z变换

第八章 离散时间系统的
Z域分析
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本章的主要内容
z变换定义、典型序列的z变换 z变换的收敛域 逆z变换 z变换的基本性质 z变换与拉氏变换的关系 利用z变换解差分方程 离散系统的系统函数
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第一节 引言
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一、Z变换方法的发展历史
Hale Waihona Puke Baidu
(n)
1
2单位阶跃序列 u(n) Z z , z 1
z 1
3斜变序列 nu(n)
Z
z
z
12
, z
1
0 u(nn) 1
0
n
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典型序列的Z变换
4单边指数序列 anu(n)
Z z za
5单边正弦序列 sin(n0)u n
Z
1 2 j
z z e j0
z z e j0
1730年，英国数学家棣莫弗（De Moivre 1667-175 4)将生成函数（generation function)的概念引入概 率理论中。
19世纪拉普拉斯（P.S.Laplace)至20世纪的沙尔 （H.L.Seal)等人贡献。
20世纪50，60年代z变换成为重要的数学工具。
z变换的地位与作用：类似于连续系统中的拉普拉 斯变换。
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Z变换定义
其中复变量 z esT ,s j；
X(z)也称x(n)的生成函数， 是z-1的幂级数或洛朗级数
Z变换的应用：非因果序列也有一定应用， 着重单边Z变换分析同时 适当兼顾双边Z变换分析。
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二、 典型序列的Z变换
1 单位样值序列 (n) Z1
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z变换的定义
X (z) x(n)zn n0
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第二节 Z变换定义、 典型序列的z变换
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一、Z变换定义
Z变换定义
序列的Z变换：
设某序列为x(n)
则其单边Z变换 X(z)=Zx(n) x(n)z-n n0 双边Z变换 X(z)=Zx(n) x(n)z-n n
级数收敛的充分条件：
x(n)z-n
n=-
(1)比值判定法： 设一个正项级数 an ,
n=-
令其 lim n
a n+1 an
则当 1时，级数收敛；
当 1时，级数发散。
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Z变换的收敛域
(2)根值判定法： 设一个正项级数 an , n=-
令其 lim n n
an
0 z
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几类序列的Z变换收敛域
2）n1<0,n20时，除z=外，X(z)在z平面上处处收 敛。即收敛域为：
z 3）敛n1。0即,n收2>敛0时域，为除：z=0外，z X(z0)在z平面上处处收
所以，有限长序列的z变换收敛域至少为：
0 z 且有可能包括z= 或z=0点。
则当 1时，级数收敛；
当 1时，级数发散。
（常用序列的收敛域参见p.52表8-1）
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二、几类序列的Z变换收敛域
1、有限长序列 此序列只在有限的区间(n1n n2)具有非零的有
限值，此时，Z变换为：
n2
X(z)= x(n)z-n nn1
1）上n1处<0处,n收2>敛0时。，即除收z敛=域及为z：=0外，X(z)在z平面
n2
推导: X(z)= x(n)z-n n
若令m=-n,上式变为:
X(z)= x(-m)zm m=-n2
根据根值判别法:
即X(z)= x(-n)zn n=-n2
lim n x(-n)zn <1
n
即: z
lim n
1 x(-n)
Rx 2
n
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几类序列的Z变换收敛域
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一、 Z变换的收敛域
收敛域(ROC:region of convergence)：
对任意给定的有界序列x(n), 使其z变换定义式级数收敛的所有z值集合
收敛域的说明： 单边变换中序列与变换式、收敛域唯一对应； 双边变换中序列与变换式、收敛域不唯一对应。
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Z变换的收敛域
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几类序列的Z变换收敛域
2、右边序列
此序列是有始无终的序列，即当(n<n1时x(n)=0),
此序列的Z变换为：
X(z)= x(n)z-n
nn1
根据根值判别法:
lim n x(n)z-n <1
n
即: z
lim n n
x(n) Rx1
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几类序列的Z变换收敛域
看出：
z Rx1
则该级数收敛.其中Rx1是级数的收敛半径. 可见：右边序列的收敛域是半径为Rx1的圆外部分。
1）如果n10，则收敛域包括z=。即收敛域为
z Rx1
2）如果n1<0，则收敛域不包括z=。即收敛域为
Rx1< z
3边）序如列果的n一1=种0，特则殊右情边况序，列其变收成敛因域果为序：列，即因果序列是右
z Rx1
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几类序列的Z变换收敛域
3、左边序列
此序列是无始有终的序列，即当(n>n2时,x(n)=0), 此序列的Z变换为：
n2
X(z)= x(n)z-n n
其收敛域为:
z Rx2
则该级数收敛.其中Rx
是级数的收敛半径.
2
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几类序列的Z变换收敛域
z2
z sin 0 2z cos0
, 1
z 1
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典型序列的Z变换
6单边余弦序列 cos(n0)un
Z
1 2
z z e j0
z z e j0
z
z( 2
z 2z
cos0 cos0
)
1
,
z 1
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第三节 Z变换的收敛域
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可见,左边序列的收敛域是半径为Rx
的圆内部分.
2
z Rx2
1）如果n20，则收敛域不包括z=0。即收敛域为
0 z Rx2
2）如果n20，则收敛域包括z=0。即收敛域为
z Rx2
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几类序列的Z变换收敛域
4、双边序列
双边序列是从n=- 延伸到n=+ 的序列，此序列的 Z变换为：
1
X(z)= x(n)z-n
x(n)z-n x(n)z-n
n
n
n0
双边序列看成右边序列和左边序列的z变换叠加。
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几类序列的Z变换收敛域
其收敛域为:两级数收敛域的重叠部分. Rx1 z Rx2 Rx2 Rx1