高考数学大一轮复习 7.1不等关系与不等式 理 苏教版

数学 苏（理）
第七章 不等式
§7.1 不等关系与不等式
➢ 基础知识·自主学习 ➢ 题型分类·深度剖析 ➢ 思想方法·感悟提高 ➢ 练出高分
1．两个实数比较大小的方法
a－b>0⇔a > b
作差法a－b＝0⇔a ＝ b a－b<0⇔a < b
(a，b∈R)；
ab>1⇔a > b (2)作商法ab＝1⇔a ＝ b
an>bn
可乘方性
a>b(n>∈0⇒N，n na≥>n1)b
⇒ ⇒
a，b同为正数
3.不等式的一些常用性质
(1)倒数的性质
①a>b，ab>0⇒1a
<
1 b.
②a<0<b⇒1a
<
1 b.
③a>b>0,0<c<d⇒ac > db.
④0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒1b <
1 x
<
1 a.
(2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①ba<ab＋＋mm；ab>ba－ －mm(b－m>0). ②ab>ba＋＋mm；ba<ab－ －mm(b－m>0).
题型一 用不等式(组)表示不等关系
解析
例1 某商人如果将进货单价为8元
的商品按每件10元销售，每天可销
售100件，现在他采用提高售价，减
少进货量的办法增加利润．已知这
种商品的单价每提高1元，销售量就
相应减少10件．若把提价后商品的
单价设为x元，怎样用不等式表示每
天的利润不低于300元？
思维升华
题型一 用不等式(组)表示不等关系
解析
答案
思维升华
M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1 ＝a1(a2－1)－(a2－1) ＝(a1－1)(a2－1)， 又 ∵a1∈(0,1) ， a2∈(0,1) ， ∴a1－1<0，a2－1<0. ∴(a1－1)(a2－1)>0， 即M－N>0.
∴M>N.
题型二 比较大小
x＋y≤100，
6x＋7y≥560， 2x＋y≥155， _x_≥__0_，__y_≥__0___．
解析
题型二 比较大小
例2 (1)已知a1，a2∈(0,1)，记
M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M
与N的大小关系是________．
答案
思维升华
题型二 比较大小
例2 (1)已知a1，a2∈(0,1)，记 M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M 与N的大小关系是________．
解析
思维升华
例1 某商人如果将进货单价为8元 解 若提价后商品的单价为x元，
的商品按每件10元销售，每天可销 售100件，现在他采用提高售价，减
则销售量减少x－110×10 件， 因 此 ， 每 天 的 利 润 为 (x －
少进货量的办法增加利润．已知这
8)[100－10(x－10)]元， 种商品的单价每提高1元，销售量就
跟踪训练1 已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：
甲
乙
维生素A(单位/kg)
600
700
维生素B(单位/kg)
800
400
设用甲、乙两种食物各x kg，y kg配成至多100 kg的混合食 物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和62 000 单位维生素B，则x，y应满足的所有不等关系为
完全平方式．当两个式子
都为正数时，有时也可以
先平方再作差．
题型二 比较大小
例2 (1)已知a1，a2∈(0,1)，记 M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M 与N的大小关系是__M__>_N___．
∴M>N.
题型二 比较大小
例2 (1)已知a1，a2∈(0,1)，记 M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M 与N的大小关系是__M__>_N___．
Baidu Nhomakorabea
解析
答案
思维升华
比较大小的常用方法
(1)作差法：
一般步骤：①作差；②变
形；③定号；④结论．其
中关键是变形，常采用配
方、因式分解、有理化等
方法把差式变成积式或者
ab<1⇔a < b
(a∈R，b>0)．
2．不等式的基本性质
性质
性质内容
对称性
b<a a>b⇔
a>c
传递性 可加性
a>b，b>ac＋⇒c>b＋c
a>b
c>0
ac>bc
a>a>bb⇔
ac<bc
特别提醒 ⇔ ⇒ ⇔
同向可加性 同向同正可乘性
a>b
c>d
⇒
a＋c>b＋d
a>b>0
ac>bd
c>d>0 ⇒
思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)a>b⇔ac2>bc2.( × ) (2)a>b>0，c>d>0⇒da>bc.( √ ) (3)若 ab>0，则 a>b⇔a1<1b.( √ )
(4)若ba>1，则 a>b.( × ) (5)若 a>b>1，c<0，则 logb(a－c)>loga(b－c)．( √ ) (6)若a1<1b<0，则|a|>|b|.( × )
相应减少10件．若把提价后商品的 则“每天的利润不低于 300
单价设为x元，怎样用不等式表示每 元”可以表示为不等式
天的利润不低于300元？
(x－8)[100－10(x－10)]≥300.
题型一 用不等式(组)表示不等关系
解析
思维升华
例1 某商人如果将进货单价为8元 对于不等式的表示问题，
的商品按每件10元销售，每天可销 关键是理解题意，分清变
售100件，现在他采用提高售价，减 少进货量的办法增加利润．已知这 种商品的单价每提高1元，销售量就 相应减少10件．若把提价后商品的 单价设为x元，怎样用不等式表示每 天的利润不低于300元？
化前后的各种量，得出相 应的代数式，然后，用不 等式表示．而对于涉及条 件较多的实际问题，则往 往需列不等式组解决．
例2 (1)已知a1，a2∈(0,1)，记 M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M 与N的大小关系是__M__>_N___．
解析
答案
思维升华
M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1 ＝a1(a2－1)－(a2－1) ＝(a1－1)(a2－1)， 又 ∵a1∈(0,1) ， a2∈(0,1) ， ∴a1－1<0，a2－1<0. ∴(a1－1)(a2－1)>0， 即M－N>0.
题号
1 2 3 4
答案
④ ②
v≤40 km/h
a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1
解析
∵a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1) ＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1) ＝(b1－b2)(a1－a2)， ∵a1≤a2，b1≥b2， ∴(b1－b2)(a1－a2)≤0， ∴a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1.