人教版高一数学必修三第一章算法初步课件 4.算法案例

设计算法 用ONE、TWO、FIVE分别记录1元、2元、5元钞票的张数。变量
ANSWER记录符合条件的解的数目。穷举的过程如下：
①让ANSWER=0，FIVE=0； ②TWO=0 ③让ONE=30 － TWO －FIVE； ④检查5×FIVE﹢2×TWO﹢ONE 是否等于100，若是，
Pn x anx an1 x an2 x a1 x a0 (3.4.4)
这样，就可以利用式(3.4.4)的特殊结构，从里往外一 层一层地进行计算，即按如下递推关系进行计算：
uukn
an uk1x
ak
k n 1,,1,0 （3.4.5）
最后可得结果 Pn x u0
这种多项式求值的方法是由我国宋代的一位 数学家秦九韶最先提出的，我们称之为秦九 韶方法，在有的书上也叫霍纳(Horner)方法。 其算法描述如下:
计算算法 设计穷举算法的关键是如何列举所有可能的情况，绝对不能遗漏，最好不要重复。 在列举时注意变量的范围，可以减少工作量。 我们可以从最小的变量c入手，让它从10开始变化。但变化的范围到哪里为止呢？ 粗略估算一下，三个数相乘是30723，最小的c不超过它的立方根。我们可以用 平方根做近似替代，不必作太多推算。 当c值产生之后，就可以处理变量b。因为它不小于c，让它从c开始，也让它变化 到30723的平方根。 有了c和b的值之后，就要判断他们是否都是30723的因子。如果是，计算出第三 个因子a，然后进行判断：a是否大于b+c并且a<100。满足条件就是解答了。
由初等函数f(x)=0构成的方程，如果有f(a)f(b)<0，则 可以肯定方程f(x)=0在（a , b）至少有一个实数根。
选择（a , b）的中点c，若f(c)=0，则根就是 x=c。若f(c)<0或f(c)>0，则用c值取代相应的a或b（取 代原则是：保证有f(a)f(b)<0），这样（a , b）的长度 就只有原来的一半，我们可以更小的范围找到根。当 有根的区间的长度足够小（通常是小于预先指定的误 差），这时区间内任意两点的距离都小于区间的长度， 所以区间内的任意一点都可以用来当方程根的近似值。 这个就是对半求根法
当钞票数量比较多，总币值比较大时，人工列举所有钞票组合(穷举)就很麻烦，这 时需要使用计算机来帮我们穷举。但使用计算机来穷举，必须清楚地说出穷举的 每一个步骤，并通过程序设计语言转化为计算机能后执行的过程，才能解决问题。
钱币问题有3种面额的钞票，钞票的总张数是30张，又应当如何穷举呢？经分 析可以知道：当有两种面额的钞票数目确定了之后，可以从总张数为30确定第三 种钞票的张数，然后由总面额是否100元而判断这个组合是否合乎要求。此外，先 确定面额大的钞票可以使穷举的次数少些。
.9
43
401
从表中容易看出：小球每次弹起的距离就是本次下落距离的0.7倍，而每一次下落距 离等于上一次弹起的距离，即
Ln=0.7Hn
Hn+1=Ln
其中Hn第n次下落的距离，Ln为第n次弹起的距离，n=1，2，3，…，H1=10。把它
们都相加，即可求出问题的解：
S=(H1+L1)+(H2+L2)+(H3+L3)+……
问题 a、b、c是三个整数，100 > a > b > c > 10，a×b×c==30723，且a > b+c，试 确定a、b、c的值。 分析问题 解决这个问题应当从a×b×c==30723入手。把30723三个整数相乘的积，只能有 有限种情况，我们可以把这些情况一一罗列出来，然后分析哪一种情况是符合条 件的。从而找到答案。(在列举所有情况时，注意三个因子都大于10，这可以减少 列举的工作量)。
(i 1, ..., k)
3.
令a i
M
' i
M
，则同余方程组的正整数解是：
i
k
x aibi (modM )
i 1
2.对半法查找(二分法)算法
对这种算法的实质是在一个有限且有序的对象中，通 过每次缩减一半查找范围而达到迅速确定目的一个有 效算法。因此有着很广泛的应用。例如，在数学中有 很多方程是写不出根的解析表达式的，但是根的存在 范围比较容易确定，那么如何才能找到它的根的一个 足够准确的近似值呢？这时对半查找算法就可以大显 身手了。
记 f (x) x 3sin x。注意到 f ( ) 3 0,
22
及 f ( ) 3sin 0, 而y x 3sin x的图线在
（ ，）是没有间断的，所以我们有理由认为，方
2
程x 3sin x 0 在（ ，）之间应当有一个根。
2
同样的，如果我们取（ ，）的中点3 ，则因
（1）若y不能被100整除，则输出“y是闰年”
（2）若y能被100整除，则判断y是否能被400整除， 则：
① 若y能被400整除，则输出“y是闰年”；
② 若y不能被400整除，则输出“y不是闰 年”。 这个算法的流程图如下图4-3：
小球运动问题
问题：
小球从10米高处自由下落，每次弹回的高度大约是 下落高度的70%。当小球弹起的高度不足最初高度 的千分之一时，小球很快就会停止跳动。计算小球 在整个弹跳过程中所经历的总路程（忽略高度不足 原高度千分之一的部分）。
设计算法 根据上述的分析，我们可以写出解决问题的算法如下：
①令H=10； ②令S=0； ③L=0.7×H； ④S=S+H+L； ⑤H=L； ⑥如果L≥10/1000，返回第③ ⑦输出S的值； ⑧结束
例一个关于栽树数量的I.Q.题
小陆学校的3个环保活动小组经常利用节假日去栽树。有一天，李老师问小陆3 个小组各栽了多少树？因为李老师是教数学的，小陆就调皮的回答：“3个小组 的栽树数量相乘的积是30723，您能把3个组的栽树数量算出来吗？”李老师说： “只有这个条件不能确定答案呀。你能补充点情况吗？”于是小陆补充说：“A 组都是大个子同学组成的，栽的树虽然不到100棵，但比另外两组合起来的还要 多。栽树最少的C组也早就超过了10棵。”这是李老师说，“那我算出来了。” 李老师是怎样算出来的呢？
例. 中国剩余定理（孙子定理）若k>2，且m1， m2，…mk是两两互素的k个正整数，令M= m1m2…mk=m1M1=m2M2=…=mkMk。
则同余式组：x1=b1(modm1)， x2=b2(modm2)，…xk=bk(modmk)
其正整数解是： X≡b1M1’M1+b2M2’M2+…+bkMk’Mk(modM)
参考算法： 第一步 确定有解区间 [a,b] ( f (a) f (b) 0) 第二步 取 [a,b] 的中点 (a b)/2 第三步 计算函数f(x)在中点处的函数值 f (a b) 。
2
第四步
判断函数值
f
(a
b) 2
（1） 如果为0x， a b
得到了解决。
2
是否为0。 就是方程的解，问题就
老师后来告诉小陆，她用的是穷举法。 穷举算法的思路是，列举出所有可能的情况，逐个判断有哪些是符合问题所要 求的条件，从而得到问题的解答。
.Q.题很有意思，但它用对话的形式表达，有些条件不够明确，因此需要用数 学语言来描述它。(用数学语言描述问题，叫做建立数学模型。在解决实际问 题时，一般都需要为这个问题建立数学模型)。
其中Mi’是满足同余式： Mi’Mi≡1(mod mi) （i = 1，2…k）
∴用孙子定理解同余式组： xi=bi(modmi) （ i = 1，2…k ）的算法步骤如下：
k
1. 设 M mi i0
分别计算M i
M mi
(i 1, ...,k)
2.
分别解关于M
i'的同余方程：M
' i
M
i
1(modmi )
由于x的k次幂实际上等于其次幂再乘上x，而 前k+1项的部分和等于前k项的部分和再加上第 k +l项，因此，逐项求和的方法可以归结为如 下的递推关系：
utkk
xtk 1 uk 1
ak
t
k
k
1,2,,
n
作为递推公式(3.4.2)的初值为: t0 1 u0 a0
(3.4.2) (3.4.3)
这样，就可以利用初值(3.4.3)，对于k=1， 2，…直到n，反复利用公式（3.4.2)进行计算， 最后就可以得到。其算法描述如下:
（2） 如果函数值 f (a b) 不为0，则分下列两
种情形：
2
① 若 f (a) f (a b) 0 ， 则 确 定 新 的 有 解 区 间
为 (a, a b) ；
2
2
②若 f (a) f (a b) 0 ，则确定新的有解区间为
2
(a b ,b)
2
第五步 判断新的有解区间的长度是否小于精确度： （1）如果新的有解区间长度大于精确
例题 (钱币问题)
在日程生活中常常需要用一些较小面额的钱币去组合 出一定的币值。现有面值为1元、2元和5元的钞票(假 设每种钞票的数量都足够多)，从这些钞票中取出30 张使其总面值为100元，问有多少种取法？每种取法 的各种面值的钞票各为多少张？
分析问题
显然列出一条算式来解决钱币问题是有困难 的。既然解析法很难用上，我们尝试通过列 举所有可能的情况(穷举)，从中判断出合符条 件的解答。
(1)逐项法多项式求值。
输入：存放Pn x 的系数数组A(0：n）
； 自变量x值。其中 n 1
输出： Pn x 值P
PROCEDURE CPOLY（A，n，x，P）
p A0 A1 x;t x
FOR i=2 TO n DO
t t x;P P Ai t
OUTPUT P RETURN
在这个算法中，为了计算一个x点处的函数,共需要作2n1次乘法和n次加法。还能不能减少乘法的次数呢？我们 可以将式(3. 4. 1)的右端按降幂次序重新排列，并将它 表述成如下嵌套形式
把30723分解为3个大于10的因子的乘积只有5种情况 ①11×19×147(三个因子的和是177) ②11×21×133(三个因子的和是165) ③19×49×57 (三个因子的和是101) ④11×49×57 (三个因子的和是117) ⑤19×21×77 (三个因子的和是117) 在这5种情况中考察，符合a>b+c而且最大的数小于100的，只有最后一种情况， 即a=77，b=21，c=19。
Байду номын сангаас
2
4
为 f (3 ) 0, 所以方程在（ ，3 ）应当有根。取
4
24
( , 3 )的中点5 ，则因
24
8
图3.17 y=x-3sinx 的图象及用对半 法缩小有根范围示意图：
为 f (5 ) 0,所以，方程
8
在（5 ，3 ）应当有根。
84 不断重复这个过程，要么
3 根的位置
2
1
2
某一次区间的中点就是根，
度，则在新的有解区间的基础上重复上述步 骤；
（2）如果新的有解区间长度小于或等 于精确度，则取新的有解区间的中点为方程 的近似解。
对半求根的过程可以用如下框图表示（图4-1）
用流程图表示如下：
例（对半法求方程解）： 方程x-3sinx=0 有一个根，试把它求出来，要求准确
到0.0001。
分析问题：
分析问题
小球的运动由多次的下落和弹起构成，但弹起的次 数并不容易知道。小明把小球每次下落和弹起的路 程列出，如表3-1所示，试图寻找一些规律。
第1次 第2次
第3次
第4次
……
下
10
7
4.9
落
3.43
……
弹 10×0.7= 7×0.7=4 4.9×0.7=3. 3.43×0.7=2.3 ……
起 4.9
要么有根的范围缩小了一
0
半，当有根的范围小于题
目要求的精度0.0001，那么
有根范围1:
a
2
c
b
这个区间中的任意一点都 可以当作是方程根的近似 值。
有根范围2:
a
c
3 b
2
4
有根范围3:
5 a
c
3 b
8
4
例 闰年问题：输入年份y，判断该年份是否为闰年 并输出结果。
设y为年份，按照历法的规定，如果y为闰年， 那么或者y能被4整除但不能被100整除，或者y能 被400整除。可以用选择结构将上述算法表示如下： 若y不能被4整除，则输出“y不是闰年”； 若y能被4整除，则判断y是否被100整除，则：
算法3.2多项式求值的秦九韶方法．
输入：存放 Pn x 的系数数组A(0：n)；
自变量x值。其中 n 1。
输出：Pn x 值P。
PROCEDURE CHORNER（A,n,x,P）
P An
FOR i=n-1 TO 0 BY -1 DO P P x Ai
OUTPUT P
RETURN
由秦九韶算法可以看出，多项式函数的求 值只要用一个很简单的循环就能完成，并 且在这个循环中只需要作n次乘法和n次加 法就够了。它在实际使用中是一个很有效 的方法。