谈已知分段函数零点个数求参数范围问题的转化

20 1 9年第7期中学数学月刊・47・

=>?@AB+CD 个+EF+GHIJ-K 化

祝 峰 (安徽省滩溪二中235 1 00)

=# + # + a •,# ( 0, .. g\#)

# + # + a , # > 0 ,分段函数是指定义域的不同子区间上对应

的函数.贝

其零 问题时，需分段，若分段函数 是断 有参数'

与之

的问题 程则更是 •在这类问

题中，在已知分段函数零

数时求参数取值范

围，是一*种常见题型，多见于高考和 命题中.

已有作 题

、问题类型、与其他知识的整合作了总结•文[叮用“赋值法”这一特殊技

此类问题;文以参数位置不同为标准'

于问题的分类;文、，-均着眼于用图象 问题;文认为其是知识 问题，总结了问题

的数学思想.本文拟从化归的

，谈这类问题的常用转化 ，以供参考.1 回归本源，直接利用零点存在

理

零

定理是判断函数 零点的有效工具.结合函数单调性、值域+ 、周期 性

质,能对函数零点的个数作岀 的判断.

例1 (20 1 #全国卷I 理科第9题)已知函数

=# , # ( 0,

f (#)=. g(#) =f(# )+#+a .右

g(#)存在2个零点，则a 的取值范围是(

)•(A)[— 1，0)

(4)[0，+ X )

(C)[— 1，+X )

+ X )

解析 由条件知g(#) =f(#) + # + a =

=# +1 彳 # ( 0，

+ 1 # > 0.

#

可见，函数y =g(#)在(一X,0-和(0,十X )

上均是单调递增函数.在区间(0, +x )上'当

# 9 0 时,g(#) 9-—(X ;

# 9十 X , g (# ) 9

+ X .因此，函数y =g(#)在区间(0, +X )上存

在唯一零点,

零点必在区间(—X , 0-

上而在区间(—X ,-上，当# 9一 X 时,g(#) 9— X,故 g (0) = 1 +a )0,即 a )— 1 时，函数y

= g(#"在(一 x ,0-上存在唯一零点.

' g (# ) 2 零 ' a )—

点评 零点存在性定理能判断零点的有无,

对于零 数的问题 常 数 具 判断

岀函数

区间上的单调性,结合函数极限,能

定函数零

数的问题

2

巧设函数，转化为两个函数图象交点的个数

函数零点即为其

程的根,若函数对应

方程能转化为9(#) =( (#)的形式，而y =' (# ), y =((#)的图象简单易作,这时函数零点个数的 问题' 转化为 函数图象 数的问题

的

种转化

：

解析 g(#)=f(#) +

#+a 零点，即方程

f (#) +# +a =0有两根，化

为f (#) = —# —a .如图1所

示，在同一坐标系内分别作

岀函数y =f ( #)和y = —#

— a 的图象，让它们有两个交点即符合条件.结合

图象可见，直线y =—# — a 在y 轴上的截距— a

(1，故 a ' ,一 1，+ X ).

评

,函数的零点就是两个函数交点的横坐标.贝

种转化

意，等号两边的

函数均需简单明了，图象特征需清晰,只有这种转 化才能使问题顺3

驱生

，化归 次方程特征根的讨论程特征根的

有 的 和

备的工具.综合考虑判

、韦达定理、对

、区

间端点对应的函数值，结合函数图象，能顺畅地解

问题

例2 (20 1 #天津卷理科第1 4题)已知a >0,

函数f ( #)=

*#2 + 2a# + a # ( 0,+一#2 + 2a# 一 2a # > 0,

于

#的方程f (#)=a#恰有2个互异的实数解，则a

的取值范围是_____•

解析

y = g # ) = f # ) — a# =

.2 程f (#) = a#有两

[一 # + a# 一 2a # > 0

,

个互异的实数解'即函数y =gC.z)^有两个零

点.由a > 0可知，二次函数(1 =z * 2 *45 $ az $ a (z ( 0),图象开口向上，对称轴为z = —2 < 0'

(1 l z =0 =a >0,可见若(1 =z 2 $az $a 存在零

点，贝U 零点必小于零.而二次函数(2 =—z 2 $az

—2a (z > 0),图象开口向下，对称轴为z =2 >

0,y 2 z =0 = —2a <0,可见若 y 2 = —z 2 $az —2a

有零点，则零点大于零.

函数(=a 图象有两个交点.而一 (z +1)2 —2(z +1)+1 =

z $ 1

!z —%) +4!z —%) +4 4

= (z —2) + +4.

z 一 2

z 一 2

( 1

—Cz $ 1) — 2, z ( 0,

z +1

故((z )=.

4

(z 一 2) +------ $4, z > 0.、 z 一 2

利用对勾函数图象,经过图象平移，可得(z )的

图象，如图5,由几何直观，可见

a ' (4,8).

评分段函数

有参

数，具有 定性•若把参数分

离岀去贝

定函数为确定函数贝

定的因素转化为

图5

一条水平直线的变化贝问题

简单直观，便于操作.

5

动，赋特 化为确定问题

视动为静，以静驭动,通过若干特殊参数值' 可窥见不确定因素中的一般情形.

例3 (2018浙江卷第15题)已知A ')函

*z 一 4 — ) A ,

数f (z )=. 2

i A =2时，不等

式f(z )<0的解集是_____，若函数fz )恰有

零点，则A 的取值范围是_____.

(下转第58页)

g(z ) =0.

①当(1有 零点(n

无零 ,如图2所示,有

[a 2 — 4a > 0 贝

.a 2 — 8a < 0，解得 4 < a < & a >0 ,

②当(1无零点y n 有两个零点时，如图3所

③

当(1与(2各有一个零点时,如图4所示, (a 2 — 4a =0 ,

有.a 2 — 8a = 0 ,此时无解.

a >0 ,

综上所述贝a ' (4,8).

评

,这个问题似乎无从下手.而一旦着眼于

程根的 ,把其视为函数y =g(z )零点的问题,则会别有一番洞天，即可 而

4 参变分离，转化为一条水平直线与函数图象

点的个数

参数和变量分离到等式或不等式的两边'

称作参变分离.这种

定的因素分

化贝 定函数归为确定函数•其

+

及方程根的个数

讨论问题中,参变分离是一种有效的手段•分段函 数零 数已知的求参数范围的问题

个角度思考.

2的另一种转化方式：

当z (0时，方程/X z ) =az 即为z 2 $2az $

a = az ,整理得 z 2 =_a(z +1).

z %

显然z =—1不是方程的解，故a =—

z +1

当z >0时，方程f(z ) =az 即为一z 2 +

2az 一 2a =az ，整理得 z 2 =a (z — 2)，易知 z =2

z %

不是方程的解'故a = —.令(p(z)=

JC u

z +1.2 则原问题等价于函数((z )与

z

%