2-3 平面杆件体系的计算自由度

§2-3 平面杆件体系的计算自由度

1. 教学要求

掌握实际自由度和计算自由度的计算方法。

2. 本节目录

•1. 实际自由度S和计算自由度W

•2. 部件和约束

•3. 平面体系的计算自由度W的求法(1)

•4. 平面体系的计算自由度W的求法(2)

•5. 思考与讨论

3. 参考章节

1.《结构力学教程(Ⅰ)》，pp.28-32。

2. §2-1 基本概念

2.3.1 实际自由度S 和计算自由度W

S= （各部件自由度总和a）－（非多余约束数总和c）--- (2-1)

S：体系是由部件加上约束组成的。首先假设体系中各个约束都不存在，在此情况下计算各部件的自由度数的总和为a；其次在全部约束中确定非多余约束数c；最后将两个数相减得出体系的自由度数s。

图2-32S = 1×１－１= 0，

非多余约束数 c = 2 ，

多余约束数n = １，

但是复杂情况难以找全多余约束。

在复杂体系中很难分清全部约束中哪些是多余约束和非多余约束。因此引入计算自由度的概念W。

W = （各部件自由度总和 a ）－ （全部约束数总和 d ） --- (2-2)

由于全部约束数d 与非多余约束c 的差数是多余约束n ，则 n W S =- （2－3）

对于自由度S 与多余约束都不是负数即：0,0≥≥n S ，因此： W S ≥， W n -≥

即W 是自由度数S 的下限，而－W 则是多余约束数n 的下限。

2.3.2 部件和约束

1. 部件可以是点，也可以是刚片

在几何构造分析时要注意刚片内部是否有多余约束。

图2-32a

图2-32b 图2-32c 图2-32d 一根链杆 一个铰 一个刚结 n = 0

n = 1

n = 2

n = 3

在计算体系的约束总数时也应当考虑刚片内部的多余约束。 2. 约束可分为单约束和复约束

在几何构造分析时要将复约束简化为几个单约束。

图2-33a

图2-33b

(图中复铰相当两个单铰)

m = 2 , h = 1 m = 3 , h = 2

S = 3 × 2 - 2 × 1 = 4S = 3 × 3 - 2 × 2 = 5

图2-34a

图2-34b

(图中复刚结相当两个单刚结)

m = 2 , g = 1m = 3 , g = 2

S = 3 × 2 - 3 × 1 = 3S = 3 × 3 - 2 × 3 = 3

结论1：一般说来，联结n 个刚片的复铰(复刚结)相当于(n-1)个单铰(单刚结)。

图2-35a

图2-35b

(图中复链杆相当三个单链杆)

j = 2 , b = 1j = 3 , b = 3

S = 2× 2 - 1 = 3S = 2 × 3 - 3 = 3结论2：联结n 个结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。

2.3.3 平面体系的计算自由度W的求法

1. 刚片系

部件(约束对象)数：刚片数m ；

约束数：单铰数h ，简单刚结数g ，链杆数 b 。（固定铰支座＝2支杆；固定端＝3支杆）

W = 3m - 2h - 3g - b---------------------- (2-4)

例1.求如下图示刚片系的计算自由度

图2-36a图2-36b

m = 7，h = 4，g = 2，b = 6m = 5，h = 4，b = 6

W = 3×7 - 2×4 - 3×2 - 6 = 1 >0W = 3×5 - 2×4 - 6 = 1 > 0

注意：因W的计算以地基为参照系，因此地基刚片不计入刚片m。

（1）简单结点数g（刚结点）和h（铰结点）是指连接两个对象（刚片）的结点数。因此，只连接一个刚片的结点如上图的A、B、C均不计入g和h。

（2）遇到复铰化单铰。

（3）刚片还可以指一个内部几何形状不变的局部，这时体系内刚片与刚片之间无刚结点相连，g＝0，其计算公式：

()d

-

3。

+

=2

W+

b

h

m

其中d表示刚片内的多余约束总数。

练习题：试求图示所示体系的计算自由度。

解：

m = 9，h = 7，g = 4，b = 3m = 8，h = 9（DEF都是复铰，HIJ是单铰），b = 9（三根支杆+两个固定支座）

W = 3×9 - 2×7 - 3×4 - 3 = -2 ＜0W = 3×8 - 2×9 - 9 = -3 ＜0注意：组合结点计算铰结点按照三个刚片计算

2. 链杆系

约束对象：结点数j ；（包括支座结点数）

约束数：链杆(含支杆)数b 。（固定铰支座＝2支杆；固定端＝3支杆）W = 2j - b--------------------------------- (2-5)

例2.求如下图示链杆系的计算自由度

j = 5，b = 10

W = 2×5 - 10 = 0

S = 0

n = 0

图2-37

注意：（1）遇到复链杆化单链杆。

（2）若链杆内部有多余约束则计算公式为：

()d

-

=2d为内部多余约束数。

j

W+

b

3. 混合系

约束对象：刚片数m ，结点数j （它是除与作为对象的刚片相连的铰结点外的所有铰结点数）

约束条件：单铰数h ，简单刚结数g ，单链杆(含支杆)数b

W = (3m + 2j)-(3g + 2h + b)----------------

- (2-6)

m = 2（AC，BC），h = 1（C），g = 0，j =

2（D,E），b = 8（5个链杆和3个支杆）

W = (3×2+2×2)-(3×0+2×1+8) = 0

S = 0

n = 0

分析题：分别用三种方法计算下图所示结构的计算自由度W。

解：（1）刚片系： m=2(AGDEHB和EFC两个刚片)；h=1(E 点)；b＝4；d＝3（内部多余约束）

则：()3

⨯

-

W

+

=

⨯

=

+

3

2

1

3-

2

（2）链杆系：j=4(A、B、C、E)；

b=8(E点与AGDEHB连接看成是复链杆则，2n-3=3个单链杆和单链杆EFC及四个支链杆共8个)；