数学2019中考备战策略专题五综合型问题

对应关系.
Ⅰ型
Ⅱ型
投资金额x(万元)
x
5
x
24
补贴金额y(万元) y1＝kx
2
y2＝ax2＋bx 2.4 3.2
(k≠0)
(a≠0)
(1)分别求y1和y2的函数解析式；
(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买,请你设计
一个能获得最大补贴金额的方案,并求出按此方案能获得的最大补贴金额
．
时，四边形PBQD是菱形． 答案：(1)提示：先证∠PDO＝∠QBO，再证△POD≌△QOB.
(2)PD＝(8－t)厘米．∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A＝90°.∵AD＝8
厘米，AB＝6 厘米,∴BD＝10 厘米,∴OD＝5 厘米．当四边形 PBQD 是菱形
时，PQ⊥BD，∴∠POD百度文库∠A.又∠ODP＝∠ADB，∴△ODP∽△ADB，∴OPDD＝
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1．在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，
某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程s(米)与所用时间t(秒)之间的函 数图象分别为线段OA和折线OBCD.如图，下列说法正确的是( )
A．小莹的速度随时间的增大而增大 B．小梅的平均速度比小莹的平均速度大 C．在起跑后180秒时，两人相遇 D．在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面 答案：D
＝∠C＝30°，∴AD＝2AE，
即 10－2t＝2t，解得 t＝52.
②当∠DEF＝90°时，由(2)知 EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°.∵∠A
＝90°－∠C＝60°，∴AD＝AE·cos60°，即 10－2t＝12t，解得 t＝4.
③当∠EFD＝90°时，此种情况不存在．
综上所述，当 t＝52或 t＝4 时，△DEF 为直角三角形．
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（2011·河南） 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，BC
＝5 3，∠C＝30°.点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以每秒 2 个单位长的速度
向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以每秒 1 个单位长的速
度向点 B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运
数学2019中考备战策略专题五综合型问题
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参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图所示，△ABC的三条中线分别为AD、BE、CF.
∵AB=BC·tan30°=5 3× 33＝5,∴AC=2AB=10，∴AD=AC－DC=10-2t.
若使▱AEFD 为菱形，则需 AE＝AD，即 t＝10－2t，解得 t＝130，即当 t
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10 ＝ 3 时，四边形
AEFD
为菱形．
(3)①当∠EDF＝90°时，四边形 EBFD 为矩形．在 Rt△AED 中，∠ADE
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【解答】(1)由题意得①5k＝2，k＝25，∴y1＝25x.
4a＋2b＝2.4， ②16a＋4b＝3.2.
∴a＝－15，b＝85，∴y2＝－15x2＋85x.
(2)设购Ⅱ型设备投资 t 万元，购Ⅰ型设备投资(10－t)万元，共获补
贴 Q 万元．
∴y1＝25(10－t)＝4－25t，y2＝－15t2＋85t，
性质：弧长比等于半径比、面积比等于半径比的平方……请你协助他们探
CF 的长度为三边长的一个三角形是△CFP (2)以 AD、
BE、CF 的长度为三边长的三角形的面积等于34.
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（2019·荆州） 2019年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗
旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买
Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数
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【点拨】邻边相等的平行四边形是菱形．对于动态几何问题的解答， 一定要根据图形的变化进行分类讨论．
【解答】(1)在△DFC 中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t，∴DF
＝t.又∵AE＝t，∴AE＝DF.
(2)能．理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.
又∵AE＝DF，∴四边形 AEFD 为平行四边形．
(1)在图中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长度为三边长的
一个三角形(保留画图痕迹)；
(2)△ABC的面积为1，则以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面
积等于______．
【点拨】(1)等底等高的三角形面积相等;(2)中线平分三角形的面积.
【解答】△BDE 的面积等于 1 (1)如图，以 AD、BE、
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ABDD，即8－5 t＝180，解得 t＝47，即运动时间为74秒时，四边形 PBQD 是菱形．
3．某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义
、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定义：“圆心
角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”．相似扇形有
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2．如图所示，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q.
(1)求证：OP＝OQ.
(2)若AD＝8厘米，AB＝6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运
动(不与D重合)．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值
动．设点 D、E 运动的时间是 t 秒(t＞0)．过点 D
作 DF⊥BC 于点 F，连接 DE、EF.
(1)求证：AE＝DF.
(2)四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t 值；如果
不能，说明理由．
(3)当 t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由．
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∴Q＝y1＋y2＝4－25t－15t2＋85t＝－15t2＋65t＋4＝－15(t－3)2＋259.
∵－15＜0，∴Q
有最大值，即当
t＝3
时，Q
29 最大＝ 5 ，
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∴10－t＝7(万元)．
即投资7万元购Ⅰ型设备，投资3万元购Ⅱ型设备，共获得最大补贴 5.8万元．