《初等几何研究》作业

《初等几何研究》作业

一．填空题

1．对直线a上任意两点A、B，把B以及a上与B在A同侧的点的集合称作，并记作 .

2．第四组公理由条公理组成，它们的名称分别是 .

3．罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是，不同之处是 .

4．合同变换包括变换、变换和变换。

5．锡瓦定理：设⊿ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB上分别有点X、Y、Z，则AX、BY、CZ三线共点（包括平行）的充要条件是 .

6．解作图问题的常用方法有：、、、等.

7．由公理可以证明，线段的合同关系具有性、性、性和性.

8．命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是定理的推论.

9．写出一条与欧氏平行公理等价的命题： .

10．几何证明的基本方法，从推理形式上分为法与归纳法；从思维方向上分为法与分析法；从命题结构上分为证法与间接证法，其中间接证法包括法与法.

11．托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则 .

12．请写出两条作图公法： .

13．在希尔伯特给出的欧几里得公理系统中，三角形的定义是：。

14．命题“过圆内一点的直线必与该圆相交于两点”是由公理保证的。

15．写出一条与罗氏平行公理等价的命题：。

16．不过反演中心的圆，其反演图形是（过或不过）反演中心的。

17．梅内劳斯定理：设⊿ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB被一直线分别截于X、Y、Z点，则X、Y、Z共线的充要条件是。

18．解作图问题的步骤一般分为：、、、、。

19．数学公理系统的三个基本问题是 性、 性和 性. 20．常用的几何变换有 等. 21．罗氏平行公理是： .

22．几何计算证明法一般有 法、 法、 法、 法、

法、 法等.

23．等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有 的关系 .

24．尺规可作图的充要条件是 .

25.由公理可以证明，线段的合同关系具有 性、 性、 性和 性. 26.如果线段与角对应，那么线段的中点与角的 对应.

27.命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是 定理的推论.28.绝对几何包括有 组公理，它们分别是 .

29.写一条与欧氏平行公理等价的命题： . 30.在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是 . 二．问答题

1．在数学公理系统中，模型指的是什么？ 2．定义线段长度的两个条件是什么？

3．以下四个命题：“过不共线的三点恒有一圆”、“三角形的内角和不大于两个直角”、“存在两个三角形，它们相似但不合同”、“同一平面上，一条直线的垂线与其斜线必相交”，哪一个命题与欧氏平行公理不等价？

4．欧氏几何公理系统中，不加定义的原始的关系概念有哪些？请解释它们的含义. 5．公理系统中的“合同”概念涉及到中学平面几何中哪些名词、术语？ 6．由欧几里得《几何原本》中的第五公设引出了什么问题？产生了什么结果？ 7．原始关系概念“结合”的通常说法有哪些？

8．在欧氏几何公理系统中，线段“合同”的概念与线段“长度”的概念分别是以什么形式引出来的？ 9．在绝对几何公理系统中，命题“三角形内角和等于两个直角”用下列方法证明可否？若有问题，问题出在哪一步？为什么？

在⊿ABC 中，过A 作AD 交BC 于D ，如图所示。 设⊿ABC 的内角和为x ，用ω表示直角， 则∠1+∠3+∠5=x ，∠2+∠4+∠6=x ； ∵∠3+∠4=2ω，且∠1+∠2+∠5+∠6=x ， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2x ， 即x +2ω= 2x ，因此x =2ω，得证。

10．巴士公理刻划了直线和三角形的那些特性？

11．第三组公理一共有几条？这组公理的名称与我们以前熟悉的哪些概念有关？

A B

C

D

1 2

3 4 5

6

12．定义两个线段的大、小关系用到了哪些关系？

13.欧氏几何公理系统中，不加定义的原始的关系概念有哪些？请解释它们的含义. 14.数学公理系统的三个基本问题是什么？其含义分别是什么？ 15.公理系统中的“合同”概念涉及到中学平面几何中哪些名词、术语？

三．轨迹问题

1.若三角形底边固定，其顶点在过底边一端的定直线上移动，则该三角形外心的轨迹是底边的垂直平分线.

2. 到两定点A 、B 的距离之比为正实数m （m ≠1）之点的轨迹是一个圆.

3. ⊿ABC 的底边BC 固定,∠A=α是定角，延长BA 至D ，使BD=BA+AC ，求D 点的轨迹．（只作分析，并指出轨迹的图形即可）

4.到两定点A 、B 的距离之比为正实数m （m ≠1）之点的轨迹是一个圆.

四．作图问题

1．给定直线XY 及其同侧两点A 、B ， 在XY 上求作一点P ，使得∠APX=∠BPY. （只写作图过程并证明）

2．从已知圆外一点作一割线，使其圆外部分和圆内部分长度相等.（只写作图过程并讨论） 3已知直线x 、y 平行，其外侧各有一点A 、B x （如图），求作从A 到B 的最短路线，其中在x 、y

之间的一段要求与x 垂直。（只写作图过程并证明） y

4．给定锐角三角形ABC ，求作其内接正方形，使其两个相邻顶点在BC 边上，另两个顶点分别在AB 和AC 边上。（只写作图过程）

5．求作一圆，使该圆过两定点，并与一定直线相切.（只写作图过程） 6.给定直线XY 及其同侧两点A 、B ， 在XY 上求作一点P ，使得AP+BP 距离最短. （只写作图过程并证明）

X

Y

B

A

A

B

X

Y

B

A