二次函数与三角形周长面积最值问题

二次函数与三角形周长，面积最值问题

知识点：1、二次函数线段，周长问题

2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题

3、二次函数面积最大值问题

【新授课】

考点1 ：线段、周长问题

例1.（2018 •宜宾）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2, 0），且经过点（4, 1）, 如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线I为y= - 1 . （1）求抛物线的解析式;

（2）在I上是否存在一点P,使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

拓展：在I上是否存在一点P,使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。

练习

1、如图，已知二次函数y ax24x c的图象与坐标轴交于点A (-1 , 0)和点B( 0,-5 ).

(1)求该二次函数的解析式；

(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P,使得△ ABP的周长最小.请求出点P的坐

2、如图，抛物线y=ax2-5ax+4 (a v 0)经过△ ABC的三个顶点，已知BC // x 轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC .

(1)求抛物线的解析式.

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，

使| MA-MB |最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

例 2. (2018 ?莱芜)如图，抛物线y=ax2+bx+c 经过 A (- 1 , 0), B (4, 0), C (0, 3)三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE丄BC于E .

(1)求抛物线的函数表达式;

练习

1 2

1、如图，抛物线 y x 2+bx — 2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A (一 1 ,

2

0 )•

⑴求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；

⑵判断△ ABC 的形状，证明你的结论；

⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当 CM + DM 的值最小时，求 m 的值.

2、如图，在平面直角坐标系中，直线y 3 x 3与抛物线y - x 2 bx c

4 2 4

交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为-8 .

(1 )求该抛物线的解析式；

(2)点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点(不与点 A 、B 重合)，过点P

作x 轴的垂线，垂足为 C ,交直线AB 于点D ，作PE 丄AB 于点E .设厶

PDE 的周长为I ，点P 的横坐标为x ，求I 关于x 的函数关系式，并求出I

的最大值.

BC 交于点H ，求FH 的最大值。

X 轴，并与直线

考点2 :二次函数面积最大值

1. （2018?泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数

y=ax 2+bx+c 交x 轴于点A (- 4, 0 )、B (2 , 0),交y 轴于点 C (0 , 6),在y 轴上有一点 E (0 , - 2),

连接AE .

(1 )求二次函数的表达式；

(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求厶ADE面积的最大值;

2.（2018 ?东营）如图，抛物线y=a（x-1）（x-3）（a>0 ）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△ OCA OBC .

（1）求线段OC的长度；

（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；

（3）在（2 ）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

练习

1.如图，抛物线经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点.（1）求抛物线的解析式. （2 ）点M是直线BC上方抛物线上的点（不与B，C重合），过点M作MN // y轴交线段BC于点N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长.

（3 ）在（2）的条件下，连接MB，

若存在，求出点M的坐标及四边形

课后练习

1、（ 2017 •衢州）定义：如图1 ,抛物线：一一芒：1啟一仁与 轴交于A , B 两点， 点P 在抛物线上（点P 与A , B 两点不重合），如果△ ABP 的三边满足.L -

* J 5 '.二」 则称点P 为抛物线1 ； 1 ' _，的勾股点。

⑵如图2，已知抛物线C :丁二金® 沁仗壬匚）与 轴交于A ，B 两点，点P （

1， ） 是抛物线C 的勾股点，求抛物线 C 的函数表达式；

⑶在（2）的条件下，点Q 在抛物线C 上，求满足条件…的点Q （异于点P ）

的坐标

2、如图，Rt △ ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和

标原点，A、B两点的坐标分别为( 3 , 0 )、(0 , 4 ),抛物线y

5

且顶点在直线x 5上.

2

(1 )求抛物线对应的函数关系式；

(2 )若厶DCE是由△ ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形断

点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；

(3 )若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点交

CD于点N .设点M的横坐标为t, MN的长度为I. 式，并求

I取最大值时，点M的坐标.y轴的正半轴上，O为坐2 2

x bx c经过B点，

3

ABCD是菱形时，试判

M作MN平行于y轴求I与t之间的函数关系