2021年高中数学.3数学归纳法教学案理新人教B版选修

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高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 2.3.1 数学归纳法》0

2.3 数学归纳法(学案）学习目标：1、知识目标：理解数学归纳法原理，掌握用数学归纳法在证明与正整数n 有关的数学命题的方法和步骤。

2、能力目标：培养学生归纳、推理的能力；培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。

3、情感态度价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力和勇于探索的科学精神。

学习重点：了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。

学习难点：对数学归纳法原理的理解及在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

学法指导：1.先精读一遍教材，用红色笔进行勾画；再针对预习案二次阅读并回答；2.若预习完可对预习自测部分认真审题，做不完的正课时再做；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。

【探究案】探究一：归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法，这两者如何区分?问题 1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？{}?,,,,,1,2432111===++n a a n n a a a a a a a n n 由此归纳通项公式求：已知数列问题完全归纳法：不完全归纳法：探究二：多米诺骨牌游戏跟踪练习1 用数学归纳法证明：.{}都成立。

n 对一切.1)d (n 那么d,为是一个等差数列，公差如 1.N a a a 1n n +∈-+=果证明：2)127531.2n n =-++++（证明：()1114.313.211.21.3++=++++n n n n证明：121.+k A 221.+k B 221121.+++k k C 221121.+-+k k D2.已知f(n)=n 1+ 11+n +21+n +…+21n ，则下列说法正确的是 .①f(n)中共有n 项，当n=2时，f(2)=21+31②f(n)中共有n+1项，当n=2时，f(2)= 21+31+41 ③f(n)中共有n 2-n 项，当n=2时，f(2)=21+31 ④f(n)中共有n 2-n+1项，当n=2时，f(2)=21+31+41，左端增加的项数是到第二步证明从且用数学归纳法证明："1"),1(12131211.3+>∈<-+⋅⋅⋅++++k k n N n n n 12.-k A k B 2. 12.-k C 12.+k D4、用数学归纳法证明：12)12)(12(1751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 5. 用数学归纳法证明：整除。

人教版高中选修(B版)2-22.3数学归纳法教学设计

人教版高中选修(B版)2-22.3数学归纳法教学设计一、教学目标通过本节课的学习，学生应该能够：1.掌握数学归纳法的基本概念和方法；2.熟练掌握数学归纳法的证明过程；3.在实际问题中灵活运用数学归纳法。

二、教学重点1.数学归纳法的基本思想和方法；2.数学归纳法的证明过程。

三、教学难点1.数学归纳法在实际问题中的应用；2.数学归纳法证明过程的严密性和完整性。

四、教学内容1. 数学归纳法的基本概念和方法1.1. 数学归纳法的基本思想和概念1.2. 数学归纳法的基本方法2. 数学归纳法的证明过程2.1. 弱归纳法证明2.2. 强归纳法证明3. 数学归纳法在实际问题中的应用3.1. 例题分析3.2. 综合应用五、教学方法1.讲授法2.例题演练3.自主探究六、教学过程1. 导入（5分钟）1.1. 利用日常生活中的例子引入数学归纳法的概念和思想，如“一只鸟有两只翅膀，两只鸟有四只翅膀……”，“一个人有一个头，两个人有两个头……”。

1.2. 介绍本节课的教学目标和教学重难点。

2. 讲授与演示（20分钟）2.1. 讲授数学归纳法的基本思想和方法，包括弱归纳法和强归纳法的证明过程。

2.2. 进行例题演示，让学生熟悉数学归纳法的证明方法。

3. 实践与探究（25分钟）3.1. 让学生自主探究数学归纳法在实际问题中的应用，例如在排列组合问题、数学归纳法证明等领域的实际应用。

3.2. 带领学生完成一些综合应用的练习，并对练习过程中的问题进行讲解和答疑。

4. 总结与拓展（10分钟）4.1. 对本节课的重点和难点进行总结和回顾。

4.2. 引导学生在课后继续探究数学归纳法的应用和证明过程，拓展数学学科知识和思维能力。

七、教学反思本节课以讲授法为主，通过例题演示和自主探究等教学方法，引导学生全面掌握数学归纳法的基本概念、方法和应用，同时注重培养学生的数学思维能力和创新意识。

但需要注意的是，在引入数学归纳法的应用问题和证明过程时，要让学生理解问题的本质和证明过程的严密性，引导学生养成严谨的数学思维习惯。

高中数学第三册_选修Ⅱ_第二章第一节数学归纳法课件数学归纳法

教学设计
教学目标：根据大纲的要求，贯穿以创新精神为内核的素质教育为宗旨，本着教材特点和学生认知思维特征确定本目标：⑴知识目标：理解.归纳法和数学归纳法含义和本质，掌握其证题原理，会用数学归纳法证明简单的恒等式。

⑵能力目标：培养由特殊到一般的思、维能力，通过特殊事例探究、引导学生观察、归纳、猜想等推理方法，提高分析、综合、抽象概括逻辑思维能力。

⑶.情感目标：既教猜想、又教证明，鼓励学生大胆参与探究，培养学生感悟数学内在美和良好文化素养。

3、重、难点的确定
重点：使学生理解数学归纳法的实质，掌握其证题2个步骤和一个结论（特别注意递推步骤中归纳假设运用和恒等变换的运用。

）
难点：如何理解数学归纳法的递推性即从有限的步骤完成无限的命题的证明？递推步骤归纳假设如何充分利用？不突破以上难点，学生会怀疑数学归纳法的可靠性，只知形式上模仿而不会知其所以然，对进一步学习造成极大阻碍。

附：板书设计。

高中数学(人教B版)选择性必修三：数学归纳法【精品课件】

[基础自测]
1．一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，第 n 层和第 n＋1 层花盆总数分别是 f(n)和 f(n＋1)，则 f(n) 与 f(n＋1)的关系为( )
A．f(n＋1)－f(n)＝n＋1 B．f(n＋1)－f(n)＝n C．f(n＋1)－f(n)＝2n D．f(n＋1)－f(n)＝1
ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1 ＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1 ＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1. 由归纳假设，得上式中的两项均能被 a2＋a＋1 整除，故 n ＝k＋1 时命题成立．由(1)(2)知，对 n∈N＋，命题成立．
故 f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＋k＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2. ∴当 n＝k＋1 时，结论正确．由(1)(2)可知，上述结论对一切 n≥2 均成立．
题型五数学归纳法证明不等式例 5 已知 Sn＝1＋12＋13＋…＋1n(n>1，n∈N＋)，求证：S2n>1 ＋n2(n≥2，n∈N＋)．
状元随笔对于多项式 A，B，如果 A＝BC，C 也是多项
式，那么 A 能被 B 整除．若 A，B 都能被 C 整除，则 A＋B，A －B 也能被 C 整除．
方法归纳
利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式．这就往往要涉及到“添项”“减项”与“因式分解”等变形技巧，凑出 n＝k 时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．
状元随笔注意左端特征，共有 n＋2 项，首项为 1，最后一项为 an＋1.
方法归纳
1．验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为 1.

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 2.3.1 数学归纳法》8

数学归纳法教学设计人教版选修2-2第二章第三节古建能【教材分析】1、教学内容：数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。

2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。

教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。

【学情分析】高二理科学生继学习完归纳与类比推理，证明方法中的综合法与分析法、反证法的基础上，在学生已具备归纳的思想，进一步学习证明方法的过程中学习本节知识的。

【教学目标】知识与技能：1 了解由归纳法得出的结论具有不可靠性, 理解数学归纳法的原理与本质;2 掌握数学归纳法证题的两个步骤及其简单应用；3 培养学生观察、探究、分析、论证的能力, 体会类比的数学思想．过程与方法:1创设情境，激发学生学习兴趣，让学生体验知识的发生与发展过程;2通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生严谨的逻辑推理意识，并初步掌握论证方法;3通过发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力情感与价值观:1 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神；2通过对数学归纳法原理和本质的讨论，培养学生团结协作的精神；3通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神；【教学重点】（1）初步理解数学归纳法的原理．（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤．（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数有关数的恒等式．【教学难点】（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性．（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=1时结论正确．【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法【教学手段】aichoo 教学软件，平板电脑，多媒体辅助课堂教学【教学过程】一、创设情境，提出问题问题、数列{}(),1,1,*11N n a a a a a nn n n ∈+==+已知通过对4,3,2,1=n 前4项归纳，猜想出：n a n 1=，如何证明？为了寻求一种能够证明与正整数有关的数学问题的方法，从而引入本节课的新课内容一数学归纳法。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 2.3.1 数学归纳法》05

2若第块倒下时，
则相邻的第1块也倒下
传递
（2）假设当时，猜想成，即
那么，当时，
所以当时，猜想也成立
根据1和2,可知不论有
多少块骨牌,都能全部倒下
由（1）（2）可知，有成立
1块也倒下。
尝试用多米诺骨牌游戏的原理证明上述猜想
这种一种严格的证明方法──数学归纳法
提炼原理，得出概念：
一般地，证明一个与自然数有关的命题，可按下列步骤进行：
则当n=1时，代入135…2n－1=n2
得135…2－1 2 1－1
所以当n=1时，等式成立。
根据（1）和（2）可知，等式对任意，等式成立。
讲
授
新
课
课
堂
练
习
例2求证：
证明：（1）当n=1时，左边＝，右边= 等式成立。
（2）假设当n=时，等式成立，即
则当n=1时，
所以当n=1时，等式成立
根据（1）和（2）可知，等式对任意，等式成立。
概
念
形
成
概
念
形
成
观看多米诺骨牌的相关视屏，
要保证这个游戏成功，必须满足什么条件？
（1）第一块骨牌倒下；（基础）
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。（传递）
注：条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第块倒下时，相邻的第
多米诺骨牌游戏的原理
尝试证明猜想成立
⑴第一块骨牌倒下
基础
（1）当n=1时猜想成立
《数学归纳法》教案
教
学
目
标
（1）理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤。
（2）通过学习数学归纳法，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律。

人教版高中选修(B版)2-22.3.2数学归纳法应用举例课程设计

人教版高中选修(B版)2-22.3.2数学归纳法应用举例课程设计一、课程背景本课程是高中数学选修课程中的一部分，内容涉及数学归纳法的应用举例。

数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，它可以用来证明一些结论在自然数范围内成立。

在数学学科中的许多理论都是基于数学归纳法而建立的，因此掌握数学归纳法的应用技巧和方法对于学生们来说是至关重要的。

二、教学目标通过本课程的学习，学生将了解以下内容：1.掌握数学归纳法的基本概念和原理；2.学习数学归纳法的应用技巧和方法；3.能够使用数学归纳法解决数学问题；4.培养学生的逻辑推理能力和创新思维能力。

三、教学内容及方法1. 教学内容1.数学归纳法的基本概念和原理；2.数学归纳法的应用技巧和方法；3.数学问题的解决方法。

2. 教学方法1.讲授法：通过讲解数学归纳法的基本概念和原理，帮助学生理解数学归纳法的应用条件和方法；2.演示法：通过举一些具体的数学问题，演示数学归纳法的应用过程；3.组织实践活动：通过组织学生进行小组讨论，解决一些实际问题，帮助学生提高自己的解决问题的能力；4.课堂互动：通过提问、答疑等互动方式，促进学生参与课堂，激发学生学习的积极性。

四、教学过程设计1. 导入环节通过提出一个关于数学归纳法的问题引导学生思考，激发学生的学习兴趣。

例如：如果证明一个命题在自然数n=1时成立，同时假设当n=k时成立，证明当n=k+1时也成立，我们会用到哪个方法呢？2. 分组讨论学生们分成小组进行讨论，解决一些实际问题，例如：1.证明1+2+3+…+n=n(n+1)/2；2.证明任何正整数的平方一定是奇数或偶数；3.证明2^n>n，n>=4；4.证明S(n)=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6。

学生们在小组内讨论，交流想法和解题方法，达到相互学习的效果。

3.虚拟实验通过在电子课本或网上模拟工具上进行一些数学归纳法的应用实验，学生可以更加深入地了解数学归纳法的应用。

高中数学第3章数学归纳法与贝努利不等式章末复习课讲义新人教B版选修4_5

第3章数学归纳法与贝努利不等式[自我校对]①柯西不等式 ②贝努利不等式证明中，首先进行归纳假设，而且必须应用归纳假设(n ＝k 时，命题成立)，推出n ＝k ＋1时，命题成立．【例1】用数学归纳法证明，对于n ∈N ＋， 11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝n n ＋1. [精彩点拨] 按照数学归纳法的步骤证明即可．[规范解答] (1)当n ＝1时，左边＝11×2＝12，右边＝12，所以等式成立．(2)假设n ＝k 时等式成立，即11×2＋12×3＋13×4＋…＋1k (k ＋1)＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，11×2＋12×3＋13×4＋…＋1k (k ＋1)＋1(k ＋1)(k ＋2) ＝kk ＋1＋1(k ＋1)(k ＋2)＝k 2＋2k ＋1(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋1k ＋2，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知对于任意n ∈N ＋，等式都成立．1．用数学归纳法证明：对任意的n ∈N ＋， 11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝n 2n ＋1. [证明] (1)当n ＝1时，左边＝11×3＝13，右边12×1＋1＝13，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋且k ≥1)时等式成立，即有11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＝k 2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k 2k ＋1＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (2k ＋3)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝2k 2＋3k ＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋3＝k ＋12(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切x ∈N ＋等式都成立.们常用归纳——猜想——证明的方法来解决与正整数有关的归纳型和存在型问题．【例2】设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ＝1,2,3，….(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出数列{a n }的一个通项公式；(2)当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1，有①a n ≥n ＋2；②11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n ≤12.[精彩点拨] (1)通过观察数列{a n }的前4项，归纳猜想得到数列{a n }的通项公式，(2)利用数学归纳法证明．[规范解答] (1)由a 1＝2，得a 2＝a 21－a 1＋1＝3；由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4；由a 3＝4，得a 4＝a 23－3a 3＋1＝5. 由此猜想：a n ＝n ＋1(n ∈N ＋)． (2)①用数学归纳法证明：当n ＝1时，a 1≥3＝1＋2，不等式成立；假设当n ＝k 时，不等式成立，即a k ≥k ＋2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a 2k －ka k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k )＋1＝2(k ＋2)＋1 ≥k ＋3＝(k ＋1)＋2，也就是说，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥(k ＋1)＋2. 综上可得，对于所有n ≥1，有a n ≥n ＋2. ②由a n ＋1＝a n (a n －n )＋1及①，对k ≥2，有a k ＝a k －1(a k －1－k ＋1)＋1≥a k －1(k －1＋2－k ＋1)＋1＝2a k －1＋1≥2·(2a k －2＋1)＋1＝22a k －2＋2＋1≥23a k －3＋22＋2＋1≥… ∴a k ≥2k －1a 1＋2k －2＋…＋2＋1＝2k －1a 1＋2k －1－1＝2k －1(a 1＋1)－1，于是1＋a k ≥2k －1(a 1＋1)，11＋a k ≤11＋a 1·12k －1，k ≥2. ∴11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n≤11＋a 1＋11＋a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1 ＝11＋a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1 ＝21＋a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＜21＋a 1≤21＋3＝12. 因此，原不等式成立．2．对于一切正整数n ，先猜出使t n ＞n 2成立的最小的正整数t ，然后用数学归纳法证明，并再证明不等式：n (n ＋1)·lg 34＞lg(1·2·3·…·n )． [解] 猜想当t ＝3时，对一切正整数n 使3n＞n 2成立．下面用数学归纳法进行证明．当n ＝1时，31＝3＞1＝12，命题成立．假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，3k ＞k 2成立，则有3k ≥k 2＋1. 对n ＝k ＋1,3k ＋1＝3·3k ＝3k ＋2·3k≥k 2＋2(k 2＋1)＞3k 2＋1.∵(3k 2＋1)－(k ＋1)2＝2k 2－2k ＝2k (k －1)≥0， ∴3k ＋1＞(k ＋1)2，∴对n ＝k ＋1，命题成立．由上知，当t ＝3时，对一切n ∈N ＋，命题都成立．再用数学归纳法证明：n (n ＋1)·lg 34＞lg(1·2·3·…·n )．当n ＝1时，1·(1＋1)·lg 34＝lg 32＞0＝lg 1，命题成立．假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，k (k ＋1)·lg 34＞lg(1·2·3·…·k )成立．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)(k ＋2)·lg 34＝k (k ＋1)·lg 34＋2(k ＋1)·lg 34＞lg(1·2·3·…·k )＋12lg 3k ＋1＞lg(1·2·3·…·k )＋12lg(k ＋1)2＝lg[1·2·3·…·k ·(k ＋1)]，命题成立．由上可知，对一切正整数n ，命题成立.较复杂．因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“P (k )”是问题的条件，而命题P (k ＋1)成立就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键，下面简要分析一些常用技巧．1．分析综合法用数学归纳假设证明关于自然数n 的不等式，从“P (k )”到“P (k ＋1)”，常常可用分析综合法．【例3】求证：11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)<n ，n ∈N ＋. [精彩点拨] 要证不等式左边是n 项，右边是一项，当n ＝k ＋1时，要结合归纳假设，利用分析综合法证明不等式．[规范解答] (1)当n ＝1时，因为11×2＝12<1，所以原不等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N ＋，且k ≥1)时，原不等式成立，即有 11×2＋12×3＋…＋1k (k ＋1)<k . 则当n ＝k ＋1时， 11×2＋12×3＋…＋1k (k ＋1)＋1(k ＋1)(k ＋2)<k ＋1(k ＋1)(k ＋2). 因此，欲证明当n ＝k ＋1时，原不等式成立，只需证明k ＋1(k ＋1)(k ＋2)<k ＋1成立．即证明k ＋1－k >1(k ＋1)(k ＋2).从而转化为证明1k ＋1＋k >1k 2＋3k ＋2，也就是证明k 2＋3k ＋2>k ＋1＋k . 而(k 2＋3k ＋2)2－(k ＋1＋k )2＝k 2＋k ＋1－2k (k ＋1)＝(k (k ＋1)－1)2>0.从而k 2＋3k ＋2>k ＋1＋k . 于是当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．由(1)(2)可知，当n 是任意正整数时，原不等式都成立．3．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n2n ＋1(n ∈N ＋)．[证明] ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，左边≥右边，结论成立； ②假设n ＝k 时，不等式成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k2k ＋1.当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2，下面证3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1. 作差得3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2－3(k ＋1)2(k ＋1)＋1＝k (k ＋2)(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＞0，得结论成立，即当n ＝k ＋1时，不等式也成立，由①和②知，不等式对一切n ∈N ＋都成立． 2．放缩法涉及关于正整数n 的不等式，从“k ”过渡到“k ＋1”，有时也考虑用放缩法．【例4】用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ＋，n >1)．[精彩点拨] n ＝k ＋1时，12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1＝12k[规范解答] (1)当n ＝2时，左边＝1＋12＋13<2，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，且k ≥2)时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k －1<k ，则当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋…＋12k ＋1－1∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对n 取任意大于1的自然数时不等式都成立．4．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15… ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1>2n ＋12成立． [证明] (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝52，左边>右边，∴不等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥2)时，不等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋12.那么当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12(k ＋1)－1 >2k ＋12×2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋3×2k ＋12×2k ＋1＝2(k ＋1)＋12.∴n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对一切大于1的自然数n ，不等式都成立． 3．递推法用数学归纳法证明与数列有关的问题时，有时要利用a n 与a n ＋1的关系，实现从“k ”到“k ＋1”的过渡．【例5】设0＜a ＜1，定义a 1＝1＋a ，a n ＋1＝1a n ＋a ，求证：对一切n ∈N ＋，有1＜a n ＜11－a .[精彩点拨] 由归纳假设1＜a k ＜11－a ，当n ＝k ＋1时，由递推公式a k ＋1＝1a k＋a ，只要证明1＜1a k ＋a ＜11－a即可．[规范解答] 用数学归纳法．(1)当n ＝1时，a 1＞1，又a 1＝1＋a ＜11－a ，显然命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，命题成立，即1＜a k ＜11－a .当n ＝k ＋1时，由递推公式，知a k ＋1＝1a k＋a ＞(1－a )＋a ＝1，同时，a k ＋1＝1a k ＋a ＜1＋a ＝1－a 21－a ＜11－a，当n ＝k ＋1时，命题也成立．即1＜a k ＋1＜11－a. 综合(1)(2)可知，对一切正整数n ，有1＜a n ＜11－a .5．设{x n }是由x 1＝2，x n ＋1＝x n 2＋1x n (n ∈N ＋)定义的数列，求证：不等式2＜x n ＜2＋1n(n ∈N＋)．[证明] 由于对于任意的k ∈N ＋，x k ＋1＝x k 2＋1x k＞2x k2·1x k＝ 2.所以x n ＞2(n ∈N ＋)显然成立．下面证明：x n ＜2＋1n(n ∈N ＋)．(1)当n ＝1时，x 1＝2＜2＋1，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，不等式成立，即x k ＜2＋1k，那么，当n ＝k ＋1时，x k ＋1＝x k 2＋1x k.由归纳假设，x k ＜2＋1k，则x k 2＜22＋12k ，1x k＞12＋1k.∵x k ＞2，∴1x k ＜22，∴x k ＋1＝x k 2＋1x k ＜22＋12k ＋22＝2＋12k ≤2＋1k ＋1，即x k ＋1＜2＋1k ＋1.探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出结论，需要从特殊情况入手，猜想，探索出结论，再对结论进行证明，主要是应用数学归纳法．【例6】已知f (x )＝1－2x 2n ＋1，g (n )＝n 2－1n 2＋1，当n ≥4时，试比较f (2)与g (n )的大小，并说明理由．[精彩点拨] f (2)＝1－22n ＋1，g (n )＝n 2－1n 2＋1＝1－2n 2＋1，把比较f (2)与g (n )的大小转化为比较2n与n 2的大小．[规范解答] 由f (2)＝1－2(2)2n＋1＝1－22n ＋1， g (n )＝1－2n 2＋1.∴要比较f (2)与g (n )的大小，只需比较2n 与n 2的大小．当n ＝4时，24＝16＝42，当n ＝5时，25＝32>52＝25，当n ＝6时，26＝64>62＝36. 故猜测当n ≥5(n ∈N ＋)时，2n >n 2，下面用数学归纳法加以证明． (1)当n ＝5时，命题显然成立．(2)假设n ＝k (k ≥5，且k ∈N ＋)时，不等式成立，即2k>k 2(k ≥5)，则当n ＝k ＋1时， 2k ＋1＝2·2k >2·k 2＝k 2＋k 2＋2k ＋1－2k ＋1－2＝(k ＋1)2＋(k －1)2－2>(k ＋1)2((k －1)2>2)．由(1)(2)可知，对一切n ≥5，n ∈N ＋，2n>n 2成立．综上可知，当n ＝4时，f (2)＝g (n )＝n 2－1n 2＋1；当n ≥5时，f (2)>g (n )．6．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n <512. [解] (1)由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立． ②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2，所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知，a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数n 都成立． (2)证明：n ＝1时，1a 1＋b 1＝16<512. n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)>2(n ＋1)n .故1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n <16＋1212×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1<16＋14＝512. 综上，当n 取任意大于1的自然数原不等式都成立．1．已知数列{a n }的各项均为正数，b n ＝n ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n na n ()n ∈N ＋，e 为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝1＋x －e x的单调区间，并比较⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n与e 的大小；(2)计算b 1a 1，b 1b 2a 1a 2，b 1b 2b 3a 1a 2a 3，由此推测计算b 1b 2…b na 1a 2…a n的公式，并给出证明；(3)令c n ＝(a 1a 2…a n )1n，数列{a n }，{c n }的前n 项和分别记为S n ，T n ，证明：T n ＜e S n . [解] (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1－e x，当f ′(x )＞0，即x ＜0时，f (x )单调递增；当f ′(x )＜0，即x ＞0时，f (x )单调递减．故f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．当x ＞0时，f (x )＜f (0)＝0，即1＋x ＜e x.令x ＝1n，得1＋1n＜e 1n ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n＜e.(*1)(2)b 1a 1＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋111＝1＋1＝2；b 1b 2a 1a 2＝b 1a 1·b 2a 2＝2·2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝(2＋1)2＝32； b 1b 2b 3a 1a 2a 3＝b 1b 2a 1a 2·b 3a 3＝32·3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋133＝(3＋1)3＝43. 由此推测：b 1b 2…b n a 1a 2…a n＝(n ＋1)n.(*2)下面用数学归纳法证明(*2)．①当n ＝1时，左边＝右边＝2，(*2)成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，(*2)成立，即b 1b 2…b k a 1a 2…a k＝(k ＋1)k.当n ＝k ＋1时，b k ＋1＝(k ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1k ＋1a k ＋1，由归纳假设可得b 1b 2…b k b k ＋1a 1a 2…a k a k ＋1＝b 1b 2…b k a 1a 2…a k ·b k ＋1a k ＋1＝(k ＋1)k ·(k ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1k ＋1＝(k ＋2)k ＋1，所以当n ＝k ＋1时，(*2)也成立．根据①②，可知(*2)对一切正整数n 都成立．(3)由c n 的定义，(*2)，均值不等式(推广)，b n 的定义及(*1)得T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n≤b 11×2＋b 1＋b 22×3＋b 1＋b 2＋b 33×4＋…＋b 1＋b 2＋…＋b nn (n ＋1)＝b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＋b 2⎣⎢⎡12×3＋13×4⎦⎥⎤＋…＋1n (n ＋1)＋…＋b n ·1n (n ＋1)＝b 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1＋…＋b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＜b 11＋b 22＋…＋b n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋111a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n na n ＜e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝e S n ，即T n ＜e S n .2．已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数．(1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明．[解] (1)Y 6＝{}1，2，3，4，5，6，S 6中的元素(a ，b )满足：若a ＝1，则b ＝1,2,3,4,5,6；若a ＝2，则b ＝1,2,4,6；若a ＝3，则b ＝1,3,6. 所以f (6)＝13.(2)当n ≥6时， f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *)．下面用数学归纳法证明： ①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立． ②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：a ．若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；b ．若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k 3＋1 ＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋(k ＋1)－13，结论成立；c ．若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋(k ＋1)－23，结论成立；d ．若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋k ＋13，结论成立；e ．若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k 3＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋(k ＋1)－13，结论成立；f ．若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋(k ＋1)－23，结论成立．综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立．。

新教材人教B版高中数学选择性必修第三册教案设计-数学归纳法

5．5数学归纳法学习目标核心素养1.了解数学归纳法的原理．(重点、易混点)2.掌握数学归纳法的步骤．(难点)3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(难点) 1.通过数学归纳法的学习，培养数学抽象、逻辑推理素养.2.通过利用数学归纳法证明数学命题，提升数学运算素养.一列排好的多米诺骨牌，如果推倒第一张，而且后续的每一张倒下时，能够导致下一张也倒下，则所有的骨牌都能倒下．问题：保证每张骨牌倒下的原因有哪些？由此如何理解数学归纳法的原理．数学归纳法的定义一个与自然数有关的命题，如果(1)当n＝n0时，命题成立；(2)在假设n＝k(其中k≥n0)时命题成立的前提下，能够推出n＝k＋1时命题也成立．那么，这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立．思考：数学归纳法的初始值n0一定是取1吗？[提示]不一定．n0的取值视具体情况而定．拓展：数学归纳法两个步骤的联系：第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成第一步而缺少第二步就作出判断，可能得出不正确的结论．因为单靠第一步，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定，同样只有第二步而缺少第一步时，也可能得出不正确的结论，缺少第一步这个基础，假设就失去了成立的前提，第二步也就没有意义了．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法． ( ) (2)数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1. ( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可． ( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．在应用数学归纳法证明凸多边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [三角形是边数最少的多边形，故第一步应检验n ＝3.]3．用数学归纳法证明：首项是a 1，公差是d 的等差数列的前n 项和公式是S n ＝na 1＋n (n －1)2d 时，假设当n ＝k 时，公式成立，则S k ＝( )A ．a 1＋(k －1)d B.k (a 1＋a k )2C ．ka 1＋k (k －1)2dD ．(k ＋1)a 1＋k (k ＋1)2dC [假设当n ＝k 时，公式成立，只需把公式中的n 换成k 即可，即S k ＝ka 1＋k (k －1)2d .]4．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2，假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是_____．[答案] 122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3.5．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2时，第一步验证n ＝1时，左边应取的项是________．1＋2＋3＋4 [当n ＝1时，左边＝1＋2＋3＋4.]用数学归纳法证明恒等式[证明] (1)当n ＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21×1＝2，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·…·(2k －1)，那么，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2) ＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )·(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2k ·1·3·…·(2k －1)(2k ＋1)·2＝2k ＋1·1·3·…·(2k －1)·[2(k ＋1)－1]＝右边． ∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，原等式均成立．用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项，增加怎样的项.[跟进训练]1．用数学归纳法证明(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N＋)，“从k 到k ＋1”左端增乘的代数式为_______．2(2k ＋1) [令f (n )＝(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，则f (k )＝(k ＋1)·(k ＋2)…(k ＋k )，f (k＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)，所以f (k ＋1)f (k )＝(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．]2．用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)(n ∈N *)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝13×1×(4×12－1)＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13k (4k 2－1)，则当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2 ＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2 ＝13k (2k ＋1)(2k －1)＋(2k ＋1)2 ＝13(2k ＋1)[k (2k －1)＋3(2k ＋1)] ＝13(2k ＋1)(2k 2＋5k ＋3) ＝13(2k ＋1)(k ＋1)(2k ＋3) ＝13(k ＋1)(4k 2＋8k ＋3) ＝13(k ＋1)[4(k ＋1)2－1]，即当n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)(2)知，对一切n ∈N *等式成立.用数学归纳法证明不等式【例2】证明：不等式1＋12＋13＋…＋1n<2n (n ∈N ＋)． [思路点拨] 在由n ＝k 到n ＝k ＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度．[证明] ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k<2k . 则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1＝2k ·k ＋1＋1k ＋1<(k )2＋(k ＋1)2＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1＝2k ＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n∈N＋都成立．1．当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．2．用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时运用归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．运用放缩法时，要注意放缩的“度”．[跟进训练]3．用数学归纳法证明对一切n∈N*,1＋122＋132＋…＋1n2≥3n2n＋1.[证明](1)当n＝1时，左边＝1，右边＝3×12×1＋1＝1，不等式成立．(2)假设当n＝k时，不等式成立，即1＋122＋132＋…＋1k2≥3k2k＋1.则当n＝k＋1时，要证1＋122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2≥3(k＋1)2(k＋1)＋1，只需证3k2k＋1＋1(k＋1)2≥3(k＋1)2k＋3.因为3(k＋1) 2k＋3－＝34(k＋1)2－1－1(k＋1)2＝1－(k＋1)2(k＋1)2[4(k＋1)2－1]＝－k(k＋2)(k＋1)2(4k2＋8k＋3)≤0，所以3k2k＋1＋1(k＋1)2≥3(k＋1)2k＋3，即1＋122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2≥3(k＋1)2(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时不等式成立．由(1)(2)知，不等式对一切n∈N*都成立.归纳——猜想——证明【例3】已知数列{a n}的前n项和为S n，其中a n＝S nn(2n－1)且a1＝13.(1)求a2，a3；(2)猜想数列{a n}的通项公式，并证明．[思路点拨](1)令n＝2,3可分别求a2，a3.(2)根据a1，a2，a3的值，找出规律，猜想a n，再用数学归纳法证明．[解](1)a2＝S22(2×2－1)＝a1＋a26，a1＝13，则a2＝115，类似地求得a3＝1 35.(2)由a1＝11×3，a2＝13×5，a3＝15×7，…，猜得：a n＝1(2n－1)(2n＋1).证明：①当n＝1时，由(1)可知等式成立；②假设当n＝k时猜想成立，即a k＝1(2k－1)(2k＋1)，那么，当n＝k＋1时，由题设a n＝S nn(2n－1)，得a k＝S kk(2k－1)，a k＋1＝S k＋1(k＋1)(2k＋1)，所以S k＝k(2k－1)a k＝k(2k－1)1(2k－1)(2k＋1)＝k2k＋1，S k＋1＝(k＋1)(2k＋1)a k＋1，a k＋1＝S k＋1－S k＝(k＋1)(2k＋1)a k＋1－k2k＋1.因此，k(2k＋3)a k＋1＝k2k＋1，所以a k＋1＝1(2k＋1)(2k＋3)＝1[2(k＋1)－1][2(k＋1)＋1].这就证明了当n＝k＋1时命题成立．由①②可知命题对任何n∈N＋都成立．1．“归纳—猜想—证明”的一般环节2．“归纳—猜想—证明”的主要题型(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和．(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．(3)给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．[跟进训练]4．已知函数y＝f(n)(n∈N＋)，设f(1)＝2，且任意的n1，n2∈N＋，有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)．(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值；(2)试猜想f(n)的解析式，并用数学归纳法给出证明．[解](1)因为f(1)＝2，f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)，所以f(2)＝f(1＋1)＝f(1)·f(1)＝22＝4，f(3)＝f(2＋1)＝f(2)·f(1)＝22·2＝23＝8.f(4)＝f(3＋1)＝f(3)·f(1)＝23·2＝24＝16.(2)猜想：f(n)＝2n(n∈N＋)．用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，f(1)＝21＝2，所以猜想正确．)时猜想正确，即f(k)＝2k，②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋那么当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1，所以，当n＝k＋1时，猜想正确．，都有f(n)＝2n.由①②知，对任意的n∈N＋用数学归纳法解决平面几何问题1.如图，两直线a，b相交，其把平面分成几部分？[提示]4部分．2.如图，三条直线a，b，c两两相交，不共交于一点，其把平面分成几部分？[提示]7部分．3.如图，四条直线a，b，c，d两两相交，交点均不重合，其把平面分成几部分？结合探究1,2分析，如果前k条线两两相交(交点均不重合)把平面分成f(k)部分，再增加一条相交直线(交点均不重合)，其把平面分成f(k＋1)部分，那么f(k＋1)与f(k)之间存在怎样的等量关系？[提示]11部分，f(k＋1)＝f(k)＋k＋1.【例4】(教材P52例2改编)已知n个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：这n个平面把空间分成f(n)＝n(n－1)＋2部分．[证明](1)当n＝1时，1个平面把空间分成2部分，而f(1)＝1×(1－1)＋2＝2(部分)，所以命题正确．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即k个符合条件的平面把空间分为f(k)＝k(k－1)＋2(部分)，当n＝k＋1时，第k＋1个平面和其他每一个平面相交，使其所分成的空间都增加2部分，所以共增加2k部分，故f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2＋2k＝k(k－1＋2)＋2＝(k＋1)[(k＋1)－1]＋2(部分)，即当n＝k＋1时，命题也成立．根据(1)(2)，知n个符合条件的平面把空间分成f(n)＝n(n－1)＋2部分．用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k增加到k＋1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k与k＋1之间的递推关系.[跟进训练]5．平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证：交点的个数f(n)＝n(n－1)2.[证明](1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n＝2时，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)＝12k(k－1)，那么，当n＝k＋1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为f(k)＝12k(k－1)，l与其他k条直线的交点个数为k，从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，即f(k＋1)＝f(k)＋k＝12k(k－1)＋k＝12k(k－1＋2)＝12k(k＋1)＝12(k＋1)[(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N*(n≥2)命题都成立.1．数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可．有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础．2．归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n ＝k ＋1时，必须用上归纳假设．3．利用归纳假设的技巧在推证n ＝k ＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n ＝k 与n ＝k ＋1之间的关系．4．数学归纳法的适用范围数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除法、几何问题、探求数列的通项及前n 项和等问题中．1．用数学归纳法证明“凸n 边形的内角和等于(n －2)π”时，归纳奠基中n 0的取值应为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [边数最少的凸n 边形为三角形，故n 0＝3.]2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－an ＋21－a(n ∈N ＋，a ≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为( )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3B [当n ＝1时，n ＋1＝2，故左边所得的项为1＋a ＋a 2.]3．用数学归纳法证明关于n 的恒等式时，当n ＝k 时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2，则当n ＝k ＋1时，表达式为________．1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)(3k ＋4)＝(k ＋1)(k ＋2)2 [当n ＝k ＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1.] 4．以下是用数学归纳法证明“n∈N＋时，2n＞n2”的过程，证明：(1)当n＝1时，21＞12，不等式显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时不等式成立，即2k＞k2.那么，当n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.即当n＝k＋1时不等式也成立．根据(1)和(2)，可知对任何n∈N＋不等式都成立．其中错误的步骤为________(填序号)．(2)[在2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1中用了k2≥2k＋1，这是一个不确定的结论．如k＝2时，k2＜2k＋1.]5．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，(n2－1)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝n2(n－1)(n＋1)4.[证明](1)当n＝1时，左边＝12－1＝0，右边＝12×(1－1)×(1＋1)4＝0，所以等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝k2(k－1)(k＋1)4.那么当n＝k＋1时，有[(k＋1)2－1]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k·[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]＝(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)(1＋2＋…＋k)＝k2(k－1)(k＋1)4＋(2k＋1)k(k＋1)2＝14k(k＋1)[k(k－1)＋2(2k＋1)]＝14k(k＋1)(k2＋3k＋2)＝(k＋1)2[(k＋1)－1][(k＋1)＋1]4.所以当n＝k＋1时等式成立．由(1)(2)知，对任意n∈N＋等式成立．。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 2.3.2 数学归纳法应用举例》6

数学归纳法【教学目标】知识与技能：理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的步骤；过程与方法：经历观察、思考、分析、抽象、概括出数学归纳法的两个步骤，初步形成归纳、猜想和发现的能力；情感态度价值观：通过数学归纳法的学习初步形成严谨务实的科学态度和严谨的数学思维品质与数学理性精神。

【教学重点】理解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤。

【教学难点】运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

【教后反思】【教学过程】一、探索新知1、了解多米诺骨牌游戏，可得，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

思考：条件（1）（2）的作用是什么？2、用多米诺骨牌原理解决数学问题。

思考：你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？分析：3、数学归纳法的原理一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值0n 时命题成立（0n 为n 取的第一个值）；（2）（归纳递推）假设),(*0N k n k k n ∈≥=时命题成立，证明当1+=k n 时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立。

上述证明方法叫做数学归纳法。

注：（1）这两步步骤缺一不可；（2）用数学归纳法证明命题时第二步必须用到归纳假设；（3）数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。

二、例题讲解例一、已知数列{}n a ,111,1n n n a a a a +==+，用数学归纳法证明其通项公式为1n a n =。

【教学预设】【教学过程】【学生活动】例二、用数学归纳法证明：等差数列{a n }中，a 1为首项，d 为公差，则通项公式为d n a a n )1(1-+= 。

【教学预设】【教学过程】【学生活动】例三、用数学归纳法证明：2)1()13(1037241+=+++⨯+⨯+⨯n n n n 。

数学：2.3《数学归纳法》教案(新人教A版选修2-2)

数学： 2.3 《数学概括法》教课设计（新人教 A 版选修 2-2 ）第一课时 2.3数学概括法（一）教课要求：认识数学概括法的原理 , 并能以递推思想作指导 , 理解数学概括法的操作步骤 , 能用数学概括法证明一些简单的数学命题 , 并能严格依据数学概括法证明问题的格式书写 .教课重点：能用数学概括法证明一些简单的数学命题 . 教课难点：数学概括法中递推思想的理解 .教课过程：一、复习准备：a n1. 问题：在数列 { a n } 中 , a 1 1,a n ,( n*) , 先算出 a 2 , a 3 , a 4 的值 , 再11N1推断通项 a n 的公式 .1 1 a n 1a 41 由此获得： a n* ）（过程： a 2, a 3, , , n N 2. 问题 2： 2 n 41 , 234nf (n) n nf (n) 能否都为质数？当 ∈N 时,过程： f (0) =41, f (1) =43, f (2) =47, f (3) =53,f (4) =61, f (5) =71, f (6) =83,f (7) =97, f (8) =113, f (9) =131, f (10) =151, f (39) =1 601 ．可是 f (40) =1681=412 是合数3. 问题 3：多米诺骨牌游戏 . 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的摆列 , 保证前一张牌倒则后一张牌也必然倒 .二、讲解新课：1. 教课数学概括法观点：① 给出定义：概括法：由一些特别案例推出一般结论的推理方法 . 特色：由特别→一般 .不完整概括法：依据事物的部分 ( 而不是所有 ) 特例得出一般结论的推理方法叫不完整概括法 .完整概括法：把研究对象一一都考察到了而推出结论的概括法称为完整概括法 .② 议论：问题 1 中, 假如 n=k 猜想建立 , 那么 n=k+1 能否建立？对所有的正整数 n 能否建立？③ 提出数学概括法两大步：（i ）概括奠定：证明当 n 取第一个值 n 0 时命题建立；（ ii ）概括递推：假定 n=k （ k ≥ n 0 , k ∈N* ）时命题建立 , 证明当 n=k+1 时命题也建立 . 只需达成这两个步骤 , 就能够判定数题对从 n 0 开始的所有正整数 n 都建立 .原由：在基础和递推关系都建即刻 , 能够递推出对所有不小于 n 0 的正整数 n 0+1, n 0+2, , 命题都建立 . 重点：从假定 n=k 建立 , 证得 n=k+1 建立 .2. 教课例题：① 出示例 1： 12 2 2 3 2 K n 2 n ( n 1)(2 n 1) , n N * .剖析：第 1 步怎样写？ n k 的假定怎样写？ 6待证的目标式是什么？怎样从假= 设出发？小结：证 n=k+1 时, 需从假定出发 , 对照目标 , 剖析等式两边同增的项 , 朝目标进行变形 . ② 练习：求证：1 4 2 7 3 10 K n(3n 1) n( n 1)2 ,n N * .1③ 出示例：设 a n ＝ 1×2 + 2×3 n(n 1) ( n ∈ N*),a( n ＋ 1) 2 . 21 + + 1 求证： n <2 重点：a k 1 < ( k ＋1) 2 + (k 1)(k 2) ＝ ( k+1) 2+ k 2 3k12 +( k+ 3)2 22 < ( k+1)22＝ 1( k+2) 22, 对照目标发现放缩门路 .变式：求证 a n > 1 n n ＋ 1) 小结：放缩法2 (3. 小结：书写时一定明确写出两个步骤与一个结论 ,注意“递推基础不行少 , 归纳假定要用到, 结论写明莫忘记”；从 n k 到 n k时 ,变形方法有乘法公式、== +1因式分解、添拆项、配方等 .三、稳固练习： 1. 练习：教材 108 练习 1、2 题 2. 作业：教材 108 B 组 1、2、3 题 . 第二课时 2.3 数学概括法（二）教课要求：认识数学概括法的原理 , 并能以递推思想作指导 , 理解数学概括法的操作步骤 , 能用数学概括法证明一些简单的数学命题 , 并能严格依据数学概括法证明问题的格式书写 .教课重点：能用数学概括法证明一些简单的数学命题 .教课难点：经历试值、猜想、概括、证明的过程来解决问题 . 教课过程：一、复习准备：1. 练习：已知 f (n) 1 3 5 L2n 1 , n N * , 猜想 f (n) 的表达式 , 并给出证明？过程：试值 f (1) 1, f (2) 4 , , → 猜想 f ( n) n 2→ 用数学概括法证明 .2. 发问：数学概括法的基本步骤？二、讲解新课：1. 教课例题：1 , 11 1① 出示例 1：已知数列2 8 , , , 1) , 猜想 S n 的表达式 , 并证明 .5 5 8 11 (3n (3n 2)剖析：怎样进行猜想？（试值 S 1 ,S 2 , S 3 ,S 4 →猜想 S n ） → 学生练惯用数学概括法证明 → 议论：怎样直接求本题的 S n ？（裂项相消法）小结：探究性问题的解决过程（试值→猜想、概括→证明） ②练习：是否存在常数 a 、 b 、 c 使得等式1 32 43 5 ...... n( n 2)1 n( an2 bn c) 对全部自然数 n 都建立 ,试证明你的结论 .6解题重点：试值 n=1,2,3, → 猜想 a 、 b 、 c → 数学概括法证明2. 练习：① 已知111a i 0 (i 1,2,L , n) ,考察 (i) a1a 11； (ii ) (a 1 a 2 )( a 1 a 2 ) 4 ；(iii ) (a 1 a 2 a 3)(1) 9以后概括出对 a 1 ,a 2 ,L ,a n 也建立的近似不等式并证明你11的结论 . a 1a 2a 3② （ 89 年全国理科高考题）能否存在常数a 、b 、c, 使得等式（答案：a=3, b=11, c=10）1 22 2 32 .....n(n 1)2n( n 1) ( an 2 bnc) 对全部自然数 n 都建立？并证明你的结论123. 小结：探究性问题的解决模式为“一试验→二概括→三猜想→四证明” . 三、稳固练习：1. 平面内有 n 个圆 , 随意两个圆都订交于两点 , 任何三个圆都不订交于同一点 , 求证这 n 个圆将平面分红 f ( n)= n 2－ n+2 个部分 .2.能否存在正整数 m, 使得 f （ n） =（ 2n+7）·3n+9 对随意正整数 n 都能被 m 整除 ?若存在 , 求出最大的 m值 , 并证明你的结论；若不存在 , 请说明原由 . （答案：m=36）3.试证明面值为 3 分和 5 分的邮票可支付任何n (n 7, n N )的邮资 .证明：（ 1）当n 8,9,10时, 由8 3 5,9 333,10 5 5可知命题建立；（ 2）假定n k ( k 7, k N ) 时,命题建立.则当 n k 3 时,由（1）及概括假定 , 明显n k 3 时建立.依据（1）和（2）,可知命题建立 .小结：新的递推形式 , 即（ 1）考证P(n0 ), P(n01),L, P( n0 l1)建立(l N )；（）2假定 P(k ) 建立,并在此基础上 , 推出P( k l )建立 .依据 (1)和 (2),对全部自然数 n ( n0 ) ,命题 P( n) 都建立.2.作业：。

人教B版高中数学第三册_选修Ⅱ_第二章第一节数学归纳法课件数学归纳法

数学归纳法教学设计课标分析1知识目标使学生了解数学归纳法的发现过程，理解数学归纳法原理；理解数学归纳法的操作步骤；能用数学归纳法证明一些简单的数学命题并能正确书写证明步骤.2能力目标培养学生观察、猜想、归纳、发现问题的能力；培养学生数学思维能力、推理论证能力以及分析问题和解决问题的能力.3情感目标使学生在发现数学归纳法的过程中，体验数学研究的过程和发现的乐趣，激发学生学习数学的兴趣，使学生经历数学思维过程，获得成功的体验.重点、难点重点是如何在较短的时间内，使学生理解“归纳法”和“数学归纳法”的实质，接受数学归纳法的证题思路.难点有两个，一是学生初步对数学归纳法原理的理解；二是数学归纳法的两个步骤及其作用.教学过程1.从思考题中引入课题（1）、已知数列{}n a ， ...)4,3,2,1(1,111=+==+n a a a a nn n （1）求出其前四项4321,,,a a a a ，（2）你能得到什么样的猜想？猜想一定正确吗？（2）、某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的【设计意图】逐一验证是不可能的．那么，我们应该思考“怎样通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立”的问题．引出课题“这就是我们今天要研究的直接证明数学问题的一种方法——数学归纳法”．2.数学归纳法概念的形成数学归纳法: 对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题,我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：（1）（归纳奠基）证明当取第一个值(,例如=1或)时,命题成立；（2）（归纳递推）假设时命题成立,证明当时命题也成立；根据（1）和（2），可知命题对于从开始的所有正整数都成立. 3、数学归纳法的应用例1. 用数学归纳法证明：)()12312*∈=-+++N n n n （【设计意图】应用归纳推理，发现新事实，获得新结论，这是数学归纳法的先行组织者；该思考题出现在本章第一节的合情推理中，是课标教材“螺旋式”上升的具体体现，其思维模式就是“观察——归纳——猜想——证明”．【练习1】用数学归纳法证明：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n ＋1) ＝1(1)(2)3n n n ++【设计意图】根据例1，学生完成练习1，体会数学归纳法的步骤。

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2021年高中数学2.3数学归纳法教学案理新人教B版选修2-2
【教学目标】了解数学归纳法的原理及使用范围，初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论，会用数学归纳法证明一些简单的等式问题；通过对归纳法的复习，体会不完全归纳法的弊端，通过实例理解理论与实际的辨证关系；在学习中感受探索发现问题、提出问题的，解决问题的乐趣.
【教学重点】数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设【教学难点】数学归纳法的原理
一、课前预习：（阅读教材69页，完成知识点填空）
1．数学归纳法的证题步骤
一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当取时命题成立；
(2)(归纳递推)假设当（）时命题成立，推出当时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立．
上述证明方法叫做数学归纳法．
2．用框图表示数学归纳法的步骤
思考：
(1)在数学归纳法的第一步归纳奠基中，第一个值是否一定为1?
(2)所有与正整数有关的命题都可以用数学归纳法证明吗？
(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设是否一定要用上？
二、课上学习：
例1：用数学归纳法证明：
2
3
3
3
3]
2
)1
(
[
...
3
2
1
+
=
+
+
+
+
n
n
n
例2：设n ∈N*，n>1，用数学归纳法证明1＋12＋13＋ (1)
>n.
例3:用数学归纳法证明(3＋1)·－1(n ∈N*)能被9整除．
例4:自学教材71页例2，探究72页练习B 第2题. 三、课后练习：
1．若)*(121...31211)(N n n n f ∈+++++
=，则时，是( )
A ．1 B.13 C ．1＋12＋13 D ．非以上答案
2．一个关于自然数的命题，如果验证时命题成立，并在假设时命题成立的基础上，证明了时命题成立，那么综合上述说法，可以证明对于( )
A ．一切自然数命题成立 B ．一切正奇数命题成立 C ．一切正偶数命题成立 D ．以上都不对 3．利用数学归纳法证明不等式14131 (2)
111>++++++n n n n 时，由递推到左边应添加的因式A. B. C. D. 4．用数学归纳法证明
2121)1(1...3121222+->++++n n ()，假设当时不等式成立，则当时，应推证的目标不等式是________．
5.用数学归纳法证明：a a a
a a n n --=++++++11...1212 ()，在验证成立时，左边所得的项为( ) A ．1 B ． C ． D ．
6.设Sk ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ，则Sk ＋1为( ) A ．Sk ＋12k ＋2 B ．Sk ＋12k ＋1＋12k ＋2 C ．Sk ＋12k ＋1－12k ＋2 D ．Sk ＋12k ＋2－12k ＋1。