三角形解的个数问题
三招破解三角形解的个数问题(打印)
案例二：直角三角形解的个数问题
总结词
直角三角形解的个数问题需要利用勾股定理和三角形的基本性质，通过数形结合和分类 讨论求解。
详细描述
直角三角形有一个角为90度，可以利用勾股定理求出斜边长度。然后利用三角形的性 质，通过数形结合的方式，进行分类讨论求解。同样需要注意排除不符合三角形基本性
质的解。
案例三：等边三角形解的个数问题
三招破解三角形解 的个数问题(打印)
目 录
• 三角形解的个数问题的概述 • 三角形解的个数问题的解题方法 • 三角形解的个数问题的应用场景 • 三角形解的个数问题的案例分析 • 三角形解的个数问题的总结与展望
01
三角形解的个数问题 的概述
三角形解的个数问题的定义
01
三角形解的个数问题是指在给定 一组边长后，判断这组边长能否 构成三角形，以及构成三角形的 可能个数。
具体例子：在求解与正弦、余弦函数有关的代数方程时， 需要考虑方程在不同区间上的解的个数，以及是否满足三 角函数的周期性和图像性质。
代数题
代数题中三角形解的个数问题通常涉及到代数方程的解的个数，需要利用代数方程的性质和求解方法 来判断解的个数。例如，在求解与三角形边长和角度有关的代数方程时，需要考虑不同情况下解的个 数。
的方法。
三角函数法主要涉及三角函数的 周期性和振幅，通过分析三角函 数的图像来确定三角形的解的个
数。
三角函数法需要熟练掌握三角函 数的性质和图像，对于一些特殊 的问题可能需要找到合适的三角
函数表达式。
03
三角形解的个数问题 的应用场景
几何题
三角形解的个数问题在几何题中常常涉及到三角形边长和角 度的关系，需要利用三角形的性质和定理来判断解的个数。 例如，在求解等腰三角形、直角三角形、等边三角形等问题 时，需要考虑不同情况下解的个数。
余弦定理三角形解的个数
余弦定理三角形解的个数
余弦定理是初中数学中的一个重要定理，它可以用来解决三角形中的各种问题。
一般
而言，余弦定理可以帮助我们求出三角形的各个角度和边长。
但是，当我们已知三角形的
两条边和夹角时，余弦定理可以帮助我们判断三角形的形态，即是锐角三角形、钝角三角
形还是直角三角形。
首先，我们来看一下余弦定理的具体形式：
在三角形ABC中，设三角形的三个内角分别为A、B、C，三条边的长度分别为a、b、c，那么根据余弦定理可知：
cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)
这里的cos A、cos B、cos C分别表示A、B、C的余弦值。
对于已知两边和夹角的问题，我们可以运用余弦定理来解决。
当我们知道两边和夹角
的值时，可以先利用余弦定理求出第三边长的平方，再判断所得的结果和前两个边的关系
来确定三角形的形态。
举个例子，如果我们已知三角形的两条边长分别为3和4，夹角为30度，那么我们可以通过余弦定理求解第三边的长度：
c² = 25 - 12√3 ≈ 2.85
根据所得的结果我们可以看出，第三条边小于两边之和，因此这是一个锐角三角形。
余弦定理通常有多种用法，可以用来求解三角形各个角度和边长，也可以判断三角形
的形态。
但在判断三角形形态时，需要注意余弦定理只适用于已知两边和夹角的情况。
此外，使用余弦定理时需要注意保证计算过程中符号的正确性，以免影响最终结果。
判断三角形解的个数的方法
判断三角形解的个数的方法判断三角形解的个数的方法判断三角形解的个数是数学中一个重要的问题，在实际应用中也经常涉及到。
一般来说，有两种方法可以用来判断三角形解的个数：方法一：三角不等式法三角不等式法是判断三角形解个数的经典方法，也是一种比较直观的方法。
根据三角形的性质，三角形的任意两边之和大于第三边，即a + b > c，b + c > a，a + c > b，其中a、b、c分别为三角形的三条边。
如果已知一组三角形边长，只需将这组数据代入三角不等式，判断是否成立即可。
例如，若已知一组三角形边长为a=3 cm，b=4 cm，c=7 cm，则：a +b > c，即3 + 4 > 7，成立。
b +c > a，即4 + 7 > 3，成立。
a + c > b，即3 + 7 > 4，成立。
因此，该组数据满足三角不等式，故可构成一个三角形。
如果三边的长度难以直接比较，则可以取出其中最大的一边，判断其余两边之和是否大于最大边，以此来判断是否能构成三角形。
方法二：海龙公式法海龙公式法是利用三条边的长度求出用海龙公式求出面积，然后根据海龙公式，面积S=max{p(p-a)(p-b)(p-c)}^{1/2}，其中p=(a+b+c)/2，判断是否能构成三角形的方法。
海龙公式法比三角不等式法更精准，适用于各种情况。
若a,b,c都是正数，且满足a+b>c,b+c>a,a+c>b，则S>0，这说明这三条边可以构成一个三角形。
若S=0，则说明这三条边不能构成一个三角形。
例如，若已知一组三角形边长为a=3 cm，b=4 cm，c=7 cm，则：p=(a+b+c)/2=14/2=7。
S=max{p(p-a)(p-b)(p-c)}^{1/2}=max{7*4*3*0}/2=0。
因此，该组数据不能构成一个三角形。
总的来说，三角不等式法适用于求三角形是否存在、没有求边长的时候判断是否存在三角形；而海龙公式法适用于求三角形的面积、判别三个给定边是否能构成三角形。
三角形解的个数问题
方法一：大角对大边，正弦定理求解
在已知 ABC 中的边长 a ， b 和角 A ，且已知 a ， b 的大小关系， 常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数， 一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角 B 与角 A 的大 小关系，然后求出 B 的值，根据三角函数的有界性求解．
b B2
a
a B1
A （ 2 ） 若 a = b s i n A , 则 只 有 一 解 . C b A a=bsinA B b
C
a<bsinA B
（ 3 ） 若 a < b s i n A , 则 无 解 .
A
已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:
• 若A为锐角时:
无解 a bsinA a bsinA 直角 一解 一锐、一钝 bsinA a b二解 a b 锐角 一解
a b 无解 若A为直角或钝角时: 锐角 a b一解
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三 s i n 角形时，只有当A为锐角且 时，有两解； 其它情况时则只有一解或无解。
b Aab
【例 1】在 ABC 中， A 60 ， a 6 ， b 3 ，则 ABC 解的情况（ ） （A）无解 （B）有一解 （C）有两解 （D）不能确定
流星宇高考仿真卷理三
4.在⊿ABC 中，角 A，B 的对边分别是 a,b,且∠A= 60 ，b =4，那么满足 条件的⊿ABC 只有一个时，边长 a 的取值范围是 ．
o
解 ： 作图： ①当 0 a 2 3 时，0 个； ②当 a 2 3 时，1 个； ③当 2 3 a 4 时，2 个； ④当 a 4 时，1 个.
正弦定理判断三角形解的个数
正弦定理判断三角形解的个数
正弦定理是三角形中常用的一个定理，它可以用来判断三角形解的个数。
在一个三角形中，若已知其中两个角和它们对应的两个边的长度，那么可以用正弦定理求出第三边的长度。
正弦定理的公式为：sin A/a = sin B/b = sin C/c，其中A、B、C分别表示三角形的三个角，a、b、c分别表示它们对应的边长。
在使用正弦定理时，我们需要注意以下几点：
1. 若给定的两个角之和小于180度，则可以构成一条边长为正数的第三边，三角形解唯一。
2. 若给定的两个角之和等于180度，则可以构成一条直线，三角形不存在。
3. 若给定的两个角之和大于180度，则无法构成三角形。
通过正弦定理，我们可以求出三角形的各个边长，从而判断三角形解的个数。
如果三个边长都为正数，则可以构成一个三角形，解唯一；如果有两个边长之和小于等于第三边长，则无法构成三角形；如果有两个边长之和等于第三边长，则可以构成一个退化三角形，解唯一；如果有两个边长之和大于第三边长，则可以构成一个锐角三角形或一个钝角三角形，解唯一；如果有一个边长为0，则无法构成三角形。
- 1 -。
正弦定理三角形解的个数
正弦定理三角形解的个数
正弦定理是一个用来求解三角形的边长或角度的公式，其基本形式为：$$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$$。
其中，$a$、$b$、$c$分别为三角形的边长，$A$、$B$、$C$分别为其
对应的角度。
根据正弦定理，已知三角形任意两边及其夹角，可以求解第三边的长度，也可以求解其余两个内角的大小。
因此，在已知三角形任意两边及其
夹角的情况下，通过正弦定理只能解出一个符合条件的三角形。
而在其他
情况下，也可能存在不止一个解或求解无法得出三角形的情况。
总之，正弦定理可以用于求解不同条件下的三角形，但具体解的个数
不一定固定，需要根据具体条件进行判断。
解三角形中解的个数问题知识点与练习(解析版)-2021年高考数学必考知识专练(解三角形)
1 专题5：解三角形中解的个数问题知识点与练习（解析版） 解三角形个数问题
1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角；
2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
例如：已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:（多解情况） ○1若A 为锐角时:
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)
( b a ) ,( b a bsinA
)
( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解
A b a
已知边a,b 和∠A
有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA
a<CH=bsinA
○2若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解
b
a
一、单选题
1．在
ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对的边，且3a =
，
b =，
45B ∠=︒，则A ∠等于（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．60°或120°
D ．135°
【答案】C
【分析】
利用正弦定理求得sin A ，根据大边对大角确定A 的范围，得到A 的值.
【详解】
3a =，b =，45B ∠=︒，
由正弦定理得3sin 2
asinB A b ===,。
三年级数三角形数量的题目
三年级数三角形数量的题目这是一个经典的数学问题，通常被称为“三角形计数问题”。
题目：一个等边三角形的每一边上都有 n 个点（包括两个端点）。
这些点中任意三个点都不共线。
那么这个三角形内有多少个三角形？解答：1. 当 n = 2 时，每条边上只有两个点，所以总共有 2 个三角形。
2. 当 n = 3 时，每条边上都有三个点，因此总共有 6 个三角形。
3. 当 n = 4 时，每条边上都有四个点，因此总共有 12 个三角形。
4. 当 n = 5 时，每条边上都有五个点，因此总共有 20 个三角形。
5. 当 n = 6 时，每条边上都有六个点，因此总共有 30 个三角形。
6. 当 n = 7 时，每条边上都有七个点，因此总共有 42 个三角形。
7. 当 n = 8 时，每条边上都有八个点，因此总共有 56 个三角形。
8. 当 n = 9 时，每条边上都有九个点，因此总共有 72 个三角形。
9. 当 n = 10 时，每条边上都有十个点，因此总共有 90 个三角形。
通过观察可以发现以下规律：1. 当 n = 1 时，总共有 1 个三角形。
2. 当 n = 2 时，总共有 2^2 - 2 = 2 个三角形。
3. 当 n = 3 时，总共有 3^2 - 3 = 6 个三角形。
4. 当 n = 4 时，总共有 4^2 - 4 = 12 个三角形。
5. 当 n = n 时，总共有 n^2 - n 个三角形。
这个规律可以解释为：每个顶点都可以与另外两个顶点构成一个三角形，但是要减去三个在边的交点处生成的重复的三角形。
所以总共的三角形数量就是顶点的数量减去三。
第10讲 三角形个数及判断三角形形状问题(解析版)
第10讲 三角形个数及判断三角形形状问题题型一：三角形解的个数问题已知a 、b 、A ，△ABC 解的情况如下图示． (ⅰ)A 为钝角或直角时解的情况如下：(ⅱ)A 为锐角时，解的情况如下：【例1】在ABC 中，30C =︒，b =c x =. 若满足条件的ABC 有且只有一个，则x 的可能取值是（ ）A ．12 B C ．1 D 因为ABC 只有一解，30︒>，则30B ︒<≤显然满足题意，10sin 2B或sin B 2x ≥或22x =；故选：D【例2】在ABC 中，若3b =，c =，45B =，则此三角形解的情况为（ ）A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不能确定为锐角，故满足条件的ABC 只有一个【例3】设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，S 和R 分别为ABC 的面积和外接圆半径．若2,3b c ==，则选项中能使ABC 有两解的是（ ）A ．30B =︒ B ．30C =︒ C ．3S =D ．2R =【例4】在ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A ．9,4,30=︒==b c C B ．5,4,45=︒==b c B C ．6,60==︒=a b B D ．20,30,30︒===a b A【答案】BC【分析】由正弦定理逐项判断.【题型专练】1．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则下列条件能确定三角形有两解的是（ ） A ．5,4,6a b A π=== B ．4,5,4a b A π===C ．55,4,6a b A π=== D ．4,5,3a b A π===，故三角形ABC 有一解；sin b B =⇒，故三角形ABC 有两解；sin b A B =⇒一定为锐角，故三角形ABC 有一解；sin sin b B A B =⇒=，故故三角形ABC 无解故选：B.2．在ABC 中，已知2,45a b A ===，则满足条件的三角形（ ） A ．有2个 B ．有1个 C ．不存在 D ．无法确定45 3．在ABC 中，已知2,3,30=︒==a b B ，则此三角形（ ） A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．无法判断有几解【详解】在ABC 中，3013=，，有30A B <=，即4．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知6,6a b A π===，则此三角形（ ）A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数不确定故此三角形有两解， 故选：C.5．在解三角形时，往往要判断三角形解的情况，现有∵ABC 满足条件：边20c =，角60B =︒，我想让它有两解，那么边b 的整数值我认为可取______（只填符合条件的一种即可） 2020sin60b ，320b，的整数值为18或19. 18或19.6.在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若b =60B =︒，若ABC 仅有一个解，则a 的取值范围是（ ）A ．({}2⋃B ．30,2C ．{}30,22⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦D ．2【答案】A【解析】：解法一：因为b =60B =︒，由正弦定理得sin sin a b A B=，所以sin 2sin sin b Aa A B ==， 因为()0,120∈︒A ，2sin =y A 的图象如图所示：因为ABC 仅有一个解，所以y a =与2sin =y A 的图象只有一个交点，所以0a <≤或2a =，故选：A解法二：可知当B a b b a sin 0=≤<或时，ABC 仅有一个解，所以0a <≤2a =，题型二：判断三角行形状 判断三角形形状的思路： 1.转化为三角形的边来判断：(1)∵ABC 为直角三角形⇔a 2=b 2+c 2或b 2=a 2+c 2或c 2=a 2+b 2； (2)∵ABC 为锐角三角形⇔a 2+b 2>c 2且b 2+c 2>a 2且c 2+a 2>b 2； (3)∵ABC 为钝角三角形⇔a 2+b 2<c 2或b 2+c 2<a 2或c 2+a 2<b 2； (4)按等腰或等边三角形的定义判断. 2.转化为角的三角函数(值)来判断：(1)若cosA =0，则A =90°，∵ABC 为直角三角形； (2)若cosA <0，则∵ABC 为钝角三角形；(3)若cosA >0且cosB >0且cosC >0，则∵ABC 为锐角三角形； (4)若sin 2A +sin 2B =sin 2C ，则C =90°，∵ABC 为直角角形； (5)若sinA =sinB 或sin (A -B )=0，则A =B ，∵ABC 为等腰三角形；(6)若sin 2A =sin 2B ，则A =B 或A +B =90°，∵ABC 为等腰三角形或直角三角形.在具体判断的过程中，应注意灵活地应用正、余弦定理进行边角的转化，究竟是角化边还是边化角应依具体情况决定.【例1】在ABC 中，2cos 0a c B -=则此三角形的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【答案】A【解析】由正弦定理sin 2sin cos 0A C B -=，又因为A B C π++=，所以sin sin()A B C =+．即sin()2sin cos B C C B +=，用两角和的正弦公式展开左边，得：sin cos cos sin 2sin cos B C B C C B +=，整理得sin cos sin cos 0B C C B -=，所以sin()0B C -=，又因为B ∠和C ∠是三角形的内角，所以0,B C B C -==，此三角形为等腰三角形．【例2】（多选）下列命题中，正确的是（ ） A ．在ABC ∆中，A B >，sin sin A B ∴> B ．在锐角ABC ∆中，不等式sin cos A B >恒成立C ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰直角三角形D ．在ABC ∆中，若060B =，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形 【答案】ABD【解析】对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确； 对于B ，在锐角ABC ∆中，A ，(0,)2B π∈，2A B π+>，∴022A B ππ>>->，sin sin()cos 2A B B π∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确；对于C ，在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B ∴=，A ，(0,)B π∈，22A B ∴=或222A B π=-，A B ∴=或2A B π+=，ABC ∆∴是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误.对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，可得2()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===︒，故正确.故选：ABD .【例3】（多选题）ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，下列四个命题中正确．．的是（ ） A ．若2220a b c +->，则ABC 一定是锐角三角形 B ．若cos cos cos a b cA B C==，则ABC 一定是等边三角形 C ．若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形D ．若cos cos a B b A a +=，则ABC 一定是等腰三角形【答案】BD 【解析】A 选项：当423a b c ===，，时，2220a b c +->，ABC 为钝角.错误.B 选项：因为cos cos cos a b cA B C==， 所以tan tan tan A B C ==，且(0,)A B C π∈，，所以A B C ==，ABC 为等边三角形.正确.C 选项：cos cos sin 2sin 2a A b B A B A B =⇒=⇒=或2A B π+=.ABC 不一定是等腰三角形.错误.D 选项：cos cos sin cos sin cos sin a B b A a A B B A A +=⇒+=sin()sin A B A ⇒+=sin sin C A ⇒=又因为(0,)A C π∈，，所以A C =.即ABC 为等腰三角形.正确.【例4】已知在ABC 中，3332sin sin sin sin sin sin sin A B CC A B C+-=+-，且sin 2cos sin C A B =，则该ABC 的形状为（ ）[附：()()3322a b a b a b ab +=++-]A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形∵sin cos cos sin 0A B A B -=，即()sin 0A B -=， ∵A B =．∵ABC 为等边三角形， 故选：D ．【例5】在∵ABC 中，如果 lg lg lg sin a c B -==-，且B 为锐角，试判断此三角形的形状（ ）． A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【例6】ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin :sin :sin 3:4:5A B C =，则ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形【答案】B【分析】根据正弦定理的三边比值，然后能得到222+=a b c ，即可得到答案 【详解】由正弦定理可知::sin :sin :sin 3:4:5a b c A B C ==， 设3,4,5,(0)a t b t c t t ===>，所以222225a b t c +==，所以AC BC ⊥，所以ABC 的形状是直角三角形， 故选：B【例7】已知ABC 的三个内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，且sin sin sin 2A C π+=，且ABC 的形状是（ ）A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为56π的等腰三角形 D ．顶角为23π的等腰三角形 又(0,B π∈sin sin A +整理得sin(A ABC ∆ 为顶角为【例8】在ABC 中，角A ，B ，C 对应边分别为a ，b ，c ，已知三个向量,cos 2A m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，,cos 2B n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，,cos 2p c C ⎛⎫= ⎪⎝⎭共线，则ABC 形状为（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【详解】解：向量(,cos m a =，(,cos 2B n b =cossin 22B A=． B 02A π<<所以cos 则sin2A =∴22A B=同理由,cos n b ⎛= ⎝，,cos p c ⎛= ⎝ABC ∴形状为等边三角形．故选：A ．【例9】已知三角形的三边长分别为3，4，x ，若该三角形是钝角三角形，则x 的取值范围是（ ） A ．()7,7B ．()7,5C ．()()+∞⋃,57,0D ．()()7,57,1⋃【答案】D【详解】由题意，ABC 为钝角三角形，三边长分别为3，4，x ， 可得当4是最大边时，4所对的角是钝角，即此角的余弦值小于零，则2224334x x <+⎧⎨+<⎩，解得1x <<x 是最大边时，x 所对的角是钝角，即此角的余弦值小于零， 则2224334x x<+⎧⎨+<⎩，解得57x <<，综上可得，x 的取值范围是()()7,57,1⋃ 故选：D . 【题型专练】1．在ABC 中，已知tan tan a ba b A B+=+，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形综上所述：ABC 的形状一定是直角三角形，2．在ABC 中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222a b c +<，则ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或直角三角形【答案】C【分析】由余弦定理确定C 角是钝角．3．ABC 的三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且满足cos cos 2cos a B b A c C +=，且sin sin A B =，则ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形在ABC 中，由于A B C ==所以ABC 为等边三角形故选：B.4．已知ABC 内角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c 面积为S ，若sin sin 2A Ca b A +=，23S BA CA =⋅，则ABC 的形状是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰直角三角形6333322BA CA AB AC bc ⋅=⋅=cos sin A A =，故tan 3A =综上，ABC 为正三角形. 故选：C5．已知在ABC 中，()33323a b c c a b c +-=+-，且sin 2cos sin CA B=，则该ABC 的形状为（ ）[附：()()3322a b a b a b ab +=++-]A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形；由此可得ABC 形状，20A <<ABC ∴为等边三角形故选：D.6．ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，若222ABC a b c =+-，且()0||||AB ACBC AB AC +⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．等腰非直角三角形 B ．三边均不相等的直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形)0||||AB ACBC AB AC +⋅=，可判断ABCS 可得2cos 2ab C =，由()0||||AB AC BC AB AC +⋅=可得7．在∵ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A =，则∵ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形8．已知角,,A B C 是ABC 的内角，向量()()sin ,sin ,cos ,cos m A B n A B ==且m 与n 共线，则可以判断ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形【答案】A【分析】根据向量共线的坐标运算，可得sin cos sin cos A B B A =，根据角A 、B 的范围，即可得tan tan A B =，即可得答案.【详解】因为m 与n 共线， 所以sin cos sin cos A B B A =， 所以in 0()s A B -=因为,(0,)A B π∈，所以(,)A B ππ-∈-， 所以0A B -=，即A B =，所以 ABC 为等腰三角形， 故选：A9．在ABC ∆中，若222cos cos 2sin A B C +>-，则ABC ∆的形状是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．无法判断10．已知在ABC 中，22tan tan A a B b =，判断ABC 的形状为（ ）. A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．等腰直角三角形【详解】tan tan A a B b =sin sin A B=，∴sin 2B =B 或2+2A 或+=A B πABC 是等腰或直角三角形故选：C ．【点睛】判断三角形形状的常用技巧若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A B C +＝这个结论．11．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(cos cos )a b c A B +=⋅+，则ABC ∆的形状是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能判断12．在ABC 中，a ，b 分别是角A ，B 的对边，若cos cos a bB A=成立，那么ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．无法判断【详解】ABC 中，sin 2A B =2B =或2A +所以ABC 是等腰三角形或者直角三角形故选：C.。
重点突破：判断三角形解的个数问题
0
=
b sinB
，即 1 =
2
3
3 3 sinB
∴B=60°或 B=120°． 故选：C . 点睛：本题主要考查正弦定理解三角形，属于简单题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个
主要依据. 解三角形时， 有时可用正弦定理， 有时也可用余弦定理， 应注意用哪一个定理更方便、 简捷一般来说 , 当条件中同时出现 ab 及b2 、a2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运 用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 5．D 【解析】分析：利用正弦定理即可得出. 详解：由正弦定理可得：
5 1 , B 1500 符合两解。选 D. 9 2
bsinA 0 ， A 中 sinB 1, B 90 ， 1 解， 不符。 C 中 sinB 2 1 ， a
【点睛】
在己知两边一对角的题型中，有钝角或直角最多一解，己知角所对边为大边，最多一解，其余情况根据三角形内 角和 180 ，大边对大角来判断。 4．C【解析】分析：利用正弦定理求出 sinB，得出 B，利用内角和定理进行检验． 详解：由正弦定理得 ∴sinB= ．π 2π π源自）B.2π 3
C.
π 3
D.
π 4
2．已知 ABC 中， a A. 0 个 B. 1个
0
2, b 3, A 45 ，则三角形的解的个数（
D. 0 个或 1个
）
）
C. 2 个
3．在 ABC 中，利用正弦定理理解三角形时，其中有两解的选项是（ A. a 3, b 6, A 30 B. a 6, b 5, A 150 D. a
数三角形个数的规律技巧
数三角形个数的规律技巧数学中有一个有趣的问题，就是关于三角形个数的规律和技巧。
在这篇文章中，我们将探讨一些关于数三角形个数的规律和技巧，希望能给读者带来一些启发和思考。
让我们从一个简单的问题开始。
给定一个正整数n，我们想知道在一个大小为n的正方形网格中，可以构成多少个三角形。
当n=1时，由于只有一个点，所以无法构成三角形。
当n=2时，有四个点，但是这四个点无法构成三角形。
当n=3时，有九个点，其中可以构成一个三角形。
当n=4时，有十六个点，其中可以构成四个三角形。
当n=5时，有二十五个点，其中可以构成十个三角形。
通过以上的观察，我们可以得出一个规律：对于一个大小为n的正方形网格，可以构成的三角形个数为n^2。
这是因为每个点都可以与其他n-1个点构成一条边，所以总的边数为n*(n-1)。
然后，每三个点可以构成一个三角形，所以总的三角形个数为n*(n-1)*(n-2)/6。
将n^2带入公式中，可以得到n*(n-1)*(n-2)/6=n^2。
接下来，让我们来看一个稍微复杂一些的问题。
假设我们有一个大小为n的等边三角形，我们想知道在这个等边三角形中可以构成多少个三角形。
首先，我们可以观察到一个重要的规律：任意三个不在同一条直线上的点可以构成一个三角形。
因此，我们可以根据这个规律来计算三角形的个数。
当n=1时，由于只有一个点，所以无法构成三角形。
当n=2时，有三个点，但是这三个点无法构成三角形。
当n=3时，有六个点，其中可以构成一个三角形。
当n=4时，有十个点，其中可以构成四个三角形。
当n=5时，有十五个点，其中可以构成十个三角形。
通过以上的观察，我们可以得出一个规律：对于一个大小为n的等边三角形，可以构成的三角形个数为n*(n-1)*(n-2)/6。
这是因为每个点都可以与其他n-1个点构成一条边，所以总的边数为n*(n-1)/2。
然后，每三个点可以构成一个三角形，所以总的三角形个数为n*(n-1)*(n-2)/6。
三角形解的个数问题
05
三角形解的个数问题的扩 展和深化
三角形解的个数问题的推广
要点一
推广到多边形
要点二
推广到组合优化
将三角形解的个数问题推广到多边形，研究多边形的可解 性、解的个数和最优解等问题。
将三角形解的个数问题看作是组合优化问题的一种，研究 其他组合优化问题的解法，如旅行商问题、排班问题等。
三角形解的个数问题的变种
详细描述
在几何问题中，三角形解的个数问题通常涉及到三角形边长和角度的条件约束。根据三角形的性质， 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。同时，角度的条件也会影响三角形解的个数。 通过分析这些条件，可以判断三角形解的个数。
三角函数中的三角形解的个数问题
总结词
三角函数中的三角形解的个数问题主要 涉及到三角函数的性质和图象，通过分 析三角函数的性质和图象，判断三角形 解的个数。
考虑三角形边的长度
在三角形解的个数问题中，可以考虑 三角形的边长限制，研究不同边长条 件下三角形的可解性。
考虑三角形角度
在三角形解的个数问题中，可以考虑 三角形的角度限制，研究不同角度条 件下三角形的可解性。
三角形解的个数问题与其他数学知识的结合
与几何学结合
将三角形解的个数问题与几何学知识相结合，研究几 何图形中的可解性问题，如多边形、曲面等。
与图论结合
将三角形解的个数问题与图论知识相结合，研究图论 中的可解性问题，如子图、路径、连通性等。
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三角形解的个数问题
目 录
• 三角形解的个数问题的定义和分类 • 三角形解的个数问题的基本定理和公式 • 三角形解的个数问题的应用实例 • 三角形解的个数问题的解题技巧和方法 • 三角形解的个数问题的扩展和深化
三招破解三角形解的个数问题
三角形解的个数成绩之杨若古兰创作学了正、余弦定理后，很多同学为判断三角形的解的个数而烦恼．晓得3边，2角1边，2边及其夹角时不会出现两解；在已知三角形的两边及其中一边的对角（即“边边角”）的条件下解三角形时，解的个数有几个呢？一解，二解还是无解？《必修5》在第8页到第9页的“探究与发现”《解三角形的进一步讨论》有具体说明．即在已知ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理求出sin B 的值，①若该值大于1，与sin 1B ≤矛盾，则无解；②若该值小于或等于1，则要考虑a ，b 的大小关系及A 为锐角还是钝角：若A 是钝角，且该值小于1，则有1解，若该值等于1，则无解； 若A 是锐角，且b a >，则有1解；若b a <，且该值小于1，则有2解；b a <，且该值等于1，则有1解． 但分类条理多，分类种数多，重视形，又指定边角，不容易被先生所接受．即本节能理解，操纵利用起来也很不方便．上面提供“几招”供同学们选择，但愿能帮忙同学们顺利破解．第一招：大角对大边在已知ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，普通的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求出B 的值，根据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC ∆中，已知a =b =45B =︒，求A 、C 及c ．解：由正弦定理，得sin sin2a B A b ===，∵4590B =︒<︒，b a <，∴60A =︒或120︒．当60A =︒时，75C =︒，sin 75sin sin 452b Cc B ︒===︒；当120A =︒时，15C =︒，sin sin sin 45b C c B ︒===︒． 点评：在三角形中，sin sin a b A B A B >⇔>⇔>这是个隐含条件，在使用时我们要留意发掘．第二招：二次方程的正根个数普通地，在ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，经常可对角A 利用余弦定理，并将其清算为关于c 的一元二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该方程无解或只要负数解，则该三角形无解；若方程有一个负数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的负数解，则该三角形有两解．【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB =， 60BDA ∠=︒，135BCD ∠=︒，求BC 的长．解：在ABD ∆中，设BD x =，由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒，清算得210960x x --=，解得16x =．由正弦定理，得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采取正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．第三招：画圆法已知ABC ∆中，A 为已知角（90≠︒），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使AC边长为已知长度，最初以顶点C 为圆心，以CB 边长为半径画圆，看该圆与A 的另一边是否有交点，如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2．【例3】在ABC ∆中，60A ∠=︒，a =3b =，则ABC ∆解的情况（） （A ）无解（B ）有一解（C ）有两解（D ）不克不及确定 解：在A 的一边上确定顶点C ，使3AC b ==，作60CAD ∠=︒，以顶点C 为圆心，觉得CB a ==看该圆与AD 没有交点，则说明该三角形的解的个数为0，故选A ． A B C D A b C a D。
正弦定理三角形解的个数问题
正弦定理三角形解的个数问题1. 引言大家好，今天我们要聊的可是个既有趣又让人挠头的问题，那就是正弦定理在三角形解的个数上的奥秘。
听起来可能有点复杂，但别担心，我会把它说得通俗易懂。
正弦定理，简单说就是在一个三角形里，任意一边的长度与它对角的正弦值成比例。
想象一下，三角形就像我们生活中的各种关系，千变万化，却又有些固定的规则，今天就来看看这些规则背后的故事。
2. 正弦定理的基本概念2.1 正弦定理是什么？首先，正弦定理是个非常好用的工具。
当我们知道一个三角形的两边和一个角时，我们就能找到其他边和角。
是不是很酷？比如说，咱们有个三角形ABC，已知边a、b 和角C，这时候就可以用正弦定理来找出其他的边和角。
就像在拼图，先有几个关键的拼块，再把其他的慢慢拼上去，最后形成一个完整的图案。
2.2 为何解的个数很重要？那么，解的个数究竟有多重要呢？想象一下，你在计划一次旅行，手里有几种选择的路线。
每一条路线都能带你去不同的目的地，这就是三角形解的个数的重要性。
可能出现一个解、两个解，甚至没有解！每个解都代表了不同的可能性，仿佛生活中那些看似平常却充满变数的选择。
3. 解的个数分析3.1 一解、二解和无解的情况接下来，我们要深入探讨一下正弦定理带来的这些解的个数。
一开始，如果你有一个边和两个角，基本上可以确定出一个独特的解，没啥争议。
但是，假如你只有两个边和一个角，那就有点意思了。
有时候，你可能会得到两个解！就像是双胞胎，虽然看上去一样，却有着各自不同的命运。
再比如，如果你发现某个角的对边比其他边的长度大，那就可能没有解，简直像一场失落的约会，让人心碎。
3.2 三角形的不唯一性再往深了说，三角形的解并不总是那么简单。
想想你喜欢的电影，有时候结局不止一个！在正弦定理中，特别是在不规则的三角形中，解的个数可以变得复杂得多。
有时我们需要考虑三角形的内外角，甚至需要引入余弦定理来帮助我们。
这就像你在厨艺比赛中，突然发现你的秘方需要调配出两道菜，真是让人措手不及！所以，准备好应对各种情况，才能在这个数学的迷宫中游刃有余。
解三角形判断有几个解
解三角形判断有几个解解三角形判断有几个解：a小于b，sinA无解；a小于等于b，无解；a=b，sinA一解；a大于b，一解；其余的两解。
已知条件：一边和两角一般解法：由A+B+C=180°，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时，有一解。
已知条件：两边和夹角一般解法：由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180°求出另一角，在有解时有一解。
已知条件：三边一般解法：由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180°，求出角C在有解时只有一解。
已知条件：两边和其中一边的对角一般解法：由正弦定理求出角B，由A+B+C=180°求出角C，再利用正弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。
（或利用余弦定理求出c边，再求出其余两角B、C）①若a>b，则A>B有唯一解；②若b>a，且b>a>bsinA有两解；③若a<bsinA则无解。
正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R2R在同一个三角形中是恒量，R是此三角形外接圆的半径。
变形公式1a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC2sinA:3asinB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB4sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R面积公式5S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC S=1/2底·h原始公式余弦定理a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。
变形公式cosC=a2+b2-c2/2abcosB=a2+c2-b2/2accosA=c2+b2-a2/2bc感谢您的阅读，祝您生活愉快。
三角形解的个数问题专题
第 1 页 共 3 页解三角形专题2三角形解的个数问题1 已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，并指出有几解？(1) 78105a ,b ,A ==∠=(2) 102080a ,b ,A ==∠=(3) 1060b ,c C ==∠=(4) 630a ,A ==∠=答案:(1) 90A ∠>而a b <，故无解(2) 90A ,a b sin Ab ∠<<<，故有无解(3) c b >，故有一组解(4) 90A ,b sin A a b ∠<<<，故有两组解2在△ABC 中，A =45°，AB =3，则“BC=2”是“△ABC 只有一解且C =60°”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既为充分也不必要条件另解法法1：大角对大边在已知ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求出B 的值，根据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC ∆中，已知a =b =45B =︒，求A 、C 及c ．第 2 页 共 3 页解：由正弦定理，得sin sin a B A b ===4590B =︒<︒，b a <，∴60A =︒或120︒． 当60A =︒时，75C =︒，sin 75sin sin 452b Cc B ︒===︒； 当120A =︒时，15C =︒，sin sin b C c B ===． 点评：在三角形中，sin sin a b A B A B >⇔>⇔>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘． 法2：二次方程的正根个数一般地，在ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解． 【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB =， 60BDA ∠=︒，135BCD ∠=︒，求BC 的长．解：在ABD ∆中，设BD x =，由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒，整理得210960x x --=，解得16x =．由正弦定理，得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒ 点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．法3：画圆法已知ABC ∆中，A 为已知角（90≠︒），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使AC边长为已知长度，最后以顶点C 为圆心，以CB 边长为半径画圆，看该圆与A 的另一边是否有交点，如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2．A BCD第 3 页 共 3 页 【例3】在ABC ∆中，60A ∠=︒，a =3b =，则ABC ∆解的情况（ ） （A ）无解 （B ）有一解 （C ）有两解 （D）不能确定 解：在A 的一边上确定顶点C ，使3AC b ==，作60CAD ∠=︒， 以顶点C 为圆心，以CB a ==AD 没有交点， 则说明该三角形的解的个数为0，故选A ．A b Ca D。
三角形解的个数问题
三角形解的个数问题《三角形解的个数问题》嘿，你知道三角形解的个数问题吗？这可真是个超级有趣又有点烧脑的事儿呢。
我记得有一次啊，我们数学老师在黑板上画了一些三角形的草图，然后就开始讲这个三角形解的个数。
当时我就想，不就是三角形嘛，能有多复杂呢？可等老师一讲，我才发现这里面的学问可大着呢。
咱们先来说说，啥时候三角形的解是唯一的。
就像我们搭积木一样，如果给你三条确定长度的小棒，只要这三条小棒的长度能满足一定的条件，那你只能搭出一种三角形。
比如说，三条边分别是3厘米、4厘米和5厘米。
这就像是一把钥匙只能开一把锁一样，这个三角形的形状和大小就被这三条边给确定得死死的，不会有第二种可能啦。
这时候，我们就说这个三角形有唯一解。
你想啊，如果边的长度都确定了，这个三角形就像是被定住了一样，还能有别的样子吗？肯定不能呀。
可是呢，事情没那么简单哦。
有时候三角形的解可不是唯一的呢。
比如说，已知一个角和两条边，这里面就有很多种情况啦。
就像你在一个大操场上，知道从一个点到另外两个点的距离，还有这两个点之间连线和某个方向的夹角。
这时候你去确定这三个点构成的三角形，可能就会有不同的结果。
我跟我同桌就经常讨论这个事儿。
我同桌特别聪明，他说就好比我们在玩捉迷藏，你知道了一部分关于藏起来的人的信息，但是这些信息可能会指向不同的地方。
我觉得他这个比喻特别形象呢。
当已知一个锐角，还有这个锐角的一条邻边和一条对边的时候，你得好好想想这个三角形到底有几种可能。
有时候你会发现好像有两个地方都能藏着那个“三角形”呢。
这就好比你有两个可能的藏身之处，到底哪个才是正确的呢？这就得根据边和角的具体大小关系来判断啦。
再说说已知两边和其中一边的对角的情况。
这就更像一场神秘的探索之旅了。
比如说，有两条边长度是固定的，然后有一个角是其中一条边的对角。
这时候这个三角形可能有一个解，也可能有两个解，甚至可能没有解哦。
这就像你要去寻找一个宝藏，你有了一些线索，但是这些线索可能会带你走向不同的结果。
数三角形个数的规律技巧
数三角形个数的规律技巧
数三角形个数的规律技巧可以通过以下方式来实现：
1. 给定n个点，不共线的三点可以构成一个三角形。
因此，我们可以从这n个点中任选3个点来构成一个三角形。
由于选择的顺序并不重要，所以三角形的个数为C(n, 3)个，其中C表示组合数。
2. 可以根据三角形的性质来确定规律。
一个三角形要求三边满足三角不等式：任意两边之和大于第三边。
因此，我们可以遍历给定的边长，再通过边长的组合来确定唯一的三角形。
例如，给定边长为5的三角形，我们可以遍历边长从1到5，再用这些边长进行组合，通过三角不等式来确定合法的三角形。
3. 对于一个正多边形，如正五边形或正六边形，可以使用特定的公式来计算其内部三角形的个数。
例如，正n边形的所有三角形个数可以通过公式T(n) = (n-2)(n-1)n/6来计算，其中T(n)表示正n边形内部的三角形个数。
4. 使用递归算法可以有效计算包含重叠三角形的复杂结构中的三角形个数。
通过不断地划分区域，并计算每个划分区域中的三角形个数，最后将所有区域中的三角形个数相加，即可得到整个结构中的三角形个数。
总结：计算三角形个数的规律技巧可以包括组合数的计算、三角形性质的利用、特定多边形的公式以及递归算法的应用等。
这些技巧可以帮助我们在解决问题时更加高效地计算三角形的个数。
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三角形解的个数问题解析
对于三角形个数问题，主要有两种方法进行判断，在具体的做题过程中，大家需要熟练运用，本文重点给大家梳理一下第二种方法，画圆法。
方法一、大角对大边，正弦定理求解
在已知的ABC 的边长,,a b A ，且已知,a b 的大小关系时，常利用正弦定理结合“大角对大边”来判断三角形解的个数。
例、在ABC
中，已知45,a b B ===︒，求,,A C c 。
分析：由正弦定理可得，
sin sin 2a B A b ==因为459060,120B A =︒<︒∴=︒︒，所以这个地方A 的值就有两个了。
剩下的就不再进行赘述。
注意的是，往往很多时候，sin sin a b A B A B >⇔>⇔>，这是一个隐含条件，大家要记得挖掘使用。
方法二、画圆法
方法说明：已知ABC 中，A 为已知角（这个地方先不讨论直角），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使AC 边长为已知长度，最后以顶点C 为圆心，以BC 边长为半径画圆，看该圆与A 的另一边是否有交点，如果没有交点，则说明三角形的个数为0个；若有一个交点，则说明该三角形解的个数为1个；若有两个交点，则说明该三角形解的个数为2个。
详细步骤：
①当A
为钝角或者直角时：
如上图所示，只有当
a b>时才能有一解，否则无解。
②当A为锐角时：
Case1、如果a b≥，则只有一解。
Case2、如果a b<，可以细分为以下三种情况：
◎若
sin
a b A
>，则有两个解；
画图说明：
◎若
sin
a b A
=，则只有一解；
◎若
sin
a b A
，则无解。