椭圆定值定点、范围问题总结

椭 圆

一、直线与椭圆问题的常规解题方法:

1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别）

2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）

3.联立方程组；

4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）

5.根据条件重转化；常有以下类型：

①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在） ②“点在圆内、圆上、圆外问题”

⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题”⇔12120x x y y +>等； ③“等角、角平分、角互补问题” ⇔斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题”

（如：AQ QB λ= ⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ⇔坐标与斜率关系；

⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）； 6.化简与计算；

7.细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想：

1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；

2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；

3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，

5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数

的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；

6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；

椭圆中的定值、定点问题

一、常见基本题型：

在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。 （1）直线恒过定点问题

1、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012

x x

y y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。 2、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为

2

2

，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点。（1）求P 点坐标；（2）求证直线AB 的斜率为定值；

3、已知动直线(1)y k x =+与椭圆22:

1553

x y C +=相交于A 、B 两点,已知点 7

(,0)3M -， 求证：MA MB ⋅为定值.

4、 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2

2:13

x C y +=.如图所示，斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -.（Ⅰ）求22m k +的最小值；（Ⅱ）若2

OG OD =∙OE ，求证：直线l 过定点； 椭圆中的取值范围问题 一、常见基本题型：

对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解.

（1）从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。

5、已知直线l 与y 轴交于点(0,)P m ，与椭圆2

2

:21C x y +=交于相异两点A 、B ，且3AP PB =，求m 的取值范围． （2）利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范围. 6、已知点(4, 0)M ，(1, 0)N ，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若181275

NA NB -⋅-≤≤，求直线l 的斜率的取值范围. (3)利用基本不等式求参数的取值范围

7、已知点Q 为椭圆E ：22

1182

x y +=上的一动点，点A 的坐标为(3,1)，求AP AQ ⋅的取值范围．

8.已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上.若右焦点到直线220x y -+=的距离为3.（1）求椭圆的方程. （2）设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N .当||||AM AN =时，求m 的取值范围.

9. 如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:2

2

定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足

N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E .

（I ）求曲线E 的方程；

（II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两

点,G H （点G 在点,F H 之间），且满足FH FG λ=， 求λ的取值范围.

10、.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为)0,1(-A 、)0,1(B ，一个顶点为)0,2(H . （1）求椭圆E 的标准方程；

（2）对于x 轴上的点)0,(t P ，椭圆E 上存在点M ，使得MH MP ⊥，求t 的取值范围.

11.已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为22

，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线

20x y -+=相切．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若过点M (2，0)的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OP t OB OA =+（O 为坐标原

点），当PB PA -＜

25 时，求实数t 取值范围．

椭圆中的最值问题

一、常见基本题型：

（1）利用基本不等式求最值，

12、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为

2

2

，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交 椭圆于A 、B 两点，求△PAB 面积的最大值。 （2）利用函数求最值，

13.如图，DP x ⊥轴，点M 在DP 的延长线上，且||2||DM DP =．当点P 在圆2

2

1x y +=上运动时。 （I ）求点M 的

轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点2

2

(0,)1T t y +=作圆x 的切线l 交曲线 C 于A ，B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标。