微积分第三章答案

微积分第三章答案

习题3-1 1. 验证函数f(x)?x4?x在区间[0,4]上满足罗尔定理的条件，并求出使得结论成立的点?。解：显然函数f(x)?x4?x在区间[0,4]上连续，在(0,4)上可导，且有f(0)?f(4)?0 所以函数在区间[0,4]上满足罗尔定理，则有f?(?)?4????24???0，??8。

32. 验证函数f(x)?x3?1在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件，并求出使得结论成立的?。解：函数f(x)?x3?1在区间[1,2]上连续，在(1,2)上可导，则满足拉格朗日中值定理，则有7f(2)?f(1)?3?2，即??。2?133. 函数f(x)?x4?1与g(x)?x2在区间[1,2]上是否满足柯西中值定理的所有条件，如满足，求出满足定理的数值?。解：函数f(x)?x?1与g(x)?x在区间上连续，在区间(1,2)上可导，则满足柯西中值425f(2)?f(1)4?3定理，则有，

即??。?2g(2)?g(1)2?4. 若4次方程a0x4?a1x3?a2x2?a3x?a4?0有4个不同的实根，证明4a0x3?3a1x2?2a2x?a3?0 的所有根皆为实根。证明：设f(x)?a0x4?a1x3?a2x2?a3x?a4，f(x)?0的四个实根分别为x1,x2,x3,x4，且x1?x2?x3?x4，则函数f(x)在[xi,xi?1](i?1,2,3)上满足罗尔定理的条件，则在(xi,xi?1)内至少存在一点?i，使得f?(?i)?0。这说明方程4a0x3?3a1x2?2a2x?a3?0至少有3个实根，而方程为3次方，则最多也只有3个实根，所以结论得到证明。 5. 设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)?0，证明：存在??(0,1)，使得f?(?)??f(?)?。解：构造辅助函数F(x)?xf(x)，而F(x)?xf(x)满足罗尔定理的条件，所以有在(0,1)，至少存在一点?，f(?)??f?(?)?0即f?(?)??6. 试用拉格朗日中值定理证明：sinx2?sinx1?x2?x1；当x?0时，f(?)?。x?ln(1?x)?x。1?x 解：设f(x)?sinx，则f(x)在区间(x1,x2)

上满足拉格朗日中值定理，则有sinx1?sinx2sinx1?sinx2?cos?,??(x1,x2)，又因为cos??1，则?1，x1?x2x1?x2sinx1?sinx2?x1?x2。设f(x)?ln(1?x)，则f(x)在区间(0,x)上满足拉格朗日中值定理，则有ln(1?x)1111ln(1?x)??1，???1，则??(0,x)，又因为1?xx1?x1??x1??即x?ln(1?x)?x 1?x。7. 证明等式：arctanx?arccotx??2。证明：设f(x)?arctanx?arccotx，则有f?(x)?(arctanx?arccotx)??0，所以f(x)?c，代入x?0，得到arctanx?arccotx??2。

8.设f(x)在[1,2]上具有二阶导数f??(x)，且f(2)?f(1)?0。若F(x)?(x?1)f(x)。证明：至少存在一点??(1,2)，使得F??(?)?0。证明：因为F(1)?F(2)?0，在[1,2]上应用罗尔定理，有F?(?1)?0，又因为F?(1)?0，所以在[1,?1]上应用罗尔定理，有F??(?)?0，[1,?1]?[1,2]。9.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明：在(a,b)内存在点?和?，使得

f?(?)?a?bf?(?)。2?证明：构造辅助函数g(x)?x2，f(x)与g(x)在(a,b)内满足柯西中值定理，即有f(b)?f(a)f?(?)f(b)?f(a)，??(a,b) ??22?g(b)? g(a)g(?)b?a而f(x)在(a,b)内满足拉格朗日中值定理，所以f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)，即f?(?)? a?bf?(?)。2?习题3-2 1. 用洛必达法则求下列极限：x3?3x?2sinaxx?sinxlim；lim；lim3；x?0sinbxx?0x?1x?x2?x?1x3ln(x?)(lnx)tan x2；lim；lim；lim??x????tanxxx?tan3xx?2221?limxex；

(8) limxcotx;lim(secx?tanx)；x?0x?022x??21x1tanx?)；lim?x；limxx；lim(x???x?1x?1x?0lnx1x11?xlim(1?sinx);

(14) limxx?0x?1 解：；limx?0sinbxx?0(sinbx)?x?0bcosbx0bx?sin x(x?sinx)?1?cosxsinx10lim?lim?lim?lim?；；332x?0x?0x?0x?00x(x)?3x6x6 ；

0x3?3x?2(x3?3x?2)?3x2?36x3lim32?lim3 2?lim2?lim?x?1x?x?x?1x?1(x?x?x?1)?x?1 3x?2x?1x?16x?22；；lim ?lim??lim?lim?3；?tan3x?cosxsi n3x?cosx??sinx?x?x?x?x?2222 ；lim?lim?limx???x????x(x)?x???22lnx?1x? 4limlnx?0；x???1x2xln(x?)(ln(x?))?cos2x?22 ；lim??lim??lim??0；??????tanx(tanx )x?x?x?222x?2112??1 ；limx2ex?limx?0e?limx?01x?0x2x?0x2ex(?

22)3x??；2?3x ；limxcotx?limx?0x?1；tanx ；lim(secx?tanx)?lim[x??2x??21sinx1?sinx? cosx?]?lim?lim?0；?sinxcosxcosxx ??cosxx?22 ；x1xlnx?(x?1)lnx ?)?lim?limx?1x?1x?1x?1 x?1lnx(x?1)lnxlnx?xxlnxlnx?11?lim?；

?limx?1xlnx?x?1x?1lnx?22 lim( ；limlnxtanxlimtanxlnxlnx?x?0cotxlimsin2x xx?0?lim