抽象不等式的解法之令狐文艳创作

抽象不等式的解答方法

令狐文艳

一、利用单调性、奇偶性等函数的性质 模型1：()f x 在区间上单调递增，若()()f a f b >，则a b >。

模型2：奇函数()f x 在区间上单调递增，若()()0f a f b +>，

则可得()()f a f b >

-，∴a b >-。

例题：已知函数()sin f x x x =-，则2(2)(3)0f x x f -+->的解集

为______. 解析：

()f x 为奇函数，求导得'()1cos 0f x x =-≥，()f x ∴在R

上单调递增， 由

2(2)(3)0f x x f -+->得，2(2)(3)f x x f -> ，

223x x ∴->，

解得，1x <-，或3x >。

总结：1、将目标写成具体不等式，则得到超越不等式，无法解答。没有具体解析式的不等式问题，结合函数的单调性、奇偶性解答。

2、考查条件函数的性质（单调性、奇偶性）和目标不等式的特点，由模型2可解答。

二、构造函数法：——利用新函数单调性、奇偶性特殊点等性质画出图像，结合图像得不等式的解集。 这类问题的主要思想是，用x 、x

e 、

()f x 通过四则运

算（主要是乘、除）的组合得到新函数。 模型1：

()f x x

，求导得

⇒

2

'()()

xf x f x x -，结构特点

⇒'()()xf x f x -。

说明：由求导法则，可知是由两个函数相除求导的结果。 模型2：()xf x ，求导得⇒'()()xf x f x +。

模型

3：2()x f x ，求导得

⇒22'()()xf x x f x +。 特点：求导的结果是,(),'()x f x f x 的组合，只有两个简单项。 模型

4：()x e f x ，求导得

⇒()'()(()'())x x x e f x e f x e f x f x +=+。 模型5：

()x f x e ，求导得⇒2'()()'()()()x x x x e f x e f x f x f x e e --=。

特点：求导的结果是(),'()f x f x 的组合，只有两个简单

项。 模型

6：（1）()x

xe f x ，求导得

⇒(1)()'()((1)()'())x x x

x e f x xe f x e x f x xf x ++=++。

（2）

()

x xf x e ，求导得

⇒

2

(()'())()()'()()

()x x x x f x xf x e xe f x f x xf x xf x e e +-+-=。

（3）()

x e f x x ，求导得

⇒2

(()'()())x xf x xf x f x e x +-。

特点：求导的结果是,(),'()x f x f x 的组合，只有三个简单项。

例1、()f x 是R 上的可导函数，且满足(1)()'()0x f x xf x ++>，则()_____0f x 。

分析:条件中不等式是,(),'()x f x f x 3个组合，故函数应是

,,()x x e f x 三个简单函数组合的结果。

令()()x h x xe f x =，则

'()[(1)()'()]0x

h x e x f x xf x =++>， ()h x 在R 上递增，又(0)0h =， ()h x ∴

()()0x h x xe f x =>()0f x ∴>；

()()0x h x xe f x =<()0f x ∴>；

综上()0f x >。 例2、已知函数

()

f x 在

R

上的导函数为

'()

f x ，若

'()()

1f x f x x ->-，

()x

f x y e =

关于直线1

x =对称，则不等式

22()(0)

x x

f x x f e

--<的解集是（ ）

A 、(1,0)(1,2)

- B 、(,0)

(1,)

-∞+∞ C 、(1,2)-

D 、(1,2)

分析：有条件，1x >时，'()()0f x f x -> 条件中不等式是

(),'()f x f x 2

个组合，故函数应是,()x e f x 2

个

简单函数组合的结果。

令()()x f x h x e =，则2'()()'()()'()()x x x x

e f x e f x f x f x h x e e --==，

1x ∴>时，'()0h x > ，

()h x 在(1,)+∞上递增，再由()h x 关于直线1x =对称。如图，

()h x ∴

不等式

22()

x x

f x x e

--<)(0)x h <的解集， 由图，2

0x

x <-<解得，10x -<<，或12x <<

例3、定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为'()f x ，若对任意

0x >，都有2()'()2f x xf x +<恒成立，则使22

()(1)1x f x f x -<-的

解集是（ ）

A 、(,1)

(1,1)(1,)-∞--+∞ B 、(,1)(1,)-∞-+∞

C 、(1,1)-

D 、(1,0)

(0,1)-

分析：根据条件和目标不等式的特点，应是2

x 与()f x 组合

而成的函数。

目标不等式化为22()(1)1x f x x f -<-， 令22

()()h x x f x x =-，

()f x 为偶函数，()h x ∴为偶函数，

下面解不等式()(1)h x h <，

又0x >时，'()[2()'()2]0h x x f x xf x =+-<

()h x ∴在(0,)+∞上递减，(0)0h =，如图

1x ∴<-，或x >例4'()f x ，若()'()

f x f x <恒成立，且

f ()x f x e >的解集是（ ）

A 、(1,)+∞

B 、(0,1)

C 、(ln 2,)+∞

D 、(0,ln 2) 分析：条件中不等式是

(),'()f x f x 2

个组合，故函数应是