高考数学大一轮复习 7.1不等关系与不等式 理 苏教版
高考数学一轮总复习 7.1 不等关系与不等式课件 理 苏教版
解 若提价后商品的单价为 x 元，则销售量减少x－110×10 件， 因此，每天的利润为(x－8)[100－10(x－10)]元，则“每天的利润 不低于 300 元”可以表示为不等式(x－8)[100－10(x－10)]≥300.
•规律方法 对于不等式的表示问题，关键 (guānjiàn)是理解题意，分清变化前后的各种量， 得出相应的代数式，然后用不等式表示．而对于
第三页，共33页。
辨析感悟
1．对两个实数大小的比较的认识
(1)两个实数 a，b 之间，有且只有 a＞b，a＝b，a＜b 三种关
系中的一种．
(√)
(2)若ab＞1.则 a＞b.
(×)
第四页，共33页。
2．对不等式性质的理解
(3)在一个不等式的两边同乘以一个非零实数，不等式仍然成
立．
(×)
(4)同向不等式具有可加性和可乘性．
2a－3b的取值范围是________．
第三十二页，共33页。
解析 设 a＋b＝x，a－b＝y， ∴－1＜x＜3,3＜y＜5，a＝x＋2 y，b＝x－2 y， ∴2a－3b＝x＋y－32(x－y)＝－12x＋52y. 又∵－32＜－12x＜12，125＜52y＜225， ∴6＜－12x＋52y＜13， ∴2a－3b 的取值范围是(6,13)．
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2．不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇔ a＞c ； (3)可加性：a＞b⇔a＋c ＞ b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c ＞ b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac ＞ bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac ＞ bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an ＞ bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒n a ＞ n b(n∈N，n≥2)．
【步步高】高三数学大一轮复习 7.1不等关系与不等式名师课件 理 苏教版
【例 1】 已知－π2<α<β<π2，求 α＋2 β，α－2 β的取值范围．
思维启迪 解析 探究提高
不等式性质的应用是本题的突 破点．
题型分类·深度剖析
题型一
不等式性质的应用
【例 1】 已知－π2<α<β<π2，求 α＋2 β，α－2 β的取值范围．
思维启迪 解析 探究提高
解 因为－π2<α<β<π2， 所以－π4<α2<π4，－4π<β2<π4.
题型分类·深度剖析
题型三
不等式与函数、方程的综合问题
思维启迪 解析
探究提高
【例 3】 已知 f(x)是定义在
(－∞，4]上的减函数，是否存
在 实 数 m ， 使 得 f(m －
sin x)≤f
1＋2m－74＋cos2x对
定义域内的一切实数 x 均成
立？若存在，求出实数 m 的取
值范围；若不存在，请说明
m－4≤sin x， 即m－ 1＋2m＋12≥－sin x－122.
题型分类·深度剖析
题型三
不等式与函数、方程的综合问题
思维启迪 解析
探究提高
【例 3】 已知 f(x)是定义在
(－∞，4]上的减函数，是否存
在 实 数 m ， 使 得 f(m －
sin x)≤f
1＋2m－74＋cos2x对
题型分类·深度剖析
变式训练 2 (2012·四川)设 a，b 为正实数．现有下列命题： ①若 a2－b2＝1，则 a－b<1；②若1b－1a＝1，则 a－b<1；③若| a－
b|＝1，则|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.其中的真命题有 ________．(写出所有真命题的编号)
2019届高三理科数学苏教版一轮复习教学课件：第七章 第1节 不等关系与不等式
考点一|利用不等式表示不等关系
【例 1】 铁矿石 A 和 B 的含铁率 a， 冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如下表： a A 50% B 70% b(万吨) c(百万元) 1 0.5 3 6
某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁， 若要求 CO2 的排放量不超过 2(万吨)，写出满足上述所有不等关系的不等式．
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知识梳理
二、不等式的基本性质 (1)a>b⇔ b<a ； (2)a>b，b>c⇒ a>c ； (3)a>b⇔
a＋c>b＋c ac>bc
； ；a>b，c<0⇒ ； ；
(4)a>b，c>0⇒
ac<bc
；
(5)a>b，c>d⇒ a＋c>b＋d (6)a>b>0，c>d>0⇒ ac>bd
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【例 2】 对于实数 a， b， c， 有下列命题： ①若 a>b， 则 ac<bc； ②若 ac2>bc2， 则 a>b； ③若 a<b<0， 则 a2>ab>b2； ④若 c>a>b>0， a b 1 1 则 > ；⑤若 a>b，a>b，则 a>0，b<0.其中真命题的个数 c－a c－b 是________．
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自测练习
5．某地规定本地最低生活保障金不低于 600 元，上述不等关
x≥600 ． 系写成不等式为________
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.1 不等式及其解法课件 理
D.a2>ab>b2
答案 D 选项A,∵c为实数,∴取c=0,得ac2=0,bc2=0,此时ac2=bc2,故选项A不正确;选项B, 1 - 1 =
ab
b ,a∵a<b<0,∴b-a>0,ab>0,∴ b>0a,即 >1 ,1故选项B不正确;选项C,∵a<b<0,∴取a=-2,b=-1,
ab
ab
ab
12/11/2021
2.(2014江苏,10,5分)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的
取值范围是
.
答案
2 2
,0
解析 要满足f(x)=x2+mx-1<0对于任意x∈[m,m+1]恒成立,
只需
f f
(即m ) 0,解得-
(m 1) 0,
∵0<log0.20.3<log0.20.2=1,log20.3<log20.5=-1,即0<a<1,b<-1,∴a+b<0,排除D.
∵ b =l o g 2=0 . 3 =llgo0g.220.2,∴b- =logb 20.3-log20.2=log2
a lo g 0.2 0 .3 l g 2
a
解法二:易知0<a<1,b<-1,∴ab<0,a+b<0,
<1,∴3 b<1+
2
⇒ab b<a+b,排除A.故选B.
a
∵ 1 +1 =log0.30.2+log0.32=log0.30.4<1,
(江苏版)2018年高考数学一轮复习 专题7.1 不等关系与不等式(讲)
专题7.1 不等关系与不等式【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1． 某高速公路要求行驶的车辆的速度v (km/h)的最大值为120 km/h ，同一车道上的车间距d (m)不得小于10 m ，用不等式组表示为________．【解析】v (km/h)的最大值为120 km/h ，即v ≤120，车间距d (m)不得小于10 m ，即d ≥10，可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤v ≤120，d ≥10.2． 已知a ，b 均为实数，则(a ＋3)2________(a ＋2)(a ＋4)．(填“＞”“＜”或“＝”)【解析】∵(a ＋3)2－(a ＋2)(a ＋4)＝(a 2＋6a ＋9)－(a 2＋6a ＋8)＝1＞0，∴(a ＋3)2>(a ＋2)(a ＋4)． 3．若1≤a ≤4，－2≤b ≤－1，则a －b 的取值范围为_________________． 【解析】∵－2≤b ≤－1，∴1≤－b ≤2，又1≤a ≤4，∴2≤a －b ≤6. 题组二 常错题4．有以下四个命题：(1)a ＞b ⇔ac 2＞bc 2；(2)若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则a d ＞b c；(3)若ab ＞0，则a ＞b 是1a ＜1b 的充要条件；(4)若ab＞1，则a ＞b .其中真命题的序号是________ .5．若a ＞b ，b ≥c ，则a 与c 的大小关系是 ________ . 【解析】由a ＞b ，b ≥c ，得a ＞c .6．已知存在实数a 满足ab 2＞a ＞ab ，则实数b 的取值范围是________ .【解析】 ∵ab 2＞a ＞ab ，∴a ≠0，当a ＞0时，b 2＞1＞b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2＞1，b ＜1，解得b ＜－1；当a ＜0时，b 2＜1＜b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2＜1，b ＞1，无解．综上可得b ＜－1.题组三 常考题7．已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则a ，b ，c 的大小关系为____________．【解析】b ＝323<423＝243＝a ，c ＝523>423＝243＝a ，故b <a <c .8． 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x <y <z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a <b <c .有下列不同的方案：①ax ＋by ＋cz ；②az ＋by ＋cx ；③ay ＋bz ＋cx ；④ay ＋bx ＋cz .其中总费用(单位：元)最低的是________(填序号)．【解析】(ax ＋by ＋cz )－(az ＋by ＋cx )＝a (x －z )＋c (z －x )＝(a －c )(x －z )>0.故①中的不是最低费用；(ay ＋bz ＋cx )－(az ＋by ＋cx )＝a (y －z )＋b (z －y )＝(a －b )(y －z )>0，故③中的不是最低费用；(ay ＋bx ＋cz )－(az ＋by ＋cx )＝a (y －z )＋b (x －y )＋c (z －x )＝a (y －z )＋b (x －y )＋c (z －y ＋y －x )＝(a －c )(y －z )＋(b －c )(x －y )>0，④中的不是最低费用．综上所述，②中的为最低费用．9． 已知x ，y ∈R ，且x >y >0，有下列结论：①1x －1y >0；②sin x －sin y >0；③12x －12y<0；④ln x ＋ln y >0.其中一定成立的是________(填序号)．【知识清单】考点1 应用不等式表示不等关系在日常生产生活中,不等关系更为普遍,利润的优化、方案的设计等方面都蕴含着不等关系，再比如几何中的两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等等，用数学中的不等式表示这些不等关系，建立数学模型，利用数学知识解决现实生活的不等关系.考点2 比较两数（式）的大小比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．考点3 不等式的性质不等式的基本性质考点4 不等式性质的应用熟练掌握不等式的五条性质和两个推论，要注意每个性质的适用范围，尤其要注意可乘性和可开方性的外延，比如33a b a b >⇒>；a b >⇒>.【考点深度剖析】江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有8个C 能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查.【重点难点突破】考点1 应用不等式表示不等关系某厂生产甲产品每件需用A 原料2 kg 、B 原料4 kg ，生产乙产品每件需用A 原料3 kg 、B 原料2 kg ；A 原料每日供应量限额为60 kg ，B 原料每日供应量限额为80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多10件以上，若设每天生产甲产品x件，乙产品y 件，用不等式(组)表示上述关系式为________．【答案】2360,4280,10,0,,0,x y x y y x x x N y x N**⎧+≤⎪+≤⎪⎪-≤⎨⎪≥∈⎪⎪≥∈⎩【1-2】同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高．这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列a 1，a 2，…，a n 满足a 1≤a 2≤…≤a n ，则______________(结论用数学式子表示)．【解析】设1m n ≤<，如果去掉12m m n a a a ⋯＋＋，，，，则12m a a m ++≤…+a 12na a n++…+a ； 如果去掉1,2m a a a ⋯，，，则[12m m n a a n m ++++≥-…+a 12na a n++…+a . 【1-3】下表为广州亚运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备了1 200元，预订15张下表中球类比赛的门票.篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且篮球比赛门票的费用不超过足球比赛门票的费用，求可以预订的足球比赛门票数．【解析】设预订篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都是n (n ∈N *)张，则足球比赛门票预订(15－2n )张，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧80n ＋60n ＋100（15－2n ）≤1 200，80n ≤100（15－2n ），n ∈N *，解得5≤n ≤5514， 由n ∈N *，可得n ＝5，∴15－2n ＝5. ∴可以预订足球比赛门票5张． 【思想方法】区分不等关系与不等式的异同，不等关系强调的是关系，可用符号,><≠≥≤，,,表示，而不等式则是表现两者的不等关系，可用,a a b b b b b ><≠≥≤，a ,a ,a 等式子表示，不等关系是通过不等式表现． 【温馨提醒】求解数学应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化，就可以得到相应的数学问题，然后运用数学知识、方法、技巧等解决数学问题.在解决实际问题时，要注意变量的取值范围.考点2 比较两数（式）的大小【2-1】0a <,0b <,则22b a p a b=+与q a b =+的大小关系为 ． 【答案】p q ≤【解析】作差法比较大小，()()()ab b a b a ab ab b a a b b a b a a b q p +-=--+=+-+=-2223322，0a <,0b <,所以p-q 0≤,p q ≤.【2-2】若a 、b 、c 、d 均为正实数，且>a b ，那么四个数b a 、a b 、++b c a c 、++a db d由小到大的顺序是_________。
高三数学大一轮复习讲义 第7章 不等关系及一元二次不等式学案 苏教
第7章 不等式、推理与证明 学案32 不等关系及一元二次不等式导学目标： 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式并能应用一元二次不等式解决某些实际问题．自主梳理1．一元二次不等式的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是____的不等式叫做一元二次不等式． 2自我检测1．(2010·广州一模)已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax －a>0的解集是R ，q ：－1<a <0，则p 是q 成立的________条件．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0， 则不等式f (x )>f (1)的解集是________．3．(2011·上海改编)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是________．(填序号)①a 2＋b 2>2ab ；②a ＋b ≥2ab ； ③1a ＋1b>2ab；④b a ＋a b ≥2.4．已知f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为(－3,2)，则a ＝________，c ＝________.5．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围为________________．探究点一 一元二次不等式的解法例1 解下列不等式：(1)－x 2＋2x －23>0；(2)9x 2－6x ＋1≥0.变式迁移1 解下列不等式：(1)2x 2＋4x ＋3<0；(2)－3x 2－2x ＋8≤0；(3)8x －1≥16x 2.探究点二 含参数的一元二次不等式的解法例2 已知常数a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋a <0.变式迁移2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.探究点三 一元二次不等式恒成立问题例3 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2 (a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．变式迁移3 (1)关于x 的不等式4x ＋mx 2－2x ＋3<2对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．(2)若不等式x 2＋px >4x ＋p －3对一切0≤p ≤4均成立，试求实数x 的取值范围．转化与化归思想与三个“二次”的关系例 (14分)已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(α，β)，且0<α<β，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【答题模板】解 由已知不等式的解集为(α，β)可得a <0，∵α，β为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧ba＝－α＋β， ①ca ＝αβ>0. ②[4分]∵a <0，∴由②得c <0，[6分]则cx 2＋bx ＋a <0可化为x 2＋b c x ＋a c>0.[8分]①÷②，得b c ＝－α＋βαβ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＋1β<0，由②得a c ＝1αβ＝1α·1β>0，∴1α、1β为方程x 2＋b c x ＋a c ＝0的两根．[12分] ∵0<α<β，∴不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为{x |x <1β或x >1α}．[14分]【突破思维障碍】由ax 2＋bx ＋c >0的解集是一个开区间，结合不等式对应的函数图象知a <0，要求cx 2＋bx ＋a <0的解集首先需要判断二次项系数c 的正负，由方程根与系数关系知ca＝α·β>0，因a <0，∴c <0，从而知道cx 2＋bx ＋a <0的解集是x 大于大根及小于小根对应的两个集合．要想求出解集，需用已知量α，β代替参数c 、b 、a ，需对不等式cx 2＋bx ＋a <0两边同除c 或a ，用α、β代替后，就不难找到要求不等式对应方程的两根，从而求出不等式的解集．本题较好地体现了三个“二次”之间的相互转化．1．三个“二次”的关系：二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零和不为零的两种情况，一般讨论二次函数常将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式来研究，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又常与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决．一元二次不等式解集的端点值就是相应的一元二次方程的根，也是相应的二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点．2．解含参数的一元二次不等式的步骤：解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行：1°二次项若含有参数应讨论参数是等于0、小于0、还是大于0.然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.2°判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.3°确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式．3．不等式恒成立问题：不等式恒成立，即不等式的解集为R ，一元二次不等式ax 2＋bx＋c >0 (a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0；ax 2＋bx ＋c <0 (a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac <0.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2011·宿迁模拟)函数y ＝log 12x 2－的定义域是____________． 2．(原创题)若不等式3kx 2＋k ＋8>(13)－6kx 的解集为空集，则实数k 的取值范围是________．3．(2010·宁夏银川一中一模)已知集合M ＝{x |x 2－2 008x －2 009>0}，N ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2 009,2 010]，则a ＝__________，b ＝__________.4．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________．5．(创新题)已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1 (i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是________．6．(2011·扬州模拟)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围为______________．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x >0，x 2， x ≤0，则满足f (x )>1的x 的取值范围为________．8. 已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如右图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为__________________．二、解答题(共42分) 9．(14分)解关于x 的不等式x －ax －a 2<0 (a ∈R )．10．(14分)若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．11．(14分)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．学案32 不等关系及一元二次不等式答案自主梳理1．2 2.－b2aR ∅ ∅自我检测 1．充要解析 不等式x 2＋2ax －a >0的解集是R 等价于4a 2＋4a <0，即－1<a <0. 2．(－3,1)∪(3，＋∞)解析 由解析式可得f (1)＝1－4＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0，所以不等式f (x )>f (1)的解集为(－3，1)∪(3，＋∞)．3．④解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴①错误． 对于②③，当a <0，b <0时，明显错误．对于④，∵ab >0，∴b a ＋ab ≥2b a ·ab＝2. 4．－1 －6解析 因为f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为(－3,2)，所以－3＋2＝－－1a，a ＝－1，－3×2＝－ca，c ＝－6.5．(－∞，－5]解析 记f (x )＝x 2＋mx ＋4，根据题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－16>0，f，f， 解得m ≤－5.课堂活动区例1 解题导引 解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．解 (1)两边都乘以－3，得3x 2－6x ＋2<0，因为3>0，且方程3x 2－6x ＋2＝0的解是x 1＝1－33，x 2＝1＋33， 所以原不等式的解集是{x |1－33<x <1＋33}． (2)∵不等式9x 2－6x ＋1≥0，其相应方程9x 2－6x ＋1＝0，Δ＝(－6)2－4×9＝0，∴上述方程有两相等实根x ＝13，结合二次函数y ＝9x 2－6x ＋1的图象知，原不等式的解集为R .变式迁移1 解 (1)∵不等式2x 2＋4x ＋3<0可转化为2(x ＋1)2＋1<0，而2(x ＋1)2＋1>0，∴2x 2＋4x ＋3<0的解集为∅.(2)两边都乘以－1，得3x 2＋2x －8≥0，因为3>0，且方程3x 2＋2x －8＝0的解是x 1＝－2，x 2＝43，所以原不等式的解集是(－∞，－2]∪[43，＋∞)．(3)原不等式可转化为16x 2－8x ＋1≤0，即(4x －1)2≤0，∴原不等式的解集为{14}．例2 解题导引 (1)含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．(3)其次对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 解 (1)a ＝0时，解为x >0.(2)a >0时，Δ＝4－4a 2. ①当Δ>0，即0<a <1时，方程ax 2－2x ＋a ＝0的两根为1±1－a 2a，∴不等式的解集为{x |1－1－a 2a <x <1＋1－a 2a }．②当Δ＝0，即a ＝1时，x ∈∅； ③当Δ<0，即a >1时，x ∈∅. (3)当a <0时，①Δ>0，即－1<a <0时，不等式的解集为{x |x <1＋1－a 2a 或x >1－1－a2a}．②Δ＝0，即a ＝－1时，不等式化为(x ＋1)2>0， ∴解为x ∈R 且x ≠－1.③Δ<0，即a <－1时，x ∈R . 综上所述，当a ≥1时，原不等式的解集为∅； 当0<a <1时，解集为{x |1－1－a 2a<x <1＋1－a 2a}；当a ＝0时，解集为{x |x >0}；当－1<a <0时，解集为{x |x <1＋1－a 2a或x >1－1－a 2a}；当a ＝－1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}； 当a <－1时，解集为R .变式迁移2 解 ①当a ＝0时，解得x >1.②当a >0时，原不等式变形为(x －1a)(x －1)<0，∴a >1时，解得1a<x <1；a ＝1时，解得x ∈∅；0<a <1时，解得1<x <1a.③当a <0时，原不等式变形为(x －1a)(x －1)>0，∵1a <1，∴解不等式可得x <1a或x >1.综上所述，当a <0时，不等式解集为(－∞，1a)∪(1，＋∞)；当a ＝0时，不等式解集为(1，＋∞)；当0<a <1时，不等式解集为(1，1a)；当a ＝1时，不等式解集为∅；当a >1时，不等式解集为(1a，1)．例3 解题导引 注意等价转化思想的运用，二次不等式在区间上恒成立的问题可转化为二次函数区间最值问题．解 方法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a .①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a <－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1.方法二 令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a <－1，g －解得－3≤a ≤1.变式迁移3 解 (1)∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0，∴不等式4x ＋m x 2－2x ＋3<2同解于4x ＋m <2x 2－4x ＋6，即2x 2－8x ＋6－m >0.要使原不等式对任意实数x 恒成立，只要2x 2－8x ＋6－m >0对任意实数x 恒成立． ∴Δ<0，即64－8(6－m )<0，整理并解得m <－2. ∴实数m 的取值范围为(－∞，－2)．(2)∵x 2＋px >4x ＋p －3，∴(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0.令g (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3，则要使它对0≤p ≤4均有g (p )>0，只要有⎩⎪⎨⎪⎧g g .∴x >3或x <－1.∴实数x 的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 课后练习区1．[－2，－1)∪(1，2] 2.[0,1] 3．－2 009 －2 010解析 化简得M ＝{x |x <－1或x >2 009}，由M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2 009,2 010]可知N ＝{x |－1≤x ≤2 010}，即－1,2 010是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根．所以b ＝－1×2 010＝－2 010，－a ＝－1＋2 010， 即a ＝－2 009.4．m <－1311解析 当m ＝－1时，不等式变为2x －6<0，即x <3，不符合题意．当m ≠－1时，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ＝m －2－m ＋m －<0， 化简，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，11m 2＋2m －13>0，解得m <－1311.5.⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 1解析 (1－a i x )2<1，即a 2i x 2－2a i x <0，即a i x (a i x －2)<0，由于a i >0，这个不等式可以化为x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a i <0，即0<x <2a i ，若对每个都成立，则2a i 应最小，即a i 应最大，也即是0<x <2a 1.6．(－12，32)解析 由题意知，(x －a )⊗(x ＋a )<1 ⇔(x －a )(1－x －a )<1 ⇔x 2－x －(a 2－a －1)>0.因上式对x ∈R 都成立，所以Δ＝1＋4(a 2－a －1)<0，即4a 2－4a －3<0.所以－12<a <32.7．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 当x >0时，由log 2x >1，得x >2；当x ≤0时，由x 2>1，得x <－1.综上可知，x 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 8．(2,3)∪(－3，－2)解析 由导函数图象知当x <0时，f ′(x )>0， 即f (x )在(－∞，0)上为增函数；当x >0时，f ′(x )<0，即f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故不等式f (x 2－6)>1等价于f (x 2－6)>f (－2)或f (x 2－6)>f (3)，即－2<x 2－6≤0或0≤x 2－6<3，解得x ∈(2,3)∪(－3，－2)．9．解 x －a x －a2<0⇔(x －a )(x －a 2)<0，(2分)①当a ＝0或a ＝1时，原不等式的解集为∅；(5分)②当a <0或a >1时，a <a 2，此时a <x <a 2；(9分)③当0<a <1时，a >a 2，此时a 2<x <a .(13分)综上，当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |a <x <a 2}；当0<a <1时，原不等式的解集为{x |a 2<x <a }； 当a ＝0或a ＝1时，原不等式解集为∅.(14分)10．解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，知a <0，(4分)又⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝c a <0，则c >0. 又－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，(7分)∴－b a ＝53，即b a ＝－53.又∵c a ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a .(10分)∴不等式cx 2＋bx ＋a <0变为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－53a x ＋a <0，即2ax 2＋5ax －3a >0.又∵a <0，∴2x 2＋5x －3<0，∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3<x <12.(14分)11．解 (1)∵x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， ∴－6≤a ≤2.(4分)(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图a ，当g (x )的图象恒在x 轴上方，满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.(7分) ②如图b ，g (x )的图象与x 轴有交点， 但在x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2<－2，g －，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－－a ，－a2<－2，4－2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a >4，a ≤73，解之，得a ∈∅.(10分)③如图c ，g (x )的图象与x 轴有交点，但在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2>2，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－－a，－a 2>2，4＋2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a <－4，a ≥－7⇔－7≤a ≤－6.(13分)综合①②③，得a ∈[－7,2]．(14分)。
高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第1讲 不等关系与不等式课件
(5)可乘方：a＞b＞0⇒an_＞__bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0⇒n a＞n b(n∈N，n≥2)． 3．不等式的一些常用性质 (1)有关倒数的性质 ①a>b，ab>0⇒1a_<__1b. ②a<0<b⇒1a_<__1b.
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角度二 与充要条件相结合命题的判断
(1)设 a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)设 a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )
A．充分不必要条件
③a>b>0，0<c<d⇒ac_>__bd. ④0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒1b_<__1x<1a. (2)有关分数的性质 若 a>b>0，m>0，则 ①ba<ba＋ ＋mm；ba>ba－ －mm(b－m>0)． ②ab>ab＋ ＋mm；ab<ab－ －mm(b－m>0)．
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(2)充要条件的判断方法 利用两命题间的关系，看 p 能否推出 q，再看 q 能否推出 p， 充分利用不等式性质或特值求解． (3)求代数式的取值范围 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式 的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决此类问题，一般是 利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范 围，是避免错误的有效途径．
2014届高考数学(苏教版)一轮复习教学案第7章不等式7.1不等关系与不等式
第7章 不等式 7.1 不等关系与不等式考纲要求了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a b a －b ＝0⇔a b a －b <0⇔a b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a b ab ＝1⇔a ba b<1⇔a b (a ∈R ，b ＞0)．2．不等式的性质：(1)等价性：a ＞b ⇔________.(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒__________.(3)两边加同一实数的不变性：a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ，由此可得a ＋b ＞c ⇒a ＞c －b .(4)如果a ＞b ，c ＞0，那么________；如果a ＞b ，c ＜0，那么________；如果a ＞b ，c ＝0，那么ac ＝bc .(5)同向相加性：如果a ＞b ，c ＞d ，那么__________． (6)如果a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，那么ac ______bd .(7)如果a ＞b ＞0，那么a n ________b n ，n ∈N ，n ≥2.(8)如果a ＞b ＞0，那么n a ________nb ，n ∈N ，n ≥2. 3．不等式的一些常用性质(1)a ＞b ，ab ＞0⇒1a ______1b .(2)a ＜0＜b ⇒1a ______1b.(3)a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ______bd.(4)0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ______1x ______1a.1．设a ＜b ＜0，则下列不等式中不成立的是__________． ①1a ＞1b ②1a －b ＞1a③|a |＞－b ④－a ＞－b2．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是__________．3．给出下列条件：①1＜a ＜b ；②0＜a ＜b ＜1；③0＜a ＜1＜b .其中，能推出log b 1b＜log a 1b＜log a b 成立的条件的序号是__________(填所有可能的条件的序号)．4．(2012湖南高考改编)设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞cb；②a c ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是__________．5．已知b 克糖水中有a 克糖(b ＞a ＞0)，若再添加m 克糖(m ＞0)，则糖水变甜了，试根据这个事实，写出a ，b ，m 所满足的不等式为__________．学习不等式性质时要注意哪些方面？提示：(1)不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a ，b 有a －b ＞0⇔a ＞b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b ＜0⇔a ＜b ，这是比较两数(式)大小的理论根据，也是学习不等式的基石．(2)一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意在解题中灵活、准确地加以应用．(3)不等式的传递性：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ，这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等号的方向，否则易产生这样的错误：为证明a ＞c ，选择中间量b ，在证出a ＞b ，c ＞b 后，就误认为能得到a ＞c .(4)同向不等式可相加，但不能相减，即由a ＞b ，c ＞d ，可以得出a ＋c ＞b ＋d ，但不能得出a －c ＞b －d .一、比较代数式的大小【例1】比较下列各组中两个代数式的大小： (1)3x 2－x ＋1与2x 2＋x －1；(2)当a ＞0，b ＞0且a ≠b 时，a a b b 与a b b a . 方法提炼 (1)作差比较适用范围：两个代数式的正负号不确定且为多项式形式．步骤：作差，变形(通常变成因式连乘积的形式或平方和的形式)，判断差的符号(正负号)，并确定两个代数式的大小关系．(2)作商比较适用范围：两个代数式的正负确定且均为幂的形式．步骤：作商，变形，判断商与1的大小关系，确定两个代数式的大小关系．请做针对训练2二、不等式的性质【例2】对于实数a ，b ，c ，判断下列命题的真假． (1)若a ＞b ，则ac ＞bc ； (2)若a ＞b ，则ac 2＞bc 2；(3)若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2；(4)若a ＜b ＜0，则1a ＞1b ；(5)若a ＜b ＜0，则b a ＞ab.方法提炼特殊值法是判断命题真假时常用到的一种方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试可以得到一些对命题的感性认识，若正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．请做针对训练1三、不等式性质的应用【例3】(1)已知12＜a ＜60,15＜b ＜36，求a －b ，ab的取值范围；(2)已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，求2a ＋3b 的取值范围． 方法提炼此类问题出错的原因大多在于多次运用同向不等式相加这一性质，不能将a 与b 看成彼此独立的变量，实际上a 与b 是有内在联系的，否则会扩大各自的取值范围．所以在解题中使用不等式的性质时，要注意检查得出的是不是原问题的充要条件，以免产生错解．请做针对训练3四、不等式证明【例4】已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c ，求证：13＜a a －c ＜23.方法提炼(1)运用不等式性质解决问题时，必须注意性质成立的条件． (2)同向不等式的可加性与可乘性可推广到两个以上的不等式．请做针对训练4从近三年的高考试题来看，不等关系、不等式的性质及应用是高考的热点，一般不单独考查，常与其他知识(如三角函数中求角的范围等)考查，难度适中．客观题突出对不等式性质的灵活运用，与不等式有关的集合的运算，主观题重点考查绝对值不等式及不等式性质的应用．1．若a ，b 是任意实数，且a ＞b ，则下列结论正确的有__________．①a 2＞b 2 ②ba＜1 ③lg(a －b )＞0 ④⎝⎛⎭⎫12a ＜⎝⎛⎭⎫12b 2．已知a ，b ，c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小．3．已知1≤lg x y ≤2,2≤lg x 3y ≤3，求lg x 33y的取值范围．4．(2012江苏南京三中月考题)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：e (a －c )2＞e(b －d )2.参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)＞ ＝ ＜ (2)＞ ＝ ＜2．(1)b ＜a (2) a ＞c (4)ac ＞bc ac ＜bc (5)a ＋c ＞b ＋d (6)＞ (7)＞ (8)＞ 3．(1)＜ (2)＜ (3)＞ (4)＜ ＜ 基础自测1．② 解析：由题设得a ＜a －b ＜0，所以有1a －b ＜1a 成立，即1a －b ＞1a不成立． 2．c ≥b ＞a 解析：c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0， ∴c ≥b .已知两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2，∵1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0， ∴1＋a 2＞a ，∴b ＝1＋a 2＞a ，∴c ≥b ＞a .3．② 解析：∵log b 1b ＝－1，若1＜a ＜b ，则1b ＜1a＜1＜b ，∴log a 1b ＜log a 1a＝－1，故条件①不可以；若0＜a ＜b ＜1，则b ＜1＜1b ＜1a，∴log a b ＞log a 1b ＞log a 1a ＝－1＝log b 1b，故条件②可以；若0＜a ＜1＜b ，则1b＜b ，∴log a 1b＞log a b ，故条件③不可以．4．①②③ 解析：①c a －c b ＝c (b －a )ab ，∵a ＞b ＞1，c ＜0，∴c (b －a )ab＞0.即c a －cb＞0.故①正确． ②考察函数y ＝x c (c ＜0)，可知为单调减函数． 又∵a ＞b ＞1，∴a c ＜b c .故②正确．③∵a ＞b ＞1，c ＜0，∴log b (a －c )＞0，log a (b －c )＞0， ∴log b (a －c )log a (b －c )＝lg (a －c )lg a lg b lg (b －c ). ∵lg (a －c )lg (b －c )＞1，lg a lg b ＞1，∴lg (a －c )lg a lg b lg (b －c )＞1，故③正确． 5.a b ＜a ＋m b ＋m 解析：原来糖水的浓度为a b×100%，加入m 克糖后，现在糖水的浓度为a ＋mb ＋m×100%，现在的浓度一定大于原来的浓度． 考点探究突破【例1】解：(1)∵3x 2－x ＋1－2x 2－x ＋1＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0， ∴3x 2－x ＋1＞2x 2＋x －1. (2)a a b b a b ba ＝a a －b b b －a ＝a a －b ⎝⎛⎭⎫1b a －b ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b . ∵当a ＞b ，即a －b ＞0，ab ＞1时，⎝⎛⎭⎫a b a －b ＞1， ∴a a b b ＞a b b a .当a ＜b ，即a －b ＜0，ab ＜1时，⎝⎛⎭⎫a b a －b ＞1， ∴a a b b ＞a b b a .∴当a ＞0，b ＞0且a ≠b 时，a a b b ＞a b b a . 【例2】解：(1)因未知c 的正负或是否为零，无法确定ac 与bc 的大小，所以是假命题． (2)因为c 2≥0，所以只有c ≠0时才正确． c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以是假命题．(3)因为a ＜b ，a ＜0⇒a 2＞ab ；a ＜b ，b ＜0⇒ab ＞b 2，所以a 2＞ab ＞b 2，命题是真命题．(4)由性质定理a ＜b ＜0⇒1a ＞1b ，命题是真命题．(5)例如－3＜－2＜0，23＜32，命题是假命题．【例3】解：(1)因为15＜b ＜36， 所以－36＜－b ＜－15. 又12＜a ＜60，所以12－36＜a －b ＜60－15.所以－24＜a －b ＜45.又136＜1b ＜115，所以1236＜a b ＜6015，即13＜a b＜4.(2)设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b ) ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝52，y ＝－12.因为－52＜52(a ＋b )＜152，－2＜－12(a －b )＜－1，所以－92＜52(a ＋b )－12(a －b )＜132，即－92＜2a ＋3b ＜132.【例4】证明：因为a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，所以a ＞0，c ＜0.于是有⎩⎨⎧1>b a >c a，1＋b a ＋c a＝0.①②将②代入①，消去b a ，得c a ＜－1－c a ＜1，所以－2＜c a ＜－12，32＜1－c a ＜3，故13＜a a －c ＜23.演练巩固提升 针对训练1．④ 解析：指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上是减函数， ∵a ＞b ， ∴⎝⎛⎭⎫12a ＜⎝⎛⎭⎫12b .2．解：∵a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .3．解：由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧1≤lg x －lg y ≤2，2≤3lg x －12lg y ≤3， 令⎩⎪⎨⎪⎧a ＝lg x －lg y ，b ＝3lg x －12lg y ， 解得⎩⎨⎧lg x ＝2b －a5，lg y ＝2b －6a5.因此可得lgx 33y＝3lg x －13lg y ＝3×2b －a 5－13×2b －6a 5＝1615b －a 5.又因为1≤a ≤2，2≤b ≤3，由此可得2615≤1615b －a5≤3.因此lg x33y的取值范围为⎣⎡⎦⎤2615，3.4．证明：∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0. 又∵a ＞b ＞0，∴a －c ＞b －d ＞0. ∴(a －c )2＞(b －d )2＞0.∴0＜1(a －c )2＜1(b －d )2. 又∵e ＜0，∴e (a －c )2＞e (b －d )2.。
高考数学一轮复习 第1讲 不等关系与不等式课件 理 苏教版
法一 (作差法)
M－N＝a1a2－a1－a2＋1
＝a1(a2－1)－(a2－1)
＝(a2－1)(a1－1)， ∵a1，a2∈(0,1)，∴a2－1<0，a1－1<0，
∴(a2－1)(a1－1)>0， ∴M－N>0，即 M>N.
法一完
法二 (特值法) 取 a1＝12，b＝12，
则 M＝14，N＝0， 故 M>N. 答案 B 法二完
单击题号显示结果 1 2 3
4
答案显示
DC B A
单击图标显示详解
5 bc ac >
ac bc
考向一 比较大小
【例 1】►已知 a，b，c 是实数，试比较 a2＋b2＋c2 与 ab ＋bc＋ca 的大小．
解 ∵a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝12[(a－b)2＋(b－c)2＋ (c－a)2]≥0，当且仅当 a＝b＝c 时取等号．
32、 、填解空答题题
2、填空题
3、解答题
考点梳理
1．两个实数比较大小的方法
a－b>0⇔_a_>__b_ (1)作差法a－b＝0⇔_a_=_b__a，b∈R；
a－b<0⇔_a__<_b__
ab>1⇔_a_>__b_
(2)作商法ab＝1⇔_a_=_b___a∈R，b>0. ab<1⇔_a_<__b__
考点梳理
2．不等式的性质
(1)对称性：如果 a>b，那么 b_<_a. (2)传递性：如果 a>b，b>c，那么 a _>_c. (3)可加性：如果 a_>_b，那么 a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果 a>b，c>0，那么 ac_>__bc；如果 a>b，c<0， 那么 ac_<__bc. (5)同向可加性：如果 a>b，c>d，那么 a＋c_>__b＋d. (6)同向同正可乘性：如果 a>b>0，c>d>0，那么 ac_>_bd. (7)可乘方性：如果 a>b>0，那么 an_>_bn(n∈N，n≥2)． (8)可开方性：如果 a>b>0，那么n a_>_n b(n∈N，n≥2)．
高考数学大一轮复习第七章不等式7.1不等关系与不等式教师专用理苏教版
第七章不等式 7。
1 不等关系与不等式教师用书理苏教版1。
两个实数比较大小的方法（1）作差法｛a－b>0⇔a> b，a－b＝0⇔a＝ba－b<0⇔a< b(a，b∈R);（2)作商法错误!（a∈R，b〉0)。
2。
不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔b〈a⇔传递性a>b，b>c⇒a>c⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔可乘性错误!⇒ac>bc注意c的符号错误!⇒ac〈bc同向可加性错误!⇒a＋c〉b＋d⇒同向同正可乘性错误!⇒ac〉bd⇒可乘方性a>b>0⇒a n〉b n（n∈N,n≥1）a，b同为正数可开方性a>b>0⇒n，a>错误!（n∈N，n≥2)3。
不等式的一些常用性质（1)倒数的性质①a>b，ab〉0⇒错误!<错误!.②a<0<b⇒错误!〈错误!。
③a>b〉0,0<c〈d⇒错误!>错误!。
④0<a〈x〈b或a<x<b〈0⇒错误!<错误!〈错误!。
(2）有关分数的性质若a>b〉0，m〉0，则①错误!<错误!；错误!>错误!（b－m〉0）.②错误!〉错误!;错误!〈错误!（b－m>0）。
【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1）两个实数a，b之间,有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种。
（√) (2）若错误!〉1，则a〉b.（×)（3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变。
( ×)（4）一个非零实数越大，则其倒数就越小.（×)（5)a〉b>0，c>d〉0⇒错误!>错误!。
( √)（6）若ab〉0，则a〉b⇔错误!<错误!。
( √)1。
(教材改编）已知a＋b>0，b<0，那么a，b,－a，－b的大小关系是______________.答案a〉－b>b>－a解析∵a＋b〉0，b<0，∴a〉－b〉0，－a〈b〈0,∴a〉－b>0〉b>－a,即a>－b>b>－a.2。
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解析
思维升华
例1 某商人如果将进货单价为8元 解 若提价后商品的单价为x元，
的商品按每件10元销售，每天可销 售100件，现在他采用提高售价，减
则销售量减少x－110×10 件， 因 此 ， 每 天 的 利 润 为 (x －
少进货量的办法增加利润．已知这
8)[100－10(x－10)]元， 种商品的单价每提高1元，销售量就
相应减少10件．若把提价后商品的 则“每天的利润不低于 300
单价设为x元，怎样用不等式表示每 元”可以表示为不等式
天的利润不低于300元？
(x－8)[100－10(x－10)]≥300.
题型一 用不等式(组)表示不等关系
解析
思维升华
例1 某商人如果将进货单价为8元 对于不等式的表示问题，
的商品按每件10元销售，每天可销 关键是理解题意，分清变
完全平方式．当两个式子
都为正数时，有时也可以
先平方再作差．
题型二 比较大小
例2 (1)已知a1，a2∈(0,1)，记 M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M 与N的大小关系是__M__>_N___．
跟踪训练1 已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：
甲
乙
维生素A(单位/kg)
600
700
维生素B(单位/kg)
800
400
设用甲、乙两种食物各x kg，y kg配成至多100 kg的混合食 物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和62 000 单位维生素B，则x，y应满足的所有不等关系为
∴M>N.
题型二 比较大小
例2 (1)已知a1，a2∈(0,1)，记 M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M 与N的大小关系是__M__>_N___．
解析
答案
思维升华
比较大小的常用方法
(1)作差法：
一般步骤：①作差；②变
形；③定号；④结论．其
中关键是变形，常采用配
方、因式分解、有理化等
方法把差式变成积式或者
思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)a>b⇔ac2>bc2.( × ) (2)a>b>0，c>d>0⇒da>bc.( √ ) (3)若 ab>0，则 a>b⇔a1<1b.( √ )
(4)若ba>1，则 a>b.( × ) (5)若 a>b>1，c<0，则 logb(a－c)>loga(b－c)．( √ ) (6)若a1<1b<0，则|a|>|b|.( × )
题号
1 2 3 4
答案
④ ②
v≤40 km/h
a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1
解析
∵a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1) ＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1) ＝(b1－b2)(a1－a2)， ∵a1≤a2，b1≥b2， ∴(b1－b2)(a1－a2)≤0， ∴a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1.
x＋y≤100，
6x＋7y≥560， 2x＋y≥155， _x_≥__0_，__y_≥__0___．
解析
题型二 比较大小
例2 (1)已知a1，a2∈(0,1)，记
M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M
与N的大小关系是________．
答案
思维升华
题型二 比较大小
例2 (1)已知a1，a2∈(0,1)，记 M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M 与N的大小关系是________．
售100件，现在他采用提高售价，减 少进货量的办法增加利润．已知这 种商品的单价每提高1元，销售量就 相应减少10件．若把提价后商品的 单价设为x元，怎样用不等式表示每 天的利润不低于300元？
化前后的各种量，得出相 应的代数式，然后，用不 等式表示．而对于涉及条 件较多的实际问题，则往 往需列不等式组解决．
例2 (1)已知a1，a2∈(0,1)，记 M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M 与N的大小关系是__M__>_N___．
解析
答案
思维升华
M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1 ＝a1(a2－1)－(a2－1) ＝(a1－1)(a2－1)， 又 ∵a1∈(0,1) ， a2∈(0,1) ， ∴a1－1<0，a2－1<0. ∴(a1－1)(a2－1)>0， 即M－N>0.
an>bn
可乘方性
a>b(n>∈0⇒N，n na≥>n1)b
⇒ ⇒
a，b同为正数
3.不等式的一些常用性质
(1)倒数的性质
①a>b，ab>0⇒1a
<
1 b.
②a<0<b⇒1a
<
1 b.
③a>b>0,0<c<d⇒ac > db.
④0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒1b <
1 x
<
1 a.
(2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①ba<ab＋＋mm；ab>ba－ －mm(b－m>0). ②ab>ba＋＋mm；ba<ab－ －mm(b－m>0).
数学 苏（理）
第七章 不等式
§7.1 不等关系与不等式
➢ 基础知识·自主学习 ➢ 题型分类·深度剖析 ➢ 思想方法·感悟提高 ➢ 练出高分
1．两个实数比较大小的方法
a－b>0⇔a > b
作差法a－b＝0⇔a ＝ b a－b<0⇔a < b
(a，b∈R)；
ab>1⇔a > b (2)作商法ab＝1⇔a ＝ b
题型一 用不等式(组)表示不等关系
解析
例1 某商人如果将进货单价为8元
的商品按每件10元销售，每天可销
售100件，现在他采用提高售价，减
少进货量的办法增加利润．已知这
种商品的单价每提高1元，销售量就
相应减少10件．若把提价后商品的
单价设为x元，怎样用不等式表示每
天的利润不低于300元？
思维升华
题型一 用不等式(组)表示不等关系
ab<1⇔a < b
(a∈R，b>0)．Leabharlann 2．不等式的基本性质性质
性质内容
对称性
b<a a>b⇔
a>c
传递性 可加性
a>b，b>ac＋⇒c>b＋c
a>b
c>0
ac>bc
a>a>bb⇔
ac<bc
特别提醒 ⇔ ⇒ ⇔
同向可加性 同向同正可乘性
a>b
c>d
⇒
a＋c>b＋d
a>b>0
ac>bd
c>d>0 ⇒
解析
答案
思维升华
M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1 ＝a1(a2－1)－(a2－1) ＝(a1－1)(a2－1)， 又 ∵a1∈(0,1) ， a2∈(0,1) ， ∴a1－1<0，a2－1<0. ∴(a1－1)(a2－1)>0， 即M－N>0.
∴M>N.
题型二 比较大小