Jordan标准形定理的一个矩阵证明
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一
另一 方面 ， —Ｑ＿Ａｒ ￣ Ｏ 我们 有 Ａ 。 Ｑ－ ． －
Ｃ＋Ｊ ～ ＣＢ＋ … － Ｃ 一 一Ｏ Ｊ Ｂ ｒ －
、、 ｌＩ，
（） １
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构 造 ｒ 一ｒ矩 阵 Ｘ（ ）
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Ｃ２ Ｃ１ 一 Ｂ
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ＰＡ＝ Ｒ ＲＲ（ＡＲＲＡ一 ） 中 是零 阵 纳 ， 可 Ｐ （） Ｑ 一 Ｑ ： （ ， Ｂ幂 矩． 地 在 逆 － Ｑ一 ＝ ） Ｒ 其 Ａ Ｑ 归 奇
矩阵 Ｐ， 使得
第 ４期
刘合 国等 ：ｏｄ ｎ标准形定理的一个矩阵证 明 Ｊ ｒａ
４９ ３
Ｐ一 Ａ Ｐ一
第 ３ ３卷第 ４期 ２１ ０ １年 １ ２月
湖北 大学 学报 （ 自然科学版）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｂ ｉ ｉｅｓｔ（ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅ ｏ ｒ ａ ｆＨｕ ｅ ｖ ｒｉ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ） Ｕｎ ｙ
Ｖｏ ． ３ Ｎｏ ４ １３ ．
Ｄｅ ．，２ １ ｃ ０ １
文 章 编 号 ：０ ０ ３ ５２ １ ）４— ４ ７ ７ １０ —２ ７ （０ １ ０ ０ ３ —０
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Ｃ３ Ｃ２ 一 Ｂ— Ｃ１ Ｂ
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Ｃｒ １ Ｃｒ ２ ＿一 － Ｂ一 … 一 Ｃ１ Ｉ Ｂｒ
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注意 到
Ｊ Ｘ＋Ｃ ＸＢ＝ －
一
Ｃ 一 一 Ｃ一２ １ Ｂ一 … 一 Ｃ１ Ｃ １ Ｂ一＋
４８ ３
湖北 大学学报 （ 自然科学 版）
第 ３ 卷 ３
Ａ１ 一Ｑ叫ＡＱ一
呈 ） ，
Ｃ１
其 中 Ｂ是 竹 ～ｒ阶矩 阵 ，
０ １
Ｏ
Ｃ ２
● ● ●
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下 证 唯一性 ． 据前 面 的推理 ， 在 可逆矩 阵 Ｑ， 得 根 存 使
Ｊ １ Ｑ ＡＱ—
Ｊ ２
设 是上述 ，。… ， 里 ｉ ， 阶矩阵的个数 ， 其中 ｌ ≤ｒｍ ≥０ 注意到 Ａ是 ７阶的， 比较 Ａ， ≤ ， ． ｚ 再 Ａ，
Ｐ一 ＡＰ ：
其 中
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并且 ， ”， 了排列 次序 外 ， 由 Ａ 唯一 确定 的． Ｊ ，除 是 引理 １的证 明 我 们知 道存 在 向量 ａ使 得 Ａ一 ａ ． 以验 证 Ａ一 ａＡ 。， ， ， 线 性无关 ． ， ≠０可 ， ａ… Ａａａ 由
Ｊ ｒａ ｏｄ ｎ标 准 形 定 理 的一 个 矩 阵证 明
刘 合 国 ， 涛 徐
（ 湖北大学数学与计算机科 学学 院 ， 湖北 武汉 ４０６） ３０２
摘要
关键 词
运用矩阵的初等运算重新证 明了 Ｊ ｒａ 标 准形定理 ． ｏｄ ｎ
Ｊ ｒａ 标 准形 ； ｏｄ ｎ 幂零矩 阵 ； 矩阵的秩
…
，
Ａ一 的秩 可得 下面 的线 性方 程组 ：
１ ２ ３ … ｒ
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Ｌ ｌ
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ｒ ｎ Ａ ａｋ
Ｏ１３ ３ ５ ． 文 献 标 志码 Ａ
中图分类号
在 高等 代数 里 ， 面的 Ｊｒａ 下 ｏｄｎ标 准形 定 理 是 最 深 刻 的结 论 ． 于这 个 定 理 已有 很 多 的证 明． 献 关 文
［—］ １ 分别从代数 、 ２ 几何的角度证明了这个定理．文献［３ Ｓｈ ｒ ． － 从 ｃｕ 三角化引理出发 ， ３ 用矩阵方法证明了 该定理． 现在我们运用矩阵的初等运算再次证 明 Ｊｒａ ｏｄｍ标准定理． 定理 １ 设 Ａ是复数域上的 阶矩阵 ， 则存在可逆矩阵 Ｐ， 使得
Ｏ Ｃ ＋
０
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Ｃｒ２ 一 Ｂ一 … 一 Ｃ１ 一 Ｂ
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Ｃｒ１ 一 Ｂ— Ｃ Ｂ。 … 一Ｃｌ ２ 一 Ｂ一
Ｃ ＋ Ｃ一 Ｂ＋Ｃ Ｂ ＋ … ＋ Ｃ Ｂ ｒ 。 。一
由 （ ） 知 ， ￣ ｒ１ １式 Ｃ ＋Ｃ 一Ｂ＋Ｃ Ｂ ＋ … ＋Ｃ Ｂ一 ＝ Ｏ 因此 － ｒ２ ＝ ， ＝ 厂 Ｘ＋Ｃ—ＸＢ一０ 取 可 逆矩 阵 Ｐｌ Ｒ， ． —Ｑ 有
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１
其 中 Ｊ ＝ ＝ ＝
● ● ●
，
并 且 Ｊ ｒａ ｏｄｎ块 Ｊ ，：… ， 了排列 次序 外 ， 由 Ａ 唯一 确定 的． Ｊ ， Ｊ 除 是
１
下 面 的引理 １是根本 性 的．
引理 １ 设 Ａ 是 复数 域上 的 阶 ｒ次 幂零 矩 阵 （ Ａ ≠ＯＡ 一０ ， 即 ， ）则存 在可逆 矩 阵 Ｐ， 使得
此 构造 可逆 阶矩 阵 Ｑ一（ Ａ ａ Ａｒ。 ， ， ， ， ， ， ＿ａ … Ａｎ ａ …） 则有
收 稿 日期 ：２ １ —０ ０ １ ６—１ ５ 基金项 目：国家 自然科学基金 （０ ７ ０ ４ 和高等代数湖北省精品课程专项基金 资助 １９ １５ ）
作者简介 ： 刘合 国（ ９ ７ ）男 ， １ ６ 一 ， 博士 ， 教授
另一 方面 ， —Ｑ＿Ａｒ ￣ Ｏ 我们 有 Ａ 。 Ｑ－ ． －
Ｃ＋Ｊ ～ ＣＢ＋ … － Ｃ 一 一Ｏ Ｊ Ｂ ｒ －
、、 ｌＩ，
（） １
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０
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Ｃ２ Ｃ１ 一 Ｂ
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ＰＡ＝ Ｒ ＲＲ（ＡＲＲＡ一 ） 中 是零 阵 纳 ， 可 Ｐ （） Ｑ 一 Ｑ ： （ ， Ｂ幂 矩． 地 在 逆 － Ｑ一 ＝ ） Ｒ 其 Ａ Ｑ 归 奇
矩阵 Ｐ， 使得
第 ４期
刘合 国等 ：ｏｄ ｎ标准形定理的一个矩阵证 明 Ｊ ｒａ
４９ ３
Ｐ一 Ａ Ｐ一
第 ３ ３卷第 ４期 ２１ ０ １年 １ ２月
湖北 大学 学报 （ 自然科学版）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｂ ｉ ｉｅｓｔ（ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅ ｏ ｒ ａ ｆＨｕ ｅ ｖ ｒｉ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ） Ｕｎ ｙ
Ｖｏ ． ３ Ｎｏ ４ １３ ．
Ｄｅ ．，２ １ ｃ ０ １
文 章 编 号 ：０ ０ ３ ５２ １ ）４— ４ ７ ７ １０ —２ ７ （０ １ ０ ０ ３ —０
Ｘ＝ ＝
—
Ｃ３ Ｃ２ 一 Ｂ— Ｃ１ Ｂ
一
Ｃｒ １ Ｃｒ ２ ＿一 － Ｂ一 … 一 Ｃ１ Ｉ Ｂｒ
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注意 到
Ｊ Ｘ＋Ｃ ＸＢ＝ －
一
Ｃ 一 一 Ｃ一２ １ Ｂ一 … 一 Ｃ１ Ｃ １ Ｂ一＋
４８ ３
湖北 大学学报 （ 自然科学 版）
第 ３ 卷 ３
Ａ１ 一Ｑ叫ＡＱ一
呈 ） ，
Ｃ１
其 中 Ｂ是 竹 ～ｒ阶矩 阵 ，
０ １
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我们 断 言 Ａｆ 一
Ｂ叶＋ ）当ｒ １ ， 然 立 归 地 设Ａ Ｘ 斗 ． 一 时 显 成 ． 纳 假 Ａ 一 ＂ 『 ＿
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（ 厂 … 。 一 ） － （ 。厂Ｃ… 一 ） ｃ ． １ ， 。 一 ） 暑 舭 ｎ 厂 ｌ Ｂ ＋ （ 一
（ 厂＇ Ｊ２ 叶四。． Ｃ ￣Ｃ ＋ －Ｂ 。 ）
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下 证 唯一性 ． 据前 面 的推理 ， 在 可逆矩 阵 Ｑ， 得 根 存 使
Ｊ １ Ｑ ＡＱ—
Ｊ ２
设 是上述 ，。… ， 里 ｉ ， 阶矩阵的个数 ， 其中 ｌ ≤ｒｍ ≥０ 注意到 Ａ是 ７阶的， 比较 Ａ， ≤ ， ． ｚ 再 Ａ，
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其 中
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并且 ， ”， 了排列 次序 外 ， 由 Ａ 唯一 确定 的． Ｊ ，除 是 引理 １的证 明 我 们知 道存 在 向量 ａ使 得 Ａ一 ａ ． 以验 证 Ａ一 ａＡ 。， ， ， 线 性无关 ． ， ≠０可 ， ａ… Ａａａ 由
Ｊ ｒａ ｏｄ ｎ标 准 形 定 理 的一 个 矩 阵证 明
刘 合 国 ， 涛 徐
（ 湖北大学数学与计算机科 学学 院 ， 湖北 武汉 ４０６） ３０２
摘要
关键 词
运用矩阵的初等运算重新证 明了 Ｊ ｒａ 标 准形定理 ． ｏｄ ｎ
Ｊ ｒａ 标 准形 ； ｏｄ ｎ 幂零矩 阵 ； 矩阵的秩
…
，
Ａ一 的秩 可得 下面 的线 性方 程组 ：
１ ２ ３ … ｒ
也 ｍ
Ａ
ｒ ，
抓 ．
Ｌ ｌ
１ ２ ’． ；
。 。
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Ｏ１３ ３ ５ ． 文 献 标 志码 Ａ
中图分类号
在 高等 代数 里 ， 面的 Ｊｒａ 下 ｏｄｎ标 准形 定 理 是 最 深 刻 的结 论 ． 于这 个 定 理 已有 很 多 的证 明． 献 关 文
［—］ １ 分别从代数 、 ２ 几何的角度证明了这个定理．文献［３ Ｓｈ ｒ ． － 从 ｃｕ 三角化引理出发 ， ３ 用矩阵方法证明了 该定理． 现在我们运用矩阵的初等运算再次证 明 Ｊｒａ ｏｄｍ标准定理． 定理 １ 设 Ａ是复数域上的 阶矩阵 ， 则存在可逆矩阵 Ｐ， 使得
Ｏ Ｃ ＋
０
一
０
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一
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一
Ｃｒ１ 一 Ｂ— Ｃ Ｂ。 … 一Ｃｌ ２ 一 Ｂ一
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由 （ ） 知 ， ￣ ｒ１ １式 Ｃ ＋Ｃ 一Ｂ＋Ｃ Ｂ ＋ … ＋Ｃ Ｂ一 ＝ Ｏ 因此 － ｒ２ ＝ ， ＝ 厂 Ｘ＋Ｃ—ＸＢ一０ 取 可 逆矩 阵 Ｐｌ Ｒ， ． —Ｑ 有
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其 中 Ｊ ＝ ＝ ＝
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并 且 Ｊ ｒａ ｏｄｎ块 Ｊ ，：… ， 了排列 次序 外 ， 由 Ａ 唯一 确定 的． Ｊ ， Ｊ 除 是
１
下 面 的引理 １是根本 性 的．
引理 １ 设 Ａ 是 复数 域上 的 阶 ｒ次 幂零 矩 阵 （ Ａ ≠ＯＡ 一０ ， 即 ， ）则存 在可逆 矩 阵 Ｐ， 使得
此 构造 可逆 阶矩 阵 Ｑ一（ Ａ ａ Ａｒ。 ， ， ， ， ， ， ＿ａ … Ａｎ ａ …） 则有
收 稿 日期 ：２ １ —０ ０ １ ６—１ ５ 基金项 目：国家 自然科学基金 （０ ７ ０ ４ 和高等代数湖北省精品课程专项基金 资助 １９ １５ ）
作者简介 ： 刘合 国（ ９ ７ ）男 ， １ ６ 一 ， 博士 ， 教授