2019高考数学不等式:基本不等式
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基本不等式
【考点梳理】
1.基本不等式ab ≤
a +b
2
(1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b . 2.几个重要的不等式 (1)a 2
+b 2
≥2ab (a ,b ∈R ); (2)b a +a b
≥2(a ,b 同号且不为零); (3)ab ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫a +b 22(a ,b ∈R );
(4)⎝ ⎛⎭
⎪⎫a +b 22≤a 2
+b 2
2(a ,b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数
设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为
a +b
2
,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为:
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则
(1)如果xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p (简记:积定和最小). (2)如果x +y 是定值q ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是q 2
4(简记:和定积最大).
【考点突破】
考点一、配凑法求最值
【例1】(1)若x <
54,则f (x )=4x -2+145
x -的最大值为________. (2)函数y =
x -1
x +3+x -1
的最大值为________.
[答案] (1) 1 (2) 1
5
[解析] (1)因为x <5
4
,所以5-4x >0,
=-2+3=1.
当且仅当5-4x =1
5-4x ,即x =1时,等号成立.
故f (x )=4x -2+1
4x -5的最大值为1.
(2)令t =x -1≥0,则x =t 2
+1, 所以y =
t
t 2
+1+3+t =
t
t 2
+t +4
.
当t =0,即x =1时,y =0; 当t >0,即x >1时,y =
1
t +4t
+1
, 因为t +4
t
≥24=4(当且仅当t =2时取等号),
所以y =
1t +4t
+1
≤1
5, 即y 的最大值为1
5(当t =2,即x =5时y 取得最大值). 【类题通法】
1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.
2.在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式. 【对点训练】 1.若函数f (x )=x +
1
x -2
(x >2)在x =a 处取最小值,则a 等于( ) A .1+2 B .1+3 C .3 D .4 [答案] C
[解析] 当x >2时,x -2>0,f (x )=(x -2)+
1
x -2
+2≥2(x -2)×
1
x -2
+2=4,当
且仅当x -2=
1
x -2
(x >2),即x =3时取等号,即当f (x )取得最小值时,即a =3,选C. 2.函数y =x 2+2
x -1
(x >1)的最小值为________.
[答案] 23+2
[解析] y =x 2+2x -1=(x 2-2x +1)+(2x -2)+3
x -1
=(x -1)2
+2(x -1)+3
x -1
=(x -1)+
3
x -1
+2≥23+2. 当且仅当x -1=3
x -1,即x =3+1时,等号成立.
考点二、常数代换或消元法求最值
【例2】(1)已知x ,y 均为正实数,且
1x +2+1y +2=16
,则x +y 的最小值为( ) A .24 B .32 C .20 D .28 (2)已知x >0,y >0,x +3y +xy =9,则x +3y 的最小值为________. [答案] (1) C (2) 6
[解析] (1)∵x ,y 均为正实数,且1x +2+1y +2=16
, 则x +y =(x +2+y +2)-4 =6⎝
⎛⎭⎪
⎫1x +2+1y +2(x +2+y +2)-4
=6⎝
⎛⎭
⎪⎫
2+
x +2y +2+y +2x +2-4 ≥6×⎝
⎛⎭
⎪⎫
2+2
x +2y +2·y +2x +2-4=20, 当且仅当x =y =10时取等号. ∴x +y 的最小值为20. (2)由已知得x =9-3y
1+y .
法一 (消元法)
因为x >0,y >0,所以0<y <3,
所以x +3y =9-3y
1+y +3y
=
12
1+y
+3(y +1)-6≥212
1+y
·3(y +1)-6=6, 当且仅当12
1+y =3(y +1),
即y =1,x =3时,(x +3y )min =6. 法二 ∵x >0,y >0,
9-(x +3y )=xy =13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x +3y 22
,
当且仅当x =3y 时等号成立.
设x +3y =t >0,则t 2
+12t -108≥0, ∴(t -6)(t +18)≥0,又∵t >0,∴t ≥6. 故当x =3,y =1时,(x +3y )min =6. 【类题通法】
条件最值的求解通常有三种方法:
一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;
二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值;
三是对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解. 【对点训练】
1.若正数x ,y 满足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值为________. [答案] 5
[解析] 法一 由x +3y =5xy 可得15y +3
5x =1,
∴3x +4y =(3x +4y )⎝
⎛⎭
⎪⎫15y +35x
=95+45+3x 5y +12y 5x ≥135+125=5(当且仅当3x 5y =12y 5x ,即x =1,y =1
2时,等号成立), ∴3x +4y 的最小值是5.