微积分第三章答案
微积分及其应用第三章习题解答
1.(1）v =01.02001.02)()(=∆==∆=∆∆-∆+=∆∆t t t t t t s t t s ts=01.020)263(=∆=++∆t t t t =14.03 （2）14lim)2(200=∆∆==→∆t t ts v2。
（1)v =tt ∆=1=tt ts ∆=∆∆1=tg t g t ∆--∆+-∆+]215[])1(21)1(5[2=t g g ∆--215 (2)g t ht t -=∆∆==→∆5]lim[)1(1ν (3) tgt t t t g t t th tvtt t t t ∆--∆+-∆+=∆∆=∆∆==)215()((21)(50020000=t g gt ∆--2150 （4）000005)215(lim lim)(gt t g gt t h t t t -=∆--=∆∆=→∆→∆ν 3。
(1）x x f x x f x x f x x f x x ∆--∆-+=∆-∆-→∆→∆)()]([lim )()(lim000000=)()]()([lim 0,000x f xx f x x f x -=∆--∆-+-→∆(2）)()()()((lim )()((lim0,00000000x f h x x h x f x f h h x f x f h h =--∆--=∆--→∆→∆(3)h h x f h x f h x f h x f h h 202000200)()((lim )()((lim -+=-+→∆→∆=0lim )()((lim 020200==-+→∆→∆h h x f h x f h h(4）xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000=)(21()()()(21lim 0,00000x f x x x x x x f x x f x =∆--∆+∆--∆+→∆4。
（1）xx f x x f y x ∆-∆+='→∆)()(lim000=xxx x x x x x x x x x x ∆∆+∆+-=∆-∆+→∆→∆)()(lim 11lim 0000=2001)(1lim )(limxx x x xx x x x x x -=∆+-=∆∆+∆-→∆→∆ （2)x xx x xx f x x f x f x x ∆-∆+=∆-∆+='→∆→∆000lim )()(lim)(=xx x x x x xx x x x +∆+=+∆+-∆+→∆→∆1limlim 00=x215.解:1)5(21)5()5(21lim 2)5()5(lim00-='-=----=--→∆→∆f x f x f x f x f x x 6（1）==x x y 首先判断函数的连续性0x >时2x y =连续，0< x 时2-x y =连续，在0x =时，0])([lim )00(220=-∆+=++→∆x x x f f x0])([lim )00(220=+∆+=--→∆x x x f f x由于)00()00(-=+f f所以函数y 在0=x 处连续 下面判断可导性 在0=x 处 xf x f f x ∆-∆='+→∆+)0()(lim)0(0=xx x ∆∆++→∆20)0(lim=0lim 0=∆+→∆x xxf x f f x ∆-∆+='-→∆-)0()0(lim)0(0=0lim )(lim 020=∆-=∆∆---→∆→∆x xx x x由于)0()0(-+'='f f 故函数在0=x 处可导 （2）)1(011-x 1-x sin lim)(lim 11f x f x x =≠==→→）（∴ 函数)(x f 在1=x 处不连续，从而0=x 在处不可导。
高等数学微积分教材答案
高等数学微积分教材答案第一章：导数与微分1.1 导数的定义1.1.1 极限的概念1.1.2 函数的极限1.1.3 导数的定义及计算方法1.2 导数的基本性质1.2.1 可导性与连续性的关系1.2.2 导数的四则运算法则1.2.3 导数的链式法则1.3 高阶导数与隐函数微分1.3.1 高阶导数的定义1.3.2 隐函数的导数计算方法1.4 微分的定义与微分公式1.4.1 微分的定义1.4.2 微分的性质1.4.3 微分公式第二章：微分学的应用2.1 函数的单调性与极值2.1.1 函数单调性的判定2.1.2 函数的极值与最值2.2 函数的凹凸性与拐点2.2.1 函数的凹凸性定义2.2.2 函数的拐点2.3 泰勒公式与函数的近似计算 2.3.1 泰勒公式的定义2.3.2 泰勒公式的应用2.4 最值问题与优化问题2.4.1 最值问题的分析方法2.4.2 优化问题的数学建模第三章：不定积分3.1 原函数与不定积分3.1.1 原函数的定义与性质3.1.2 不定积分的定义3.2 积分基本公式3.2.1 基本积分公式3.2.2 积分的线性性质3.3 第一类换元积分法3.3.1 第一类换元积分法的基本思想 3.3.2 第一类换元积分法的具体步骤3.4 分部积分法与第二类换元积分法 3.4.1 分部积分法的定义与应用3.4.2 第二类换元积分法的基本原理第四章：定积分与定积分的应用4.1 定积分的定义与性质4.1.1 定积分的几何意义4.1.2 定积分的性质4.2 定积分的计算方法4.2.1 定积分的基本计算方法4.2.2 定积分的换元法4.3 定积分的应用4.3.1 曲线与曲面的长度4.3.2 曲线与曲面的面积4.3.3 物理应用中的定积分4.4 微积分基本定理与不定积分的计算方法 4.4.1 微积分基本定理4.4.2 不定积分的计算方法第五章：数项级数5.1 数项级数的概念与性质5.1.1 数项级数的定义5.1.2 数项级数的性质5.2 收敛级数的判别法5.2.1 正项级数的判别法5.2.2 任意项级数的判别法5.3 幂级数与函数展开5.3.1 幂级数的收敛半径5.3.2 幂级数的函数展开5.4 常数项级数的求和5.4.1 等比级数的求和5.4.2 绝对收敛级数的求和第六章：级数的应用6.1 函数展开与泰勒级数6.1.1 函数展开与泰勒级数的概念6.1.2 泰勒级数的求法6.2 常微分方程与级数解6.2.1 常微分方程的基本概念6.2.2 幂级数解的构造6.3 分析几何中的级数应用6.3.1 曲线与曲面的参数方程6.3.2 空间曲线与曲面的求交问题6.4 物理学中的级数应用6.4.1 物理学中的振动问题6.4.2 物理学中的波动问题总结高等数学微积分教材涵盖了导数与微分、微分学的应用、不定积分、定积分与定积分的应用、数项级数和级数的应用等内容。
微积分第三章答案
习题 3-11. 验证函数()f x =[0,4]上满足罗尔定理的条件，并求出使得结论成立的点ξ。
解：显然函数()f x =[0,4]上连续，在(0,4)上可导，且有(0)(4)0f f ==所以函数在区间[0,4]上满足罗尔定理，那么有()0f ξ'==，83ξ=。
2. 验证函数3()1f x x =-在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件，并求出使得结论成立的ξ。
解：函数3()1f x x =-在区间[1,2]上连续，在(1,2)上可导，那么满足拉格朗日中值定理，那么有2(2)(1)321f f ξ-=-，即ξ=3. 函数4()1f x x =-与2()g x x =在区间[1,2]上是否满足柯西中值定理的所有条件，如满足，求出满足定理的数值ξ。
解：函数4()1f x x =-与2()g x x =在区间上连续，在区间(1,2)上可导，那么满足柯西中值定理，那么有3(2)(1)4(2)(1)2f f g g ξξ-=-，即ξ= 4. 假设4次方程432012340a x a x a x a x a ++++=有4个不同的实根，证明3201234320a x a x a x a +++=的所有根皆为实根。
证明：设43201234()f x a x a x a x a x a =++++，()0f x =的四个实根分别为1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，那么函数()f x 在1[,](1,2,3)i i x x i +=上满足罗尔定理的条件，那么在1(,)i i x x +内至少存在一点i ξ，使得()0i f ξ'=。
这说明方程3201234320a x a x a x a +++=至少有3个实根，而方程为3次方，那么最多也只有3个实根，所以结论得到证明。
5. 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =，证明：存在(0,1)ξ∈，使得()()f f ξξξ'=-。
微积分科学出版社第三章习题3.4答案
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率习题3.41. 求由下列方程所确定的隐函数的导数:dy dx（1）2290y xy -+=解： ()()22900,2220,.d y xy d ydy xdy ydx dy y dx y x-+==--==-（2）3330x y axy +-=解： ()()332222300,33330,.d x y axy d x dx y dy axdy aydx dy ay x dx y ax+-==+--=-=-（3）x y xy e +=解：()()(),,.x y x y x y x y d xy d e ydx xdy e dx dy dy e y dx x e++++=+=+-=-（4）1yy xe =-解： ()1,,.1y y y yydy d xe dy e dx xe dy dy e dx xe =-=---=+（5解：0,0,d ddydx==+==（6）()cosy x y=+解：()()()()()cos,sin,sin.1sindy d x ydy x y dx dyx ydydx x y=+=-++-+=++（7）()sin cos0y x x y--=解：()()()()()()()sin cos00,sin cos sin0,cos sin.sin sind y x x y dxdy y xdx x y dx dyy x x ydydx x y x--==++--=+-=--（8）0x y=解：()()00,0,d x y ddx dydydx+==++==2.求下列隐函数在指定点的导数:dydx（1）1cos sin,2y x y=+点,02π⎛⎫⎪⎝⎭解：,0211cos sin sin cos ,22sin ,11cos 21 2.112dy d x y xdx ydy dy x dx y dy dx π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭-=--==-- （2）ln 1,x ye y +=点()0,1()()()0,1ln 10,10,,111.112x x x xx d ye y d e dy ye dx dy y dy ye dx e ydy dx +==++==-+=-=-+3. 求下列方程确定的隐函数的微分:dy （1）2222 1.x y a b+= 解：()2222222210,220,.x y d d ab xdx ydy a bb x dy dx a y⎛⎫+== ⎪⎝⎭+==- （2）.y xx y =解： ()()22ln ln ln ln ,ln ln ,ln .ln y x x yd y x d x y y x xdy dx ydx dy x yxy y y dy dx xy x x==+=+-=-4。
微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第三章习题详解
第三章习题3-11． 设s =12gt ２，求2d d t s t=．解：22221214()(2)2lim lim 22t t t g g dss t s dt t t t →→=-⨯-==-- 21lim(2)22t g t g →=+= 2． 设f (x )=1x，求f '(x 0) (x 0≠0)． 解：1211()()()f x x x x--'''===00201()(0)f x x x '=-≠ 3．（1）求曲线2y x =上点（2，4）处的切线方程和法线方程； （2）求过点（3，8）且与曲线2y x =相切的直线方程； （3）求xy e =上点（2，2e ）处的切线方程和法线方程； （4）求过点（2，0）且与xy e =相切的直线方程。
解：略。
4． 下列各题中均假定f ′(x 0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么：(1) 0limx ∆→00()()f x x f x x-∆-∆=A ;(2) f (x 0)=0, 0limx x →0()f x x x-＝A ； (3) 0limh →00()()f x h f x h h+--=A ．解：(1)0000000()()[()]()limlim ()x x f x x f x f x x f x f x x x→-→--+--'=-=-- 0()A f x '∴=- (2)00000()()()limlim ()x x x x f x f x f x f x x x x x →→-'=-=---0()A f x '∴=-(3)000()()limh f x h f x h h→+--00000[()()][()()]lim h f x h f x f x h f x h→+----=000000()()[()]()lim limh h f x h f x f x h f x h h→-→+-+--=+- 000()()2()f x f x f x '''=+= 02()A f x '∴=5． 求下列函数的导数：(1) y ；(2) y；(3) y 3225x x．解：(1)12y x x ==11221()2y x x -''∴=== (2)23y x-=225133322()33y x x x ----''∴==-=-=(3)2152362y x x xx -==15661()6y x x -''∴===6． 讨论函数y x =0点处的连续性和可导性． 解：30lim 0(0)x x f →==000()(0)0lim lim 0x x x f x f x x →→→--===∞-∴函数y =0x =点处连续但不可导。
经济数学基础 微积分 第三章习题解答
尖点, 无切线, 不可导
无定义, 不可导
0
x
无确定切线, 不可导
0
x
尖点, 无切线, 不可导
8.讨论下列函数在x 0处的连续性与可导性；若可导，
求出f (0)：
1 x
(1) f ( x) 1 x
x0 x0
解 lim f ( x) 1 lim f ( x) 1
x0
x0
所以函数在x 0连续.
3
y 1 (0 6x2 ) 6 x2
16.求下列函数的导数
(1) y
ex ex
ex ex
(e x ) e x ( x) e x
y
(e x
ex
)(e x
ex (e x
) (e x ex )2
e x )(e x
ex
)
(e x e x )2 (e x e x )2
(e x ex )2
y 10( x )9 ( x ) 1 x 1 x
10(
1
x
x
)9
1 x x (1 x)2
10x9 (1 x)11
(6) y ln ln ln x 设y ln u,u ln v,v ln x
y (lnu) (lnv) (ln x) 1 1 1 uv x
1 1 1
1
lnln x ln x x x ln x ln ln x
(3) y
1 1 x2
(1
x2
1
)2
y
1
(1
x2
)
3 2
(1
x
2
)
2
x(1
x
2
)
3 2
1
(1
微积分第三章习题参考答案
一.1. 2 x2e x2 e x2 c
.2.
x2 ln x
x2 c .
2
4
3. xf ( x) f ( x) c . 4. x ln x x c .
5. x arcsin x 1 x2 c .
6. 1 x cos 2x 1 sin 2x c 1 x sin2 x x sin 2x c .
6
t3 dt
t 1
6
(t 2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6ln(t 1) c
2 x 1 33 x 1 66 x 1
ln( 6 x 1 1) c.
p54.4.解法1:
1
x4 1 x4
I
x3(
x4
1 sin 2x 1 sin12x c.
4
24
( x 3)dx 1 (2 x 2)dx
2dx
6. x2 2x 5 2 x2 2x 5 x2 2x 5
1 ln( x2 2x 5) arctan x 1 c.
2
2
p54.三.1. 令x a sin t,
§3.2不定积分的换元法(53-54)
一.1. eex c , ln | ln x | c .
2. ln | x sin x | sin x 1 sin5 x 2 sin3 x c .
5
3
ln | sin x cos x | c n 2
3.
I
(sin
4.
微积分习题答案上海同济大学数学
微积分习题答案Chapter-3_上海同济大学数学三 1．解：(1) 200000()12()limlimlim.2t t t t s t t t t t v v g v gt tt t∆→∆→∆→∆∆∆+∆==-=-∆∆∆(2)由 00t v v gt =-=有0;v t g =(3)由0t v v gt =-有01(2).2T v g t v ==。
3．求曲线y =x (1-x )在横坐标为1处的切线的斜率。
解：由y '=1-2x 可知当x =1时，y '=-1。
5．解：(1) 2200(0)lim 0,(0)lim 0(0)0;00-+-+→→---'''====⇒=--x x x x y y y x x(2)110(0)lim lim ,(0)lim lim ,0αααα--++++-+→→→→---''==-==--x x x x xxy x y x x x因此，只有当α为有理数且2α≠n m时0(0)lim 0α→'==x y x 成立。
6．解：由于得f (x )在x =0和x =1点处可导，则必然在x =0和x =1点处连续，因此(1) 0(0)(0),lim (e 1)lim ()0;-+-+→→=-=+⇒=xx x f f x a a 即(2) 111sin(1)11(1)(1),limlim 1.11-+-+→→--+-''==⇒=--x x x b x f f b x x 即7．设f (x )在x =0点连续，且0()1lim1x f x x→-=-，(1)求f (0); (2) 问f (x )在x =0点是否可导？解：由于得f (x )在x =0点连续，则0lim ()(0).→=x f x f由0()1lim1x f x x→-=-有：(1) []0()1()1lim lim lim0lim ()10lim ()1→→→→→--⋅=⋅=⇒-=⇒=x x x x x f x f x x x f x f x xx，即f (0)=1;(2) 0()1()(0)limlim1(0) 1.0→→--'==⇒=-x x f x f x f f xx8．解:函数g (x )在x =0点连续,则当x →0时, 存在某个领域U δ(0),在此领域内g (x )是有界量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
微积分第三章答案习题3-1 1. 验证函数f(x)?x4?x在区间[0,4]上满足罗尔定理的条件，并求出使得结论成立的点?。
解：显然函数f(x)?x4?x在区间[0,4]上连续，在(0,4)上可导，且有f(0)?f(4)?0 所以函数在区间[0,4]上满足罗尔定理，则有f?(?)?4????24???0，??8。
32. 验证函数f(x)?x3?1在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件，并求出使得结论成立的?。
解：函数f(x)?x3?1在区间[1,2]上连续，在(1,2)上可导，则满足拉格朗日中值定理，则有7f(2)?f(1)?3?2，即??。
2?133. 函数f(x)?x4?1与g(x)?x2在区间[1,2]上是否满足柯西中值定理的所有条件，如满足，求出满足定理的数值?。
解：函数f(x)?x?1与g(x)?x在区间上连续，在区间(1,2)上可导，则满足柯西中值425f(2)?f(1)4?3定理，则有，即??。
?2g(2)?g(1)2?4. 若4次方程a0x4?a1x3?a2x2?a3x?a4?0有4个不同的实根，证明4a0x3?3a1x2?2a2x?a3?0 的所有根皆为实根。
证明：设f(x)?a0x4?a1x3?a2x2?a3x?a4，f(x)?0的四个实根分别为x1,x2,x3,x4，且x1?x2?x3?x4，则函数f(x)在[xi,xi?1](i?1,2,3)上满足罗尔定理的条件，则在(xi,xi?1)内至少存在一点?i，使得f?(?i)?0。
这说明方程4a0x3?3a1x2?2a2x?a3?0至少有3个实根，而方程为3次方，则最多也只有3个实根，所以结论得到证明。
5. 设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)?0，证明：存在??(0,1)，使得f?(?)??f(?)?。
解：构造辅助函数F(x)?xf(x)，而F(x)?xf(x)满足罗尔定理的条件，所以有在(0,1)，至少存在一点?，f(?)??f?(?)?0即f?(?)??6. 试用拉格朗日中值定理证明：sinx2?sinx1?x2?x1；当x?0时，f(?)?。
x?ln(1?x)?x。
1?x 解：设f(x)?sinx，则f(x)在区间(x1,x2)上满足拉格朗日中值定理，则有sinx1?sinx2sinx1?sinx2?cos?,??(x1,x2)，又因为cos??1，则?1，x1?x2x1?x2sinx1?sinx2?x1?x2。
设f(x)?ln(1?x)，则f(x)在区间(0,x)上满足拉格朗日中值定理，则有ln(1?x)1111ln(1?x)??1，???1，则??(0,x)，又因为1?xx1?x1??x1??即x?ln(1?x)?x 1?x。
7. 证明等式：arctanx?arccotx??2。
证明：设f(x)?arctanx?arccotx，则有f?(x)?(arctanx?arccotx)??0，所以f(x)?c，代入x?0，得到arctanx?arccotx??2。
8.设f(x)在[1,2]上具有二阶导数f??(x)，且f(2)?f(1)?0。
若F(x)?(x?1)f(x)。
证明：至少存在一点??(1,2)，使得F??(?)?0。
证明：因为F(1)?F(2)?0，在[1,2]上应用罗尔定理，有F?(?1)?0，又因为F?(1)?0，所以在[1,?1]上应用罗尔定理，有F??(?)?0，[1,?1]?[1,2]。
9.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明：在(a,b)内存在点?和?，使得f?(?)?a?bf?(?)。
2?证明：构造辅助函数g(x)?x2，f(x)与g(x)在(a,b)内满足柯西中值定理，即有f(b)?f(a)f?(?)f(b)?f(a)，??(a,b) ??22?g(b)? g(a)g(?)b?a而f(x)在(a,b)内满足拉格朗日中值定理，所以f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)，即f?(?)? a?bf?(?)。
2?习题3-2 1. 用洛必达法则求下列极限：x3?3x?2sinaxx?sinxlim；lim；lim3；x?0sinbxx?0x?1x?x2?x?1x3ln(x?)(lnx)tan x2；lim；lim；lim??x????tanxxx?tan3xx?2221?limxex；(8) limxcotx;lim(secx?tanx)；x?0x?022x??21x1tanx?)；lim?x；limxx；lim(x???x?1x?1x?0lnx1x11?xlim(1?sinx);(14) limxx?0x?1 解：；limx?0sinbxx?0(sinbx)?x?0bcosbx0bx?sin x(x?sinx)?1?cosxsinx10lim?lim?lim?lim?；；332x?0x?0x?0x?00x(x)?3x6x6 ；0x3?3x?2(x3?3x?2)?3x2?36x3lim32?lim3 2?lim2?lim?x?1x?x?x?1x?1(x?x?x?1)?x?1 3x?2x?1x?16x?22；；lim ?lim??lim?lim?3；?tan3x?cosxsi n3x?cosx??sinx?x?x?x?x?2222 ；lim?lim?limx???x????x(x)?x???22lnx?1x? 4limlnx?0；x???1x2xln(x?)(ln(x?))?cos2x?22 ；lim??lim??lim??0；??????tanx(tanx )x?x?x?222x?2112??1 ；limx2ex?limx?0e?limx?01x?0x2x?0x2ex(?22)3x??；2?3x ；limxcotx?limx?0x?1；tanx ；lim(secx?tanx)?lim[x??2x??21sinx1?sinx? cosx?]?lim?lim?0；?sinxcosxcosxx ??cosxx?22 ；x1xlnx?(x?1)lnx ?)?lim?limx?1x?1x?1x?1 x?1lnx(x?1)lnxlnx?xxlnxlnx?11?lim?；?limx?1xlnx?x?1x?1lnx?22 lim( ；limlnxtanxlimtanxlnxlnx?x?0cotxlimsin2x xx?0?limlimx?x?0tanx?ex?0??ex?0?1?e?e?e0?1；；limx?ex???x???01xlimlnxx?elnxx???xlim? e1x???xlim?e0?1；；? lim(1?sinx)?ex?01x1limln(1?sinx)xx?0?ex ?0lim1?xlnxlimxln(1?sinx)1?ex?0limln(1? sinx)x?ex?0lim1?sinxcosx?e；；limxx?1?11?x?e11?limlnxxx?1?ex?11?ex? 1?。
elim?xl2.验证下列极限存在，但不能用洛必达法则求出。
1x；limx?sinx。
limx??x?0sinxxx2sin解：用洛必达法则求：11112xsin?x2cos(?2)x?limxxx?lim(2xsin1 ?cos1)，求不出limx?0sinxx?0x?0cosxxx1x2sinx?limx?xsi n1?limx?limxsin1?0；用一般的方法：limx?0sinxx?0sinxxx?0sinxx?0xx2sin用洛必达法则求：limx?sinx1?cosx?lim?lim(1?cosx)，求不出x??x??x??x1用一般的方法：limx?sinxsinx?lim(1?)?1?0?1。
x??x??xx3.设f(x)在x?0处二阶可导，且f(0)?0，试确定a的值使g(x)在x?0处可导，并求g?(0)，其中?f(x)x?0? g(x)??x x?0??a解：因为函数f(x)在x?0处二阶可导，则函数在x?0处一定连续，即有limf(x)?f(0)?0，x?0又因为函数g(x)在x?0处可导，所以函数在x?0处也一定连续，即有limg(x)?g(0),limx?0x?0f(x)f?(x)?lim?limf ?(x)?a x?0x?0x1根据导数的定义以及洛必达法则，有f(x)?ag(x)?g(0)f(x)?ax g?(0)?lim ?limx?lim2x?0x?0x?0xxxf(?1)??1?0,f(0)?1?0。
根据零点定理，f(x)在内有一零点，另一方面，对于任意实数x，有f?(x)?5x4?1?0，所以f(x)在(??,??)内单调增加，因此，曲线y?f(x)与x轴有且只有一个实根。
5. 求下列函数的的凹凸区间以及拐点：y?3x4?4x3?1；y?4?3x?9；y?xex；y?x?ln(1?x)；y? 解：函数的定义域为(??,??) 322又因为y??12x?12x,y???36x?24x?36x(x?)?0，得到x?0,x?2xarctanx；. y?e21?x232 3在(??,0)内，y???0，所以函数在此区间上是凹的，在(0,)内，y???0，所以函数在此区间上是凸的。
在(,??)内，y???0所以函数在此区间上是凹的。
且点(0,1)和点(,2323211)是曲线的拐点。
327函数的定义域为(??,??)。
因为y???112，易见函数在x?9处不可导。
,y???5333(x?9)29(x?9)当x?9时，y???0，曲线是凸的；当x?9时，y???0曲线是凹的。
点(9,4)为曲线的拐点。
函数的定义域为(??,??)。
因为y??e?xe,y???e(x?2)?0，得x??2。
当x??2时，y???0，曲线是凸的；当x??2时，y???0曲线是凹的。
点(?2,?2e)为曲线的拐点。
函数的定义域为(?1,??)。
因为y??1??2xxx11,y????0。
2x?1(1?x)所以当x??1时，y???0曲线是凹的。
函数的定义域为(??,??) 2(1?x2)4x(x2?3)又因为y??2,y????0，得到x??3,x?0,x?3 23(x?1)(1?x)在(??,?3)内，y???0，所以函数在此区间上是凸的在(3,0)内，y???0，所以函数在此区间上是凹的，在(0,3)内，y???0，所以函数在此区间上是凸的。
在(3,??)内，y???0所以函数在此区间上是凹的。
且点(?3,?33),(0,0),(3,)是曲线的拐点。
22函数的定义域为(??,??)。
earctanxearctanx(1?2x)1x?因为y??2，得。
,y????0222x?1(1?x)1arctan1112)为曲当x?时，y???0，曲线是凸的；当x?时，y???0曲线是凹的。