【精编】高考数学不等式：基本不等式
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
基本不等式 高考数学满分秘诀
高考数学秘诀-基本不等式【知识梳理】12a b +≤(1)基本不等式成立的条件：0,0a b ≥≥.(2)等号成立的条件：当且仅当a b =时取等号.(3)其中2a b+称为正数a ，b a ，b 的几何平均数.2、几个重要的不等式（1）222222a b a b ab ab ++≥⇒≤，当且仅当a ＝b 时取等号.（2）2()2a b a b ab ++≥≤，当且仅当a ＝b 时取等号.（3）222()22a b a b ++≤.（4）熟悉一个重要的不等式链：211a b+2a b+≤≤≤222b a +总结：基本不等式重点就是体现一个“定”的思想，所以在学习过程中要感悟配凑技巧。
拓展：若+∈R c b a ,,，3a b c ++≥c b a ==时等号成立；【技巧大全】技巧1：直接法技巧2：“添项”配凑法技巧3：“系数”配凑法技巧4：常数代换法技巧5：待定系数法技巧6：涉及a b +和ab 的处理方法技巧7：一次、二次问题处理方法技巧8：齐次化法技巧9：化为单变量法技巧10：整体配凑法【典例分析】--部分摘录技巧1：直接法例1、已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为________。
【答案】3【解析】因为x >0，y>0，所以34x y +≥(当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等号)，于1≤， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3.例2、已知+∈R y x ,若16=xy ，求11x y+的最小值.并求y x 、的值【答案】12【解析】1112x y +≥=，当且仅当4==y x 时等号成立例3、若实数,a b 满足221ab+=，则a b +的最大值是．【答案】-2当1a b ==-时取等号。
例4、若实数a ，b满足12a b+=，则ab 的最小值为__________．【答案】由题意可知可以利用基本不等式，12a b =+≥=，当且仅当122b a a b =⇒=时取等号，化简后可得：ab =145422a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩技巧2：“添项”配凑法例1、已知函数1(0)y x x x=+>，求y 的最小值.【答案】2例2、已知函数3(2)2y x x x =+>-，求y 的最小值.【答案】2+例3、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
2024年新高考版数学专题1_2.2 基本不等式及不等式的应用
x2
x
b
,则
x
2
x
b
≥1,由b>0得b≤x-x2,
即b≤
(
x
x
2
)
max
,∵x-x2=-
x
1 2
2
+
1 4
,x∈
1 4
,
3 4
,∴x=
1 2
时,(x-x2)max=
1 4
,则b≤
1 4
.
故0<b≤ 1 .
4
答案
0<b≤
1 4
例3
已知函数f(x)=x2,g(x)=
1 2
x
-m,若对任意x∈[1,2],都有f(x)≥g(x),则实
2.几个重要不等式
1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
2)a+b≥2 ab (a>0,b>0),当且仅当a=b时取等号.
3)ab≤
a
2
b
2
(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
4)a+ 1 ≥2(a>0),当且仅当a=1时取等号;a+ 1 ≤-2(a<0),当且仅当a=-1时取
4.双变量的恒成立与存在性问题 1)若∀x1∈I1、∀x2∈I2 ,f(x1)>(≥)g(x2)恒成立,则f(x)min>(≥)g(x)max. 2)若∀x1∈I1,∃x2∈I2,使得f(x1)>(≥)g(x2),则f(x)min>(≥)g(x)min. 3)若∃x1∈I1,∀x2∈I2,使得f(x1)>(≥)g(x2),则f(x)max>(≥)g(x)max. 4)若∃x1∈I1,∃x2∈I2,使得f(x1)>(≥)g(x2),则f(x)max>(≥)g(x)min. 5)已知f(x)在区间I1上的值域为A,g(x)在区间I2上的值域为B,若∀x1∈I1,∃x2 ∈I2,使得f(x1)=g(x2)成立,则A⊆B.
基本不等式高中数学
基本不等式高中数学
基本不等式是高中数学中常见的一个重要概念。
不等式是比较两个数大小关系的数学表达式，而基本不等式则是一些常用的不等式模式，可以帮助我们简化和解决复杂的不等式问题。
以下是几个常见的基本不等式：
1. 加法不等式：对于任意实数a、b和c，有a < b，则a + c < b + c。
2. 减法不等式：对于任意实数a、b和c，有a < b，则a - c < b - c。
3. 乘法不等式：对于任意正实数a、b和c，有a < b，则ac < bc；对于任意负实数a、b和c，有a < b，则ac > bc。
需要注意的是，当a、b和c中存在0时，乘法不等式的性质会有所不同。
4. 平方不等式：对于任意实数a，有a² ≥ 0。
这个不等式告诉我们，任何实数的平方都大于等于0。
5. 绝对值不等式：对于任意实数a，有|a| ≥ 0。
绝对值不等式告诉我们，任何实数的绝对值都大于等于0。
这些基本不等式可以作为解决不等式问题的基础，可以通过运用它们来简化和推导更复杂的不等式，进而求解不等式方程。
在解决不等式问题时，还需要注意不等式的性质和特殊情况的处理，例如分段函数、绝对值函数等。
基本不等式完整版(非常全面)[整理]
![基本不等式完整版(非常全面)[整理]](https://img.taocdn.com/s3/m/9348b628cd1755270722192e453610661ed95ab5.png)
基本不等式完整版(非常全面)[整理]
基本不等式可以指几乎所有组成分析和数学的基础。
它可以使许多不同的数学问题变
得更容易理解，因此使用它们进行计算是极其重要的。
基本不等式包括了三类不等式：大
小不等式，加法不等式和乘法不等式。
以下是一些基本的不等式定义。
1、大小不等式：大小不等式表示一个数与另一个数之间的存在或缺失的关系。
例如，如果A > B，则表示A大于B，而A ≤ B表示A小于或等于B，A ≠ B表示A与B之间存
在某种不同。
2、加法不等式：加法不等式表示两个数相加时的结果。
例如，A + B > C的意思是A
与B的和大于C，A + B ≤ C的意思是A与B的和小于或等于C，A + B = C的意思是A
与B的和等于C。
一般地，一个数与另一个数之间的关系可以用不等式来表示，但也可以用不等式来表
示多个数之间的关系：
1、省略不等式：3x + 2y = 4z，这表示3x + 2y至少等于4z的意思。
基本不等式可以用来处理大量数学问题，比如解一元不等式、求函数的极值以及进行
多元函数分析等。
它们对于熟悉数学理论和解决数学问题都极其重要。
数学高考不等式知识点归纳
数学高考不等式知识点归纳数学是高考中不可或缺的一门科目，而数学的不等式是其中一个重要的知识点。
在高考中，会涉及到各种类型的不等式问题，考生需要对不等式的性质和解法有深刻的理解。
下面我将对数学高考中常见的不等式知识点进行归纳整理。
一、基本不等式基本不等式是解决不等式问题的基础，它是数学推理的起点。
基本不等式有两个方面的含义：其一是一个数平方一定大于等于零，即对任意实数x，x²≥0，即x²≥0；其二是有理数的平方的大小关系，即对任意实数x和y，如果x>y，则x²>y²。
二、一元一次不等式一元一次不等式是高考中最简单、最常见的不等式类型。
对于一元一次不等式，考生需要掌握解法的基本思路，如通过移项、乘除法等基本运算，确定不等式的解集。
三、一元二次不等式一元二次不等式是高考中较为复杂的不等式类型。
对于一元二次不等式，考生需要将其转化为二次函数的解析表达式，然后通过解二次方程来求解。
在解决一元二次不等式问题时，应注意借助二次函数的图像进行推理，从而获得正确的解集。
四、有理不等式有理不等式是由有理数构成的不等式。
对于有理不等式，考生需要掌握解法的一般步骤，如将不等式分母消去、确定分界点、绘制数轴图、判断各个区间的正负性等。
五、绝对值不等式绝对值不等式是高考中常见的不等式类型，而且解法相对简单。
对于绝对值不等式，考生需要掌握将其转化为两个简单的不等式，并分别求解的方法。
六、复合不等式复合不等式由多个不等式组合而成，对于复合不等式，考生需要掌握解法的一般步骤，如将多个不等式合并、确定解集的交集或并集等。
在解复合不等式问题时，需要特别注意各个不等式的对应关系。
七、几何不等式几何不等式是利用几何图形的性质来解决不等式问题。
对于几何不等式，考生需要通过合理的假设、推理以及几何图形的性质来求解。
在解决几何不等式问题时，应灵活运用几何知识和不等式知识，结合具体题目进行分析和推导。
高中数学：基本不等式(含答案)
高中数学：必修5 基本不等式一、基础知识1．重要不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )一般地，对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当______________时，等号成立．2．基本不等式如果a ＞0，b ＞0，那么2a bab +≤，当且仅当______________时，等号成立． 其中，2a b+叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数． 因此基本不等式也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．基本不等式的证明（1）代数法：方法一 因为a ＞0，b ＞0，所以我们可以用a ，b 分别代替重要不等式中的a ，b ，得22()()2a b a b +≥⋅，当且仅当a b =时，等号成立．即2a bab +≥( a ＞0，b ＞0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 方法二 因为2222()()2()0a b ab a b ab a b +-=+-=-≥， 所以20a b ab +-≥，即2a b ab +≥，所以2a bab +≤． 方法三 要证2a bab +≥，只要证2a b ab +≥，即证20a b ab +-≥，即证2()0a b -≥，显然2()0a b -≥总是成立的，当且仅当a ＝b 时，等号成立．（2）几何法：如图，AB 是圆的直径，C 是AB 上一点，AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD ，BD ．易证Rt Rt ACD DCB △∽△，则CD 2＝CA ·CB ，即CD ＝______________．这个圆的半径为2a b +，显然它大于或等于CD ，即2a bab +≥，当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立．2a bab +≤的几何意义：半径不小于半弦．4．重要不等式和均值不等式的常用变形公式及推广公式（1）2b a a b +≥(a ，b 同号)；2b aa b +≤-(a ，b 异号)． （2）12a a +≥(a ＞0)；12a a+≤-(a ＜0)． （3）114a b a b +≥+(a ＞0，b ＞0)；22a a b b≥-(a ＞0，b ＞0)．（4）222a b ab +≤，2()2a b ab +≤，4ab ≤a 2＋b 2＋2ab ，2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(,)a b ∈R ． （5）12212(,,,,2)nn n a a a a a a a n n n+++≥∈≥∈R N ,．（6）2121212111()()(,,,n n na a a n a a a a a a ++++++≥为正实数，且2)n n ≥∈N ,．5．均值不等式链若a ＞0，b ＞0，则2112a b a b+≤≤≤+，当且仅当a ＝b 时，等号成立．其中211a b +分别叫做a ，b 的调和平均数和平方平均数．6．最值定理已知x ＞0，y ＞0，则若x＋y 为定值s ，则当且仅当x ＝y 时，积xy 有最大值24s (简记：和定积最大)； 若xy 为定值t ，则当且仅当x ＝y 时，和x ＋y有最小值简记：积定和最小)．参考答案：重难易错点：一、利用基本不等式判断不等式是否成立要判断不等式是否成立，关键是把握其运用基本不等式时能否严格遵循“一正、二定、三相等”这三个条件．例1.（1）设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f )，q ＝()2a b f +，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是 A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞q（2）给出下列不等式：①12x x +≥；②1||2x x+≥；③21(0)4x x x +>>；④1sin 2sin x x +≥；⑤若0＜a ＜1＜b ，则log a b ＋log b a ≤－2．其中正确的是______________． 【答案】（1）B ；（2）②⑤．【点析】基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等．一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换（利用基本不等式可将整式和根式相互转化），使其中的不等关系明晰即可解决问题．二、利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式的一般思路：先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有其他条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到．例2.（1）已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：222a b c a b c b c a++≥++；（2）已知a ＞b ，ab ＝2，求证：224a b a b+≥-．观察a－b，a2＋b2，可联想到通过加减2ab的方法配凑出(a－b)2，从而化为可使用基本不等式的形式，结合ab ＝2可使问题得到解决．三、利用基本不等式求最值（1例3.（1）已知f(x)＝x＋1x＋2(x＜0)，则f(x)有A．最大值为4B．最小值为4 C．最小值为0 D．最大值为0（2）已知0＜x＜4，则x(4－x)取得最大值时x的值为A．0 B．2 C．4 D．16（3）已知函数f(x)＝2x(x＞0)，若f(a＋b)＝16，则f(ab)的最大值为_______________；（4）已知a，b∈R，且ab＝8，则|a＋2b|的最小值是_______________．【答案】（1）D；（2）C；（3）16；（4）8．【点析】利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等，即①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时条件是否具备．（2使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、凑项、凑系数等．例4.（1）已知x＞0，则函数y＝231x xx++的最小值为_______________；（2）若x＞1，则函数y＝11xx+-的最小值为_______________；（3）若0＜x＜125，则函数y＝x(12－5x)的最大值为_______________．（31”的替换，或构造不等式求解．例5.（1）已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则11a b+的最小值为_______________；（2）已知a＞0，b＞0，11a b+＝2，则a＋b的最小值为_______________；（3）若正实数x，y满足x＋y＋3＝xy，则xy的最小值是_______________；（4）已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值是_______________． 【答案】（1）4；（2）2；（3）9；（4）2．【点析】在构造不等式求最值时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用．例如，当a ＞0，b ＞0时，a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤222a b +；2a b+≥ab 逆用就是ab ≤2()2a b +等．还要注意“添项、拆项、凑系数”的技巧和等号成立的条件等．四、基本不等式在实际中的应用利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题过程中尽量向模型2bax ab x+≥(a ＞0，b ＞0，x ＞0)上靠拢． 例6.如图，要规划一个矩形休闲广场，该休闲广场含有大小相等的左右两个矩形草坪（如图中阴影部分所示），且草坪所占面积为18 000 m 2，四周道路的宽度为10 m ，两个草坪之间的道路的宽度为5 m ．试问，怎样确定该矩形休闲广场的长与宽的尺寸（单位：m ），能使矩形休闲广场所占面积最小？【答案】当矩形休闲广场的长为140 m ，宽为175 m 时，可使休闲广场的面积最小．【点析】本题容易出现的思维误区：①未能理清草坪边长与休闲广场边长之间的关系；②求出目标函数后不会运用基本不等式求最值，缺乏必要的配凑、转化变形能力，从而无法利用基本不等式求最值，或者不会利用基本不等式等号成立的条件求变量的取值．五、忽略等号成立的条件导致错误例7、函数22()2f x x =+的最小值为_______________．【错解】2222223211()22222x x f x x x x x +++===++≥+++，所以函数()f x 的最小值为2．【错因分析】错解中使用基本不等式时，等号成立的条件为22122x x +=+，即22x +＝1，显然x 2≠－1，即等号无法取到，函数()f x 的最小值为2是不正确的． 【正解】()21222+++=x x x f ，令()()t t t g t x t 1,2,22+=≥+=.易知函数()tt t g 1+=在[)∞+，2上六、忽略等号成立的一致性导致错误例8、若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则11x y+的最小值为_______________．基本不等式：基础习题强化1．已知01x <<，则(1)x x -取最大值时x 的值为A B C D 2．若实数,a b 满足323a b +=，则84a b +的最小值是A ．B ．4C ．D ．3．若0,0,x y >>且22x y +=，则21x y+的最小值是A ．3BC ．3D ．924．若1a >，则211a a a -+-的最小值是A ．2B ．4C ．1D ．35．已知2212,202b m a a n b a -=+>=≠-（）（），则m ，n 之间的大小关系是 A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．不能确定6．己知,a b 均为正实数，且直线60ax by +-=与直线()3250b x y --+=互相垂直，则23a b +的最小值为 A ．12B ．13C ．24D ．257．已知0a >，0b >，11a b a b +=+，则12a b+的最小值为A ．4B ．C ．8D ．168．若正数a ，b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围为________________． 9．已知,,a b c +∈R ，且3a b c ++=，则111a b c++的最小值是________________．10．若实数a ，b 满足12a b+=ab 的最小值为________________． 11．设230<<x ，则函数4(32)y x x =-的最大值为________________． 12．已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________________时，22log log (2)a b ⋅取得最大值．能力提升13．已知a ，b 都是正实数，且满足2a b ab +=，则2a b +的最小值为A ．12B ．10C ．8D ．614．已知1,1a b >>，且11111a b +=--，则4a b +的最小值为 A ．13B ．14C ．15D ．1615．已知不等式1)()9ax y x y++≥（对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 A ．8B ．6C ．4D ．216．若正实数,a b 满足1a b +=，则A ．11a b+有最大值4 B ．ab 有最小值14C ．a b +有最大值2D ．22a b +有最小值2217．已知0,0a b >>，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为 A ．4B ．16C ．9D ．318．设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为A ．252B ．492C ．12D ．1419．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则111a b c++的最小值为_________________． 20．在4×＋9×＝60的两个中，分别填入一个自然数，使它们的倒数之和最小，则中应分别填入____________和____________．21．若a ，b ，c ＞0且(a ＋c )(a ＋b )＝423-，则2a ＋b ＋c 的最小值为________________． 22．已知正实数a ，b 满足：1a b +=，则222a ba b a b +++的最大值是________________．其他23．某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图所示）．设矩形的长为x 米，钢筋网的总长度为y 米． （1）列出y 与x 的函数关系式，并写出其定义域；（2）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？24．（1）求函数2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值；（2）已知正数a ，b 和正数x ，y ，若a ＋b ＝10，1a bx y+=，且x ＋y 的最小值是18，求a ，b 的值．25．已知函数2()21,f x x ax a a =--+∈R ．（1）若2a =，试求函数()(0)f x y x x=>的最小值； （2）对于任意的[0,2]x ∈，不等式()f x a ≤成立，试求a 的取值范围．26．（天津文理）已知a ，b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_______________． 27．（江苏）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为_______________．28．（山东理）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是A ．()21log 2aba ab b +<<+ B ．()21log 2a b a b a b<+<+ C ．()21log 2a b a a b b +<+<D ．()21log 2a ba b a b +<+< 29．（天津文理）若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为________________．30．（江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________________． 31．（山东文）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点（1，2），则2a b +的最小值为________________．【参考答案】1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】B8．【答案】[)+∞,9 9．【答案】3 10．【答案】 11．【答案】9212．【答案】4 13．【答案】C 14．【答案】B 15．【答案】C 16．【答案】C 17．【答案】B 18．【答案】A19．【答案】9 20．【答案】6 4 21．【答案】2 22．23．【答案】（1）9003(0150)y x x x=+-<<；（2）长为30米，宽为15米时，所用的钢筋网的总长度最小． 24．【答案】（1）9；（2）28a b =⎧⎨=⎩或82a b =⎧⎨=⎩． 25．【答案】（1）2-；（2）3[,)4+∞．26．【答案】0.25 27．【答案】9 28．【答案】B 29．【答案】4 30．【答案】30 31．【答案】8。
高三不等式必背知识点
高三不等式必背知识点在高中数学课程中，不等式是一个重要且普遍存在的概念，而解不等式是解析几何、函数、导数等数学领域的基础。
在高三阶段，不等式也是重要的数学知识点之一。
本文将介绍高三阶段必背的不等式知识点，包括基本不等式、三角不等式、均值不等式等。
一、基本不等式基本不等式是指数学中最基础、最常用的两个不等式：算术平均-几何平均不等式和柯西-斯瓦茨不等式。
1. 算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）对于非负实数 $a_1、a_2、\ldots、a_n$，AM-GM 不等式定义为：$$\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1\cdot a_2\ldots a_n}$$其中，等号成立的条件是$a_1=a_2=\ldots=a_n$。
2. 柯西-斯瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）对于实数 $a_1、a_2、\ldots、a_n$ 和实数 $b_1、b_2、\ldots、b_n$，柯西-斯瓦茨不等式定义为：$$(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2$$其中，等号成立的条件是$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\ldots=\frac{a_n}{b_n}$。
二、三角不等式三角不等式是指与三角函数相关的一系列不等式，在解析几何和三角学中有重要的应用。
1. 直角三角形的三角不等式对于直角三角形，设斜边为 $c$，两个直角边分别为 $a$ 和$b$，那么三角不等式定义为：$$a+b>c$$2. 一般三角形的三角不等式对于一般的三角形，设边长分别为 $a、b、c$，则有三种不等式：$$a+b>c, a+c>b, b+c>a$$其中，任意两边之和大于第三边。
三、均值不等式均值不等式是指反映一组数的平均值和什么程度相差的不等式。
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.(1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“="）2. (1）若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） （3）若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- （当且仅当1x =-时取“="） 若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“="） 3.若0>ab ，则2≥+ab ba （当且仅当b a =时取“=”)若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 （当且仅当b a =时取“=”） 4。
若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正,二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋错误! （2)y ＝x ＋错误!解：（1)y ＝3x 2＋错误!≥2错误!＝错误! ∴值域为［错误!，+∞) （2）当x ＞0时，y ＝x ＋错误!≥2错误!＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋错误!= －(－ x －错误!）≤－2错误!=－2 ∴值域为（－∞,－2]∪［2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项例1：已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。
高中数学基本不等式知识点及练习题
高中数学基本不等式知识点及练习题1.基本不等式：对于任意正实数a和b，有ab≤(a+b)/2.2.几个重要的不等式：1) 平方差公式：对于任意实数a和b，有(a-b)^2≥0，即a^2+b^2≥2ab.2) 两个同号数的平方和大于它们的积：对于任意正实数a 和b，有a^2+b^2≥2ab.3) 两个异号数的平方和小于它们的积：对于任意实数a和b，如果ab<0，则a^2+b^2<2ab.4) 平均值不等式：对于任意正实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab).3.算术平均数与几何平均数：对于任意正实数a和b，它们的算术平均数为(a+b)/2，几何平均数为√(ab)。
基本不等式可以叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数.4.利用基本不等式求最值问题：1) 如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是2p.2) 如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值是p^2/4.一个技巧：在运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a^2+b^2≥2ab逆用就是ab≤(a^2+b^2)/(a+b)^2；还要注意“添、拆项”等技巧和公式等号成立的条件等.两个变形：1) a^2+b^2≥(a+b)^2/2≥ab（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）.2) a^2+b^2≥2ab（a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号）.三个注意：1) 使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视。
要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.2) 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.3) 连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.应用一：求最值：例1：已知x＜5，求函数y＝4x-2+1/(2x+1)的最大值.解题技巧：技巧一：凑项.例1：已知x＜5，求函数y＝4x-2+1/(2x+1)的最大值.技巧二：凑系数.例1.当x^2+7x+10/(x+1)的值域.技巧三：分离.例3.求y＝x(8-2x)的最大值，当y＜4时。
高考数学中的不等式相关知识点详解
高考数学中的不等式相关知识点详解数学是高考必考科目之一，而在数学中，不等式是重要的内容。
不等式是数学中的一个分支，是许多数学理论和应用中的核心。
在高考中，不等式占有很高的比重，因此，在高考中，掌握不等式相关知识点是非常重要的。
本文将详细解析高考中的不等式相关知识点。
一、基本不等式在学习不等式的时候，我们首先要了解基本不等式。
基本不等式是比较基本的不等式，是许多不等式的基础。
基本不等式的表达式为：a2+b2≥2ab。
其中，a和b为任意实数。
利用基本不等式可以解决很多的不等式问题。
我们可以通过基本不等式来证明很多与不等式有关的结论。
例如，证明平均值不小于几何平均值，证明勾股定理等等。
二、一元二次不等式及其解法一元二次不等式就是带有二次项的一元不等式，它的一般形式为：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0。
其中，a、b和c为常数，且a≠0。
一元二次不等式的解法有以下方式：1. 求解线性方程组对一元二次不等式的方程左边进行变形得到：ax2+bx+c≥0。
然后再根据二次函数图像上跨过X轴的方法，画出图像并求出x的取值范围。
最后，将图像左侧和右侧的值代入不等式，进而解出不等式的解。
2. 二次函数图像法通过画出二次函数图像，找到函数图像上跨过X轴的点，并根据函数图像上跨过X轴的点，解出不等式的解。
3. 公式法通过求出方程式ax2+bx+c=0的根，即可解出不等式的解。
当a>0时，方程的根为： x1=（-b+√(b2-4ac))/(2a) 和 x2=（-b-√(b2-4ac))/(2a)。
当 a<0时，方程的根为： (-b+√(b2-4ac))/(2a)<x<(-b-√(b2-4ac))/(2a)。
三、二元不等式二元不等式是指包含两个变量的不等式式子，它的一般形式为：f(x,y)≥0或f(x,y)≤0。
其中，x和y是变量，称为未知数，f(x,y)是由x和y组成的表达式。
二元不等式的解法有以下方式：1.用集合表示法通过用集合表示法定义不等式的解集，可以清晰地看到不等式的解集。
基本不等式(很全面)
基本不等式(很全面)基本不等式基本不等式原始形式：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/(a^2+b^2)。
基本不等式一般形式（均值不等式）：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/2.基本不等式的两个重要变形：1）对于任意实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。
2）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
常用结论：1）对于任意正实数x，有x+1/x≥2（当且仅当x=1时取“=”）。
2）对于任意负实数x，有x+1/x≤-2（当且仅当x=-1时取“=”）。
3）对于任意正实数a和b，有(a/b+b/a)≥2（当且仅当a=b 时取“=”）。
4）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/4.5）对于任意实数a和b，有1/(a+b)≤1/2√(ab)≤(1/a+1/b)/(a+b/2)。
特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”。
柯西不等式：1）对于任意实数a、b、c和d，有(a+b)(c+d)≥(ac+bd)^2.2）对于任意实数a1、a2、a3、b1、b2和b3，有(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)≥(a1b1+a2b2+a3b3)^2.3）对于任意实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，有(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)≥(a1b1+a2b2+…+an bn)^2.题型归纳：题型一：利用基本不等式证明不等式。
题目1：设a、b均为正数，证明不等式ab≥2/(1/a+1/b)。
题目2：已知a、b、c为两两不相等的实数，求证：a/(b-c)^2+b/(c-a)^2+c/(a-b)^2≥2/(a-b+b-c+c-a)。
题目3：已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+9abc≥2(ab+bc+ca)。
题目4：已知a、b、c为正实数，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c。
高考数学复习专题 基本不等式
高考数学复习专题基本不等式全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）高考数学复专题：基本不等式一、基本不等式1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。
2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则$a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3.利用基本不等式求最值问题：1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。
2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。
4.常用结论：1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。
2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$，$b$ 为同号实数）。
3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。
4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq\frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。
5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。
6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$，$b$ 为任意实数）。
7）$a^2+b^2 \geq ab$（$a>0$，$b>0$）。
二、基本不等式在实际中的应用1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等。
题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。
2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 $y=ax+b$（$a>0$，$b>0$）等。
高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高考数学-基本不等式(知识点归纳) 高中数学基本不等式的巧用一、基本不等式1.若$a,b\in\mathbb{R}$，则$a+b\geq 2ab$，$ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}$（当且仅当$a=b$时取“=”）2.若$a,b\in\mathbb{R}$，则$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$（当且仅当$a=b$时取“=”）3.若$x>1$，则$x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$时取“=”）；若$x<1$，则$x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当$x=-1$时取“=”）；若$x\neq 0$，则$x+\frac{1}{x}\geq 2$或$x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当$x=1$或$x=-1$时取“=”）4.若$a,b>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）；若$ab\neq 0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$或$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\leq -2$（当且仅当$a=b$时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最大值，正所谓“积定和最小，和定积最大”。
2）求最值的条件“一正，二定，三取等”。
3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用。
应用一：求最值例1：求下列函数的值域1.$y=3x+\frac{11}{2}$2.$y=x+\frac{1}{2x}$解：（1）$y=3x+\frac{11}{2}\geq 6$，所以值域为$[6,+\infty)$。
2）当$x>0$时，$y=x+\frac{1}{2x}\geq 2$；当$x<0$时，$y=x+\frac{1}{2x}\leq -2$；当$x=0$时，$y$无定义。
高中数学：基本不等式
基本不等式1、基本不等式√ab≤a+b2(a>0,b>0)，当且仅当a=b时取等号其中，a+b2为正数a,b的算数平均数，√ab为正数a,b的几何平均数2、基本不等式的变形（1）a2+b2≥2ab(a,b∈R)，当且仅当a=b时取等号（2）a+b≥2√ab(a>0,b>0)，当且仅当a=b时取等号（3）ab≤(a+b2)2(a,b∈R)，当且仅当a=b时取等号（4）a+1a ≥2(a>0)，当且仅当a=1时取等号；a+1a≤−2(a<0)，当且仅当a=−1时取等号（5）ba +ab≥2(a,b同号)，当且仅当a=b时取等号（6）2aba+b 为正数a,b的调和平均数，√a2+b22为正数a,b的平方平均数则：2aba+b ≤√ab≤a+b2≤√a2+b22(a>0,b>0)注意：运用基本不等式及其变形时，一定要验证等号是否成立。
3、基本不等式与最值已知x>0,y>0（1）如果xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值2√p（简记：积定和最小）（2）如果x+y是定值s，那么当且仅当x=y时，xy有最大值s 24（简记：和定积最大）注意：①一正二定三相等②连续使用基本不等式时，等号要同时成立题型一、基本不等式的性质1、下列不等式中正确的是（）A.a2+b2≥4abB.a+4a≥4C.a2+2+1a2+2≥4 D.a2+4a2≥42、若正实数a,b满足a+b=1，则（）A.1a +1b有最大值4 B.ab有最小值14C.√a+√b有最大值√2D.a2+b2有最小值√22题型二、代数式最值的求解方法——拼凑法1、已知8a+2b=1(a>0,b>0)，则ab的最大值为____________2、已知f(x)=x 2+3x+6x+1(x>0)，则f(x)的最小值是______________3、若a、b∈R,ab>0，则a 4+4b4+1ab的最小值为________________4、中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术"，即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S=√p(p−a)(p−b)(p−c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a=6, b+c =8，则此三角形面积的最大值为_____________题型三、条件最值的求解方法——常数代换法1、若正实数x,y满足x+y=1，则4x +9y的最小值为_____________2、已知x>0,y>0,z>0，且9y+z +1x=1，则x+y+z的最小值为________________3、若正实数x,y满足x+y=1，则4x+1+1y的最小值为_____________4、若正实数x,y满足x+4y−xy=0，则3x+y的最大值为________________5、已知a、b都是正数，且ab=1，则12a +12b+8a+b的最小值为______________6、已知a、b都是正数，且ab+a+b=3，则ab的最大值是________________；a+2b的最小值是______________7、已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是_____________8、已知ab=12，a,b∈(0,1)，那么11−a+21−b的最小值为_______________题型四、应用题1、某果农种植一种水果，每年施肥和灌溉等需投人4万元为了提高产量同时改善水果口味以赢得市场，计划在今年投入x万元用于改良品种。
高考数学之基本不等式
基础梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a ＋b 2；a ＋b2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．两个变形(1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)．这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )．A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号． 答案 C2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.答案 B3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12B ．1C ．2D ．4 解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2， ∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12. 答案 A4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 答案 C 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________． 解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号． 答案 －2考向一 利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． [审题视点] 第(1)问把1x ＋1y 中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式． 解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2xy ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号．(2)∵x ＞0， ∴f (x )＝2xx 2＋1＝2x ＋1x ≤22＝1， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋22 (2)1利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平方．【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝⎛⎭⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ， ∴2y ＋8x＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )()8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2xy＝10＋2()4y x ＋xy ≥10＋2×2×4y x ·xy＝18， 当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6， ∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.答案 (1)3 (2)15(3)18考向二 利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .[审题视点] 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到． 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴bc a ＋cab ≥2 bc a ·cab ＝2c ； bc a ＋ab c ≥2 bc a ·abc ＝2b ； ca b ＋ab c≥2 ca b ·abc＝2a . 以上三式相加得：2()bc a ＋ca b ＋abc≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题． 【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋()b a ＋a b ＋()c a ＋a c ＋()c b ＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．考向三 利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．[审题视点] 先求x x 2＋3x ＋1(x ＞0)的最大值，要使得x x 2＋3x ＋1≤a (x ＞0)恒成立，只要xx 2＋3x ＋1(x ＞0)的最大值小于等于a即可．解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝x x 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x ＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是[)15，＋∞ 答案[)15，＋∞当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10. 答案 10考向三 利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？[审题视点] 用长度x 表示出造价，利用基本不等式求最值即可．还应注意定义域0＜x ≤5；函数取最小值时的x 是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900()x ＋16x ＋5 800(0＜x ≤5)，则y ＝900()x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x＋5 800＝13 000(元)， 当且仅当x ＝16x，即x ＝4时取等号． 故当侧面的长度为4米时，总造价最低．解实际应用题要注意以下几点：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值； (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝80n ＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元． (1)求出f (n )的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？解 (1)第n 次投入后，产量为(10＋n )万件，销售价格为100元，固定成本为80n ＋1元，科技成本投入为100n 万元． 所以，年利润为f (n )＝(10＋n )⎝⎛⎭⎫100－80n ＋1－100n (n ∈N *)． (2)由(1)知f (n )＝(10＋n )⎝⎛⎭⎫100－80n ＋1－100n ＝1 000－80⎝⎛⎭⎫n ＋1＋9n ＋1≤520(万元)．当且仅当n ＋1＝9n ＋1， 即n ＝8时，利润最高，最高利润为520万元．所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．忽视基本不等式成立的条件致误【问题诊断】 利用基本不等式求最值是高考的重点，其中使用的条件是“一正、二定、三相等”，在使用时一定要注意这个条件，而有的考生对基本不等式的使用条件理解不透彻，使用时出现多次使用不等式时等号成立的条件相矛盾.,【防范措施】 尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等. 【示例】►已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求1a ＋2b 的最小值．错因 两次基本不等式成立的条件不一致． 实录 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1， ∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14.又1a ＋2b≥2 2ab ，而ab ≤14，∴1ab≥4， ∴1a ＋2b ≥28＝42，故1a ＋2b 的最小值为4 2. 正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝()1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2ab≥3＋2 b a ·2ab＝3＋2 2. 当且仅当⎩⎨⎧a ＋b ＝1，b a ＝2ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.【试一试】 (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 [尝试解答] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab≥2a (a －b )·1a (a －b )＋2ab ·1aba (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b 时，等号成立． 答案 D16.已知函数f(x)的定义域为[－2，+∞)，部分对应值如下表,)(x f '为f (x)的导函数，函数)(x f y '=的图象如右图所示，若两正数a ，b 满足1)2(<+b a f ，求33++a b 的取值范围．18.已知二次函数2(),(,,)f x ax bx c a b c R=++∈满足：对任意实数x,都有()f x x≥，且当x∈（1，3）时，有21()(2)8f x x≤+成立. （1）求(2)f; （2）若(2)0,()f f x-=的表达式;（3）设()()2mg x f x x=-[0,)x∈+∞，若()g x图上的点都位于直线14y=的上方，求实数m的取值范围.解：（1）由条件知224)2(≥++=cbaf恒成立又∵取x=2时，2)22(8124)2(2=+≤++=cbaf与恒成立∴2)2(=f…………3分（2）∵⎩⎨⎧=+-=++24224cbacba∴,124==+bca∴acb41,21-==……5分又xxf≥)(恒成立，即)1(2≥+-+cxbax恒成立∴)41(4)121(,02≤---=∆>aaa，…………7分解出：21,21,81===cba∴212181)(2++=xxxf…………10分（3）),0[4121)221(81)(2+∞∈>+-+=xxmxxg在必须恒成立即),0[2)1(42+∞∈>+-+xxmx在恒成立x －2 0 4f (x) 1 －1 1①△<0，即 [4(1－m)]2－8<0，解得：221221+<<-m ……13分②⎪⎩⎪⎨⎧>=≤--≥∆02)0(0)1(20f m 解出：221-≤m 总之，)221,(+-∞∈m ………16分19.已知函数32()在1f x x ax bx c x =+++=处的切线方程为31y x =+，（1）若函数()在2y f x x ==-时有极值，求()f x 的表达式； （2）在（1）条件下,若函数()在[2,]y f x m =-上的值域为95[,13]27，求m 的取值范围；（3）若函数()y f x =在区间[－2，1]上单调递增，求b 的取值范围. 解：由cbx ax x x f +++=23)(求异得bax x x f ++='23)(2，在x = 1处的切线方程为)1)(23()1()1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即由已知切线方程为13+=x y 所以：⎩⎨⎧=-+-=++12323c a b a2)(-==x x f y 在 时有极值，故1240)2(-=+-∴=-'b a f (3)由（1）（2）（3）相联立解得542)(5,4,223+-+==-==x x x x f c b a ………5分（2）)2)(23(44323)(22+-=-+=++='x x x x b ax x x f27)3(,135)2(4)2(2)2()2(23==+---+-=-f f当),32(+∞∈x ，令213)(==x x f 得，由题意得m 的取值范围为]2,32[ …………9分 （3）)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增又b ax x x f ++='23)(2，由（1）知b bx x x f b a +-='∴=+23)(,02依题意)(x f '在[－2，1]上恒有03,0)(2≥+-≥'b bx x x f 即在[－2，1]上恒成立，…11分①在16≥=b x 时，603)1()(≥∴≥+-='='b b b f x f 小…12分②在φ∈∴≥++=-'='-≤=b b b f x f bx 0212)2()(,26小时…13分③在.6001212)(,1622≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时小…14分综合上述讨论可知，所求参数b 取值范围是：0≥b…16分[2014·江苏卷] 已知函数f(x)＝ex ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数．(1)证明：f(x)是R 上的偶函数．(2)若关于x 的不等式mf(x)≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f(－x)＝e －x ＋e －(－x)＝e －x ＋ex ＝f(x)， 所以f(x)是R 上的偶函数．(2)由条件知 m(ex ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立． 令 t ＝ex(x>0)，则 t>1，所以 m≤－t －1t2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t>1成立．因为t －1＋1t －1＋ 1≥2（t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立．因此实数 m 的取值范围是(]－∞，－13.。
高考数学高频考点复习不等式知识点
高考数学高频考点复习不等式知识点高考数学中，不等式是高频考点之一，掌握不等式的知识点对于拿到高分至关重要。
在这篇文章中，我们将详细讲解高考数学中的不等式知识点，帮助学生高效备考，提升数学成绩。
一、基本不等式基本不等式是指对于任意正整数n，有$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2} < 2$ 。
它是不等式的基础，很多不等式的证明都要用到它。
不同年份的高考会涉及不同级别的基本不等式，例如2002年高考考察了一次积分应用的基本不等式。
二、几何不等式1. 三角不等式对于任意三角形ABC，有$AB+AC>BC$ 、$AB+BC>AC$ 、$AC+BC>AB$ 。
这是三角形中最基本的不等式，也是高考中经常出现的题型。
2. AM-GM不等式AM-GM不等式又称算术平均值-几何平均值不等式，是不等式理论中最重要的不等式之一。
对于任意正数$x_1,x_2,...,x_n$，有$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\ge\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}$ 。
这个不等式在数学中有重要的应用价值，尤其是在最优化问题中。
例如，如果要取得两个正数的和的最大值，可以根据AM-GM不等式的证明过程，得到取值时两个数应该等于其算术平均数。
这个应用在高等数学中的微积分、概率论等方面都有所运用。
三、不等式基本变形在解决很多不等式问题时，常常需要进行变形化简。
这里总结几种常用的变形方法。
1. 等式化简法当不等式中包含有分式或者开方时，可以通过把分子、分母进行约比，或把根内部化为一起相乘的形式简化为更好的形式。
2. 同除法当不等式中的表达式不是很清晰时，可以同时除以一个具体的整数，把不等式中的各个部分的关系凸显出来。
例如，$x^2+3x+4>0$ ，可以考虑同时除以4，得到$\frac{x^2}{4}+\frac{3x}{4}+1>0$，进一步转化数学方程节点的形式。
2023高考_基本不等式知识点高考数学
2023基本不等式知识点高考数学2023基本不等式知识点高考数学11.不等式的定义：a-bb, a-b=0a=b, a-b0a①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。
它是__的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。
作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。
2.不等式的性质：①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有：(1) abb(2) acac (传递性)(3) ab+c (cR)(4) c0时，abcc0时，abac3.运算性质有：(1) ada+cb+d。
(2) a0, c0acbd。
(3) a0anbn (nN, n1)。
(4) a0N, n1)。
应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：和即推出关系和等价关系。
一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的`推出变换。
解不等式就是施行一系列的等价变换。
因此，要正确理解和应用不等式性质。
4. 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。
(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。
(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
2023基本不等式知识点高考数学2基本不等式是不等式的重要内容,也是历年高考重点考查的知识之一。
它的应用几乎涉及高中数学的所有的章节,高考命题的重点是大小判断、求最值、求范围等.大多为填空题，试题的难度不大，近几年的高考试题中也出现了不少考查基本不等式的实际应用问题。
【例2】心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x 天后的存留量y?1=4x+4;若在t(t0)天时进行第一次复习，则此时这似乎存留量比未复习情况下增加一倍(复习的时间忽略不计)，其后存留量y?2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为a(t+4)?2(?a(1) 若a=-1,t=5，求二次复习最佳时机点(2) 若出现了二次复习最佳时机点，求a的取值范围。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基本不等式
【考点梳理】
1．基本不等式ab ≤
a ＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2
＋b 2
≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b
≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；
(4)⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22≤a 2
＋b 2
2(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数
设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为
a ＋b
2
，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则
(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2
4(简记：和定积最大)．
【考点突破】
考点一、配凑法求最值
【例1】(1)若x ＜
54，则f (x )＝4x －2＋145
x -的最大值为________． (2)函数y ＝
x －1
x ＋3＋x －1
的最大值为________.
[答案] (1) 1 (2) 1
5
[解析] (1)因为x ＜5
4
，所以5－4x ＞0，
＝－2＋3＝1.
当且仅当5－4x ＝1
5－4x ，即x ＝1时，等号成立.
故f (x )＝4x －2＋1
4x －5的最大值为1.
(2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2
＋1， 所以y ＝
t
t 2
＋1＋3＋t ＝
t
t 2
＋t ＋4
.
当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t ＞0，即x ＞1时，y ＝
1
t ＋4t
＋1
， 因为t ＋4
t
≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，
所以y ＝
1t ＋4t
＋1
≤1
5， 即y 的最大值为1
5(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值). 【类题通法】
1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.
2.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. 【对点训练】 1．若函数f (x )＝x ＋
1
x －2
(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋2 B ．1＋3 C ．3 D ．4 [答案] C
[解析] 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋
1
x －2
＋2≥2（x －2）×
1
x －2
＋2＝4，当
且仅当x －2＝
1
x －2
(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，即a ＝3，选C. 2．函数y ＝x 2＋2
x －1
(x >1)的最小值为________.
[答案] 23＋2
[解析] y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3
x －1
＝（x －1）2
＋2（x －1）＋3
x －1
＝(x －1)＋
3
x －1
＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3
x －1，即x ＝3＋1时，等号成立.
考点二、常数代换或消元法求最值
【例2】(1)已知x ，y 均为正实数，且
1x ＋2＋1y ＋2＝16
，则x ＋y 的最小值为( ) A ．24 B ．32 C ．20 D ．28 (2)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. [答案] (1) C (2) 6
[解析] (1)∵x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16
， 则x ＋y ＝(x ＋2＋y ＋2)－4 ＝6⎝
⎛⎭⎪
⎫1x ＋2＋1y ＋2(x ＋2＋y ＋2)－4
＝6⎝
⎛⎭
⎪⎫
2＋
x ＋2y ＋2＋y ＋2x ＋2－4 ≥6×⎝
⎛⎭
⎪⎫
2＋2
x ＋2y ＋2·y ＋2x ＋2－4＝20， 当且仅当x ＝y ＝10时取等号. ∴x ＋y 的最小值为20. (2)由已知得x ＝9－3y
1＋y .
法一 (消元法)
因为x ＞0，y ＞0，所以0＜y ＜3，
所以x ＋3y ＝9－3y
1＋y ＋3y
＝
12
1＋y
＋3(y ＋1)－6≥212
1＋y
·3（y ＋1）－6＝6， 当且仅当12
1＋y ＝3(y ＋1)，
即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 法二 ∵x ＞0，y ＞0，
9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22
，
当且仅当x ＝3y 时等号成立.
设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2
＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6. 故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. 【类题通法】
条件最值的求解通常有三种方法：
一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；
二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；
三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解. 【对点训练】
1．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________. [答案] 5
[解析] 法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋3
5x ＝1，
∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝
⎛⎭
⎪⎫15y ＋35x
＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝1
2时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5.
法二 由x ＋3y ＝5xy ，得x ＝3y
5y －1，
∵x >0，y >0，∴y >1
5
，
∴3x ＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋95＋4
5－4y 5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋4y ＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15≥13
5＋2
3625
＝5，
当且仅当y ＝1
2
时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.
2．已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2，3)，则a ＋b 的最小值为________. [答案] 5＋2 6
[解析] 因为直线l 经过点(2，3)，所以2a ＋3b －ab ＝0，所以b ＝2a
a －3
>0，所以a －3>0，所以a ＋b ＝a ＋
2a a －3＝a －3＋6a －3
＋5≥5＋2（a －3）·
6
a －3
＝5＋26，当且仅当a －3＝6
a －3
，即a ＝3＋6，b ＝2＋6时等号成立. 考点三、基本不等式的实际应用
【例3】某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元.
[答案] 2 20
[解析] 设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝
k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2
x
(k 2≠0)，
∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元， ∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝ ⎛⎭
⎪⎫5x ＋20x 万元，
∵5x ＋20
x
≥2
5x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20
x
，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为
20万元. 【类题通法】
1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.
3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解. 【对点训练】
一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为______m ，宽为________m 时菜园面积最大.
[答案] 15
15
2
[解析] 设矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋2y ＝30．
所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号.。