1；5.二次型和向量范数
作业：
判断下面二次型函数的符号性质 V ( x) x12 3x22 11x32 2 x1 x2 x2 x3 2x1 x3
电气工程学院
➢李雅普诺夫第一方法（间接法）
1、适用对象
线性系统、非线性不很 严重的系统，将其适当 的线性化。可以 按线性系统的稳定条件 去分析其稳定性。
电气工程学院
Section 5 P.513 9-4
➢李雅普诺夫稳定性定义→
➢李雅普诺夫第一方法（间接法） → ➢系统的有界输入输出(BIBO)稳定→ ➢李亚普诺夫第二法（直接法） →
➢李亚普诺夫直接法在线性系统中的应用→
电气工程学院
➢李雅普诺夫稳定性定义
一、系统状态的运动及 平衡状态
1、研究系统的稳定性指 系统处于平衡状态下， 受到扰动后系统 自由运动的性质。系统 稳定性的定义有很多， 最重要的是由俄国 学者李雅普诺夫提出的 经典定义。
电气工程学院
需要说明的是，任意一 个平衡状态 X e ，都可以通过坐标变换 将其变换到坐标原点 X e 0 以下对系统稳定性 的讨论 都在系统的状态空间原 点处。
电气工程学院
二、稳定性的定义
1、稳定
已知系统在自由运动时齐次状态方程的一般形式为 X f ( X , t )
系统平衡状态 X e 0 Xe 0，在状态空间的原点。