高中数学常见题型解法第32招 不等式的解法

【知识要点】

一、一元一次不等式的解法

任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为(0)ax b a >≠的形式.

当0a >时，不等式的解集为b x x a ⎧⎫>

⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为b x x a ⎧

⎫

<⎨⎬⎩⎭

. 二、一元二次不等式2

0(0)ax bx c a ++≥≠的解法

1、二次不等式2

()0f x ax bx c =++≥（0a >）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答.

2、当二次不等式()f x =20(0)ax bx c a ++≥<时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数a 变成正数，再利用上面的方法解答.

3、温馨提示

（1）不要把不等式20ax bx c ++>看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析2x 的系数. （2）对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论.

（3）如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件. （4）不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性. 三、指数不等式和对数不等式的解法

解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法

(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件.

①当1a >时,

()()

()()f x g x a a f x g x >⇔>; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪

>⇔>⎨⎪>⎩

②当01a <<时,

()()

()()f x g x a a f x g x >⇔<; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪

>⇔>⎨⎪<⎩

(2)对指互化法：

如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.

对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解.

(1)x a b a >>log ()log log x a a a a b x b ⇒>⇒> (01)x a b a ><

log 00

log (1)a

a x

b x x x b a x b a a >>⎧⎧>⇒⇒>⎨⎨>>⎩⎩

其中

log 00

log (1)a

a x

b x x x b a x b a a >>⎧⎧>⇒⇒<<⎨⎨<<⎩⎩

其中0

四、分式不等式的解法

把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成()

0()f x g x ≥的形式→化成不等式组()0()()0

g x f x g x ≠⎧⎨≥⎩→解不等式组得解集.

温馨提示：解分式不等式一定要考虑定义域. 五、高次不等式的解法

先把高次不等式分解因式化成123()()()()0n x a x a x a x a ---->g

g g 的形式（x 的系数必须为正）→标记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上往下穿（奇穿偶不穿）→写出不等式的解集.

实际上，序轴标根法适用于所有的整式不等式，根据它可以很快地写出整式不等式的解集. 六、绝对值不等式的解法

方法一：公式法 解只含有一个绝对值形如()ax b c +><的不等式，一般直接用公式

x a x a x a >⇔><-或 x a a x a <⇔-<<，注意集合的关系和集合的运算，集合的运算主要利用数

轴.

方法二：零点讨论法 解含有两个绝对值形如()x a x b c +++><的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.

方法三：平方法如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：3

x>，可以使用平方法.

七、无理不等式的解法

无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答.

无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，)

(

)

(x

g

x

f≥可转化为)

(

)

(x

g

x

f>或)

(

)

(x

g

x

f=，而)

(

)

(x

g

x

f>等价于：

⎩

⎨

⎧

<

≥

)

(

)

(

x

g

x

f

或

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

>

≥

≥

2

)]

(

[

)

(

)

(

)

(

x

g

x

f

x

g

x

f

．

八、抽象的函数不等式的解法

一般利用函数的单调性解答，先研究函数的单调性，再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具体的函数不等式解答. 学科#网

【方法讲评】

不等式一一元二次不等式

解题方法

1、二次不等式2

()0

f x ax bx c

=++≥（0

a>）的解法：最好的方法是图像法，

充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答.

2、当二次不等式()

f x=20(0)

ax bx c a

++≥<时，可以画图，解不等式，也可

以把二次项的系数a变成正数，再利用上面的方法解答.

【例1】解关于x的不等式0

1

)1

(

2<

+

+

-x

a

ax．

②当0

>

a时，①式变为0

)1

)(

1

(<

-

-x

a

x．②

∵

a

a

a

-

=

-

1

1

1

，∴当1

0<

1

>

a

，此时②的解为

a

x

1

1<

<．当1

=

a时，1

1

=

a

，此时②的解为1

1

<

a

．

【点评】解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：