人教版九年级数学上册第二十一章 一元二次方程 PPT课件
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人教版九年级数学上册《一元二次方程》课件(共13张PPT)
【跟踪训练】
3.把方程 x(2x-1)=1 化成 ax2+bx+c=0 的形式,则 a,
b,c 的一组值是( A )
A.2,-1,-1
B.2,-1,1
C.2,1,-1
D.2,1,1
4.把下列关于 x 的一元二次方程化为一般形式,并指出其 二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)3x2=5x-1; (2)a(x2-x)=bx+c(a≠0). 解:(1)一般形式为 3x2-5x+1=0,二次项系数为 3,一次 项系数为-5,常数项为 1. (2)一般形式为 ax2-(a+b)x-c=0,二次项系数为 a,一次 项系数为-(a+b),常数项为-c.
证明:∵关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)中的 二次项系数与常数项之和等于一次项系数,
∴a+c=b. ∴当 x=-1 时,ax2+bx+c=a-b+c=b-b=0, ∴-1 必是该方程的一个根.
•不习惯读书进修的人,常会自满于现状,觉得再没有什么事情需要学习,于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛,一只眼睛看到纸面上的话, 另一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一2022/4/112022/4/112022/4/11 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/112022/4/112022/4/114/11/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献,并挑选出有意义的部分。2022/4/112022/4/11April 11, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
1.一元二次方程的概念 只含有__一__个___未知数,并且未知数的最高次数是___2____ 的___整__式___方程,叫做一元二次方程. 注意:一元二次方程有三个特点:(1)只含有一个未知数; (2)未知数的最高次数是 2;(3)是整式方程.
人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 21.2 解一元二次方程因式分解法(共17张PPT)
还
10x - 4.9x 2 = 0
有
其
降 配方法
它
更
次 公式法
简 便
?
的 方
x1=
0
,x2 =
100 49
2.04
法 吗 ?
探究新知
观察方程 10x - 4.9x2 = 0,它有什么特点?你能根据 它的特点找到更简便的方法吗?
10x - 4.9x2 = 0
左边因式分解
x(10 - 4.9x)= 0
用降次法中的因式分解法解一元二次方程.
复习引入
1、解一元二次方程的基本思路是什么? 把二次方程转化为一次方程即降次
2、我们学过了用降次法中的哪几种方法来 解一元二次方程?
配方法和公式法
复习引入
3、什么叫因式分解?因式分解有哪几种方 法?
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式 分解或分解因式;
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇,谁就心想事成。21.8.2421.8.2422:38:5422:38:54August 24, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好,他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午10时38分54秒22:38:5421.8.24
应用新知
1、用因式分解法解下列方程
(1)3x2+6x=0
(2)y(y-1)=2y-2
解 (1)3x(x+2)=0
:
∴3x=0或x+2=0
∴x1=0,x2=-2
(2)y(y-1)-2(y-1)=0 (y-1)(y-2)=0
∴y-1=0或y-2=0
人教版数学九年级上册一元二次方程的根与系数的关系课件
课堂小结
若方程x2+px+q=0有两个实根x1,x2,则
x1+x2=-p, x1x2=q.
若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1,x2,则
x1
x2
b a
,
x1 x2
c a
.
课后作业
1.从课后习题中选取; 2.完成练习册本课时的习题。
(2)当 Rt△ABC 为等腰直角三角形时,关于 x 的一元二次 方程 x2+kx+12=0 的两根相等,则Δ=k2-4×12=0,解得 k =±4 3 ,∵两直角边长的和为-k>0,∴k=-4 3 ,∴两 直角边长为 2 3 ,2 3 ,∴斜边长为 2 3 × 2 =2 6 , ∴Rt△ABC 的周长为 2 3 +2 3 +2 6 =4 3 +2 6
2.已知a,b是方程x2+3x-1=0的两根,则a2b+ab2的值是__3__.
3.已知关于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0,它的两根之积 为-4,则k的值为( D ) A.-1 B.4 C.-4 D.-5
4.已知关于x的一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2,则另 一根为( C ) A.2 B.3 C.4 D.8
已知方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,两根分
b b2 4ac
别为x1= 2a
b b2 4ac
,x2=
2a
ห้องสมุดไป่ตู้
b b2 4ac b b2 4ac 2b b
x1+x2=
2a
2a
2a a
。 ,
b b2 4ac b b2 4ac
•
2a
2a
(b)2 (b2 4ac) c
人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件
2
B.x 2 6 x 8 0,x 2 6 x 9 8 9, x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0,x x 3, x 2 x 3 , x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级(初中)数学上册
授课老师:XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念,并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点:用配方法解一元二次方程。
难点:用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程?
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级(初中)数学上册
授课老师:XX
C.大于等于1
的值( C )
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方,然后根据平方大于等于0,求出最值。
【解题过程】 解:∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0,
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤:
(1)移项:将含有x的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边;
(2)二次项系数化为1:两边同除以二次项的系数;
(3)配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
B.x 2 6 x 8 0,x 2 6 x 9 8 9, x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0,x x 3, x 2 x 3 , x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级(初中)数学上册
授课老师:XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念,并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点:用配方法解一元二次方程。
难点:用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程?
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级(初中)数学上册
授课老师:XX
C.大于等于1
的值( C )
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方,然后根据平方大于等于0,求出最值。
【解题过程】 解:∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0,
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤:
(1)移项:将含有x的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边;
(2)二次项系数化为1:两边同除以二次项的系数;
(3)配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第21章 一元二次方程 21.1 一元二次方程
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
8
2.某公园里有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域
栽种鲜花(如图).原空地一边减少了1 m,另一边减少了2 m,剩余空
地的面积为18 m2,求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长
为x m,则可列方程为(
)
A.(x+1)(x+2)=18
B.x2-3x+16=0
m2+m的值等于
.
关闭
6
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
8
7.把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并分别写出它们的二
次项系数、一次项系数和常数项.
(1)8x2-2x=1+2x;
(2)(y-1)(y-2)=1.
关闭
解 (1)一般形式:8x2-4x-1=0,二次项系数、一次项系数和常数项分别为
8,-4,-1.
6.在-4,-3,-2,-1,2,3中,属于方程x2+x-6=0的根的是 -3,2
.
互动课堂理解
1.一元二次方程的识别
【例1】 下列方程中,是关于x的一元二次方程的是(
2
A.3(x+1) =2(x+1)
B.
1 2
)
1
+ -2=0
C.ax2+bx+c=0
D.x2+2x=x2-1
解析:选项A中的方程,整理后符合一元二次方程的概念;选项B中
21.1 一元二次方程
快乐预习感知
1.等号两边都是整式,只含有 一个 未知数(一元),并且未知数的
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优秀课件
③
①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2.
那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里? 它们有什么共同特点呢?
知识要点
一元二次方程的概念 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知
数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a,b,c为常数, a≠0)
想一想: 还有其他的方法吗?试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
32-2x
32
20-x 20
归纳小结
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题,弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设 设未知数
找
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
解:当x=-3时,左边=9-(-3)-2=10, 则左边≠右边, 所以-3不是方程x2-x-2=0的解; 下面几个数同理可证. 经检验得-1,2为原方程的根.
获取新知
知识点三:建立一元二次方程模型
问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上,修筑三条宽相等 的小路(两条纵向,一条横向,纵向与横向垂直),把矩形空 地分成大小一样的六块,建成小花坛.如图要使花坛的总面积 为570m2,问小路的宽应为多少?
4.如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互 相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种 花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意, 可列方程为 (12-x)(8-x)=77.
样的正方形,再将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解:设小道的宽度为x米,得(20-2x)(10-x)=120整理得x2-要建造一个长10m,宽5m玻璃顶观景亭,如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2,那么承重柱的宽度多少?
解:设承重柱的宽度为x米,得(10-x)(5-x)=45整理得x2-15x+5=0.
等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项, a 称为二次项系数, bx 称为一次项, b 称为一次项系数, c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0?b,c 可以为 0 吗?
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义;3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则,打造独具特色的“幸福林”,要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性,要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园,求郁金香种植园的边长是多少呢?
例1 根据问题列出方程,判断是否为一元二次方程,若是请指出二次项系数,一次项系数和常数项
解:根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2+2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1,一次项系数为2,常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2,周长为100,求公园边长x;
解:根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解:设承重柱的宽度为x米,得(10-x)(5-x)=45整理得x2-15x+5=0.
等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项, a 称为二次项系数, bx 称为一次项, b 称为一次项系数, c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0?b,c 可以为 0 吗?
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义;3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则,打造独具特色的“幸福林”,要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性,要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园,求郁金香种植园的边长是多少呢?
例1 根据问题列出方程,判断是否为一元二次方程,若是请指出二次项系数,一次项系数和常数项
解:根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2+2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1,一次项系数为2,常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2,周长为100,求公园边长x;
解:根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程的根与系数的关系课件
解:原方程可化为:
x2 + kx- 6 =0 55
想一想,
设方程的另一根是x1 ,那么
2x1 =-56,∴x1
=-3 5
还有其他 方法吗?
又∵ (-53)+2=-5k,∴k=-5[53()-+2]=-7
答:方程的另一个根是
-
3 5
,k 的值是 -7。
还可以把 x=2代入方程的两边,求出k。
我能行3 例3、不解方程,求一元二次方程22 x+3x -1=0
两个根的①平方和;②倒数和。
解:设方x程1+的x两2=根-是3 2,xx11 ,x•2x,2那=-么1 2
① ∴ ( x 1 21 + + x x x 2 22 = ) 2 ( = 1 x + x 1 2 x + 2 2 ) 21 -x 2 x 2+ 1 x x x 2 2 2
∴ x1 2+x2 2=(-3 2) 2-2× (-1 2)=1 43
9.已知关于x的方程x2-2(m-2)x+m2=0 ,问:是 否存在正实数m,使方程的两个实数根的平方和等 于56,若存在,求出m的值;若不存在,请说明
理由。 不存在
10.已知关于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-
1=O。
(1)求证:不论m为任何实数,方程总有两个不相
等的实数根; (2)若方程两根为x1、x2,且满足 求m的值。
2
如果方程ax +bx+c=0(a≠0)的两个根是x , 1、当k为何值时,方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
1
想一想,还有其他方法吗?
人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程》PPT课件
感悟新知
知4-练
1 一个两位数,它的十位数字比个位数字小4,若 把这两个数字调换位置,所得的两位数与原两 位数的乘积等于765,求原两位数. 15
2 两个相邻偶数的积是168.求这两个偶数.
12和14
课堂小结
一元二次方程
1. 列一元二次方程解实际应用问题有哪些步骤? 2. 列方程解实际问题时要注意以下两点:
感悟新知
乙种药品成本的年平均下降率是多少?请比较
两种药品成本的年平均下降率.
知1-练
解:设乙种药品的年平均下降率为y,列方程得
6000(1 - y )2=3600.
解方程,得 y1≈0.225,y2≈1.775. 根据问题的实际意义,乙种药品成本的年平均下降率
约为22.5%. 综上所述,甲乙两种药品成本的年平均
感悟新知
知2-练
解:(1) 设每轮分裂中每个有益菌可分裂出x个有益菌, 根据题意,得 60(1+x)2=24 000. 解得x1=19,x2=-21(不合题意,舍去). 答:每轮分裂中每个有益菌可分裂出19个有益菌.
(2) 60×(1+19)3=60×203=480 000(个). 答:经过三轮培植后共有480 000个有益菌.
知识点 2 营销策划问题
知2-练
例2 某特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元, 按每
千克60元出售,平均每天可售出100千克, 后来经过市 场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增 加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获 利2240元,请回答:
在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客, 赢得市场, 该店应按原售价的几折出售?
是否正确、作答前验根是否符合实际.
感悟新知
人教版九年级上册数学精品教学课件 第21章 一元二次方程 第1课时 传播问题与一元二次方程
x(x 1) 10. 2
解得 x1=5,x2=−4(舍去).∴ x=5.
答:共有 5 个人参加聚会.
归纳 握手问题及球赛单循环问题要注意重复进行了 一次,所以要在总数的基础上除以 2.
【变式题】某中学组织初三学生开展足球比赛,以班为
单位,采用主客场赛制 (即每两个班之间都进行两场比 赛),计划安排 72 场比赛,则共有多少个班级参赛? 解:设共有 x 个班级参赛,则每个班级要进行(x-1)场
第 2 轮传染后人数 x(x + 1) + x + 1
根据示意图,列表如下:
传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数
1
1 + x = (1 + x)1 1 + x + x(1 + x) = (1 + x)2
解:设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.
根据题意,得 (1 + x)2 = 121.
小 分
支
支
x
…… 支干
x2 = −12 (不合题意,舍去).
x
答:每个支干长出 11 个小分支.
主干 1
交流讨论 1. 在分析引例和例 1 中的数量关系时它们有何区别?
每个支干只分裂一次,每名患者每轮都传染.
2. 解决这类传播问题有什么经验和方法? (1)审题,设元,列方程,解方程,检验,作答; (2)可利用表格梳理数量关系; (3)关注起始值、新增数量,找出变化规律.
A. x2 = 1980 C. 1 x(x - 1) = 1980
2
B. x(x + 1) = 1980 D. x(x - 1) = 1980
2. 有一根月季,它的主干长出若干数目的支干,每个支
人教部初三九年级数学上册 直接开平方解一元二次方程 名师教学PPT课件
解:系数化为1得x2 25 9
由平方根的意义得:
解:由平方根的意义得: 2x 1 3
x5 3
x1
5 3
,
x2
5 3
2x 1 3,或2x 1 3
x1
-1 2
3 ,x2
1 2
3
利用直接开平方法解下列方程
(3)、3(x 1)2 6 0
解:移项得 3(x 1)2 6 系数化为1得(x 1)2 2
人教版数学九年级上册第二十一章
21.2.1 解一元二次方程(1) ——直接开平方法
1、用直接开平方法解形如 x²=p(p≥0)或 (x+m)²=p(p≥0)的方程;
2、理解一元二次方程的解法——直接开 平方法;
3、体会一元二次方程“降次”──转化 的数学思想。
1、如果x2=a,则x叫做a的__平_方_根__; 2、如果x2=a(a≥0),则x=____; 3、如果x2=64,则x=_____.
开方得x 1 2
(4)、x2 4x 4 25
解:原方程整理得 (x 2)2 25
开方得x 2 5
x1 1 2, x2 1- 2
x1 7, x2 3
利用直接开平方法解下列方程 (5)、9x2 5 1
解:移项得 9x2 4
由平方根的意义得 原方程无实数根
直接开平方法 解一元二次方程
由平方根的意义得:
由平方根的意义得:
x 10
x 5
x1 10, x2 10
x1 5, x2 5
例1:利用直接开平方法解下列方程
(3)、4x2 100
思考:
解:两边同时 4得 x2 0的解是什么?
x2 25
x2 4呢?
由平方根的意义得:
21.2.2 一元二次方程的解法——公式法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
第二十一章 一元二次方程
第2课时
一元二次方程的解法
——公式公式法解一元二次方程,知道使用公式前先将方
程化为一般形式.
❸ (2022新课标)能用公式法解数字系数的一元二次方程.
复习引入
1.如何用配方法解方程 2x2 4x 10?
解:方程整理得
.
小结:注意一元二次方程的二次项系数不能为0.
2
2
★10.若a +5ab-b =0(ab≠0),求 的值.
2
2
解:∵a +5ab-b =0,∴ + -1=0,
令t= ,∴方程可化为t2+5t-1=0,
∴52-4×1×(-1)=29>0,
根据公式法得t=
-±
×
=
-±
)±
±
=
,
×
即x1=2 ,x2= .
3.【例1】用公式法解方程:x2+3x+1=0.
解:a=1,b=3,c=1,b2-4ac=5>0,
x=
-±
所以x1=
-
-± -±
=
=
,
×
-+
--
,x2=
.
小结:用公式法解方程时,先确定出a,b,c和b2-4ac的值.
x=
x- =0.
±
8.用公式法解方程:2x2+3x=3.
x=
-±
9.用公式法解方程:x2-5=2(x+1).
x=1±2
+
6.某数学小组对关于x的方程(m+1)
+(m-2)x-1=0提出了问题:
第2课时
一元二次方程的解法
——公式公式法解一元二次方程,知道使用公式前先将方
程化为一般形式.
❸ (2022新课标)能用公式法解数字系数的一元二次方程.
复习引入
1.如何用配方法解方程 2x2 4x 10?
解:方程整理得
.
小结:注意一元二次方程的二次项系数不能为0.
2
2
★10.若a +5ab-b =0(ab≠0),求 的值.
2
2
解:∵a +5ab-b =0,∴ + -1=0,
令t= ,∴方程可化为t2+5t-1=0,
∴52-4×1×(-1)=29>0,
根据公式法得t=
-±
×
=
-±
)±
±
=
,
×
即x1=2 ,x2= .
3.【例1】用公式法解方程:x2+3x+1=0.
解:a=1,b=3,c=1,b2-4ac=5>0,
x=
-±
所以x1=
-
-± -±
=
=
,
×
-+
--
,x2=
.
小结:用公式法解方程时,先确定出a,b,c和b2-4ac的值.
x=
x- =0.
±
8.用公式法解方程:2x2+3x=3.
x=
-±
9.用公式法解方程:x2-5=2(x+1).
x=1±2
+
6.某数学小组对关于x的方程(m+1)
+(m-2)x-1=0提出了问题:
人教版初中数学九年级上册一元二次方程课件PPT
18m2的地毯,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗?
8m
18m2
5mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解:设所求的宽度为xm,则中间地毯的宽表示为_(_5_-_2_x_)_m___,长表示为__(_8_-_2_x_)m_, 则方程列为_(_8_-_2_x_)_(_5_-_2_x_)=__1_8 ,整理得__4_x_2_-_2_6_x_+_2_2__=__0__.
★ 知识拓展
1)若a b c 0,则一元二次方程ax2 bx c 0必有一解为 1.
2)若a b c 0,则一元二次方程ax2 bx c 0必有一解为-1. 3)若4a 2b c 0,则一元二次方程ax2 bx c 0必有一解为 2.
随堂训练
例5 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值.
(2)由∣a ∣+1 =2,且a-1 ≠0知,当a=-1时,原方程是一元二次方程.
总结:用一元二次方程的定义求字母的值的方法:根据未知数的最高次 数等于2,列出关于某个字母的方程,再排除使二次项系数等于0的字母的 值.
知识讲解
例3 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式,并分别指出它们的二次项、 一次项和常数项及它们的系数.
新课导入
变式:
桌上有一张矩形纸片,长25cm,宽15cm,在它的四角各剪去一个同样的
正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制
作的无盖方盒的底面积为300cm2,那么纸片各角应剪去的正方形边长为多
少厘米?
设剪去的正方形边长为x cm,则无盖方盒的底面的长为(25-2x) cm , 宽为( 15-2x ) cm ,根据题意,可列方程为
8m
18m2
5mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解:设所求的宽度为xm,则中间地毯的宽表示为_(_5_-_2_x_)_m___,长表示为__(_8_-_2_x_)m_, 则方程列为_(_8_-_2_x_)_(_5_-_2_x_)=__1_8 ,整理得__4_x_2_-_2_6_x_+_2_2__=__0__.
★ 知识拓展
1)若a b c 0,则一元二次方程ax2 bx c 0必有一解为 1.
2)若a b c 0,则一元二次方程ax2 bx c 0必有一解为-1. 3)若4a 2b c 0,则一元二次方程ax2 bx c 0必有一解为 2.
随堂训练
例5 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值.
(2)由∣a ∣+1 =2,且a-1 ≠0知,当a=-1时,原方程是一元二次方程.
总结:用一元二次方程的定义求字母的值的方法:根据未知数的最高次 数等于2,列出关于某个字母的方程,再排除使二次项系数等于0的字母的 值.
知识讲解
例3 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式,并分别指出它们的二次项、 一次项和常数项及它们的系数.
新课导入
变式:
桌上有一张矩形纸片,长25cm,宽15cm,在它的四角各剪去一个同样的
正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制
作的无盖方盒的底面积为300cm2,那么纸片各角应剪去的正方形边长为多
少厘米?
设剪去的正方形边长为x cm,则无盖方盒的底面的长为(25-2x) cm , 宽为( 15-2x ) cm ,根据题意,可列方程为
人教版九年级上册 第二十一章 21.1 一元二次方程 课件(共25张PPT)
m_≠__±__1__时,它是一元二次方程;当m_=_1____时,它是 一元一次方程。
例题讲解
3、已知m, n都是方程x2 2006x 2008 0 的根,试求(m2 2006m 2007)(n2 2006n 2007)的值.
解 :∵m, n是方程x2 2006x 2008 0 的根,由根的定义知: m2 2006m 2008 0 n2 2006n 2008 0 即: m2 2006m 2008 n2 2006n 2008
解:设应邀请x 个队参赛,每个队要与其它(x-1)个队各赛1场,
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以
1
列全方部程比赛12共x(2x
x(x
1)
1) 场. 28 整理,得
1 x2 2
1 2
x
28
化简,得 x2 x 56 ③ 由方程③可以得出参赛队数.
同学们认真看问题1、2、3,整理得方程:
x2 - 75x + 350=0
(1)
x2 +2x-4=0
(2)
x2 x 56
(3)
特征:(1) 都是整式方程 (2) 只含有一个未知数 (3) 未知数的最高次数是2
2、新课讲授 (1)只含有一个未知数,并且未知数的最高次数 是2的整式方程叫做一元二次方程。
(2)一元二次方程通常可写成如下的一般形式:
ax2+bx+c=0(a≠0)
(3)条件:①当a≠0时,是一元二次方程。
②当a=0并且b≠0 时 ,是一元一次方程。
注意:其中c是常数项。一般方程的左边按x的降幂排列, 右边=0,当然也可以没有一次项、常数项。
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
一次项 系数
例题讲解
3、已知m, n都是方程x2 2006x 2008 0 的根,试求(m2 2006m 2007)(n2 2006n 2007)的值.
解 :∵m, n是方程x2 2006x 2008 0 的根,由根的定义知: m2 2006m 2008 0 n2 2006n 2008 0 即: m2 2006m 2008 n2 2006n 2008
解:设应邀请x 个队参赛,每个队要与其它(x-1)个队各赛1场,
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以
1
列全方部程比赛12共x(2x
x(x
1)
1) 场. 28 整理,得
1 x2 2
1 2
x
28
化简,得 x2 x 56 ③ 由方程③可以得出参赛队数.
同学们认真看问题1、2、3,整理得方程:
x2 - 75x + 350=0
(1)
x2 +2x-4=0
(2)
x2 x 56
(3)
特征:(1) 都是整式方程 (2) 只含有一个未知数 (3) 未知数的最高次数是2
2、新课讲授 (1)只含有一个未知数,并且未知数的最高次数 是2的整式方程叫做一元二次方程。
(2)一元二次方程通常可写成如下的一般形式:
ax2+bx+c=0(a≠0)
(3)条件:①当a≠0时,是一元二次方程。
②当a=0并且b≠0 时 ,是一元一次方程。
注意:其中c是常数项。一般方程的左边按x的降幂排列, 右边=0,当然也可以没有一次项、常数项。
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
一次项 系数
2 解一元二次方程 公式法PPT课件(人教版)
12.已知关于x的一元二次方程x2+bx+b-1=0有两个相等的实数 根,则b 的值是__2__.
13.关于x 的方程(a+1)x2-4x-1=0有实数根,则a满足的条件是 _a_≥_-__5_____.
14.用公式法解下列方程: (1)x(2x-4)=5-8x;
解:原方程整理为 2x2+4x-5=0,∴b2-4ac=16+4×2×5= 56,∴x=-24×±256,即 x1=-2+2 14,x2=-2-2 14
练习1:对一元二次方程x2-2x=1,b2-4ac=__8__. 2.式子____b_2_-__4_a_c___叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别 式,常用Δ表示,Δ>0⇔ax2+bx+c=0(a≠0)有 __有__两__个__不__等__的__实__数__根_______;Δ=0⇔ax2+bx+c=0(a≠0)有 __两__个__相__等__的__实__数__根___;Δ<0⇔ax2+bx+c=0(a≠0)____无__实__数__根__. 练习2:(202X·长沙)若关于x的一元二次方程x2-4x-m=0有两个 不相等的实数根,则实数m的取值范围是_____m_>__-__4____.
8.一元二次方程x2-x-6=0中,b2-4ac=__2_5___,可得x1= __3__,x2=__-__2__.
(91.)x用2-公3x式-法2=解0下;列方解程::x1=3+2 17,x2=3-2 17 (2)8x2-8x+1=0;
解:x1=2+4 2,x2=2-4 2
(3)2x2-2x=5. 解:x1=1+2 11,x2=1-2 11
知识点1:根的判别式 1.(202X·邵阳)一元二次方程2x2-3x+1=0的根的情况是( B ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 2.(202X·丽水)下列一元二次方程没有实数根的是( B ) A.x2+2x+1=0 B.x2+x+2=0 C.x2-1=0 D.x2-2x-1=0
人教版数学九年级上册一元二次方程根与系数的关系课件
两个负根
{△>0 X1X2<0
{ { △≥0 X1X2>0
△≥0 X1X2>0
X1+X2>0
X1+X2<0
A、y2+3y-5=0
B、 y2-3y-5=0
C、y2+3y+5=0
D、 y2-3y+5=0
分析:设原方程两根为x1, x2 则: x 1 x2 3 ,x 1 x2 5
新方程的两根之和为 (x1)(x2)3
新方程的两根之积为(x1)(x2)5
注意
求作新的一元二次方程时: 1.先求原方程的两根和与两根积.
x-x1)(x-x2)=0(两根x1,x2)
x2+px+q=0
x1+x2=-p x1x2=q
根据求根公式可知,
x1
b
b2 4ac 2a
由此可知
x2
b
b2 4ac 2abຫໍສະໝຸດ x1x2a
x1 x2
c a
根与系数 的关系
试一试
例4
根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x1,x2的 和与积:
(1)x26x1 50;
(2)3x27x90;
(3)5x14x2
归纳
任何一个一元二次方程的根与系数的关系 为:两个根的和等于一次项系数与二次项 系数的比的相反数,两个根的积等于常数
项与二次项系数的比.
要点 已知两根求作新的方程 以 x1 , x2 为两根的一元二次方程
(二次项系数为1)为:
x2 (x 1 x 2)x x 1 x 2 0
数学 九年级 上册 R
第 二十一 章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.4 一元二次方程的跟与系数的关系