变化率问题PPT优秀课件
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变化率问题资料课件
详细描述
三角函数包括正弦函数、余弦函数等。它们的变化率具有周期性，即在每个周期内，变化率呈现单调性。例如， 正弦函数在每个周期内先增后减，余弦函数则先减后增。
04 变化率问题与导数的关系
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率 的重要工具，具有丰富的性质和定义方 式。
VS
详细描述
详细描述
在物理学中，变化率问题被广泛应用于各种 物理现象的分析，如速度、加速度、角速度 等物理量的变化率分析。通过对这些物理量 的变化率进行建模和分析，物理学家可以揭 示物理现象的内在规律和机制，为科学技术 的发展提供理论支持。
生物种群增长模型
总结词
生物种群增长模型是变化率问题在生物学领 域的应用，通过分析种群数量的变化率，可 以预测种群未来的发展趋势和生态平衡。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
瞬时变化率
总结词
描述某一特定点处函数值随自变量变 化的速度
详细描述
瞬时变化率是在某一特定点处，函数 值随自变量变化的速率。它通过求导 数来获得，用于描述函数在某一点的 切线斜率。
变化率的计算公式
总结词
提供计算变化率的数学公式
详细描述
平均变化率的计算公式为 [(末值 - 初值) / 时间跨度]。瞬时变化率则通过求导数 来获得，常用的导数公式包括链式法则、乘积法则、商的导数公式等。
要点二
详细描述
在经济学中，变化率问题常常被用来分析经济增长、通货 膨胀、就业率等经济指标的变化情况。通过对这些经济指 标的变化率进行建模和分析，经济学家可以预测未来的经 济走势和趋势，为企业和政府提供决策依据。
物理现象分析
总结词
物理现象分析是变化率问题的另一个重要应 用领域，通过分析物理量的变化率，可以揭 示物理现象的内在规律和机制。
三角函数包括正弦函数、余弦函数等。它们的变化率具有周期性，即在每个周期内，变化率呈现单调性。例如， 正弦函数在每个周期内先增后减，余弦函数则先减后增。
04 变化率问题与导数的关系
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率 的重要工具，具有丰富的性质和定义方 式。
VS
详细描述
详细描述
在物理学中，变化率问题被广泛应用于各种 物理现象的分析，如速度、加速度、角速度 等物理量的变化率分析。通过对这些物理量 的变化率进行建模和分析，物理学家可以揭 示物理现象的内在规律和机制，为科学技术 的发展提供理论支持。
生物种群增长模型
总结词
生物种群增长模型是变化率问题在生物学领 域的应用，通过分析种群数量的变化率，可 以预测种群未来的发展趋势和生态平衡。
THANKS FOR WATCHING
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瞬时变化率
总结词
描述某一特定点处函数值随自变量变 化的速度
详细描述
瞬时变化率是在某一特定点处，函数 值随自变量变化的速率。它通过求导 数来获得，用于描述函数在某一点的 切线斜率。
变化率的计算公式
总结词
提供计算变化率的数学公式
详细描述
平均变化率的计算公式为 [(末值 - 初值) / 时间跨度]。瞬时变化率则通过求导数 来获得，常用的导数公式包括链式法则、乘积法则、商的导数公式等。
要点二
详细描述
在经济学中，变化率问题常常被用来分析经济增长、通货 膨胀、就业率等经济指标的变化情况。通过对这些经济指 标的变化率进行建模和分析，经济学家可以预测未来的经 济走势和趋势，为企业和政府提供决策依据。
物理现象分析
总结词
物理现象分析是变化率问题的另一个重要应 用领域，通过分析物理量的变化率，可以揭 示物理现象的内在规律和机制。
《变化率问题》课件
生物种群动态
研究生物种群数量随时间的变化情况，如繁殖率和死亡率的变化 率。
PART 05
变化率问题的挑战与展望
REPORTING
当前面临的主要挑战
数据获取难度大
变化率问题往往涉及到大量的数据，但由于数据源分散、数据格式不 统一等问题，导致数据获取难度较大。
模型选择与优化困难
变化率问题的建模需要选择合适的模型，并进行优化。然而，由于问 题的复杂性，如何选择和优化模型是一个挑战。
流体动力学
研究流体（如空气和水）在运动状态下的压力、速度和阻力等变化 率问题。
热传导
在能源、化工和建筑等领域，涉及热量传递和温度变化的速率。
自然科学领域的变化率问题
物理定律
如牛顿第二定律、动量守恒定律等，描述物体运动状态随时间的 变化率。
化学反应速率
研究化学反应的快慢，以及反应过程中物质浓度的变化率。
问题。
导数应用
导数是微积分中的基本概念，表 示函数在某一点的变化率。通过 求导，我们可以找到函数的最值
、拐点等关念， 它可以帮助我们计算面积、体积 等。在变化率问题中，积分可以 用来求解累积效应和长期趋势。
数值分析方法
定义与概念
数值分析是研究数值计算的数学分支，通过近似计算来求解数学问 题。
气候敏感性、碳排放量、温室气体浓 度等。
THANKS
感谢观看
REPORTING
变化率问题的历史与发展
早期研究
古希腊数学家阿基米德等人对变 化率问题进行了初步探讨。
近代发展
牛顿、莱布尼茨等科学家在微积分 学中系统地研究了变化率问题，奠 定了现代数学和物理学的基础。
现代应用
随着科学技术的发展，变化率问题 的应用领域不断扩大，如人工智能 、大数据分析、复杂系统模拟等。
研究生物种群数量随时间的变化情况，如繁殖率和死亡率的变化 率。
PART 05
变化率问题的挑战与展望
REPORTING
当前面临的主要挑战
数据获取难度大
变化率问题往往涉及到大量的数据，但由于数据源分散、数据格式不 统一等问题，导致数据获取难度较大。
模型选择与优化困难
变化率问题的建模需要选择合适的模型，并进行优化。然而，由于问 题的复杂性，如何选择和优化模型是一个挑战。
流体动力学
研究流体（如空气和水）在运动状态下的压力、速度和阻力等变化 率问题。
热传导
在能源、化工和建筑等领域，涉及热量传递和温度变化的速率。
自然科学领域的变化率问题
物理定律
如牛顿第二定律、动量守恒定律等，描述物体运动状态随时间的 变化率。
化学反应速率
研究化学反应的快慢，以及反应过程中物质浓度的变化率。
问题。
导数应用
导数是微积分中的基本概念，表 示函数在某一点的变化率。通过 求导，我们可以找到函数的最值
、拐点等关念， 它可以帮助我们计算面积、体积 等。在变化率问题中，积分可以 用来求解累积效应和长期趋势。
数值分析方法
定义与概念
数值分析是研究数值计算的数学分支，通过近似计算来求解数学问 题。
气候敏感性、碳排放量、温室气体浓 度等。
THANKS
感谢观看
REPORTING
变化率问题的历史与发展
早期研究
古希腊数学家阿基米德等人对变 化率问题进行了初步探讨。
近代发展
牛顿、莱布尼茨等科学家在微积分 学中系统地研究了变化率问题，奠 定了现代数学和物理学的基础。
现代应用
随着科学技术的发展，变化率问题 的应用领域不断扩大，如人工智能 、大数据分析、复杂系统模拟等。
《3.1.1 变化率问题》PPT课件(河南省市级优课)
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃
18.6℃ 33.4℃
T (℃)
30
C (34, 33.4)
20
B (32, 18.6)
10
A (1, 3.5)
2
01
10
20
30 34
时间 3月18日 4月18日 4月20日 日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
T(oC) 33.4
18.6 A(1,3.5)
导入问题情境
实例1：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.
时间
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃
18.6℃ 33.4℃
T (℃)
温差15.1℃ 温差14.8℃
30
20
10
2
01
10
20
30 34 t(d)
构建数学模型
实例1：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.
时间
32 34 t (d)
思考: 平均变化率的“大小”与图 像的“陡峭”程度有什么关 系？
三、数学应用
例１ 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙,t 秒后 容器甲中水的体积V (t)=10×5-0.1t(单位:cm3） （1）求第一个10s内容器甲中体积V 的平均变化率. （2）求第二个10s内容器甲中体积V 的平均变化率.
20
30 34 t(d)
问题3 图中哪一段图像更“陡峭”？
问题4 如何量化图像的“陡峭”程度？
时间
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
T (℃) 30 20
10
C (34, 33.4) B (32, 18.6)
第五章5.1.1 变化率问题课件(人教版)
√C.18 m/s 是物体在 3 s 这一时刻的瞬时速度
D.18 m/s 是物体从 3 s 到(3＋Δt)s 这段时间内的平均速度
解析 由瞬时速度与平均速度的关系可知选C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为
解
物
体
在
区
间
0，π4
上
的
平
均
速
度
为
v
1
＝
st2－st1 t2－t1
＝
sπ4－s0 4π－0
＝
22π－0＝2 π 2. 4
物体在区间π4，π2上的平均速度为
v
2＝sπ2π2－－sπ4π4＝1－π4
2 2 ＝4－π2
2 .
(2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义.
解 由(1)可知 v 1－ v 2＝4 2π－4>0，所以 v 2< v 1. 作出函数 s(t)＝sin t 在0，π2上的图象，如图所示，可以发现，
例2 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数 s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度.
解 ∵ΔΔst＝s1＋ΔΔtt－s1
＝1＋Δt2＋1＋ΔΔtt＋1－12＋1＋1＝3＋Δt，
∴lim Δt→0
ΔΔst＝Δlit→m0(3＋Δt)＝3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
A.－1
√B.－12
C.－2
D.2
解析 v ＝s22－－1s1＝12－1＝－12.
二、瞬时速度
问题2 我们也发现了高速路上区间测速的弊端，因为如果某人发现超 速了，他只需踩下刹车，让车辆低速行驶一段时间即可，你认为，我 们应该如何改进高速路上的区间测速问题？ 提示 由 v ＝ft2t2－－tf1t1可知，我们可以减小路程区间的长度，在最小路 程下，看所用的时间，或者在较少的相同时间内，看汽车所经过的路程， 这样似乎都不可避免违法行为的产生，于是，我们有了一个大胆的想法， 如果我们能测量汽车的瞬时速度就好了. 我们把函数值的增量f(t2)－f(t1)记为Δy，即Δy＝f(t2)－f(t1)，自变量的增 量t2－t1记为Δt，即Δt＝t2－t1，
5-1-1变化率问题 课件【共33张PPT】
解：∵在 t＝2 s 时，瞬时速度为
v＝ lim
Δt→0
s2＋Δt－s2 Δt
＝ lim
Δt→0
a2＋Δt2－3－a×22－3 Δt
＝ lim
Δt→0
4aΔt＋ΔtaΔt2＝Δlit→m0
(4a＋aΔt)＝4a(m/s)
，
∴4a＝16，解得 a＝4.
类型二
抛物线的切线的斜率
[例 2] 求曲线 f(x)＝x2＋3x＋1 在点 P(1，f(1))处的切线的斜率，以及切线方程. [思路分析] 首先计算出切线的斜率，然后根据点斜式列方程，代入运算即可．
Δt→0
st＋Δt－st Δt
＝ lim
Δt→0
2＋34＋Δt－32－2－34－32 Δt
＝ lim
Δt→0
3ΔtΔ2＋t 6Δt＝Δlit→m0
(3Δt＋6)＝6.
∴物体在 t＝2 和 t＝4 时瞬时速度分别为 12 和 6.
[解] 因为 f(1)＝12＋3×1＋1＝5，所以点 P 的坐标为(1,5)．
因为点 P(1,5)在曲线上，所以切线的斜率为
k＝ lim
Δx→0
f1＋Δt－f1 Δt
＝ lim
Δx→0
1＋Δt2＋31＋Δt＋1－12＋3×1＋1 Δt
＝ lim
Δx→0
Δt2＋Δt5Δt＝Δlxi→ m0
(Δt＋5)＝5.
[变式训练 2] 求函数 f(x)＝x2－2x＋1 在 x＝4 处切线的斜率．
解：因为 f(x)＝x2－2x＋1，
故曲线在 x＝4 处切线的斜率为 lim
Δx→0
f4＋Δx－f4 Δx
＝ lim
Δx→0
4＋Δx2－24＋Δx＋1－42－2×4＋1 Δx
5.1.1 变化率问题课件ppt
无限趋近于常数 v,即 t0 时刻
Δ
的瞬时速度.
探究二
求解曲线在某点处的割线、切线斜率
例3设函数f(x)=x(x-6),则此函数图象在x=0处的切线斜率为(
A.0
B.-1 C.3
D.-6
答案 D
解析
(0+Δ)-(0)
Δ
则切线斜率
=
(Δ)2 -6Δ-0
=Δx-6,
Δ
f(0+x)-f(0)
分析利用定义及立方和公式化简求解.
解析 由题意知,斜率
f(1+x)-f(1)
k= lim
=
x
Δ→0
x→0
1
= lim (1+Δx+3Δx2)=1.
Δ→0
答案 B
1
1
(1+Δ)3 -2-( ×1-2)
3
3
Δ
方法点睛涉及解析式中含xα(α∈N且α≥2)的函数图象在某点处的切线斜
率问题的常见的公式
n 0
近于切线 P0T 的斜率 k0,即
Pn 沿着曲线无限接近点 P0 时,kn 无限趋
f(x 0 +x)-f(x 0 )
k0=
(Δx=xn-x0).
x
x→0
微练习
x
过曲线 f(x)=1-x 上一点(2,-2)及邻近一点(2+Δx,-2+Δy)作割线,则当
x
割线的斜率为
;曲线 f(x)= 在点(2,-2)处的切线斜率为
1-x
2
答案
1
3
解析 割线的斜率
f(2+x)-f(2)
x
x→0
f(2+x)-f(2)
Δ
的瞬时速度.
探究二
求解曲线在某点处的割线、切线斜率
例3设函数f(x)=x(x-6),则此函数图象在x=0处的切线斜率为(
A.0
B.-1 C.3
D.-6
答案 D
解析
(0+Δ)-(0)
Δ
则切线斜率
=
(Δ)2 -6Δ-0
=Δx-6,
Δ
f(0+x)-f(0)
分析利用定义及立方和公式化简求解.
解析 由题意知,斜率
f(1+x)-f(1)
k= lim
=
x
Δ→0
x→0
1
= lim (1+Δx+3Δx2)=1.
Δ→0
答案 B
1
1
(1+Δ)3 -2-( ×1-2)
3
3
Δ
方法点睛涉及解析式中含xα(α∈N且α≥2)的函数图象在某点处的切线斜
率问题的常见的公式
n 0
近于切线 P0T 的斜率 k0,即
Pn 沿着曲线无限接近点 P0 时,kn 无限趋
f(x 0 +x)-f(x 0 )
k0=
(Δx=xn-x0).
x
x→0
微练习
x
过曲线 f(x)=1-x 上一点(2,-2)及邻近一点(2+Δx,-2+Δy)作割线,则当
x
割线的斜率为
;曲线 f(x)= 在点(2,-2)处的切线斜率为
1-x
2
答案
1
3
解析 割线的斜率
f(2+x)-f(2)
x
x→0
f(2+x)-f(2)
5.1.1变化率问题课件(人教版)
2 1
h(t ) h(t1 )
在t1 t t 2这段时间里, v 2
4.9(t1 t 2 ) 4.8(m / s )
t 2 t1
48
思考3：计算运动员在0≤t≤ 秒内的平均速度？你发现了什么？
49
48
运动员在这段时间里并
h
(
)
h
(
0
)
48
在0 t 49
这段时间里, v 4948
选修第二册
《第五章 一元函数的导数及其应用》
5.1 导数的概念及其意义
本章介绍
为描述现实世界中的运动、变化规律，在数学中引入了函数；
在对函数的深入研究中，数学家创建了微积分(微分学和积分学)。
微积分的创建主要与四类问题的处理相关:
已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；
0(m / s ) 不处于静止状态.
49 1
即用平均速度不能准确地描述运动员在某一时间段里的运动状态.
瞬时速度
问题1.高台跳水运动员的速度
思考4：瞬时速度与平均速度有什么联系与区分？
你能否利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度？
瞬时速度是某一时刻的速度；
平均速度是某一时间段内的速度.
设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是ഥ
h(1 t ) h(1)
lim
lim (4.9t 5) 5
t 0
t 0
(1 t ) 1
t 0时, 在[1,1 t ]内 :
h(1 t ) h(1)
v
4.9t 5
(1 t ) 1
问题1.高台跳水运动员的速度
h(t ) h(t1 )
在t1 t t 2这段时间里, v 2
4.9(t1 t 2 ) 4.8(m / s )
t 2 t1
48
思考3：计算运动员在0≤t≤ 秒内的平均速度？你发现了什么？
49
48
运动员在这段时间里并
h
(
)
h
(
0
)
48
在0 t 49
这段时间里, v 4948
选修第二册
《第五章 一元函数的导数及其应用》
5.1 导数的概念及其意义
本章介绍
为描述现实世界中的运动、变化规律，在数学中引入了函数；
在对函数的深入研究中，数学家创建了微积分(微分学和积分学)。
微积分的创建主要与四类问题的处理相关:
已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；
0(m / s ) 不处于静止状态.
49 1
即用平均速度不能准确地描述运动员在某一时间段里的运动状态.
瞬时速度
问题1.高台跳水运动员的速度
思考4：瞬时速度与平均速度有什么联系与区分？
你能否利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度？
瞬时速度是某一时刻的速度；
平均速度是某一时间段内的速度.
设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是ഥ
h(1 t ) h(1)
lim
lim (4.9t 5) 5
t 0
t 0
(1 t ) 1
t 0时, 在[1,1 t ]内 :
h(1 t ) h(1)
v
4.9t 5
(1 t ) 1
问题1.高台跳水运动员的速度
一元二次方程变化率问题-课件
二次增长后的值为
a •(1 x)n
依次类推n次增长后的值为
设基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为 a •(1 x) 二次降低后的值为 a •( 1 x )2
依次类推n次降低后的值为 a •( 1 x )n
小结归纳
这节课你有哪些收获？
列方程解应用题的一般步骤
关于两次平均增长(降低)率问题的一 般关系:
学习目标
第一次 a
分析
ax
：
第二次 a+ax=
a（1+x）
a（1+x）x
第三次 a(1+x)+ a(1+x) x
=a（1+x）2
50(1+x)2=72
1 x2 .2
但x 2.2不合题意，舍去
x 0.2 20%
答：二月、三月平均每月的增长率是20%
解：设原价为1个单位，每次降价的百分 率为 x.根据题意，得
27（1-x）2=9 解这个方程，得
x1≈0.42, x2≈1.58(不合题意，舍去) 答：两次降价的平均降价率为42%.
变化率规律小结
（1）增长率问题
设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后
的值为
a •(1 x)
a •(1 x)2
a(1±x)2=A(其中a表示基数,x表表示 增长(或降低)率,A表示新数)
布置作业
a •(1 x)n
依次类推n次增长后的值为
设基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为 a •(1 x) 二次降低后的值为 a •( 1 x )2
依次类推n次降低后的值为 a •( 1 x )n
小结归纳
这节课你有哪些收获？
列方程解应用题的一般步骤
关于两次平均增长(降低)率问题的一 般关系:
学习目标
第一次 a
分析
ax
：
第二次 a+ax=
a（1+x）
a（1+x）x
第三次 a(1+x)+ a(1+x) x
=a（1+x）2
50(1+x)2=72
1 x2 .2
但x 2.2不合题意，舍去
x 0.2 20%
答：二月、三月平均每月的增长率是20%
解：设原价为1个单位，每次降价的百分 率为 x.根据题意，得
27（1-x）2=9 解这个方程，得
x1≈0.42, x2≈1.58(不合题意，舍去) 答：两次降价的平均降价率为42%.
变化率规律小结
（1）增长率问题
设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后
的值为
a •(1 x)
a •(1 x)2
a(1±x)2=A(其中a表示基数,x表表示 增长(或降低)率,A表示新数)
布置作业
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并思考下面的问题:
49
h(65) h(0) 10 v h 0
49
t
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态.
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f ( x1) 表示 x2 x1
h(t)4.9t26.5t10 v
如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运 动状态, 那么:
在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, vh(0.5)h(0)4.0(5 m)/;s
0.50
在1≤ t ≤2这段时间里, vh(2)h(1)8.2(m)/;s
21
探 究:
计算运动员在 0 t 65 这段时间里的平均速度,
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2
同样Δf=Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
理解：
1，式子中△x 、△ f 的值可正、可负，但△x
(单位:dm)之间的函数关系是
V (r) 4 r3
3
在改变？变 量的变化情
如果将半径r表示为体积V的函数, 况？
那么 r (V ) 3 3V 4
我们来分析一下:
r (V ) 3 3V 4
当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1 )r(0 )0 .6 2 (d m ) 气球的平均膨胀率为 r(1)r(0)0.62(dm/L)
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面
的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：
秒）存在函数关系
h
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时
间段内的平均速度粗略
地描述其运动状态?
o
t
请计算 0 t 0 .5 和 1 t 2 时 的 平 均 速 度 v :
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
h
o
t
在 0t0.5这 段 时 间 里 ， vh(0.5)h(0)4.05(m/s) 0.50
在 1t2这 段 时 间 里 ， vh(2)h(1)8.2(m/s) 21
探究:
计算运动员在 0 t 6 5 这段时间里的平均速度,
小结：
1.函数的平均变化率
f (x) x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
2.求函数的平均变化率的步骤:
((12))求计函算数平的均增变量化Δ率f=Δyf=f(x2)f-(f(xx21)); f ( x1)
x
x2 x1
3.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，是一种粗略
值不能为0， △ f 的值可以为0 2，若函数f (x)为常函数时， △ f =0 3, 变式
f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)
x2x1
x
思考?
观察函数f(x)的图象
平均变化率y f(x2) f (x1)
x
x2 x1
y
表示什么?
f(x2) f(x2)-f(x1)=△y
练习
3.质点运动规律s=t2+3,则在时间(3,3+t
B. 6+t+ 9 t
C.3+t
D.9+t
4.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直 线运动,求在4s附近的平均变化率.
253t
练习：
5.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当 Δx=0.1时割线的斜率.
10
当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2 )r(1 )0 .1 6 (d m ) 气球的平均膨胀率为 r(2)r(1)0.16(dm/L)
21
随着气球体积逐渐
显然 0.62>0.16
变大,它的平均膨胀率逐
渐变小
思考?
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均 膨胀率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
变化率与导数
变化率问题
导数研究的问题 变化率问题 研究某个变量相对于另一个变量变化 的快慢程度．
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的
过程,可以发现,随着气球内空气容量的增
加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,
如何描述这种现象呢?
思考:这一现象
气球的体积V(单位:L)与半径r
中，哪些量
3V .
随着
4 气球体积
当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了
r(1)r(0)0.6(d 2)m ,
逐渐变大,
气球的平均膨胀率为 r(11) 0r(0)0.6(2dm)/,L它 膨的 胀平 率均 逐
当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了
渐变小
r(2)r(1 )0.1(d 6)m ,
气球的平均膨胀率为 r(2)r(1)0.16(dm)/,L 21
思考?
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均 膨胀率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
问题2 高台跳水 在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单
位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
的刻画 --------导数
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的
增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何
描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是
V(r) 4 r3.
3
3
若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么 r (V)
Y=f(x) B
直线AB 的斜率
f(x1) O
A
x2-x1=△xx
x1
x2
练习
1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点 A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则
Δy/Δx=( D)
A 、3
B、 3Δx-(Δx)2
C、 3-(Δx)2 D 、3-Δx
2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx
并思考下面的问题:
49
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?