六年级思维专项训练19 不定方程(原卷+解析)

六年级思维训练19 不定方程

1.甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．问张明用6角钱恰好买两种铅笔共多少支？（每种铅笔至少1支）

2.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管（加工损耗不计），问剩余部分的铝管最少是多少厘米7

3.若干名小朋友购买单价为3元和5元的两种商品，每人至少买一件，但每人购买的商品

的总金额不得超过1 5元．小民说：小朋友中一定至少有三人购买的两种商品的数量完全相同．问：至少有多少名小朋友？

4.某地电费，不超过10度时，每度0.45元；超过10度时，超过部分每度0．8元．张家比李家多交电费3. 30元，如果两家的用电量都是整数度，问张家、李家各交电费多少元？

5.小丽计划用31元买每支2元、3元、4元三种不同价格的圆珠笔，每种至少买1支．问她 最多能买多少支？最少能买多少支？

6.李家和王家共养了521头牛，李家的牛群中有67％是母牛，而王家的牛群中仅有131是母 牛，李家和王家各养了多少头牛？

7.abc 表示一个十进制的三位数，若abc 等于由a ，b ，c 三个数码所组成的全体两位数的和， 写出所有满足上述条件的三位数．

8.在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．若恰好投在两块（或三块）区域的交界线上，则得两块（或三块）区域中分数最高区域的分数．如果比赛规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中 次飞镖．

9.甲乙丙三人参加一个共有30个选择题的比赛，计分办法是在30分的基础上，每答对一

题加4分，答错一题扣1分，不答既不扣分也不加分．赛完后发现根据甲所得总分可以准确算出他答对的题数，乙、丙二人所得总分相同，仅比甲少1分，但乙丙答对的题数却互不相同．由此可知，甲所得总分最多为

10.华罗庚爷爷在一首诗文中勉励青少年：

“猛攻苦战是第一，熟练生出百巧来，

勤能补拙是良训，一分辛劳一分才．”

诗文中，不同的字对应不同的自然数，相同的字对应相同的自然数，不同汉字所对应的自然数可以排列为一串连续的自然数，如果这28个自然数的平均值是23，问“分”字对应的自然数的最大可能值是多少？

11.老王和老张各有5角和8角的邮票若干张，没有其他面值的邮票，但是他们邮票的总张数一样多，老王的5角邮票的张数与8角邮票张数相同，老张的5角邮票的金额等于8角邮票的金额．用他们的邮票共同支付110元的邮资足够有余，但不够支付160元的邮资，问他们各有8角邮票多少张？

游的人数是10的整数倍，如果两校都租用有14个座位的旅游车，则两校共需租用这种车72辆，如果两校都租用19个座位的旅游车，则二小要比一小多租用这种车7辆．现在知道两校人员不合乘一辆车，且每辆车尽量坐满．问，两校参加这次春游的人数各是多少？

12.在一次数学竞赛中共出了A 、B 、C 三题．在所有25个参加竞赛的学生中，每个学生至少解出一题，在没有解出A 的那些学生中，解出B 的人数是解出C 的人数的两倍．只解出A 的人数，比余下的学生中解出A 的人数多1．只解出一题的学生中，有一半没有解出A ，问有多少学生只解出B.

13.甲乙丙三个班向希望工程捐赠图书，已知甲班有1人捐6册，有2人各捐7册，其余都各捐11册，乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余各捐10册；丙班有2人各捐4册，6人各捐7册，其余各捐9册．已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册，各班捐书总数在400册与550册之间，问各班各有多少人？

14.分母不超过100且最接近

137又不等于13

7分数是

15.如果一个三位数是去掉百位数字后剩下的两位数的5倍，则称这样的数为“学而思数”． 请写出所有的“学而思数”：

16.用十进制数表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所有自然数之和为

17.9个不同的盘子排成一排，依次编号为1，2,3，。。。，9。每个盘子都放有至少2个乒乓球，9个盘子共放有80个乒乓球，已知任意编号相邻的4个盘子放的球的总个数相同，并且编号为1的盘子放有16个球，那么满足要求的放法有多少种。（注意，球是相同的）

18.如果自然数a的各位数字之和等于5，那么称a为“龙腾数”．2012是将所有“龙腾数”从小到大排成一列的第一个．

19. 数学竞赛团体奖的奖品是10000本数学课外读物．奖品发给前五名代表队所在的学校．名次在前的代表队获奖的本数多，且每一名次奖品的本数都是IOO的整倍数，如果第一名所得的本数是第二名与第三名所得的本数之和，第二名所得的本数是第四名与第五名所得本数之和，那么，第三名最多可以获得__—本．

20. 动物园里猩猩比狒狒多，猴子比猩猩多，一天，饲养员拿了十箱香蕉分给它们．每只猩猩比每只狒狒多分一根，每只猴子比每只猩猩多分一根．分完后，只剩下2根香蕉．如果每箱香蕉数量相同，都是40多个，而且猴子比狒狒多6只，猩猩有16只．那么，动物园里有——只猴子．

21.一个由某些正整数所组成的数组具有以下的性质：

(l)这个数组中的每个数，除了1以外，都至少可被2,3或5中的一个数整除。

(2)对于任意整数”，如果此数组中包含有2n,3n或5n中的一个，那么此数组中必同时包含有n及2n，3n，5n．

已知此数组中数的个数在300和400之间，那么此数组有个数_

六年级思维训练19 不定方程

参考答案

1.甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．问张明用6角钱恰好买两种铅笔共多少支？ （每种铅笔至少1支）

【答案】12或16

【分析】 设张明买甲级铅笔z 支，乙级铅笔y 支，根据题意，列方程7r+3y=60，容易得到317Z

≥3【x ．又x ≤[670]一8，所以原方程的解有⎭⎬⎫⎩⎨⎧==1333y x ⎩

⎨⎧==66x y ，所以x+y —16或12． 2.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管（加工损 耗不计），问剩余部分的铝管最少是多少厘米7

【答案】2厘米

【分析】设截成36厘米和24厘米两种型号的短管分别是x 根和y 根，剩余部分的铝管长

度为以厘米，那么得方程36x+24y+a 一374，显然“是偶数，要求a 的最小值，故从a=0,2，… 开始枚举．

当a=0时，36a+24y=374，由于3 ¦ 36x+24y，而374不是3的倍数，所以无整数解； 当a=2时，36y+ 24y= 372，即3x+2y=1，此方程显然有解（只要x 是不超过9的奇数即可）．

所以剩余部分的铝管最少是2厘米

3.若干名小朋友购买单价为3元和5元的两种商品，每人至少买一件，但每人购买的商品 的总金额不得超过1 5元．小民说：小朋友中一定至少有三人购买的两种商品的数量完全相同．问：至少有多少名小朋友？

【答案】25

【分析】 这道题可以采用抽屉原理，难点在于确定抽屉数量，这可以借助代数方法去枚举．设 买x 件5元的商品，y 件3元的商品，则0<5x+3y ≤15，故o ≤x ≤3；o ≤y ≤5，且x ，y 不同时为o ．

(l)当x=0时，y=l ，2，3，4，5，共5组

(2)当x=l 时，y=o ，1，2，3，共4组；

(3)当x=2时，y=o ，1，共2组；

(4)当x= 3时，y=0，共1组；