电容元件及性质

t t0
p()dC t u()dud t0 d
C uu((tt0))udu12C[u2(t)u2(t0)]
若电容的初始储能为零，即u(t0)=0,则任意时刻储存在 电容中的能量为
W(t)1Cu2(t)
C
2
W(t0,t)
t p()dC t u()dud
t0
t0
d
C
uu((tt0))udu12C[u2(t)u2(t0)]
声明：
当 u，i为非关联方向时，上述微分和积分表达式前要冠以负号 ;
形式2的进一步说明：
在已知电容电流iC(t)的条件下，其电压uC(t)为
uC(t)C1
t
iC()d
1 C
0iC()dC1
0tiC()d
uC(0)C1 0tiC()d
(713)
其中 uC(0)C 1 0iC()d 称为电容电压的初始值。
例如，当1s<t<3s时，电
容电流iC(t)=0，但是电容电压 并不等于零，电容上的2V电
压是0<t<1s时间内电流作用的
结果。 定积分也可以用 求面积的方法获
图7-9
练习： 已知流过1F电容上的电 流，求电压
读例题6-1、 6-2
按求面积法 直读
例3 已知电压，求电流i、功率P (t)和储能W (t)
有隔断直流作用；
（3）实际电路中通过电容的电流 i为有限值，则电容电压u
必定是时间的连续函数.
形式2
电容元件VCR 的积分关系
u(t)C 1t idξC 1t0idξC 1tt0idξ
u(t0)C 1tt0idξ
解读：
（1）电容元件有记忆电流的作用，故称电容为记忆元件
（2）上式中u(t0)称为电容电压的初始值，它反映电容初始时 刻的储能状况，也称为初始状态。
Ou
单位
＋
－
u
C 称为电容器的电容, 单位：F (法) (Farad，法拉),
常用F，p F等表示。
关于电容器
关于电容器
§6－2 电容的VCR
形式1
C
i
＋
u
解读：
－
u、i 取关
联参考方向
i dq Cdu dt dt
电容元件VCR 的微分关系
（1）i 的大小取决于 u 的变化率, 与 u 的大小无关，电容 是动态元件； （2）当 u 为常数(直流)时，i =0。电容相当于开路，电容
练习：
如图(a)所示为一0.5F的电容，t=0时刻与电压源us(t)相
联接， us(t)的波形如图(b)所示，求电容电流ic(t)
按斜率直读
例2 已知流过电容电流，求电压
C=0.5F的电容电流波形如图 (b)所示，试求电容 电压uC(t)。
解：
根据图(b)波形的情况，按照时间分段来进行计算 1．当t0时，iC(t)=0，根据式7-13可以得到
5．当5st时，iC(t)=0，根据式7－13可以得到
u C ( t) C 1 t iC () d u C ( 5 ) 2 1 65 t 0 0 d 6 V + 0 6V
根据以上计算结果，可 以画出电容电压的波形如图(c) 所示，由此可见任意时刻电 容电压的数值与此时刻以前 的全部电容电流均有关系。
电容元件的定义
电容元件的定义是：如果一个二端元件在任 一时刻，其电荷与电压之间的关系由uq平 面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电 容元件。
u q
线性定常电容元件
任何时刻，电容元件极板上的电荷q与电流 u 成正比，q ~ u
特性是过原点的直线
q
qC uor Cq=曲 线 的 斜 率
u
电路符号
C
+q -q
解： uS (t)的函数表示式为:
0
us
(t
)
2t 2t
4
0
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
解得电流
0
i(t) C
dus dt
1 1
0
t 0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
＋
i
us(t) C
0.5F
－
u/V 2
电源波形
0
1
i/Aห้องสมุดไป่ตู้
1
-1
1
2 t /s 2 t /s
p(t) u(t)i(t)
u C (t) C 1 t iC ()d 2 160 t 0 d 0
2．当0t<1s时，iC(t)=1A，根据式7-13可以得到
u C (t)C 1 t iC ()du C (0 )2 160 0 t1 6 0 d02 t2 t
当 t 1 s时 u C (1 s)2 V
3．当1st<3s时，iC(t)=0，根据式7－13可以得到
在已知电容电压u(t)的条件下，用VCR形式1容易求出 其电流i(t)。 例如已知C=1F电容上的电压为u(t)=10sin(5t)V，其波形如 图7－7(a)所示，与电压参考方向关联的电流为
i(t) C du dt
10 6 d [10 sin( 5 t )] dt
50 10 6 cos( 5 t ) A 50 cos( 5 t ) A
解：
1.当0st1s时，uC(t)=2t，可以得到
i(t) C d u C 0 .5 1 6d 0 (2 t) 1 1 6 A 0 1A
C
d t
d t
2.当1st 3s时，uC(t)=4-2t，根据式7－12可以得到
iC ( t) C d d u t C 0 .5 1 6 d 0 ( 1 d t2 2 t) 1 1 6 A 0 1 A
电流超前电压90 度
例5 电容的性质与等效 解: (1)
(2)
(2)
(3) 等效电路为： 可否直接把时间 代人电压表达式
2011-04-19作业
• P246 • P261 • P262
练6-1、2、3（电容的VCR） 习6-1、3 （电容的VCR） 习6-4 （电容的VCR性质）
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3.当3st5s时，uC(t)=-8+2t，根据式7－12可以得到
iC ( t) C d d u tC 0 .5 1 6d 0 ( 8 d t2 t) 1 1 6 A 0 1 A
4.当5st时，uC(t)=12-2t，根据式7－12可以得到
iC ( t) C d d u t C 0 .5 1 6 d 0 ( 1 d t2 2 t) 1 1 6 A 0 1 A
电容的等效电路
例6-3
uC(t)C 1 tiC()d
1
C
t 0 iC()dC 1
t t0
iC()duC(t0)C 1
t0t iC()d
=U0+
1 C
tt0iC()d
t t0
t≥0时刻的等效 电路
电容的功率和储能
功率
puiuCdu dt
u、 i 取关
联参考方向
(1)当电容充电， u>0， d u 0 ，则i>0，q ， p>0, 电 dt
电容具有两个基本的性质
uC (t)C 1 t iC ()d C 1 0 iC ()dC 10 tiC ()duC (0)C 10 tiC ()d
(71)3
(1)电容电压的记忆性
电电容容电电压压有有““记记忆忆””电电流流的的作作 用用
从式（7－13）可见，任意时刻T电容电压的数值uC(T)， 要由从-到时刻T之间的全部电流iC(t)来确定。也就是说， 此时刻以前流过电容的任何电流对时刻T 的电压都有一定
综合举例
(1)电容元件VCR的微分关系 已知电容两端的电压，求电流
(2)电容元件VCR的积分关系 已知流过电容电流，求电压
(3)电容元件功率和储能
(4) 已知电压为正弦波，求电流i (5) 例6-3电容的性质与等效
例1 已知电容两端的电压，求电流
已知C=0.5F电容上的电压波形如图(a)所示，
试求电压电流采用关联参考方向时的电流iC(t),并画 出波形图。
W(t)1Cu2(t)
C
2
说明
（1）电容的储能只与当时的电压值有关，与电容的电流 值无关。电容电压不能跃变，反映了储能不能跃变；
（2）电容电压的绝对值增大时，电容储能增加；电容 电压的绝对值减小时，电容储能减少。
（3）电容储存的能量一定大于或等于零。
由于电容电压确定了电容的储能状态，称电容电压为状态变量。
0
2 t
2
t
4
0
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
W
C (t)
1 2
Cu
2(t)
0
t 0
t
2
(t
2)2
0 t 1s 1 t 2s
0
t 2s
p/W 2
吸收功率
0
1
-2
WC/J 1
2 t /s
释放功率
0
1
2 t /s
储能总是大 于等于0
例4 已知电压为正弦波，求电流i
的贡献。这与电阻元件的电压或电流仅仅取决于此时刻的
电流或电压完全不同，我们说电容是一种记忆元件。
(2)电容电压的连续性
即电容电流在闭区间[t1,t2]有界时，电容电压在开区间 (t1,t2)内是连续的。
这可以从电容电压、电流的积分关系式中得到证明。 将 t=T 和 t=T+dt 代 入 式 (7 － 13) 中 ， 其 中 t1<T<t2 和 t1<T+dt<t2得到 ：
uC(t)C 1 t iC()duC(1 )21601 t0d2V +0=2V
当 t3s时 uC(3s)2V
4．当3st<5s时，iC(t)=1A，根据式7－13可以得到
uC (t)C 1 t iC ()duC (3 )2 1603 t1 6 0 d 2+2 (3 t )
当 t5 s时 uC (5 s)2 V +4= V 6V
u u C (T d t) u C (T ) C 1T T d tiC ()dd t 0 0 当 i()有
读P248
当电容电流有界时，电容电压不能突变的性质，常用 下式表示
uC(t)uC(t)
对于初始时刻t=0来说，上式表示为
u(0)u(0)
C
C
利用电容电压的连续性，可以确定电路中开关发生作 用后一瞬间的电容电压值。
容吸收功率。
⑵当电容放电，u>0， d u 0，则i<0，q ，p<0, 电 dt
容发出功率.
说明
电容能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为电场能量 储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电容元 件是无源元件、是储能元件，它本身不消耗能量。
储能
从t0到 t 电容储能的变化量：
W(t0,t)
第2篇 动态电路的时域分析
重要思想
第六章 电容元件与电感元件
内容
1.电容元件及其特性和等效电路 2.电感元件及其特性和等效电路 3.电容、电感的串、并联等效
§6－1 电容元件 (capacitor)
电容器
q
在外电源作用下，两极板上分别带上等量 +
异号电荷，撤去电源，板上电荷仍可长久
_q
地集聚下去，是一种储存电能的部件。