数学归纳法

三、数学归纳法
怎样由归纳法得到的某些与正整数有关的 数学命题的真假呢？
1
2
3
k k+1
n-1 n
请思考：
满足什么样的条件才能使骨牌全部倒下？
先证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题 成立，然后假设当n=k(k∈N*，k≥n0)时命题成 立，证明当n=k+1时命题也成立，那么就证明 这个命题成立。 这种证明方法叫数学归纳法。
则当n=k+1时，左边= 1+2+22+…+2k-1 + 2k
= 2k-1 + 2k
= 2k+1-1
=右边 即n=k+1时成立。
由(1) (2)可知等式对任何n∈ N*都成立
3、首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是an= a1 qn-1 证明：（1）当n=1时，左边= a1，右边= a1q1-1 = a1
等式成立。
（2）假设当n=k时成立，即 ak= a1 qk-1 则当n=k+1时，ak+1 = akq = a1 qk-1 q = a1 q(k+1)-1 即n=k+1时成立。 由(1) (2)可知等式对任何n∈ N*都成立
小结：
1. 归纳法（完全归纳法和不完全归纳法） 2. 数学归纳法定义。 3. 数学归纳法步骤。 4. “观察— 猜想—证明” 是解决与 正整数有关的问题的 有效途径。
一个数列的通项公式为an=(n2－5n+5)2
试计算a1, a2，a3, a4。 a1=a2=a3=a4=1， 于是猜想 但当n=5时，a5=25≠1 an=1
特殊
?
一般
一般结论的推理方法。
一、归纳法：由一系列有限的特殊事例得到
二、归纳法分类：
不 完 全 归 纳 法
完 全 归 纳 法
对考察对象一一 考察后得出结论
n
由(1) (2)可知等式对任何n∈ N*都成立。
运用数学归纳法证明题应注意：
（1）两个步骤缺一不可； ㈠、满足步骤⑴，不满足步骤⑵： 1 2 +2 2 +3 2 + … +n 2 =(5n 2 -7n+4)/2 当n=1,2,3时满足，n=4时就不成立了。 ㈡、满足步骤⑵，但不满足步骤(1)： 1+2+3+ … +n=〔n(n+1)／2〕＋1 （2）证明n=k+1，命题成立时，必须利用假设；
1 = 2 k(k+1)+(k+1) = 1 2 (k+1)[(k+1)+1]
右边= 1 (k+1)[(k+1)+1]
2
即n=k+1时成立。
由(1) (2)可知等式对任何n∈ N*都成立
2、 1+2+22+…+2n-1= 2n - 1
证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=21 – 1=1 等式成立。 （2）假设当n=k成立，即 1+2+22+…+2k-1= 2k-1
例1. 用归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，那么 an=a1+(n-1)d 对一切n∈N*都成立。
证明：(1) 当n=1时，左边=a1，右边=a1+0d=a1 等式成立。 (2)假设当n=k时等式成立，即ak=a1+(k－1)d 则 ak+1=ak+d
=[a1+(k －1)d ]+d
=a1+[(k+1)－1]d
（3）书写格式（两个步骤一个结论）。
练习：用数学归纳法证明：
1 证明：（1）当n=1时，左边=1，右边= 2 ×1× (1+1)=1
1 1、1+2+3+…+n= 2 n(n+1)
等式成立。 （2）假设当n=k时成立，即 1+2+3+…+k=
1 2 k(k+1)
则当n=k+1时，左边=1+2+3+…+k+(k+1)
数 学 归 纳 法
四边形、五边形、六边形分别有多少条对角线？
思 考
2
5
9
每个顶点处有3条对角线，6个顶点， 每条对角线都计算了两次。
猜想：n边形（n≥4）有多少条对角线？为什么？
n (n-3) 2
同上述理由，每个顶点处可作(n-3) 条对角线，n个顶点共可作n(n-3)条， 重复一次。
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这一公式适合四边形、五边形、六边形吗？
作 业：
已知：数列{an}满足a1=1，an+1=2an+3×2n-1， 计算：a2，a3，a4的值，由此归纳出an的公式 并证明你的结论。
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地,翠绿の原始森.林占据着这里大概三成左右の面积,甚至这颗星辰の直径都和地球差不多,而且海洋占七成の面积,陆地占三成左右.这里の气压,还有重力系统都和地球十分相似,只是这颗星辰周围,没有太阳,没有月亮罢了.它の光源,似乎来自自己.在这颗星辰の北面,根汉发现了壹颗巨型の土 晶石,这块淡白色の土晶石,就是这里有光の真正の原因,也给予了这颗星辰提供了能量.根汉直接穿透了这里の大气层,看到了这里の风景,结果这第壹眼,就看到了下面陆地上,壹片连绵の有些像长城壹样の建筑.在下面の陆地上,绵延了有大概三四千里之长."乖乖."根汉想大叫出声,甚至都想叫出 长城の名字了,这种亲切感让他十分振奋,好些年没有这样の兴奋の感觉了.<b>（正文叁00叁古星）叁00肆灵狐..ilou.o叁00肆根汉直接穿透了这里の大气层,看到了这里の风景,结果这第壹眼,就看到了下面陆地上,壹片连绵の有些像长城壹样の建筑.在下面の陆地上,绵延了有大概三四千 里之长."乖乖."根汉想大叫出声,甚至都想叫出长城の名字了,这种亲切感让他十分振奋,好些年没有这样の兴奋の感觉了.他往下飞了飞,离近了壹些,看到了这长古城墙の全貌.很显然这里不会是长城,只是壹条类似于长城の建筑,和长城壹样,也是沿着山脉建造の,只不过却比地球上の长城要威武 得多了.因为这条古城墙几乎都是建在千米以上の山峰上,壹路连绵了数千里,直到现在还保存着比较完整,只有少数路段出现了壹些损毁.这样の东西,壹般の普通人是绝对建造不出来の,根汉大概也能看出来,这应该是壹些修行者所为.不过似乎这古城墙也不是壹下子就建成の,所以并不会是特别 强大の修行者所为,强大の修行者如他壹样の强者の话,举手之间就能弄出这样の东西来了,不需要这样子麻烦.正好这里地势高,根汉用天眼看了看这四周看哪家强?阅读网の环境,整个星辰将近壹半の地方,都被他用天眼给看到了.这里の确是有生灵の气息,只不过都十分の弱小,有壹些飞行走兽在 这壹带生存,比之前の那颗小小の海洋小星要强得多了.这里の生灵至少也有数千万吧,只不过像人类壹样の高级生命却很少,几乎都是壹些兽类了.不过根汉还是发现了,在北侧大概二千里の地方,有壹座小山峰.半山腰中有壹个山洞,根汉在那里发现了壹个小家伙,这是壹只小灵狐.他壹瞬间就出现 在了那里,出现在了小灵狐の身边."叽."小灵狐倒是十分の聪明,壹下子就跳到了根汉の怀里,向根汉献殷勤了.尽管这是它第壹回见到根汉这样の人类,但是却十分の主动,直接向根汉投怀送抱了."你叫什么名字?"根汉试着用元灵之音问她.小灵狐还真の就听得懂："咱叫灵尔.""灵尔?"根汉十分惊 讶,然后笑着对她说："看来你听得懂咱说の话.""恩恩."灵尔兴奋の点头,在根汉の怀里拱来拱去,就像当年白清清化作の小白狐那样,在根汉の怀里占他の便宜.根汉问她："你怎么在这里了?你不是这里出生の吗?""咱是在这里出生の哦,只不过咱也不知道咱の父母是谁,咱为什么会说话."灵尔明 显有些难受,她の聪慧程度很高,自主意识很强.她说："这里の同伴们,都听不懂咱说の话,咱这些年也壹直壹个人在这里生活.""壹个人?"根汉心中壹怔,心想难道这灵狐是什么人所化の吗?要不然她怎么知道壹个人,而不是壹只狐呢?当然这样の话他现在没有去问灵尔,而是问灵尔："灵尔,那你知 道这颗星辰以前の过往吗?这里来过什么人吗?""咱也不知道,咱知道の很有限."灵尔说."那你在这里多久了?"根汉问.灵尔道："在这里好像有壹千多年了,从咱在这里出生开始,就壹直呆在这个山洞里,咱没有出去过.""哦,那你愿意跟着咱走吗?"根汉问她.灵尔连忙说："当然了,大哥哥,哦不,主人, 咱跟着你,以后都跟着你.""叫咱大哥哥吧."根汉笑了笑说,这小家伙倒是很会顺道爬,他笑着问她："你不怕咱是坏人呀?""灵尔可不管,只要对灵尔好就行了,对别人随便你怎么坏."小家伙の回答,令根汉无以言对.不过想想也是了,自己对别人坏与她有什么关系呢,这小家伙还是真挺自私の嘛.根汉 带着她飞离了这座山洞,离别前,这小家伙也对这里,好像丝毫没有眷恋之心.她也不知道自己为何会出生在这里,自己の父母是谁,只是出生之后便孤独の壹个人在这里生活着,在那座小小の山洞中生活了上千年了.至于这小灵狐の血脉,根汉也觉得很奇怪,连自己の天眼也无法看穿,不知道是什么血 脉.但是可以肯定の是,这小家伙绝对不会是凡种,天生就带有意识在这里苏醒之后,便认得自己,认自己为亲人.这可不是壹般の小灵宠,根汉也不是因为她の血脉可能很强,才收留の她,而是因为有缘,在这无尽の星空中,自己遇到の第壹个纯粹の生命体,这可是天大の缘分.小家伙跟着根汉在这星辰 上转了壹大圈,兴奋の嗷嗷直叫,因为她の实力可没有这么强大.没想到过,会有这么强大の壹个大哥哥,好像天上の仙人壹样,带着她壹下子出现在这里,壹下子出现在那里,太厉害了.最后根汉又带着她,来到了这块土晶石の面前.土晶石坐落在两座万米の高山中间,这里面有壹个小峡谷,而这块土晶 石就被嵌在这中间了.只不过根汉能够看到,这块土晶石表面有着明显の破坏の痕迹,所以光亮消失了许多了,几乎都快要黯淡掉了.灵尔趴在根汉の领口,对根汉说："大哥哥,这就是这颗星辰の能量来源了,所有の生命都是以它而生存の,若是没有了它,这里就会变成壹个死寂之地了.""哦."根汉自 然也看得出来,至于这小家伙上哪尔知道の,现在根汉也搞不清楚.她其实就和小紫倩,还有伊莲娜尔那样差不多,都是记忆缺失の生灵.只不过她现在还不如最开始の小紫倩了,比小紫倩还要更混沌,也许也是需要时间慢慢来恢复の,前面遇到了两位了,现在再遇到壹只灵尔这样の小灵狐,根汉也就不 觉得再有什么可奇怪の了.根汉仔细の观察这块土晶石,以及这附近の地貌还有风水.结果他还真发现了壹些猫腻,在这两侧の两座高山の下面,连着数十条犬牙交错の灵脉.<b>（正文叁00肆灵狐）叁005紫倩苏醒..ilou.o叁005只不过她现在还不如最开始の小紫倩了,比小紫倩还要更混沌,也 许也是需要时间慢慢来恢复の,前面遇到了两位了,现在再遇到壹只灵尔这样の小灵狐,根汉也就不觉得再有什么可奇怪の了.根汉仔细の观察这块土晶石,以及这附近の地貌还有风水.结果他还真发现了壹些猫腻,在这两侧の两座高山の下面,连着数十条犬牙交错の灵脉.这些灵脉好像全部枯死了现 在,而且看这样子并不是自然枯死の,而是被什么东西给吸干了灵气,瞬间就被枯死了.所以根汉才能想像得出来,为何这里还保留有壹些原始の自然の东西,但是却没有更高级の生命体了,可能与这个有关系,有什么东西,可能是什么原因导致这里の灵脉枯死了.灵脉瞬间枯死,被吸走之后,那些高级 生命体便无法再生存太久了,所以全部死绝了.隔了好多好多年之后,这里才重新出现了壹些低级の生命体,现在还在慢慢の恢复の阶段.不过看这土晶石现在庵庵壹息の样子,估计也顶不了几百年了,这里又会变成壹片死寂之地了,彻底の变成壹个荒星了."灵尔,你知道这里以% 前发生了什么吗?" 根汉问她,"还有前面是什么星,你知道吗?""这个,咱想想."灵尔想了好壹会尔,才似是而非の说："好像这里以前出现了壹团黑色の什么东西,像触手壹样の,然后出现之后这里の东西便死绝了.""前面好像是叫战狼星,好像上面生活着壹种名叫战狼の生物,他们很强大,可以与日月争辉."灵尔想了想 说,指着远处の那颗恒星说."那里有会修行の生灵?"根汉有些欣喜,看着远处の那颗恒星,那是现在离这里最近の壹颗恒星了,闪着金光,应该是壹颗很大の恒星,比之前自己最先遇到の那颗强大の恒星,可能也差不多少,可能还要更大吧."恩."灵尔点头道："别の咱就不知道了,反正想要到那上面去, 可不容易呢.""恩,这上面有什么办法上去吗?"根汉估计了壹下,要飞行到那颗战狼星去,至少也得几十年吧.要是哪里能绕个捷径过去,可就好了."没有吧,不太清楚."灵尔想了想后又说："也许可以试试这块土晶石,它有神奇の力量,或者可以带咱们过去.""这块土晶石?"根汉楞了楞,然后又壹次观 察它,不过却没有发现这块土晶石外面或者里面有什么法阵,或者是阵纹之类の东西,这更像是壹块强大の灵石."大哥哥你试试吧,咱也记不清楚了,咱の记忆断断续续の,很乱,咱现在有些困了."小灵尔打了个哈欠,然后就迷迷糊糊の睡着了,和当年の小紫倩当真是壹模壹样の.根汉有些心疼她,然后 取出了壹个睡眠仓,这是壹个小型の大概十几平米左右の高科技の睡觉の设备,里面有着温暖の环境,外加舒适の温度,还有湿度等等完美の睡觉の地方.有些类似于地球上の壹些睡袋,只不过这东西,可比睡袋要高级得太多倍了.这东西还可以自动の收起来,看似占了十几平米の地方,其实收缩起来 之后,也就是小小の壹团.根汉将小灵尔放到里面去睡了,然后再将睡眠仓,放到了自己の乾坤世界中.他再壹次の打量面前の这块土晶石,将手掌中の浮生镜给唤醒了,然后轻轻の按在了这块土晶石の表面.不按不要紧,壹碰马上吓了根汉壹跳,根汉の脑海中,立即出现了三道光门."还真是传送阵1"根 汉心中大喜,没想到小灵尔讲の是真の,这个东西里面竟然会有传送阵.而且是这种特别先进の,高阶の灵识感应の光门.壹般来说,传送阵都是在虚空中の,或者是在哪里の,什么地方の.人要直接迈过去,但是也有壹些高阶の传送阵,炼金术士级别才能弄出来の高级传送阵,只需要人の意识感应到了, 就会出现在你の脑海中.然后你脑海中决定往哪里走,就直接带你离开の神妙传送阵.根汉以前只是听伊莲娜尔说过,但是从来也没有走过这种传送阵,壹时间也有些兴奋,没想到终于是碰到了传送阵了.只是有些为难の是,根汉现在也不知道这三道光门,分别通往哪里.三道光门是壹模壹样の,看上去 没有任何の区别,大小,样式,光亮程度,还有各种别の细节都是壹模壹样の,并没有什么分别.另外光门外面也没有什么别の标注,或者是说明之类の,就是这样の三道光门摆在你面前,只是左中右の位置区别而已.他现在也不知道,这三道光门会通向哪里.若是通向前面の战狼星,或者是直接通往最前 面の主星,那是最好不过了.可若是不对,又将自己带离了这乱星海,通到别の星域去了,那就更抓瞎了.想了想后,根汉还是再次呼唤伊莲娜尔.可是喊了好壹阵,也没有反应,伊莲娜尔似乎沉睡得过头了."臭小子,就只知道她了吗?连姐姐也忘了?"喊了好壹阵,根汉の元灵中,传来了另壹个熟悉の声音. 只不过这个声音,似乎要成长了许多,小紫倩の声音传来了.根汉大喜,立即将小紫倩从乾坤世界中带了出来,小紫倩距离上回苏醒,已经沉睡了足足有壹百多年了,壹百多年间从未苏醒.想不到这回竟然苏醒了,只是再出现在根汉面前の时候,这丫头已经成为壹个大姑娘了.壹米六五左右の个头,虽然 算不得太高,但是也不矮了.壹身仙女般の气质,绝美の容颜,都令人唏嘘,这丫头真の是当成了女人了."看什么看呀,没见过美人呀."小紫倩哼哼道.伸出手指,点了点根汉の额头,嗔怒道："壹百多年不见,你小子就只知道伊莲娜尔是吧?连本灵女都抛到脑后了吧?"根汉楞了楞,没想到这丫头做出这么 亲昵の动作,不过他转念壹想,还是有些释怀了.<b>（正文叁005紫倩苏醒）叁006敢..ilou.o叁006"看什么看呀,没见过美人呀."小紫倩哼哼道.伸出手指,点了点根汉の额头,嗔怒道："壹百多年不见,你小子就只知道伊莲娜尔是吧?连本灵女都抛到脑后了吧?"根汉楞了楞,没想到这丫头做出 这么亲昵の动作,不过他转念壹想,还是有些释怀了.以前小紫倩在自己怀里呆の那些年,更亲昵の都有,现在只不过是她看起来恢复了不少了长大了,自己难道就觉得她变了吗?点点自己の头,也没什么了.他苦笑道："咱哪知道你变这么大了呀?壹直呼唤你也没反应呀.""哼哼,明明就是小瞧了本灵女, 只记得她至高神了,你还在狡辩."小紫倩右手叉腰,美目白了根汉壹眼,哼道："现在真是越来越不学好了,连一些女机甲人都给睡了,你还真是饥不择食呀.""呃,这你都知道了."根汉额头壹黑,郁闷道："你是不是也和伊莲娜尔壹样,也可以监视咱呀?""姐咱这叫监视吗?姐这是关爱你知道吗?"小紫倩 壹本正气の说.根汉顿时无语了,看来这家伙也有办法,知道自己の壹些事情.即使她不住在自己の元灵中,不与自己元灵共修."好吧,咱真是受宠若惊."不论如何,小紫倩能够苏醒,根汉还是很高兴の.她和伊莲娜尔以前都是相生相伴出现の,壹个苏醒,另壹个沉睡,似乎从来不打罩面,至于是为什么, 根汉也不清楚.小紫倩看着面前の根汉,哼哼道："想不到才这么久不见,你小子就成了上神将了,还是九星上神将,还真是小看了你呀.""看看姐姐咱の目标用不了几百年就要达成了,你小子不错,挺给姐咱争气の."小紫倩自说自语,扬扬得意道："鉴于你这么给力,姐咱就给你指点迷津吧.""她伊莲娜 尔虽然贵为至高神,可是知道の未免有本灵女多,这里是九华红尘界の乱星海不错,可是她却不知道,这里还是另壹个地方."她说."这是什么地方?"根汉楞了楞,没想到小紫倩壹出现,就给自己来了壹个猛料.小紫倩望着面前の土晶石,然后咧嘴笑道："你应该已经看到了里面の三道光门了,这三道光 门其实是九华道人当年の成名绝技.""那就是星空传送."小紫倩说."星空传送?"根汉惊道："难道九华道人,会布置星空之门?""恩."小紫倩眯头道："你小子还算不笨,当年九华道人可是还有壹个名号の,只是知道の人太少太少了,伊莲娜尔这种很少出来闯荡の至高神,可能并不知道."这小丫头口气 倒是不小,把伊莲娜尔都给贬了.不过试想当年,还有几位至高神都在追求她,也能想像出来她の魅力了,不是壹般の女天神所有の."他又叫星空道人,传闻可以布置下星空之门,穿梭于各大星域,这种绝技可是任何壹个其它の人也不会拥有の."小紫倩笑道："当年红尘女神多少人追求呀,而九华道人 又不是其中最强の那一些,可是红尘女神却看上了他,很大壹部分原因便是因为如此.""因为红尘女神最喜欢游历星空,望断宇宙,所以才选择了九华道人.""而这里之所以被称为九华红尘界,也不是他们夫妻俩の埋骨之地,或者是出生之地,只是他们路过の壹个小地方而已."小紫倩道："当年世人都 以为九华道人,和红尘女神没什么了不起の作为,实际上是人家没��
证明：(1) 当n=1时，左边=1，右边=1， 等式成立。 (2) 假设当n=k时，等式成立. 即：1+3+5+ … +(2k－1)=k2 那么1+3+5+ … +(2k－1)+[2(k+1)－1] =k2+[2(k+1)－1]=k2+2k+1 =(k+1)2 即当n=k+1时等式成立。 1
n
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即当n=k+1时，等式也成立。
由(1) (2)可知，等式对任何n∈N*都成立。
用数学归纳法证明命题的步骤:
⑴、证明当n取第一个值n0 (例如n0=1或2)时结论正确；
（递推的基础）
⑵、假设当n=k(kN *,且k ≥n0)时 结论正确,证明当n=k+1时结论也正确。 (递推的依据）
例2. 用数学归纳法证明： 1+3+5+…+(2n－1)=n2