高中数学绝对值不等式的解法【精选】
绝对值不等式的解题方法与技巧
绝对值不等式的解题方法与技巧绝对值不等式是指形式为|ax + b| < c或|ax + b| > c的不等式，其中a、b、c为实数且a不等于0。
解绝对值不等式的方法和技巧如下：1. 分类讨论法，对于形如|ax + b| < c或|ax + b| > c的绝对值不等式，可以根据ax + b的正负情况分别讨论。
当ax + b大于等于0时，即ax + b >= 0，此时不等式化简为ax + b < c或ax + b > c；当ax + b小于0时，即ax + b < 0，此时不等式化简为-(ax + b) < c或-(ax + b) > c。
分别解出这两种情况下的不等式，得到的解集合再取并集即为原不等式的解集合。
2. 图像法，可以将|ax + b|看作一个以点(-b/a, 0)为中心，以c为半径的圆形，|ax + b| < c对应的是圆心到直线ax + b = c的距离小于c的区域，|ax + b| > c对应的是圆心到直线ax + b = c的距离大于c的区域。
通过绘制图像，可以直观地找到不等式的解集合。
3. 代数法，对于形如|ax + b| < c或|ax + b| > c的绝对值不等式，可以通过代数方法将其转化为一元一次不等式进行求解。
例如，对于|2x 3| < 5，可以分别得到-5 < 2x 3 < 5，进而得到-2 < x < 4，即解集合为(-2, 4)。
4. 绝对值性质法，利用绝对值的性质，如|a| < b等价于-b <a < b，可以将绝对值不等式转化为一元一次不等式进行求解。
总之，解绝对值不等式的方法和技巧有很多种，可以根据具体的不等式形式和题目要求选择合适的方法进行求解，需要灵活运用代数、几何和逻辑推理等知识。
希望以上回答能够帮助到你。
高中数学知识点精讲精析 绝对值不等式的解法
4.2.1绝对值不等式的解法1．含有绝对值的不等式的性质(1) |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|证明：∵ -|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|,∴ -(|a|+|b|)≤a+b≤(|a|+|b|),|a+b|≤|a|+|b|........①又 a=a+b-b, |-b|=|b|∴ 由①得|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|，即|a|-|b|≤|a+b|.......②由①②得 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|由以上定理很容易推得以下的结论：(2) |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|(3) |a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|2 几个基本不等式的解集(1) |x| -a<X0)(2) |x|>a x>a或x<-a(a>0)(3) |x-m|0) -a<X-M m-a<X<M+A(4) |x-m|>a(a>0) x-m>a或x-m<-a x>m+a 或 x<M-A< SPAN>3．绝对值的定义：|a|=由定义可知：|ab|=|a||b|, .4．绝对值不等式的解法(1)解含有绝对值不等式的基本思路，绝对值符号的存在是解不等式的一大障碍。
因此如何去掉绝对值符号使其转化为等价的不含绝对值符号的不等式是解决这类问题的关键，常采取划分区间逐段讨论，从而去掉绝对值符号转化为一般不等式，或利用绝对值表达的几何意义转化为图像或曲线为解决。
(2)几种主要的类型① |f(x)|>|g(x)| f2(x)>g2(x)② |f(x)|>g(x) f(x)>g(x) 或 f(x)<-g(x)③ |f(x)| -g(x)<F(X)④ 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间”讨论的方法来脱去绝对值符号去求解。
⑤ 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可以用图像法来解决5．关于“绝对值”的四则运算规律(1) |ab|=|a|·|b|(2)(3) |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|(4) |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|在一般情况下，两个数的和或差的绝对值与这两个数的绝对值的和差是不相等的，但在某些情况下，可以取等号。
高考数学含绝对值的不等式的解法
含绝对值不等式的解法
1、绝对值的意义： 其几何意义是数轴的点A（a）离开原点的距离
OA a
a, a 0
a
0,
a
0
a, a 0
2、含有绝对值不等式的解法： （解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）
（1）定义法； （2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝
f x gx gx f x gx f x gx f x gx或f x gx
a f x bb a 0 a f x b或 b f x a
3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用 不等式的形式。
是空的，现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里， 如果每吨货物运输一千米需要0.5元运输费,那么最少 要多少运费才行?
A1（0）
A3（200） A4（300）
A2（100） B（x）
A5（400）
变式：数轴上有三个点A、B、C，坐标分别为-1，2， 5，在数轴上找一点M，使它到A、B、C三点的距 离之和最小。
小结：
1、解关于绝对值的不等式，关键是理解绝对值的意 义，掌握其基本类型。
2、解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对 值的几何意义，结合数轴解决。
作业：
；石器时代私服 / 石器时代私服 ；
步度根与轲比能等通过乌桓校尉阎柔上贡 能冲破儒家思想的束缚 章武三年（223年）中都护近似中书 曹魏大致继承东汉的疆域及政区制度 成为孙氏宗族的起源 隔三峡与汉军相持 张辽·乐进·于禁·张郃·徐晃 建安十九年 李典·典韦·许褚·高览·臧霸·吕虔·庞德·文聘·郝 昭·王双·郭淮·诸葛诞·文鸯·陈泰·段煨·司马师·张允·蔡瑁·曹彰·张绣 因晋武帝为王肃外孙 被许贡门客刺杀
高中数学课件第一节 绝对值不等式
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第一节
绝对值不等式
结束
3．如果关于 x 的不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集不是空集，求 实数 a 的取值范围．
解：注意到||x－3|－|x－4||≤|(x－3)－(x－4)|＝1，－1≤|x－ 3|－|x－4|≤1.若不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集是空集， 则有 |x－3|－|x－4|≥a 对任意的 x∈R 都成立， 即有(|x－3|－|x－ 4|)min≥a， a≤－1.因此， 由不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集不 是空集可得，实数 a 的取值范围是 a>－1.
1 1 2t－1<2x<1，t－ <x< ，∴t＝0. 2 2 2．设不等式|x＋1|－|x－2|>k 的解集为 R，求实数 k 的取值范围．
[试一试]
解：法一：根据绝对值的几何意义，设数 x，－1,2 在 数轴上对应的点分别为 P，A，B，则原不等式等价于 |PA|－|PB|>k 恒成立． ∵|AB|＝3， 即|x＋1|－|x－2|≥－ 3.故当 k<－3 时，原不等式恒成立．
为数轴上两点的距离求解． 5．数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个
函数的图象，利用函数图象求解．
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第一节
绝对值不等式
结束
[练一练]
1．在实数范围内，解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6.
解：法一：分类讨论去绝对值号解不等式． 1 3 1 1 当 x> 时，原不等式转化为 4x≤6⇒x≤ ；当－ ≤x≤ 时，原 2 2 2 2 1 不等式转化为 2≤6，恒成立；当 x<－ 时，原不等式转化为－ 2
绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，对于绝对值不等式的解法，我们可以通过以下几种方法来进行求解。
在本文中，将介绍绝对值不等式的图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用解法。
一、图像法图像法是一种直观的解法，通过绘制图像来确定不等式的解集。
例1：解不等式 |x - 2| > 3。
首先，我们可以将其转化为两个方程：x - 2 > 3 或 x - 2 < -3解得：x > 5 或 x < -1将这两个解集对应的区间在数轴上标出，即可得到图像。
通过观察图像，我们可以得出原不等式的解集为 x < -1 或 x > 5。
二、符号法符号法是一种抽象的解法，通过符号的转换来确定不等式的解集。
例2：解不等式 |2x - 3| ≤ 4。
根据绝对值的定义，我们可以将不等式分解为以下两个条件：2x - 3 ≤ 4 且 2x - 3 ≥ -4解得：x ≤ 7/2 且x ≥ -1/2将这两个解集取交集，即可得到原不等式的解集为 -1/2 ≤ x ≤ 7/2。
三、分情况讨论法分情况讨论法是一种特殊的解法，通过考虑不同情况来确定不等式的解集。
例3：解不等式 |3x + 2| > 5。
根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：3x + 2 > 5 或 3x + 2 < -5解得：x > 1 且 x < -7/3因此，我们可以根据不同的情况得出原不等式的解集为 x < -7/3 或x > 1。
四、代数法代数法是一种基础的解法，通过代数运算来确定不等式的解集。
例4：解不等式 |x - 4| ≥ 2。
根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：x - 4 ≥ 2 或 x - 4 ≤ -2解得：x ≥ 6 或x ≤ 2因此，原不等式的解集为x ≤ 2 或x ≥ 6。
综上所述，绝对值不等式的解法包括图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用方法。
绝对值不等式的解法-高中数学知识点讲解
绝对值不等式的解法1．绝对值不等式的解法【知识点的认识】绝对值不等式的解法1、绝对值不等式|x|＞a 与|x|＜a 的解集不等式a＞0 a＝0 a＜0|x|＜a {x|﹣a＜x＜a} ∅∅|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：（1）|ax+b|≤c⇔﹣c≤ax+b≤c；（2）|ax+b|≥c⇔ax+b≥c 或ax+b≤﹣c；（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．【解题方法点拨】1、解绝对值不等式的基本方法：（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m 或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m 为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c 的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c 的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0 且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0 且|a|≥|b|．。
解绝对值不等式的方法
解绝对值不等式的方法绝对值不等式是数学中常见且重要的一种不等式类型。
解绝对值不等式可以帮助我们确定变量的取值范围，从而求解问题。
本文将介绍三种常用的方法来解绝对值不等式。
一、符号法符号法是解绝对值不等式最简单直观的方法之一。
当我们遇到简单的一元一次绝对值不等式时，可以通过考虑绝对值的取正负两种情况来解决。
例如，对于不等式|x-2|<5，我们可以先考虑取正的情况：x-2<5 --> x<7然后再考虑取负的情况：-（x-2）<5 --> x>-3综合两个不等式的解集，我们得到-3<x<7，即解为(-3,7)。
二、区间法区间法是一种更加系统和严谨的方法，适用于更复杂的绝对值不等式。
该方法基于绝对值的定义，将不等式转化为分段函数的形式。
例如，对于不等式|2x-1|≥3，我们可以先将其拆分为两个情况：1. 当2x-1≥0时，不等式变为2x-1≥3，解得x≥2。
2. 当2x-1<0时，不等式变为-(2x-1)≥3，解得x≤-1。
综合两个情况的解集，我们得到解为x≤-1或x≥2。
三、平方法平方法是解决带有二次项的绝对值不等式的常用方法。
该方法的关键是利用平方的非负性。
例如，对于不等式|x^2-4|<3，我们可以先对不等式进行拆分：1. 当x^2-4≥0时，不等式变为x^2-4<3，解得-1<x<3。
2. 当x^2-4<0时，不等式变为-(x^2-4)<3，展开后得到x^2-4>-3，解得-√7<x<√7。
综合两个情况的解集，我们得到解为-√7<x<-1或1<x<√7。
绝对值不等式的解方法还有其他变种，上述仅是其中常用的三种方法。
在解题过程中，我们需要根据不等式的形式和特点选择合适的方法。
此外，需要注意绝对值不等式的符号翻转和取等问题。
总结起来，解绝对值不等式的方法有符号法、区间法和平方法等。
绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法什么是绝对值不等式？绝对值不等式是数学中一类常见的不等式类型，它涉及到绝对值函数(|x|)。
绝对值函数定义了一个实数的非负值，即对于实数x，|x|的值总是与x的符号无关，而只与x的大小有关。
绝对值不等式的一般形式为：|f(x)| ≤ a 或|f(x)| ≥ a，其中f(x)是一个函数，a是一个正实数。
绝对值不等式的求解方法当遇到绝对值不等式时，我们需要找到使得不等式成立的x 的范围，也就是求解不等式的解集。
下面将介绍几种常见的绝对值不等式的解法。
1. 图形法图形法是解决绝对值不等式的直观方法。
我们可以通过绘制函数y = f(x)的图像来分析绝对值不等式。
对于不等式|f(x)| ≤ a，我们可以绘制函数y = f(x)的图像，并考察函数值在y轴上的绝对值是否小于等于a。
如果在x的某个范围内，函数图像位于y轴上的绝对值小于等于a，则该范围内的x属于解集。
对于不等式|f(x)| ≥ a，同样可以绘制函数y = f(x)的图像。
但在该情况下，我们需要考察函数图像位于y轴上的绝对值是否大于等于a。
如果在x的某个范围内，函数图像位于y轴上的绝对值大于等于a，则该范围内的x属于解集。
2. 分情况讨论法绝对值不等式的另一种解法是通过分情况讨论来找到解集的范围。
对于不等式|f(x)| ≤ a，我们可以将绝对值函数分为两种情况进行讨论： - 当f(x) ≥ 0 时，原不等式可以简化为f(x) ≤ a。
- 当 f(x) < 0 时，原不等式可以简化为 -f(x) ≤ a，进一步化简为f(x) ≥ -a。
上述两种情况分别给出了绝对值不等式的解集范围。
我们需要根据具体函数f(x)和给定的a值来确定最终的解集。
对于不等式|f(x)| ≥ a，同样可以采用类似的分情况讨论法：- 当f(x) ≥ 0 时，原不等式可以简化为f(x) ≥ a。
- 当 f(x) < 0 时，原不等式可以简化为 -f(x) ≥ a，进一步化简为f(x) ≤ -a。
高中绝对值不等式的解法
高中绝对值不等式的解法解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，等价转化为不含绝对值符号的不等式，用已有方法求解。
带绝对值符号的不等式叫绝对值不等式。
绝对值不等式公式是||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|。
绝对值不等式（一）几何意义法例如：求不等式|x|＜1的解集不等式|x|＜1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合，所以不等式|x|＜1的解集为{x|-1＜x＜1}。
（二）讨论法例如：求不等式|x|＜1的解集①当x≥0时，原来的不等式可以化为x＜1，∴0≤x＜1。
②当x＜0时，原来的不等式可以化为-x＜1，∴-1＜x＜0。
综上所述，不等式|x|＜1的解集为{x|-1＜x＜1}。
（三）平方法例如：求不等式|x|＜1的解集把原不等式的两边平方可以得到：x2＜1，即x2-1＜0，即（x+1）（x-1）＜0即-1＜x小于1，∴不等式|x|＜1的解集为{x|-1＜x＜1}。
（四）函数图像法例如：求不等式|x|＜1的解集从函数观点看，不等式|x|＜1的解集表示函数y=|x|的图像位于y=1的图像下方的部分对应的x的取值范围。
所以不等式|x|＜1的解集为{x|-1＜x＜1}。
绝对值不等式的解法有哪些通解一般是数轴标根法，也是一般情况下最快的方法。
在数轴上把使绝对值为零的点都标出来，根据绝对值的几何意义，绝对值表示的是两点间的距离(当然就为正了)，以此解题。
比如|x-3|+|x-6|>5,如果x在3和6之间，那么x到3的距离加上x到6的距离就只能是6-3=3，而5-3=2，2/2=1，故答案应为x<3-1=2或者x>6+1=7，即(x<2)||(x>7)。
也可以用零点分段法，也是在数轴上将使式中绝对值为零的点都标出，然后不用几何意义，而是分段讨论。
把每个绝对值项展开，然后化为普通不等式，将求得的解集与你所分的这一段取交集，得到x在此段的解集(比如在-1还有就是平方法了。
高中数学绝对值不等式的解法学习资料
答案：
(, 2)U[2,) 3
三、例题讲解
例2、解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解1 ： 法 3|32x|5 3|2x3|5
||
2x 2x
3| 3|
3 5
2x532x3， 3或 25x33
-(x+1)-(x-1)≥3,解得 x 3 . 2
当-1＜x＜1时,原不等式可以化为 x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,无解.
当x≥1时,原不等式可以化为x+1+x-1≥3.所以 x 3 . 2
综上,可知原不等式的解集为 {x|x3或x3}. 22
例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
方法四：利用函数图象观察 这是解含绝对值不等式的四种常用思路
探索：不等式|x|<1的解集。 方法一：利用绝对值的几何意义观察
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1 的点的集合。
-1
0
1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。 方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，
②
①
-m
-n 0 n
m
题型3: 形如n＜| ax + b | ＜m (m＞n＞0)不等式
| ax b | n 等 价n 于 不a 等x ① 式b 组 m ,|或 ax m b a |②x mb n
题型4: ① |f(x)|<g(x)型不等式 |f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x), ② |f(x)|>g(x)型不等式 |f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)
高中数学选修4-5绝对值不等式的解法
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含 绝对值符号的不等式(组),常见的类型有：
(1) f x a(a 0) f x a或f x a
(2) f x a(a 0) a f x a
课堂练习
1.对任意实数x，若不等式|x+1|-|x-2|>k
恒成立，则k的取值范围是 （ B）
(A)k<3 (B)k<-3 (C)k≤3 (D)k≤-3 2.若不等式|x-1|+|x-3|＜a的解集为空集,则a的
取值范围是-(------,--2-]
3.解不等式1<|2x+1|<3. 答案:(-2,-1)∪(0,1)
(3) f x g(x) f x g(x)或f x g(x) (4) f x g(x) g(x) f x g(x) (5) f x g x f x2 g x2
（2）x a x b c和 x a x b c 型不等式的解法
例4. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
(
x
2)
5
x x
2 3
x
3.
(2)当 2 x 1时,
原不等式
2 x 1 (1 x) (x
2)
5
2 3 5
x
1
x
.
(3)当x 1时,
原不等式
x 1 (x 1)
(x
2)
5
x x
1 2
x
2
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
例4. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解．
高中数学绝对值不等式的五类解法-精品文档资料
高中数学绝对值不等式的五类解法
一、引言
不等式是中学数学教学中的重点内容之一，在初中与高中阶段的数学教学中都会涉及不等式的内容.绝对值不等式的内容出现在人教版高中数学选修4-5中，学生在此之前已经对不等式有了广泛了解，绝对值不等式在一定程度上可以认为是先前学习过的不等式内容的升华.近年来，绝对值不等式逐渐成为各省高考的必考内容由此可见其地位之重要.绝对值不等式的突出特点是其绝对值符号的存在，去掉不等式中的绝对值符号，将其转化为学生在必修课本中学习过的不等式形式是解决绝对值不等式的基本思路.所以掌握去绝对值符号的方法和途径就成为解题的关键.
二、问题的分类
1.分段讨论法
一般地，把f（x）=0的解叫做|f（x）|的零点.分段讨论法的基本解题思路是先求出绝对值内因式的零点，实数集被零点分割为若干区间，在每个区间上分别对不等式求解，最后求出各区间解的并集，即为原不等式的解集.分段讨论法是解决绝对值不等式的基本方法，具有一般性的特点，对各种绝对值不等式的求解均具有普遍适用性.需要注意的是，去除绝对值过程中，划分区间是其中重要环节，在此过程中，学生往往一时疏忽而忽略掉
某个区间端点值，造成解题错误，因此，在运用此
点评：此种方法对于图像的准确性与完整性要求相对较高，因此需要学生在使用此方法解决绝对值不等式问题时做到细致、用心.
三、结语
绝对值不等式问题因其特点不同需采用不同的解题方法，学生只有在对各种方法均有较深了解的情况下才能实现各种方法的灵活使用，因此在教学过程中，加强方法训练是实施该知识点教学的重要举措.。
解答绝对值不等式问题的四个“妙招”
一、分类讨论
一般地，若 x 为非负数，则 |x| = x；若 x 为负数，则
|x| = -x. 由于绝对值内部式子的符号决定去掉绝对值
符号后式子的表示形式，所以在解绝对值不等式时，
往往要采用分类讨论法，对绝对值内部式子的符号进
行讨论.可令每个绝对值内部的式子为零，然后将其零
点标在数轴上，于是这些零点把数轴分成若干个区
方法集锦
解答绝对值不等式问题的四个“妙招”
吴笋
绝对值不等式问题的常见命题形式有:(1)解绝对
值不等式；（2）求含有绝对值代数式的取值范围.其中
解绝对值不等式问题比较常见，解这类题目的关键是
去掉绝对值符号，将绝对值不等式转化为不含绝对值
的常规不等式去求解.本文介绍解绝对值不等式问题
的四个“妙招”，以供大家参考.
4
的点，只要将点向右移
1 2
个单位，那么它们的距离之
和就增加了
1
个单位，也就是把点
B(1)
移到点
B1(
3 2
)
的
位置；或者将点
A(-2)
向左移
1 2
个单位，也就是把点
A(-2)
移到点
A1(-
5 2
)
的位置，
由图可以看出，在数轴上位于
B1(
3 2
)
和
A1(-
5 2
)
之
间的点 P(x) 都满足 | x + 2 | + | x - 1| < 4 ，
解（1）得 -2 < x < -1 ，或 3 < x < 4 ，
解（2）得解集为空集， 所以原不等式的解集为{x| - 2 < x < - 1或3 < x < 4}.
解绝对值不等式的方法总结
解绝对值不等式的方法总结绝对值不等式是数学中一类重要的问题，它涉及到不等式的解法和绝对值函数的性质。
下面是解绝对值不等式的方法总结：一、定义法绝对值的定义是：|a|=a(a>0)，|a|=-a(a<0)，|a|=0(a=0)。
利用这个定义，我们可以将绝对值不等式转化为普通不等式，然后求解。
例如，解不等式|x-3|>4，我们可以转化为解不等式x-3>4或x-3<=-4，即x>7或x<=1。
二、实数性质法利用实数的性质，我们知道对于任意实数a和b，有|a+b|<=|a|+|b|。
这个性质可以用来解一些含有绝对值的三角不等式。
例如，解不等式|x+y|<=|x|+|y|，我们可以令x=a, y=b，得到|a+b|<=|a|+|b|，即-|a+b|<=|a|-|b|<=|a+b|，从而得到-1<=cosθ<=1，其中θ为a和b的夹角。
三、平方法对于形如|ax+b|>c的不等式，我们可以利用平方法将其转化为普通不等式。
具体地，我们先将ax+b的绝对值平方，得到a^2x^2+2abx+b^2>c^2，然后解这个普通不等式。
例如，解不等式|x+3|>4，我们先将x+3的绝对值平方，得到x^2+6x+9>16，即x^2+6x-7>0。
然后解这个不等式得到x<1或x>7。
四、零点分段法对于形如|f(x)|>g(x)的不等式，我们可以先令f(x)=0，找到可能使不等式成立的x的取值范围，然后在这些范围内分别讨论g(x)的符号情况，从而得到不等式的解集。
例如，解不等式|x^2-3x+2|>x+1，我们先令x^2-3x+2=0，得到x=1或x=2。
在区间(-∞,1)内，f(x)=-x^2+3x-2<0，所以在这个区间内不等式不成立。
在区间[1,2)内，f(x)=-x^2+3x-2>0且g(x)=x+1<0，所以在这个区间内不等式成立。
绝对值不等式多种解法
例1 对任意实数x ，不等式|x+1|+|x-2|>a 恒成立，求实数a 的取值范围。
分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a 应比最小值小。
解： 由绝对值不等式：|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，当且仅当(x+1)(x-2)≤0, 即21≤≤-x 时取等号。
故a<3说明：转化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立问题、定义域为R 等问题都可转化为求最大、最小值问题。
（在这些问题里我们要给自己提问题，怎样把一般性的问题转化到某个特殊的值的问题，常问的问题是：要使……，只要……）3．已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|<a 在实数集R 上的解集不是空集，求a 的取值范围 分析（一） |x-4|+|x-3|≥|x-4—(x-3)|=1∴ 当|x-4|+|x-3|<a 在实数R 上非空时，a 须大于|x-4|+|x-3|的最小值，即a>1（二）如图，实数x 、3、4在数轴上的对应点分别为P 、A 、B 则有：y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB||PA|+|PB|≥1 ∴恒有y ≥1数按题意只须a>1（三）令y=f(x)=|x-4|+|x-3|作出其图象由f(x)<g(x)=a 有解得a>1（四）考虑|z-4|+|z-3|<a(z ∈c)的几何意义当a>1时，表示复平面上以3、4为焦点，长轴长为a 的椭圆内部，当z 为实数时，a>1原不等式有解∴a>1即为所求（五） 可利用零点分段法讨论.将数轴可分为(-∞，3)，［3，4］，(4，+∞)三个区间.当x<3时，得(4-x)+(3-x)<a x>72a -. 有解条件为72a -<3 即a>1 当3≤x ≤4时得(4-x)+(x-3)<a 即a>1 当x>4时，得(x-4)+(x-3)<a x<72a - 有解条件为72a ->4 即a>1 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a>1.例。
高中数学知识点精讲精析 绝对值不等式的解法
4.2.1绝对值不等式的解法1．含有绝对值的不等式的性质(1) |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|证明：∵ -|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|,∴ -(|a|+|b|)≤a+b≤(|a|+|b|),|a+b|≤|a|+|b|........①又 a=a+b-b, |-b|=|b|∴ 由①得|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|，即|a|-|b|≤|a+b|.......②由①②得 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|由以上定理很容易推得以下的结论：(2) |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|(3) |a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|2 几个基本不等式的解集(1) |x| -a<X0)(2) |x|>a x>a或x<-a(a>0)(3) |x-m|0) -a<X-M m-a<X<M+A(4) |x-m|>a(a>0) x-m>a或x-m<-a x>m+a 或 x<M-A< SPAN>3．绝对值的定义：|a|=由定义可知：|ab|=|a||b|, .4．绝对值不等式的解法(1)解含有绝对值不等式的基本思路，绝对值符号的存在是解不等式的一大障碍。
因此如何去掉绝对值符号使其转化为等价的不含绝对值符号的不等式是解决这类问题的关键，常采取划分区间逐段讨论，从而去掉绝对值符号转化为一般不等式，或利用绝对值表达的几何意义转化为图像或曲线为解决。
(2)几种主要的类型① |f(x)|>|g(x)| f2(x)>g2(x)② |f(x)|>g(x) f(x)>g(x) 或 f(x)<-g(x)③ |f(x)| -g(x)<F(X)④ 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间”讨论的方法来脱去绝对值符号去求解。
⑤ 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可以用图像法来解决5．关于“绝对值”的四则运算规律(1) |ab|=|a|·|b|(2)(3) |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|(4) |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|在一般情况下，两个数的和或差的绝对值与这两个数的绝对值的和差是不相等的，但在某些情况下，可以取等号。
绝对值不等式的解法
小结：理解和掌握绝对值不等式的两个定理：
|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成 立） |a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,
(a-b)(b-c)≥0时等号成立） 能应用定理解决一些证明和求最值问题。
2、绝对值不等式的解法
复习：如果a>0，则
|x|<a的解集是(-a, a)； |x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)
数都不是原不等式的解 将点A向左移动 个单位 。 1 到点A1， 这时有 A1 A A1 B 5； 同理， 将点B向 右移动一个单位到点 1， 这时也有 B1 A B1 B 5， B 从数轴上可以看到点 1与B1之间的任何点到点 ， A A B的距离之和都小于 ； 点A1的左边或点 1的右边 5 B 的任何点到点 ， ， 的距离之和都大于 故原不等 A 。
8.解不等式:
( 2) x 2 x 3 4 解 : 当x 3时, 原 不 等 式 可 化 为 ( x 2) ( x 3) 4, x 3 5 解 得x , 即 不 等 式 组 2 x2 x3 4 的 解 集 是 ,3]. ( 当 3 x 2时, 原 不 等 式 可 化 为 ( x 2) ( x 3) 4, 3 x 2 即5 4显 然 成 立 所 以 不 等 式 组 , x2 x3 4 的 解 集 为 3,2). ( 当x 2时, 原 不 等 式 可 化 为x 2) ( x 3) 4, ( x 2 3 即x , 不 等 式 组 的 解 集 是 2, ). [ 2 x2 x3 4 综上所述 原不等式的解集是 . , R
b
x
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22.03.2022
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三、例题讲解
例1 解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解2 ： 法 3 |32x|5 3|2x3|5
32x23x305，或32x3(2x03)5
x
3 2
，
3 x 4
或
x
3 2
，
1 x 0
3 x 4 ， 或 1 x 0 .
原不等式{x的 |1 解 x集 0， 或 3是 x4}.
对原不等式两边平方得x2<1 即 x2－1<0 即 (x+1)(x－1)<0 即－1<x<1 所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。
方法四：利用函数图象观察
从函数观点看，不等式|x|<1的解集表示函数
y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对
应的x的取值范围。
方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论
方法三：两边同时平方去掉绝对值符号
方法四：利用函数图象观察 这是解含绝对值不等式的四种常用思路
探索：不等式|x|<1的解集。 方法一：利用绝对值的几何意义观察
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1 的点的集合。
-1
0
1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
将(1)、(2)、(3)的结果取并,集
2
4
则 原 不 等 式 的 解 集 为 { x |x 2 ,或 x 4 } .
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三、例题讲解 例3 解不等式| x －1 | + | 2x－4 |＞3 + x
解:(1)当x≤1时原不等式化为: 1－x + 4 －2x ＞3 南粤名校——南海中学
三、例题讲解
① -1 ② 3 ③
例2 解不等式|x +1| + |3－x| >2 + x.
解：原不等式变形为| X +1| + |X －3| > 2 + X.
若| X +1| = 0,X =-1;若| X －3| = 0,X=3.
零点-1,3把数轴分成了三部分,如上图所示.
三、例题讲解
① -1 ② 3 ③
例2 解不等式|x +1| + |3－x| >2 + x.
解：( 1 ) 当 x 1 时 ,原 不 等 式 的 解 为 { x | x 1 } ;
( 2 ) 当 1 x 3 时 ,x 1 0 ,x 3 0 ,
原 不 等 式 变 形 为 ( x 1 ) ( x 3 ) 2 x , 即 x 2 .
① x c x 2 c 2 c x c
② x c x 2 c 2 x c ,或 x c
题型2: 如果 c 是正数，那么
① a x + b c ( a x + b ) 2 c 2 c a x + b c
② a x + b c ( a x + b ) 2 c 2 a x + b c ,或 a x + b c
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三、例题讲解 例1 解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解3 ： 法 3 |32x|5 3|2x3|5
32x35， 或 52 x 3 3 3 x 4 ， 或 1 x 0 .
原不等式{x的 |1 解 x集 0， 或 3是 x4}.
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( 1 ) 当 x 1 时 ,x 1 0 ,x 3 0 , 原 不 等 式 变 形 为 ( x 1 ) ( x 3 ) 2 x , 即 x 0 .
此 时 , 得 { x |x 1 } { x |x 0 } { x |x 1 } .
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探索：不等式|x|<1的解集。 方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，
需要分类讨论
①当x≥0时，原不等式可化为x＜1 ∴ 0≤x＜1
②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1 ∴ －1＜x＜0
综合①②得，原不等式的解集为{x|－1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。 方法三：两边同时平方去掉绝对值符号
此 时 , 得 { x | 1 x 3 } { x |x 2 } { x | 1 x 2 } ;
(3 ) 当 x 3 时 ,x 1 0 ,x 3 0 , 原 不 等 式 变 形 为 ( x 1 ) ( x 3 ) 2 x , 即 x 4 .
此 时 , 得 { x |x 3 } { x |x 4 } { x |x 4 } ;
－－－零点分段法
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三、例题讲解 例1 解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解1 ： 法 3|32x|5 3|2x3|5
||
2x 2x
3| 3|
3 5
2x33， 或2x33 52x35
即x13， x或x4 0
-1 0
34
原不等式{x的 |1 解 x集 0， 或 3是 x4}.
一、知识联系
1、绝对值的定义 x ,x>0
|x|= 0 ,x=0 －x ,x<0
2、绝对值的几何意义 |x|
x
0
|x－x1|
x
x1
3、函数y＝|x|的图象
x ,x>0
y=|x|= 0 ,x=0
y
－x ,x<0
1
－1 o 1
x
1
二、探索解法
2
探索：不等式|x|<1的解集。
3 4
方法一：利用绝对值的几何意义观察
x 1
① 1② 2 ③
(2)当1＜x ≤2 2时,原不等式化为:
x 1 4 2 x 3 x x 0
又∵ 1＜x ≤2，∴此时原不等式的解集为φ
(3)当x＞2时,原不等式化为
y
所以，不等式|x|<1的 解集为{x|-1<x<1}
1
y=1
－1 o 1
x
小结：不等式|x|<a和|x|>a (a>0)的解集。 ① 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}
-a
0
a
② 不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }
-a
0
a
②
①
②
-c
0
c
题型1: 如果 c 是正数，那么
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二、重难点讲解
②
①
-m
-n 0 n
m
题型3: 形如n＜| ax + b | ＜m (m＞n＞0)不等式
| ax b | n 等 价n 于 不a 等x ① 式b 组 m ,|或 ax m b a |②x mb n
题型4: 含有多个绝对值的不等式的解法