幂的运算方法总结.doc

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幂的运算知识点总结

1、幕的乘方
2、积的乘方底数不变，指数相乘。

逆运算：a
mn
n
(a m)
即（a m
）n a mn（m, n是正
把每一个因式分别乘方,再把所得的幕相乘。

即（abj a n b n（n是正整数）逆运算；
n
(ab)
同底数幕的除法同底数幕相除，底数不
零指数幕的意义：规定
负整指数幕的意义：规
变，指数相减。

即a m a n a m-n（a 0,m, n是正整数,m a01（a 0）。

即
任何不等于0的数的零次幕都等于1
定a"—n（a 0,a是正整数）
a
n) 第八章幂的运算知识点总结
知识点一：同底数幕相乘
法则：底数不变，指数相加。

即a m a n a m n（m，n是正整数）
逆运算：a m n a m a n
同底数幕的乘法
a a a
正数的任何次幕都是正数；负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数知识点二：幕的乘方与积的乘方
知识点三：同底数幕的除法
5 、,
696000 6.96 （10的几次方原数字个数-1）
科学记数法0.0000502 5.02 1。

-5（10的负几次方第一个非0数字前0的个数）
9
1nm m
(1) a m a n a m n(m,n是正整数)
(2) (a m)n a mn(m,n是正整数)
⑶(ab)n a n b n(n是正整数)
(4)a^ a a^ "(a 0, m, n是正整数,m n)。

幂的运算知识点总结

幂的运算知识点总结教育目标：使同学了解和体会"非常——一般——非常"的认知规律，体验和学习讨论问题的方法。

培育同学的思维严谨性，做到步步有据，正确娴熟，养成良好的学习习惯。

教学重点：了解同底数幂的乘法的性质的形成过程,会利用同底数幂的乘法的性质进行计算。

教学难点：了解同底数幂的乘法的性质的形成过程,同底数幂乘法的运算性质与整式加法简单混淆。

解决关键：在教学中强调每一性格质得来的依据不同，要引导同学在理解的`基础上练习，培育同学的思维严谨。

教学法：观测法，争论法，启发式教育法教学用具：多媒体帮助教学教学过程：备注一、复习与质疑：上节课我们学习了整式的加减，下面提出以下几个问题请大家思索：(1)①a+a=?②a+a=?(2)①进行运算的依据是什么?②不能继续进行运算的缘由是什么?(3)a表示什么意思?可写成什么形式?假如将上面的"+"符号变成"×"①a×a=?①a×a=?又该怎样进行计算呢?在生活和其它领域中，我们有时也会遇到这样的问题：有一种电子计算机，每秒钟可以做10次运算，那么10秒可以做多少次运算呢?依据题意得：10×10=?要丈量一块长方形地块的长是5米，宽是5米，求长方形地块的面积?依据题意得：5×5=?今日我们就来通过学习解决这类问题。

二、导入与创设情景做一做：计算：10×10=____10×10=____2×2=___观测试说出每个运算步骤的依据，并观测条件与结论中的指数与底数各具有怎样的特点和关系。

(同学们开展争论)例如：10×10=10×10×10=102个101个10通过同学们亲自操作我们会发觉，算式的底数相同，其结果的底数仍旧是这个底数，而结果的指数那么是两个因数(幂)的指数之和。

这就是我们今日学习的同底数幂的乘法。

初一幂的运算知识点总结

初一幂的运算知识点总结幂是指一个数的n次方，其中n是一个正整数，表示把这个数连乘n次。

例如，a的n次方可以写作an，其中a是底数，n是指数。

在数学中，幂是一个非常重要的概念，广泛应用在代数、几何、数论等诸多领域。

幂的运算规则1.相同底数的幂相乘时，底数不变，指数相加。

即，am * an = am+n。

例如，2的3次方乘以2的4次方等于2的(3+4)次方，即23 * 24 = 27。

2.相同底数的幂相除时，底数不变，指数相减。

即，am / an = am-n。

例如，2的5次方除以2的3次方等于2的(5-3)次方，即25 / 23 = 22。

3.幂的乘方运算，底数不变，指数相乘。

即，(am)n = amn。

例如，(2的3次方)的4次方等于2的(3*4)次方，即(23)4 = 212。

4.如果一个幂的指数为0，则该幂等于1。

即，a0 = 1。

这是因为任何非零数的0次方都等于1。

5.如果一个幂的指数为负数，则可以取倒数，即a-n = 1 / an。

例如，2的-3次方等于1 / 23，即2-3 = 1 / 8。

6.幂的连乘：当多个幂连乘时，幂的乘积等于各个底数的幂的连乘。

即，a1 * a2 * ... * an = a1 * a2 * ... * an。

例如，2的3次方乘以2的4次方再乘以2的5次方等于2的(3+4+5)次方，即23 * 24 * 25 = 212。

幂的实际应用1.幂在几何中的应用：在几何中，幂常常用于计算面积和体积。

例如，计算正方形的面积可以用边长的2次方，计算立方体的体积可以用边长的3次方。

2.幂在物理学中的应用：在物理学中，幂常常用于计算功、能等物理量。

例如，功等于力乘以位移，因此可以用力的1次方和位移的1次方相乘。

3.幂在金融学中的应用：在金融学中，幂常常用于计算利息和复利。

例如，计算复利时，可以用本金乘以利率的n次方来计算未来的资金。

4.幂在计算机科学中的应用：在计算机科学中，幂常常用于计算算法的时间复杂度和空间复杂度。

(完整版)幂的运算方法总结

•幂的运算方法总结幂的运算的基本知识就四条性质，写作四个公式：①a m×a n=a m+n②(a m)n=a mn③(ab)m=a m b m④a m÷a n=a m-n只要理解掌握公式的形状特点，熟悉其基本要义，直接应用一般都容易，即使运用公式求其中的未知指数难度也不大。

问题1、已知a7a m=a3a10，求m的值。

思路探索：用公式1计算等号左右两边，得到等底数的同幂形式，按指数也相等的规则即可得m的值。

方法思考：只要是符合公式形式的都可套用公式化简试一试。

方法原则：可用公式套一套。

但是，渗入幂的代换时，就有点难度了。

问题2、已知x n=2,y n=3,求(x2y)3n的值。

思路探索：(x2y)3n中没有x n和y n，但运用公式3就可将(x2y)3n化成含有x n 和y n的运算。

因此可简解为，(x2y)3n =x6n y3n=(x n)6(y n)3=26×33=1728方法思考：已知幂和要求的代数式不一致，设法将代数式变形，变成已知幂的运算的形式即可代入求值。

方法原则：整体不同靠一靠。

然而，遇到求公式右边形式的代数式该怎么办呢？问题3、已知a3=2,a m=3,a n=5，求a m+2n+6的值。

思路探索：试逆用公式，变形出与已知同形的幂即可代入了。

简解：a m+2n+6=a m a2n a6=a m(a n)2(a3)2=3×25×4=300方法思考：遇到公式右边的代数式时，通常倒过来逆用公式，把代数式展开，然后代入。

方法原则：逆用公式倒一倒。

当底数是常数时，会有更多的变化，如何思考呢？问题4、已知22x+3－22x+1=48，求x的值。

思路探索：方程中未知数出现在两项的指数上，所以必须统一成一项，即用公式把它们变成同类项进行合并。

由此，可考虑逆用公式1，把其中常数的整数指数幂，化作常数作为该项的系数。

简解：22x+3－22x+1=22x×23－22x×21=8×22x－2×22x=6×22x=48 ∴22x=8 ∴2x=3∴x=1.5方法思考:冪的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数冪化成常数作为其它冪的系数，然后进行其它运算。

幂的知识点

幂的运算（基础）【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。

即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.要点二、幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a (0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()n mmn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n n abc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()nn n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：（1）234444⨯⨯；（2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【答案与解析】解：（1）原式234944++==．（2）原式34526177772222a a a a a a a +++=+-=+-=．（3）原式11211222()()()()2()n n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y +++-++-+++=+++=+++=+．【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a 的指数是1．在第（3）小题中把x y +看成一个整体．举一反三：【变式】计算：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-；（2）221()()p p p x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；（3）232(2)(2)n ⨯-⋅-（n 为正整数）．【答案】解：（1）原式532532532103(3)333333++=⋅-⋅=-⋅⋅=-=-．（2）原式22122151()p p p p p p p x x x x x +++++=⋅⋅-=-=-．（3）原式525216222(2)22n n n +++=⋅⋅-=-=-．2、已知2220x +=，求2x 的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22222x x +=⋅【答案与解析】解：由2220x +=得22220x ⋅=．∴ 25x =．【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：m n m n a a a +=⋅．类型二、幂的乘方法则3、计算：（1）2()m a ；（2）34[()]m -；（3）32()m a -．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a ，（2）题中的底数是m -，（3）题中的底数a 的指数是3m -，乘方以后的指数应是2(3)62m m -=-．【答案与解析】解：（1）2()m a 2m a =．（2）34[()]m -1212()m m =-=．（3）32()m a -2(3)62m m a a --==．【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、已知25m x =，求6155m x -的值．【答案与解析】解：∵ 25m x =，∴ 62331115()55520555m m x x -=-=⨯-=．【总结升华】（1）逆用幂的乘方法则：()()mn m n n m a a a ==．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．举一反三：【变式1】已知2a x =，3b x =．求32a b x +的值．【答案】解：32323232()()238972a b a b a b x x x x x +===⨯=⨯=g g ．【变式2】已知84=m ，85=n ，求328+m n 的值．【答案】解：因为3338(8)464===m m , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m n m n .类型三、积的乘方法则5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =；（2）333(4)64ab a b =；（3）326(3)9x x -=-．【答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：222()ab a b =．（2）对．（3）错，系数应为9，应为：326(3)9x x -=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+；(2)23(2)(2)x y y x -⋅- ．【答案与解析】解：（1）353519(2)(2)(2)(2)(2)b b b b b +++⋅+⋅+=+=+．（2）23235(2)(2)(2)[(2)](2)x y y x x y x y x y -⋅-=-⋅--=--．【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：()()(),n n n a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数 ()()()()()n n n b a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数．类型二、幂的乘方法则2、计算：（1）23[()]a b --；（2）32235()()2y y y y +-g ；（3）22412()()m m x x -+⋅；（4）3234()()x x ⋅．【答案与解析】解：（1）23[()]a b --236()()a b a b ⨯=--=--．（2）32235()()2y y y y +-⋅666662220y y y y y =+-=-=．（3）22412()()m m x x -+⋅4(22)2(1)8822106m m m m m x x x x x -+-+-=⋅=⋅=．（4）3234()()x x ⋅61218x x x =⋅=．【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．3、已知84=m ，85=n ，求328+m n 的值．【思路点拨】由于已知8,8m n 的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把328+m n 变成323288(8)(8)m n m n ⨯=⨯，再代入计算.【答案与解析】解：因为3338(8)464===m m , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m n m n .【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法.把8,8m n 当成一个整体问题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 举一反三：【变式】已知322,3m m a b ==，则()()()36322m m m m a b a b b +-⋅＝．【答案】－5；提示：原式()()()()23223232m m m m a b a b =+-⋅∵∴ 原式＝23222323+-⨯＝－5.类型三、积的乘方法则4、计算：（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅-【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.【答案与解析】解：（1）24442448(2)(1)2()16xy x y x y -=-⋅⋅⋅=-．（2）24333[()]a a b -⋅-231293636274227()()()a a b a a b a b =-⋅-=-⋅-⋅=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．举一反三：【变式】下列等式正确的个数是( )．①()3236926x y x y -=- ②()326m m a a -= ③()36933a a =④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A ；提示：只有⑤正确；()3236928x y x y -=-；()326m m a a -=-；()3618327a a =；()()5712135107103510 3.510⨯⨯⨯=⨯=⨯同底数幂的除法【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即m n m n a a a -÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即1n na a -=（a ≠0，n 是正整数）.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.m n m n a a a +=（m 、n 为整数，0a ≠）；()mm m ab a b =（m 为整数，0a ≠，0b ≠）()nm mn a a =（m 、n 为整数，0a ≠）.要点诠释：()0n a a -≠是n a 的倒数，a 可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如()1122xy xy -=（0xy ≠），()()551a b a b -+=+（0a b +≠）. 要点四、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10的数表示成10n a ⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即10n a -⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、计算：（1）83x x ÷；（2）3()a a -÷；（3）52(2)(2)xy xy ÷；（4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．(2)、(4)两小题要注意符号．【答案与解析】解：（1）83835x x x x -÷==．（2）3312()a a a a --÷=-=-．（3）5252333(2)(2)(2)(2)8xy xy xy xy x y -÷===．（4）535321111133339-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．2、计算下列各题：（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷-（3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽可能地去变偶次幂的底数，如1212(52)(25)a b b a -=-．（2）注意指数为1的多项式．如x y -的指数为1，而不是0．【答案与解析】解：（1）5514()()()()x y x y x y x y --÷-=-=-．（2）1251257(52)(25)(25)(25)(25)a b b a b a b a b a -÷-=-÷-=-（3）64626426212(310)(310)(310)(310)910-⨯÷⨯=⨯=⨯=⨯．（4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-9898(2)(2)(2)2x y x y x y x y -=-÷-=-=-．【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算．3、已知32m =，34n =，求129m n +-的值．【答案与解析】解： 121222222221222244449(3)33333(3)399(3)33(3)(3)m m m m m m m nn n n n n n ++++-======g g g ．当32m=，34n=时，原式224239464⨯==．【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3m ，3n 的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式．举一反三：【变式】已知2552m m ⨯=⨯，求m 的值．【答案】解：由2552mm⨯=⨯得1152m m --=，即11521m m --÷=，1512m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵ 底数52不等于0和1， ∴ 15522m -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即10m -=，1m =．类型二、负整数次幂的运算4、计算：（1）223-⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）23131()()a b a b ab ---÷．【答案与解析】解：（1）222119434293-⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）2313123330()()a b a b ab a b a b ab a b b -----÷===g g ．【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义．举一反三：【变式】计算：4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭．【答案】解： 4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭5、已知1327m=，1162n⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n m 的值＝________．【答案与解析】解： ∵ 331133273m -===，∴ 3m =-． ∵ 122nn -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，∴ 422n -=，4n =-．∴ 4411(3)(3)81n m -=-==-．【总结升华】先将127变形为底数为3的幂，122nn -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，然后确定m 、n 的值，最后代值求n m ．举一反三：【变式】计算：（1）1232()a b c --；（2）3232312b c b c ---⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；【答案】解：（1）原式424626b a b c a c--==．（2）原式8236981212888b b c b c b cc---=⨯==．类型三、科学记数法6、用科学记数法表示下列各数：（1）0.00001；（2）0.000000203；（3）-0.000135；（4）0.00067【答案与解析】解：（1）0.00001＝510-；（2）0.000000203＝72.0310-⨯；（3）-0.000135＝41.3510--⨯；（4）0.00067＝46.710-⨯.【总结升华】注意在10na -⨯中n 的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）．【巩固练习】一.选择题1. ()()35c c -⋅-的值是( )．A. 8c -B. ()15c -C. 15cD.8c2．2n n a a +⋅的值是( )．A. 3n a +B. ()2n n a +C. 22n a +D. 8a3．下列计算正确的是( )．A.224x x x +=B.347x x x x ⋅⋅=C. 4416a a a ⋅=D.23a a a ⋅=4．下列各题中，计算结果写成10的幂的形式，其中正确的是( ).A. 100×210＝310B. 1000×1010＝3010C. 100×310＝510D. 100×1000＝4105．下列计算正确的是( )．A.()33xy xy =B.()222455xy x y -=-C.()22439x x -=-D.()323628xy x y -=-6．若()391528m n a ba b =成立，则( )．A. m ＝6，n ＝12B. m ＝3，n ＝12C. m ＝3，n ＝5D. m ＝6，n ＝5二.填空题7. 若26,25m n ==，则2m n +＝____________． 8. 若()319xaa a ⋅=，则x ＝_______．9. 已知35n a =，那么6n a =______．10．若38m a a a ⋅=，则m ＝______；若31381x +=，则x ＝______．11. ()322⎡⎤-=⎣⎦______； ()33n ⎡⎤-=⎣⎦______； ()523-＝______．12.若n 是正整数，且210n a =，则3222()8()n n a a --＝__________.三.解答题13. 判断下列计算的正误．（1）336x x x += ( ) （2） 325()y y -=- ( )（3）2224(2)2ab a b -=- （）（4） 224()xy xy = ( )14.（1） 3843()()x x x ⋅-⋅-；（2）2333221()()3a b a b -+-；（3）3510(0.310)(0.410)-⨯-⨯⨯⨯；（4）()()3522b a a b --；（5）()()2363353a a a -+-⋅；15.（1）若3335n n x x x +⋅=，求n 的值．（2）若()3915n m a b b a b ⋅⋅=，求m 、n 的值．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D ；【解析】()()()()353588c c c c c +-⋅-=-=-=.2. 【答案】C ；【解析】2222n n n n n a a a a ++++⋅==.3. 【答案】D ；【解析】2222x x x +=；348x x x x ⋅⋅=；448a a a ⋅=.4. 【答案】C ；【解析】100×210＝410；1000×1010＝1310；100×1000＝510.5. 【答案】D ；【解析】()333xy x y =；()2224525xyx y -=；()22439xx -=.6. 【答案】C ；【解析】()333915288,39,315m n m n a ba b a b m n ====，解得m ＝3，n ＝5.二.填空题7. 【答案】30；【解析】2226530m n m n +==⨯=g .8. 【答案】6；【解析】3119,3119,6x a a x x +=+==.9. 【答案】25；【解析】()2632525n n a a ===. 10.【答案】5；1；【解析】338,38,5m m a a a a m m +⋅==+==；3143813,314,1x x x +==+==.11.【答案】64；9n -；103-；12.【答案】200；【解析】()()32322222()8()81000800200n n n n a a a a --=-=-=. 三.解答题13.【解析】解：（1）×；（2）×；（3）×；（4）×14.【解析】解：（1）3843241237()()x x x x x x x ⋅-⋅-=-⋅⋅=-；（2）233322696411()()327a b a b a b a b -+-=-+；（3）3535810(0.310)(0.410)0.30.4101010 1.210-⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯；（4）()()()()()3535822222b a a b a b a b a b --=---=--；（5）()()236331293125325272a a a a a a a -+-⋅=-⋅=-. 15.【解析】解：（1）∵3335n n x x x +⋅=∴ 4335n x x +=∴4n ＋3＝35∴n ＝8（2）m ＝4，n ＝3解：∵()3915n m a b b a b ⋅⋅= ∴ 333333915n m n m a b b a b a b +⋅⋅=⋅= ∴3n ＝9且3m ＋3＝15∴n ＝3且m ＝4。

（完整版）幂的运算总结及方法归纳.docx

（完整版）幂的运算总结及方法归纳.docx幂的运算一、知识网络归纳二、学习重难点学习本章需关注的几个问题：●在运用 a m ? a n a m n（ m 、 n 为正整数）， a m a n a m n （a 0， m 、 n 为正整数且 m ＞ n ）， (a m ) n a mn（ m 、 n 为正整数）， (ab) n a n b n（ n 为正整数）， a 01(a 0) ，a n1（ a 0 ，n为正整数）时，要特别注意各式子成a n立的条件。

◆上述各式子中的底数字母不仅仅表示一个数、一个字母，它还可以表示一个单项式，甚至还可以表示一个多项式。

换句话说，将底数看作是一个“整体”即可。

◆注意上述各式的逆向应用。

如计算0.252004 4 2005，可先逆用同底数幂的乘法法则将42005 写成42004 4 ，再逆用积的乘方法则计算0.25 200442004(0.25 4) 2004120041，由此不难得到结果为1。

◆通过对式子的变形，进一步领会转化的数学思想方法。

如同底数幂的乘法就是将乘法运算转化为指数的加法运算，同底数幂的除法就是将除法运算转化为指数的减法运算，幂的乘方就是将乘方运算转化为指数的乘法运算等。

◆在经历上述各个式子的推导过程中，进一步领悟“通过观察、猜想、验证与发现法则、规律” 这一重要的数学研究的方法，学习并体会从特殊到一般的归纳推理的数学思想方法。

一、同底数幂的乘法1、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加.公式表示为：a m a n a m n m、n为正整数2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即a m a n a p a m m p (m、 n、 p为正整数 )注意点：（1）同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数 .（2）在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算 .例题：例 1：计算列下列各题（1）a3 a4；（ 2） b b2b324；（ 3）cc c简单练习：一、选择题1.下列计算正确的是 ( )A.ａ2+ａ3=ａ5B.ａ2·ａ3=ａ5C.3m+2m=5mD.ａ2+ａ2=2ａ42.下列计算错误的是 ( )A.5 ｘ2- ｘ2=4ｘ2B.ａm+ａm=2ａmC.3m+2m=5mD. ｘ·ｘ2m-1=ｘ 2m3.下列四个算式中①ａ333②ｘ336325·ａ=2ａ+ｘ =ｘ③ｂ·ｂ·ｂ=ｂ④p2+p2+p2=3p2正确的有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.下列各题中，计算结果写成底数为10 的幂的形式，其中正确的是 ()A.100 × 102=103B.1000× 1010=103C.100 × 103=105D.100×1000=104二、填空题1.ａ4·ａ4=_______；ａ4＋ａ4=_______。

幂的运算(知识总结)

幂的四则运算（知识总结）一、同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。

用式子表示为： n m n ma a a +=⋅(m 、n 是正整数)二、同底数幂的除法运算法则:同底数幂相除,底数不变，指数相减。

用式子表示为：nm nma a a -=÷。

(0≠a 且m 、n 是正整数，m>n 。

) 补充：零次幂及负整数次幂的运算：任何一个不等于零的数的0次幂都等于1；任何不等于零的数的p -（p 是正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数。

用式子表示为：)0(10≠=a a ，ppa a 1=-（0≠a ，p 是正整数）。

三、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 用式子表示为：()nm mna a =（m 、n 都是正整数）注：把幂的乘方转化为同底数幂的乘法练习： 1、计算：①()()()()2452232222x x x x -⋅-⋅ ②()()()32212mn m a a a a -⋅-⋅补充：同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较：幂的运算指数运算种类同底数幂乘法乘法加法幂的乘方乘方乘法四、积的乘方运算法则：两底数积的乘方等于各自的乘方之积。

用式子表示为：()n n nb a b a ⋅=⋅(n 是正整数)扩展p n m p n m a a a a -+=÷⋅()np mp pn mb a b a= (m 、n 、p 是正整数)提高训练 1.填空(1) (1/10)5 ×(1/10)3 = (2) (-2 x 2 y 3) 2 = (3) (-2 x 2 ) 3 = (4) 0.5 -2 =(5) (－10)2 ×(－10)0 ×10-2 = 2.选择题(1) 下列说法错误的是. A. (a －1)0 = 1 a ≠1B. (－a )n = － a n n 是奇数C. n 是偶数 , (－ a n ) 3 = a 3nD. 若a ≠0 ,p 为正整数, 则a p =1/a -p (2) [(-x ) 3 ] 2 ·[(-x ) 2 ] 3 的结果是( )A. x -10B. - x -10C. x -12D. - x -12 (3) a m = 3 , a n = 2, 则a m-n 的值是( )A. 1.5B. 6C. 9D. 8 3.计算题(1) (-1/2 ) 2 ÷(-2) 3 ÷(-2) –2 ÷(∏-2005) 0 = = (2) (-2 a ) 3 ÷a -2 = (3) 2×2m+1÷2m =(4) 已知:4m = a , 8n = b , 求: ① 22m+3n 的值.② 24m-6n 的值.。

幂的知识点

名师总结优秀知识点幂的运算（基础）【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质a m a n a m n(其中m, n都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（ 1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（ 2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即 a m a n a p a m n p（m, n,p 都是正整数）.（ 3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。

即a m n a m a n（m, n都是正整数）.要点二、幂的乘方法则( a m )n a mn(其中m, n都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（ 1）公式的推广：((a m )n ) p a mnp(a 0，m, n, p均为正整数)（ 2）逆用公式：a mn a mna nm，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题 .要点三、积的乘方法则( ab) n a n b n(其中 n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（ 1）公式的推广：(abc)n a n b n c n(n 为正整数).（ 2）逆用公式：a n b n ab n逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计1010算更简便 . 如：121012 1.22要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时, 指数才可以相加 . 指数为 1，计算时不要遗漏 .（ 3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式( 特别是系数 ) 都要分别乘方 .（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：（1）4243 44；（2） 2a3 a4a5a22a6 a ；（3）( x y)n(x y)n 1(x y)m 1(x y)2 n 1 ( x y)m 1．【答案与解析】解：（ 1）原式423449．（ 2）原式2a3 4a522a6 12a7a72a7a7．（ 3）原式( x y) n n1 m 1( x y)2 n 1 m 1( x y) 2n m( x y)2 n m2( x y) 2n m．【总结升华】（ 2）（ 3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a的指数是1．在第（ 3）小题中把x y 看成一个整体．举一反三：【变式】计算：（1）35( 3)3( 3)2；（2）x p(x) 2 p(x) 2 p1（ p 为正整数）；（3）32(2) 2n(2) （ n 为正整数）．【答案】解：（ 1）原式35(3)33235333235 32310．（2）原式x p x2 p(x2 p 1 )x p 2 p 2 p1x5 p 1 ．（3）原式2522n(2)252 n 1262n ．名师总结优秀知识点2、已知2x 220 ，求2x的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：2x 22x 22【答案与解析】解：由 2x 220 得 2x2220 ．∴2x 5 ．【总结升华】（ 1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（ 2）同底数幂的乘法法则的逆运用：a m n a m a n．类型二、幂的乘方法则3、计算：（ 1）(a m)2；（ 2）[(m) 3 ]4；（3） (a3 m) 2．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（ 1）题中的底数是a，（ 2）题中的底数是m ，（3）题中的底数 a 的指数是3m ，乘方以后的指数应是 2(3 m) 6 2m ．【答案与解析】解：（ 1）( a m)2a2 m．（2）[(m)3 ] 4(m)12m12．（ 3）(a3 m)2a2(3m)a6 2 m ．【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆. 幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、已知x2 m5，求1 x6m 5 的值．5【答案与解析】解：∵x2m 5 ，∴ 1 x6m51 (x55【总结升华】（ 1）逆用幂的乘方法则：a 举一反三：2m)35135 ．2055mn( a m) n(a n ) m．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．【变式 1】已知x a 2 ， x b 3 ．求 x3a2b 的值．【答案】解：x3a 2b x3a x2b( x a )3( x b )223 3289 72．【变式 2】已知8m 4 ， 8n 5 ，求 83m 2 n 的值．【答案】解：因为 83m(8m )34364 ,82n(8n )25225 .所以83m 2 n83 m82 n6425 1600 .类型三、积的乘方法则5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）(ab)2ab2；（ 2）(4ab)364a3b3；（ 3）( 3x3)29x6．【答案与解析】解：（ 1）错，这是积的乘方，应为：(ab)2a2b2．（2）对．（3）错，系数应为9，应为：( 3x3)29 x6．【总结升华】（ 1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（ 2）注意系数及系数符号，对系数－ 1 不可忽略．【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：(1) (b2)3 (b 2)5(b 2) ；名师总结优秀知识点(2) ( x 2y)2(2 y x)3 ．【答案与解析】解：（ 1） (b 2)3(b 2) 5 (b 2) (b 2) 3 5 1(b 2)9 ．（ 2） ( x 2y)2 (2 y x)3 ( x 2 y)2 [ (x 2 y)3 ]( x 2 y) 5 ．【总结升华】（ 1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：( a) na n (n 为偶数 ),(a b) n(b a )n n(为偶数 )(b ．a n (n 为奇数 ),a) n ( n 为奇数 )类型二、幂的乘方法则2、计算：b)2 ]3 ；（ 1） [(a（ 2） ( y 3 )2 ( y 2 )3 2y y 5 ；（ 3） ( x 2 m 2 ) 4 (x m 1 )2 ；（ 4） (x 3 ) 2 ( x 3 )4 ．【答案与解析】解：（ 1） [( a b)2 ] 3( a b)2 3 ( a b)6 ．（2） ( y 3 )2 ( y 2 )32 y y 5y 6 y 6 2 y 62 y 6 2 y 60 ．（3） ( x 2 m 2 ) 4 (x m 1 )2 x 4(2 m 2) x 2( m 1) x 8m 8 x 2m 2x 10m 6 ．（4） ( x 3 )2 ( x 3 )4 x 6 x 12 x 18 ．【总结升华】（ 1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（ 2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式． 3、已知 8m 4 ， 8n 5 ，求 83m 2 n 的值．【思路点拨】由于已知 8m, 8n的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把入计算 .【答案与解析】解：因为 83m(8m )3 4364 ,82n(8n )2 52 25 .所以 83m 2 n 83 m 82 n 64 25 1600 . 【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法同时看到灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.举一反三：【变式】已知 a 3 m2, b2m3，则 a2 m 3b m 6a 2b 3m b m＝【答案】－ 5；提示：原式a 3 m 2b 2m 3a 3 m2b 2 m2∵∴ 原式＝ 2233 22 32 ＝－ 5.类型三、积的乘方法则4、计算：24（ 2） [ a 2 ( a 4b 3 ) 3] 3（ 1） (2 xy )83m 2 n 变成 83m 82 n (8m ) 3 (8n )2 ，再代. 把 8m , 8n 当成一个整体问题就会迎刃而解.．【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算 .【答案与解析】解：（ 1） (2 xy 2 )4(1)24 x 4 ( y 2 )4 16x 4 y 8 ．（2） [ a 2 ( a 4b 3 ) 3 ]3 (a 2 )3 ( a 12b 9 )3 a 6 ( a 36 ) b 27 a 42b 27 ．【总结升华】（ 1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（ 2）注意系数及系数符号，对系数－ 1 不可忽略．举一反三：【变式】下列等式正确的个数是( )．① 2x 2y3 36x 6 y9②a 2 m3a6 m③ 3a 633a 9④ 51057 107 35 1035⑤0.51000.5 2 10021012名师总结优秀知识点A.1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】 A；提示：只有⑤正确；2x2 y3 38x6 y9；a2 m 3a6m；3a6 327a18；51057107351012 3.51013同底数幂的除法【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a m a n a m n（ a ≠0，m、n都是正整数，并且 m n ）要点诠释：（ 1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（ 2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0 不能作除式 .（ 3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.要点二、零指数幂任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1. 即a0 1 （ a ≠0）要点诠释：底数 a 不能为0， 00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0 次方的积 . 因此常数项也叫0 次单项式 .要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的n （ n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即 a n 1（ a ≠0， n是正整数） .a n.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立a m a n a m n（ m 、 n 为整数，a0 ）；ab m a m b m（m为整数， a0 ， b 0 ）a m na mn（ m 、 n 为整数，a0 ）.要点诠释： a n a 0是 a n的倒数， a 可以是不等于0的数，也可以是不等于110 的代数式 . 例如2xy2xy（ xy 0 ），51 b 0）.a b5（ aa b要点四、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10 的数表示成a10n的形式，其中 n 是正整数， 1| a |10（ 2）利用 10 的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即 a 10 n的形式，其中 n 是正整数， 1 | a | 10.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、计算：5（ 1）x8x3；（ 2）( a)3 a ；（3） (2 xy) 5(2 xy)2；（ 4）11333．【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．( 2) 、 ( 4) 两小题要注意符号．【答案与解析】解：（ 1）x8x3x83x5．（2）( a)3a a3 1a2．（3）(2 xy)5(2 xy) 2(2 xy)52(2 xy) 38x3 y3．535321 ．（4）111133339【总结升华】（ 1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．2、计算下列各题：（ 1）( x y)5( x y)（ 2）(5a 2b)12(2b 5a)5名师总结优秀知识点（ 3） (3 106 )4 (3 106 )2 （ 4） [( x 2 y)3 ]3 [(2 y x)2 ]4【思路点拨】（ 1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽可能地去变偶次幂的底数，如 (5a 2b)12 (2b 5a)12．（ 2）注意指数为 1 的多项式．如 x y 的指数为 1，而不是 0．【答案与解析】解：（ 1） ( x y) 5( x y)( x y) 5 1 ( x y) 4 ．（2） (5a 2b)12 (2b 5a)5 (2 b 5a)12 (2 b 5a) 5 (2 b 5a)7（3） (3 106) 4 (3 106 )2(3 106) 4 2 (3 106)29 1012 ．（4） [( x 2 y) 3 ]3 [(2 y x) 2 ] 4 (x 2 y)9 ( x 2 y)8 ( x 2 y)9 8 x 2 y ．【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算． 3、已知 3m2 ， 3n 4 ，求 9m 1 2n 的值．【答案与解析】解：9m 1 2n 9m 1(32 )m 1 32m 2 32 m3232m32 (3m )2 32 ．92n(32 ) 2n 34n34n(3n )4(3n )4当 3m 2 ， 3n4 时，原式22 32 9 ．44 643m ， 3n的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式．举一反三：【变式】已知 2 5m 5 2m ，求 m 的值．【答案】5 m 1解：由 25m 5 2m 得 5m 12m 1 ，即 5m 12m 11，1，2∵底数 5不等于 0和 1，2m 1∴55 ，即 m 1 0 ， m 1 ．22类型二、负整数次幂的运算24、计算：（1）2 ；（ 2） a 2 b3 (a 1b)3( ab) 1 ．3【答案与解析】221 1 9 ；解：（ 1）3244239（2） a 2b 3 (a 1b)3 (ab) 1 a 2b 3 a 3b 3 aba 0b b ．【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义．举一反三：4【变式】计算： 2 51 2 1 2 3 2 (3.14)0 ．2【答案】1 4解： 252 1 23 2 (3.14)021 24 1 12 1 1 16 1 1 2 1 252 23 32 2 81 116 1 532817321 1 n 5、已知 3m， 16，则 m n 的值＝ ________．27 2【答案与解析】解： ∵3m11 3 3，∴ m 3 ．27331n∵2 n ， 16 24 ，∴ 2 n24 ， n 4 ．2∴m n ( 3) 4( 1 1 ．3)4 81【总结升华】先将11 n变形为底数为3 的幂，2 n ， 16 24 ，然后确定 m 、 n 的值，最后代值求 m n ．27 2举一反三：1 b 2c 3 3【变式】计算：（ 1） ( a 1b 2c 3 )2 ；（ 2） b 2 c 3；2【答案】解：（ 1）原式2 4c 6b 46 ． a b2 ca8b8（2）原式b 2 c3 8b 6 c98b 8 c12 ．12c类型三、科学记数法6、用科学记数法表示下列各数：（ 1） 0.00001 ；（ 2）0.000000203 ；（ 3）-0.000135 ；（ 4） 0.00067【答案与解析】解：（ 1） 0.00001 ＝ 10 5；（ 2） 0.000000203 ＝ 2.03 10 7 ；（ 3） -0.000135 ＝ 1.35 10 4 ；（ 4） 0.00067 ＝ 6.7 10 4 .【总结升华】注意在 a10 n中n的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）．【巩固练习】一. 选择题351.cc 的值是 ( ) ．A.c 8B.15C.c 15D. c 8c2． a na n 2的值是() ．A. a n 3B. a n n 2C. a 2 n 2D. a 83．下列计算正确的是( ) ．A. x 2x 2 x 4B.x 3 x x 4x 7C. a 4 a 4 a 16D.a a 2a 34．下列各题中，计算结果写成10 的幂的形式，其中正确的是( ).A. 100 × 102 ＝ 103B. 1000 × 1010 ＝ 1030C. 100 × 103 ＝ 105D. 100× 1000＝ 1045．下列计算正确的是 ( )．A. xy 3xy3B. 5xy225x 2 y 4C.3x22 9x4D. 2 xy2 3 8x 3 y66．若 2a m b n 38a 9b 15 成立，则 ( )．A. m ＝ 6， n ＝ 12B. m ＝ 3， n ＝12C. m＝ 3，n＝ 5D. m＝ 6，n＝5二. 填空题7.若 2m6, 2n 5 ，则2m n＝____________．8.若 a3x a a19，则 x ＝_______．9.已知a3n5，那么a6n ______．10．若a3a m a8，则 m ＝______；若33x181 ，则 x ＝______．11.23______；33______ ；3252n＝ ______ ．12. 若 n是正整数，且 a2n10 ，则 (a3n )28(a2 )2n＝ __________.三. 解答题13.判断下列计算的正误．（ 1）x3x3x6()（2）( y3)2y5( )（ 3）( 2ab2)22a 2b4（）（4）(xy 2 )2xy 4() 14. （ 1）x(x3 )8(x4 )3；（2）( 1 a2b3)3(a3b2 )2；3（3）10 ( 0.3103 ) (0.4 105) ；（ 4）b 2a 32a5；b（5）5a6 23a3 3a3；15. （ 1）若x n x3 n 3x35，求 n 的值．（ 2）若a n b m b 3a9b15，求 m 、 n 的值．【答案与解析】一. 选择题1.【答案】 D；35c 35c88.【解析】c c c2. 【答案】 C；【解析】 a n a n 2a n n 2a2n 2 .3.【答案】 D；【解析】 x2x22x2； x3 x x4x8； a4 a4a8.4.【答案】 C；【解析】 100×102＝104； 1000×1010＝1013；100× 1000＝105 .5.【答案】 D；【解析】3x3 y3； 5xy2225x2 y4； 3x224 . xy9x6.【答案】 C；【解析】2a m b n38a3 m b3 n8a9b15 ,3 m 9,3 n 15 ，解得 m ＝3， n ＝5.二. 填空题7.【答案】30；【解析】 2m n2m2n6530 .8.【答案】6；【解析】 a3x 1a19,3 x119, x 6 .9.【答案】25；【解析】 a6n a3 n 25225 .10.【答案】 5； 1；【解析】 a3 a m a3 m a8,3 m 8, m 5 ； 33x 181 34 ,3 x 1 4, x 1.11.【答案】 64；n9；310；12.【答案】 200；【解析】 ( a3 n ) 28( a2 )2n a2 n 328 a2 n1000 800 200 .名师总结优秀知识点三 . 解答题 13. 【解析】解：（ 1）×；（ 2）×；（ 3）×；（ 4）× 14. 【解析】解：（ 1） x ( x 3) 8( x 4 )3xx 24 x 12x 37 ；（2） ( 1a 2b 3 )3 ( a 3b 2 )21 a 6b 9 a 6b 4 ；327（3） 10 ( 0.3 103 ) (0.4 105) 0.3 0.4 10103 105 1.2 108 ；（4） b2a 352a 32a 52a8；2a bb b b （5）5a 623a 3 3 a 3 25a 12 27a 9 a 32a 12 .15. 【解析】解：（ 1）∵ x n x 3 n 3x 35∴x 4n 3x 35∴ 4 n ＋3＝ 35 ∴ n ＝ 8（ 2） m ＝ 4， n ＝ 3解：∵ a n b m 3a 9b 15b∴ a 3n b 3m b 3a 3nb 3 m 3 a 9b 15∴ 3 n ＝9 且 3 m ＋ 3＝15 ∴ n ＝ 3 且 m ＝ 4。

幂的运算方法总结

幂的运算方法总结
幂的运算方法可以总结如下：
1. 幂的乘法法则：
对于两个相同底数的幂，底数不变，指数相加。

例如：a^m * a^n = a^(m + n)。

2. 幂的除法法则：
对于两个相同底数的幂，底数不变，指数相减。

例如：a^m / a^n = a^(m - n)。

3. 幂的乘方法则：
对于一个幂的乘方，底数不变，指数相乘。

例如：(a^m)^n = a^(m * n)。

4. 幂的零次方和一次方：
a^0 = 1，任何非零数的零次方都等于1。

a^1 = a，任何数的1次方等于它本身。

5. 负指数的运算：
a^(-m) = 1 / a^m，即一个数的负指数等于其倒数的正指数。

6. 积的幂：
(a * b)^m = a^m * b^m，即一个积的幂等于各个因子的幂的乘积。

7. 商的幂：
(a / b)^m = a^m / b^m，即一个商的幂等于分子和分母的幂的商。

需要注意的是，以上规则适用于实数指数和正数底数的幂运算。

当指数为分数、负数或零，并且底数为负数或零时，幂的运算涉及到更复杂的概念，如无理指数、零的零次方和负数的幂等。

幂的运算知识点总结

第八章幂的运算知识点总结
知识点一：同底数幂相乘
同底数幂的乘法⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⋅==⋅++数数，负数的偶次幂是正数；负数的奇次幂是负正数的任何次幂都是正逆运算：是正整数相加。

即法则：底数不变，指数a a a a a a m n m n m m n n n ),m (
知识点二：幂的乘方与积的乘方
1、幂的乘方⎪⎩
⎪⎨⎧==)()(),(a a a a m n m m n mn mn n 逆运算：是正整数即底数不变，指数相乘。

2、
3、积的乘方⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=(ab)(ab)n n n n n n )(,b a b a n 逆运算；是正整数再把所得的幂相乘。

即把每一个因式分别乘方
知识点三：同底数幂的除法
同底数幂的除法⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⨯==⨯=≠=≠=>≠=÷-m nm a n m n m a a a a a a n 10101095-5n -0n -m n m 1)0010(02.50000502.0)1-10(96.6696000),0a (110)0a (1),,,0a (的个数数字前第一个非的负几次方原数字个数的几次方科学记数法是正整数定负整指数幂的意义：规的数的零次幂都等于。

即任何不等于零指数幂的意义：规定是正整数变，指数相减。

即同底数幂相除，底数不
),,,0a ()4()()3(),()2(),m ()1(n -m n m n n n n (ab))(n m n m n n m m n a a a b a a a a a a mn n n m m >≠=÷⋅===⋅+是正整数是正整数是正整数是正整数。

初中数学幂运算知识点总结

初中数学幂运算知识点总结一、乘方的概念乘方是指用同一个数乘以自己若干次。

例如，a的n次方（写作an）表示a与自己相乘n 次，其中a称为底数，n称为指数。

乘方的一般形式为an=a×a×a×…×a（共n个a相乘）。

在乘方中，n必须是正整数，0的0次方没有意义，1的任何次方都等于1。

二、幂的基本性质1. 乘方的指数法则（1）乘法法则：a的m次方与a的n次方相乘等于a的m+n次方，即am×an=am+n。

（2）除法法则：a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方，即am÷an=am-n。

（3）乘方的乘方：a的m次方的n次方等于a的m×n次方，即（am）n=am×n。

以上三个法则是幂运算中最基本的性质，通过这些法则，我们可以将复杂的乘方运算简化成更简单的形式，从而更容易进行计算。

2. 幂的运算规律（1）零幂：任何非零数的0次方都等于1，即a的0次方=1（a≠0）。

（2）负指数：a的-m次方等于1除以a的m次方，即a的-m=1/am。

（3）幂的乘法：a的m次方乘以b的m次方等于（a×b）的m次方，即am×bm=(ab)m。

（4）幂的除法：a的m次方除以b的m次方等于（a÷b）的m次方，即am÷bm=(a÷b)m。

通过这些运算规律，我们可以有效地计算幂运算，简化运算步骤，提高计算效率。

三、指数函数1. 指数函数的图像指数函数的一般形式为f(x)=a^x（a>0且a≠1），其中a称为底数，x是自变量。

当指数函数中的底数a大于1时，函数图像呈现递增趋势；当底数a介于0和1之间时，函数图像呈现递减趋势。

指数函数的图像一般经过点（0,1），在x轴的左侧与y轴交于一点，其图像呈现出一定的对称性。

2. 指数函数的性质（1）当x=0时，指数函数的函数值为1，即f(0)=a^0=1。

（2）当x增大时，指数函数的值呈指数增长，增长速度非常快。

苏教版幂的运算知识归纳总结

苏教版幂的运算知识归纳总结幂的运算1、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加.公式表⽰为：()mnm na a am n +?=、为正整数2、同底数幂的乘法可推⼴到三个或三个以上的同底数幂相乘，即()mnpm m pa a aam n p ++??=、、为正整数注意点：（1）同底数幂的乘法中，⾸先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.（2）在进⾏同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进⾏计算.【例题1】计算列下列各题34a a ?23b b b()()()24c c c -?-?-(ｘ-ｙ)6·(ｙ-ｘ)5-ａ3·(-ａ)4·(-ａ)5幂的乘⽅与积的乘⽅ 1、幂的乘⽅幂的乘⽅，底数不变，指数相乘. 公式表⽰为：()()na am n =、都是正整数.2、积的乘⽅积的乘⽅，把积的每⼀个因式分别乘⽅，再把所得的幂相乘. 公式表⽰为：()()n nnab a b n =为正整数.注意点：（1）幂的乘⽅的底数是指幂的底数，⽽不是指乘⽅的底数.（2）指数相乘是指幂的指数与乘⽅的指数相乘，⼀定要注意与同底数幂相乘中“指数相加”区分开. （3）运⽤积的乘⽅法则时，数字系数的乘⽅，应根据乘⽅的意义计算出结果;（4）运⽤积的乘⽅法则时，应把每⼀个因式都分别乘⽅，不要遗漏其中任何⼀个因式.【例题2】计算下列各题nma a ?3)(122)(--n x()432baa ??_______________)()(1231=?-++mm a a同底数幂的除法 1、同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减. 公式表⽰为：()0,mnm na a a a m n m n -÷=≠>、是正整数，且.10a a =≠.3、负整数指数幂的意义任何不等于0的数的-n(n 是正整数)次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，⽤公式表⽰为()10,nnaa n a-=≠是正整数4、绝对值⼩于1的数的科学计数法对于⼀个⼩于1且⼤于0的正数，也可以表⽰成10n a ?的形式，其中110,a n ≤<是负整数.注意点：(1) 底数a 不能为0，若a 为0，则除数为0，除法就没有意义了； (2)()0,a m n m n ≠>、是正整数，且是法则的⼀部分，不要漏掉.（3）只要底数不为0，则任何数的零次⽅都等于1.)(355x x x ÷÷ 920÷2710÷37347)()()(a a a -?-÷-533248÷?注意：零指数幂的意义“任何不等于0的数的0次幂都等于1”和负指数幂的意义“任何不等于0的数的负次幂等于它正次幂的倒数”【针对性练习】知识点1 同底数幂的意义及同底数幂的乘法法则（重点）1．计算（－2）2007+（－2）2008的结果是（）A．22015B．22007C．－2 D．－220082．当a<0，n为正整数时，（－a）5·（－a）2n的值为（）知识点2 逆⽤同底数幂的法则1．（1）已知x m=3，x n=5，求x m+n．（2）已知x m=3，x n=5，求x2m+n；知识点3 幂的乘⽅的意义及运算法则（重点）1．计算（-a2）5+（-a5）2的结果是（）A．0 B．2a10C．-2a10D．2a72．下列各式成⽴的是（）A．（a3）x=（a x）3B．（a n）3=a n+3C．（a+b）3=a2+b2D．（-a）m=-a m 3．如果（9n）2=312，则n的值是（）A．4 B．3 C．2 D．14.计算：（1）233342)(a a a a a +?+? （2）22442)()(2a a a ?+?知识点4 积的乘⽅意义及运算法则1．化简(a 2m ·a n+1)2·(-2a 2)3所得的结果为____________________________。

幂的运算总结归纳专题

幂的运算总结归纳专题【幂的运算总结归纳专题】一、引言在数学领域，幂运算是一种基本的数学运算，常见于代数学、数论以及实际应用中。

幂的运算可以用于计算数值的乘方、指数等。

本文将全面总结和归纳幂的运算规则，以及一些经典的应用场景。

二、幂运算的定义在数学中，幂运算指一个数的乘方。

设a和n为实数，其中n是非负整数，则我们可以定义a的n次幂，表示为a^n，其计算规则如下：1. 当n=0时，a^n=1，这是因为任何数的0次方等于1；2. 当n>0时，a^n等于a连乘n次的结果；3. 当n<0时，a^n等于1除以a的负n次方，即a^n = 1/ a^(-n)。

三、幂运算的基本性质1. 幂的乘法法则：对于任意实数a和b，以及任意非负整数m和n，有以下基本性质：- a^m * a^n = a^(m+n)：对于相同的底数a，相同底数的幂相乘，指数相加；- (a^m)^n = a^(mn)：对于相同的底数a，幂的指数相乘，结果的指数为两个指数的乘积。

2. 幂的除法法则：对于任意实数a和b（其中a≠0），以及任意非负整数m和n，有以下基本性质：- a^m / a^n = a^(m-n)：对于相同的底数a，相同底数的幂相除，指数相减。

3. 幂的乘方法则：对于任意实数a（其中a≠0），以及任意非负整数m和n，有以下基本性质：- (ab)^n = a^n * b^n：幂的乘方，底数相乘，指数保持不变；- (a^n)^m = a^(nm)：幂的乘方，指数相乘。

四、应用场景1. 幂的数值计算：幂运算常用于计算数值的乘方，例如计算面积、体积等。

2. 幂的指数函数：幂运算也常用于指数函数的建模与分析，如指数增长、指数衰减等。

3. 幂的离散数学：幂运算在离散数学中有广泛应用，例如密码学中的公钥密码算法。

4. 幂的代数性质：幂运算也是代数学中一些基本定理的核心，如费马小定理、欧拉定理等。

五、结论本文全面总结和归纳了幂的运算规则以及一些常见的应用场景。

幂的乘方课后总结

幂的乘方课后总结引言本文是对幂的乘方概念进行课后总结。

幂的乘方是数学中的一个基本概念，掌握好幂的乘方的相关知识，对于解决各种数学问题是非常重要的。

幂的定义幂的乘方是指将一个数值称为底数，指数为自然数（包括0）的连乘积。

具体地说，如果a是一个实数而n是自然数，则n的幂是指把n个a连乘的积。

幂的一般表示形式为：a^n，读作“a的n次方”或者“a的n次幂”。

幂的性质幂的乘方具有以下几个重要的性质：1. 幂的乘法法则对于任意实数a和自然数m、n，有以下等式成立： a^m * a^n = a^(m+n)2. 幂的除法法则对于任意实数a和自然数m、n，有以下等式成立： a^m / a^n = a^(m-n)3. 幂的幂法则对于任意实数a和自然数m、n，有以下等式成立： (a m)n = a^(m*n)4. 幂的零指数法则对于任意非零实数a，有以下等式成立： a^0 = 15. 幂的乘法逆元对于任意非零实数a，有以下等式成立： a^-1 = 1/a6. 幂的同底数相加法则对于任意实数a和自然数m、n，有以下等式成立： a^m * a^n = a^(m+n)幂的运算示例下面通过一些具体的示例来说明幂的乘方的运算方法：示例1：计算2^3的值。

解： 2^3 = 2 * 2 * 2 = 8示例2：计算(-3)^4的值。

解： (-3)^4 = (-3) * (-3) * (-3) * (-3) = 81示例3：计算5^0的值。

解：根据幂的零指数法则，5^0 = 1总结本文总结了幂的乘方的概念和性质。

幂的乘方是数学中的一个基本概念，在各个领域都有广泛的应用。

掌握了幂的乘方的运算方法和性质，有助于解决各种与幂相关的数学问题。

最后，需要注意的是，在进行幂的乘方运算时，要特别注意底数的正负和指数的取值范围，以避免出现运算错误。

1.2幂的乘方与积的乘方

幂的乘方与积的乘方1．幂的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（a m）n=a mn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．【典例】1.若81x=312，则x=__________．【方法总结】本题考查了幂的乘方的应用，关键是把原式化成底数相同的形式．先根据幂的乘方法则把81x化成34x，即可得出4x=12，解方程即可求解．【随堂练习】1.若（9m+1）2=316，则正整数m的值为_____【典例】1.已知3x=a，3y=b，则32x+3y=_____【方法总结】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，要熟练掌握幂的乘方法则(底数不变，指数相乘)和积的乘方法则(把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘)．将32x+3y转化为（3x）2•（3y）3是解答本题的关键．【随堂练习】1.若2x+5y+3=0，则4x•32y的值为____【典例】1.比较3555，4444，5333的大小．【方法总结】本题主要考查了幂的大小比较的方法．一般说来，比较几个幂的大小，可以把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数．【随堂练习】1.已知a=1621，b=3231，c=841，则a，b，c的大小关系为_____（用＜连接）2. a=5140，b=3210，c=2280，则a、b、c的大小关系是______（用＜连接）知识点2 积的乘方1．积的乘方（1）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n=a n•b n（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．【典例】1.用简便方法计算下列各题：（1）（45）2016×（﹣1.25）2017 （2）（225）10×（﹣56）10×（12）11．【方法总结】此题主要考查了积的乘方运算，利用底数转化法进行幂的运算是解题关键，如（1）中底数分别是45和﹣54，乘积正好是-1；如（2）中底数分别是125、﹣56、12，乘积正是-1，-1的偶次幂是1，-1的奇次幂是-1，运算较为便捷．【随堂练习】1.计算（23）2016×（﹣32）2017的结果是____2.计算（﹣512）2017×（225）2016的结果是_____ 【典例】1.（1）已知a n =3，b n =5，求（a 2b ）n 的值；（2）若2n =3，3n =4，求36n ．【方法总结】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘和积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．如（1）中，需要将（a 2b ）n 转变为（a n ）2 •b n ，（2）中，需要将36n 转变为（2n ×3n ）2．【随堂练习】1. 已知a2n=1，b n=3，则（ab）4n的值为（）．2。

幂的知识点

即m n m n aa a +=⋅（,m n 都是正整数）. 要点二、幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a(0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n aa a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则 ()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n nabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：（1）234444⨯⨯；（2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【答案与解析】解：（1）原式234944++==．（2）原式34526177772222a a a a a a a +++=+-=+-=．（3）原式11211222()()()()2()n n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y +++-++-+++=+++=+++=+．【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a 的指数是1．在第（3）小题中把x y +看成一个整体．举一反三：【变式】计算：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-；（2）221()()p pp x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；（3）232(2)(2)n ⨯-⋅-（n 为正整数）．【答案】解：（1）原式532532532103(3)333333++=⋅-⋅=-⋅⋅=-=-．（2）原式22122151()p p p p p p p x xx x x +++++=⋅⋅-=-=-．（3）原式525216222(2)22n n n +++=⋅⋅-=-=-．2、已知2220x +=，求2x 的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22222x x +=⋅ 【答案与解析】解：由2220x +=得22220x ⋅=． ∴ 25x =．【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：m n m n a a a +=⋅．类型二、幂的乘方法则3、计算：（1）2()m a ；（2）34[()]m -；（3）32()m a -．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a ，（2）题中的底数是m -，（3）题中的底数a 的指数是3m -，乘方以后的指数应是2(3)62m m -=-．【答案与解析】解：（1）2()m a 2m a =．（2）34[()]m -1212()m m =-=．（3）32()m a -2(3)62m m a a --==．【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、已知25m x =，求6155m x -的值．【答案与解析】解：∵ 25m x =，∴62331115()55520555m m x x -=-=⨯-=．【总结升华】（1）逆用幂的乘方法则：()()mn m n n m a a a ==．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．举一反三：【变式1】已知2a x =，3b x =．求32a b x+的值．【答案】解：32323232()()238972a b ab a b x x x x x +===⨯=⨯=．【变式2】已知84=m ，85=n ，求328+m n 的值．【答案】解：因为3338(8)464===m m , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m n m n .类型三、积的乘方法则 5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =；（2）333(4)64ab a b =；（3）326(3)9x x -=-．【答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：222()ab a b =．（2）对．（3）错，系数应为9，应为：326(3)9x x -=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+；(2)23(2)(2)x y y x -⋅- ．【答案与解析】解：（1）353519(2)(2)(2)(2)(2)b b b b b +++⋅+⋅+=+=+．（2）23235(2)(2)(2)[(2)](2)x y y x x y x y x y -⋅-=-⋅--=--．【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：()()(),n n n a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数 ()()()()()n n n b a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数．类型二、幂的乘方法则2、计算：（1）23[()]a b --；（2）32235()()2y y y y +-；（3）22412()()m m xx -+⋅；（4）3234()()x x ⋅．【答案与解析】解：（1）23[()]a b --236()()a b a b ⨯=--=--．（2）32235()()2y y y y +-⋅666662220y y y y y =+-=-=．（3）22412()()m m x x -+⋅4(22)2(1)8822106m m m m m x x x x x -+-+-=⋅=⋅=．（4）3234()()x x ⋅61218x x x =⋅=．【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．3、已知84=m ，85=n ，求328+m n 的值．【思路点拨】由于已知8,8m n 的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把328+m n 变成323288(8)(8)m n m n ⨯=⨯，再代入计算.【答案与解析】解：因为3338(8)464===m m , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m n m n .【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法.把8,8m n 当成一个整体问题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.举一反三：【变式】已知322,3m m a b ==，则()()()36322mm m m a b a b b +-⋅＝．【答案】－5；提示：原式()()()()23223232m m m m ab a b =+-⋅ ∵∴ 原式＝23222323+-⨯＝－5.类型三、积的乘方法则4、计算：（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅-【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.【答案与解析】解：（1）24442448(2)(1)2()16xy x y x y -=-⋅⋅⋅=-．（2）24333[()]a a b -⋅-231293636274227()()()a a b a a b a b =-⋅-=-⋅-⋅=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．举一反三：【变式】下列等式正确的个数是( )． ①()3236926x y x y -=- ②()326m m a a -= ③()36933a a =④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A ；如1212(52)(25)a b b a -=-．（2）注意指数为1的多项式．如x y -的指数为1，而不是0．【答案与解析】解：（1）5514()()()()x y x y x y x y --÷-=-=-．（2）1251257(52)(25)(25)(25)(25)a b b a b a b a b a -÷-=-÷-=- （3）64626426212(310)(310)(310)(310)910-⨯÷⨯=⨯=⨯=⨯．（4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-9898(2)(2)(2)2x y x y x y x y -=-÷-=-=-．【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算．3、已知32m =，34n =，求129m n +-的值．【答案与解析】解： 121222222221222244449(3)33333(3)399(3)33(3)(3)m m m m m m m n n n n n n n ++++-======．当32m=，34n =时，原式224239464⨯==．【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3m ，3n的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式．举一反三：【变式】已知2552m m ⨯=⨯，求m 的值．【答案】解：由2552m m ⨯=⨯得1152m m --=，即11521m m --÷=，1512m -⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∵ 底数52不等于0和1， ∴ 105522m -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即10m -=，1m =．类型二、负整数次幂的运算 4、计算：（1）223-⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）23131()()a b a b ab ---÷．【答案与解析】解：（1）222119434293-⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）2313123330()()a b a b ab a ba b ab a b b -----÷===．【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义．举一反三：【变式】计算：4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭．【答案】解： 4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭45311111122116212223228=++⨯⨯+=++⨯⨯+ 1151611732832=+++= 5、已知1327m =，1162n⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n m 的值＝________．【答案与解析】解： ∵ 331133273m -===，∴ 3m =-． ∵ 122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，∴ 422n -=，4n =-． ∴ 4411(3)(3)81n m -=-==-．【总结升华】先将127变形为底数为3的幂，122nn -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，然后确定m 、n 的值，最后代值求n m ．举一反三：【变式】计算：（1）1232()a b c --；（2）3232312b c b c ---⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；【答案】解：（1）原式424626b a b c a c --==．（2）原式8236981212888b b c b cb c c---=⨯==．类型三、科学记数法 6、用科学记数法表示下列各数：（1）0.00001；（2）0.000000203；（3）-0.000135；（4）0.00067【答案与解析】解：（1）0.00001＝510-；（2）0.000000203＝72.0310-⨯；（3）-0.000135＝41.3510--⨯；（4）0.00067＝46.710-⨯.【总结升华】注意在10n a -⨯中n 的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）．【巩固练习】一.选择题1. ()()35c c -⋅-的值是( )．A. 8c -B. ()15c -C. 15cD.8c 2．2n n a a +⋅的值是( )． A. 3n a + B. ()2n n a + C. 22n a+ D. 8a 3．下列计算正确的是( )． A.224x x x += B.347x x x x ⋅⋅= C. 4416a a a ⋅= D.23a a a ⋅=4．下列各题中，计算结果写成10的幂的形式，其中正确的是( ).A. 100×210＝310B. 1000×1010＝3010C. 100×310＝510D. 100×1000＝4105．下列计算正确的是( )．A.()33xy xy =B.()222455xy x y -=-C.()22439x x -=-D.()323628xy x y -=-6．若()391528m n a b a b =成立，则( )． A. m ＝6，n ＝12B. m ＝3，n ＝12C. m ＝3，n ＝5D. m ＝6，n ＝5 二.填空题7. 若26,25m n ==，则2m n +＝____________．8. 若()319xa a a ⋅=，则x ＝_______． 9. 已知35n a=，那么6n a =______．10．若38m a a a ⋅=，则m ＝______；若31381x +=，则x ＝______． 11. ()322⎡⎤-=⎣⎦______； ()33n ⎡⎤-=⎣⎦______； ()523-＝______． 12.若n 是正整数，且210n a =，则3222()8()n n a a --＝__________. 三.解答题13. 判断下列计算的正误．（1）336x x x += ( ) （2） 325()y y -=- ( ) （3）2224(2)2ab a b -=- （）（4） 224()xy xy = ( )14.（1） 3843()()x x x ⋅-⋅-；（2）2333221()()3a b a b -+-；（3）3510(0.310)(0.410)-⨯-⨯⨯⨯；（4）()()3522b a a b --；（5）()()2363353a a a -+-⋅； 15.（1）若3335n n x x x +⋅=，求n 的值．（2）若()3915n m a b ba b ⋅⋅=，求m 、n 的值．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D ；【解析】()()()()353588c c c c c +-⋅-=-=-=. 2. 【答案】C ；【解析】2222n n n n n a aa a ++++⋅==. 3. 【答案】D ；【解析】2222x x x +=；348x x x x ⋅⋅=；448a a a ⋅=.4. 【答案】C ；【解析】100×210＝410；1000×1010＝1310；100×1000＝510.5. 【答案】D ；【解析】()333xy x y =；()2224525xy x y -=；()22439x x -=. 6. 【答案】C ；【解析】()333915288,39,315m n m n a ba b a b m n ====，解得m ＝3，n ＝5.二.填空题7. 【答案】30；【解析】2226530m n m n +==⨯=. 8. 【答案】6；【解析】3119,3119,6x aa x x +=+==. 9. 【答案】25；【解析】()2632525n n a a===. 10.【答案】5；1；【解析】338,38,5m m a a a a m m +⋅==+==；3143813,314,1x x x +==+==.11.【答案】64；9n -；103-；12.【答案】200；【解析】()()32322222()8()81000800200n n n n a a a a --=-=-=.三.解答题13.【解析】解：（1）×；（2）×；（3）×；（4）×14.【解析】解：（1）3843241237()()x x x x x xx ⋅-⋅-=-⋅⋅=-；（2）233322696411()()327a b a b a b a b -+-=-+；（3）3535810(0.310)(0.410)0.30.4101010 1.210-⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯；（4）()()()()()3535822222b a a b a b a b a b --=---=--；（5）()()236331293125325272a a a a a a a -+-⋅=-⋅=-. 15.【解析】解：（1）∵3335n n x x x +⋅=∴ 4335n x x +=∴4n ＋3＝35∴n ＝8（2）m ＝4，n ＝3解：∵()3915n m a b b a b ⋅⋅=∴ 333333915n m n m a b b a b a b +⋅⋅=⋅=∴3n ＝9且3m ＋3＝15∴n ＝3且m ＝4。