北化研究生课程数理统计11图文.ppt
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数理统计的基本知识.ppt
设 x1, x2,…, xn 是相应于样本 X1, X2, …,Xn 的样本值，则称 g(x1，x2，…, xn) 是统计量T = g(X1,X2,…,Xn)的观察值．
二、样本矩
下面给出几个常用的统计量．设(X1，X2，…，Xn)是来自总体 X 的一个样
本，(x1，x2，…，xn)是样本观察值，定义:
频数
2 0 0 2 2 8 13 23 24 21 14 6 2 2 0 1
组中值
0.645 0.665 0.685 0.705 0.725 0.745 0.765 0.785 0.805 0.825 0.845 0.865 0.885 0.905 0.925 0.945
直方图中第 i 个小矩形面积 yiΔt=fi (i=1，2，…，k)，k 个小矩形的面积之 和为1．
由于样本观察值的 n 个数值 x1，x2，…，xn是从总体X 中独立抽取的，它 们落入区间 (ti-1,ti] 的频率 fi 近似等于随机变量 X 在该区间内取值的概率，即
fi≈P{ti-1<X≤ti}=pi，i=1，2，…，k，
一、样本分布函数
样本能够反映总体X的信息，总体X的分布函 数F(x)是否能由样本来“表示”？回答是肯定的， 我们用下面介绍的样本函数来近似表示总体X的 分布函数．
定义 设x(1)，x(2)，…，x(n)是总体X的顺序统计量的一组观察值，对于任 意的实数x，定义函数
0, x x(1) ;
Fn
(
x)
i n
,
x(i) x x(i1) ,
1, x x(n) .
i 1, 2,, n 1;
称 Fn(x) 为 总 体 X 的 样 本 分 布 函 数 (或 经 验 分 布 函 数)．
【概率论与数理统计ppt课件】概率论与数理统计课件
【概率论与数理统计ppt课件】概率论与数理统计课件概率论与数理统计课件一、内容简介概率论与数理统计是从数量侧面研究随机现象规律性的数学理论，其理论与方法已广泛应用于工业、农业、军事和科学技术中。
主要包括：随机事件和概率，一维和多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律与中心极限定理，参数估计，假设检验等内容。
二、本课程的目的和任务本课程是工科以及管理各专业的基础课程，课程内容侧重于讲解概率论与数理统计的基本理论与方法，同时在教学中结合各专业的特点介绍性地给出在各领域中的具体应用。
课程的任务在于使学生初步掌握处理随机现象的基本理论和方法，培养他们解决某些相关实际问题的能力。
三、本课程与其它课程的关系学生在进入本课程学习之前，应学过下列课程：高等数学、线性代数这些课程的学习，为本课程提供了必需的数学基础知识。
本课程学习结束后，学生可具备进一步学习相关课程的理论基础，同时由于概率论与数理统计的理论与方法向各基础学科、工程学科的广泛渗透，与其他学科相结合发展成不少边缘学科，所以它是许多新的重要学科的基础，学生应对本课程予以足够的重视。
四、本课程的基本要求概率论与数理统计是一个有特色的数学分支，有自己独特的概念和方法，内容丰富，结果深刻。
通过对本课程的学习，学生应熟练掌握概率论与数理统计中的基本理论和分析方法，能熟练运用基本原理解决某些实际问题。
具体要求如下：(一)随机事件和概率1、理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系和运算。
2、理解概率的定义，掌握概率的基本性质，并能应用这些性质进行概率计算。
3、理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能应用这些公式进行概率计算。
4、理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。
5、掌握伯努利概型及其计算。
(二)随机变量及其概率分布1、理解随机变量的概念2、理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。
概率论与数理统计 数理统计基础 ppt课件
F 分布： 设 X ~ 2(m),Y ~ 2(n) ，且 X 与 Y 相互独立，则称
F X / m nX Y / n mY
服从自由度为（m,n）的 F 分布，记为 F ~ F(m, n)
概率论与数理统计 概率论与数理统计 数理统计基础
抽样分布的途径： （1） 精确地求出抽样分布，并称相应的统
O
1.0
2.0
x
概率论与数理统计 数理统计基础
例 2（133.例 4）设总体 X 服从标准正态分
布, X1, X2,, Xn 是来自总体 X 的一个简单随 机样本, 试问统计量
Y
n 5
1
5 i 1
X
2 i
服从何种分布?
n
X
2 i
,
i6
n5
概率论与数理统计 数理统计基础
❖某学院今年将扩招硕士，预计招硕士新生 100人，按入学考试成绩录取，现有1000人 报名，可认为考试成绩X服从正态分布，经 往年报考成绩数据估算，X～N(350,400).那 么该学院今年应如何确定录取分数线？
例 3（129.例 1）设 0.05, 求标准正态分 布的水平 0.05 的上侧分位数和双侧分位数.
P{|X|u/2}
( uP 0 P .0{ { 5/X X 2) 1u u 0 //2 2 .或 2 } 0 5X P { 0X .u 9 7 /5 2 u } /2 }
2 uP 0{ .02X 5 1 .9u 6/2 } 2 ( u /2 )
试求常数 C, 使CY 服从 2 分布.
概率论与数理统计 概率论与数理统计 数理统计基础
t
设 X~N(0,1),Y~2(n),且 X , Y 相互独立,令
t X Y /n
研究生《数理统计》完整课件讲义
解. 由题意，X (t) 可表示为
X (t) a cos(t ), t
其中随机变量 的分布律为
0
P
23 13
所以
mX (t) EX (t) Ea cos(t )
a cost 2 (a cost) 1
3
3
a cost, 3
RX (t1, t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
2
F
(x;
2
)
0, x 1, x
0 0
（2）X (0) A, X ( ) A ,二维随机变量
32
( A, A 2) 的分布律为
(A, A 2)
P
(1,1 2) (2,1) (3, 3 2)
13
13
13
x2
D4
D2
D3
D1
o
O
x1
二维分布函数为
F (x1,
x2 ;0,
3
)
P{A
x1 ,
A 2
例2. 西安地区从2012年开始，第n年的 降雨量Xn，n∈T={1,2,3,…}。
例3. 某超市在时段[t1,t] 内到来的顾 客人数X(t)，t∈T=[t1,t2]。
例4. 某电路中，一电子元件 t 时刻的 热噪声电压X(t)，t∈T=[0,+∞)。
在上述几个例子中，X(t)（或Xn）具有以下 两个特征：
正态过程是二阶矩过程，它在工程技
术中有重要的应用。正态过程 {X (t),t T} 的 n 维分布密度为
f
1
n
(2 ) 2
C
1 2
exp{
1 2
(
x
m
X
)
数理统计PPT(研究生)3-3
x , y
(3.3.7)
列联表
Y X
b1
n11 n21
b2
n12 n22
... ... ...
bs
n1 s
ni n1 n2
a1 a2
n2 s
ar
n j
nr 1
nr 2 n2
... ...
nrs n s
nr
n1
n
21
ni nik (i 1,2,..., r ),
H0 : F ( x) F0 ( x), H1 : F ( x) F0 ( x).
(3.3.1)
11
针对 F0 ( x ) 的不同类型有不同的检验方法，一般采 用K.pearson 2 检验法，又称为拟合优度 2检验法。
2、拟合优度检验法 统计假设（3.3.1）可理解为：事先给定的理论 分布 F0 ( x ) 能否较好地拟合观测数据 X1 , X 2 ,..., X n 所反 映的随机分布。拟合优度检验法的基本思想就是设 定一个能刻画观测数据 X1 , X 2 ,..., X n与理论分布 F0 ( x ) 之间拟合优度程度的量，即‘拟合优度’，当这个 量超过某个界限时，说明拟合程度不高，应拒绝 H 0 否则接受 H 0。
而
ˆ s 1 pk p
k 1
s 1
ˆ r 1 pk p
k 1
r 1
23
ln L p i 似然方程为 ln L p j
ni nr 0, i 1,2,..., r 1, pi pr n j n s 0, j 1,2,..., s 1. p j p s
概率论与数理统计完整版课件全套ppt教学教程-最全电子讲义(最新)
点”或“6 点”3 个基本事件，即 A {2 ，4 ，6} 。
四、事件的关系与运算
在一个样本空间中显然可以定义不止一个事件。概率论的重要研究课 题之一是希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率。为此，需要研究 事件间的关系与运算。
事件是一个集合，因此事件间的关系和运算自然按照集合之间的关系 和运算来处理。
1 事件的包含与相等
若 A B ，则称事件 B 包含事件 A ，这里指的是事件 A 发生必然导致事件 B 发生， 即属于 A 的样本点都属于 B ，如图1-2所示。显然，对任何事件A，必有 A 。
若 A B 且 B A ，则称事件 A 与 B 相等，记为 A B。
图1-2 A B
事件 A B {x | x A或x B}，称为事件A与事件B的和事件，即当且仅当事件 A 或 事件 B 至少有一个发生时，和事件 A B 发生。它由属于 A 或 B 的所有公共样本点构 成，如图 1-4 所示。
图 1-4 A B
4 事件的差
事件 A B {x | x A且x B}称为事件 A 与事件 B 的差事件，即当且仅当事件 A 发 生但事件 B 不发生时，积事件A B发生。它是由属于 A 但不属于 B 的样本点构成的集 合，如图1-5所示。差事件 A B 也可写作 AB 。
定义1 在相同的条件下重复进行了 n 次试验，如果事件 A 在这 n 次试验中出现
了 nA
次，则称比值
nA n
为事件 A
发生的频率，记为fn ( 源自) ，即fn( A)
nA n
显然，频率 fn ( A) 的大小表示了在 n 次试验中事件 A 发生的频繁程度。频率 大，事件 A 发生就频繁，在一次试验中 A 发生的可能性就大，也就是事件 A 发
四、事件的关系与运算
在一个样本空间中显然可以定义不止一个事件。概率论的重要研究课 题之一是希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率。为此，需要研究 事件间的关系与运算。
事件是一个集合，因此事件间的关系和运算自然按照集合之间的关系 和运算来处理。
1 事件的包含与相等
若 A B ，则称事件 B 包含事件 A ，这里指的是事件 A 发生必然导致事件 B 发生， 即属于 A 的样本点都属于 B ，如图1-2所示。显然，对任何事件A，必有 A 。
若 A B 且 B A ，则称事件 A 与 B 相等，记为 A B。
图1-2 A B
事件 A B {x | x A或x B}，称为事件A与事件B的和事件，即当且仅当事件 A 或 事件 B 至少有一个发生时，和事件 A B 发生。它由属于 A 或 B 的所有公共样本点构 成，如图 1-4 所示。
图 1-4 A B
4 事件的差
事件 A B {x | x A且x B}称为事件 A 与事件 B 的差事件，即当且仅当事件 A 发 生但事件 B 不发生时，积事件A B发生。它是由属于 A 但不属于 B 的样本点构成的集 合，如图1-5所示。差事件 A B 也可写作 AB 。
定义1 在相同的条件下重复进行了 n 次试验，如果事件 A 在这 n 次试验中出现
了 nA
次，则称比值
nA n
为事件 A
发生的频率，记为fn ( 源自) ，即fn( A)
nA n
显然，频率 fn ( A) 的大小表示了在 n 次试验中事件 A 发生的频繁程度。频率 大，事件 A 发生就频繁，在一次试验中 A 发生的可能性就大，也就是事件 A 发
数理统计课件 研究生
2
σ 2≥σ 02 σ 2<σ 02
σ
2 0
~ χ (n −1)
2
χ ≤ χ (n −1)
2 2 1−α
σ 2≤σ 02 σ 2>σ 02
( µ 未知)
χ ≥ χα (n −1)
2 2
ch3-4
例1 某电工器材厂生产一种保险丝. 依通常情况其熔化时间的方差为400. 现从某天产品中抽取容量为25的子样 测量其熔化时间并计算得
近似
U ≥ uα / 2
U ≤ −uα
σ 2≥σ 02 σ 2<σ 02
ห้องสมุดไป่ตู้N (0,1)
其中
σ 2≤σ 02 σ 2>σ 02
χ =
2
(n −1)S
2 σ0
∗2
U ≥ uα
ch3-8
例2 某电工器材厂生产一种保险丝. 依通常情况其熔化时间的方差为400. 现从某天产品中抽取容量为46的子样 测量其熔化时间并计算得
χ ≤ χ (n)
2 2 1−α
σ
2>σ 2 0
( µ 已知)
χ ≥ χα (n)
2 2
χ 检验法( µ 未知)
2
ch3-3
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H1 H0为真时的分布 H0
σ 2=σ 02 σ 2≠σ 02
拒绝域
χ 2 ≤ χ12α (n −1) −
2
χ =
2
(n −1)S
∗2
或 χ 2 ≥ χα2 (n −1)
2
ch3-2
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H1 H0为真时的分布 H0
σ
2=σ 2 0
拒绝域
χ ≤ χ (n)
σ 2≥σ 02 σ 2<σ 02
σ
2 0
~ χ (n −1)
2
χ ≤ χ (n −1)
2 2 1−α
σ 2≤σ 02 σ 2>σ 02
( µ 未知)
χ ≥ χα (n −1)
2 2
ch3-4
例1 某电工器材厂生产一种保险丝. 依通常情况其熔化时间的方差为400. 现从某天产品中抽取容量为25的子样 测量其熔化时间并计算得
近似
U ≥ uα / 2
U ≤ −uα
σ 2≥σ 02 σ 2<σ 02
ห้องสมุดไป่ตู้N (0,1)
其中
σ 2≤σ 02 σ 2>σ 02
χ =
2
(n −1)S
2 σ0
∗2
U ≥ uα
ch3-8
例2 某电工器材厂生产一种保险丝. 依通常情况其熔化时间的方差为400. 现从某天产品中抽取容量为46的子样 测量其熔化时间并计算得
χ ≤ χ (n)
2 2 1−α
σ
2>σ 2 0
( µ 已知)
χ ≥ χα (n)
2 2
χ 检验法( µ 未知)
2
ch3-3
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H1 H0为真时的分布 H0
σ 2=σ 02 σ 2≠σ 02
拒绝域
χ 2 ≤ χ12α (n −1) −
2
χ =
2
(n −1)S
∗2
或 χ 2 ≥ χα2 (n −1)
2
ch3-2
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H1 H0为真时的分布 H0
σ
2=σ 2 0
拒绝域
χ ≤ χ (n)
数理统计PPT(研究生)5-1,2
5.2.6
若 F F (r 1, n r ) 1
,则接受 H ， 即认为因素A对 0
试验结果的影响显著；
若 F F1 (r 1, n r )
,则拒接H 0 ，即认为因素A对
试验结果的影响不显著.
29
例5.2.3
例5.2.1归结为检验假（ 0.05 ）
灯泡
1 2
甲 1600 1610
乙 1580 1640
丙 1460 1550
丁 1510 1520
3 4 5 6 7 8
1650 1680 1700 1720 1800
1700 1750 1640
1600 1620 1640 1740 1660 1820
1530 1570 1680 1600
12
试验指标: 灯泡寿命
2
r
2 可知 E( SE ˆ2 的 ) (n r ) 2 . 此时,则我们可以找到 无偏估计量
2 S ˆ2 E nr
26
定理二 在单因素方差分析模型中，当假设H 0成 立时，则有 2 SA 2 1） ~ (r 1) , 2
2 2 2） S E 与 SA 相互独立，因而
i 1 j 1 i 1 j 1
r
ni
2 (Yij Yi )(Yi Y )
i 1 j 1
r
ni
0
于是 ST2 可分解为
2 2 2 ST SA SE
21
其中
2 SE (Yij Yi )2 i 1 j 1
2 SA (Yi Y )2 ni (Yi Y )2 i 1 j 1 i 1 r ni r
北化研究生课程数理统计图文(详细分析：事件)共6张PPT
=nP({ i}), i=1,2,…n。
令 A={两件商品都来自产地甲},k = C =66, 再由kB=3，得P(B)=3/6=1/2。
B表示所掷结果为“偶数点”。 然后讨论了古典概型中事件概率求法：
2
A
12
B={两件商品都来自产地乙},k = C 然后讨论了古典概型中事件概率求法：
(2) 每种结果发生的可能性相同。
最后，给出了几个古典概型中求随机事件 概率的应用实例。
B
2 3
=3，
B={两件商品都来自产地乙},kB= C23 =3，
而事件:{两件商品来自同一产地}=A∪B,且A与B互斥
,A∪B包含基本事件数66+3=69。
故，所求概率=69/105=23/35。
小结
本节首先给出古典概型的定义；然后 讨论了古典概型中事件概率求法：
若事件A包含k个基本事件，有
P(A)=k(1/n)=k/n；
再由kB=3，得P(B)=3/6=1/2。
例2：货架上有外观相同的商品15件，其中12件来自
产地甲, 3件来自地乙。现从15件商品中随机地抽取 两件,求这两件商品来自一同产地的概率。
ห้องสมุดไป่ตู้
则称这样的试验模型为等可能概率模型或古典概率模型，简称为古典概型。
Ω={ 1}∪{ 2 }∪…∪{ n}，
由n=6，kA=2,得P(A)=2/6=1/3；
Ω={1}∪{2 }∪…∪{n}， {i}是基本事件，且它们发生的概率都相等。 于是，有 1=P(Ω)=P({1}∪{2 }∪…∪{n})
=P({1})+P({2 })+…+P({n}) =nP({i}), i=1,2,…n。
从而，P({i})= 1/n，i=1,2,…n。
研究生应用数理统计预备知识(讲稿)
EX , DX 2
定理2 设X1,L , Xn是相互独立，且Xi ~(i , ),则
n
n
Xi ～( i , i ).
i1
i1
= n , = 1 ,则得 2分布族,记作 2(n),即( n , 1 )= 2(n),
22
22
概率密度为
2
(
x;
n)
2n
/
2
1 (n
/
2)
e
x 2
x
n 2
(指任意给定 n > 1, X1, X 2 , , X n 相互独立) 且具有相同的数学期望和方差
E(X k ) , D(X k ) 2, k 1,2,
则 0 有
lim P
n
1 n
n k 1
Xk
0
或
lim P
n
1 n
n k 1
Xk
1
定理的意义
具有相同数学期望和方差的独立 r.v.序列的 算术平均值依概率收敛于数学期望.
三、n维随机变量
定义2 设(,F ,P)为概率空间，X () （X1(),
L , X n ()）是定义在上的在n维实数空间Rn取值
的向量函数，如果x {x1,L , xn} Rn，
{ : X1() x1,L , X n () xn} F ，则称X ()是
F 上的n维随机变量或n维随机向量，称
( A F )是定义在F 上的实函数，如果
(1)对任意A F ;, 0 P( A) 1；
(2)P() 1;
(3)对两两不相容的事件A1, A2,L F （即
Ai I Aj ,i j)有;P( U Ak )= P( Ak ) F .
概率论与数理统计ppt课件(完整版)
27
( 1)
n 1
例4. 设P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 用p, q, r表示下列 事件的概率:
(1) P ( A B ); (2) P ( A B); (3) P ( A B); (4)P( A B ).
28
§5. 条件概率
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑 在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概 率问题.
P(B) P( A).
一般地有: P(B-A)=P(B)-P(AB).
26
性质4. 对任一事件 A,
P( A) 1.
性质5. 对任一事件A, P( A) 1 P( A).
性质6. 对任意两事件 A, B有 P( A B) P( A) P(B) P( AB ).
推广
P( A B C) P ( A) P ( B ) P (C )
1 对于每一个事件 B, 有 1 P(B | A) 0.
0
2 P(S | A) 1.
0
3 设B 1 , B 2 , 两两互不相容, 则 P( B i | A ) P(B i | A).
i 1 i 1
0
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
m( A) P ( A) m( )
(其中m( ) 是样本空间的度量 , m( A) 是构成事件A 的子区域的度量) 这样借助于几何上的度 量来合理 规定的概率称为 几何概率 . 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概率.
20
会面问题
例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预
( 1)
n 1
例4. 设P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 用p, q, r表示下列 事件的概率:
(1) P ( A B ); (2) P ( A B); (3) P ( A B); (4)P( A B ).
28
§5. 条件概率
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑 在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概 率问题.
P(B) P( A).
一般地有: P(B-A)=P(B)-P(AB).
26
性质4. 对任一事件 A,
P( A) 1.
性质5. 对任一事件A, P( A) 1 P( A).
性质6. 对任意两事件 A, B有 P( A B) P( A) P(B) P( AB ).
推广
P( A B C) P ( A) P ( B ) P (C )
1 对于每一个事件 B, 有 1 P(B | A) 0.
0
2 P(S | A) 1.
0
3 设B 1 , B 2 , 两两互不相容, 则 P( B i | A ) P(B i | A).
i 1 i 1
0
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
m( A) P ( A) m( )
(其中m( ) 是样本空间的度量 , m( A) 是构成事件A 的子区域的度量) 这样借助于几何上的度 量来合理 规定的概率称为 几何概率 . 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概率.
20
会面问题
例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预
华理概率论与数理统计PPT C11ps
概率论与数理统计主讲教师：胡海燕hyhu@公邮：gailvtongji_hu@ 密码：gailvtongji周四(今天, 实时：周五周日阵雨转阵雨南风主要内容随机事件及其概率数理统计的基本知识⏹⏹随机变量及其分布⏹随机变量的数字特征⏹多维随机变量⏹大数定律与中心极限定理⏹⏹参数估计⏹假设检验⏹方差分析⏹回归分析◆可在相同条件下重复进行。
◆每次试验的可能结果不止一个，并且事先明确试验的所有可能结果。
◆试验前无法预知究竟哪个结果出现。
♊样本空间所有可能结果放在一起构成的集合，记为。
♊随机试验Ω♊样本点每一个可能的结果，记为。
ω♊随机事件样本空间的一个子集，简称事件。
事件常用大写字母A、B、C等表示。
♊基本事件由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件,记为E.♊事件A发生该子集A中至少有一个样本点出现。
●特殊的事件☞必然事件：Ω☞不可能事件：∅解：令ωij i j i j (,,,,,,)<=12345表示两球的号码为i 和j ，则 Ω={ωωωωωωωωωω12131415232425343545,,,,,,,,,}事件A 表示两个球的号码为双数， 则 A ={ω24}事件B 表示两个球的号码为单数， 则 B ={351513,,ωωω}事件C 表示两个球的号码均不超过3， 则 C ={ωωω121323,,}例2.一袋中有三个白球（编号1，2，3）与二个黑球（编号4，5），现从中任取两个，观察两球的号码。
试表示事件“两个球的号码为双数”、“两个球的号码为单数”、“两个球的号码不超过3”。
“两个球的号码都不超过5”=“有一个球的号码是6”=Ω∅。
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A1={1},A2={2},…,A6={6} ━━ 分别表示掷 的结果为“一点”至“六点”,都是基本事件；
B={2,4,6} ━━ 表示掷的结果为“偶数 点”，非基本事件；
C={1,3,5,} ━━ 表示“掷的结果为奇数 点”，非基本事件；
D={4,5,6} ━━ 表示“掷的结果为四点或 四点以上”，非基本事件。
特别地,当AB=Ø时, 称A与B为互斥事件 (或互不相容事件), 简称A与B互斥。也 就是说事件A与B不 能同时发生。
例 1(续) A1={1}, A2={2},于是A1A2=Ø。故A1与
B2互斥； B={2,4,6},C={1,3,5},于是BC=Ø,故
B与C也互斥。
n个事件A1,A2,…,An的积
随机试验举例：
E1: 掷一颗骰子，观察所掷的点数是几； E2: 观察某城市某个月内交通事故发生的次数； E3: 对某只灯泡做试验,观察其使用寿命； E4: 对某只灯泡做试验,观察其使用寿命是否小
于200小时。
2. 样本空间 对于随机试验,尽管在每次试验之 前不能预知其试验结果，但试验的所有可能结 果所组成的集合却是已知的。称试验所有可能 结果所组成的集合为样本空间,记为Ω。样本空 间的元素, 即随机试验的单个结果称为样本点。
注意: 只要做试验,就会产生一个结果,即样 本空间Ω中就会有一个点(样本点)出现。
当结果A时, 称事件A发生。
注意：
(1).由于样本空间Ω包含了所有的样本点,且是 Ω自身的一个子集。故,在每次试验中Ω总 是发生。因此, 称Ω必然事件。
(2).空集不包含任何样本点，但它也是样本空 间Ω的一个子集,由于它在每次试验中肯定 不发生，所以称为不可能事件。
Ω4={寿命小于200小时，寿命不小于200小时}。
II. 随机事件
把样本空间的任意一个子集称为一个随机 事件,简称事件。常用大写字母A,B,C,…表示。
特别地,如果事件只含一个试验结果(即样 本空间的一个元素),则称该事件为基本事件。
例 1：写出试验E1的样本空间
Ω1={1,2,3,4,5,6}的下述子集合表示什么 事件？指出哪些是基本事件。
集合A与B的并或和： 若 C, 当且仅当 A或B,则称集合 C为集合A与B的并或和, 记成A∪B 或 A+B。
事件A与B的并 或和：若事件 C发生，当且 仅当事件A或C 发生，则称事 件C为事件A与 B的并或和， 记成A∪B 或 A+B。
n个事件A1,A2,…,An的和
n
C
Ai
i 1
C发生就是A1,A2,…，An中 至少一个事件发生。
n
C
Ai
i 1
C发生就是A1,A2,…，An 都发生。
无穷多个事件就是A1,A2,…， 都发生。.
集合A与集合B的差： 若 C当且仅当 A
且 B ，则称集合C为
集合A与B的差，记成 A- B。
事件A与B的差： 若事件C发生当且 仅当事件A发生且 事件B不发生,则 称事件C为事件A 与B的差,记成 A-B。
特别地，称Ω-A为A 的对立事件(或A的 逆事件、补事件)等, 记成A 。
A就是A不发生。
例1(续) A1={1}, B={2,4,6},于是
A1 {2,3,4,5,6} B {1,3,5}
小结
本节首先介绍了随机试验、样本 空间的基本概念，然后给出了随机 事件的各种运算。
无穷多个事件A1,A2,…的和
C
Ai
i 1
C发生就是A1,A2…中至 少一个发生。
集合A与集合B 的交或积：若 C，当且仅 当 A且B, 则称集合C为集 合A与B的交或 积, 记成A∩B或 AB。
事件A与B的积或交： 若事件C发生，当且仅 当事件A与B同时发生， 则称事件C为事件A与B 的积或交, 记成 A∩B或 AB。
若以Ωi表示试验Ei的样本空间, i=1,2,3,4, 则
◆ E1: 掷一颗骰子，观察所掷的点数是几， Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}；
E2: 观察某城市某个月内交通事故发生次数， Ω2={0,1,2,…}；
E3: 对某只灯泡实验，观察其使用寿命， Ω3={t,t≥0}；
E4: 对某只灯泡做实验,观察其使用寿命是否 小于200小时，
第一章 概率论的基本概念
一、 随机试验与事件(概率论的研究对象)
I. 随机试验
1. 随机试验 把对某种随机现象的一次 观察、观测或测量等称为一个试验。如果 这个试验在相同的条件下可以重复进行， 且每次试验的结果事前不可预知，则称此 试验为随机试验，也简称为试验，记为E。
注：以后所提到的试验均指随机试验。
二、事件的关系与运算（了解） 集合与事件
回忆: 做试验E时,若A,则称事件A发生。
集合A包含于集 合B：若对 A, 总有B， 则称集合A包含
于集合B，记成 AB。
事件A包含于事件 B:若事件A发生必 有事件B发生，则 称事件A包含于事 件B,记成AB。
若AB,且BA，则称事件A与B相等，记成A=B。
B={2,4,6} ━━ 表示掷的结果为“偶数 点”，非基本事件；
C={1,3,5,} ━━ 表示“掷的结果为奇数 点”，非基本事件；
D={4,5,6} ━━ 表示“掷的结果为四点或 四点以上”，非基本事件。
特别地,当AB=Ø时, 称A与B为互斥事件 (或互不相容事件), 简称A与B互斥。也 就是说事件A与B不 能同时发生。
例 1(续) A1={1}, A2={2},于是A1A2=Ø。故A1与
B2互斥； B={2,4,6},C={1,3,5},于是BC=Ø,故
B与C也互斥。
n个事件A1,A2,…,An的积
随机试验举例：
E1: 掷一颗骰子，观察所掷的点数是几； E2: 观察某城市某个月内交通事故发生的次数； E3: 对某只灯泡做试验,观察其使用寿命； E4: 对某只灯泡做试验,观察其使用寿命是否小
于200小时。
2. 样本空间 对于随机试验,尽管在每次试验之 前不能预知其试验结果，但试验的所有可能结 果所组成的集合却是已知的。称试验所有可能 结果所组成的集合为样本空间,记为Ω。样本空 间的元素, 即随机试验的单个结果称为样本点。
注意: 只要做试验,就会产生一个结果,即样 本空间Ω中就会有一个点(样本点)出现。
当结果A时, 称事件A发生。
注意：
(1).由于样本空间Ω包含了所有的样本点,且是 Ω自身的一个子集。故,在每次试验中Ω总 是发生。因此, 称Ω必然事件。
(2).空集不包含任何样本点，但它也是样本空 间Ω的一个子集,由于它在每次试验中肯定 不发生，所以称为不可能事件。
Ω4={寿命小于200小时，寿命不小于200小时}。
II. 随机事件
把样本空间的任意一个子集称为一个随机 事件,简称事件。常用大写字母A,B,C,…表示。
特别地,如果事件只含一个试验结果(即样 本空间的一个元素),则称该事件为基本事件。
例 1：写出试验E1的样本空间
Ω1={1,2,3,4,5,6}的下述子集合表示什么 事件？指出哪些是基本事件。
集合A与B的并或和： 若 C, 当且仅当 A或B,则称集合 C为集合A与B的并或和, 记成A∪B 或 A+B。
事件A与B的并 或和：若事件 C发生，当且 仅当事件A或C 发生，则称事 件C为事件A与 B的并或和， 记成A∪B 或 A+B。
n个事件A1,A2,…,An的和
n
C
Ai
i 1
C发生就是A1,A2,…，An中 至少一个事件发生。
n
C
Ai
i 1
C发生就是A1,A2,…，An 都发生。
无穷多个事件就是A1,A2,…， 都发生。.
集合A与集合B的差： 若 C当且仅当 A
且 B ，则称集合C为
集合A与B的差，记成 A- B。
事件A与B的差： 若事件C发生当且 仅当事件A发生且 事件B不发生,则 称事件C为事件A 与B的差,记成 A-B。
特别地，称Ω-A为A 的对立事件(或A的 逆事件、补事件)等, 记成A 。
A就是A不发生。
例1(续) A1={1}, B={2,4,6},于是
A1 {2,3,4,5,6} B {1,3,5}
小结
本节首先介绍了随机试验、样本 空间的基本概念，然后给出了随机 事件的各种运算。
无穷多个事件A1,A2,…的和
C
Ai
i 1
C发生就是A1,A2…中至 少一个发生。
集合A与集合B 的交或积：若 C，当且仅 当 A且B, 则称集合C为集 合A与B的交或 积, 记成A∩B或 AB。
事件A与B的积或交： 若事件C发生，当且仅 当事件A与B同时发生， 则称事件C为事件A与B 的积或交, 记成 A∩B或 AB。
若以Ωi表示试验Ei的样本空间, i=1,2,3,4, 则
◆ E1: 掷一颗骰子，观察所掷的点数是几， Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}；
E2: 观察某城市某个月内交通事故发生次数， Ω2={0,1,2,…}；
E3: 对某只灯泡实验，观察其使用寿命， Ω3={t,t≥0}；
E4: 对某只灯泡做实验,观察其使用寿命是否 小于200小时，
第一章 概率论的基本概念
一、 随机试验与事件(概率论的研究对象)
I. 随机试验
1. 随机试验 把对某种随机现象的一次 观察、观测或测量等称为一个试验。如果 这个试验在相同的条件下可以重复进行， 且每次试验的结果事前不可预知，则称此 试验为随机试验，也简称为试验，记为E。
注：以后所提到的试验均指随机试验。
二、事件的关系与运算（了解） 集合与事件
回忆: 做试验E时,若A,则称事件A发生。
集合A包含于集 合B：若对 A, 总有B， 则称集合A包含
于集合B，记成 AB。
事件A包含于事件 B:若事件A发生必 有事件B发生，则 称事件A包含于事 件B,记成AB。
若AB,且BA，则称事件A与B相等，记成A=B。