2019-2020学年高中数学 第一章 解直角三角形 1.2 应用举例教案 新人教B版必修5.doc
[推荐学习]高中数学第一章解三角形1.2应用举例1.2.3解决有关测量角度的问题教案新人教A版必修5
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[ 介绍学习 ] 高中数学第一章解三角形 1.2 应用举例 1.2.3 解决有关丈量角度的问题教课设计新人教 A版必修 51.2.3 解决有关丈量角度的问题项内容目课改正与解决有关丈量角度的问题题创新一、知识与技术能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实质问题 .二、过程与方法本节课是在学习了有关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本教的认识，这节课应经过综合训练加强学学生的相应能力．除了安排课本上的目例 6，还针对性地选择了既具典型性又标拥有启迪性的 1～2 道例题，重申知识的教授更重能力的浸透．讲堂中要充足表现学生的主体地位，重过程，重议论，教师经过导疑、导思让学生有效、踊跃、主动地参加到研究问题的过程中来，逐渐让学生自主发现规律，贯通融会．K12的学习需要努力专业专心坚持三、感情态度与价值观培育学生提出问题、正确剖析问题、独立解决问题的能力，并在教课过程中激发学生的研究精神 .教教课要点能依据正弦定理、余弦定理学的特色找到已知条件和所求角的关重、系．难教课难点灵巧运用正弦定理和余弦点定理解对于角度的问题 . 教学多媒体课件准备导入新课设置情境设问教师前面我们学习了如何丈量距离和学高度，这些实质上都可转变为已知三过角形的一些边和角求其他边的问程题．但是在实质的生活中 , 人们又会碰到新的问题，仍旧需要用我们学过的解三角形的知识来解决，大家身旁有什么例子吗？生像航海，在浩大无垠的海面上如何保证轮船不迷失方向，保持必定的航速和航向 .生飞机在天上飞翔时，如何确立地面上的目标 .师实质生活中间像这样的例子好多，今日我们接着来商讨这方面的丈量问题．推动新课【例 1】（幻灯片放映）如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后抵达海岛B,而后从 B出发,沿北偏东32°的方向航行 54.0 n mile后抵达海岛C.假如下次航行直接从 A 出发抵达 C,此船应当沿如何的方向航行 , 需要航行多少距离 ?( 角度精准到 0.1 °, 距离精准到0.01 n mile)[ 合作研究 ]学生看图思虑．师要想解决这个问题，第一应当搞懂“北偏东 75°的方向”．生这是方向角．生这实质上就是解斜三角形，由方向角的观点可知，第一依据三角形的内角和定理求出 AC 边所对的角∠ ABC，即可用余弦定理算出 AC边，再依据正弦定理算出 AC边和 AB 边的夹角∠CAB，就能够知道AC 的方向和行程．师依据大家的回答，我们已经很清楚解题思路．下边请同学写一下解题过程.生解：在△ ABC中，∠ABC=180°-75°+32°=137°，依据余弦定理，cos ABC≈113.15.AC AB2BC 22AB BC67.5254.02267.554.0cos137 ,依据正弦定理 ,BC AC, ,sin CAB sin ABC≈ 0.325 5, sin CAB BC sin ABC54.0 sin 137AC113.15所以∠CAB≈19.0°,75°-∠CAB=56.0°. K12的学习需要努力专业专心坚持答: 此船应当沿北偏东 56.0 °的方向航行 , 需要航行 113.15 n mile.师这道题综合运用了正、余弦定理，表现了正、余弦定理在解斜三角形中的重要地位．【例 2】某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距 9 海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10 海里/ 时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立刻以14海里/ 时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应当沿什么方向去追？需要多少时间才追追上该走私船？[ 合作研究 ]师你可否依据题意画出方向图？（在解斜三角形这一节里有好多都要把实质问题画出平面表示图，图画的利害有时也会影响到解题，这是成立数学模型的一个重要方面）生甲如右图．师从图上看这道题的要点是计算出三角形的各边，还需要什么呢 ?生引入时间这个参变量 , 能够设 x 小时后追上走私船 .生如图，设该巡逻艇沿 AB方向经过x小时后在 B 处追上走私船，则CB=10x, AB=14x, AC=9,∠ ACB=75°+45°=120°, 则由余弦定理，可得(14x) 2=92+(10x) 2- 2×9×10x co s120°, ∴化简得32x2-30x-27=0 ，即 x= 3或2x=- 9( 舍去).16因此 BC= 10x =15,AB =14x =21.又因为sin ∠BAC = BC sin120153 5 3 , ∴∠BAC=38°13′AB21214,或∠BAC=141°47′（钝角不合题意，舍去） .∴38°13′+45°=83°13′.答：巡逻艇应当沿北偏东 83°13′方向去追，经过 1.4 小时才追追上该走私船 .师这位同学是用正、余弦定理来解决的，我们能不可以都用余弦定理来解决呢？生同上解得 BC=15, AB=21,在△ ABC中，由余弦定理，得AC 2AB 2BC 28144122511≈ 0.785 cos CAB7,∴∠CAB≈38°13′,38°13′+45°= 83°13′.∴巡逻艇应沿北偏东 83°13′的方向追赶，经过 1.4 小时追追上该走私船．讲堂练习课本第 18 页练习 .答案：运用余弦定理求得倾斜角α 约为 116.23°.[ 方法指引 ]解三角形的应用题时，往常会碰到两种状况：（1）已知量与未知量全K12的学习需要努力专业专心坚持生活的色彩就是学习部集中在一个三角形中，挨次利用正弦定理或余弦定理解之．（2）已知量与未知量波及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐渐在其他的三角形中求出问题的解．[ 知识拓展 ]1.如图，海中小岛 A 四周38海里内有暗礁，船正向南航行，在 B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里到C 处，在 C 处测得小岛 A 在船的南偏东 45°，假如此船不改变航向，持续向南航行，有无触礁的危险？解：在△ ABC中， BC=30，B=30°，∠ACB=180°- 45°=135°,∴A=15°.由正弦定理知BC AC30AC. sin A sin B,∴sin 15sin 30∴ AC30 sin 3015 6 15 2.∴A到BC60 cos15sin15所在直线的距离为AC·sin45°=（156+152）· 2 =152（ 3 +1）≈40.98＞38（海里），∴不改变航向，持续向南航行，无触礁的危险．答：不改变航向，持续向南航行，无触礁的危险．2.如图，有两条订交成 60°角的直线XX′、YY′，交点是O，甲、乙分别在O X、O Y上，开初甲在离O点3千米的A 点，乙在离 O点1千米的 B 点，以后两人同时以每小时 4 千米的速度，甲沿XX′方向，乙沿 Y′Y方向步行，（1）开初，两人的距离是多少？（2）用包括 t 的式子表示 t 小时后两人的距离；（3）什么时候两人的距离最短？解：（1）因甲、乙两人开初的地点是A、B，则22222AB=OA+OB-2 OA·OBco s60°=3 +1 -2×3×1×1 =7,2∴开初，两人的距离是7 千米．（2）设甲、乙两人 t 小时后的地点分别是 P、Q，则 A P=4t, B Q=4t,当0≤t ≤3时，4222-2(3-4t)(1+4t)c PQ=(3-4t)+(1+4t)o s60°=48t2-24t+7;当t＞34时 ,PQ2=(4t-3) 2+(1+4t) 2-2(4t-3)(1+4 t) co s120°=48t 2-24t+7,因此， PQ =48t2-24t+7．22-24t+7=48(t-2+4,（3）PQ=48t 1 )4∴当 t =1时，即在第 15 分钟末， PQ最4短．答：在第15 分钟末，两人的距离最短．讲堂小结在实质问题（航海、丈量等）的解决过程中，解题的一般步骤和方法，及正弦、余弦定理有关知识点的娴熟运用．应用解三角形知识解决实质问题时，要剖析和研究问题中波及的三角形，及此中哪些是已知量，哪些是未知量，应当采用正弦定理仍是余弦定理进行求解．应用解三角形知识解决实质问题的解题步骤：①依据题意作出表示图；②所波及的三角形，搞清已知和未知；③采用适合的定理进行求解；④给出答案．部署作业课本第 22 页习题 1.2 第 9、10、11 题.板解决有关丈量角度的问题书例 1例 2设讲堂练习计部署作业教本课时是一个有关丈量角度的问题，即课学本上的例 6. 在这里，可否灵巧求解问题的要点反是正弦定理和余弦定理的采用，有些题目只选思用其一，或二者混用，这中间有很大的灵巧性，需要对本来所学知识进行深入的整理、加工，鼓舞一题多解，训练发散思想．借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动向成效，能使学生更好地是非分明、掌握方法．。
2019_2020版高中数学第一章解三角形1.2.2角度问题课件新人教A版必修5
即从 A 到 D 的方位角约为 93.8°,距离约为 1 531 m.
t=-152(舍去).所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h. 此时 AB=14,BC=6. 在△ABC 中,由正弦定理,得sin∠������������������������������ = sin���∠���������������������������,
所以
sin∠CAB=������������si���n���∠������������������������
A.25°
B.65°
C.245°
解析方位角等于 360°-65°=295°.
答案 D
D.295°
2.我舰在敌岛 A 处南偏西 50°的 B 处,且 A,B 的距离为 12 n mile,发
现敌舰正离开岛沿北偏西 10°的方向以每小时 10 n mile 的速度航
行,若我舰要用 2 小时追上敌舰,则速度大小为( )
=40(m). 因为 AB=40 m,所以 AB=PB,所以∠APB=∠PAB=30°,所以∠ PBA=120°.因此测绘人员到达点 B 时,目标参照物 P 相对于该测绘 人员的方位角为 180°-120°=60°,且目标参照物 P 与他的距离为 40 m.
反思感悟解决实际测量中的角度问题的基本步骤: (1)找准观测点以及参照物,根据“上北下南,左西右东”确定正北方 向; (2)根据题意作出示意图; (3)分析图中的已知量和未知量,标出有关角和线段的大小; (4)利用正弦定理或余弦定理解三角形,求出未知量.
2019-2020年高中数学 第一章 解三角形全套教案 新人教A版必修5
2019-2020年高中数学第一章解三角形全套教案新人教A版必修5●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。
A思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C BⅡ.讲授新课[探索研究](图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又, A 则 b c从而在直角三角形ABC中， C a B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则，C同理可得， b a从而 A c B(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作，C由向量的加法可得则 A B∴()(00j AB A j CBcos900cos90-=+∴，即同理，过点C 作，可得从而类似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
[推荐学习]高中数学第一章解三角形1.2应用举例1.2.4解决有关三角形计算的问题教案新人教A版必修
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[推荐学习]高中数学第一章解三角形1.2应用举例1.2.4解决有关三角形计算的问题教案新人教A版必修
1.2.4 解决有关三角形计算的问题
解决有关三角形计算的问题
例 1 例 2 例 3 变题1
补充练习:
变题2
本节的例7和例8说明了在不同已知条件下三角形面积问题的常见解法，即在不同已知条件下求三角形面积的问题，与解三角形有密切的关系.我们可以应用解三角形的知识,求出需要的元素,从而求出三角形的面积.已知三角形的三边求三角形面积在历史上是一个重要的问题.在西方有海伦公式,在我国数学史上有秦九韶的“三斜求积公式”,教科书在阅读与思考中对此作了介绍,在习题中要求学生加以证明．例9是关于三角形边角关系恒等式的证明问题,课程标准要求不在这类问题上作过于烦琐的训练,教科书例题限于直接用正弦定理和余弦定理可以证明的问题.。
高中数学 第一章 解三角形 1.2 解三角形的实际应用举例—高度、角度问题教学设计 新人教A版必修5
高中数学第一章解三角形1.2 解三角形的实际应用举例—高度、角度问题教学设计新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章解三角形1.2 解三角形的实际应用举例—高度、角度问题教学设计新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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《解三角形的实际应用举例—高度、角度问题》一、教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量高度、角度问题等实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。
其次结合学生的实际情况,采用“提出问题——引发思考——探索猜想—-总结规律-—反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题,设计变式，帮助学生掌握解法,能够类比解决实际问题。
情感态度与价值观:激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值;同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力二、教学重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形,得到实际问题的解教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图三、教学过程一、课题导入提问：现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题二、讲授新课［范例讲解］例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。
高中数学第一章解三角形1_2应用举例1_2.4解决有关三角形计算的问题教案新人教A版必修5
1.2.4 解决有关三角形计算的问题一、知识与技能1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用．二、过程与方法1.本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型2.本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解．只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点．三、情感态度与价值观1.让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；2．进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验成功的愉悦.教学重点推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目教学难点利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题导入新课[设置情境师以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式．在△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h A、h B、h C，那么它们如何用已知边和角表示？生h A =b sin C =c sin Bh B =c sin A =a sin C h C =a sin B =B sin A师 根据以前学过的三角形面积公式ah S 21=,应用以上求出的高的公式如h A =b sin C 代入，可以推导出下面的三角形面积公式：C ab S sin 21=，大家能推出其他的几个公式吗？ 生 同理，可得A bc S sin 21=,B ac S sin 21=师 除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？生 如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解推进新课【例1】 在△ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1c m 2）（1）已知A =14.8 c m,C =23.5 c m,B （2）已知B =62.7°,C =65.8°,B =3.16 c（3）已知三边的长分别为A =41.4 c m,B =27.3 c m,C =38.7 c师 这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积． 〔生口答，师书写过程〕 解：（1）应用B ac S sin 21=，得S=21×14.8×23.5×sin148.5°≈90.9(c m 2(2)根据正弦定理，BCb c C c B b sin sin ,sin sin == BA C b A bc S sin sin sin 21sin 212==A = 180°-(B +C )= 180°-(62.7°+ 65.8°)=51.5°,︒︒︒⨯⨯=7.62sin 5.51sin 8.65sin 16.3212S ≈4.0(c m 2).(3)根据余弦定理的推论，得4.417.3823.274.417.382cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B227697.01B cos 1sinB -≈-=应用B ac S sin 21=得S=21×41.4×38.7×0.638 4≈511.4(c m 2生 正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式．【例2】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1 c m 2）？ 师 你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？生 本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解．〔由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结〕 解：设A =68 m,B =88 m,C =127m,根据余弦定理的推论，68127288681272cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B27532.01sin -=B应用S=21 ac sin B ,S=21×68×127×0.657 8≈2 840.38(m 2答：这个区域的面积是2 840.38 m 2． 【例3】在△ABC 中，求证：（1）CBA c b a 222222sin sin sin +=+（2）a 2+b 2+c 2=2（bcco s A +caco s B +abco s C ）[合作探究师 这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边有什么样的特点生等式左边是三边的平方关系，而等式的右边是三个角的正弦的平方关系，可以联想到用正弦定理来证明师 等式两边分别是边和角，所以我们可以选正弦定理来证明，这样我们可以把一边的边或角都转化成两边一样的边或角，即“化边为角”或“化角为边”，这也是我们在证明三角恒等式时经常用的方法． 证明：（1）根据正弦定理，可设k CcB b A a ===sin sin sin显然 k≠0，所以左边=CBA C kB k A k c b a 222222222222sin sin sin sin sin sin +=+=+=右边师 那对于第二小题又该怎么化呢？生 等式左边仍然是三边的平方关系，而等式的右边既有角又有边，而且是两边和两边夹角的余弦的积的关系，所以联想到用余弦定理来证明师 很好，哪位来板演一下？ 生 证明：（2）根据余弦定理的推论，右边=)222(2222222222abc b a ab ca b a c ca bc a c b bc-++-++-+=(b 2+c 2- a 2)+(c 2+a 2-b 2)+(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2+c 2=左边1.已知在△ABC 中，∠B =30°,B =6,C =63,求A 及△ABC 的面积提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数．同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯,但应用余弦定理会免去讨论答案：A =6,S=93;A =12,S=1832.判断满足下列条件的三角形形状， (1)aco s A = bco s B(2)sin C =BA B A cos cos sin sin ++提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”，正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向(1)师 大家尝试分别用两个定理进行证明．生（余弦定理）得cab ac b bc a c b a 22222222-+⨯=-+⨯,∴c 2(a 2-b 2)=a 4-b 4=(a 2+b 2)(a 2-b 2). ∴a 2=b 2或c 2=a 2+b 2.∴根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形. 生（正弦定理）得sin Aco s A =sin Bco s B .∴sin2A =sin2B .∴2A =2B .∴A =B . ∴根据角的关系易得是等腰三角形师 根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？生 第一位同学的正确．第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A =sin2B ,有可能推出2A 与2B 两个角互补，即2A +2B =180°，A +B(2)（解略）直角三角形[知识拓展如图，在四边形ABCD 中，∠ADB =∠BCD =75°，∠ACB =∠BDC =45°，DC =3，求：(1)AB 的长(2)四边形ABCD 的面积略解：（1）因为∠BCD =75°,∠ACB =45°， 所以∠ACD又因为∠BDC =45°，所以∠DAC =180°-（75°+ 45°+ 30°）=30°.所以AD =DC =3在△BCD 中，∠CBD =180°-（75°+ 45°）=60°，所以22660sin 75sin 3,60sin 75sin +=︒︒=︒=︒BD DC BD在△ABD 中，AB 2=AD 2+ BD 2-2×AD ×BD ×co s75°= 5,所以,得AB =5(2)S △ABD =21×AD ×BD ×sin75°=4323+.同理，S △BCD =433+所以四边形ABCD 的面积4336+=S课堂练习课本第21页练习第1、2题. 课堂小结利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状．特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用．正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式．解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数．同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯． 布置作业课本第22页习题1.2第12、14、15题解决有关三角形计算的问题例1 例2 例3 变题补充练习: 变题2接用正弦定理和余弦定理可以证明的问题。
2019年高中数学第一章解三角形1.2应用举例课件新人教B版必修5
思路分析:假设经过x小时后在C处追上蓝方的小艇,作出示意图, 把实际数据转化到三角形中,利用正、余弦定理求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
解.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
变式训练1如图,在测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同
一水平面内的两个测点C与D,现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并
在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.
解:在△BCD 中,∠CBD=π-α-β,
由正弦定理得 ������������
sin∠������������������
=
������������ sin∠������������������
,
所以 BC=���������s���insi∠n���∠��������������������������������� = si���n���·(s���i���n+������������),
在 Rt△ABC 中,AB=BCtan∠ACB=���s���tiann(������������s+in���������)��� .
=tan
α,如图③所示.
一
二
三
2.仰角、俯角、方位角有什么区别? 提示:三者的参照不同,仰角与俯角是相对于水平线而言的,而方 位角是相对于正北方向而言的. 3.做一做:从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的
关系是( )
A.α>β
B.α=β
C.α+β=90° D.α+β=180° 解析:要正确理解仰角、俯角的含义,准确地找出仰角、俯角的 确切位置,如图,从A处望B处的仰角α与从B处望A处的俯角β是内错 角(根据水平线平行),即α=β.
高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 1.2.3 解决有关测量角度的问题教案 新人教A版必
安徽省长丰县高中数学第一章解三角形1.2 应用举例1.2.3 解决有关测量角度的问题教案新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（安徽省长丰县高中数学第一章解三角形1.2 应用举例1.2.3 解决有关测量角度的问题教案新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.2.3 解决有关测量角度的问题一、知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.二、过程与方法本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力．除了安排课本上的例6，还针对性地选择了既具典型性又具有启发性的1~2道例题,强调知识的传授更重能力的渗透．课堂中要充分体现学生的主体地位,重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律,举一反三．三、情感态度与价值观培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并在教学过程中激发学生的探索精神。
教学重点能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系．教学难点灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题.导入新课设置情境设问师前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化为已知三角形的一些边和角求其余边的问题．然而在实际的生活中，人们又会遇到新的问题，仍然需要用我们学过的解三角形的知识来解决，大家身边有什么例子吗?生像航海,在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航速和航向。
[推荐学习]高中数学第一章解三角形1.2应用举例1.2.2解决有关测量高度的问题教案新人教A版必修5
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1.2.2 解决有关测量高度的问题一、知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题二、过程与方法本节课是解三角形应用举例的延伸．采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架．通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法．教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯．作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间三、情感态度与价值观进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力.教学重点1.结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题；2.画出示意图是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一，需在反复的练习和动手操作中加强这方面能力．日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用，除了能运用定理解题之外，特别要注重数学表达需清晰且富有逻辑，可通过合作学习和相互提问补充的方法来让学生多感受问题的演变过程．教学难点能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件；直尺和投影仪师 设问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题推进新课【例1】AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法． [合作探究师 这个建筑物就不好到达它的底部去测量，如果好去的话，那就直接用尺去量一下就行了，那么大家思考一下如何去测量这个建筑物的高呢？ 生 要求建筑物AB 的高，我只要能把A E 的长求出来，然后再加上测角仪的高度E B 的长就行了师 对了，求AB 长的关键是先求A E ，那谁能说出如何求A E ？生 由解直角三角形的知识，在△ADC 中，如能求出C 点到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由C 点观察A 的仰角，就可以计算出A E 的长．师 那现在的问题就转化成如何去求CA 的长，谁能说说？ 生 应该设法借助解三角形的知识测出CA 的长．生 为了求CA 的长，应该把CA 放到△DCA 中，由于基线DC 可以测量，且β也可以测量，这样在△DCA 中就已知两角和一边，所以由正弦定理可以解出CA 的长．解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上．由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD = A ，测角仪器的高是h ，那么，在△ACD中，根据正弦定理可得)sin(sin βαβ-=a AC ,AB =A E+h=ac sin α+h=)sin(sin sin βαβα-a 师 通过这道题我们是不是可以得到一般的求解这种建筑物的高的方法呢？生 要测量某一高度AB ，只要在地面某一条直线上取两点D 、C ，量出CD =A 的长并在C 、D 两点测出AB 的仰角α、β，则高度h a AB +-=)sin(sin sin βαβα，其中h 为测角器的高．【例2】如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=54°40′，在塔底C 处测得A 处的俯角β=50°1′．已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD (精确到1 m).[合作探究师 根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给出时间让学生讨论思考）要在△ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边呢？ 生 需求出BD 边． 师 那如何求BD 边呢？生 可首先求出AB 边，再根据∠BAD =α求得．解：在△ABC 中,∠BCA =90°+β,∠ABC =90°-α,∠BAC =α-β,∠BAD =α. 根据正弦定理)90sin()sin(ββα+︒=-AB BC =，所以)sin(cos )sin()90sin(βαββαβ-=-+︒=BC BC AB在Rt△ABD 中,得BD =AB sin∠BAD =)sin(sin cos βααβ-BC 将测量数据代入上式,得934sin 0454sin 150cos 3.27)1500454sin(0454sin 150cos 3.27'︒'︒'︒='︒-'︒'︒'︒=BDCD =BD -BC ≈177- 答:山的高度约为150米师 有没有别的解法呢？生 要在△ACD 中求CD ，可先求出AC ． 师 分析得很好，请大家接着思考如何求出AC ？生 同理，在△ABC 中，根据正弦定理求得．（解题过程略）【例3】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上,行驶5 km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角为8°,求此山的高度CD[合作探究师 欲求出CD ，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？ 生 在△BCD 中师 在△BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD ,根据条件,易计算出哪条边的长？ 生BC 边解：在△ABC 中, ∠A =15°,∠C =25°-15°=10°,根据正弦定理︒︒===10sin 15sin 5sin sin ,sin sin C A AB BC C AB A BCCD =BC ×t a n∠DBC =BC ×t a答:山的高度约为1 047米课堂练习用同样高度的两个测角仪AB 和CD 同时望见气球E 在它们的正西方向的上空,分别测得气球的仰角α和β,已知BD 间的距离为A ,测角仪的高度为B ,求气球的高度分析:在Rt△EG A 中求解EG,只有角α一个条件,需要再有一边长被确定,而△E AC 中有较多已知条件,故可在△E AC 中考虑E A 边长的求解,而在△E AC 中有角β,∠E AC =180°-α两角与AC =BD =A 一边,故可以利用正弦定理求解E A解：在△AC E 中,AC =BD =A ,∠AC E=β,∠A E C =α-β,根据正弦定理,得)sin(sin βαβ-=a AE .在Rt△A EG 中，EG=A Esin α=)sin(sin sin βαβα-a∴EF=EG+b =ba +-)sin(sin sin βαβα答:气球的高度是ba +-)sin(sin sin βαβα评述:此题也可以通过解两个直角三角形来解决,思路如下:设EG=x,在Rt△EG A 中,利用co t α表示A G,而Rt△EG C 中,利用co t β表示C G,而C G-A G=CA =BD =A ,故可以求出EG,又GF=CD =B ,故EF 高度可求课堂小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工，抽取主要因素，进行适当的简化． 布置作业课本第17页练习第1、3题.解决有关测量高度的问题例练习例2 课堂练习小结例3 布置作业本节课主要是研究解斜三角形在测量中的应用，关于测量问题，一是要熟悉仰角、俯角的意义，二是要会在几个三角形中找出已知与未知之间的关系，逐步逐层转化，最终归结为解三角形的问题．。
2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例(3)教案 新人教A版必修5.doc
2019-2020学年高中数学第一章解三角形 1.2 应用举例（3）教案新人教A版必修5模式与方法启发式教学目的够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题重点能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系难点灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题教学内容师生活动及时间分配Ⅰ.课题导入[创设情境]提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。
然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。
Ⅱ.讲授新课[范例讲解]例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒,距离精确到0.01n mile) 教师引导学生复习并提问通过巧妙的设疑，顺利地引导新课\设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。
例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进103m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高。
例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45︒相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正走私船？引导学生思考并解答评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解Ⅲ.课堂练习课本第18页练习Ⅳ.课时小结解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。
2019-2020学年高中数学第一章解直角三角形1.2应用举例名师讲义新人教B版必修5
2019-2020学年高中数学第一章解直角三角形1.2应用举例名师讲义新人教B版必修5[新知初探]实际测量中的有关名称、术语南偏西指以正[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边( )(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得( )(3)方位角和方向角是一样的( )解析：(1)错误，要解三角形，至少知道这个三角形的一条边长．(2)错误，两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得．(3)错误．方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，而方向角是以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)．答案：(1)×(2)×(3)×2．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的( )A．东偏北45°10′方向上 B．东偏北45°50′方向上C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南45°50′方向上解析：选C 如图所示．3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( ) A．α＞β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°解析：选B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选B.4．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a(km)，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为( )A.2a kmB.3a kmC．a km D．2a km解析：选A △ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝2a.[典例] 如图，C 与D .现测得∠BCD ＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .[解] 在△BCD 中， ∠CBD ＝π－(α＋β)．由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD .∴BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s ·sin βα＋β.在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s ·sin βtan θα＋β.[活学活用]1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A 处测得水柱顶端的仰角为45°，沿A 向北偏东30°方向前进100 m 到达B 处，在B 处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m解析：选A 如图，设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2×h ×100×cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，解得h ＝50或h ＝－100(舍去)，故水柱的高度是50 m.2.如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m 到达S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为________m.解析：因为∠SAB ＝45°－30°＝15°，∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－(90°－75°)＝30°， 所以∠ASB ＝180°－∠SAB －∠SBA ＝135°.在△ABS 中，AB ＝AS ·sin 135°sin 30°＝1 000×2212＝1 0002，所以BC ＝AB ·sin 45°＝1 0002×22＝1 000(m)． 答案：1 000[典例] 如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3) n mile 的两个观测点．现位于A 点北偏东45°方向、B 点北偏西60°方向的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h ，则该救援船到达D 点需要多长时间？[解] 由题意，知AB ＝5(3＋3) n mile ，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB 中，由正弦定理得BD sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB ，即BD ＝AB sin ∠DABsin∠ADB ＝＋3sin 105°＝＋3sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝10 3 n mile.又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝60°，BC ＝20 3 n mile ， ∴在△DBC 中，由余弦定理，得CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos ∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝30 n mile ，则救援船到达D 点需要的时间为3030＝1 h.在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解：设缉私船用t h 在D 处追上走私船，画出示意图，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6，∴BC ＝6，且sin ∠ABC ＝AC BC·sin∠BAC ＝26·32＝22， ∴∠ABC ＝45°，BC 与正北方向成90°角．∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD ·sin∠CBDCD＝10t sin 120°103t＝12， ∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.题点一：两点间不可通又不可视1.如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a ，则可求出A ，B 两点间的距离．即AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α.若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，试计算AB 的长． 解：在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.∴AB ＝2007 (m)．即A ，B 两点间的距离为2007 m. 题点二：两点间可视但有一点不可到达2.如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，要测出A ，B 的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60 m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________ m. 解析：∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°， 所以由正弦定理得，AB sin C ＝ACsin B， ∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)．即A ，B 两点间的距离为20 6 m. 答案：20 6题点三：两点都不可到达3.如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA ＝δ.在△ADC和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A ，B 两点间的距离．解：∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°， ∴AC ＝DC ＝32. 在△BCD 中，∠DBC ＝45°，由正弦定理，得BC ＝DCsin ∠DBC ·sin∠BDC ＝32sin 45°·sin30°＝64. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38. ∴AB ＝64(km)． ∴A ，B 两点间的距离为64km.层级一 学业水平达标1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为4 m ，∠A ＝30°，则其跨度AB 的长为( )A ．12 mB ．8 mC ．3 3 mD ．4 3 m解析：选D 由题意知，∠A ＝∠B ＝30°， 所以∠C ＝180°－30°－30°＝120°， 由正弦定理得，AB sin C ＝ACsin B ，即AB ＝AC ·sin C sin B ＝4·sin 120°sin 30°＝4 3.2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762n mile/h B ．34 6 n mile/hC.1722n mile/h D ．34 2 n mile/h解析：选A 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝68×32＝346，∴v ＝MN 4＝1762 n mile/h.3．若某人在点A 测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B ，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)( )A ．110米B ．112米C ．220米D ．224米解析：选A 如图，设CD 为金字塔，AB ＝80米．设CD ＝h ，则由已知得(80＋h )×33＝h ，h ＝40(3＋1)≈109(米)．从选项来看110最接近，故选A.4．设甲、乙两幢楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是( )A ．20 3 m ，4033 mB ．10 3 m,20 3 mC ．10(3－2)m,20 3 mD.1532 m ，2033m解析：选A 由题意，知h 甲＝20tan 60°＝203(m)，h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝4033(m)． 5．海上的A ，B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 岛与C 岛之间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063 n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile解析：选D 由题意，做出示意图，如图，在△ABC 中，C ＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理，得BC sin 60°＝10sin 45°，解得BC ＝56(n mile)．6．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地的距离为________km.解析：如图所示，由题意可知AB ＝33，BC ＝2，∠ABC ＝150°. 由余弦定理，得AC 2＝27＋4－2×33×2×cos 150°＝49，AC ＝7.则A ，C 两地的距离为7 km. 答案：77．坡度为45°的斜坡长为100 m ，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长________m. 解析：如图，BD ＝100，∠BDA ＝45°，∠BCA ＝30°， 设CD ＝x ，所以(x ＋DA )·tan 30°＝DA ·tan 45°， 又DA ＝BD ·cos 45°＝100×22＝502， 所以x ＝DA ·tan 45°tan 30°－DA ＝502×133－50 2＝50(6－2)m. 答案：50(6－2)8．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x ＝________cm.解析：如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°，由正弦定理知：x ＝AB ·sin∠ABO sin ∠AOB ＝10×sin 45°sin 60°＝1063(cm)．答案：10639.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，求乙船航行的速度．解：如图，连接A 1B 2，在△A 1A 2B 2中，易知∠A 1A 2B 2＝60°，又易求得A 1A 2＝302×13＝102＝A 2B 2，∴△A 1A 2B 2为正三角形， ∴A 1B 2＝10 2.在△A 1B 1B 2中，易知∠B 1A 1B 2＝45°， ∴(B 1B 2)2＝400＋200－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝102，∴乙船每小时航行302海里．10.如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，求建筑物的高度．解：设建筑物的高度为h ，由题图知，PA ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ， ∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理， 得cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h22×60×2h ，①cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h22×60×2h .②∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°， ∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0.③由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.层级二 应试能力达标1.如图，从气球A 上测得其正前下方的河流两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD 是60 m ，则河流的宽度BC 是( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m解析：选C 由题意知，在Rt △ADC 中，∠C ＝30°，AD ＝60 m ，∴AC ＝120 m ．在△ABC 中，∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC ＝AC sin ∠BACsin ∠ABC ＝120×226＋24＝120(3－1)(m)．2.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 m B.1532 mC ．15 3 mD ．45 m解析：选B 在△ABC 中，AC ＝15 m ，AB ＝519 m ，BC ＝10 m ，由余弦定理得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22×AC ×BC＝152＋102－1922×15×10＝－12，∴sin ∠ACB ＝32.又∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∴sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝32. 在Rt △ADC 中，AD ＝AC ·sin∠ACD ＝15×32＝1532m. 3.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB 的高度，在塔的同一侧选择C ，D 两个观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD ＝120°，C ，D 两地相距500 m ，则电视塔AB 的高度是( )A ．100 2 mB ．400 mC ．200 3 mD ．500 m解析：选D 设AB ＝x ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，∴BC ＝AB ＝x .在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°，∴BD ＝3x .在△BCD 中，∠BCD ＝120°，CD ＝500 m ，由余弦定理得(3x )2＝x 2＋5002－2×500x cos 120°，解得x ＝500 m.4.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东45°，与观测站A 距离202海里的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又45.测得该货船位于观测站A 东偏北θ(0°<θ<45°)的C 处，且cos θ＝已知A ，C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为( )A ．485 海里/小时B ．385 海里/小时C ．27 海里/小时D ．4 6 海里/小时解析：选A 因为cos θ＝45，0°<θ<45°，所以sin θ＝35，cos(45°－θ)＝22×45＋22×35＝7210，在△ABC 中，BC 2＝(202)2＋102－2×202×10×7210＝340，所以BC ＝285，该货船的船速为28512＝485海里/小时．5.如图所示，客轮以速度2v 由A 至B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发，以速度v 沿直线匀速航行，将货物送达客轮．已知AB ⊥BC ，且AB ＝BC ＝50 n mile ，若两船同时起航出发，则两船相遇之处距C 点________n mile(结果精确到小数点后一位)．解析：由题易知两船相遇之处M 位于BC 上，如图，设|MC |＝d ，则100±d2v ＝d 2＋22±2·d ·252cos 45°v(M 位于BC 延长线上取“＋”，M 位于BC 上取“－”)，所以(100±d )2＝4[d 2＋(252)2±50d ]，即3d 2＝1002－5 000，所以d 2＝5 0003，即d ≈40.8(n mile)．答案：40.86．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a n mile ，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，则甲船应沿________方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了________n mile.解析：如图所示，设在C 处甲船追上乙船，乙船到C 处用的时间为t ，乙船的速度为v ，则BC ＝tv ，AC ＝3tv ，又B ＝120°，则由正弦定理BCsin ∠CAB ＝AC sin B ，得1sin ∠CAB ＝3sin 120°，∴sin ∠CAB ＝12，∴∠CAB ＝30°，∴甲船应沿北偏东30°方向行驶．又∠ACB ＝180°－120°－30°＝30°，∴BC ＝AB ＝a n mile ，∴AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a (n mile)答案：北偏东30°3a7.如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为45°，往正前方走4 m 后，在点B 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为75°.(1)求BC 的长；(2)若小明身高为1.70 m ，求这棵桃树顶端点C 离地面的高度(精确到0.01 m ，其中3≈1.732)．解：(1)在△ABC 中，∠CAB ＝45°，∠DBC ＝75°， 则∠ACB ＝75°－45°＝30°，AB ＝4，由正弦定理得BC sin 45°＝4sin 30°，解得BC ＝42(m)．即BC 的长为4 2 m. (2)在△CBD 中，∠CDB ＝90°，BC ＝42， 所以DC ＝42sin 75°.因为sin 75°＝sin(45°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24， 则DC ＝2＋2 3.所以CE ＝ED ＋DC ＝1.70＋2＋23≈3.70＋3.464 ≈7.16(m)．即这棵桃树顶端点C 离地面的高度为7.16 m.8.在某次地震时，震中A (产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B ，C ，D .已知B ，C 两市相距20 km ，C ，D 相距34 km ，C 市在B ，D 两市之间，如图所示．某时刻C 市感到地表震动，8 s 后B 市感到地表震动，20 s后D 市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A到B ，C ，D 三市的距离．解：在△ABC 中，由题意AB －AC ＝1.5×8＝12(km)．在△ACD 中，由题意AD －AC ＝1.5×20＝30(km)．设AC ＝x km ，则AB ＝(12＋x )km ，AD ＝(30＋x )km.在△ABC 中，cos ∠ACB ＝x 2＋400－＋x22×20×x＝256－24x 40x ＝32－3x5x. 在△ACD 中，cos ∠ACD ＝x 2＋1 156－＋x268x＝256－60x 68x ＝64－15x17x. ∵B ，C ，D 在一条直线上，∴64－15x 17x ＝－32－3x 5x ，即64－15x 17＝3x －325.解得x ＝487.∴AB ＝1327 km ，AD ＝2587 km.即震中A 到B ，C ，D 三市的距离分别为1327km ，487 km ，2587km.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则C ＝( )A.π4或3π4 B.3π4C.π4D.π6解析：选C 由BCsin A ＝AB sin C ，得sin C ＝22. ∵BC ＝3，AB ＝6，∴A >C ，则C 为锐角，故C ＝π4.2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：选B ∵sin A ＝sin C 且A ，C 是三角形内角， ∴A ＝C 或A ＋C ＝π(舍去)． ∴△ABC 是等腰三角形．3．在△ABC 中，a ＝k ，b ＝3k (k ＞0)，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个解析：选A 由正弦定理得a sin A ＝bsin B， ∴sin B ＝b sin A a ＝62＞1，即sin B ＞1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．4．在△ABC 中，a ＝15，b ＝20，A ＝30°，则cos B ＝( ) A ．±53 B.23 C ．－53D.53解析：选A 因为a sin A ＝b sin B ，所以15sin 30°＝20sin B ，解得sin B ＝23.因为b >a ，所以B >A ，故B 有两解，所以cos B ＝±53. 5．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为( ) A ．－78B.78 C ．－87D.87解析：选B 设等腰三角形的底边长为a ，顶角为θ，则腰长为2a ，由余弦定理得，cos θ＝4a 2＋4a 2－a 28a 2＝78. 6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 等于( )A.1＋32 B ．1＋ 3C.2＋22D ．2 3解析：选B ∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴ac ＝6.又∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·cos 30°＝4b 2－12－63， ∴b 2＝4＋23，∴b ＝1＋ 3.7．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞)B ．(－∞，0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：选 D 由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk ，(m >0)，∵⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >c ，a ＋c >b ，即⎩⎪⎨⎪⎧mk ＋mk ，3mk >m k ＋，∴k >12.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A 2＝c －b 2c，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 由已知可得1－cos A 2＝12－b2c ，即cos A ＝bc，b ＝c cos A .法一：由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，则b ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc，所以c 2＝a 2＋b 2，由此知△ABC 为直角三角形． 法二：由正弦定理，得sin B ＝sin C cos A ．在△ABC 中，sin B ＝sin(A ＋C )， 从而有sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ， 即sin A cos C ＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos C ＝0.由此得C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．9．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2 C. 2 D.22解析：选C ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ＝8， ∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2.10．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( )A.154B.1534C.2134D.3534解析：选B ∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a ＋2，∵sin α＝32，∴α＝120°.由余弦定理得(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)，即a 2＝5a ，故a ＝5，故三边长为3,5,7，S △ABC ＝12×3×5×sin 120°＝1534.11．如图，海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30°，与O 相距15海里的C 处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向25海里的B 处的乙船，则甲船到达B 处需要的时间为()A.12小时 B ．1小时 C.32小时 D ．2小时解析：选B 在△OBC 中，由余弦定理，得CB 2＝CO 2＋OB 2－2CO ·OB cos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB ＝35，3535＝1(小时)，因此甲船到达B 处需要的时间为1小时．12.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33B.36C.63D.66解析：选D 设BD ＝a ，则BC ＝2a ，AB ＝AD ＝32a . 在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2－a22×32a ·32a＝13.又∵A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝223.在△ABC 中，由正弦定理得，BCsin A ＝ABsin C.∴sin C ＝AB BC ·sin A ＝32a 2a ·223＝66.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________.解析：A ＝180°－B －C ＝30°，由正弦定理得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ， 即a ∶b ∶c ＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°＝1∶1∶ 3. 答案：1∶1∶ 314．已知△ABC 中，3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则cos C 的值为________． 解析：由3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，得c 2＝a 2＋b 2－23ab .根据余弦定理，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－a 2－b 2＋23ab2ab＝13， 所以cos C ＝13.答案：1315．在△ABC 中，已知cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.解析：在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45.∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213.∴sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理知b sin B ＝csin C ，∴c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.答案：14516．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.解析：如图，∠CAB ＝15°， ∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1(km)．由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB ，∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223(km)．设C 到直线AB 的距离为d ， 则d ＝BC ·sin 75°＝6－223×6＋24＝36(km)． 答案：36三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解：(1)因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A ，所以在△ABC 中， 由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A.所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝2A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5. 18.(12分)如图，观测站C 在目标A 的南偏西20°方向，经过A处有一条南偏东40°走向的公路，在C 处观测到与C 相距31 km 的B 处有一人正沿此公路向A 处行走，走20 km 到达D 处，此时测得C ，D 相距21 km ，求D ，A 之间的距离．解：由已知，得CD ＝21 km ，BC ＝31 km ，BD ＝20 km ，在△BCD 中，由余弦定理，得cos ∠BDC ＝CD 2＋BD 2－BC 22CD ·BD ＝－17.设∠ADC ＝α，则cos α＝17，sin α＝437，在△ACD 中，由正弦定理得，AD sin ∠ACD ＝CDsin ∠CAD， 得AD＋α＝21sin 60°， 所以AD ＝423sin(60°＋α)＝423⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α＝15(km)，即所求D ，A 之间的距离为15 km.19．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝2π3，sin A ＝45，b ＝2 3.(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积S .解：(1)∵A ，B ，C 为△ABC 的内角，且B ＝2π3，sin A ＝45，∴C ＝π3－A ，cos A ＝35，∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝32cos A －12sin A ＝33－410.(2)由(1)知sin C ＝33－410，又∵B ＝2π3，b ＝23，∴在△ABC 中，由正弦定理得a ＝b sin A sin B ＝165， ∴S ＝12ab sin C ＝12×165×23×33－410＝72－32325.20．(12分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值．解：(1)∵cos A ＝2cos 2A 2－1， ∴2cos 2A 2＝cos A ＋1. 又2cos 2A 2＋cos A ＝0， ∴2cos A ＋1＝0，∴cos A ＝－12， ∴A ＝120°.(2)由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a ＝23，b ＝2，cos A ＝－12， ∴(23)2＝22＋c 2－2×2×c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 化简，得c 2＋2c －8＝0，解得c ＝2或c ＝－4(舍去)．21.(12分)如图，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P ，C 间的距离．解：由题意知AB ＝40，∠A ＝120°，∠ABP ＝30°，所以∠APB ＝30°，所以AP ＝40，所以BP 2＝AB 2＋AP 2－2AP ·AB ·cos 120° ＝402＋402－2×40×40×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝402×3， 所以BP ＝40 3.又∠PBC ＝90°，BC ＝60×43＝80， 所以PC 2＝BP 2＋BC 2＝(403)2＋802＝11 200，所以PC ＝407海里．22．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足sin A ＋3cos A ＝2.(1)求角A 的大小；(2)现给出三个条件：①a ＝2；②B ＝π4；③c ＝3b .试从中选出两个可以确定△ABC 的条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC 的面积．(写出一种方案即可)解：(1)依题意得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝1， ∵0<A <π，∴π3<A ＋π3<4π3，∴A ＋π3＝π2，∴A ＝π6. (2)参考方案：选择①②.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin B sin A＝2 2. ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2＋64， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×22×2＋64＝3＋1.。
【新】2019-2020学年度高中数学第一章解三角形1-1-2棱柱、棱锥和棱台的结构特征导学案新人教A版必修5
教学资料参考范本【新】2019-2020学年度高中数学第一章解三角形1-1-2棱柱、棱锥和棱台的结构特征导学案新人教A版必修5撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________【基本知识】1.多面体的含义多面体是由若干个所围成的几何体.（1）多面体的面：围成多面体的各个叫做多面体的面.（2）多面体的棱：相邻的两个面的叫做多面体的棱.（3）多面体的顶点：棱和棱的叫做多面体的顶点.（4）多面体的对角线：连接不在同一个面上的的线段叫做多面体的对角线.2.多面体的分类（1）凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的，则这样的多面体叫做凸多面体.如果没有特殊说明，多面体指的都是凸多面体.（2）凹多面体：把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都不在这个平面的，则这样的多面体叫做凹多面体.（3）多面体至少有面，多面体按照围成它的面的个数分别叫做四面体、五面体、六面体……3.几何体的截面一个几何体和一个平面相交所得到的叫做这个几何体的截面.知识点二 棱柱 1.棱柱的定义棱柱可以看成一个多边形（包括图形围成的平面部分）上各点都沿着移动相同的距离所形成的几何体.观察这个移动过程，可以得到棱柱的主要特征性质： 棱柱有两个互相的面，并且夹在两个平行平面间的每相邻的两个面的交线都互相.（1）棱柱的底面：棱柱的的面叫做棱柱的底面.（2）棱柱的侧面：除棱柱的底面以外的其余各面叫做棱柱的侧面. （3）棱柱的侧棱： 的公共边叫做棱柱的侧棱.（4）棱柱的高：棱柱两底面之间的 ，叫做棱柱的高.2.棱柱的表示（1）用表示两底面的对应顶点的字母来表示棱柱. （2）用一条对角线端点的两个字母来表示.如图中的棱柱可表示为棱柱或棱柱.11111ABCDE A B C D E 1AC 3.棱柱的分类（1）按底面的形状分：底面是三角形的叫做三棱柱，底面是四边形的叫做四棱柱，底面是五边形、六边形……的依次叫做五棱柱、六棱柱……。
[推荐学习]高中数学第一章解三角形1.2应用举例1.2.3解决有关测量角度的问题教案新人教A版必修5
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[推荐学习]高中数学第一章解三角形1.2应用举例1.2.3解决有关测量角度的问题教案新人教A版必修5
1.2.3 解决有关测量角度的问题
解决有关测量角度的问题
例1例 2 课堂练习
布置作业
本课时是一个有关测量角度的问题，即课本上的例6.在这里，能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维．借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法．。
2019-2020年高中数学 第一章 解三角形教案 完整版 新人教A版必修5
2019-2020年高中数学第一章解三角形教案完整版新人教A版必修5（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。
通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。
本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。
在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。
”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。
高中数学 第一章 解直角三角形 1.1.2 余弦定理教案 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学
1．1．2余弦定理[教学目标] 1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
[教学重、难点]重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
[教学过程][创设情景] C如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,a,b 和∠C ，求边c b aA c B(图1．1-4)[探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，那么 b c()()2222 2c c c a b a ba ab b a ba b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5) 同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？〔由学生推出〕从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc222cos 2+-=a cb B ac 222cos 2+-=b ac C ba[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②三角形的三条边就可以求出其它角。
2019_2020学年高中数学第一章解三角形1.2应用举例学案新人教B版必修5
1．2 应用举例1.理解测量中的有关名词、术语的确切含义．2．会利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度等问题．3．探索利用数学工具解决实际问题的方法，体会数学在现实生活中的应用．1．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图1所示)．(3)方位角的其他表示——方向角①正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上．依此可类推正北方向、正东方向和正西方向．②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图2所示)．2．解三角形的实际应用举例(1)测距离的应用可测图形目标及解法背景元素两点均可到达a、b、α求AB AB＝a2＋b2－2ab cos α只有一点可到达b、α、β求AB①测量b，α，β②AB＝b sin βsin（α＋β）两点都不可到达a、α、β、γ、θ求AB①△ACD中用正弦定理求AC②△BCD中用正弦定理求BC③△ABC中用余弦定理求AB(2)测高的应用背景可测元素图形目标及解法底部可到达a、α求ABAB＝a tan__α底部不可到达a、α、β求AB①在△ACD中用正弦定理求AD②AB＝a sin αsin βsin（β－α）1．若P在Q的北偏东44°，则Q在P的( )A．东偏北46°B．东偏北44°C．南偏西44°D．西偏南44°解析：选C.如图，因为P在Q的北偏东44°，则Q在P的南偏西44°.2．A，B两点间有一小山，选定能直接到达点A，B的点C，测得AC＝60 m，BC＝160 m，∠ACB＝60°，则A，B两点间的距离为________m.解析：在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos 60°＝602＋1602－2×60×160cos 60°＝196 00，所以AB＝140 m，即A、B两点间的距离为140 m.答案：1403．一树的树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距5 m，则树干原来的高度为__________．答案：(10＋53)m测量距离问题海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是________．【解析】如图，在△ABC中，∠C＝180°－(∠B＋∠A)＝45°，由正弦定理，可得BCsin 60°＝ABsin 45°，所以BC＝32×10＝56(海里)．【答案】5 6 海里在本例中，若“从B岛望C岛和A岛成75°的视角”改为“A，C两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B，C间的距离呢？解：由已知在△ABC中，AB＝10，AC＝20，∠BAC＝60°，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可．BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 60°＝102＋202－2×10×20×12＝300.故BC＝10 3.即B，C间的距离为103海里．测量距离问题的两种情况(1)测量一个可到达的点到另一个不可到达点之间的距离．(2)测量两个不可到达点之间的距离．第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问题(如图2)．1.为了测量水田两侧A，B两点间的距离(如图所示)，某观测者在A的同侧选定一点C，测得AC＝8 m，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________ m.解析：根据正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin∠ABC，所以AB＝AC sin∠ACBsin∠ABC＝8sin 45°sin（180°－30°－45°）＝426＋24＝8(3－1)(m)，即A，B间的距离为8(3－1)m.答案：8(3－1)2．如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A、B两点间的距离是多少？解：由正弦定理得AC＝20sin（45°＋60°）sin[180°－（30°＋45°＋60°）]＝20sin 105°sin 45°＝20sin 75°sin 45°＝10(1＋3)(米)，BC＝20sin 45°sin[180°－（60°＋30°＋45°）]＝20sin 45°sin 45°＝20(米)．在△ABC中，由余弦定理得AB＝AC2＋BC2－2AC×BC cos∠BCA＝106(米)．所以A、B两点间的距离为106米．测量高度问题地平面上有一旗杆设为OP，已知地平面上的一基线AB，AB＝200 m，在A处测得P点的仰角为∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角为∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高h.【解】如图，∠OAP＝30°，∠OBP＝45°，∠AOB＝60°，AB＝200 m，在△OAP 中， 因为OP ⊥OA ，所以∠AOP ＝90°，则OP OA＝tan 30°， 所以OA ＝OPtan 30°＝3h ，同理在△BOP 中，∠BOP ＝90°，且∠OBP ＝45°， 所以OB ＝OP ＝h ， 在△OAB 中，由余弦定理得AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos ∠AOB ，即2002＝3h 2＋h 2－23h 2·cos 60°， 解得h ＝2004－3m ，即旗杆高为2004－3 m.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC ＝300 2 m ．在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m)． 答案：100 6测量角度问题某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角105°的方向，以10海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以103海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需要的时间．【解】 如图所示，设所需时间为t 小时，在B 处靠近渔船，则AB ＝103t ，CB ＝10t ，在△ABC 中，根据余弦定理， 则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，可得(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t ·cos 120°. 整理得2t 2－t －1＝0， 解得t ＝1或t ＝－12(舍去)．舰艇需1小时靠近渔船． 此时AB ＝103，BC ＝10， 在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin120°，所以sin ∠CAB ＝BC sin 120°AB ＝10×32103＝12.所以∠CAB ＝30°，所以舰艇航行的方位角为75°.解决实际问题应注意的问题(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．甲船在A 处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a n mile ，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的3倍，问甲船应取什么方向前进才能尽快追上乙船？相遇时乙船已行驶多少海里？解：如图，设两船在C 处相遇，并设∠CAB ＝θ，乙船行驶距离为x n mile ，则AC ＝3x ，由正弦定理得sin θ＝BC ·sin 120°AC ＝12，所以θ＝30°，∠ACB ＝180°－(θ＋∠ABC )＝30°， 从而BC ＝AB ·sin θsin ∠ACB＝a (n mile)．即甲船应取北偏东30°方向前进才能尽快追上乙船，两船相遇时乙船已行驶了a n mile.1．解三角形应用题的一般步骤(1)准确理解题意及问题的实际背景，明确已知和所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，并理清量与量之间的关系．(审题)(2)根据题意画出图形，将实际问题抽象成解三角形的数学模型．(画图)(3)把要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解．(建模)(4)将三角形的解还原为实际问题的结果．(还原)2．解三角形应用题常见的几种情况(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可根据已知条件，选择使用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件充足的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，再通过解方程得出所要求的解．在利用正、余弦定理解题时，要注意仰角、俯角、方位角等名词，准确找出这些角，同时要根据具体问题发现题目中隐含的条件，只有这样才能顺利解决问题．1．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是( )A．a和c B．c和bC．c和βD．b和α解析：选D.在河的一岸测量河的宽度，关键是选准基线，在本题中AC即可看作基线，在Rt△ABC中，能够测量到的边角分别为b和α.2.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100 m，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于( )A．50 3 mB．100 3 mC．50 mD ．100 m解析：选A.因为∠DAC ＝∠ACB －∠D ＝60°－30°＝30°， 所以△ADC 为等腰三角形．所以AC ＝DC ＝100 m ， 在Rt △ABC 中，AB ＝AC sin 60°＝50 3 m.3.如图，位于A 处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在A 处南偏西30°且相距20海里的C 处有一艘救援船，该船接到观测站通知后立即前往B 处救助，则sin ∠ACB ＝__________．解析：在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°.由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，所以BC ＝207.由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB BC·sin ∠BAC ＝217. 答案：2174.如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°方向，距离为126海里，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°方向，距离为83海里，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在南偏东60°方向，求：(1)A 处与D 处之间的距离； (2)灯塔C 与D 处之间的距离．解：(1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，∠DAB ＝75°， 所以∠B ＝180°－60°－75°＝45°， 又AB ＝126海里，所以由正弦定理，得AD＝AB ·sin Bsin ∠ADB＝126×2232＝24海里，即A 处与D 处之间的距离为24海里．(2)在△ACD 中，由余弦定理，得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos 30°，所以CD ＝83海里， 即灯塔C 与D 处之间的距离为83海里．[A 基础达标]1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为4 m ，∠A ＝30°，则其跨度AB 的长为( )A ．12 mB ．8 mC ．3 3 mD ．4 3 m解析：选D.由题意知，∠A ＝∠B ＝30°， 所以∠C ＝180°－30°－30°＝120°， 由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，即AB ＝AC ·sin C sin B ＝4·sin 120°sin 30°＝43(m)．2.如图，测量河对岸的塔的高度AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30米，并在C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔AB 的高度为( )A ．152米B ．153米C ．15(3＋1)米D ．156米解析：选D.在△BCD 中，由正弦定理得BC ＝CD sin 30°sin 135°＝152(米)．在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan 60°＝156(米)．故选D.3．将村庄甲、乙、丙看成A 、B 、C 三点，正好构成△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan C ＝37.若CB →·CA →＝52，且甲到丙的距离与乙到丙的距离之和为9，则甲、乙之间的距离为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.因为tan C ＝37，所以sin C cos C ＝37.又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，得cos C ＝±18.因为tan C ＞0，所以∠C 是锐角． 所以cos C ＝18.因为CB →·CA →＝52，所以ab cos C ＝52，所以ab ＝20.又因为a ＋b ＝9， 所以a 2＋2ab ＋b 2＝81，所以a 2＋b 2＝41，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝36， 所以c ＝6，故选C.4．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的速度是( )A ．52海里/时B ．5海里/时C ．102海里/时D ．10海里/时解析：选D.如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10海里，在直角三角形ABC 中，由正弦定理可得AB ＝5海里，于是这艘船的速度是10海里/时．故选D.5．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东40°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°解析：选 B.如图所示，∠ECA ＝40°，∠FCB ＝60°，∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°，因为AC ＝BC ，所以∠A ＝∠ABC ＝180°－80°2＝50°，所以∠ABG ＝180°－∠CBH －∠CBA ＝180°－120°－50°＝10°.故选B.6. 如图所示为一角槽，已知AB ⊥AD ，AB ⊥BE ，并测量得AC ＝3 mm ，BC ＝2 2 mm ，AB ＝29 mm ，则∠ACB ＝________．解析：在△ABC 中，由余弦定理得cos ∠ACB ＝32＋（22）2－（29）22×3×22＝－22.因为∠ACB ∈(0，π)，所以∠ACB ＝3π4.答案：3π47．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔间的距离为________km.解析：如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°，∠ABC ＝45°，AC ＝60 km ， 根据正弦定理，得BC ＝AC sin ∠BAC sin ∠ABC ＝60sin 30°sin 45°＝302(km)． 答案：30 28．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是__________ m.解析：设水柱的高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝ 3 h ，根据余弦定理，得(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，解得h ＝50，故水柱的高度是50 m.答案：509．如图，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°方向，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°方向，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C 点，求P ，C 间的距离．解：因为AB ＝40，∠BAP ＝120°，∠ABP ＝30°， 所以∠APB ＝30°，所以AP ＝40， 所以BP 2＝AB 2＋AP 2－2AP ·AB ·cos 120°＝402＋402－2×40×40×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝402×3， 所以BP ＝40 3.又∠PBC ＝90°，BC ＝80，所以PC 2＝BP 2＋BC 2＝(403)2＋802＝11 200， 所以PC ＝407 海里．10．空中有一气球D ，在它正西方向的地面上有一点A ，在此处测得气球的仰角为45°，同时在气球的南偏东60°方向的地面上有一点B ，测得气球的仰角为30°，两观察点A ，B 相距266 m ，计算气球的高度．解：如图，设CD ＝x ， 在Rt △ACD 中，∠DAC ＝45°， 所以AC ＝CD ＝x .在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°， 所以CB ＝CDtan 30°＝3x .在△ABC 中，∠ACB ＝90°＋60°＝150°，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2·AC ·BC ·cos ∠ACB ， 所以2662＝x 2＋(3x )2－2·x ·3x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32， 所以x ＝387(m)． 所以气球的高度为387 m.[B 能力提升]11．如图，一轮船从A 点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C .若此轮船从A 点直接沿直线行驶至海岛C ，则此轮船应沿________方向行驶________海里才能到达海岛C .( )A ．北偏东60°，10 2B ．北偏东40°，10 3C ．北偏东30°，10 3D ．北偏东20°，10 2解析：选B.在△ABC 中，∠ABC ＝180°－70°＋10°＝120°，AB ＝BC ＝10海里，所以∠BAC ＝12×(180°－120°)＝30°，所以从A 点到海岛C 的航向为北偏东40°.由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝102＋102－2×10×10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝300，所以AC ＝103(海里)．12．如图所示，测量人员沿直线MNP 的方向测量，测得塔AB 的仰角分别是∠AMB ＝30°，∠ANB ＝45°，∠APB ＝60°，且MN ＝PN ＝500 m ，则塔高为__________．解析：设塔高AB 为x m.因为AB 垂直于地面，所以△ABM ，△ABN ，△ABP 均为直角三角形，所以BM ＝xtan 30°＝3x ，BN ＝x tan 45°＝x ，BP ＝x tan 60°＝33x .在△MNB 中，由余弦定理，得BM 2＝MN 2＋BN 2－2MN ·BN ·cos ∠MNB ；在△PNB 中，由余弦定理，得BP 2＝NP 2＋BN 2－2NP ·BN ·cos ∠PNB ；又因为∠BNM 与∠PNB 互补，MN ＝NP ＝500， 所以3x 2＝250 000＋x 2－2×500x ·cos ∠MNB ，① 13x 2＝250 000＋x 2－2×500x ·cos ∠PNB ，② ①＋②，得103x 2＝500 000＋2x 2，所以x ＝250 6.答案：250 6 m13．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km 处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3 km 有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12 km 的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多少时间该考点才算合格？解：如图，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C 、D 两点到考点的距离为1 km.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠ABC ＝30°， 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝sin 30°AC ·AB ＝32， 所以∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， 所以∠BAC ＝30°，所以BC ＝AC ＝1，在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， 所以△ACD 为等边三角形， 所以CD ＝1.因为BC12×60＝5(min)，所以在BC 上需5 min ，CD 上需5 min.最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并至少持续5 min 才算合格．14.(选做题)已知海岛B 在海岛A 的北偏东45°方向上，A ，B 相距10海里，小船甲从海岛B 以2海里/小时的速度沿直线向海岛A 移动，同时小船乙从海岛A 出发沿北偏西15°方向也以2海里/小时的速度移动．(1)经过1小时后，甲、乙两小船相距多少海里？(2)在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由．解：(1)经过1小时后，设甲船到达M 点，乙船到达N 点(图略)，AM ＝10－2＝8，AN ＝2，∠MAN ＝60°，所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos 60°＝64＋4－2×8×2×12＝52.所以MN ＝213.所以经过1小时后，甲、乙两小船相距213海里．(2)可能设经过t (0<t <5)小时小船甲处于小船乙的正东方向，则甲船与A 距离为AE ＝(10－2t )海里，乙船与A 距离为AF ＝2t 海里，∠EAF ＝60°，∠EFA ＝75°，则由正弦定理得AF sin 45°＝AEsin 75°，即2t sin 45°＝10－2tsin 75°，则t ＝10sin 45°2sin 75°＋2sin 45°＝103＋3＝5（3－3）3<5.即经过5（3－3）3小时小船甲处于小船乙的正东方向．。
高中数学 第一章 解三角形 1.2 解三角形应用举例教学设计数学教案
解三角形应用举例教学目标 一、知识与技能1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语，如:坡度、俯角、方向角、方位角等2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题3、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题4、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题5、掌握三角形的面积公式的简单推导和应用二、教学重点1、分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法；2结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题；3、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系；4、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.三、教学难点1、实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图；2、能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件；3、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题；4、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.四、教学过程解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解. ［例题剖析］【例1】如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55 m ，∠BAC =51°，∠ACB =75°．求A 、B 两点的距离.(精确到0.1 m )解：根据正弦定理，得 ABC AC ACB AB ∠=∠sin sin ，︒︒=︒-︒-︒︒=∠∠=∠∠=54sin 75sin 55)7551180sin(75sin 55sin sin 55sin sin ABC ACB ABC ACB AC AB ≈65.7(m).答:A 、B 两点间的距离为65.7米.【例2】如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB 绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞做直线往复运动，当曲柄在CB 0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在A 0处，设连杆AB 长为340 mm ，曲柄CB 长为85 mm ，曲柄自CB 0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A 移动的距离A 0A ）.（精确到1 mm ）解：（如图）在△ABC 中，由正弦定理可得34080sin 85sin sin ︒⨯==AB C BC A ≈0.246 2. 因为BC ＜AB ，所以A 为锐角.∴A =14°15′，∴ B ＝180°-（A ＋C ）＝85°45′.又由正弦定理，9848.05485sin 340sin sin '︒⨯==C B AB AC ≈344.3(m m ). ∴A 0A =A 0C –AC =(AB +BC )-AC =(340+85)-344.3=80.7≈81(mm).答：活塞移动的距离为81 mm ．【例3】AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法．解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上．由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD = A ，测角仪器的高是h ，那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得)sin(sin βαβ-=a AC ,AB =A E+h=ac sinα+h=)sin(sin sin βαβα-a +h. 【例4】如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=54°40′，在塔底C 处测得A 处的俯角β=50°1′．已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD (精确到1 m). 解：在△ABC 中,∠BCA =90°+β,∠ABC =90°-α,∠BAC =α-β,∠BAD =α.根据正弦定理,)90sin()sin(ββα+︒=-AB BC =，所以)sin(cos )sin()90sin(βαββαβ-=-+︒=BC BC AB . 在Rt △ABD 中,得BD =AB sin ∠BAD =)sin(sin cos βααβ-BC . 将测量数据代入上式,得934sin 0454sin 150cos 3.27)1500454sin(0454sin 150cos 3.27'︒'︒'︒='︒-'︒'︒'︒=BD ≈177(m), CD =BD -BC ≈177-27.3=150(m).【例5】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上,行驶5 km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角为8°,求此山的高度CD .解：在△ABC 中, ∠A =15°,∠C =25°-15°=10°,根据正弦定理,︒︒===10sin 15sin 5sin sin ,sin sin C A AB BC C AB A BC ,≈ 7.452 4(km), CD =BC ×t a n ∠DBC =BC ×t a n8°≈1 047(m).答:山的高度约为1 047米.课堂练习用同样高度的两个测角仪AB 和CD 同时望见气球E 在它们的正西方向的上空,分别测得气球的仰角α和β,已知BD 间的距离为A ,测角仪的高度为B ,求气球的高度.分析:在Rt △EG A 中求解EG,只有角α一个条件,需要再有一边长被确定,而△E AC 中有较多已知条件,故可在△E AC 中考虑E A 边长的求解,而在△E AC 中有角β,∠E AC =180°-α两角与AC =BD =A 一边,故可以利用正弦定理求解E A .解：在△AC E 中,AC =BD =A ,∠AC E=β,∠A E C =α-β,根据正弦定理,得 )sin(sin βαβ-=a AE .在Rt △A EG 中，EG=A Esinα=)sin(sin sin βαβα-a . ∴EF=EG+b =b a +-)sin(sin sin βαβα. 答:气球的高度是b a +-)sin(sin sin βαβα. 【例6】（幻灯片放映）如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B ,然后从B 出发,沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile 后到达海岛C .如果下次航行直接从A 出发到达C ,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1°,距离精确到0.01 n mile)解：在△ABC 中，∠ABC =180°- 75°+ 32°=137°，根据余弦定理，,137cos 0.545.6720.545.67cos 22222︒⨯⨯⨯-+=∠⨯⨯-+=ABC BC AB BC AB AC ≈113.15.根据正弦定理, ,sin sin ABCAC CAB BC ∠=∠, 15.113137sin 0.54sin sin ︒=∠=∠AC ABC BC CAB ≈0.325 5, 所以∠CAB ≈19.0°,75°-∠CAB =56.0°.答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行113.15 n mile.[知识拓展]1.如图，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里到C 处，在C 处测得小岛A 在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解：在△ABC 中，BC =30，B =30°，∠ACB =180°-45°=135°,∴A =15°. 由正弦定理知B AC A BC sin sin =,∴︒=︒30sin 15sin 30AC . ∴21561515cos 6015sin 30sin 30+=︒=︒︒=AC .∴A 到BC 所在直线的距离为 AC ·sin45°=（156+152）·22=15（3+1）≈40.98＞38（海里）， ∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．答：不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．2.如图，有两条相交成60°角的直线XX′、YY′，交点是O ，甲、乙分别在O X 、O Y 上，起初甲在离O 点3千米的A 点，乙在离O 点1千米的B 点，后来两人同时以每小时4千米的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y 方向步行，（1）起初，两人的距离是多少？（2）用包含t 的式子表示t 小时后两人的距离；（3）什么时候两人的距离最短？解：（1）因甲、乙两人起初的位置是A 、B ，则AB 2=OA 2+OB 2-2OA ·OBco s60°=32+12-2×3×1×21=7,∴起初，两人的距离是7千米． （2）设甲、乙两人t 小时后的位置分别是P 、Q ， 则A P=4t,B Q=4t,当0≤t≤43时，PQ 2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)co s60°=48t 2-24t+7; 当t ＞43时,PQ 2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)co s120°=48t 2-24t+7, 所以，PQ =48t 2-24t+7．（3）PQ 2=48t 2-24t+7=48(t-41)2+4, ∴当t =41时，即在第15分钟末，PQ 最短． 答：在第15分钟末，两人的距离最短．【例7】 在△ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1 c m 2）.（1）已知A =14.8 c m,C =23.5 c m,B =148.5°;（2）已知B =62.7°,C =65.8°,B =3.16 c m;（3）已知三边的长分别为A =41.4 c m,B =27.3 c m,C =38.7 c m.解：（1）应用B ac S sin 21=，得 S=21×14.8×23.5×sin148.5°≈90.9(c m 2). (2)根据正弦定理，BC b c C c B b sin sin ,sin sin ==, B A C b A bc S sin sin sin 21sin 212==. A = 180°-(B + C )= 180°-(62.7°+ 65.8°)=51.5°,︒︒︒⨯⨯=7.62sin 5.51sin 8.65sin 16.3212S ≈4.0(c m 2). (3)根据余弦定理的推论，得4.417.3823.274.417.382cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈0.769 7, 227697.01B cos 1sinB -≈-=≈0.638 4,应用B ac S sin 21=得S=21×41.4×38.7×0.6384≈511.4(c m 2). 【例8】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1 c m 2）？解：设A =68 m,B =88 m,C =127m,根据余弦定理的推论，68127288681272cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈0.753 2, 27532.01sin -=B ≈0.657 8,应用S=21ac sin B ,S=21×68×127×0.657 8≈2 840.38(m 2). 答：这个区域的面积是2 840.38 m 2．【例9】在△ABC 中，求证：（1）CB A c b a 222222sin sin sin +=+; （2）a 2+b 2+c 2=2（bcco s A +caco s B +abco s C ）.证明：（1）根据正弦定理，可设 k Cc B b A a ===sin sin sin , 显然 k≠0，所以左边=CB AC k B k A k c b a 222222222222sin sin sin sin sin sin +=+=+=右边. （2）根据余弦定理的推论，右边=)222(2222222222abc b a ab ca b a c ca bc a c b bc -++-++-+=(b 2+c 2- a 2)+(c 2+a 2-b 2)+(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2+c 2=左边.[知识拓展] 如图，在四边形ABCD 中，∠ADB =∠BCD =75°，∠ACB =∠BDC =45°，DC =3，求：(1)AB 的长;(2)四边形ABCD 的面积.解：（1）因为∠BCD =75°,∠ACB =45°，所以∠ACD =30°.又因为∠BDC =45°，所以∠DAC =180°-（75°+ 45°+ 30°）=30°.所以AD =DC =3.在△BCD 中，∠CBD =180°-（75°+ 45°）=60°，所以22660sin 75sin 3,60sin 75sin +=︒︒=︒=︒BD DC BD . 在△ABD 中，AB 2=AD 2+ BD 2-2×AD ×BD ×co s75°= 5,所以,得AB =5.(2)S △ABD =21×AD ×BD ×sin75°=4323+.同理，S △BCD =433+. 所以四边形ABCD 的面积4336+=S .备课资料1.半角定理在△ABC 中,三个角的半角的正切和三边之间有如下的关系:pc p b p a p a p A ))()((12tan ----=, pc p b p a p b p B ))()((12tan ----=, p c p b p a p c p C ))()((12tan----=, 其中p =21（a +b +c ). 证明:2cos 2sin 2tan A A A =, 因为sin 2A ＞0,co s 2A ＞0, 所以bcc b a c b a bc c b a bc a c b A A 4))((4)()21(212cos 12sin 22222+--+=--=-+-=-=. 因为p =21 (a +b +c ), 所以a -b +c =2(p -b ),a +b -c =2(p -c ).所以bcc p b p A ))((2sin--=. 而bc a c b A A 2)1(212cos 12cos 222-++=+=bc a p p bca cb ac b bc a c b )(4))((4)(22-=-+++=-+ 所以p c p b p a p a p a p p c p b p bc a p p bc c p b p A AA ))()((1)())(()())((2cos 2sin2tan ----=---=----=. 所以pc p b p a p a p A ))()((12tan ----=. 同理,可得p c p b p a p b p B ))()((12tan----=, pc p b p a p c p C ))()((12tan ---=-=.从上面的证明过程中,我们可以得到用三角形的三条边表示半角的正弦和半角的余弦的公式:bca p p A bc c pb p A )(2cos ,))((2sin -=--=. 同理可得.)(2cos )(2cos ,))((2sin ,))((2sin abc p p C ac b p p B ab b p a p C ac c p a p B -=-=--=--=2.用三角形的三边表示它的内角平分线设在△ABC 中(如右图),已知三边a 、b 、c ,如果三个角A 、B 和C 的平分线分别是t A 、t B 和t C ，那么，用已知边表示三条内角平分线的公式是：)(2a p bcp cb t a -+=; )(2b p acp ca tb -+=; )(2c p abp b a t c -+=. 证明：设AD 是角A 的平分线，并且BD =x ，DC =y,那么，在△ADC 中，由余弦定理，得t A 2=b 2+y 2-2byco s C ,①根据三角形内角平分线的性质，得y x b c =, 所以y y x b b c +=+. 因为x+y=a ,所以ya b b c =+. 所以cb ab y +=.② 将②代入①,得C cb ab bc b ab b t a cos )(2)(222+-++= =]cos )(22[)(22222C c b a a bc c b c b b +-++++. 因为bcc b a C 2cos 222-+=, 所以]2)(22[)(222222222ab c b a c b a bc c b a c b b t a -+•+-++++= =))(()()2()(22222a c b c b a c b bc a bc c b c b bc -++++=-+++ =),()(4)(22)(22a p bcp c b a p p c b bc -•+=-••+所以)(2a p bcp cb t a -+=. 同理,可得)(2,)(2c p abp b a t b p acp c a t c b -+=-+=. 这就是已知三边求三角形内角平分线的公式.3.用三角形的三边来表示它的外接圆的半径设在△ABC 中,已知三边a 、b 、c ,那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是))()((c p b p a p p abc R ---=. 证明: 因为A bc S A a R sin 21,sin 2==, 所以bcS A 2sin =.所以))()((4sin 2c p b p a p p abc S abc A a R ---===. 五、课堂小结在实际问题的解决过程中，解题的一般步骤和方法，及正弦、余弦定理相关知识点的熟练运用．应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，及其中哪些是已知量，哪些是未知量，应该选用正弦定理还是余弦定理进行求解．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案．。
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2019-2020学年高中数学第一章解直角三角形 1.2 应用举例教案
新人教B版必修5
（1）教学目标
(a)知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语
(b)过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。
其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。
对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正
(c)情感与价值：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
（2）教学重点、难点
教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解
教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图
（3）学法与教学用具
让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知识纲目图。
生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础。
解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会。
直角板、投影仪（多媒体教室）
（4）教学设想
1、复习旧知
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、设置情境
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。
如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。
今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
3、新课讲授
（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解
(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=︒
75。
求A、B两点
51，∠ACB=︒
的距离(精确到0.1m)
启发提问1：∆ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边。
解：根据正弦定理，得
ACB AB ∠sin = ABC
AC ∠sin AB = ABC
ACB AC ∠∠sin sin = ABC
ACB ∠∠sin sin 55 = )
7551180sin(75sin 55︒-︒-︒︒ = ︒
︒54sin 75sin 55 ≈ 65.7(m)
答:A 、B 两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B 在观察站C 南偏东60︒，则A 、B 之间的距离为多少？
老师指导学生画图，建立数学模型。
解略：2a km
例2、（动画演示辅助点和辅助线）如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法。
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。
首先需要构造三角形，所以需要确定C 、D 两点。
根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和BC ，再利用余弦定理可以计算出AB 的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD=a ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA=α，
∠ ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA =δ，在∆ADC 和∆BDC 中，应用正弦定理得 AC =
)](180sin[)sin(δγβδγ++-︒+a = )sin()sin(δγβδγ+++a BC = )](180sin[sin γβαγ++-︒a = )
sin(sin γβαγ++a
计算出AC 和BC 后，再在∆ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离 AB = αcos 222BC AC BC AC ⨯-+
分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。
变式训练：若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA=60︒，∠ACD=30︒，∠CDB=45︒，∠BDA =60︒
略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206
评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
4、 学生阅读课本，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。
5、 课堂练习
课本练习第1、2题
6、 归纳总结
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
（5）评价设计
1、 课本第1、
2、3题
2、 思考题：某人在M 汽车站的北偏西20︒的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公
路向M 站行驶。
公路的走向是M 站的北偏东40︒。
开始时，汽车到A 的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A 的距离缩短了10千米。
问汽车还需行驶多远，才能到达M 汽车站？
解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B 处。
在∆ABC 中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得 cosC=BC AC AB BC AC ⋅-+2222=31
23, 则sin 2C =1- cos 2C =231
432, sinC =31
312, 所以 sin ∠MAC = sin （120︒-C ）= sin120︒cosC - cos120︒sinC =
62335 在∆MAC 中，由正弦定理得 MC =AMC MAC AC ∠∠sin sin =2
3
31⨯62335=35 从而有MB= MC-BC=15
答：汽车还需要行驶15千米才能到达M 汽车站。