【精编】高考数学不等式：基本不等式

基本不等式

【考点梳理】

1．基本不等式ab ≤

a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2

＋b 2

≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b

≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤⎝

⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；

(4)⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22≤a 2

＋b 2

2(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数

设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为

a ＋b

2

，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则

(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2

4(简记：和定积最大)．

【考点突破】

考点一、配凑法求最值

【例1】(1)若x ＜

54，则f (x )＝4x －2＋145

x -的最大值为________． (2)函数y ＝

x －1

x ＋3＋x －1

的最大值为________.

[答案] (1) 1 (2) 1

5

[解析] (1)因为x ＜5

4

，所以5－4x ＞0，

＝－2＋3＝1.

当且仅当5－4x ＝1

5－4x ，即x ＝1时，等号成立.

故f (x )＝4x －2＋1

4x －5的最大值为1.

(2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2

＋1， 所以y ＝

t

t 2

＋1＋3＋t ＝

t

t 2

＋t ＋4

.

当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t ＞0，即x ＞1时，y ＝

1

t ＋4t

＋1

， 因为t ＋4

t

≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，

所以y ＝

1t ＋4t

＋1

≤1

5， 即y 的最大值为1

5(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值). 【类题通法】

1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.

2.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. 【对点训练】 1．若函数f (x )＝x ＋

1

x －2

(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋2 B ．1＋3 C ．3 D ．4 [答案] C

[解析] 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋

1

x －2

＋2≥2（x －2）×

1

x －2

＋2＝4，当

且仅当x －2＝

1

x －2

(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，即a ＝3，选C. 2．函数y ＝x 2＋2

x －1

(x >1)的最小值为________.

[答案] 23＋2

[解析] y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3

x －1

＝（x －1）2

＋2（x －1）＋3

x －1

＝(x －1)＋

3

x －1

＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3

x －1，即x ＝3＋1时，等号成立.

考点二、常数代换或消元法求最值

【例2】(1)已知x ，y 均为正实数，且

1x ＋2＋1y ＋2＝16

，则x ＋y 的最小值为( ) A ．24 B ．32 C ．20 D ．28 (2)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. [答案] (1) C (2) 6

[解析] (1)∵x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16

， 则x ＋y ＝(x ＋2＋y ＋2)－4 ＝6⎝

⎛⎭⎪

⎫1x ＋2＋1y ＋2(x ＋2＋y ＋2)－4

＝6⎝

⎛⎭

⎪⎫

2＋

x ＋2y ＋2＋y ＋2x ＋2－4 ≥6×⎝

⎛⎭

⎪⎫

2＋2

x ＋2y ＋2·y ＋2x ＋2－4＝20， 当且仅当x ＝y ＝10时取等号. ∴x ＋y 的最小值为20. (2)由已知得x ＝9－3y

1＋y .

法一 (消元法)

因为x ＞0，y ＞0，所以0＜y ＜3，

所以x ＋3y ＝9－3y

1＋y ＋3y

＝

12

1＋y

＋3(y ＋1)－6≥212

1＋y

·3（y ＋1）－6＝6， 当且仅当12

1＋y ＝3(y ＋1)，

即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 法二 ∵x ＞0，y ＞0，

9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22

，

当且仅当x ＝3y 时等号成立.

设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2

＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6. 故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. 【类题通法】

条件最值的求解通常有三种方法：

一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；

二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；

三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解. 【对点训练】

1．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________. [答案] 5

[解析] 法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋3

5x ＝1，

∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝

⎛⎭

⎪⎫15y ＋35x

＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝1

2时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5.