一轮复习通用版 5.3平面向量的数量积及应用举例 课件
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第五章 平面向量、复数
(2) 如图，以等边三角形 ABC 的底边 BC 所 在直线为 x 轴，以 BC 的垂直平分线为 y 轴 建立平面直角坐标系，则 A(0， 3)，B(－1， 0)，C(1，0)，设 P(x，y)，则P→A＝(－x， 3－ y)，P→B＝(－1－x，－y)，P→C＝(1－x，－y)，所以P→A·(P→B＋P→C) ＝(－x， 3－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2(y－ 23)2－32，当 x＝0， y＝ 23时，P→A·(P→B＋P→C)取得最小值，为－32，选择 B. 【答案】 (1)C (2)B
(2017·高考浙江卷)已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，则|a
＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________.
解析：法一：(|a＋b|＋|a－b|)2＝(a＋b)2＋(a－b)2＋2|a＋b|·|a
－b|＝2a2＋2b2＋2|a＋b|·|a－b|＝10＋2|a＋b|·|a－b|，而|a＋b|·|a
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第五章 平面向量、复数
在本例(2)的条件下，若 D，E 是边 BC 的两个三等分点(D 靠 近点 B)，则A→D·A→E等于________. 解析：法一：(通性通法) 因为 D，E 是边 BC 的两个三等分点，所以 BD＝DE＝CE＝23， 在△ABD 中，AD2＝BD2＋AB2－2BD·AB·cos 60°＝232＋22 －2×23×2×12＝298，即 AD＝237，同理可得 AE＝237，在 △ADE 中，由余弦定理得 cos∠DAE＝AD22＋ADA·E2A－EDE2＝
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第五章 平面向量、复数
角度二 求向量的模
(2018·高考浙江卷)已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位
向量.若非零向量 a 与 e 的夹角为π3，向量 b 满足 b2－4e·b＋3 ＝0，则|a－b|的最小值是( )
A． 3－1
B． 3＋1
C．2
D．2－ 3
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第五章 平面向量、复数
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第五章 平面向量、复数
①2＋②2 得 4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1＋m2 对一切实数 α，β 恒成立，所以 4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1， 故 a·b＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤ 12. 答案：12
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第五章 平面向量、复数
4.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
结论
几何表示
坐标表示
模 |a|＝___a_·a_____
夹角
a·b
cos θ＝__|a_|_|b_|__
a⊥b 的充 要条件
_a__·b_＝__0__
|a|＝____x_21＋___y_21 ________
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第五章 平面向量、复数
平面向量的夹角与模 (高频考点) 平面向量的夹角与模是高考的热点，题型多为选择题、填空题， 难度适中，属中档题.主要命题角度有： (1)求两向量的夹角； (2)求向量的模； (3)两向量垂直问题； (4)求参数值或范围.
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第五章 平面向量、复数
角度一 求两向量的夹角
D－13，0，E13，0，所以A→D＝－13，－
3，A→E＝13，－
3，
所以A→D·A→E＝－13，－ 3·13，－ 3＝296.
答案：296
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第五章 平面向量、复数
(1)向量数量积的两种运算方法 ①当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉. ②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2. (2)数量积在平面几何中的应用 解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，常利用解析 法，巧妙构造坐标系，利用坐标求解.
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第五章 平面向量、复数
1.(2019·杭州中学高三月考)若 A，B，C 三点不共线，|A→B|＝2，
|C→A|＝3|C→B|，则C→A·C→B的取值范围是( )
A．13，3
B．－13，3
C．34，3
D．－34，3
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第五章 平面向量、复数
解析：选 D.设|C→B|＝x，则|C→A|＝3|C→B|＝3x，
－b|≥|(a＋b)·(a－b)|＝|a2－b2|＝3，所以(|a＋b|＋|a－b|)2≥16，
即 |a ＋ b| ＋ |a － b|≥4 ， 即 |a ＋ b| ＋ |a － b| 的 最 小 值 为 4. 又
|a＋b|＋2 |a－b|≤
（a＋b）2＋2 （a－b）2＝ a2＋b2＝ 5，所
以|a＋b|＋|a－b|的最大值为 2 5.
平面向量数量积的运算 (1)(2017·高考浙江卷) 如图，已知平面四边形 ABCD， AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC 与 BD 交于点 O.记 I1＝O→A·O→B，I2＝O→B·O→C，I3＝O→C·O→D，则( ) A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3 ＜ I1＜I2 D．I2＜I1＜I3
(2019·温州市高考模拟)已知向量 a，b 满足|b|＝4，a 在 b 方向上的投影是12，则 a·b＝________. 解析：a 在 b 方向上的投影是12，设 θ 为 a 与 b 的夹角，则 |a|·cos θ＝12，a·b＝|a|·|b|·cos θ＝2. 答案：2
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第五章 平面向量、复数
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第五章 平面向量、复数
2.已知向量 a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量 e，均有|a·e| ＋|b·e|≤ 6，则 a·b 的最大值是________. 解析：由题意，令 e＝(1，0)，a＝(cos α，sin α)，b＝(2cos β， 2sin β)，则由|a·e|＋|b·e|≤ 6，可得|cos α|＋2|cos β|≤ 6.①令 sin α＋2sin β＝m，②
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第五章 平面向量、复数
在边长为 1 的等边△ABC 中，设B→C＝a，C→A＝b，A→B＝c，
则 a·b＋b·c＋c·a＝( )
A．－32 C．32
B．0 D．3
解析：选 A.依题意有 a·b＋b·c＋c·a＝－12＋－12＋－12＝－32， 故选 A.
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第五章 平面向量、复数
第五章 平面向量、复数
第3讲 平面向量的数量积及应用举例
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第五章 平面向量、复数
1.向量的夹角
定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零 向量 a 和 b， 作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A__O_B_ 就是 a 与 b 的 夹角
若 θ＝0°，则
设θ是a与b的 夹角，则 θ 的取 值范围是 __0_°__≤__θ_≤__1_8_0_°_
由于 A，B，C 三点不共线，能构成三角形，如图： 由三角形三边的性质得，x3＋x＋3x2>>2x，
x＋2>3x
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第五章 平面向量、复数
解得12<x<1， 由余弦定理的推论得，cos C＝AC22＋ACB·C2B－CAB2＝x2＋69xx22－4＝ 10x62x－2 4， 所以C→A·C→B＝|C→A||C→B|cos C ＝3x2×106xx2－2 4＝5x2－2， 由12<x<1 得，－34<5x2－2<3， 故选 D.
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第五章 平面向量、复数
(2)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，
P 为平面 ABC 内一点，则P→A·(P→B＋P→C)的最小值是( )
A．－2
B．－32
C．－43
D．－1
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第五章 平面向量、复数
【解析】 (1) 如图所示，四边形 ABCE 是正 方形，F 为正方形的对角线的交点，易得 AO<AF， 而 ∠AFB＝ 90° ， 所 以 ∠AOB 与 ∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角.根据 题意，I1－I2＝O→A·O→B－O→B·O→C＝O→B·(O→A－O→C) ＝O→B·C→A＝|O→B|·|C→A|·cos∠AOB<0，所以 I1<I2，同理得，I2>I3， 作 AG⊥BD 于 G，又 AB＝AD，所以 OB<BG＝GD<OD，而 OA<AF＝FC<OC，所以|O→A|·|O→B|<|O→C|·|O→D|，而 cos∠AOB＝ cos∠COD<0，所以O→A·O→B>O→C·O→D，即 I1>I3.所以 I3<I1<I2.
x1x2＋y1y2 cos θ＝___x_21_＋__y_12__x_22_＋__y_22____
__x_1_x_2_＋__y_1y_2_＝__0_
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第五章 平面向量、复数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( √ ) (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的 运算结果是向量.( √ ) (3)由 a·b＝0 可得 a＝0 或 b＝0.( × ) (4)(a·b)c＝a(b·c).( × ) (5)两个向量的夹角的范围是0，π2.( × ) (6)若 a·b>0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b<0，则 a 和 b 的 夹角为钝角.( × )
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第五章 平面向量、复数
法二：由向量三角不等式得，|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)－(a－b)|
＝
|2b|
＝
4.
又
|a＋b|＋|a－b| 2
≤
（a＋b）2＋（a－b）2 2
＝
a2＋b2＝ 5，所以|a＋b|＋|a－b|的最大值为 2 5.
答案：4 2 5
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第五章 平面向量、复数
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第五章 平面向量、复数
298＋298－232 ＝ 2×2 3 7×2 3 7
13 14
，
所以
A→D·A→E＝
|A→D
|·|A→E
|cos∠
DAE＝2
3
7
×2 3 7×1134＝296.
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第五章 平面向量、复数
法二：(光速解法)
如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得 A(0， 3)，
【解析】 法一：设 O 为坐标原点，a＝O→A，b＝O→B＝(x，y)， e＝(1，0)，由 b2－4e·b＋3＝0 得 x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2 ＋y2＝1，所以点 B 的轨迹是以 C(2，0)为圆心，1 为半径的圆. 因为 a 与 e 的夹角为π3，所以不妨令点 A 在射线 y＝ 3x(x>0) 上，如图，数形结合可知|a－b|min＝|C→A|－|C→B|＝ 3－1.故选 A.
(2019·绍兴一中高三期中)若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向
量 a＋b 与 a 的夹角为( )
A．π6 C．23π
B．π3 D．56π
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第五章 平面向量、复数
【解析】 因为|a＋b|＝|a－b|＝2|a|， 所以|a＋b|2＝|a－b|2，两边平方 可得 a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2， 化简可得 a·b＝0， 设向量 a＋b 与 a 的夹角为 θ， 则可得 cos θ＝（|aa＋＋bb|）|a|·a＝|aa2＋＋ba||·ab| ＝2|a|a|2|2＝12，又 θ∈[0，π]，故 θ＝π3. 【答案】 B
a 与 b_同__向__； 若 θ＝180°， 则a与 b_反__向__；若 θ ＝90°，则 a
与 b_垂__直__
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第五章 平面向量、复数
2.平面向量的数量积 设两个非零向量 a，b 的夹角为 θ，则数量
定义 _|a_|_|b_|_·c_o_s__θ___________叫做 a 与 b 的数量积， 记作 a·b _|a_|_c_o_s_θ_______叫做向量 a 在 b 方向上的投影，
投影 _|b_|_c_o_s_θ_______叫做向量 b 在 a 方向上的投影
几何意 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上 义 的投影_|_b_|c_o_s_θ_______的乘积
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第五章 平面向量、复数
3.向量数量积的运算律 (1)a·b＝_b_·_a__； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝_a_·_(λ_b_)_____； (3)(a＋b)·c＝_a_·_c_＋__b_·c____.
已知向量B→A＝12， 23，B→C＝ 23，12，则∠ABC＝(
)
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
解析：选 A.由两向量的夹角公式，可得 cos
∠ABC＝
B→A·B→C →→
|BA|·|BC|
＝12× 213×＋123×12＝ 23，则∠ABC＝30°.
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第五章 平面向量、复数
第五章 平面向量、复数
(2) 如图，以等边三角形 ABC 的底边 BC 所 在直线为 x 轴，以 BC 的垂直平分线为 y 轴 建立平面直角坐标系，则 A(0， 3)，B(－1， 0)，C(1，0)，设 P(x，y)，则P→A＝(－x， 3－ y)，P→B＝(－1－x，－y)，P→C＝(1－x，－y)，所以P→A·(P→B＋P→C) ＝(－x， 3－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2(y－ 23)2－32，当 x＝0， y＝ 23时，P→A·(P→B＋P→C)取得最小值，为－32，选择 B. 【答案】 (1)C (2)B
(2017·高考浙江卷)已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，则|a
＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________.
解析：法一：(|a＋b|＋|a－b|)2＝(a＋b)2＋(a－b)2＋2|a＋b|·|a
－b|＝2a2＋2b2＋2|a＋b|·|a－b|＝10＋2|a＋b|·|a－b|，而|a＋b|·|a
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第五章 平面向量、复数
在本例(2)的条件下，若 D，E 是边 BC 的两个三等分点(D 靠 近点 B)，则A→D·A→E等于________. 解析：法一：(通性通法) 因为 D，E 是边 BC 的两个三等分点，所以 BD＝DE＝CE＝23， 在△ABD 中，AD2＝BD2＋AB2－2BD·AB·cos 60°＝232＋22 －2×23×2×12＝298，即 AD＝237，同理可得 AE＝237，在 △ADE 中，由余弦定理得 cos∠DAE＝AD22＋ADA·E2A－EDE2＝
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第五章 平面向量、复数
角度二 求向量的模
(2018·高考浙江卷)已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位
向量.若非零向量 a 与 e 的夹角为π3，向量 b 满足 b2－4e·b＋3 ＝0，则|a－b|的最小值是( )
A． 3－1
B． 3＋1
C．2
D．2－ 3
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第五章 平面向量、复数
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第五章 平面向量、复数
①2＋②2 得 4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1＋m2 对一切实数 α，β 恒成立，所以 4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1， 故 a·b＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤ 12. 答案：12
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第五章 平面向量、复数
4.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
结论
几何表示
坐标表示
模 |a|＝___a_·a_____
夹角
a·b
cos θ＝__|a_|_|b_|__
a⊥b 的充 要条件
_a__·b_＝__0__
|a|＝____x_21＋___y_21 ________
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第五章 平面向量、复数
平面向量的夹角与模 (高频考点) 平面向量的夹角与模是高考的热点，题型多为选择题、填空题， 难度适中，属中档题.主要命题角度有： (1)求两向量的夹角； (2)求向量的模； (3)两向量垂直问题； (4)求参数值或范围.
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第五章 平面向量、复数
角度一 求两向量的夹角
D－13，0，E13，0，所以A→D＝－13，－
3，A→E＝13，－
3，
所以A→D·A→E＝－13，－ 3·13，－ 3＝296.
答案：296
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第五章 平面向量、复数
(1)向量数量积的两种运算方法 ①当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉. ②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2. (2)数量积在平面几何中的应用 解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，常利用解析 法，巧妙构造坐标系，利用坐标求解.
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第五章 平面向量、复数
1.(2019·杭州中学高三月考)若 A，B，C 三点不共线，|A→B|＝2，
|C→A|＝3|C→B|，则C→A·C→B的取值范围是( )
A．13，3
B．－13，3
C．34，3
D．－34，3
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第五章 平面向量、复数
解析：选 D.设|C→B|＝x，则|C→A|＝3|C→B|＝3x，
－b|≥|(a＋b)·(a－b)|＝|a2－b2|＝3，所以(|a＋b|＋|a－b|)2≥16，
即 |a ＋ b| ＋ |a － b|≥4 ， 即 |a ＋ b| ＋ |a － b| 的 最 小 值 为 4. 又
|a＋b|＋2 |a－b|≤
（a＋b）2＋2 （a－b）2＝ a2＋b2＝ 5，所
以|a＋b|＋|a－b|的最大值为 2 5.
平面向量数量积的运算 (1)(2017·高考浙江卷) 如图，已知平面四边形 ABCD， AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC 与 BD 交于点 O.记 I1＝O→A·O→B，I2＝O→B·O→C，I3＝O→C·O→D，则( ) A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3 ＜ I1＜I2 D．I2＜I1＜I3
(2019·温州市高考模拟)已知向量 a，b 满足|b|＝4，a 在 b 方向上的投影是12，则 a·b＝________. 解析：a 在 b 方向上的投影是12，设 θ 为 a 与 b 的夹角，则 |a|·cos θ＝12，a·b＝|a|·|b|·cos θ＝2. 答案：2
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第五章 平面向量、复数
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第五章 平面向量、复数
2.已知向量 a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量 e，均有|a·e| ＋|b·e|≤ 6，则 a·b 的最大值是________. 解析：由题意，令 e＝(1，0)，a＝(cos α，sin α)，b＝(2cos β， 2sin β)，则由|a·e|＋|b·e|≤ 6，可得|cos α|＋2|cos β|≤ 6.①令 sin α＋2sin β＝m，②
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第五章 平面向量、复数
在边长为 1 的等边△ABC 中，设B→C＝a，C→A＝b，A→B＝c，
则 a·b＋b·c＋c·a＝( )
A．－32 C．32
B．0 D．3
解析：选 A.依题意有 a·b＋b·c＋c·a＝－12＋－12＋－12＝－32， 故选 A.
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第五章 平面向量、复数
1.向量的夹角
定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零 向量 a 和 b， 作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A__O_B_ 就是 a 与 b 的 夹角
若 θ＝0°，则
设θ是a与b的 夹角，则 θ 的取 值范围是 __0_°__≤__θ_≤__1_8_0_°_
由于 A，B，C 三点不共线，能构成三角形，如图： 由三角形三边的性质得，x3＋x＋3x2>>2x，
x＋2>3x
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第五章 平面向量、复数
解得12<x<1， 由余弦定理的推论得，cos C＝AC22＋ACB·C2B－CAB2＝x2＋69xx22－4＝ 10x62x－2 4， 所以C→A·C→B＝|C→A||C→B|cos C ＝3x2×106xx2－2 4＝5x2－2， 由12<x<1 得，－34<5x2－2<3， 故选 D.
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第五章 平面向量、复数
(2)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，
P 为平面 ABC 内一点，则P→A·(P→B＋P→C)的最小值是( )
A．－2
B．－32
C．－43
D．－1
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第五章 平面向量、复数
【解析】 (1) 如图所示，四边形 ABCE 是正 方形，F 为正方形的对角线的交点，易得 AO<AF， 而 ∠AFB＝ 90° ， 所 以 ∠AOB 与 ∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角.根据 题意，I1－I2＝O→A·O→B－O→B·O→C＝O→B·(O→A－O→C) ＝O→B·C→A＝|O→B|·|C→A|·cos∠AOB<0，所以 I1<I2，同理得，I2>I3， 作 AG⊥BD 于 G，又 AB＝AD，所以 OB<BG＝GD<OD，而 OA<AF＝FC<OC，所以|O→A|·|O→B|<|O→C|·|O→D|，而 cos∠AOB＝ cos∠COD<0，所以O→A·O→B>O→C·O→D，即 I1>I3.所以 I3<I1<I2.
x1x2＋y1y2 cos θ＝___x_21_＋__y_12__x_22_＋__y_22____
__x_1_x_2_＋__y_1y_2_＝__0_
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第五章 平面向量、复数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( √ ) (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的 运算结果是向量.( √ ) (3)由 a·b＝0 可得 a＝0 或 b＝0.( × ) (4)(a·b)c＝a(b·c).( × ) (5)两个向量的夹角的范围是0，π2.( × ) (6)若 a·b>0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b<0，则 a 和 b 的 夹角为钝角.( × )
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第五章 平面向量、复数
法二：由向量三角不等式得，|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)－(a－b)|
＝
|2b|
＝
4.
又
|a＋b|＋|a－b| 2
≤
（a＋b）2＋（a－b）2 2
＝
a2＋b2＝ 5，所以|a＋b|＋|a－b|的最大值为 2 5.
答案：4 2 5
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第五章 平面向量、复数
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第五章 平面向量、复数
298＋298－232 ＝ 2×2 3 7×2 3 7
13 14
，
所以
A→D·A→E＝
|A→D
|·|A→E
|cos∠
DAE＝2
3
7
×2 3 7×1134＝296.
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第五章 平面向量、复数
法二：(光速解法)
如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得 A(0， 3)，
【解析】 法一：设 O 为坐标原点，a＝O→A，b＝O→B＝(x，y)， e＝(1，0)，由 b2－4e·b＋3＝0 得 x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2 ＋y2＝1，所以点 B 的轨迹是以 C(2，0)为圆心，1 为半径的圆. 因为 a 与 e 的夹角为π3，所以不妨令点 A 在射线 y＝ 3x(x>0) 上，如图，数形结合可知|a－b|min＝|C→A|－|C→B|＝ 3－1.故选 A.
(2019·绍兴一中高三期中)若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向
量 a＋b 与 a 的夹角为( )
A．π6 C．23π
B．π3 D．56π
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第五章 平面向量、复数
【解析】 因为|a＋b|＝|a－b|＝2|a|， 所以|a＋b|2＝|a－b|2，两边平方 可得 a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2， 化简可得 a·b＝0， 设向量 a＋b 与 a 的夹角为 θ， 则可得 cos θ＝（|aa＋＋bb|）|a|·a＝|aa2＋＋ba||·ab| ＝2|a|a|2|2＝12，又 θ∈[0，π]，故 θ＝π3. 【答案】 B
a 与 b_同__向__； 若 θ＝180°， 则a与 b_反__向__；若 θ ＝90°，则 a
与 b_垂__直__
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第五章 平面向量、复数
2.平面向量的数量积 设两个非零向量 a，b 的夹角为 θ，则数量
定义 _|a_|_|b_|_·c_o_s__θ___________叫做 a 与 b 的数量积， 记作 a·b _|a_|_c_o_s_θ_______叫做向量 a 在 b 方向上的投影，
投影 _|b_|_c_o_s_θ_______叫做向量 b 在 a 方向上的投影
几何意 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上 义 的投影_|_b_|c_o_s_θ_______的乘积
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第五章 平面向量、复数
3.向量数量积的运算律 (1)a·b＝_b_·_a__； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝_a_·_(λ_b_)_____； (3)(a＋b)·c＝_a_·_c_＋__b_·c____.
已知向量B→A＝12， 23，B→C＝ 23，12，则∠ABC＝(
)
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
解析：选 A.由两向量的夹角公式，可得 cos
∠ABC＝
B→A·B→C →→
|BA|·|BC|
＝12× 213×＋123×12＝ 23，则∠ABC＝30°.
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第五章 平面向量、复数