2019高考数学不等式:基本不等式

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基本不等式

【考点梳理】

1.基本不等式ab ≤

a +b

2

(1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b . 2.几个重要的不等式 (1)a 2

+b 2

≥2ab (a ,b ∈R ); (2)b a +a b

≥2(a ,b 同号且不为零); (3)ab ≤⎝

⎛⎭

⎪⎫a +b 22(a ,b ∈R );

(4)⎝ ⎛⎭

⎪⎫a +b 22≤a 2

+b 2

2(a ,b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数

设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为

a +b

2

,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为:

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则

(1)如果xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p (简记:积定和最小). (2)如果x +y 是定值q ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是q 2

4(简记:和定积最大).

【考点突破】

考点一、配凑法求最值

【例1】(1)若x <

54,则f (x )=4x -2+145

x -的最大值为________. (2)函数y =

x -1

x +3+x -1

的最大值为________.

[答案] (1) 1 (2) 1

5

[解析] (1)因为x <5

4

,所以5-4x >0,

=-2+3=1.

当且仅当5-4x =1

5-4x ,即x =1时,等号成立.

故f (x )=4x -2+1

4x -5的最大值为1.

(2)令t =x -1≥0,则x =t 2

+1, 所以y =

t

t 2

+1+3+t =

t

t 2

+t +4

.

当t =0,即x =1时,y =0; 当t >0,即x >1时,y =

1

t +4t

+1

, 因为t +4

t

≥24=4(当且仅当t =2时取等号),

所以y =

1t +4t

+1

≤1

5, 即y 的最大值为1

5(当t =2,即x =5时y 取得最大值). 【类题通法】

1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.

2.在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式. 【对点训练】 1.若函数f (x )=x +

1

x -2

(x >2)在x =a 处取最小值,则a 等于( ) A .1+2 B .1+3 C .3 D .4 [答案] C

[解析] 当x >2时,x -2>0,f (x )=(x -2)+

1

x -2

+2≥2(x -2)×

1

x -2

+2=4,当

且仅当x -2=

1

x -2

(x >2),即x =3时取等号,即当f (x )取得最小值时,即a =3,选C. 2.函数y =x 2+2

x -1

(x >1)的最小值为________.

[答案] 23+2

[解析] y =x 2+2x -1=(x 2-2x +1)+(2x -2)+3

x -1

=(x -1)2

+2(x -1)+3

x -1

=(x -1)+

3

x -1

+2≥23+2. 当且仅当x -1=3

x -1,即x =3+1时,等号成立.

考点二、常数代换或消元法求最值

【例2】(1)已知x ,y 均为正实数,且

1x +2+1y +2=16

,则x +y 的最小值为( ) A .24 B .32 C .20 D .28 (2)已知x >0,y >0,x +3y +xy =9,则x +3y 的最小值为________. [答案] (1) C (2) 6

[解析] (1)∵x ,y 均为正实数,且1x +2+1y +2=16

, 则x +y =(x +2+y +2)-4 =6⎝

⎛⎭⎪

⎫1x +2+1y +2(x +2+y +2)-4

=6⎝

⎛⎭

⎪⎫

2+

x +2y +2+y +2x +2-4 ≥6×⎝

⎛⎭

⎪⎫

2+2

x +2y +2·y +2x +2-4=20, 当且仅当x =y =10时取等号. ∴x +y 的最小值为20. (2)由已知得x =9-3y

1+y .

法一 (消元法)

因为x >0,y >0,所以0<y <3,

所以x +3y =9-3y

1+y +3y

12

1+y

+3(y +1)-6≥212

1+y

·3(y +1)-6=6, 当且仅当12

1+y =3(y +1),

即y =1,x =3时,(x +3y )min =6. 法二 ∵x >0,y >0,

9-(x +3y )=xy =13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x +3y 22

当且仅当x =3y 时等号成立.

设x +3y =t >0,则t 2

+12t -108≥0, ∴(t -6)(t +18)≥0,又∵t >0,∴t ≥6. 故当x =3,y =1时,(x +3y )min =6. 【类题通法】

条件最值的求解通常有三种方法:

一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;

二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值;

三是对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解. 【对点训练】

1.若正数x ,y 满足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值为________. [答案] 5

[解析] 法一 由x +3y =5xy 可得15y +3

5x =1,

∴3x +4y =(3x +4y )⎝

⎛⎭

⎪⎫15y +35x

=95+45+3x 5y +12y 5x ≥135+125=5(当且仅当3x 5y =12y 5x ,即x =1,y =1

2时,等号成立), ∴3x +4y 的最小值是5.

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