2021-2022学年高中数学人教A版必修1作业：2.1.2 第2课时 指数函数及其性质的应用

课时分层作业(十六) 指数函数及其性质的
应用
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．三个数a ＝(－0.3)0，b ＝0.32，c ＝20.3的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c
D ．b ＜c ＜a
C [∵a ＝(－0.3)0＝1，b ＝0.32＜0.30＝1，c ＝20.3＞20＝1， ∴c ＞a ＞b .故选C.]
2．若⎝ ⎛⎭⎪⎫122a ＋1<⎝ ⎛⎭
⎪⎫123－
2a
，则实数a 的取值范围是( )
A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，＋∞ C ．(－∞，1)
D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，12 B [∵函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12.]
3．若函数f (x )＝3(2a －1)x ＋3在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，1∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1 A [由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f (x )＝3(2a －1)x ＋3的单调性与y ＝(2a －1)x ＋3的单调性相同．因为函数f (x )＝3(2a
－1)x ＋3
在R 上是减函数，所以y ＝(2a －1)x ＋
3在R 上是减函数，所以2a －1<0，即a <12，从而实数a 的取值范围是⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，12，
选A.]
4．已知函数f (x )＝3x
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
，则f (x )( )
A ．是奇函数，且在R 上是增函数
B ．是偶函数，且在R 上是增函数
C ．是奇函数，且在R 上是减函数
D ．是偶函数，且在R 上是减函数
A [因为f (x )＝3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－
x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x －3x
＝－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．
又y ＝3x
在R 上是增函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x －⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 在R
上是增函数．]
5．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( )
A ．6
B ．1
C ．3
D ．32
C [函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，故x ＝1时，y max ＝3.]
二、填空题 6．已知a ＝
5－12
，函数f (x )＝a x
，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．
m <n [∵a ＝
5－12
∈(0,1)，∴f (x )＝a x
在R 上是减函数，又f (m )>f (n )，∴m <n .] 7．若－1<x <0，a ＝2－x ，b ＝2x ，c ＝0.2x ，则a ，b ，c 的大小关系是________． b <a <c [因为－1<x <0，所以由指数函数图象和性质可得：2x <1,2－x >1，0.2x >1，又因为0.5x <0.2x ，所以b <a <c .]
8．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫121－x 2的单调递增区间为________．
[0，＋∞) [由于底数12∈(0,1)，所以函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x 2
的单调性与y ＝1－x 2
的单调性相反，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫121－x 2
的单调递增区间就是y ＝1－x 2的单调递减区间．由y
＝1－x 2的图象(图略)可知：当x ≤0时，y ＝1－x 2是增函数；当x ≥0时，y ＝1－x 2是减函数，所以函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫121－x 2
的单调递增区间为[0，＋∞)．]
三、解答题
9．求下列函数的单调区间： (1)y ＝a
－x 2＋3x ＋2
(a >1)；(2)y ＝2|x －1|.
[解] (1)设u ＝－x 2
＋3x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋174，易知u 在⎝ ⎛
⎦
⎥⎤－∞，32上是增函数，
在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
32，＋∞上是减函数， ∴a >1时，y ＝a u 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32上是增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫
32，＋∞上是减函数．
(2)当x ∈(1，＋∞)时，函数y ＝2x －1，因为t ＝x －1为增函数，y ＝2t 为增函数， ∴y ＝2x －1为增函数；
当x ∈(－∞，1)时，函数y ＝21－x . 而t ＝1－x 为减函数，y ＝2t 为增函数， ∴y ＝21－x 为减函数．
故函数y ＝2|x －
1|在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．
10．已知函数f (x )＝a －
1
2x ＋1
(x ∈R )． (1)用定义证明：不论a 为何实数，f (x )在R 上为增函数； (2)若f (x )为奇函数，求a 的值；
(3)在(2)的条件下，求f (x )在区间[1,5]上的最小值．
[解] (1)证明：∵f (x )的定义域为R ，任取x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a －1
2x 1＋1－
a ＋1
2x 2＋1＝2x 1－2x 2(2x 1＋1)(2x 2＋1)
. ∵x 1<x 2，
∴2x 1－2x 2<0，(1＋2x 1)(1＋2x 2)>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，
∴不论a 为何实数，f (x )在R 上为增函数．
(2)∵f (x )在
x ∈R 上为奇函数， ∴f (0)＝0，即a －
120＋1
＝0，解得a ＝
12. (3)由(2)知，f (x )＝12－1
2x ＋1，
由(1)知，f (x )为增函数，
∴f (x )在区间[1,5]上的最小值为f (1)． ∵f (1)＝12－13＝1
6，
∴f (x )在区间[1,5]上的最小值为1
6.
1．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1
B.⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，12 C ．[0,1]
D ．(0,1]
D [由f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在区间[1,2]上是减函数得a ≤1；由g (x )＝(a ＋1)1－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a ＋1x －1在区间[1,2]上是减函数得0＜1a ＋1＜1，因此a ＋1＞1，解得
a ＞0.因此a 的取值范围是(0,1]，故选D.]
2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧
3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )
A ．1 B.78 C.34 D.1
2
D [f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×56－b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b .当52－b <1，即b >32时，3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍去)．当52－b ≥1，即b ≤32时，252
－b ＝4＝22
，解得b ＝12.]
3．已知函数f (x )＝m ·2x －1
2x ＋1为奇函数，则m 的值等于________.
1 [由题意可知，f (0)＝m ·20－120＋1
＝m －1
2＝0，
∴m ＝1.]
4．已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ [∵a 2＋a ＋2＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫a ＋122＋74>1， ∴y ＝(a 2＋a ＋2)x 为R 上的增函数， ∴x >1－x ，即x >12.]
5．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3
.
(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间； (2)如果函数f (x )有最大值3，求实数a 的值． [解] (1)当a ＝－1时， f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－x 2－4x ＋3，
令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7， 由于g (x )在(－2，＋∞)上递减， y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x
在R 上是减函数， ∴f (x )在(－2，＋∞)上是增函数， 即f (x )的单调增区间是(－2，＋∞)．
(2)令h (x )＝ax 2
－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13h (x )
，由于f (x )有最大值3，
所以h (x )应有最小值－1. 因此必有⎩⎪⎨⎪
⎧
a >0，12a －16
4a
＝－1，解得a ＝1，
即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.。