点图与数奇数与偶数
图论重要结论
定理1： 图G= (V, E)中所有顶点的度的和等于边数m 的2倍，即：推论1 在任何图中，奇点个数为偶数。
推论2 正则图的阶数和度数不同时为奇数 。
定理2 若n 阶简单图G 不包含Kl+1，则G 度弱于某个完全 l 部图 H ，且若G 具有与 H 相同的度序列，则: 定理3设T 是(n, m)树，则：偶图判定定理: 定理4图G 是偶图当且仅当G 中没有奇回路。
敏格尔定理: 定理5 (1) 设x 与y 是图G 中的两个不相邻点，则G 中分离点x 与y 的最小点数等于独立的(x, y)路的最大数目； (2)设x 与y 是图G 中的两个不相邻点，则G 中分离点x 与y 的最小边数等于G 中边不重的(x, y)路的最大数目。
欧拉图、欧拉迹的判定: 定理6 下列陈述对于非平凡连通图G 是等价的：(1) G 是欧拉图；(2) G 的顶点度数为偶数； (3) G 的边集合能划分为圈。
推论： 连通非欧拉图G 存在欧拉迹当且仅当G 中只有两个顶点度数为奇数。
H 图的判定: 定理H 图，则对V(G)的任一非空顶点子集S定理8 (充分条件) 对于n ≧3的单图G ，如果G 定理9 (充分条件) 对于n ≧3的单图G ，如果G 中的任意两个不相邻顶点u 与v ，有：定理10 (帮迪——闭包定理) 图G 是H 图当且仅当它的闭包是H 图。
定理11(Chv átal ——度序列判定法) 设简单图G 的度序列是(d1,d2,…,dn), 这里，d1≦d2≦…≦m<n/2,或者 dm>m,或者dn-m ≧ n-m,则定理12 设G 是n 阶单图。
若n ≧3且则G 是H 图；并且，具有n 个顶点 条边的非H 图只有C1,n 以及C2,5.定理13 (Hall G 存在饱和X 每个顶推论：若G 是k (k>0)正则偶图，则G 存在完美匹配。
定理14 (哥尼，1931) 在偶图中，最大匹配的边数等于最小覆盖的顶点数。
二年级上册数学课件-6.6 整理与提高(数学广场-点图与数) ▏沪教版 (共18张PPT)
偶数＋偶数＝偶数
我们的研究是：偶数＋偶数＝？ 我们的猜想 偶数＋偶数＝（奇数 偶数） 我们的验证 我们的结论
我们的研究是：奇数＋奇数＝？ 我们的猜想 奇数＋奇数＝（奇数 偶数） 我们的验证 我们的结论
我们的研究是：奇数＋偶数＝？ 我们的猜想 奇数＋偶数＝（奇数 偶数） 我们的验证 我们的结论
这些数是奇数还是偶数。
52 21 794 413 21 6
古人用图形表示数。
13610 Nhomakorabea……
……
1
4
9
16
偶数
奇数
偶数 24 12
奇数 13 11
6
8
10
…… 14
5
7
9
…… 13
偶数 ……
奇数 ……
游戏规则：转动转盘，停下后指针指的这 个数，再加上这个数本身。和是奇数就有 大奖，和是偶数就没有奖。
怎样安排合理？
小队人数是奇数 小队人数是偶数
小队人数是偶数 小队人数是奇数
课前游戏 找两个能拼成长方形的图形。
奇数＋奇数＝偶数
我们的研究是：偶数＋偶数＝？ 我们的猜想 偶数＋偶数＝（奇数 偶数） 我们的验证 我们的结论
我们的研究是：奇数＋奇数＝？ 我们的猜想 奇数＋奇数＝（奇数 偶数） 我们的验证 我们的结论
我们的研究是：奇数＋偶数＝？ 我们的猜想 奇数＋偶数＝（奇数 偶数） 我们的验证 我们的结论
奇数＋偶数＝奇数
81
7
2
6
3
54
start/stop
活动要求：
1.每组一套（3张）活动单，组长分给 每人一张； 2.可以用写算式或摆图形的方法来验证； 3.填完后组长组织一起讨论。
图论之图的分类
图论之图的分类简单图不含圈和重边的图称为简单图。
圈是⼀条边，它的两个顶点相同。
重边是同⼀对端点具有的多条边。
⼀个简单图的补图也是简单图。
团是图中两两相邻的定点的集合。
独⽴集（稳定集）是图中两两互不相邻的顶点组成的集合。
定理⼀：在任何⼀个图中，所有顶点的度数和是边数的2倍。
推论：每⼀个图的奇顶点个数是偶数个。
不规则图（irregular graph）如果图G的每两个顶点都有不同的度数，那么这样⼀个⼆阶或⼆阶以上的图G称为不规则图。
不存在不规则图⼏乎不规则图（almost irregular graph）如果图G只含有⼀对具有相同度数的顶点，那么这样的⼀个⼆阶或者⼆阶以上的图称为⼏乎不规则图。
补图（complement）对于每⼀个整数n(n>=2)都恰好存在阶为n的两个⼏乎不规则图，且他们互为补图。
对于⼀个给定的正整数集，其中最⼤数为n，存在⼀个n+1阶的图使得其顶点的度数恰好等于这些整数。
⼆部图⼆部图的顶点集由两个独⽴的顶点集组成，独⽴顶点集中的任意两个顶点之间不含有边。
⽐如任务分配图。
正则图（regular graph）如果图G的每个顶点都有相同的度数，则称图G为正则图。
如果度数是r，那么图G就称为r-正则图（r-regular graph）。
定理：对于任意两个整数r和n，且都不为奇数，0<=r<=n-1，那么⼀定会存在n阶的r-正则图。
例如：5阶图，不存在1-正则图和3-正则图，因为⼀个图顶点度为奇数的顶点数是偶数个。
不规则多重图与加权图 对任意⼀个阶数n>=3的图G，其⾄多有⼀个孤⽴点并且没有两个相邻的端点，那么存在⼀个不规则加权图的底图为G。
令其边从集合{1,2,3,...,k}中取值，⽣成⼀个不规则加权图，这样的最⼩数的数k叫做G的不规则强度（irregular strength），记作s（G）。
⼦图（subgraph）真⼦图、⽣成⼦图（spanning subgraph）：顶点集为图G的顶点集。
数学竞赛：图论讲义
数学竞赛：图论讲义大连市第二十四中学 邰海峰重要的概念与定理完全图 每两个顶点之间均有边相连的简单图称为完全图,有n 个顶点的完全图(n 阶完全图)记为n K .顶点的度 图G 中与顶点v 相关联的边数(环按2条边计算)称为顶点v 的度(或次数),记为()d v .()G δ与()G ∆分别表示图G 的顶点的最小度与最大度.度为奇数的顶点称为奇顶点,度为偶数的顶点称为偶顶点.树 没有圈的连通图称为树,用T 表示,其中度为1的顶点称为树叶(或悬挂点).n 阶树常表示为n T .k 部图 若图G 的顶点集V 可以分解为k 个两两不相交的非空子集的并,即1,()ki i j i V V V V i j ===∅≠并且同一子集i V (1,2,,)i k =内任何两个顶点没有边相连,则称这样的图为k 部图,记作12(,,,;)k G V V V E =. 2部图又叫做偶图,记为(,;)G X Y E =.完全k 部图 在一个k 部图12(,,,;)k G V V V E =中,i i V m =(1,2,,)i k =,若对任意,,(,,1,2,,)i i j j v V v V i j i j k ∈∈≠=均有边连接i v 和j v ,则称图G 为完全k 部图,记为12,,,k m m m K .欧拉迹 包含图中所有边的迹称为欧拉迹.起点与终点重合的欧拉迹称为闭欧拉迹.欧拉图 包含欧拉迹的图为欧拉图. 欧拉图必是连通图.哈密顿链(圈) 经过图上各顶点一次并且仅仅一次的链(圈)称为哈密顿链(圈).包含哈密顿圈的图称为哈密顿图.平面图 若一个图G 可画在平面上,即可作一个与G 同构的图G ',使G '的顶点与边在同一平面内,且任意两边仅在端点相交,则图G 称为平面图.一个平面图的顶点和边把一个平面分成若干个互相隔开的区域,称为平面图的一个面,在所有边的外面的面称为外部面,其余的称为内部面.竞赛图 有向完全简单图称为竞赛图.有n 个顶点的竞赛图记作n K .有向路 在有向图(,)D V U =中,一个由不同的弧组成的序列12,,,n u u u ,其中i u 的起点为i v ,终点为1(1,2,,)i v i n +=,称这个序列为从1v 到1n v +的有向路(简称路),n 为这个路的长,1v 为路的起点,1n v +为路的终点.若11n v v +=,则称这个路为回路.定理1 设G 是n 阶图,则G 中n 个顶点的度之和为边数的2倍.定理2 对于任意图G ,奇顶点的个数一定是偶数.定理3(Turan 定理) 有n 个顶点且不含三角形的图G 的最大边数为24n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.定理4 图G 为偶图,当且仅当G 中不含长度为奇数的圈.定理5 若树T 的顶点数2,则T 中至少有两个树叶.定理6 若数T 有n 个顶点,则T 的边数1e n =-.定理7 设T 是有n 个顶点、e 条边的图,则下列命题等价:⑴ 图T 是树; ⑵ 图T 无圈,且1e n =-; ⑶ 图T 连通,且1e n =-.定理8 n 阶连通图中以树的边数最少,且n 阶连通图必有一个子图是树.定理9(一笔画定理) 有限图G 是一条链或圈(可以一笔画成)的充要条件是G 是连通的,且奇顶点的个数为0或2. 当且仅当奇顶点个数为0时,连通图G 是一个圈.定理10 在偶图12(,;)G V V E =中,若12V V ≠,则G 一定无哈密顿圈.若1V 与2V 的差大于1,则G 一定无哈密顿链.定理11 设G 是(3)n n 阶简单图,且对每一对顶点,v v '有()()1d v d v n '+-,则图G 有哈密顿链.定理12 设G 是(3)n n 阶简单图,且对每一对不相邻的顶点,v v '有()()d v d v n '+,则图G 有哈密顿圈.定理13 设G 是(3)n n 阶简单图,若每个顶点的度()2n d v ,则图G 有哈密顿圈. 定理14 若图G 有哈密顿圈,从G 中去掉若干个点12,,,k v v v 及与它们关联的边得到图G ',则图G '的连通分支不超过k 个.定理15(欧拉公式) 若一个连通的平面图G 有v 个顶点、e 条边、f 个面,则2v f e +-=. 定理16 一个连通的平面简单图有v 个顶点、e 条边,则36ev -,对于连通的偶图,则有24ev -. 定理17 一个图是平面图当且仅当它不包含同胚于5K 或3,3K 的子图.定理18 设n 阶竞赛图n K 的顶点为12,,,n v v v ,则11(1)()()2n n i i i i n n d v d v +-==-==∑∑,且2211[()][()]n ni i i i dv d v +-===∑∑. 定理19 竞赛图中出度最大的点称为“优点”,“优点”到其余各点都有长度不超过2的链. 定理20 竞赛图n K 中存在一条长为1n -的哈密顿路. 定理21 竞赛图(3)n K n 中有一个回路是三角形的充要条件是有两个顶点,v v '满足()()d v d v ++'=.定理22(Ramsey 定理) 任意2色完全图6K 中必存在同色三角形.例题选讲例1 某天晚上21个人之间通了电话,有人发现这21人共通话102次,且每两人至多通话一次.他还发现,存在m 个人,第1个人与第2个人通了话,第2个人与第3个人通了话,……, 第1m -个人与第m 个人通了话,第m 个人又与第1个人通了话,他不肯透露m 的具体值,只说m 是奇数.求证: 21个人中必存在3人,他们两两通了话.证：用21个点表示21个人,若两人通电话则对应两点连一条边,构成图G .由已知,G 中存在一个长度为m 的奇圈.要证: G 中存在三角形.设图G 中长度最短的奇圈为C ,长度为21k +.若1k =,则C 为三角形.若2k ,设C 为12211k v v v v +,则i v 与j v 之间无边(1,21,1(mod 21)i j k j j k +-≡±+),否则,若i v 与j v 相邻,则圈12211i j k v v v v v v +与圈1i i j i v v v v +长度之和为23k +,故其中必然有一个长度小于21k +的奇圈,与C 最短矛盾.假设除1221,,,k v v v +外的21(21)202k k -+=-个点无三角形,由Turan 定理,它们至多连了22(202)(10)4k k ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦条边. 又其中任意一点不与C 的相邻两点相邻(否则存在三角形),所以它至多与C 中k 个点相邻.故总边数为221(202)(10)k k k k ++-+-22210021102(1)102(21)101k k k =++-=----=(2k ).与图G 共有102条边矛盾. 故图G 中存在三角形,即存在三个人两两通话.例2 45个校友聚会,在这些人中,任意两个熟人数目相同的校友互不认识.问在参加校友聚会的所有人中,熟人最多的人的数目最多是多少?解: 用45个点表示45个人,若两人认识,则对应两点间连一条边,得图(,)G V E =.设共有m 个人熟人最多,每人有t 个熟人,这些人对应的点构成集合X ,其余的人对应点构成集合Y ,显然X Y V =,X Y =∅.由题意知,X 中任何两点不相邻,且(),(1,2,,)i d v t i m ==,G 中各顶点的度的最大值()G t ∆=.下面证明:22m. 若23m ,则X 中至少有23个点,每点的度为t ,且任意两点不相邻,则从X 中发出的另一端是Y 中点的边共有23t 条,而22Y .所以,Y 中至少有一个点的度大于t ,与()G t ∆=矛盾.当22m =时,构造完全偶图22,23G K =,满足题意. 故熟人最多的人数最多为22人.例3 在17名科学家中，每人都和其它人通信．在他们的通信中只讨论三个题目．而且任意两名科学家通信时，只讨论一个题目．证明，其中至少有三名科学家，他们相互通信时，讨论的是同一个题目．证: 用顶点代表科学家,两人相互通信则连上一条边.若两人在通信中讨论第i (1,2,3)i =个题目,则在此边上染上第i 种颜色. 在这个三色完全图17K 中,任取一个顶点, 从它出发的16条边中，至少有染上某一种颜色(设为第i 种颜色)的边的数目不小于6．从其中取出6条第i 种颜色的边,如果这些边的另一端点所构成的子图6K 中含第i 色边，这就构成第i 色三角形. 否则,6K 就是两色完全图,由Ramsey 定理知，其中必有单色三角形．这就是说，有三位科学家在通信中讨论的是同一题目．证毕．例4 设n 个新生中,任意3个人中有2个人互相认识,任意4个人中有2个人互不认识,求n 的最大值.解: 所求n 最大值为8.8n =时,如右图,其中128,,,A A A 表示8两点相邻当且仅当两人认识.下面设n 个学生满足题设要求,证明8n.为此,先证明如下两种情况 不可能出现.⑴若某人A 至少认识6个人,记为126,,,B B B .由Ramsey 定理知, 这6个人中或存在3个人互不认识(与已知任意3个人中有2个人互相认识 矛盾),或存在3个人互相认识,这时,A 与这3个人共4个人两两互相认识,与已知矛盾.⑵若某人A 至多认识5n -个人,则剩下至少4个人均与A 互不认识,从而,这4个人两两认识,与已知矛盾.当10n 时,⑴与⑵必有一种情况出现,故此时n 不满足要求.当9n =时,要使⑴与⑵都不出现,则此时每个人恰好认识其他5个人,于是,这9个人产生的“朋友对”的数目为952N ⨯∉,矛盾. 由上述讨论知,8n .3 4 A A综上,n 的最大值为8.例5 设(3)n n >是整数, 在一次会议上有n 位数学家,每一对数学家只能用会议规定的n 种办公语言之一进行交流,对于任意3种不同的办公语言,都存在3位数学家用这3种语言互相交流.求所有可能的n ,并证明你的结论.证:当n 位奇数时,结论成立.原命题等价于将完全图n K 的边染以n 种颜色之一,使得对于任意3种颜色,都存在3个顶点,它们相互所连的边为这3种颜色.由于n 种颜色有3n C 种选取方法,而顶点也有3n C 种选取方法,这就意味着每3个顶点相连的边一定被染为确定的3种颜色,不能染为其他情况的颜色,反之亦然.特别地,对于每一个三角形其3条边为3种不同颜色.固定颜色S ,恰好有21n C -个三角形,其有一条边为颜色S ,而颜色为S 的边可以与其他2n -个顶点构成2n -个三角形.于是,有21122n C n n --=-条边被染为颜色S .所以,n 不能为偶数. 当n 为奇数时,将n 个顶点分别记为顶点1,2,,n ,n 种颜色记为12,,,n S S S ,连结顶点,i j 的边染为颜色t S ,其中(mod )t i j n ≡+.则对于任意3种颜色123,,t t t S S S ,有同余方程组123(mod )(mod )(mod )i j t n j k t n k i t n +≡⎧⎪+≡⎨⎪+≡⎩. 利用消元法,可得在{}1,2,,n 内有唯一的解(,,)i j k ,且,,i j k 互不相同. 所以,对于任意3种颜色,存在唯一的三角形,其3条边的颜色为这3种颜色.例6 一个元素都是0或1的方阵称为二进制方阵. 若二进制方阵其主对角线（左上角到右下角的对角线）以上（不包括主对角线）的元素都相同，而且主对角线以下（不包括主对角线）的元素也相同，则称它为一个“好方阵”. 给定正整数m . 证明：存在一个正整数M ，使得对任意正整数n M >和给定的n n ⨯二进制方阵n A ,可选出整数121n m i i i n -<<<，从n A 中删除第12,,,n m i i i -行和第12,,,n m i i i -列后所得到的二进制方阵m B 是“好方阵”.证:记n A 中第i 行，第j 列的元素为,i j a ，n K 表示n 阶完全图. 我们对n K 的边按如下方式染色：对于连接顶点,(1)i j i j n <的边⑴ 若,,0i j j i a a ==，则染红色； ⑵ 若,,0,1i j j i a a ==，则染绿色；⑶ 若,,1,0i j j i a a ==，则染蓝色； ⑷ 若,,1i j j i a a ==，则染白色.按照上面的染色方式，则一个单色完全子图m K 对应于n A 的一个“好子方阵”.事实上，若12,,,,m i i i v v v 是m K 的顶点，我们可以删去指标12{1,2,3,,}\{,,,}m j n i i i ∈的n m -行和n m -列，得到一个“好子方阵”m B .我们只需取M 使得，对任何n M >，四染色的n K 必定包含一个单色子图m K .根据Ramsey 定理，我们可取(,,,)M R m m m m =即可.例7 现有十个互不相同的非零数.现知它们之中任意两个数的和或积是有理数.证明:每个数的平方都是有理数.证:考查其中任意6个数.作一个图,在它的6个顶点上分别放上我们的6个数.如果某两个数的和为有理数,就在相应的两个顶点之间连一条蓝边;如果某两个数的积为有理数,就在相应的两个顶点之间连一条红边.由Ramsey 定理,此图中存在一个同色三角形.⑴ 若存在蓝色三角形,则表明存在三个数,,x y z ,使得,,x y y z z x +++都是有理数.因而()()()x y z x y z +++-+2x =为有理数,亦即x 为有理数.同理可知y 和z 也都是有理数.此时我们再来观察其余的任意一个数t .显然,无论由xt 的有理性(由已知,所有的数均非0),还是由x t +的有理性,都可以推出t 为有理数.所以此时10个数都是有理数.⑵ 若存在红色三角形,则表明存在三个数,,x y z ,使得,,xy yz zx 都是有理数.因而()()xy zx yz2x =为有理数,同理可知2y 和2z 也都是有理数.如果,,x y z 三者中至少有一个为有理数,那么只要按照前一种情况进行讨论,即可得知我们的10个数都是有理数.现在设x =其中a 为有理数,而1m =±.由于xy b ==是有理数,所以y===其中c m ≠为有理数.再观察其余的任意一个数t ,若xt 或yt 为有理数,则经过与上述类似的讨论,可知t =其中d 为有理数,因而2t 为有理数.而若x t +与y t +都是有理数,则()()x t y t +-+是有理数,但()()(x t y t m c +-+=-,矛盾.综上,我们已证或者每个数都是有理数,或者每个数的平方都是有理数.练习1.旅行团一行6人到一个城市观光,此城市开放15个景点,每人可选择若干个景点参观(亦可不选或全选). 求证: 或者必有3人,他们选择的景点各不相同; 或者必有4人,在他们选择的景点中有相同的.2.设一次至少有5人参加的循环赛的结果满足如下条件:若A 胜B,则胜A 而负于B 的人数不少于胜B 而负于A 的人数.证明:对任意两人,x y ,总有另外两人,z w ,使得若x 胜y ,则y 胜z 、z 胜w 、w 胜x .3．在一个足球联赛里有20支球队.第一轮它们分成10对互相比赛,第二轮也分成10对互相比赛(每支球队两轮比赛的对手不一定不同).求证:在第三轮开赛之前,一定可以找到10支球队,它们两两没有比赛过.4.某国际社团共有 1978 名成员，他们来自六个国家,用号码1,2,3,,1978给成员编号．证明至少有一名成员,他的编号是他的某个同胞的 2 倍,或者是两位同胞编号之和．练习题答案1.证:用6个点表示6个人,再用15个点表示15个景点.若某人选择了某个景点,则在相应两点之间连一条边,得一偶图.以i N 表示点i v 在图中的邻域,它表示第i 个人选择的景点的集合(1,2,,6i =).假设结论不真,则⑴任意三个i N 有公共元,且⑵任意四个i N 无公共元.由⑴知,对每个i N ,在{},16j N j i j ≠中每取两个与i N 的交均非空,故可确定i N 的一个元素,用这样的方式可确定2510C =个元素.由⑵知,这些元素各不相同,故每个i N 至少有2510C =个不同的元素.对每个(16)i i 这样做,得到25660C =个元素.又由⑵知,每个元素至多是3个i N 的公共元,故每个元素至多重复计算3次.故其中不同的元素至少有256203C =个,即至少有20个景点,矛盾. 2. 证：由题意知,若A 胜B 且存在胜B 而负于A 的人,则必存在胜A 而负于B 的人.任取两选手,x y 且x 胜y ,分三种情况讨论:⑴若存在w 胜y 且有x 胜y 而负于w ,根据条件,存在z 胜w 而负于y ;⑵若存在z 同时负于,x y ,则y 胜z 而x 同时胜,y z ,同情形⑴;⑶若不存在有同时胜(或同时负于),x y 的人,在其余3人中,胜x 而负于y 的至少有2人,设为,w z ,且z 胜w ,则,,,x y z w 符合题意.3. 证:用20个点表示20个球队,第一轮互相赛过的队之间连红线,第二轮互相赛过的队之间连蓝线,则每个点都连有一红一蓝两条边,从而整个图必由一个或若干个偶圈组成.在每个偶圈中可以选出半数定点,任两个不相邻,共选出10支球队,两两未赛过.4.证: 用顶点表示成员，并加上编号．于是任意两顶点,i j v v 编号差大于 0 而小于 1978．如果这个差是第(16)i i 国成员的编号，则将(,)i j v v 边染上第i 种颜色i C ,这样我们就用六种颜色染了1978K 的所有边. 以下首先证明,六色完全图1978K 中必定含有单色三角形． 取1978K 的任一顶点v ,与它关联的 1977 条边分为 6 种颜色，于是其中必有一种颜色的边至少有197713306⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦条. 不妨设12330,,,vu vu vu 是1C 色边．如果1978K 中以12330,,,u u u 为顶点的完全子图330K 中含有1C 色边(,)(1,330)i j u u i j ,则i j vu u 为1C 色三角形，命题得证．如果330K 不含1C 色边，则330K 是五色完全图．从它的顶点1u 引出的 329 条边中至少有3291665⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦条边同色（1C 色之外的某色）,不妨设1213167,,,u u u u u u 边为2C 色．以2367,,,u u u 为顶点的完全子图66K 中如果有2C 色边(,)(2,67)s t u u s t ,那么在1978K 中就有2C 色三角形1s t u u u ,命题得证．若此66K 中没有2C 色边，则此66K 是4色完全图．由66K 的顶点2u 伸出的65条边,共4种颜色，至少有651174⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦条边是除12,C C 外的某种颜色．不妨设2324219(,),(,),,(,)u u u u u u 是3C 色边．66K 中以3419,,,u u u 为顶点的完全子图17K 中若含3C 色边(,)(3,19)p q u u p q ,则2p q u u u 为3C 色三角形．否则17K 为三色完全图．由例3可知必有单色三角形．因此六色完全图1978K 中必有单色三角形．其次，设三角形xyz 是1978K 中的i C 色三角形．其中x y z >>，由染色方法，若a x y =-, b y z =-,c x z =-,则,,a b c 都是第i 国成员的编号．显然c a b =+,如果a b =，那么2c a =.证明完毕．。
一笔画问题
在行测考试中，图形推理中的一笔画问题，一直都是考生在考试中容易失分的题目。
其实主要问题存在于几个方面。
一、考生无法判断，什么样的图形考查的是一笔画;二、对一笔画图形的判断方法不了解。
接下来，中公教育专家卢志喜会从这两个方面给大家揭开一笔画的神秘面纱。
一、什么样的图形是一笔画图形定义：一笔画图形是一个图形从起点到终点可由一笔画成而中间没有间断，一笔画图形点可以重复，而线不可以重复。
一笔画图形具有两个比较明显的特点。
①图形相异;②图形简单;③图形一部分。
因此考生在复习图形推理时，除了要掌握相异图形常考的考点，点、线之外，还要掌握一笔画。
在复习备考的过程中首先要掌握一些简单的一笔画图形。
例如：长方形、正方形、三角形、五角星、圆。
当出现这些基本图形，或者在简单图形上增减了部分线条时，有一定的敏感性。
二、如何判断一个图形是否是一笔画图形方法一、奇偶点判断法奇点：从一个点引出的线条数为奇数;偶点：从一点引出的线条数为偶数。
规律：⒈凡是奇点数为2或者0的图形，一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
(利用奇点数判断，图形必须是一部分，比如“回”，奇点数为0，但是不能一笔画)2.其他情况的图都不能一笔画出。
(有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成。
)利用奇偶点法判断下列几个图形是否为一笔画图形，非一笔画图形需几笔画成?分析：图形1.奇点数为2，偶点为2，可以一笔画成。
图2.奇点为0，偶点为3，可一笔画。
图3.奇点为6，偶点为0，三笔可画成。
图4.奇点为0，偶点为10，可一笔画。
图5.奇点为4，偶点为5，可2笔画。
图6.奇点为4，可2笔画。
奇偶点判断法规律适合一切一笔画图形。
方法二、区域连通法规律：1、平面内区域可以构成两两连通的区域(表示图形没有单独的出头的线条)，且区域之间属于单连通，这样的图形可以一笔画。
(单连通表示从一个区域到另一个区域只有唯一的路径，且经过的区域不能重复)利用区域连通法，判断下列几个图形是否为一笔画图形?分析：首先对图形进行区域划分，如下：图1.区域1到区域2是单连通，可以一笔画。
【空中课堂逐字稿】沪教版小学数学二上【6.7】数学广场—点图与数①
【6.7】数学广场—一点图与数①一、练习引入师：小朋友们好，我是傅老师，很高兴能在接下来的几天里陪伴大家一起学习。
老师知道大家已经学了很多本领啦，让我们先做几道题热身一下吧。
师：数一数，有多少筷子。
胖：这里有1根筷子。
亚：这里有2根筷子，我觉得也可以说1双筷子。
师：2根为1双，小亚考虑问题很全面哦，真棒。
让我们继续往下看。
巧：这里有3根筷子。
师：是几双呢？巧：2根就是一双，3根是1双还多1根。
胖：我来说，这是4根筷子，也可以说是2双筷子。
丁：这里有6根筷子，也可以说是3双筷子。
巧：这里有7根筷子，就是3双多1根。
师：小朋友们善于观察，也乐于表达。
通过刚才的热身题，你们有什么发现吗？胖：我发现，数筷子的结果要么是正好几双，要么是几双多一根。
亚：这应该和筷子的数量有关吧。
师：是啊，有的数两个两个分正好分完，有的两个两个分会多1。
今天这节课，我们就对大家非常熟悉的“数”做更深一步的研究，去发现它们身上更多的秘密。
二、探索新知1. 认识点图师：为了研究方便，我们把筷子换成小圆点。
一个小圆点就表示1。
2个一摆表示2。
3呢？2个一摆还多1个，表示3。
两个两个排成行。
我们可以这样表示4、6和7。
把这些小圆点放到方格中。
这就是今天老师给大家带来的好朋友“点图”，它将和我们一起研究数。
小朋友你会用这样的点图表示5、8、9和10吗？一起来摆一摆。
师：小胖你先来。
胖：我来说5和8。
两个一摆，摆2次，多1个，就是5。
两个一摆，摆4次，是8。
亚：8再加1个就是9。
丁：两个一摆，摆5次，是10。
师：小朋友，你摆对了吗？想一想，11至20又该怎么用这样的点图表示呢？师：一起核对一下，看一看和你想的一样吗？师：小朋友都很能干哦。
通过摆一摆、想一想，大家一定对这些数有了更多新的认识吧。
2.结合点图，认识奇数和偶数师：如果把1至这10个数分类，你会怎么分呢？师：小丁丁，先说说你的想法吧。
丁：我把这10个数分成2类，1、3、5、7、9分为一类，剩下的2、4、6、8、10分为一类。
冀教版四年级数学上册第五单元《倍数和因数》知识点汇总
五倍数和因数一、自然数1.自然数。
(1)自然数的意义:像0、1、2、3、4、5、6、7、8……这些用来表示物体个数的数,都是自然数。
(2)自然数可以用直线上的点来表示,如下图:2.奇数、偶数。
(1)奇数:像1、3、5、7、9、11、13、15……这些都是单数,单数又叫做奇数。
(2)偶数:像2、4、6、8、10、12、14、16……这些都是双数,双数又叫做偶数。
0也是偶数。
二、倍数1.倍数。
(1)倍数的意义。
两个自然数能够整除,我们就说被除数是除数的倍数。
例如:36÷9=4 我们就说36是4和9的倍数。
(2)0的特殊性。
在自然数中,0除以任何一个非0自然数都得0,所以0是任何一个非0自然数的倍数。
(3)特征。
小知识:最小的自然数是0,没有最大的自然数。
小发现:用直线上的点表示自然数,右边的总比左边的大。
温馨提示:最小的奇数是1,最小的偶数是0。
特别提示:倍数不是单独存在的,不能单独说某个数是倍数,只能说某数是某数的倍数。
温馨提示:在研究因数和倍数时,我们所说的数,一般是指不包括0的自然数,也就是说在非0自然数如1、2、3、4、6、12这些数都是12的因数。
(2)特征。
一个数的因数的个数是有限的。
其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。
(3)求一个数的因数的方法。
利用积与因数的关系一对一对地找,从最小的自然数找起,一直找到它本身。
2.质数和合数。
(1)非0自然数按因数个数的多少可分为质数和合数。
{质数:只有1和它本身两个因数的数叫做质数。
1:1既不是质数,也不是合数。
合数:除了1和它本身外,还有其他的因数的数叫做合数(2)100以内的质数有25个,它们是2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
(3)质因数、分解质因数。
①质因数:每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每个质数叫做这个合数的质因数。
沪教版数学二年级上册《数学广场点图与平方数》的教学反思.doc
的挑战。
尽管在教学过程中力求根据预先设计的教学环节一步一步地实施教学，但是还是有意想不到的情况发生，比如整节课最难的第三部分，学生很难找出奇数与平方数之间的关系，经过教师的再三引导，最终学生理解了其中的关系。
但是对于两年级的学生来说，他们很难用语言来表述清楚这样的关系。
在这节课的教学过程中，教师并没有在学生说不出奇数与平方数关系的时候，自己来告诉他们结论，而是一次又一次地通过直观的图来引导，从而使学生自己认识到其中
的规律和关系。
通过这节课的教学，我们发现学生的学习完全是可以通过自己在操作中探究而得到结果的，教师的作用就是要引导学生发现最终的结论。
沪教版六年制二年级上册数学练习题数学广场点图与数练习题
4个9相乘是（ ）的平方；4个1相乘是（ ）的平方。
32．按要求写数。
写出101前面的4个平方数（ ）。
33．8+1=
8+3=
8+5=
8+7=
8+9=
8+11=
偶数+奇数=（ ）
34．6+1=
6+3=
6+5=
6+7=
6+9=
6+11=
偶数+奇数=（ ）
35．20+11=
20+31=
23．20；22；24；26
【解析】考查奇数与偶数的概念，即能被2整除的数是偶数，反之是奇数。看清题目要求，然后填空即可。
24．11；21；31；41；51；61；71；81；91
【解析】考查奇数与偶数的概念，即能被2整除的数是偶数，反之是奇数。看清题目要求，然后填空即可。
25．12；22；32；42；52；62；72；82；92
33、棱长是3m的正方体木箱放在地上，占地面积（ ），占空间（ ）。
34、一个圆柱形水桶，里面盛50L的水正好盛满，把一个铁块放入桶中，就要流出30L的水，这个铁块的体积是（ ）。
35、一个圆柱的侧面展开图是个正方形，这个圆柱高是底面直径的（ ）倍。
36、用一根36cm长的铁丝焊成一个最大的正方体模型，它的表面积是（ ）。
8．10；12；14；16
【解析】根据给出的数找规律，然后补充后边的空格即可。
9．8；11；10；13
【解析】根据给出的数找规律，然后补充后边的空格即可。
10．21；25；29；33
【解析】根据给出的数找规律，然后补充后边的空格即可。
奇数与偶数
§1奇数与偶数寄数和偶数1.已知七个连续偶数，其中最大数是最小数的3倍，求这七个数。
2.有七个连续奇数，第二个数与第六个数的和为38，求各数。
3.有十个连续奇数，第五个数与第八个数的和为56，求第一个数。
4.小敏给9个点分别涂上红色或兰色，涂完后又全部擦干净，然后再涂一遍，两次总共涂上红色和兰色的点各9个。
证明：至少有一个点两次涂的颜色不相同。
5.任意交换某个三位数的数字顺序得到一个新的三位数，小乐将原三位数与新三位数相加求得和为999。
请你指出他的错误。
6.沿江有1、2、3、4、5、6号六个码头，相邻两码头间的距离都相等。
早晨有甲、乙两船从1号码头出发，各自在这些码头间多次往返运送货物。
傍晚，甲船停泊在6号码头，乙船停泊在1号码头。
求证：甲、乙两船的航程不相等。
7.对图2-1的两个分图进行染色，要求相邻的区域染不同的颜色。
问：至少需要几种颜色？8.平面上有7个点，每三个点都不在一条直线上，现在从每一个点都引出五条线段和其余的任意五个点相连。
你能连成吗？请说明道理。
9.有一个由19条线段组成的封闭折线，你能找到一条与这个封闭折线的每条线段都相交的直线吗？（要求交点不在线段的端点上）10.有一根团成一团的毛线，拿剪刀任意剪一刀，假设剪出偶数个断口。
问：这根毛线被分成的段数是偶数还是奇数？11.某年级150名同学准备选一名同学在庆祝教师节大会上给老师献花。
选举的方法是：让150名同学排成一排，由第一名开始报数，报奇数的同学落选退出队列，报偶数的同学站在原位置不动，然后再从头报数，如此继续下去，最后剩下的一名当选。
小胖非常想去，他在第一次排队时应该站在队列的什么位置上才能被选中？12.哥哥和弟弟玩扑克，哥哥整好牌后让弟弟从上往下取出所有第奇数张牌，这样，第一次弟弟拿走了27张牌，还剩下27张牌；哥哥又让弟弟从上往下取出剩下牌的第奇数张牌，这样，弟弟又拿走了14张牌，剩下13张牌；……；这样一直进行到剩下最后1张牌。
人教版数学4-6年级下册【第5课】图文讲解、知识点及练习
人教版数学4-6年级下册【第5课】图文讲解、知识点及练习展开全文四年级电子课本▼▼▼▼知识点生活中怎么用数学呢？在解决租船类的实际问题时，可以先假设，再调整，从而找出最优方案。
参考答案1、（说出运算顺序略）70 330 215 47002、320×[（128+147）÷25]=3520(920+438÷73)×34=314843、(竖排)64 136 136 10 390 2404、900÷40=22（元） (20)（元）500÷20=25(元)多租大车便宜。
(326+14)÷40=8（辆）……20（人）余下20人正好租1辆小车，所以租8辆大车、1辆小车最省钱。
5、(1)方案一的出游价格：150×6+60×4=1140(元)方案二的出游价格：(6+4)×100=1000(元)1000<1140，选方案二合算。
(2)方案一的出游价格：150×4+60×6=960(元)方案二的出游价格：(4+6)×100=1000(元)960<1000，选方案一合算。
6、3×4+6×2=24(6+4-2)×3-243×6+2+4=24 6×4- (3-2) =24（答案不唯一）图文解读点击图片，查看大图▼▼▼▼练习三课堂练习同步练习11．实验二小篮球社团26名队员去划船。
每条小船限坐4人，租金24元；每条大船限坐6人，租金30元。
怎样租船才能使租金最少？想：(1)小船每个座位(6)元，大船每个座位(5)元，租(大)船便宜。
(2)要想租船租金最少，第一要尽量租(大)船，第二尽量不能空座位。
(3)租(3)条大船和(2)条小船刚好可以坐26人，此时租金最少。
列式解答：30×3＋24×2＝138(元)2．有40名同学去划船，大船每条限坐6人，租金10元；小船每条限坐4人，租金8元。
趣味数学
数一数如果有人问你“会数数儿吗？”，你会不屑一顾地说：“这么大了，还不会数数儿！”其实，数数儿的学问还是很大的。
不信，请你数出下面几何图形的个数。
分析与解图（1）中：边长1个单位的三角形有12个；边长2个单位的三角形有6个，边长3个单位的三角形有2个。
一共有三角形20个。
图（2）中：先按公式，计算出边长8个单位的大正方形中，共有（12＋22＋32＋42＋52＋62＋72＋82）=204个正方形；然后再分别计算左、右两侧各多出的一部分构成13×2=26个正方形；最后计算出共有大、小不同的正方形204＋26=230个。
图（3）中：共有长方形（1+2＋3+ 4＋5）×（1+2+3＋4）= 15×10=150（个）。
下面这些图形你能一笔画出来吗？（不重复画）图16分析与解一笔画需要解决两个关键问题。
一个是这幅图能不能一笔画？另一个是，若能一笔画，应该怎样画？对于这两个问题，数学家欧拉在1736年研究了“哥尼斯堡七桥”的问题后，做了相当出色的回答。
他指出，如果一幅图是由点和线连接组成，那么与奇数条线相连的点叫“奇点”；与偶数条线相连的点叫“偶点”。
例如，在图17中，B为奇点，A和C为偶点。
图17如果一幅图的奇点的个数是0或是2，这幅图可以一笔画，否则不能一笔画。
这是对第一个问题的回答。
欧拉又告诉我们，如果一幅图中的点全是偶点，那么，你可以从任意一个点开始画，最后还回到这一点；如果图中只有两个奇点，那么必须从一个奇点开始画，并结束于另一个奇点。
本题的4幅图，其中图（1）、（4）各有两个奇点，图（2）、（3）的奇点个数为0。
因此这4幅图都可一笔画。
画法请参看图图18养貂专业户养殖场内安置了9个貂笼（如下图）。
为了节省每次喂食的时间，他必须走一条最短的路，但又不能漏掉一个貂笼，喂完食后还要回到原出发点。
你能替他设计一条最短的路线吗？并算出每喂食一次，至少要走多少米的路。
分析与解要给9个貂笼的貂分别喂食，最短的路线不止一条。
奇数与偶数及奇偶性的应用
一、基本概念和知识1.奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
2.奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数。
性质2：偶数±奇数=奇数。
性质3：偶数个奇数相加得偶数。
性质4：奇数个奇数相加得奇数。
性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。
二、例题利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题.例1 1+2+3+…+1993的和是奇数？还是偶数？分析此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇数，还是偶数.但是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判断和的奇偶性.此题可以有两种解法。
解法1：∵1+2+3+…+1993又∵997和1993是奇数，奇数×奇数=奇数，∴原式的和是奇数。
解法2：∵1993÷2=996…1，∴1～1993的自然数中，有996个偶数，有997个奇数。
∵996个偶数之和一定是偶数，又∵奇数个奇数之和是奇数，∴997个奇数之和是奇数。
因为，偶数+奇数=奇数，所以原式之和一定是奇数。
例2 一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？解法1：∵相邻两个奇数相差2，∴150是这个要求数的2倍。
∴这个数是150÷2=75。
解法2：设这个数为x，设相邻的两个奇数为2a+1，2a-1（a≥1）.则有（2a+1）x-（2a-1）x=150，2ax+x-2ax+x=150，2x=150，x=75。
∴这个要求的数是75。
例3 元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？分析此题初看似乎缺总人数.但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关。
竞赛专题：奇数、偶数及奇偶分析
奇数、偶数及奇偶分析一、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．若按奇偶性分类，则12+22+32+…+20022002是_________数．2．能不能在下式的各个方框中分别填入“+”号或“一”号，使等式成立？答：_________．3．已知三个质数a、b、c满足a+b+c+abc=99，那么|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|的值等于_________．4．在1，2，3，…，1998之前任意添上“十”或“一”号，然后相加，这些和中最小的正整数是_________．5．1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两整数的平方差的个数是_________．6．在一次象棋比赛中，每两个选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，平局每个选手各记1分，今有4个人统计百这次比赛中全部得分总数，由于有的人粗心，其数据各不相同，分别为1979，1980，1984，1985，经核实，其中有一人统计无误，则这次比赛共有_________名选手参加．7．已知p、q、pq+1都是质数，且p﹣q＞40，那么满足上述条件的最小质数p=_________，q=_________．8．三个质数之和为86，那么这三个质数是_________．二、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）9．已知n为整数，现有两个代数式：（1）2n+3，（2）4n﹣1，其中，能表示“任意奇数”的（）A．只有（1）B．只有（2）C．有（1）和（2）D．一个也没有10．如果a，b，c都是正整数，且a，b是奇数，则3a+（b﹣1）2c是（）A．只当c为奇数时，其值为奇数B．只当c为偶数时，其值为奇数C．只当c为3的倍数，其值为奇数D．无论c为任何正楚数，其值均为奇数11．设a，b为整数，给出下列4个结论：（1）若a+5b是偶数，则a﹣3b是偶数；（2）若a+5b是偶数，则a﹣3b是奇数；（3）若a+5b是奇数，则a﹣3b是偶数；（4）若a+5b是奇数，则a﹣3b是奇数，其中结论正确的个数是（）A．0个B．2个C．4个D．1个或3个12．下面的图形，共有（）个可以一笔画（不重复也不遗漏；下笔后笔不能离开纸）A．0 B．1 C．2 D．313．π的前24位数值为3.14159265358979323846264…，在这24个数字中，随意地逐个抽取1个数字，并依次记作a1，a2，…a24，则（a1﹣a2）（a3﹣a4）…（a23﹣a24）为（）A．奇数B．偶数C．奇数或偶数D．质数14．如a、b、c是三个任意整数，那么、、（）A．都不是整数B．至少有两个整数C．至少有一个整数D．都是整数15．（2001•荆州）将正偶数按下表排成五列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行 2 4 6 8第2行16 14 12 10第3行18 20 22 24………28 26根据上面排列规律，则2000应在（）A．第125行第1列B．第125行第2列C．第250行第1列D．第250行第2列16．如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为a，右图轮子上方的箭头指着的数字为b，数对（a，b）所有可能的个数为n，其中a+b恰为偶数的不同数对的参数为m，则m/n等于（）A．B．C．D．17．已知a、b、c中有两个奇数、一个偶数，n是整数，如果S=（a+2n+1）（b+2n+2）（c+2n+3），那么（）A．S是偶数B．S是奇数C．S的奇偶性与n的奇偶性相同D．S的奇偶性不能确定三、解答题（共16小题，满分88分）18．（1）是否有满足方程x2﹣y2=1998的整数解x和y？如果有，求出方程的解；如果没有，说明理由．（2）一个立方体的顶点标上+1或一1，面上标上一个数，它等于这个面的4个顶点处的数的乘积，这样所标的14个数的和能否为0？19．甲、乙两人玩纸牌游戏，甲持有全部的红桃牌（A作1，J，Q，K分别作11，12，13，不同），乙持有全部的黑桃牌，两人轮流出牌，每次出一张，得到一对牌，出完为止，共得到13对牌，每对牌彼此相减，问这13个差的乘积的奇偶性能否确定？20．没标有A、B、C、D、C、F、G记号的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关，现在A、C、E、G4盏灯开着，其余3盏灯是关的，小刚从灯A开始，顺次拉动开关，即从A到G，再从A始顺次拉动开关，即又从A到G…，他这样拉动了1999次开关后，问哪几盏是开的？21．有1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下．现要求每一次翻转其中任意6枚，使它们的国徽朝向相反，问能否经过有限次翻转之后，使所有硬币的国徽都朝上？给出你的结论，并给予证明．22．对一个正整数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到1时操作停止，求经过9次操作变为l的数有多少个？23．高为50cm，底面周长为50cm的圆柱，在此圆柱的侧面上划分（如图所示）边长为lcm的正方形，用四个边长为lcm的小正方形构成“T”字形，用此图形是否能拼成圆柱侧面？试说明理由．24．（1）设1，2，3，…，9的任一排列为a l，a2，a3…，a9．求证：（a l l一1）（a2﹣2）…（a9﹣9）是一个偶数．（2）在数11，22，33，44，54，…20022002，20032003，这些数的前面任意放置“+”或“一”号，并顺次完成所指出的运算，求出代数和，证明：这个代数和必定不等于2003．25．已知x1、x2、x3、…、x n都是+1或﹣1，并且，求证：n是4的倍数．26．游戏机的“方块”中共有下面7种图形．每种“方块”都由4个l×l的小方格组成．现用这7种图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）．问：最多可以用这7种图形中的几种图形？27．桌上放着七只杯子；杯口全朝上，每次翻转四个杯子：问能否经过若干次这样的翻动，使全部的杯子口都朝下_________（能或不能）？28．在1，2，3，…，2005前面任意添上一个正号或负号，它们的代数和是奇数还是偶数_________？29．“元旦联欢会上，同学们互赠贺卡表示新年的：良好祝愿．“无论人数是什么数，用来交换的贺卡的张数总是偶数．”这句话正确吗？试证明你的结论．30．桌面上放有1993枚硬币，第1次翻动1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第3次翻动其中的1991枚，…，第1993次翻动其中一枚，试问：能否使桌面上所有的1993枚硬币原先朝下的一面都朝上？并说明理由．31．在6张纸片的正面分别写上整数：1、2、3、4、5、6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1﹣6这6个整数，然后，计算每张纸片的正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数．请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的．32．有一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间，问：（1）若最初小船是在左岸，往返若干次后，它又回到左岸，那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数？如果它最后到了右岸，情况又是怎样呢？（2）若小船最初在左岸，它过河99次之后，是停在左岸还是右岸？33．黑板上写了三个整数，任意擦去其中一个，把它改写成另两个数的和减去1，这样继续下去，得到1995、1996、1997，问原来的三个数能否是2、2、2？新课标七年级数学竞赛培训第25讲：奇数、偶数及奇偶分析参考答案与试题解析一、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．若按奇偶性分类，则12+22+32+…+20022002是奇数．考点：整数的奇偶性问题。
二年级上册数学教案-6.6 整理与提高(数学广场-点图与数) ▏沪教版
三、教学目标设计依据： （1） 教材分析：
在沪教版二上第六单元《整理与提高》的“数学广场——点图与数”中，教材安排了“奇数与 偶数”和“平方数”两个内容，本课时的教学内容为“奇数与偶数”。作为教材内容的拓展，教材意 图借助点图来发现与探究奇偶数的规律，如：什么是奇数、什么是偶数，奇偶数相加减的规律等。在 学习过程中渗透数形结合的研究方法。这些结论对于一年级的学生来说，能理解，但难以表达。所以， 教学的过程，重在体验。同时，对于上述几个规律，如果像教材一样直接呈现问题或算式展开研究， 对于学生来说是轻而易举的，但背后的思维含量却是不足的。根据学生实际情况，本课借助英国 numicon 学具，尝试让一年级学生学习此内容。这样的研究过程更具挑战性，也更能激发学生的探究 热情。
学科：数学
课题：点数与图
教师：
日期:
一、教学目标
1.认识奇数、偶数。 2.借助学具，经历观察比较、归纳猜测、举例验证、揭示规律的过程，探究有关奇偶数 加减法的规律。
3.感受数的表达的丰富性，积累数形结合思考问题的经验。 教学重点：奇数、偶数之间的关系和联系。
教学难点：根据已有信息猜测，探究奇数、偶数的一些规律。
（2） 学生分析：
一年级学生已经初步认识了什么是奇数、什么是偶数，但他们对奇偶数对判断是基于每个数字 的个位是否为“0、2、4、6、8”或“1、3、5、7、9”等。本课尝试从数学概念的本源出发，借助直 观的学具图形来理解抽象的数学规律，发现数学变化的规律，逐步渗透培养学生的推理能力与数形结 合思考问题的意识与方法。让学生从对具体实例的观察比较、归纳猜测、举例验证，最后揭示规律。 教学中，将努力借助 numicon 学具，通过有效的回应反馈来促进师生、生生的互动，帮助学生理解概 念与规律。这也是符合一年级学生的年龄特点和心理特征的。
一起学奥数--一笔画(三年级)
A
B
F E
A
B
E F
C
D C
D
【分析】1、左图是一个平面示意图，要分析 路线与出入口问题，应该把左图转化为点线 示意图。
2、只要点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ示意图能够一笔画成，就能达到 一次走遍各通道而又不必重复的进出方法。
3、左下图，除了C、D两点为奇点，其它的 为偶点。因此，只要C或D点进，D或C点出 就能达到要求。
4、我们可以设定一条线路： D E F A B E C B D
西岛
北岸 东岛
南岸
【分析】1、首先得把实景图转化为示意图。 用点和线分别来表示两个岛、两岸及七座桥。 注意：先画点，再按桥连通两个点
2、如果这个示意图，能够做到一笔画，则 可以证明能够不重复、不遗漏的经过每座桥， 否则就没法实现。
3、数连接每个点的线，发现四个点都是奇 点，所以没法完成一笔画。即没法做到不重 复、不遗漏的经过每一座桥。
动动手： p.62随堂1
一笔画规则： 1、如果一个连在一起的图中，奇点个数为0或2，那么这个图形可以一笔画。 2、如果一个连在一起的图中，奇点个数不是0或2，那么这个图形就不能一
笔画成。
如何一笔画成： 奇点个数为0时，可从任何一个点开始画，最后回到始点； 当奇点个数为2时，可以从任一个奇点开始，最后到另一个奇点终止。
思考： 1、一个图形中奇点是否可以为奇数个（引起对数奇偶性的兴趣） 2、为什么偶点不影响一笔画（养成学生搞清问题根源的习惯）
例2、如下图中的线段代表小路，A、B处各有一只蚂蚁。哪只蚂蚁能够不重复 地爬完这5条小路？
A
D 【分析】1、由以上总结可知，奇点的数量决定了是否可
以一笔画成图形。本题蚂蚁能够不重复地爬完5条小路，
二年级上册数学教案-6.6 整理与提高(数学广场-点图与数) ▏沪教版
[课题]点图与数（1）
[单元]第一学期/第六单元整理与提高
[教材分析]
本教学内容是二年级第一学期第六单元的内容，属于“提高整理与”部分。
点图与数共有2课时，是教材中的一个新知识点，它不仅要让学生初步感知奇数与偶数、平方数的一些特点，更重要的是激发学生探究的兴趣。
本节课是第一课时，主要是结合单数双数的特点，通过对点图的观察来直接判断奇偶性并探索两数相加的和的奇偶性。
教材中的设计直接有1至10 的点图及已经拼好的两个点图、计算题。
教材直观的给予学生图，从数形结合的形式，让学生发现奇数与偶数的一些特点，最后将通过数形结合发现的规律在计算中进行运用。
借助直观的点图表征，实现由“表”至“里”的理解，将借形思数，发展思维，运用学生已有的知识经验去认识奇数、偶数的属性、联系,直至揭示其规律。
[学情分析]
在学习本课前,学生已经知道了1至20间的单数和双数,对单数和双数的区别也已经有了一个初步的感知；能正确、熟练地进行加法计算,具有一定的独立思考和解决问题的能力、自主探究问题的能力以及灵活运用知识的能力。
本课中,通过一系列探究学习活动,在数形结合的学习过程中建构两数相加之和奇偶性模型,同时进一步培养学生自主探究、学习的能力。
点图与数奇数与偶数
24
6
8
10
个位是2、4、6、8、0的数是偶数。
12、14、16、18、 20、22、24……
所有数除了奇数就是偶数。
判断下列数或点图是奇数还是偶数
36 59 45 54 100
偶数
奇数
奇数
偶数
偶数
偶数
奇数
偶数
6
＋ =814
偶数 ＋
= 偶偶数数
你能举几个像这样的式子吗？
7
＋ = 5 12
奇数 ＋
找规律,继续往下数
2，4，6……
你能自己说一组有规律的数吗？
点图与数——奇数与偶数
这些点图分别表示几？
13
9
5
7
你还能说出一些这样的数吗？
11、13、15、17、19、21、23……
这些点图分别表示几？
24
6
8
10
你还能说出一些这样的数吗？ 12、14、16、18、20、22、24……
= 奇偶数 数
你能举几个像这样的式子吗？
6
＋=5 11
偶数 ＋
=奇数奇 数
你能举几个像这样的式子吗？
• 4＋8=12 2＋1= 3 9＋1= 10
6＋8= 14 8＋8= 16
4＋3= 7 6＋5= 11
9＋3= 12 9＋5= 14
10＋8=18 8＋7= 15 9＋7= 16
12＋8= 20 10＋9= 19 9＋9= 18
9＋3= 12 9＋5= 14
10＋8=18 8＋7= 15 9＋7= 16
12＋8= 20 10＋9= 19 9＋9= 18
找规律,继续往下数
2，4，6…… 20，18，……